aula - oscilações amortecidas e forçadas
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OscilaçõesTRANSCRIPT
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Oscilaes Amortecidas
e Foradas
RLN -2009
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Oscilaes amortecidasSistema massa-mola
Sero somente analisadas situaes onde a fora de resistncia viscosa Fa proporciocinal, velocidade, Fa=-x, e a fora de atrito com o solo desprezvel.
.
Considere um sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso
000
Fa
m
x
F- kxkFa
m
x
F-km
x
F=-k
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O coeficiente de resistncia viscosa sempre positivo. No caso de objetos esfricos tem-se que
=6pipipipir, onde r o raio da esferae a viscosidade do meio.
Valores tpicos de viscosidade
Fluido (N.s/m2)
Ar 1,8x10-5Acetona 4,0x10-4gua 1,0x10-3Glicerina 1,2x101Piche 6x1010
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A equao de movimento ser escrita como
)1-
020
s]([decaimentodetante-conschamadaaeoscilaode
freqnciaamkonde0,xxx
da0kxxxmsejaoukxxFaFxm
=
==++
=++
=+=
&&&
&&&
&&&
x+x+0x=0... 2
Equao do oscilador harmnico amortecido
Equao diferencial linear de segunda ordem homognea
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x+x+0x=0... 2
Soluo da equao diferencial
A soluo ser a funo complexa z(t)=ept, ondep complexo e z(t)=x(t)+iy(t)
.Derivando obtemos z=pept e z=p2ept
..
0)p(pe0epeep 202ptpt2
0ptpt2 =++=++
Para que a equao seja satisfeita para qualquerinstante de tempo t devemos ter
0pp 202 =++ Equao caracterstica da equao do oscilador
harmnico amortecido
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Soluo da equao caracterstica
20
2202
4224
p ==
A equao caracterstica tem sempre 2 razes
dupla.realraiz1temequaoa04
Se 3)
reais.solues2temequaoa04
Se 2)
complexas.solues2temequaoa04
Se 1)
20
2
20
2
20
2
=
>
-
Discusso das possveis solues
21) ))))
+=
tcos(Aex(t) t2
O sistema oscilatrio, mas no peridico. O sistemaaps um tempo longo estar na posio de equilbrio
Amortecimento sub-crtico
422
0 =
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2
2) >0t
2(-t
2(-
beaex(t))))))))) +
+=
A soluo x(t) a soma de duas exponenciais decrescentes. O sistema no ser mais oscilatrio
Amortecimento super-crtico
20
2
4 =
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2
3) =0
Pode-se mostrar que a soluo geral neste caso ser
bt)(aex(t)t
2-
+=
)2( 0x
4xx de Soluo 0
2 ==++ &&&
Amortecimento crtico
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Pode-se mostrar que, para as mesmas condies iniciais, o amortecimento crtico aquele onde o movimento retorna mais rapidamente posio de equilbrio.
Valores numricos: m=1,0 kg e 0 =1,25 s-1
1) Subcrtico => A=0,41 m ;=-0,20 rad ; e =0,50 s-1 2) Crtico => a=0,40 m ; b=0,50 m/s e =2,5 s-1 3) Supercrtico => a=0,56 m ; b=-0,16 m/s e =3,0 s-1
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Balano energtico
Caso subcrtico - Amortecimento fraco (
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Oscilaes foradase amortecidas
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Oscilaes foradas e amortecidas
A fora de resistncia viscosa Fa proporciocinal velocidade, Fa=-x, e a fora externa peridica dada por Fext=F0cos(t)
.
Considere um sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso e sujeito uma fora externa peridica.
- x
m
0 x
-kxk
Fext
- x
m
0 x
-kxkm
0 x
-kxk
Fext
.
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A equao de movimento ser escrita como
externa.freqnciaedecaimentodeconstanteaoscilao,denaturalde
freqnciaamkondet),cos(
m
Fxxx
dat)cos(Fkxxxmsejaout)cos(FkxxFFaFxm
002
0
0
0ext
==++
=++
+=++=
&&&
&&&
&&&
Equao do oscilador forado e amortecido
x+x+0x= cos(t)... 2 F0
m
Equao diferencial linear de segunda ordem no homognea
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x+x+0x= cos(t)... 2 F0
mSoluo Geralx(t)=xh(t)+xp(t)
Soluo da homegnea Soluo particular
A soluo da homegnea j foi discutida. Por exemplose
2
-
2202
1
222220
0 arctane1m
FA(
)))) ))))((((
=
+
=
xp(t)=A()cos[t+()]
Equao de um oscilador harmnico de freqncia amplitude A() e fase inicial ()
Soluo Particular
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Ressonncia de Amplitude
A amplitude A() da soluo estacionria mxima
2 02
222e0dd
mnimofor quando mxima A(
220
AR
2220
2220
222220
222220
0000
))))
==+
=+=+
+
Efeito da ressonncia
+=
-
+
+
2222
2222
))))
))))((((000
0
22
00
020
22
020
0
arctanarctan
4
12m
F
4
1m
FA(
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- 2
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kx)x(mxdtdE(t)kx
21(t)xm
21E(t) 22 +=+= &&&&
F(t)xmkxxm +=+ &&&
(t)Pxm(t)xF(t)xmdtdE 22 +=+= &&&
Balano Energtico
O segundo membro desta equao representa o balanoentre a potncia dissipada pela fora de resistncia viscosa e a potncia fornecida pela fora externa.
Regime estacionrio
x(t)= A()cos[t+()]x(t)=-A()sen[t+()].
x(t)=-2A()cos[t+()]=>x=-2x.. ..
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20
2 mk e x-x Mas F(t).xmkxxm ==+=+ &&&&&
tsen(AtAcos(t)Acos(-mdtdE 22
0 )])])])])[)[)[)[))))(((( +++=
tsen[2(A21)Am
dtdE 2
022 )])])])](((( +=
x)x-mdtdE 22
0&= ((((
Tomando a mdia sobre um perodo
0tsen[2(A21)Am
dtdE 2
022 =+= )])])])]((((
No regime estacionrio, em mdia, a energia se conserva
xm(t)P0(t)PxmdtdE 22 && ==+=
No regime estacionrio a potncia mdia fornecida pelafora externa igual a potncia mdia dissipada pelapela fora de atrito.
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t(senAm xm(t)P 2222 )))) +== &
])2m[(F
Am21P
222220
22022
+
==
12
])11
2m
FP Definindo
20
2220
20
0
((((
+
==
010)1
rdenominado do mnimoP de mximoValor
(((( ===
0PR Potncia de aRessonnci =
2 Amplitude de aRessonnci
220
AR
=
PR
AR )0( fraco ntoamortecime o Para
-
Oscilaes acopladas
M
m
d
k
Se M>>m => oscilaes foradas.O pndulo menor oscila com a freqncia do pndulo pesado.
Pndulos idnticos
mm
k
ll
d
)
)
12
1 2
x1 x2
As equaes que descrevem o sistema so as seguintes:
mkxxxxlgxxxx
2112
212
202
2012
211
201
=
=
=
=
+
+
)()(
&&
&& }Sistema de equaes diferenciais
acopladas
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Soluo do sistema de equaes
21
2022
e 1 ,2 ,1
2221012
2221011
2esarbitrriaconstantessoAA
)tcos(A)tcos(A(t)x)tcos(A)tcos(A(t)x
+=
++=
+++=
Modos Normais
x1 x2
Modo simtricox1 x2
Modo assimtrico
x1=x2mola relaxada
lg
0 =
x1=-x2mola distendida
mk2
lg
0 +=
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Caso ParticularPndulos partindo do repouso com um deles partindo
da posio de equilbriox1(0)=A ;x2(0)=0 e x1(0)=x2(0)=0
..
21
202202
201
2 ; t)]cos(t)[cos(2A(t)x
t)]cos(t)[cos(2A(t)x
+==
+=
t)]t)sen(2
Asen((t) x
t)]t)cos(2
Acos((t) x
)(e)(21 Definindo
2
1
0202
=
=
== +
Simulao
t
t
x1
x2
A
-A
Batimento (
-
Outro exemplo de oscilador acoplado
Modo simtricox1=x2 m
k0 =
Modo assimtricox1=-x2 m
k30 =
Oscilaes longitudinaisModos normais
Molas relaxadas
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Oscilaes transversais 3 molas igualmente esticadas
T0 magnitude da fora restauradora => T0=k(a-d)
Modos normais
Modo simtricomaT0
0 =
Modo assimtricoma3T
00 =
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Modos transversais de 4 partculas
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