mecânica aplicada- n2 oscilações amortecidas e amortecidas...

Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

1

Vibrações amortecidas

O Amortecedor Se não houvesse amortecedores em um carro, a

mola aumentaria e dissiparia a energia absorvida em um

impacto vertical descontroladamente e

continuaria oscilando na sua freqüência natural até que

toda a energia originalmente aplicada a ela dissipasse.

Uma suspensão que consiste apenas de molas

ficaria balançante e, dependendo do terreno, seria

impossível de controlar o carro.

O amortecedor é um dispositivo que controla o

deslocamento indesejado da mola pelo processo

conhecido como amortecimento. Ele reduz a magnitude

dos deslocamentos oscilatórios. Isso ocorre quando o

equipamento transforma a energia cinética do movimento

da suspensão em calor, energia dissipada através do fluido

hidráulico. Para entender como isso funciona, observemos

sua estrutura e função.

Um amortecedor consiste basicamente de uma

bomba de óleo posicionada entre o chassi do carro e as

rodas. Sua parte superior fixa-se ao chassi e inferior fixa-

se ao eixo, próximo à roda. No amortecedor tipo de dois

tubos, (mais comuns), a parte de cima é fixa a uma haste

e esta ligada a um pistão. O amortecedor está inserido em

um tubo contendo fluido hidráulico. O tubo interno é

conhecido é o tubo de pressão. O externo é o tubo de

reserva, que armazena o excesso do fluido hidráulico.

Quando a roda do carro encontra um obstáculo

via, se comprime e se distende. Sua energia transfere-se

ao amortecedor através da parte de cima e segue-se

pela haste para dentro do pistão. Os orifícios no pistão

permitem que o fluido passe através dele movendo-se

para cima e para baixo no tubo de pressão. Os orifícios

são relativamente pequenos; assim, somente uma pequena

quantidade de fluido passa sob grande pressão causando

desaceleração do pistão, desacelerando assim a mola.

Os amortecedores operam em dois ciclos: o de

compressão e o de distensão. O ciclo da compressão

ocorre quando o pistão se move para baixo, comprimindo

o fluido hidráulico na câmara abaixo. O ciclo da extensão

ocorre quando o pistão se move acima do tubo de pressão,

comprimindo o fluido na câmara acima. Um carro comum

terá maior resistência durante o ciclo da extensão do que

no ciclo da compressão, pois esse ciclo controla o

deslocamento do peso não-suspenso do veículo; o ciclo de

distensão controla o mais pesado, o suspenso.

Todos os amortecedores modernos são sensíveis

à velocidade: ao se mais rápido a suspensão movimentar,

maior a resistência que o amortecedor fornece, permitindo

ajustarem-se às condições da estrada controlando todos

os movimentos indesejados que ocorrem num veículo em

marcha, incluindo balanço, oscilação, mergulho na

frenagem e agachamento na aceleração.

Colunas de suspensão e barras estabilizadoras

Uma outra estrutura de amortecimento bastante

comum é a coluna de suspensão, conhecida por

suspensão MacPherson. É um amortecedor montado

dentro da coluna e geralmente de uma mola helicoidal

externa a ela. As colunas de suspensão têm duas funções:

fornecem uma função de amortecimento como os

amortecedores e, apoio estrutural para a suspensão do

veículo. Isso significa que a coluna de suspensão faz mais

do que os amortecedores, que não suportam o peso do

veículo - eles somente controlam a velocidade na qual o

peso é transferido em um carro, mas não o peso em si.

Os amortecedores e as colunas de suspensão são

essenciais para a estabilidade do carro e são considerados

itens de segurança. Amortecedores e colunas gastas podem

permitir uma excessiva transferência veículo-peso de um

lado para outro e de frente para trás, reduzindo a aderência

do pneu ao solo, a estabilidade e o desempenho na

frenagem.

As barras anti-oscilação (conhecidas como barras

estabilizadoras) são usadas junto com as colunas de

suspensão ou braços triangulares para fornecer

estabilidade adicional ao veículo em movimento. É uma

haste metálica, que se estende sobre todo o eixo e se

conecta a cada um dos lados da suspensão.

Quando a suspensão em uma roda se move para

cima e para baixo, a barra estabilizadora transfere o

movimento para a outra roda, fazendo com que o carro

ande mais nivelado lateralmente e com menos inclinação

http://www.hsw.com.br/pneus.htm

http://www.hsw.com.br/freios.htm


2

2

nas curvas e evitando que o carro role sobre a sua

suspensão nas curvas. Por esse motivo, quase todos os

carros possuem as barras estabilizadoras instaladas como

item de série. No entanto, caso não estejam colocadas, os

kits tornam fácil a instalação a qualquer momento.

As barras estabilizadoras permitem que o carro

tenha molas mais macias, causando maior conforto de

rodagem, sem que sofra os efeitos da inclinação nas

curvas.

Tipos de suspensão

As quatro rodas de um carro funcionam juntas

em dois sistemas independentes - as duas rodas fixadas

pelo eixo dianteiro e as duas rodas fixadas pelo eixo

traseiro o que significa que o carro pode ter tipos

diferentes de suspensão na frente e atrás. Um único eixo

rígido pode conter as duas rodas ou elas podem se mover

independentemente. O primeiro arranjo é conhecido como

sistema de eixo rígido, enquanto o segundo é conhecido

como sistema independente.

As suspensões dianteiras de eixo rígido possuem um rígido eixo ao qual se montam as rodas da

frente. Basicamente, ele se parece com uma barra sólida

sob a parte dianteira do carro, mantida no lugar pelo feixe

de molas e amortecedores. Comuns em picapes, as

suspensões dianteiras por eixo rígido não são usadas em

carros há muitos anos.

Em um sistema independente de suspensão

dianteira, as rodas podem se mover independentemente.

A coluna MacPherson, desenvolvida em 1947 por Earle

S. McPherson, da General Motors, é o sistema de

suspensão dianteira mais utilizado, especialmente em

carros originados na Europa.

A coluna MacPherson combina um amortecedor e

uma mola helicoidal numa mesma peça fazendo com que

o sistema de suspensão seja mais compacto, leve e

podendo ser usado em veículos com tração nas rodas

dianteiras.

Funções dos AMORTECEDORES

Os amortecedores, portanto, são muito importantes

para a regulagem do chassis. Eles têm três funções:

absorver choques (pressão do óleo)

distribuir a transferência de peso (pressão do

óleo e molas)

ajustar a tensão da mola (molas).

AMORTECIMENTO (PRESSÃO DO ÓLEO) O amortecimento (pressão do óleo) é feito no

cilindro cheio de óleo do amortecedor. O pistão restringe o

fluxo de óleo quando o amortecedor entra e sai. A taxa de

pressão é uma combinação da viscosidade do óleo (peso) e

da restrição do pistão.

As características da viscosidade do fluido e seu tipo

são características da constante de amortecimento c do

fluido existente no pistão.

A unidade da constante de amortecimento c é o

Newton.segundo/metro:

Unidade de c: Constante de amortecimento:

N.s/m

Adaptado de:

http://carros.hsw.uol.com.br/suspensoes-dos-carros1.htm

http://carros.hsw.uol.com.br/suspensoes-dos-carros1.htm


3

3

Vibrações livres e amortecidas:

Em geral todos os sistemas vibrantes apresentam

amortecimento, seja por atrito fluido, quando corpos

rígidos se movem num fluido, sejam por atrito interno,

entre as moléculas de um corpo aparentemente elástico.

Um tipo de amortecimento é o amortecimento

viscoso, causado pelo atrito fluido a baixas velocidades.

Esse atrito é caracterizado pelo fato da força de atrito ser

diretamente proporcional à velocidade:

xcFa t

c é determinado de coeficiente de

amortecimento viscoso.

Considere um corpo de massa m suspenso por

uma mola de constante k e preso ao êmbolo de um

cilindro.

equilíbrio

x

estk x

v

P = m.g

- c.v

Utilizando a segunda lei de Newton, a equação

de movimento será:

xcxkPxmF e )(

Podemos escrever:

0kxxcxm

0c k

x x xm m

ou

22

020

d x c dxx

dt m dt

Com:

2

0 0

k k

m m

m

k0 é a freqüência angular natural,

depende apenas da massa da suspensão e da constante

elástica da mola k.

A solução proposta para essa equação diferencial

homogênea é do tipo te com satisfazendo a equação

característica:

2 2

0 0c

m

(Vide Apêndice).

Teremos, resolvendo a equação do 2º grau:

2

2

04

2

c c

m m

Podemos escrever:

2

0

2

22 m

c

m

c

Definimos como coeficiente de amortecimento

crítico cc o valor que torna nulo o radicando acima:

02cc m

Podemos distinguir três casos de amortecimento,

dependendo do valor do coeficiente c:

1. Amortecimento supercrítico c > cc:

As raízes da equação característica são reais e

distintas e a solução da equação diferencial homogênea é:

1 2( )t t

x t A e B e

Ou

2( )c

tt tmx t e Ae Be

Com: 2

0

2

2m

c

Características: Movimento não

vibratório. A posição x tende a zero quando t vai a infinito:

2lim ( ) lim 0c

tt tm

t tx t e Ae Be

O sistema, na realidade retorna à sua posição de

equilíbrio depois de um tempo finito.

As constantes A e B dependem das condições

iniciais da posição da suspensão (x0) e da velocidade

inicial (v0).

Para acharmos a velocidade instantânea,

encontramos a derivada de x(t):

1 2

1 2

t tdxv t A e B e

dt

A aceleração instantânea será dada por:


4

4

x(t)

v(t)

a(t)

Series4

Series5

Gráficos

t(s)

0,40,350,30,250,20,150,10,050

x(t)

0,1

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

1 22 2

1 2

t tdva t A e B e

dt

Assim, para acharmos as constantes A e B

devemos resolver o sistema:

0 1 2

0

v A B

x A B

0 2 0

2 1

x vA

0 0 1

2 1

v xB

Assim, podemos resumir:

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

1 20 2 0 0 0 11 2

2 1 2 1

( )t tx v v x

v t e e

1 22 20 2 0 0 0 11 2

2 1 2 1

( )t tx v v x

a t e e

Parâmetros:

2

2

1,2 02 2

c c

m m

Gráfico x versus t:

Exemplo para:

m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 40 N.s/m

x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s

2. Amortecimento crítico c = cc:

A equação característica tem raiz dupla:

= - c/2m

A solução geral da equação diferencial é:

2( ) ( )c

tmx t A B t e

Características: Movimento também

não vibratório. Esses sistemas são de interesse desde que

retornem à posição de equilíbrio após um tempo finito.

As constantes A e B dependem das condições

iniciais da posição da suspensão (x0) e da velocidade

inicial (v0).

Novamente, para acharmos a velocidade

instantânea, encontramos a derivada de x(t):

2 2( )2

c ct t

m mdx c

v t B e e A Btdt m

2

2

ct

mc

v t e B A B tm

A aceleração instantânea será dada por:

2 2

2 2 2

c ct t

m mdv c c c

a t e B A B t B edt m m m

2 22 2

ct

mc c

a t e B A B tm m

Assim, para acharmos as constantes A e B devemos

resolver o sistema:

0

0

2

cv B A

m

x A

0A x

0 02

cB v x

m

Assim:

20 0 0( ) ( )

2

ct

mc

x t x v x t em

Parâmetros:

0

k

m

A,B, = -c/2m


Exemplo para:

m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 20 N.s/m

x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s


5

5

x(t)

v(t)

a(t)

+Exp(-c/2m)t

-Exp(-c/2m)t

Gráficos

t(s)

10,90,80,70,60,50,40,30,20,1

x(t

)

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0

-0,02

-0,04

-0,06

-0,08

-0,1

3. Amortecimento subcrítico c < cc

As raízes da equação característica são

complexas e conjugadas. Mostramos no Apêndice, com o

auxílio da teria de série de potências que a solução da

equação diferencial é dada por:

2( ) cosc

tmx t e A t B sen t

Com: 2

2

02

c

m

Pode-se escrever também: 2

0 1c

c

c

Características: Movimento vibratório

de amplitude decrescente. Podemos escrever a solução na

forma:

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

Chamamos de período da vibração amortecida,

apesar do movimento não se repetir nesse caso, ao valor:

2

Parâmetros:

0

0 0

2

2

m xtg

m v c x

2

2 0 0

0

2

2m

m v c xx x

m


Exemplo para:

m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 2 N.s/m

x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s

x(t)

v(t)

a(t)

Series4

Series5

Gráficos

t(s)

0,40,350,30,250,20,150,10,050

x(t)

0,1

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01


6

6

Casos possíveis de amortecimento:

Resumo:

2

00 0c k c

x x x x x xm m m

0 02c

kc m

m

1. Amortecimento supercrítico: c > cc:

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

Parâmetros: 2

2

1,2 02 2

c c

m m

2. Amortecimento crítico: c = cc:

20 0 0( )

2

ct

mc

x t x v x t em

Parâmetros:

0

k

m

3. Amortecimento subcrítico: c < cc

2( ) cosc

tmx t e A t Bsen t

2

0 1c

cq

cOu

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

Parâmetros:

0

0 0

2

2

mqxtg

mv cx

2

2 0 0

0

2

2m

mv cxx x

mq

2

Gráficos mostrando os três tipos de

amortecimento.

Analogia: Circuito RLC alimentado por

uma fonte de tensão alternada V(t)=V0cos t.

A equação diferencial associada é:

dt

tdV

C

I

dt

dIR

td

IdL

)(2

2

A equação diferencial homogênea é:

01

2

2

ILCdt

dI

L

R

td

Id

Propondo uma solução do tipo emt

teremos:


7

7

012

LCmm

L

R

Teremos como solução:

2

1

44

2

14 2

22

LCL

R

L

R

LCL

R

L

R

m

Logo:

niL

Rm

L

R

LCi

L

R

m22

4

14

2

22

Pode-se mostrar que a solução é dada por:

)(}{)( 2 tIeBeAetI p

ttiti L

R

nn

ttiti

HL

R

nn eBeAetI 2}{)(

Aqui IH(t) a solução da equação diferencial

homogênea, com:

2

2

4

1

L

R

LCn

Podemos considerar ainda que

biaA

biaAB

Substituindo em I(t) teremos:

ttitititi

HL

R

nnnn eeebieeatI 2}{)(

Observe:

i

eet

eet

titi

n

titi

n

nn

nn

2sen

2cos

Analogia Elétrica

A analogia entre sistemas elétricos e mecânicos é

válida tanto para oscilações transitórias como para o

estado estacionário.

Sistema Mecânico Circuito Elétrico

m Massa L Indutância

c Coeficiente de

amortecimento viscoso

R Resistência

k Constante da mola 1/C Inverso da

Capacitância

x Deslocamento q Carga

v Velocidade i Corrente

F Força aplicada E Tensão

aplicada

Usando a Lei de Kirchhoff, a soma algébrica da

tensão aplicada e das quedas de potencial ao longo de um

circuito é nula, podemos escrever a equação da carga no

circuito RLC alimentado por uma tensão alternada Em

sen t por:

10m

diE sen t L R i q

dt C

1mL q R q q E sen t

C

2221

mm

Ei

L RC

2

2 1

mm

Ei

R LC

Definimos como impedância, ao termo:

2

2 1Z R L

C

Exemplos

1. A figura representa o modelo de um

amortecedor de um automóvel cuja massa da suspensão é

de 80kg e é suportado por uma mola de constante elástica

de 32 kN/m, e um amortecedor de constante de

amortecimento de c = 3000 Ns/m. O proprietário do

automóvel esqueceu-se de trocar o amortecedor, portanto

sua constante de amortecimento c tornou-se menor que a

constante de amortecimento crítica cc .O valor da

constante de amortecimento crítica cc e a solução da

equação diferencial são dadas por:

Dados: 0

kp

m;

02mcc

22

2

0 0 12 c

c cq

m c

BsenqtqtAetxt

m

c

cos)( 2:


8

8

0

3200020

80rad

sp ;

02 2 80 20 3200 N sc m

c m

22 2

2

0 0

30001 20 1

2 3200c

c c

m c

6.96 rads

18.75( ) cos6.96 6.96tx t e A t Bsen t

2. Para um sistema de massa m = 1 kg, c = 50

N.s/m e constante elástica k = 400N/m a solução para a

equação: estmx P k x cx , nas condições

iniciais x0 = 0.05m e v0= 0,1m/s é:

Dados: 2

00 0c k c

x x x x x xm m m

0 02c

kc m

m

a. Amortecimento supercrítico c > cc:

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

2

2

1,2 02 2

c c

m m

b. Amortecimento crítico c = cc :

0

0 0 0( )2

tcx t x v x t e

m

c. Amortecimento subcrítico c < cc

2( ) cosc

tmx t e A t Bsen t

2

0 1c

cq

cOu

)()( 2 qtsenextxt

m

c

m

0

0 0

2

2

m xtg

mv cx;

2

2 0 0

0

2

2m

mv cxx x

m

2

00 0c k c

x x x x x xm m m

0 0

40020

1rad

s

k

m

02 40 ; 50Ns Nsc c m m

c m c c

Amortecimento supercrítico c > cc : 2 2

2 2

1,2 0

50 5020

2 2 2 1 2 1

c c

m m

2

2

1,2 0 25 625 4002 2

c c

m m

1,2 1 125 225 25 15 10; 40

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

10 400.05 40 0.1 0.1 0.05 10

( )40 10 40 10

t tx t e e

10 40( ) 0.07 0.02t tx t e e

3. Um sistema de massa-mola amortecedor possui

m = 0.5 kg e constante elástica k = 20000N/m.

A constante de amortecimento do sistema é c,

dada pela tabela.

3.1 – Encontre a freqüência angular natural 0 do

sistema.

0

20000200

0.5rad

s

k

m

3.2 – Determine a constant de amortecimento

crítica cc.

02 2 0.5 200 200 N sc m

c m

3.3 - As condições iniciais posição inicial x0 e

velocidade inicial v0 são dadas na tabela. Para cada caso,

classifique o amortecimento, dando a solução para:

A posição x(t).

A velocidade instantânea v(t).

A aceleração instantânea a(t).

Dado: Condições iniciais: x0 = 5 cm e v0= 1m/s

Ca

so i

c

(N.s

/m)

Cla

ssif

icaçã

o

am

oo

rtec

imo

Pa

râm

etro

s

x(t)

(m)

v(t)

(m/s)

v(t)

(m/s)

1 250

2 205

3 200

4 195

5 50

6 100

10Caso:

c = 250 > cc amortecimento supercrítico

Parâmetros:

2

2

1,2 02 2

c c

m m


9

9

2

2

1,2

250 250200

2 0.5 2 0.5

1,2 250 22500

1

1,2

2

100250 150

400

Hz

Hz

Posição x(t):

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

400 100( ) 0.02 0.07t tx t e e Velocidade instantânea v(t):

dv t x t

dt

400 100( ) 8 7t tv t e e Aceleração instantânea a(t):

da t v t

dt

400 100( ) 3200 700t ta t e e

Gráficos:

30Caso:

c = 200 = cc amortecimento crítico

Parâmetros:

0

20000200

0.5rad

s

k

m

20 0 0( )

2

ct

mc

x t x v x t em

200( ) 0.05 11.5 tx t t e

Velocidade instantânea v(t): d

v t x tdt

200( ) 11.5 200 0.05 11.5 tv t t e

Aceleração instantânea a(t):

da t v t

dt

200( ) 4600 40000 0.05 11.5 ta t t e

Gráficos:


10

10

50Caso:

c = 50 = cc submortecimento

Parâmetros:

2

0 1c

cq

c

2180

200 1 193200

rad

s

0

0 0

2

2

m xtg

mv cx

2.766tg

1.22rad

20.032s

2

2 0 0

0

2

2m

mv cxx x

m

0.053mx m

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

Posição x(t):

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

50( ) 0.053 193 1.22tx t e sen t

Velocidade instantânea v(t):

dv t x t

dt

50( ) 10.2956 cos 193.6 1.22 2.65 193.6 1.22tv t e t sen t

Aceleração instantânea a(t):

da t v t

dt

50( ) 1029.56 cos 193.6 1.22 1860.8 193.6 1.22ta t e t sen t


11

11

4. No caso do amortecimento subcrítico, os

deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na Fig. 19.11,

podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos.

Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos,

xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta

razão, chamado de decremento logarítmico, é

21

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

xm

xn xn+1

tn tn+1

τ

Solução:

Teremos nesse caso a considerar:

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

Para dois máximos consecutivos, ocorrendo nos

instantes tn e tn+1, teremos, lembrando a função senθ:

2nt

1 2 52 2

nt

2( ) ( )n

ct

mn m nx t x e sen t

2

2

n

ct

mn mx x e sen

2 1n

ct

mn mx x e

12

1 1( ) ( )n

ct

mn m nx t x e sen t

12

1

5

2

n

ct

mn mx x e sen

12

1 1n

ct

mn mx x e

Fazendo a razão entre xn e xn+1:

1

2

1 2

n

n

ct

mn m

ct

n mm

x x e

xx e

12

1

n n

ct t

n m

n

xe

x

Observando a figura:

1

2n nt t

2

2

1

c

n m

n

xe

x

Aplicando o logaritmo natural:

2

2

1

ln lnc

n m

n

xe

x

Utilizando a propriedade dos logaritmos:

log logn

B Ba n a

E: ln e = 1

1

2ln

2

n

n

x c

x m

Substituindo:

2

0 1c

c

c

21

0

2ln

21

n

n

c

x c

x mc

c

0

21

2

2ln

1

n

n

c

c

x m

xc

c

Como:

02cc m

21

ln 2

1

cn

n

c

c

cx

xc

c

21

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c


12

12

5. Desloca-se o bloco mostrado na figura,

posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio,

quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o

deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar

(a) o fator de amortecimento c/cc e

(b) o valor do coeficiente do amortecimento

viscoso c.

Solução:

Do exemplo anterior:

21

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

Note que:

71 2

22 3 8

2ln ln ln

1

c

c

c c xx x

x x xc c

71 2

22 3 8

2ln ln ln 7

1

c

c

c cxx x

x x x c c

Mostre que, usando agora a propriedade:

ln ln lnA

A BB

71 21 8

2 3 8

ln ln ln ln lnxx x

x xx x x

71 2 1

2 3 8 8

ln ln ln lnxx x x

x x x x

1

28

2ln 7

1

c

c

c cx

x c c

2 22

1

2

8

4ln 49

1

c

c

c cx

x c c

2

2 221

8

1 ln 196c c

xc c c c

x 2 2

2 221 1

8 8

ln ln 196c c

x xc c c c

x x 2

1

2 8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

2

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

2

196 ln

x

x kc m

mx

x


13

13

Exercícios

1. O movimento do pistão no interior do motor

de um carro é aproximadamente um MHS.

(a) Sabendo que o percurso (o dobro da

amplitude) é igual a 0.100m e que o motor gira a 3500

rpm, calcule a aceleração do pistão no ponto final do

percurso.

(b) Sabendo que a massa do pistão é 0.45 kg,

qual é a força resultante exercida sobre ele nesse ponto?

(c) Calcule a velocidade e a energia cinética do

pistão no ponto médio do percurso.

(d) Qual é a potência média necessária para

acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no

item (c)?

(e) Se o motor gira com 7000 rpm, quais são as

respostas dos itens (b), (c) e (d)?

2. Uma força de amortecimento F = - cv atua

sobre um rato infeliz de 0,300 kg que se move preso na

extremidade de uma mola cuja constante é k = 2.50 N/m.

(a) Se a constante c possui um vaior igual a

0.900 kg/s, qual é a freqüência da oscilação do rato?

(b) Para qual valor da constante c o movimento é

criticamente arnortecido?

3. Um ovo de 50,0 g fervido durante muito

tempo está preso na extremidade de uma mola cuja

constante é k = 25.0 N/m. Seu deslocamento inicial é

igual a 0.300 m. Uma força de amortecimento F = -c v

atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de

0.100 m em 5.00 s. Calcule o módulo da constante de

amortecimento c.

4. O movimento de um oscilador com

subamortecimento é descrito pela Equação descrita na

teoria. Considere o ângulo de fase igual a zero.

(a) De acordo com esta equação, qual é o valor

de x para t = 0?

(b) Qual é o módulo, a direção e o sentido da

velocidade para t = 0? O que este resultado informa sobre

a inclinação do gráfico de x contra t nas vizinhanças de t =

0?

(c) Obtenha uma expressão para a aceleração a

para t = O. Para que valores ou intervalo de valores da

constante de amortecimento c (em termos de k e de m) é a

aceleração para t = 0 negativa, nula e positiva?

Discuta cada caso em termos do gráfico de x

versus t nas vizinhanças de t = 0.

5. Quatro passageiros com massa total igual a 250

kg comprimem 4.00 cm as molas de um carro com

amortecedores gastos. Modele o carro e os passageiros

como um único corpo sobre uma única mola ideal.

Sabendo que o período da oscilação do carro com os

passageiros é igual a l.08 s, qual é o período da oscilação

do carro vazio?

6. Um cavaleiro executa um MHS com amplitude

A; sobre um trilho de ar. Você freia o cavaleiro de modo

que sua amplitude é reduzida à metade do valor inicial. O

que ocorre com os valores:

(a) do seu período, freqüência e freqüência

angular?

(b) da sua energia mecânica total?

(c) da sua velocidade máxima?

(d) da sua velocidade no ponto x = ±A/4?

(e) da sua energia potencial e energia cinética

no ponto x = ±A/4?

7. Você pendura um peso desconhecido na

extremidade de uma mola e, segurando o peso, deixa-o

descer suavemente até que ele estique a mola a uma

distância L na posição de equilíbrio.

Se a mola possui massa desprezível, prove que o

peso pode executar um MHS com o mesmo período de um

pêndulo simples de comprimento L.

8. Uma criança irrequieta faz deslizar em uma

mesa horizontal seu prato de jantar de 250 g com MHS

com amplitude 0.100 m. Em um ponto situado a 0.060 m

da posição de equilíbrio a velocidade do prato é igual a

0.300 m/s.

(a) Qual é o período?

(b) Qual é o deslocamento quando a velocidade é

igual a 0.160 m/s?

(c) No centro do prato existe um pedaço de

cenoura de 10.0 g. Se o pedaço de cenoura está na

iminência de escorregar no ponto final da trajetória, qual o

coeficiente de atrito estático entre o pedaço de cenoura e o

prato?

9. Um touro mecânico se move verticalmente

com MHS de amplitude igual a 0.250 m e freqüência igual

a l.50 Hz, que permanecem as mesmas independentemente

de existir ou não alguém montado no touro. Um vaqueiro

monta no touro e diz que para um macho não é necessário

segurar em nenhuma parte do touro,

(a) Ele abandona a sela quando o touro está se

movendo para cima. Qual é o módulo da aceleração da

sela para baixo quando ele perde o contato com ela?

(b) Em que altura está a sela acima de sua posição

de equilíbrio quando ele perde o contato com ela pela

primeira vez?

(c) Qual é o módulo da sua velocidade quando ele

perde o contato com a sela?


14

14

(d) Ele está em queda livre até retomar para a

sela. Mostre que isto ocorre 0.538 s mais tarde.

(e) Qual é a velocidade relativa entre ele e a sela

no momento em que ele retoma?

10. Um bloco de massa M repousa sobre uma

superfície sem atrito e está preso a uma mola horizontal

cuja constante é k, a outra extremidade da mola está presa

a uma parede. Um segundo bloco de massa m repousa

sobre o primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os

blocos é s. Ache a amplitude máxima da oscilação para

que o bloco superior não deslize sobre o bloco inferior.

11. Um bloco de massa igual a 0.200 kg está

submetido a uma força restauradora elástica e a constante

da força é igual a 10.0 N/m.

(a) Faça um gráfico da energia potencial U em

função do deslocamento x no intervalo de x = - 0.300 m

até x = +0.300 m. Em seu gráfico adote a escala l cm =

0.05 J no eixo vertical e l cm ~ 0,05 m no eixo horizontal.

O bloco inicia o movimento oscilatório com uma energia

potencial igual a 0.140 J e uma energia cinética igual a

0.060 J. Examinando o gráfico, responda às perguntas

seguintes:

(b) Qual é a amplitude da oscilação?

(c) Qual é a energia potencial quando o

deslocamento é igual à metade da amplitude?

(d) Para qual deslocamento a energia potencial é

igual à energia cinética?

(e) Qual é o valor do ângulo de fase sabendo que

a velocidade inicial é positiva e o deslocamento inicial é

negativo?

12. A Figura indica um corpo de massa m

suspenso a uma mola vertical cuja constante é k. O

sentido positivo do eixo Ox está orientado de baixo para

cima e x = 0 é a posição de equilíbrio do corpo.

(a) Mostre que quando o corpo está na

coordenada x, a energia potencial elástica da mola é dada

por:

21

2elU k l x

(b) Seja x = x0 a coordenada para a qual a energia

potencial gravitacional é igual a zero. Mostre que a

energia potencial total é dada por:

22

0

1 1

2 2elU kx k l mgx

(c) A expressão para a energia potencial da parte

(b) é da forma 21

2U kx C , onde a constante C é

dada por 2

0

1

2C k l mgx . Explique por que o

comportamento do sistema não depende do valor desta

constante, de modo que o MHS vertical não é

fundamentalmente diferente do que o MHS horizontal

para o qual 21

2U kx .

13. Um fio de l.80 m de comprimento é suspenso

verticalmente. Quando uma bola de aço de 60.0 kg é

suspensa na extremidade do fio, este se dilata 2.00 m. Se a

bola for puxada para a baixo a uma distância adicional e

libertada, com que freqüência ela oscilará? Suponha que a

tensão no fio seja menor do que o limite de

proporcionalidade.

14. Uma perdiz de 5.00 kg está pendurada em

uma pereira presa na extremidade de uma mola ideal com

massa desprezível. Quando a perdiz é puxada para baixo a

uma distância de 0.100 m abaixo da sua posição de

equilíbrio e libertada, ela oscila com um período igual a

4.20 s.

(a) Qual é sua velocidade quando ela passa pela

posição de equilíbrio?

(b) Qual é sua aceleração quando ela está a 0.050

m acima da posição de equilíbrio?

(c) Quando ela está se movendo para cima,

quanto tempo é necessário para que ela se mova de um

ponto 0.050 m abaixo da posição de equilíbrio até um

ponto 0.050 m acima do equilíbrio?

(d) O movimento da perdiz é interrompido e ela

é removida da mola. De quanto a mola se encurta?

14. Um prego de 0.0200 kg executa um MHS

com amplitude igual a 0.240 m e período igual a l.500 s. O

deslocamento do prego é igual a +0.240 m quando t = 0.

Calcule:

(a) o deslocamento do prego quando t = 0.500 s;

(b) o módulo, a direção e o sentido da força que

atua sobre o prego quando t = 0,500 s;

(c) o tempo mínimo necessário para que o prego

se desloque da posição inicial até um ponto x = -0.180 m;

(d) a velocidade do prego quando x = -0.180m.

15. Uma mola de massa desprezível e constante k

= 400 N/m está suspensa verticalmente e um prato de

0.200 kg está suspenso em sua extremidade interior.

Um açougueiro deixa cair sobre o prato de uma

altura de 0.40 m uma posta de carne de 2.2 kg. A posta de


15

15

carne produz uma colisão totalmente inelástica com o

prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule:

(a) a velocidade do prato e da carne logo após a

colisão;

(b) a amplitude da oscilação subsequente;

(c) o período do movimento.

15. Uma força de 40,0 N estica 0,250 m uma

mola vertical.

(a) Qual é o valor da massa que deve ser

suspensa da mola para que o sistema oscile com um

período igual a l.00 s?

(b) Se a amplitude do movimento for igual a

0.050 m e o período for o especificado na parte (a), onde

estará o objeto e em qual sentido ele estará se movendo

0.35 s depois de ele atravessar a posição de equilíbrio de

cima para baixo?

(c) Qual é o módulo, a direção e o sentido da

força que a mola exerce sobre o objeto quando ele esta

0.030 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para

cima?

16. Um pequeno barco de excursão com um

convés largo oscila verticalmente com MHS em virtude

das ondas de um lago. A amplitude do movimento é de

0.200 m e o período é igual a 2.80 s. Uma doca estável

está próxima do barco em um nível igual ao nível mais

elevado da oscilação do convés. As pessoas desejam

descer do barco para a doca, mas isto só pode ser feito

confortavelmente quando o nível do convés estiver a uma

distância menor do que 0.100 m do nível da doca. Quanto

tempo as pessoas dispõem para descer confortavelmente

do barco durante cada período do MHS?

17. Um exemplo interessante de oscilação,

embora fortemente impraticável, é o movimento de um

objeto lançado em um furo que passa através do centro da

Terra, oscilando de um lado até o outro da Terra. Usando

a hipótese (que não é realista) de que a Terra seja uma

esfera com densidade uniforme, prove que a oscilação

constitui um MHS e determine seu período.

18. Seja t, o tempo necessário para que um corpo

que executar MHS se desloque de x = 0 (para t = 0) até x

= A. Obtenha uma equação para t do seguinte modo. Na

Equação, substitua v por dx/dt. Separe as variáveis

deixando todas as grandezas contendo x em um dos

membros da equação e todas as grandezas contendo t no

outro membro. Integre a equação entre os limites de t

desde 0 até t, e os limites de x desde 0 até A e, a partir

daí,

obtenha uma expressão para t1. Como t1 se compara com

o

período T?

19. Para um certo oscilador a força resultante

sobre um corpo de massa m é dada por F = -cx3.

(a) Qual é a função energia potencial deste

oscilador se considerarmos U = O para x =0?

(b) Um quarto do período é o tempo

necessário para o corpo se deslocar de x = 0 até x = A.

Determine este tempo e, portanto, o período.

(c) De acordo com o resultado obtido na parte

(b), verifique se o período depende da amplitude do

movimento. Este movimento constitui um MHS?

20. Para medir o valor de g de modo não

ortodoxo, uma estudante coloca uma bola de bilha sobre o

lado côncavo de uma lente. Ela coloca a lente sobre um

oscilador harmônico simples (fornecido efetivamente por

um pequeno (alto-falante estéreo) cuja amplitude A e cuja

freqüência f podem variar. Ela pode medir A usando a luz

de um estroboscópio.

(a) Se a bola possui massa m, ache a força normal

exercida pela lente sobre a bola de bilha em função do

tempo. Seu resultado deve ser dado em função de A, f, m, g

e do ângulo de fase .

(b) A freqüência é aumentada lentamente.

Quando ela atinge um valor fb, sua oscilação pode ser

ouvida. Qual é o valor de g em termos de A e de fb?

21. Dois cilindros homogêneos de raio R e massa

total M são conectados ao longo de seu eixo comum por

uma barra leve e curta e estão em repouso sobre o topo de

uma mesa horizontal. Uma mola cuja constante é k possui

uma extremidade presa na mesa por uma braçadeira e sua

outra extremidade é ligada a um anel sem atrito no centro

de massa dos cilindros (Figura 13.31). Os cilindros são

puxados para a esquerda esticando a mola até uma

distância .c e a seguir são libertados. Existe entre o topo da

mesa e os cilindros um atrito suficiente para fazer os


16

16

Vibrações Forçadas e amortecidas:

Se o sistema considerado anteriormente é

submetido a uma força periódica tsenFF m, a

equação de movimento torna-se:

tsenFkxxcxm m

A solução da equação diferencial acima é dada

pela soma da solução da correspondente homogênea (xH

(t), já discutida anteriormente) com a solução particular

xp(t).

)()()( txtxtx pH

A solução particular pode ser dada por:

tsenxtx mp )(

Substituindo na equação diferencial,

)(),(),( txtxtx ppp teremos:

txtx mp cos)(

tsenxtx mp

2)(

tsenFtsenxktxctsenxm mmmm cos2

Reagrupando os termos, teremos:

tsenFxctxkmtsen mmm cos2

Como: 2

00 mkm

k

tsenFxctmxtsen mmm cos22

0

Utilizando as relações:

coscos)( sensensen

e:

sensencoscos)cos(

tsenFxctsensent

mxtsentsen

mm

m

coscos

coscos 22

0

Reagrupando os termos, teremos:

tsenFxcmsent

xsencmtsen

mm

m

coscos

cos22

0

22

0

Para a equação acima validar-se em qualquer

instante de tempo t, teremos:

0cos

cos22

0

22

0

m

mm

xcmsen

Fxsencm

[1]

22

0

22

0 0cosm

ctgxcmsen m

Podemos ainda escrever:

0

2

0

2

1

c

c

ctg

Fazendo t sucessivamente ser igual a 0 e a /2,

em [1] teremos:

cos22

0 mm

mm

Fmx

senFxc

Elevando ao quadrado ambos os termos:

2222

0m

cm

Fx m

m

Ou:

Chamando de:

mm

F

k

22 2

0 0

1

1 2

m

m

c

x

c

c

Esta equação pode ser usada para determinar a

amplitude do estado estacionário produzido por uma força

excitadora de intensidade tsenFF m.

Os gráficos abaixo ilustram esse comportamento,

para 0;125.0;25.0;50.0;00.1cc

c (de baixo para

cima).

m

m

x

0 1

0

Observe que a amplitude de uma oscilação

forçada pode ser mantida pequena escolhendo um

coeficiente de amortecimento viscoso c grande ou

mantendo bem diferentes as freqüência natural e forçada.


17

17

Exemplos

1. Um motor de M = 400kg é suportado por 8

molas, cada uma com constante elástica de k = 20 kN/m, e

possui um amortecedor de constante de amortecimento de

c = 8000 Ns/m, e pode-se mover verticalmente. O

desbalanceamento do rotor é causado por uma massa de m

= 20g a r = 30 mm do eixo de rotação. Numa freqüência

de vibração de f =5000 rpm, qual a deformação máxima xm

?

Dados:2

2 2

0 0

1 2

mm

c

x

c

c

2

mF m r ; 2 f mm

e

F

k

M = 400kg; ke = 8.20000=160000N/m

0

16000020

400rad

sp

02 2 400 20 16000 N sc m

c m

m = 0.02kg; r = 0.03m

50002 2 523.59

60rad

sf

2

2 50000.02 2 0.03 164.49

60mF m r N

164.490.001028

160000

mm

e

Fm

k


18

18

22 2

0 0

1 2

mm

c

x

c

c

22 2

0.001028

523.29 8000 523.291 2

20 16000 20

mx

60.0010281.503 10

684.08mx m


19

19

Exercícios

Oscilações amortecidas, e amortecidas e

forçadas:

19.107 Mostre que, no caso do amortecimento

supercrítico (c > cc); um corpo nunca passa por sua

posição de equilíbrio O (a) se é liberado com velocidade

inicial nula de uma posição arbitrária ou (b) se parte de O

com uma velocidade inicial arbitrária.

19.108 Mostre que, no caso do amortecimento

supercrítico (c>cc), um corpo liberado de uma posição

arbitrária não pode passar mais de uma vez por sua

posição de equilíbrio.

19.109 No caso do amortecimento subcrítico, os

deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na Fig. 19.11,

podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos.

Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos,

xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta

razão, chamado de decremento logarítmico, é

21

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

19.110 Na prática é muitas vazes difícil

determinar o decremento logarítmico definido no

Problema 19.109 medindo-se dois destacamentos

máximos sucessivos. Mostre que o decremento

logarítmico pode ser expresso como (1 / k) ln (xn / xn+k ),

onde k é o número de ciclos entre as leituras do

deslocamento máximo.

19.111 Num sistema com amortecimento

subcrítico (c < cc), o período de vibração é comumente

definido como o intervalo de tempo = 2 /q que

corresponde a dois pontos sucessivos onde a curva

deslocamento-tempo toca uma das curvas-limites

ilustradas na Fig. 19.11. Mostre que um intervalo de

tempo

(a) entre um deslocamento máximo positivo e o

deslocamento máximo negativo seguinte é /2,

(b) entre dois deslocamentos nulos sucessivos é

/2 e

(c) entre um deslocamento máximo positivo e o

deslocamento nulo seguinte é maior que /4.

19.112 Deslocamentos máximos sucessivos de

um sistema massa-mola-amortecedor, semelhante àquele

ilustrado na Fig. 19.10, são 50, 40, 32 e 25,6 mm.

Sabendo-se que m = 12 kg e k = 1500 N/m, determine



viscoso c (Sugestão: Ver os Problemas 19.109 e 19.110).

19.113 Desloca-se o bloco mostrado na figura,

posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio,

quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o

deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar



viscoso. (Sugestão: ver os Problemas 19.109 e 19.110).

k = 120 N/m c

4 kg

19.114 O cano de um canhão de campanha peso

6,23 kN e retorna à posição de tiro, após recuar, graças a

um recuperador de constante k = 1,75 x 106 N/m.

(a) Determine o valor do coeficiente de

amortecimento do mecanismo de recuo que fez o cano

retornar à posição de tiro, no menor tempo possível, sem

oscilação,

(b) Calcule o tempo gasto pelo cano para mover-

se da sua posição e máximo recuo até o ponto médio de

seu percurso total.

19.115 Supondo-se que se efetuou uma alteração

do cano do canhão tratado no Problema 1.114, resultando

num aumento de peso de 1,78 kN, determine

(a) a constante k que deve ser empregada para

manter o cano criticamente amortecido e

(b) o tempo gasto pelo cano modificado para

deslocar-se de sua posição de máximo recuo ao ponto

médio de seu percurso total.

19.116 No caso da vibração forçada com um

dado fator de amortecimento c/cc , determine a razão entre

as freqüências /p para que a amplitude de vibração seja

máxima.

19.117 Mostre que, para um valor pequeno do

fator de amortecimento c/cc

(a) a amplitude máxima de uma vibração forçada

quando = p, e

(b) o valor correspondente o fator de ampliação é

aproximadamente (cc/2)/c.

19.118 Um motor de 13,6 kg é sustentado por

uma viga leve horizontal que apresenta uma deflexão

estática de 1,27 mm causada pelo peso do motor. Sabendo-

se que o desbalanceamento do rotor é equivalente a uma

massa de 28,3 g localizada a 0,191 m do eixo de rotação,

determine a amplitude das vibrações do motor a uma

velocidade de 900 rpm, supondo

(a) ausência de amortecimento e

(b) que o fator de amortecimento é c/cc = 0,075.

19.119 Um motor de 22,7 kg é sustentado por

quatro molas, cada uma possuindo uma e de 1,75. l05 N/m.

O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa

de 28,3g situada a 127 mm do eixo de rotação. Sabendo-se

que o motor é obrigado a se mover verticalmente,


20

20

determine a amplitude de vibração do estado estacionário

do motor numa velocidade de n, supondo

(a) que não há amortecimento,

(b) que o fator de amortecimento c/cc é igual a

0.125.

19.120 Resolva o Problema 19.94, supondo que

se conectou ao motor e ao solo um amortecedor de

coeficiente de amortecimento c = 200 Ns/m.

19.121 Um motor de 50 kg é sustentado

diretamente por uma viga leve horizontal que a deflexão

estática de 6 mm devida ao peso do motor. O

desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de

100 g localizada a 75 mm do eixo de rotação. A amplitude

das vibrações do motor é 0,9 mm a uma velocidade de

400 rpm. Determine

(a) o fator de amortecimento c/cc

(b) o coeficiente de amortecimento.

19.122 Um elemento de máquina de 400 kg é

sustentado por duas molas, cada uma possuindo uma

constante de 38 kN/m. Uma força periódica, de valor

máximo igual a 135N, é aplicada ao elemento com uma

freqüência de 2,5 ciclos por segundo. Sabendo que o

coeficiente de amortecimento é 1400 N.s/m, determine

(a) a amplitude de vibração do estado

estacionário do elemento.

(b) o coeficiente de amortecimento.

F = Fmsen t

19.123 No Problema 19.122, determine o valor

do coeficiente de amortecimento para que a amplitude de

vibração do estado estacionário do elemento seja de 3,5

mm.

19.124 Uma plataforma de 90,7 kg, sustentada

por duas molas, cada uma de constante k = 4,38 x 10

N/m, é submetida a uma força periódica de 556N de

módulo máximo. Sabendo que o coeficiente de

amortecimento é 1,75 kN s/m, determine

(a) a freqüência natural, em rpm, da plataforma,

se não há amortecimento,

(b) a freqüência, em rpm, da força periódica

correspondente ao valor máximo do fator de ampliação,

supondo amortecimento, e

(c) a amplitude do movimento real da plataforma

para cada uma das freqüências encontradas nos itens (a) e

(b).

F = Fmsen t

19.125 Resolva o problema anterior, supondo-se

que o coeficiente de amortecimento é 3 kN.s/m.

19.126 A suspensão de um automóvel pode ser

representada pelo sistema simplificado mola mortecedor

como ilustrado,

(a) Escreva a equação diferencial que define o

movimento absoluto da massa m, quando o sistema se

desloca a uma velocidade v sobre uma estrada de seção

longitudinal senoidal, como indica a figura,

(b) Deduza uma expressão para a amplitude do

movimento absoluto de m.


21

21

19.127 Duas cargas, A e B, cada uma de massa

m, estão suspensas, como ilustrado, por meio de cinco

molas de mesma contanto k e conectadas por um

amortecedor de coeficiente de amortecimento c. A carga

B está submetida a uma força de intensidade F= Fmsen t.

Escreva as equações diferenciais que definem os

deslocamentos xA e xB das duas cargas, medidos a partir

das posições de equilíbrio.

A

xA

B xB

F = Fmsen t

19.128 Determine a faixa de valores da

resistência R, para os quais aparecerão oscilações no

circuito ilustrado quando a chave S for fechada.

19.129 Considere o circuito do Problema 19.128,

quando a capacitância é igual a zero. Se a chave S for

fechada no instante t = 0, determine

(a) o valor final da corrente no circuito e

(b) o instante t em que a corrente atingirá

(1 - 1/e) de seu valor final (este valor de t é

conhecido por constante de tempo do circuito).

19.130 e 19.131 Desenhe o análogo elétrico do

sistema mecânico ilustrado. (Sugestão: trace as malhas

correspondentes ao corpos livres).

F = Fmsen t

19.132 e 19.133 Escreva as equações diferenciais que

definem

(a) os deslocamentos da massa m e do ponto A e

(b) as correntes nas malhas correspondentes do

análogo elétrico.

k1

A

c

m

k2

19.134 e 19.135 Desenhe o análogo elétrico do sistema

mecânico ilustrado.

k1 c1

m1

k2

m2

c2


22

22

19.136e19.137 Escreva as equações diferenciais

que definem (a) os deslocamentos das massas m1 e m2

as correntes nas malhas correspondentes do análogo

elétrico.

F = Fmsen t

Problemas de Recapitulaçâo

19.138 Um bloco pesando 17,8 N está preso à

carcaça de um motor que gira a 1250 rpm. O rotor é

desbalanceado e a amplitude do movimento do bloco é de

10,2 mm. Sabendo-se que a constante do sistema de

molas é k = 2,62.104 N/m, determine a amplitude do

movimento do motor.

19.139 Uma barra delgada de comprimento l

está articulada por um pino sem atrito a um cursor de

massa desprezível. Determine o período de pequenas

oscilações da barra, supondo que o coeficiente de atrito

entre o cursor e a barra horizontal

(a) é suficiente para impedir qualquer

movimento do colar, e

(b) é zero.

19.140 A barra AB de 10 kg está presa aos

discos de 4 kg cada um, como ilustrado. Sabendo que os

discos rolam sem escorregar, detfrmine a frequência de

pequenas oscilações do sistema.

450 min .

19.141 Coloca-se um ponto material sem

velocidade inicial sobre um plano tangente à superfície da

Terra,

(a) Mostre que o ponto material executará um

movimento harmónico simples de período de oscilação

igual ao de um pêndulo simples de comprimento igual ao

raio da Terra,

(b) Calcule numericamente o período,

(c) Mostre que o resultado obtido em (a) também

é igual ao período

19.142 Um cursor de 1,5 kg, preso a uma mola

de constante k =750 N/m, 20 mm, comprimindo a mola

(a) Calcule a máxima velocidade que o cursor

adquirirá dep

(b) Determine também a posição e a velocidade

do cursor 0,08 s após a sua liberação.

19.143 Uma barra de massa m e comprimento l

repousa sobre duas polias giram nos sentidos indicados.

Denotando por C , o coeficiente de atrito cinético entre as

barras e as polias, determine a frequência de vibração se

for dado à barra um pequeno deslocamento para a direita,

soltando-a em seguida.

19.144 Um pêndulo de torção pode ser usado

para determinar experimentalmente o momento de inércia

de um dado objeto. A plataforma horizontal P é sustentada

por várias barras rígidas, que estão ligadas a um arame

vertical. O período de oscilação da plataforma é igual a τ0

quando a plataforma está vazia e igual a τA quando um

objeto de momento de inércia conhecido é colocado na

plataforma, de modo que seu centro de massa esteja

diretamente acima do centro da placa,

(a) Mostre que o momento de inércia I0 da

plataforma e seus suportes pode ser expresso por: 2

00 2 2

0

A

A

I I

(b) Se um período de oscilação, τB é medido

quando um objeto B de inércia IB

desconhecido é colocado na plataforma, mostre que 2 2

0

2 2

0

B

B A

A

I I

19.145 Uma viga de 15 kg é suportada por dois

discos homogêneos, cada um com 10 kg de raio de 100


23

23

mm. Sabendo que os discos rolam sem escorregar,

determine o período de vibração do sistema se se der à

viga um pequeno deslocamento para a direita, sendo

abandonada a seguir,

19.146 Resolva o Problema 19.145 supondo-se

que se removeu a mola presa à viga.

19.147 Um certo vibrômetro usado para medir

amplitudes de vibração consiste essencialmente numa

caixa contendo uma barra delgada que tem presa numa

das extremidades umbloquinho de massa m. O sistema

barra-bloquinho tem uma frequência natural de 8 Hz.

Quando se prende rigidamente a caixa à carcaça de um

motor que gira a 960 rpm, o bloquinho vibra com

amplitude de 2.03 m relativamente à caixa. Determine a

amplitude do movimento vertical do motor.

19.148 Um aro fino de raio r e massa m está

suspenso por meio de uma barra áspera como ilustrado.

Determine a frequência das pequenas oscilações do aro

(a) no plano do aro, e

(b) numa direção perpendicular ao plano do aro.

Suponha que o atrito é suficientemente grande para

impedir o deslizamento em A.

19.149 Um volante de 181 kg tem um diâmetro

de 0,812 m e um raio de giraçâo de 0,356m. Uma correia

é colocada ao redor da borda e presa a duas molas, cada

uma de constante k = 1.05 x 10 N/m. A tensão inicial na

correia é suficiente para impedir escorregamento. Se a

extremidade C da correia é puxada 0.0318m para baixo e

liberada, determine

(a) o período de vibração e

(b) a máxima velocidade angular do volante.

Figura.P19.149


24

24

Trabalho – Opcional

1. Reproduzir em laboratório de informática, usando

o programa interactive physics.

2. Encontrar para cada tipo de amortecimento, os

valores de:

0

kp

m

02 2cc m m p

3. Escrever a solução de y(t) para cada caso animado.

4. Elaborar os gráficos de velocidade versus tempo e

aceleração versus tempo para cada caso.

2a Parte:

Utilizando o programa Interactive Physics

(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do arquivo

osh2.ip e osh3.ip.

1. Para cada caso:

(a) Encontre a freqüência angular 0 natural.

Encontre o período T e a freqüência f.

Complete a tabela. Caso

i ke

(N/m) m

(kg) v0

(m/s) 0

(rad/s)

x0 (m)

T (s)

f (Hz)

1 0,75 0 0,25

2 0,75 0 0,25

3 0,75 0 0,25

(b) As equações x(t), v(t) e a(t) para cada caso, onde

x0 = 0.25 m e v0 = 0m/s.

Dados:

k = 50N/m; m = 0,75 kg

2. Dado o pêndulo simples com 0 = 20.

(a) Faça o cálculo do período para:

l = 0,2 m e l = 0,3 m.

(b) Encontre a freqüência angular para os valores do

comprimento do pendulo acima.

(c) Ache a função s(t) sabendo que em t = 0 v0=0.

3. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acoplado

a uma mola de constante elástica k = 400N/m e a um

amortecedor de constante de amortecimento c. Para cada

valor de c na tabela:


(b) Determine a constante de amortecimento

crítica cc.

(c) Classifique o amortecimento e forneça os

parâmetros importantes para cada caso classificado.

(d) Determine as funções posição x(t), velocidade

instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t), para as

condições iniciais: v0 = 0 e x0 = 5 mm.

(e) Construa os gráficos das funções posição x(t),

velocidade instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t).

Faça utilizando o programa graphdpr em:

www.claudio.sartori.nom.br

Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas.

Complete a tabela.

Ca

so i

c

(N.s

/m)

Cla

ssif

icaçã

o

am

oo

rtec

imo

Pa

râm

etro

s

x(t)

(m)

v(t)

(m/s)

v(t)

(m/s)

1 40

2 35

3 30

4 25

5 20

6 19

7 18

8 16

9 14

10 10

4. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acoplado

a uma mola de constante elástica k = 400N/m e a um

amortecedor de constante de amortecimento c. Para cada

valor de c na tabela:


(b) Determine a constante de amortecimento

crítica cc.

(c) Classifique o amortecimento e forneça os

parâmetros importantes para cada caso classificado.

(d) Determine as funções posição x(t), velocidade

instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t), para as

condições iniciais: v0 = 0.1m/s e x0 = 2 mm.

(e) Construa os gráficos das funções posição x(t),

velocidade instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t).

Faça utilizando o programa graphdpr em:

www.claudio.sartori.nom.br

Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas.

http://www.claudio.sartori.nom.br/

http://www.claudio.sartori.nom.br/


25

25

Complete a tabela.

Ca

so i

c

(N.s

/m)

Cla

ssif

icaçã

o

am

oo

rtec

imo

Pa

râm

etro

s

x(t) (m)

v(t) (m/s)

v(t) (m/s)

1 40

2 35

3 30

4 25

5 20

6 19

7 18

8 16

9 14

10 10

mecânica aplicada- n2 oscilações amortecidas e amortecidas...

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