Movimento Harmônico Simples

IntroduçãoOscilar significa mover-se de um lado para outro, movimentar-se

alternadamente em sentidos opostos, mover-se, tornando a passar (ao

menos aproximadamente) pelas mesmas posições.

Periódico significa que se repete com intervalos regulares.

Movimento Harmônico Simples (1D) pode ser definido como

aquele em que a posição obedece a equação:

ˆφω +=r

itAtx ˆ)cos()( φω +=r

PeríodoPara a fase φ = 0:

tTt

TtAtA

πωω

ωω

2)(

)](cos[)cos(

+=+

+=

fT

T

tTt

ππ

ω

πω

πωω

22

2

2)(

==

=

+=+

Velocidade, Aceleração

ˆ)()(

ˆ)cos()(

itAsendt

xdtv

itAtx

r

rr

r

φωω

φω

+−==

+=

)()(

ˆ)cos()(

2

2

txta

itAdt

vdta

rr

rr

ω

φωω

−=

+−==

Força

ixmamF ˆ2ω−==rr

Movimento harmônico simples é o movimento

executado por uma partícula de massa m sujeita a

uma força que é proporcional ao deslocamento da uma força que é proporcional ao deslocamento da partícula, mas com sinal contrário.

mT 2

k= π

2ωmkxkF =⇒−=rr

m

k=ω

mT 2

k= π

1 1= =

π

1 1f

T m2

k

Movimento Harmônico X

Circular Uniforme

Fasores

Energia no MHS

De forma análoga ao sistema massa-mola:

2

)(cos

2

)()(

222tkAxk

tU+

==φω

r

r

2)()()(

2

)(

2

)()(

22

2

222

kAtUtKtE

tsenkAvmtK

=+=

+==

φωr

MHS Angular

tA

Ik

I

k

+=

=−

=

−=

θφωθ

αθθ

ατ

θθτ

ˆ)cos(

ˆ

ˆ

r

r

r

rr

r

I

k

k

IT

t

tA

tsenA

==

−=

+−=

+−=

ωπ

θωα

θφωωα

θφωωϖ

2

)(

ˆ)cos(

ˆ)(

2

2

rr

r

r

Pendulo Simples

Não linear, não é harmônico simples.

Mas, para θ pequeno, sen(θ) ->θ:

mgF mg xθ≈ − = −

θθ ˆmgsenF −=r

mgF mg x

Lθ≈ − = −

= πL

T 2g

= =k g

wg L

Pêndulo Físico

( )mgdsen mgdτ θ θ= − ≈ −

θ = α => α = − θmgd

(mgd) II

2d mgdθ2

2

d mgd

dt I

θθ= −

mgdw

I=2

IT

mgdπ=

Oscilações Amortecidas

2

2

0xkdt

xdb

dt

xdm

amxkvb

=++

=−−

rrr

rrr

2

2

2/

2

4

ˆ)cos()(

0

m

b

m

k

itAetx

xkdt

bdt

m

mbt

−=′

+′=

=++

−

ω

φωr

Oscilações Amortecidas

Nas não amortecidas.

2)()()(

2kA

tUtKtE =+=

Se o amortecimento for pequeno.

2)(

2

/2 mbtekA

tE−

≈

itAetxmbt ˆ)cos()( 2/ φω +′= −r

Oscilações Forçadas e

Ressonância