11. indutância (baseado no halliday, 4a...

[Cristóvão R M Rincoski] p. 001

11. Indutância (baseado no Halliday, 4a edição)

11. Indutância Capítulo 11

Capacitores e Indutores

Capacitores Indutores

Capacitor: dispositivo que podemos

usar para produzir um determinado

campo elétrico numa certa região do

espaço.

Símbolo:

Indutor: dispositivo que podemos usar

para produzir um determinado campo

magnético numa certa região do espaço.

Símbolo:

+ + + + + + + + + +

− − − − − − − − − −

C

BE

i

i

L

O indutor está para o campo magnético assim como o capacitor está para o campoelétrico.



Onde:

N → número de espiras no indutor.N B → fluxo concatenado.

Indutância

Capacitor: colocando-se as cargas q+ e q−sobre as placas do capacitor, uma d. d. p.

aparece entre elas.

(definição de

capacitância)

Indutor: estabelecendo-se uma corrente i

num indutor, aparece em cada uma de

suas espiras um fluxo B, devido a esta

corrente e dizemos que as espiras estão

“concatenadas” por este fluxo.

(definição de

indutância)V

qC

def .

=i

NL B

def =

.

Unidade (L):

a) [L] = [B] / [i] → no S. I. → T m2 / A → recebe o nome de Henry (H)(homenagem a Joseph Henry).

A

W

A

mTH b

1

1

1

111

2

==

b) Valor unitário



Obs.: consideramos que nas vizinhanças de qualquer indutor, não existammateriais magnéticos (basicamente materiais ferromagnéticos → será visto mais adiante).

Indutância num Solenoide

Considerando um solenoide longo com a seção transversal A. Qual é a indutância,por unidade de comprimento, próximo ao seu centro?

n → número de espiras por unidade de comprimento do solenoide.ℓ → comprimento próximo ao centro do solenoide.B → módulo do campo magnético no interior do solenoide.A → área da seção transversal do solenoide.

R.: Primeiro vamos calcular o seu fluxo concatenado

1) e onde ==== ABdABdABAdBdef

B cos.

NnABNN B ==

ABnN B )( =

Cte em dA1( = 00)

2) Usando o campo magnético no interior de um solenoide, próximo ao seu centro(campo para solenoide infinito, ou, para solenoide cujo comprimento é

muito maior que o seu diâmetro → raio)

niB 0=

3) Da definição de indutância Ani

Anin

i

ABn

i

NL B

def

2

00

. )()()(

===

=



(indutância por unidade decomprimento, para um solenoidelongo, próximo ao seu centro)

AnL 2

0=

Obs.: 1) a indutância (assim como a capacitância) só depende de fatoresgeométricos.

2) Quando o comprimento do solenoide é muito maior que o raio, aequação acima representa a indutância com boa aproximação, ou seja, estamosdesprezando os “efeitos de borda” do campo magnético.

Indutância num Toróide

Considerando um toróide com a seção transversal quadrada. Qual é a indutânciade um toróide de N espiras e seção transversal retangular?

a

b

i

i

B

drr

h

R.: usar a definição de indutância.

1) Calculando o fluxo concatenado N B, do campomagnético do toróide

r

NiB

2

0=



O fluxo B é obtido da definição de fluxo ===b

a

def

B drhr

NidABAdB )(

2cos 0

.

1( = 00)

a

bhNir

hNi b

aB ln

2ln

2

00

==

=b

aB

r

drhNi

2

0

= xx

dxlnA integral é tabelada como

2) Usando a definição de indutânciaa

b

i

hNi

i

NL B

def

ln2

2

0.

=

=

a

bhNL ln

2

2

0

=

Obs.: 1) a indutância depende (novamente) somente de fatores geométricos eque N aparece ao quadrado.

2) Recordando: a capacitância pode ser escrita como 0 ℒ, onde ℒ temdimensão de comprimento e 0 de farad / m.

3) Aqui podemos dizer: a indutância pode ser escrita como 0 ℒ, onde ℒtem dimensão de comprimento.



→ problemas normais com campo magnético.

→ problemas com envolvendo indutores.mH

AmT

/104

/104

7

0

7

0

−

−

=

=

Auto-Indução

Se duas bobinas (que podemos chamar de indutores) estiverem próximas uma daoutra, quando uma corrente i percorre uma bobina, produzirá um fluxo magnético,B, na outra.

Variando o fluxo (variando a corrente), uma fem induzida aparecerá na segundabobina → Lei da Indução de Faraday.

“Uma fem induzida, L, aparece na bobina quando variamos a corrente nestamesma bobina.”

este processo → auto-indução.fem induzida → fem auto-induzida.

A fem auto-induzida obedece a Lei de Faraday como qualquer outra fem induzida.



+

−

L

i

i

R

Se variamos a corrente na bobina, L, movendo-se a posição docontato sobre o resistor R, uma fem auto-induzida L, aparecerá nabobina, enquanto a corrente estiver variando.

Para qualquer indutor: ou iLNi

NL B

Bdef

=

=.

Da Lei de Faradaydt

diL

dt

iLd

dt

Nd

dt

dN BB

def

L −=−=

−=

−=)()(.

Cte no tempo

dt

diLL −= (fem auto-induzida)

Conclusão: 1) num indutor qualquer (bobina, solenoide, toróide), uma fem auto-induzida aparece sempre que a corrente varia no tempo.

2) Podemos encontrar o sentido da fem auto-induzida, usando a Leide Lenz.

“A fem auto-induzida atua de modo a se opor a variação da corrente que aproduziu.”



i (crescendo)

l

L

i → aumenta no tempo numa taxa di / dt.

Quando a corrente i estiver crescendo, a fem induzida l aparece emcada espira, e uma fem auto-induzida aparece ao longo da bobina, L, emum sentido que se oporá ao crescimento desta corrente.

Usamos a Lei de Lenz para indicar a fem induzida, e a fem auto-induzida,oposta a variação da corrente no tempo (di / dt).

A seta representando L, pose ser desenhada ao longo de uma espira da bobina, ouao lado da bobina representando a auto-indução total.

i (decrescendo)

l

L

i → diminui no tempo numa taxa di / dt.

Quando a corrente i estiver diminuindo, a fem induzida (auto-induzida) L

aparece em um sentido tal que se oporá à diminuição desta corrente.

Vimos que, quando uma fem e um campo elétrico são induzidos por um fluxomagnético variável → Não podemos definir um potencial elétrico.

Isto é, então e .00

.

=−==−= f

i

ifdef

if sdEq

WVVV 0=

−= dt

dsdEVV B

if

Portanto, quando uma fem auto-induzida é produzida no indutor, não podemosdefinir um potencial no interior do indutor (onde o fluxo estiver variando). Entretanto,podemos definir um potencial em pontos do circuito, fora desta região → forado indutor.



Podemos definir uma d. d. p. , VL, através de um indutor (entre os seus terminais,que supomos localizados fora da região de fluxo variável).

Indutor Ideal → seu fio tem resistência desprezível, e o módulo de VL é igual aomódulo da fem auto-induzida L, isto é, VL = L.

Indutor Real → tem uma resistência interna r, isto é, consideramos com sendouma resistência r em série com um indutor ideal de fem L, ou seja, VL = L − r i.

Circuito RL

Fazendo um paralelo com o circuito RC.

Circuito RC Circuito RL

+

−

S

a

b

R+ −

C+

−

S

a

b

R

+

−

L

+

−

+ −




1o) Chave S em a (carga de capacitor)

para C = R C → Cte de tempo

capacitiva

q = 0,63 C

2o) Chave S em b (descarga de capacitor)

para C = R C

q = 0,37 C

1o) Chave S em a (corrente crescendo)

para L = L / R → Cte de tempo indutiva

i = 0,63 / R

2o) Chave S em b (corrente diminuindo)

para L = L / R

i = 0,37 / R

=+ CR VV

)1( / CRteCq

C

q

dt

dqR

−−=

=+

=+ LR VV

)1( / LRteR

i

dt

diLRi

−−=

=+

0=+ CR VV

CRteCq

C

q

dt

dqR

/

0

−=

=+

0=+ LR VV

LRteR

i

dt

diLRi

/

0

−=

=+




Unidade (C)

[C] = [R] [C] → 1W 1F → 1s

Unidade (L)

[L] = [L] / [R] → 1H / 1W → 1s

VR

t

corrente crescendo

/r

i

t

corrente crescendo

VL

t

corrente crescendo

/r

i

t

corrente decrescendo

VR

t

corrente decrescendo VL

t(s)

corrente decrescendo

−



Energia Armazenada num Campo Magnético

Cargas & Campo Elétrico → quando afastamos duas cargas de sinais opostosdizemos que a energia potencial elétrica resultante fica armazenada no campoelétrico das cargas. Podemos reaver esta energia do campo, deixando que ascargas se aproximem.

Do mesmo modo podemos dizer que, a energia pode ser armazenada num campomagnético:

dois fios, rígidos e paralelos, transportando corrente elétrica de mesmosentido, atraem entre si, de modo que, para afastá-los devemos realizar umtrabalho

→ fazendo isto dizemos que estamos armazenando energia no campomagnético.

+

− L

i

i

Rx y

z

dt

diLRi += (Regra das Malhas → Conservação da Energia).

Se multiplicamos ambos os lados da equação por i:

dt

diiLRii += 2 (podemos interpretar → trabalho e energia).



1o) Bateria → quando dq atravessa a bateria de fem num intervalo dt, temosdW = dq

idt

dq

dt

dWP

=== → Taxa com o que o dispositivo de fem transfere energia

i

2o) i2 R → taxa com que a energia aparece sob forma de energia térmica no resistor

3o) → esta energia não aparece como energia térmica, mas de acordo

com a conservação de energia, deve ficar armazenada no campo magnético doindutor (dUB/dt)

dt

diiL

diiLdUdt

diiL

dt

dUB

B == ou integrando temos

2

2

1iLU B = (energia armazenada no campo

magnético do indutor).

C

qUU EE

2

2

==Similar a ou .2

2

1VCUU EE ==

Densidade de Energia num Campo Magnético

Antes: tratamos de energia potencial magnética armazenada no campo magnéticode um indutor percorrido por corrente elétrica.

Agora: voltamos a nossa atenção para o próprio campo magnético.



Densidade de Energia Magnética (uB):

.

.

Vol

Uu B

def

B =

Problema: considere um solenoide longo de seção transversal de área A e decomprimento ℓ próximo ao eixo do solenoide.

Como o campo magnético fora do solenóide é praticamente nulo, Vol. = A ℓ de

inBAnLiLUA

Uu B

BB 0

20

2

2

1 ====

usando , e então

0

2

2

BuB = (densidade de energia magnética –

resultado totalmente geral).



Indução Mútua

Voltando às duas bobinas que interagem, vimos que:

“se duas bobinas estão próximas uma da outra, uma corrente constante i numabobina estabelecerá um fluxo magnético através da outra bobina. Variando-se icom o tempo, uma fem dada pela Lei de Faraday, aparece na segunda bobina →processo chamado de Indução.”

O nome correto deveria ser indução mútua → isto sugere a interação mútua dasduas bobinas distinguindo da auto-indução.

+ −

Bobina 1

G

Bobina 2

i1 i1

N1 N2

linhas de campo de B1

Duas bobinas circulares compactas, próximas uma da outrae com eixo central em comum.

i1 → corrente na bobina 1 produzida pela bateria (cria ocampo B1)

A bobina 2 está conectada a um galvanômetro sensível G,mas não tem bateria.

1

2121

i

NM

def = (indutância mútua da bobina 2 em

relação a bobina 1).



Compare com L = N /i → definição de auto−indutância

Fazendo M21 i1 = N2 21 e derivando em relação ao tempo:

dt

d

dt

dN

dt

idM B

−=

= 212

121 com (Lei de Faraday)

dt

idM 1

212 −= (fem na bobina 2 devido a 1)

Trocando os papéis desempenhados pelas bobinas 1 e 2:

dt

idM 2

121 −= (fem na bobina 1 devido a 2)

Então:

“a fem induzida em qualquer uma das bobinas, é proporcional à taxa de variação dacorrente na outra bobina.”

As constantes de proporcionalidade M21 e M12 podem ser diferentes, mas:

“afirmamos sem provas que elas são iguais”



Então:

MMM == 1221

dt

idM 1

2 −=

M → indutância mútua

dt

idM 2

1 −=

Unidade (M):

a) [B] = [] / ([i] [t]) → no S. I. → V / (A / s) → recebe o nome de Henry (omesmo que para L → H).

A

mTH

1

111

2

=

b) Valor unitário

Um Detector de Metais

Detector de Metais: consiste essencialmente de duas bobinas perpendiculares.



ir

it

Bobina receptora

Cr

Bobina transmissora

Ct

Moedas soterradas

Enviando-se uma corrente it que varia senoidalmenteatravés da bobina transmissora, Ct, produz-se, nasvizinhanças desta bobina, um campo magnético quevaria continuamente.

Um material condutor (tal como uma moeda), ficasujeita ao campo de Ct que induz uma corrente quevaria continuamente → funciona como uma bobina 2.

A corrente induzida variando continuamente nocondutor (moeda), produz seu próprio campomagnético que varia continuamente → induz ir nabobina receptora Cr.

Para Ct não induzir em Cr, as duas bobinas são montadas com seus eixos centrais,perpendiculares (entre si).

1) O campo magnético de Ct é aproximadamente paralelo ao plano das espirasde Cr.

2) Nesta configuração, Ct não produz fluxo através de Cr, portanto, não induzcorrentes em Cr.

Lista de Exercícios Complementar 11

2E) pág. 2485P) pág. 2486P) pág. 2488P) pág. 24812E) pág. 24915E) pág. 24929E) pág. 25034P) pág. 25046P) pág. 25147E) pág. 25150P) pág. 25154) pág. 252



11. indutância (baseado no halliday, 4a...

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