UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL II (5268)

OSCILAÇÕES MECÂNICAS

Turma: 005 – Engenharia Química

Acadêmicos Isabela Berbel Vargas Ricardo Henry Sousa Hassegawa Vitor Eugênio Finco

Professora: Hatsumi Mukai

MARINGÁ-PR

16 de setembro de 2010

RESUMO

O experimento realizado em laboratório e descrito neste relatório teve como objetivo a determinação da constante elástica de molas de forma estática para obter a equação da constante elástica de uma mola em movimento horizontal (caso dinâmico). Para isso foi montado um sistema constituído por um suporte que sustentava um fio inextensível em cujas extremidades era presa uma mola e na outra um “clips” que suportava diferentes massas. Como resultados, foram obtidos as constantes elásticas de três molas helicoidais e a equação da constante elástica de molas em oscilação a partir do resultado encontrado para a constante elástica das molas no caso estático. A determinação da constante elástica das molas nos casos estático e dinâmico foi feita através da análise de gráficos construídos para observar o comportamento das molas quando submetidas a diferentes trações devidas à reação à força peso que as diferentes massas submetiam o sistema.

1. INTRODUÇÃO

Em 1660, R. Hooke (1635 – 1703) estudou o comportamento de sistemas elásticos formados por molas e observou que a deformação sofrida por uma mola com uma de suas extremidades fixa a um suporte aumentava com o aumento da massa suspensa na sua outra extremidade.

Com base em seus estudos, Hooke concluiu que os sistemas obedeciam a um comportamento que ficou conhecido como Lei de Hooke:

“As forças que causam deformação em corpos elásticos é proporcional à deformação causada.” (Lei de Hooke)

Sendo um corpo qualquer exercendo uma força de distensão em uma mola, a mola exercerá sobre o corpo a chamada Força Elástisca (퐹 á ). Matematicamente, a Lei de Hooke é expressa da seguinte forma:

퐹 á = −퐾∆푥

- Em que K é a constante elástica da mola, que representa a dureza da mola. Quanto maior o valor de K, maior a dureza da mola e mais força é necessária para provocar uma deformação. No S.I. a unidade de K é Newtons/metro (N/m).

-Em que ∆풙 é a deformação sofrida pela mola, e vale ressaltar que esta deformação não deve ultrapassar o limite elástico da mola/corpo, pois caso isso aconteça não haverá recuperação das formas da mola/corpo e diremos que houve uma deformação permanente.

O sinal negativo na fórmula indica que a força exercida pela mola sobre o corpo é uma força restauradora, isto é, uma força que atua no sentido de desfazer a deformação causada na mola.

OBJETIVOS

O experimento realizado em laboratório tiveram como objetivos principais a determinação da constante elástica de molas no caso estático, para assim pode obter a equação de uma mola em oscilação.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1. Aplicação da Lei de Newton ao sistema utilizado no experimento

O sistema montado e utilizado no experimento é composto de uma mola helicoidal fixa em um suporte lateral no trilho da Azeheb (ou da Pasco). Na outra extremidade da mola, fixa-se um fio inextensível que passa por uma roldana e suspende diferentes massas com valores conhecidos. Observe a Figura 01 que mostra a esquematização da montagem do sistema:

Figura 01 – Esquema da montagem do sistema utilizado para o estudo e determinação da constante elástica de algumas molas.

Observando o esquema, temos que:

1) 푭⃗풆풍á풔풕풊풄풂 é a força exercida pela mola sobre o corpo, e tem o sentido contrário à atuação da força peso do corpo sobre a mola;

2) 푻⃗ é a força de tração que transfere a força exercida pelo corpo sobre a mola (força peso) através do fio, considerado inextensível e sem massa;

3) ∆풙 = 풙 − 풙ퟎ indica o quanto a mola está deslocada do seu ponto de equilíbrio, sendo que 푥 é o ponto de equilibro (onde a deformação da mola é nula, ou

seja, quando não há forças atuando no sentido de alterar o comprimento da mola) e 푥 é a nova posição que a mola ocupa quando é exercida uma força sobre ela.

2.2. Movimento Harmônico Simples (MHS)

Na natureza existem diversos tipos de movimentos em que pode ser observada certa periodicidade. Um tipo bastante simples, mas de grande interesse são os movimentos oscilatórios em que a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento x da posição de equilíbrio. Quando isso ocorre, dizemos que o corpo elástico é ideal e obedece à lei de Hooke. A montagem experimental descrita neste relatório é um exemplo de sistema em que ocorre esse tipo de oscilação, mais conhecida como Movimento Harmônico Simples (MHS).

2.3. MHS e o Movimento Circular e Uniforme

Quando o sistema massa-mola mostrado na Figura 01 é posto a oscilar horizontalmente, verifica-se que um ponto situado na junção do fio inextensível com a mola percorre um caminho de vai-e-vem em torno de uma reta. Se colocarmos um corpo para girar em um movimento circular e uniforme, verificaremos que a projeção desse movimento representa de forma muito adequada o que ocorre no movimento de oscilação da mola, sendo que a reta percorrida no movimento de vai-e-vem do ponto na mola representa um diâmetro da circunferência. Observe a Figura 02 que representa a comparação entre o movimento de oscilação da mola com o movimento circular e uniforme.

Figura 02 – Comparação do movimento de oscilação da mola com um MCU.

Observe que à medida que ocorre o movimento de oscilação do ponto representado por uma bola cinza, um ponto representado por uma bola preta é a sua projeção sobre o eixo que representa um diâmetro do círculo no qual o mesmo corpo efetuaria um Movimento Circular e Uniforme.

2.4. Molas

Os materiais conhecidos como molas são aqueles que possuem características elásticas e que armazenam energia mecânica (energia potencial elástica). São geralmente feitas de aço temperado. As molas utilizadas no experimento realizado eram do tipo helicoidal (bobina).

2.5. Força Elástica

Na Física Clássica, uma mola pode ser vista como um dispositivo capaz de armazenar energia potencial elástica quando sujeita a uma deformação (compressão ou distensão).

Muitas das forças de interações entre dois ou mais corpos são caracterizadas como forças elásticas. Essas forças são devidas à deformação sofrida por um corpo elástico, que no caso dos experimentos descritos trata-se de uma mola helicoidal. O estudo das interações elásticas é mais interessante quando se é utilizado um corpo com propriedades elásticas apreciáveis, uma vez que não existem corpos perfeitamente rígidos. Nesse caso, uma mola comporta-se perfeitamente para o propósito deste estudo.

As deformações conhecidas como elásticas são aquelas que desaparecem quando cessam as forças que causaram esta deformação.

2.6. Caso Estático

Considerando o sistema montado em equilíbrio (sem oscilação horizontal e vertical), com uma determinada massa suspensa, e utilizando a 2ª Lei de Newton, teremos a seguinte expressão para a constante elástica no caso estático:

No eixo y No eixo x 푷⃗풔 = 푻⃗ , isto é, a resultante em y é zero

(푎 = 0). 푷풔 = 푻, mas 푷풔 = 풎풔.품, em que 푚 é a massa do corpo suspenso e 푔 é a aceleração da gravidade. Assim: 풎풔.품 = 푻(ퟏ)

푻⃗ = 푭⃗풆풍á풔풕풊풄풂 , isto é, a resultante em x é

zero (푎 = 0). 푻 = 푲∆풙(ퟐ)

Juntando as expressões (1) e (2), obtemos:

풎풔.품 = 푲∆풙

푲 =풎풔.품∆풙

(ퟑ)

2.7. Caso Dinâmico

Quando o sistema oscila em torno do ponto de equilíbrio 풙ퟎ, e por isso possui aceleração não nula, a abordagem muda e passa a ser considerada um caso dinâmico. Observe a Figura 02 que representa a nova abordagem do sistema:

Figura 02 – Esquema do experimento no caso dinâmico, mostrando as forças que atuam no sistema, bem como a posições da mola.

Como a resultante das forças agora não é mais nula, então, da 2ª Lei de Newton, temos:

∑푭 = 풎풂(ퟒ)

Mas a resultante das forças atuantes no sistema é a somatória da força elástica exercida pela mola sobre o corpo com a força peso exercida pelo corpo sobre a mola, ou seja, ∑퐹 = 푃 − 퐹 á . Assim:

푷풔 − 푭풆풍á풔풕풊풄풂 = 풎풂(ퟓ)

Porém, temos conhecimento de que a aceleração de um corpo é dada pela derivada de segunda ordem de sua função horária do espaço. Então:

풂 =풅ퟐ풙풅풕ퟐ

(ퟔ)

Dessa forma, substituindo o novo valor para a aceleração de (6) em (5), e sabendo que 푥 = 푥 + 푥 representa a posição da mola quando há uma força atuando sobre ela, temos, com as devidas substituições:

푃 − 퐾푥 = 푚푑 푥푑푡

Como 푥 = 푥 + 푥 , então:

푚 푔 − 퐾(푥 + 푥 ) = 푚푑 (푥 + 푥 )

푑푡

풎풔 −푲풙 − 푲풙풐 = 풎풅ퟐ(풙 + 풙ퟎ)

풅풕ퟐ(ퟕ)

Mas da parte estática sabemos que:

푚 .푔 = 퐾푥

Ou seja:

풙ퟎ =풎풔품푲

(ퟖ)

Assim, substituindo (8) em (7), teremos:

푚 − 퐾푥′ − 퐾푚 푔퐾

= 푚푑 (푥 + 푥 )

푑푡

푲풙′풎

+풅ퟐ풙′풅풕ퟐ

= ퟎ(ퟗ)

Resolvendo a equação diferencial (9), obteremos:

풙 (풕) = 푨풄풐풔(흎풕 +흋)(ퟏퟎ)

Onde A é a amplitude e 휑 uma fase qualquer.

Analisando a solução em (10) e obtendo para qual condição física é válida, deriva-se a equação (10) duas vezes, obtendo:

풙̈ (풕) = −흎ퟐ푨풄풐풔(흎풕 + 흋)(ퟏퟏ)

E substituindo (10) e (11) em (9), obtemos:

흎ퟐ =푲풎(ퟏퟐ)

Mas sabemos que o valor de 휔 é dado por

흎 =ퟐ흅푻(ퟏퟑ)

Em que T é o período do movimento de oscilação.

Assim, substituindo (13) em (12), obtém:

2휋푇

=퐾푚

4휋푇

=퐾푚

Finalmente, isolando K, obteremos a equação para a constante elástica da mola no caso dinâmico:

푲 = ퟒ흅ퟐ풎푻ퟐ

(ퟏퟒ)

3. Teoria de erros

As medidas experimentais são divididas em duas categorias:

medidas diretas: são medidas obtidas com o auxílio de instrumentos. Essas, dividem-se ainda em medidas diretas de uma única medida e medidas diretas de várias medidas.

Medidas indiretas: são quantidades numéricas obtidas através de equações cujos dados já determinados foram obtidos por meio de medidas diretas.

Uma medida experimental, seja ela direta ou indireta, deve ser expressa da seguinte maneira:

Grandeza medida = (valor da grandeza ± desvio da grandeza) unidade

Medidas diretas

Na execução do experimento, é necessário utilizar instrumentos variados, sendo muitos deles utilizados para coletar medidas, e essas estão associadas a uma incerteza, que representa a dúvida quanto à veracidade do resultado determinado pelo instrumento, comparado ao valor teórico.

Formas e/ou Equações para obter os desvios das grandezas mensuradas:

Uma única medida:

O desvio no caso da utilização de uma única medida é denominado incerteza, e essa pode ser obtida de duas maneiras. O fabricante do instrumento pode informar o valor, e assim, deve-se utilizar o desvio fornecido. Quando não tem um valor previamente estabelecido, adota-se a metade da menor divisão do instrumento de medida como a incerteza. Além disso, deve-se considerar outros tipos de influências como a de paralaxe, sendo esta acrescentada ao valor final. Um exemplo de incerteza foi quando se mediu o Δx da mola com a escala da trilho que estava dividida em centímetros, sendo que esta possui a menor divisão de 0,1cm, e então uma incerteza de 0,05cm.

Várias medidas

Para obter o valor da medida, é necessário fazer a média aritmética dos valores encontrados, utilizando-se a seguinte equação:

푥 =1푁

푥 =푥 + 푥 + ⋯+ 푥

푁(15)

Na qual x é a grandeza medida e N é o número de medidas efetuadas.

Com o valor médio determinado, o desvio padrão é dado pela seguinte equação:

휎 =1

(푛 − 1) (훿푥 ) (16)

Na qual δxi corresponde a diferença entre o valor médio, determinado pela média aritmética, e o valor da grandeza medida.

Um exemplo de medida direta de várias medidas é o tempo de oscilação da mola, que correspondeu a média das medidas dos três tempos encontrados.

Medidas indiretas

São resultados determinados com o auxílio de equações, como multiplicações ou

divisões, cujas variáveis já existentes, foram obtidos por meio de medidas diretas.

Quando é necessário utilizar essas equações para obter a grandeza desejada, aplica-se o logaritmo neperiano na equação, para assim obter a incerteza associada a grandeza.

ln푥 =휎푥(17)

Para calcular o Peso, utiliza-se a seguinte equação:

푃 = 푚 푔(18)

E aplicando o logaritmo na equação, lembrando que g possui um valor exato, e então seu desvio é zero, obtemos a seguinte equação:

휎 = 푃휎푚푚

(19)

Desvio percentual

Ao final do experimento, chegamos a um resultado obtido através de equações que envolvem as medidas encontradas durante a execução. Este é o resultado experimental. Porém, existe a teoria já desenvolvida, que informa os resultados teóricos do experimento, ou seja, os resultados ideais. Então, para verificar se a diferença entre os resultados esta dentro do esperado, e assim poder analizar os fatores que provocaram a dicrepância, calcula-se o desvio percentual através da seguinte equação:

퐷% =|푉 − 푉 |

푉100%(20)

4. Procedimentos Instrumentos: Trilho da Pasco Roldana Fio inextensível Clips 1 mola de comprimento 0,02m 1 mola de comprimento 0,04m 1 mola de comprimento 0,06m Régua (±0,05cm) Paquímetro (±0,05cm) Balança (±0,01g) Massas Cronômetro

4.1. Montagem do sistema

Para possibilitar a execução experimental, foi montado um sistema constituído de um trilho da Pasco, que possui um suporte lateral acoplado a si, responsável por fixar a extremidade de uma mola helicoidal no sistema. A outra extremidade da mola foi presa a um fio inextensível. Este passa por um roldana localizada na extremidade oposta ao suporte lateral do trilho, e tem como finalidade suspender diferentes massas com valores controlados, para evitar que esses ultrapassem 150g, pois assim pode ocorrer deformação da mola por excesso de massa. As massas são inicialmente presas com um laço a um pequeno pedaço de fio, e para suspender essas no fio inextensível que está ligado a mola, é utilizado um clips.

4.2. Etapa 1 - Parte elástica: nesta etapa, o objetivo era obter as constantes elásticas das molas

Após a montagem do sistema, colocou-se uma pequena massa de valor

indeterminado, presa ao fio por um clips, de maneira que a mola fique em equilíbrio, ou seja, sem “barriga” e assim paralela ao trilho. Esta posição é determinada com o auxílio de uma régua, colocando esta perpendicular à extremidade da mola ligada ao fio, e assim demarcando o valor determinado pela escala dada em centímetros existente no trilho. Esta é considerada a posição inicial(x0). Em seguida, outra massa com valor aferido em uma balança(±0,01g), foi suspensa junto ao fio. Observou-se um deslocamento e a posição final da mola teve seu valor verificado novamente na escala do trilho e anotado para assim obter a deformação (Δx). Mais três massas de valores determinados, sempre menores do que 150g, foram suspensas, uma por vez. Novamente, obteve-se um deslocamento para cada valor de massa suspensa, que representa a deformação. Realizou-se o procedimento três vezes, com molas de comprimentos 0,02m/0,04m/0,06m, sendo que estes valores foram obtidos com o auxílio de um paquímetro. As molas utilizadas possuem comprimentos proporcionais para poder obter uma relação de proporcionalidade entre elas. Com as variações verificadas, e relacionando essas com as respectivas massas deformadoras, foi possível determinar a constante elástica de cada mola.

4.3. Etapa 2.a - Comprimento da mola fixo e massas suspensas variáveis

Nesta etapa, foi selecionada uma das três molas utilizadas na Etapa 1. O sistema foi montado novamente agora apenas com a mola escolhida de 0,02m. Junto a massa responsável pelo estado de equilíbrio, foi acrescentado outra massa de valor determinado em uma balança(±0,01). Então, deslocou-se o sistema da condição de equilíbrio puxando o fio junto às massas até a mola atingir uma determinada deformação. Logo o sistema foi liberado, e iniciou-se a oscilação. Com o auxílio de um cronômetro, foi determinado o tempo total necessário para

realizar cinco oscilações completas. O tempo foi medido mais duas vezes. Dividindo o valor médio dos tempos pelo número de oscilações, obteve-se o período(T). O processo repetiu-se para mais 3 massas diferentes, que também tiveram seus valores determinados em uma balança e limitados para não deformar a mola por excesso de massa.

Etapa 2.b - Comprimento da mola variável e massa suspensa fixa

Nesta etapa foram utilizadas as três molas de diferentes constantes elástica, já determinadas na Etapa1 e escolheu uma das 4 massas já utilizadas para permanecer constante no sistema. A massa de valor 142,03g, que tem a finalidade de provocar deslocamento na posição inicial da mola, foi escolhida para permanecer suspensa. Em seguida, puxou-se o fio junto à massa, até um determinado deslocamento, fazendo com que o sistema abandonasse a condição de equilíbrio. Liberou-se o sistema, que começou a oscilar. Com o auxílio de um cronômetro, foi determinado três vezes o tempo total de cinco oscilações. O valor médio dos tempos foi dividido pelo número de oscilações para obter o período(T). O processo foi realizado três vezes, variando em cada vez o comprimento da mola em análise e permanecendo constante a massa suspensa.

5. RESULTADOS E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS

Nessa parte do relatório será demonstrado as grandezas obtidas experimentalmente e através dessas grandezas chegar ao que se espera teoricamente sobre o movimento.

5.1 – Parte Estática

5.1. a – Resultados medidos Experimentalmente:

A tabela a seguir contem os valores experimentais obtidos para a massa, variação da posição da mola.

Tabela 01 – valores dos comprimentos das molas, massa e variação do deslocamento com seus respectivos desvios.

L = (2,00±0,05) cm L = (4,00±0,05) cm L = (6,00±0,05) cm ms(g) ∆x(cm) ms(g) ∆x(cm) ms(g) ∆x(cm)

50,82±0,01 (4,50±0,05) 50,82±0,01 (9,00±0,05) 50,82±0,01 (16,10±0,05) 101,47±0,01 (9,40±0,05) 101,47±0,01 (19,00±0,05) 101,47±0,01 (31,90±0,05) 121,79±0,01 (11,40±0,05) 121,79±0,01 (23,00±0,05) 121,79±0,01 (38,10±0,05)

142,03±0,01 (13,40±0,05) 142,03±0,01 (27,40±0,05) 142,03±0,01 (43,40±0,05)

5.1. b – Interpretação dos resultados da parte 1:

Com os dados da tabela 01 foram obtidos os valores da força peso através da equação 푷풔 = 풎풔.품, e seus respectivos desvios através da equação (19) e seus resultados apresentados na tabela 02:

Tabela 02 – valores dos comprimentos das molas , da força peso, variação do deslocamento com seus respectivos desvios.

L = (2,00±0,05) cm L = (4,00±0,05) cm L = (6,00±0,05) cm Ps(dinas) ∆x(cm) Ps(dinas) ∆x(cm) Ps(dinas) ∆x(cm)

(4984±1).10 (4,50±0,05) (4984±1).10 (9,00±0,05) (4984±1).10 (16,10±0,05)

(9951±1).10 (9,40±0,05) (9951±1).10 (19,00±0,05) (9951±1).10 (31,90±0,05) (11944±1).10 (11,40±0,05) (11944±1).10 (23,00±0,05) (11944±1).10 (38,10±0,05)

(13928±1).10 (13,40±0,05) (13928±1).10 (27,40±0,05) (13928±1).10 (43,40±0,05) g = 980,665 cm/s2

A partir dos dados da tabela 02 será confeccionado um gráfico para as três molas:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

Y =-3037,55314+3244,90141 X

Y =6248,82876+4886,0868 X

Y =4710,57106+10057,42211 X

Peso

(din

as)

x(cm)

Mola 2cm Reta Ajustada Mola 2cm Mola 4cm Reta Ajustada Mola 4cm Mola 6cm Reta Ajustada Mola 6cm

Figura 01 – Gráfico ajustado da Força peso(dinas) pela variação do espaço ∆x(cm).

Como os gráficos são lineares logo a equação é do tipo:

P = C ∆x

Como a Força peso é dada em dinas e a variação do deslocamento é dado em centímetros a constante de proporcionalidade C tem unidade igual a dinas/centímetros, e no sistema representa a constante elástica da mola utilizada em cada caso.

De acordo com as equações das retas ajustadas os valores das constantes elásticas(K) são:

Mola de 2cm → K1=10057,42 dinas/cm

Mola de 4cm → K2=4886,09 dinas/cm

Mola de 6cm → K3=3244,90 dinas/cm

Entre as três constantes encontradas existe uma relação de proporção dada por:

K3= ,

= ,

A seguir será demonstrada essa relação por uma tabela normalizada entre as constantes elásticas (K) e os comprimentos das molas(L):

Tabela 03 – Valores normalizados da constante elástica e do comprimento da mola utilizada.

Constante Elástica (K) (Dinas/cm)

Comprimento da mola (L) (cm)

1 1 2,05 2 3,1 3

Através dos valores das constantes obtidas e da tabela normalizada pode-se concluir que a constante elástica varia linearmente em relação ao comprimento da mola, onde quanto maior o comprimento da mola menor o valor da constante elástica.

K α

5.2 – Parte Dinâmica

5.2.1 – Relação entre a massa e o período

5.2.1. a – Resultados medidos experimentalmente:

A tabela a seguir mostra os valores obtidos experimentalmente para a massa e o tempo de 5 oscilações:

Tabela 04 - Dados Experimentais. ms massa do sistema, tm tempo médio (5 oscilações).

L = (2,00±0,05) cm ms(g) t1(s) t2(s) t3(s) tm(s)

50,82±0,01 2,15 2,09 2,13 2,12±0,03 101,47±0,01 3,18 3,10 3,12 3,13±0,04 121,79±0,01 3,47 3,41 3,47 3,45±0,04 142,03±0,01 3,59 3,66 3,59 3,61±0,04

5.2.1. b – Interpretação dos resultados:

Com os dados da tabela 03 foi obtido os valores dos períodos médios através da

equação 푡 5 e seus desvios através da equação 휎푡 5 para cada valor de massa:

Tabela 05 – Valores das massas e períodos e seus respectivos desvios.

ms(g) Tm(s) 50,82±0,01 0,424±0,006

101,47±0,01 0,626±0,008 121,79±0,01 0,690±0,007 142,03±0,01 0,722±0,008

A partir da Tabela 04 foi feito um gráfico onde o logaritmo da massa esta localizada no eixo das ordenadas e o logaritmo do período nas abscissas.

-0,40 -0,35 -0,30 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2Y =2,39728+1,86474 X

Log

M

Log T

Pontos Experimentais Reta Ajustada

Figura 02 – Gráfico do log ms(gramas) pelo log Tm(segundos) para mola de L igual a 2 cm.

O gráfico obtido segue um polinômio como o demonstrado a seguir onde n é o grau do polinômio e C1 uma constante de proporcionalidade.

m =C1Tn (20)

Aplicando a função logarítmica na equação 20 tem-se que:

Log m = Log C1 + n.Log T

Utilizando da equação da reta ajustada na figura 02 para encontrar o valor de n que é o coeficiente angular da reta tem se que n = 1,865 ≈ 2.

Com o valor de n a Equação (20) acima pode ser escrita como:

m α T2

5.2.2 – Relação entre a constante elástica e o período

5.2.2. a – Resultados obtidos experimentalmente

Tabela 06 – Dados experimentais, valor fico da massa suspensa (ms), comprimento da mola L variável e t o tempo de cada oscilação.

ms = 142,03±0,01 g L (cm) t1(s) t2(s) t3(s) tm(s)

2,00±0,05 3,75 3,87 3,75 3,79±0,07 4,00±0,05 5,47 5,50 5,44 5,47±0,03 6,00±0,05 6,70 6,65 6,72 6,69±0,04

5.2.2. b – Interpretação dos resultados:

Com os dados obtidos na tabela 06, foram obtidos os valores para os períodos

através da equação 푡 5 e seu desvio através da equação 휎푡 5.

Tabela 07 – Dados Experimentais. L o comprimento da mola, K constante elástica obtida na parte I (estática), Tm é o período médio.

ms = 142,03±0,01 g L (cm) K(dinas/cm) Tm(s)

2,00±0,05 10057,41±38,25 0,758±0,014 4,00±0,05 4886,08±9,27 1,094±0,006 6,00±0,05 3244,90±3,97 1,338±0,008

Com os dados da Tabela 07 foi confeccionado um gráfico onde o Log K(constante elástica) esta no eixo das ordenadas e o Log T(período) nas abscissas:

-0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0Y =3,76421-1,98296 X

Log

K

Log T

Pontos Experimentais Reta Ajustada

Figura 03 – Gráfico do Log K (dinas/centímetros) pelo Log T(segundos) para massa ms = 142,03g.

A partir da Figura 03 foi possível determinar a relação entre as grandezas que segue o seguinte polinômio:

K = C2Tn (21)

Utilizando a função logarítmica tem-se que:

Log K = Log C2 + n.Log T

Como na equação da reta ajustada o coeficiente angular é o valor de n, tem-se então que n= -1,983 ≈ -2.

Com o valor de n a equação (21) acima pode ser escrita como:

K α

5.3 – União entre as partes 4.2 e 4.1

As relações obtidas anteriormente para massa e período e também para constante elástica e o período podem formar uma única relação envolvendo as três grandezas:

Como m α T2 e K α juntando as duas relações tem-se que:

T α (22)

Pode ser escrita como:

T =C

A unidade da constante de proporcionalidade entre T e é adimensional como

demonstrada abaixo:

C = // . ⁄

= adimensional

Utilizando a relação anterior e confeccionando um gráfico, aonde o período estará

no eixo das ordenadas e a nas abscissas, para obter o valor da constante de

proporcionalidade C:

0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,220,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4Y =-0,00876+6,44546 X

T(s)

(m/k)1/2(s)

Pontos Experimentais Reta ajustada

Figura 06 – Gráfico do período(segundos) pela raiz quadrada da razão massa/constante elástica(segundos).

Utilizando a figura 06 para obter o valor da constante de proporcionalidade C, temos que o valor de C é o coeficiente angular que pela equação da reta ajustada vale 6,45.

Substituindo o valor de C na equação (22), tem-se a equação final para o caso dinâmico:

T = 6,45 (23)

Que pode ser escrita como:

퐾 = 6,45 (24)

5.4 – Comparação das equações obtidas com as teóricas:

No experimento, o desvio percentual foi utilizado para analisar o “n” obtido na relação de proporcionalidade entre massa suspensa e período de oscilação na parte 4.2.1:

D% = | , , |,

.100% = 6,75%

Foi utilizado também para analisar o “n” da relação de proporcionalidade entre a constante elástica da mola e o período de oscilação na parte 4.2.2:

D% = | , ( , ),

| .100% = 0,85%

Como teoricamente a constante da equação (23) deveria ser igual a 2π, como é demonstrado na equação (14) na parte teórica, o qual tem um valor aproximadamente de 6,28, tem que o desvio percentual da constante de proporcionalidade C é dado por:

D%C=| , , |,

.100% = 2,7%

Testando essa equação para os valores de massa e período da tabela 04, obtemos os seguintes valores das constantes elásticas que diferem muito pouco dos obtidos na parte 4.1 como podemos ver nos desvios percentuais:

Tabela 08 – Valores das constantes elásticas obtidos pela equação teórica comparado com os valores obtidos experimentalmente para a mola de 2 cm.

m(g) T(s) Kdin Kest D% 50,82 0,424 11760,40 11074,98 5,8%

101,47 0,626 10772,29 10585,97 1,7% 121,79 0,690 10642,23 10476,77 1,5% 142,03 0,722 11335,09 10394,32 8,3%

6. Análise de Resultados

Durante a parte estática do experimento onde foram encontradas as constantes elásticas das molas, ocorreram algumas discrepâncias na medição do deslocamento realizado pela mola devido a utilização de uma régua que deveria ficar perpendicular a marcação no trilho e algumas outras imprecisões em relação a massa.

Na etapa dinâmica do experimento, que foi dividida em três partes, sendo a primeira parte onde deveria encontrar a relação entre a massa e o período, durante as oscilações ocorreram algumas discrepâncias em relação ao tempo que em que as 5 oscilações terminaram, pois foi utilizado um cronometro manual que é difícil de marcar o momento exato, alem desse problema a massa suspensa oscilava um pouco fazendo com que o período encontrado experimentalmente se alterasse, esses erros levaram a um desvio percentual de 6,75% no valor de “n”. Na segunda parte da etapa dinâmica onde se deveria encontrar a relação entre constante elástica e o período, onde novamente deveria se medir o tempo das oscilações através de um cronometro manual, apesar disso o erro encontrado nessa parte foi menor no valor de “n” e representou um desvio de 0,85%. A terceira parte da etapa dinâmica foi realizada uma união entre as duas partes anteriores onde os erros das mesmas foram levados juntos, culminando em um erro total de 2,7% no valor da constante de proporcionalidade da equação (23), que como demonstrado teoricamente na equação (14) deveria ser de 2π.

7. Conclusão

O experimento realizado teve como objetivo a determinação da constante elástica de três molas de comprimentos diferentes, sendo elas de 2cm, 4cm e 6cm, e determinar experimentalmente a equação da constante elástica no caso dinâmico. Como resultado, obteve-se, relacionando o valor de deslocamento da mola com o valor da massa suspensa obtidos no caso estático através da construção do gráfico de Peso(dinas) X Δx(deslocamento) da mola), a relação de proporcionalidade entre a constante elástica e o comprimento da mola, que são relacionadas inversamente, ou seja, conforme aumenta o comprimento, menor a constante. Assim, podemos concluir que quando se compara molas de mesmo material a constante elástica depende do comprimento. Com relação a parte dinâmica, encontramos experimentalmente a equação para a constante elástica relacionando os valores obtidos de período de oscilação, massa suspensa e constante da mola. A relação entre essas grandezas foi obtida através da construção dos gráficos de log Ms(g) X log T(s) e de log K(dinas/cm)X log T(s) e assim obtemos que o quadrado do período depende diretamente da massa, inversamente da constante elástica da mola e também diretamente de uma constante de proporcionalidade, a qual é adimensional, comparando essa equação obtida (23) com a equação teórica (14) para a constante elástica de uma mola em oscilação é encontrado um desvio de apenas 2,7% próximo ao resultado teórico.

8. Referências Bibliográficas

1) TIPLER, Paulo A. Física: Mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. São Paulo: LTC, vol 1. 5ª edição.

2) YOUNG & FREEDMAN, SEARS & ZEMANSKY, Física II: Termodinâmica e Ondas. São Paulo: Addison Wesley, vol 2. 12ª Edição, 2008.

3) H. MUKAI e P.R.G. FERNANDES, Apostila de Laboratório de Física I – capítulo 10 e apêndice E, 2008.

4) http://en.wikipedia.org/wiki/Wave acessado em 29/09/2010; 5) http://en.wikipedia.org/wiki/Hooke's_law acessado em 29/09/2010.