estudo das oscilaç˜oes amortecidas de um pêndulo f´ısico com o

Revista Brasileira de Ensino de Fısica v 37 n 2 2504 (2015)wwwsbfisicaorgbrDOI httpdxdoiorg101590S1806-11173721728

Estudo das oscilacoes amortecidas de um pendulo fısico

com o auxılio do ldquoTrackerrdquo(Study of damped oscillations of a physical pendulum with aid of ldquoTrackerrdquo)

Waldemar Bonventi Jr1 Norberto Aranha

Programa de Pos-Graduacao em Processos Tecnologicos e Ambientais Universidade de Sorocaba Sorocaba SP BrasilRecebido em 3112014 Aceito em 422015 Publicado em 3062015

A tecnologia tem permitido a obtencao de dados experimentais de forma mais rapida e facil atraves da uti-lizacao de dispositivos eletronicos que fazem parte do nosso dia a dia tornando os experimentos fısicos maisdinamicos e ate mais precisos se comparados com metodos tradicionais de medidas Neste trabalho sao apre-sentados os resultados e analise das medidas do momento de inercia de uma ripa O experimento foi filmadocom um smartphone e os dados analisados pelo software livre ldquoTrackerrdquo A funcao que descreve a oscilacaoamortecida teve seus parametros ajustados pelo proprio ldquoTrackerrdquo e pelo software Qtiplot Comparando-se oscalculos realizados a partir dos parametros medidos com os resultados obtidos dos programas conclui-se que oldquoTrackerrdquo e uma plataforma de estudo de movimentos com muitos recursos que permite um ajuste de funcoesmais preciso na analise dos dadosPalavras-chave oscilacoes amortecidas ldquoTrackerrdquo analise de erros momento de inercia

Technology has allowed obtaining experimental data faster and easier through the use of electronic devicesthat are part of our everyday life which makes physical experiments more dynamical and even more accurate ascompared to traditional measurement methods This paper presents the results and the analysis of measurementsof the moment of inertia of clapboard The experiment was filmed with a smartphone and the data was analyzedby the free software Tracker The function that describes the damped oscillation had its own parameters set bythe Tracker and the Qtiplot softwares in order to compare both of them Comparing the calculations based onthe measured parameters with the results from the programs it is concluded that the Tracker is a platform ofstudy with many features which allows more precise adjustment functions for the data analysisKeywords damped oscillations Tracker error analysis moment of inertia

1 Introducao

Alguns metodos para a determinacao do momento deinercia de um corpo que expressa o grau de dificuldadepara alterar o movimento do corpo em rotacao temsido discutidos na literatura Alguns autores tem apre-sentado montagens experimentais distintas para me-dir o momento de inercia de diferentes corpos rıgidos[1-3] Essas montagens envolvem basicamente a ob-tencao dos parametros experimentais atraves de dis-positivos eletronicos utilizando sensores mecanicos ouopticos O avanco da tecnologia tem permitido noentanto a obtencao de dados experimentais de formamais rapida e facil utilizando os mais diversos dispositi-vos eletronicos disponıveis atualmente no mercado taiscomo smartphones e tablets [4 5] Agregado a este fatotemos tambem hoje disponıveis na internet varios pro-gramas de captura de imagens e tratamento de dados

como por exemplo o ldquoTrackerrdquo [6-8] e o Qtiplot usadona analise de dados experimentais [9 10] O ldquoTrackerrdquopermite o ajuste de varias funcoes aos dados experimen-tais podendo tambem caso seja necessario ser cons-truıdo o proprio modelo matematico O programa Qti-Plot e outra solucao multiplataforma para visualizacaoe analise de dados experimentais Este programa ofe-rece uma solucao alternativa a softwares proprietariosextremamente caros Apresenta varias opcoes de ajus-tes de curvas a dados experimentais incluindo dadosespectrais multipicos e FFT O ajuste e minimizadopelo algoritmo de Levenberg-Marquadt a partir de umadada tolerancia

Essas facilidades em obter os dados experimentaise trata-los matematicamente viabilizam a discussao deconceitos fısicos atraves da realizacao de experimentosjunto aos alunos principalmente nas escolas publicas

1E-mail waldemarbonventiprofunisobr

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2504-2 Bonventi Jr e Aranha

carentes de laboratorios de fısica

A utilizacao de dispositivos eletronicos que fazemparte do dia a dia do aluno torna os experimentos defısica mais dinamicos em comparacao com as tecnicastradicionais utilizadas no laboratorio como por exem-plo a tomada de dados utilizando o cronometro e aregua

Neste trabalho foi realizada a filmagem do movi-mento oscilatorio de uma ripa com o auxılio de umsmartphone e os dados tratados com o auxılio dos pro-gramas ldquoTrackerrdquo e Qtiplot O momento de inerciada ripa obtido estaticamente (a partir das medidas desuas dimensoes geometricas) foi comparado com seu va-lor obtido de forma dinamica atraves da medida dafrequencia de oscilacao fornecida pelo ldquoTrackerrdquo

11 Oscilacao do pendulo fısico (metododinamico)

Corpos rıgidos suspensos de modo a oscilar livrementeem um plano vertical em torno de um eixo passandopelo corpo sao denominados pendulos fısicos Esta con-figuracao representa os pendulos reais que apresentamsua massa distribuıda por varias distancias relativa-mente ao eixo de suspensao generalizando o conceito dependulo simples Neste considera-se toda a sua massaconcentrada em um unico ponto a uma distancia cons-tante do ponto de suspensao

A Fig 1 ilustra um pendulo fısico generico onde oeixo de suspensao passa pelo ponto p A oscilacao resul-tante decorre da contribuicao da forca peso de cada ele-mento de massa do corpo ou seja cada pedaco do corpocom sua respectiva quantidade de massa estara sujeitoa forca gravitacional No caso de corpos extensos commassa total m os efeitos de rotacao e translacao sao de-vido a forca peso mg aplicada ao centro de massa deste[11] Este conceito vem das ideias de Arquimedes [12]

Chamamos de centro de gravidade de umcorpo ao ponto de aplicacao da forca gra-vitacional Ou seja e o ponto neste corpoonde atua toda a gravidade o ponto ondese localiza o peso do corpo Ele tambempode ser chamado de centro do peso destecorpo

Durante a oscilacao o corpo gira em torno do pontop (denominado pivo) com uma inercia rotacional Ip NaFig 1 sao representados o ponto p (pivo) a distanciaℓ do pivo ao centro de massa (CM ) do corpo a am-plitude A do movimento oscilatorio na direcao x e oangulo θ entre o vetor forca peso (mg) e a direcao aolongo da distancia ℓ Quando esta direcao nao estiveralinhada com a vertical aparecera um torque restau-rador τ proporcional ao deslocamento angular θ dadopor [13]

Figura 1 - Representacao do pendulo fısico Extraıdo da Ref[14]

τ = minusmgℓsenθ (1)

onde o sinal negativo exprime esta caracterıstica de res-tauracao - torque oposto ao deslocamento angular - le-vando o corpo a uma condicao de equilıbrio estavel

Por outro lado a dinamica dos corpos rıgidos relaci-ona este torque (ou momento da forca) a aceleracao an-gular α do corpo durante sua rotacao de forma analogaa segunda lei de Newton

τ = Ipα (2)

onde Ip representa o momento de inercia do corpo emrelacao ao ponto p (Fig 1) e α sua aceleracao angular

Da cinematica rotacional tem-se que a aceleracaoangular α e dada pela segunda derivada temporal dodeslocamento angular θ ou seja

α =d2θ

dt2 (3)

de modo que o movimento oscilatorio deste sistema edescrito pela seguinte equacao dinamica

Ipα = minusmgℓsenθ (4)

que explicitando em termos de θ produz juntamentecom a Eq (3) a equacao diferencial de segunda ordem

Ipd2θ

dt2+ mgℓsenθ = 0 (5)

Para oscilacoes de pequena amplitude a apro-ximacao senθ sim θ (para θ em radianos) simplifica aEq (5) para a forma

Ipd2θ

dt2+ mgℓθ = 0 (6)

permitindo uma solucao mais simples na seguinte forma

θ(t) = θ0 cos(ω t+ ϕ) (7)

Estudo das oscilacoes amortecidas de um pendulo fısico com o auxılio do ldquoTrackerrdquo 2504-3

onde θ0 e o angulo a partir da vertical onde se iniciamas oscilacoes e ϕ e uma constante de fase que e nulase o movimento teve seu inıcio cronometrado (t = 0)na posicao angular maxima θ0 ou se a cronometrageminiciou em outro valor θ ϕ e calculada em t = 0 comoθ = θ0 cosϕ rArr ϕ = arccos (θθ0)

A condicao de igualdade da Eq (6) para qualquerinstante t exige que

ω =

radicmg ℓ

Ip (8)

onde ω = 2πf e a frequencia angular do sistema osci-latorio sendo f a frequencia de oscilacao em Hz

A amplitude A do sistema e dada pelo deslocamentohorizontal (eixo x) usando o centro de massa como re-ferencia Uma inspecao geometrica da Fig 1 fornece

A = ℓ senθ0 (9)

Utilizando-se a aproximacao para pequenas os-cilacoes (senθ sim θ) a relacao (9) torna-se A = ℓθ0 epara qualquer posicao arbitraria na direcao horizontalx = ℓθ Sendo assim pode-se multiplicar a Eq (7) porℓ resultando em

x(t) = A cos(ω t+ ϕ) (10)

111 Solucao exata da Eq (5)

Para o caso de angulos maiores onde nao e aplicavela aproximacao senθ sim θ Beer e cols [15] mostramcomo obter a solucao exata da Eq (5) para um pendulosimples na forma de uma integral elıptica K definidade θ = 0 a θ = θMAX (θMAX = θ0 neste artigo)Esta solucao leva a um perıodo de oscilacao dado porT = (2Kπ)2π

radicℓg onde o termo entre parenteses

fornece a correcao necessaria para qualquer valor doangulo inicial θ0 (A deducao desta integral elıptica Ke um tanto longa entao optamos por nao apresenta-la

aqui) A fim de estimar esta correcao a Tabela 1 ex-traıda de Beer e cols [15] mostra o fator 2Kπ paraalguns valores de θ0

Para o caso de pendulo fısico a quantidaderadic

ℓg

deve ser substituıda porradicIpmgℓ deste modo o

perıodo fica

T =

(2K

π

) 2π

radicIpmgℓ

(11)

Consequentemente a frequencia angular(ω = 2πT ) para o caso anarmonico nao amorte-cido e dada por

ω =π

2K

radicmgℓ

Ip (12)

112 Oscilacoes amortecidas

Tais sistemas mesmo com oscilacoes de pequena am-plitude estao sujeitos ao atrito de rotacao do pivo ea resistencia do ar Isto inclui um torque τR contrarioao movimento que em primeira aproximacao e direta-mente proporcional a velocidade de rotacao dθdt emtorno do pivo

τR = minusb dθdt (13)

Desta forma a oscilacao e denominada amortecidasendo b a constante de amortecimento em que a ampli-tude de oscilacao diminui com o tempo Introduzindoeste termo adicional na Eq (6) obtem-se

Ipd2θ

dt2+ b

dθ

dt+mgℓθ = 0 (14)

Dividindo a Eq (14) por Ip tem-se

d2θ

dt2+

b

Ip

dθ

dt+

mgℓ

Ipθ = 0 (15)

rfloor

Tabela 1 - Fator de correcao do perıodo do pendulo em funcao da amplitude angular θ0

θ0 0 10 20 30 60 90 120 150 180

2Kπ 1000 1002 1008 1017 1073 1180 1373 1762 infinExtraıdo da Ref [15]

A solucao da Eq (15) e analoga ao caso massa-molaamortecido [16] Considerando a amplitude A do movi-mento como sendo ℓθ0 e a posicao na direcao x como ℓθa solucao da Eq (15) para pequenas oscilacoes resultaem

x(t) = Aeminusbt2Ip cos (ωt+ ϕ) (16)

onde x representa a amplitude horizontal de algumponto do corpo A a amplitude inicial para x em t = 0 b

a constante de amortecimento Ip o momento de inerciado corpo ω a frequencia angular de oscilacao e t o ins-tante de observacao da posicao do corpo na direcao x

E importante notar que a constante b refere-se aum amortecimento rotacional de dimensoes [M][L]2[T](kgm2s no Sistema Internacional de Unidades)

A manutencao da funcao cosseno na solucao da Eq(16) facilita a interpretacao fısica pois o movimentose inicia com amplitude maxima assim tem-se a fase


ϕ = 0

Como o objetivo deste experimento e comparar valo-res do momento de inercia Ip de acordo com os modelosestatico (usando a geometria da ripa) e dinamico (anali-sando sua oscilacao) deve-se considerar o deslocamentoda frequencia natural (ω) devido ao amortecimentoAssim iremos diferenciar a frequencia de oscilacao naoamortecida ω0 = 2πf0 da frequencia ω = 2πf devidoao amortecimento conforme a Eq (17)

ω =

radicω20 minus

(b

2Ip

)2

(17)

sendo ω0 equivalente ao obtido na Eq (8) Assimo calculo da frequencia angular para o pendulo fısicotorna-se

ω =

radicmgℓ

IPminus

(b

2Ip

)2

(18)

12 Calculo do momento de inercia (metodoestatico)

O momento de inercia de uma placa retangular relativoa um eixo perpendicular ao plano da mesma que passapelo seu centro de massa [11] e dado por

ICM = m

(h2 + w2

)12

(19)

sendo m a massa da placa h o seu comprimento e w asua largura

A placa utilizada no experimento e uma ripa de ge-ometria semelhante a um paralelepıpedo Nesta cate-goria a espessura (dimensao ao longo do eixo pivo) naocontribui para o valor do momento de inercia Ip

No caso em que o corpo oscila em relacao a um eixoque passa por uma de suas extremidades aplica-se o te-orema dos eixos paralelos [11] para reavaliar o momentode inercia Ip relativo ao novo eixo de oscilacao

Ip = ICM + mℓ2 (20)

onde ℓ e a distancia entre o eixo que passa pelo centrode massa (CM ) e o novo eixo paralelo a este posicio-nado na extremidade da placa Assim o momento deinercia recalculado para este novo eixo torna-se

Ip = m

[(h2 + w2)

12+ ℓ2

] (21)

Substituindo a Eq (21) na Eq (8) resulta na se-guinte expressao para a frequencia natural de oscilacaosem amortecimento

ω20 =

gℓ

h2 + w2

12+ ℓ2

(22)

A Eq (22) mostra claramente que a frequencianatural de oscilacao harmonica do pendulo fısico inde-pende da sua massa

Para o caso amortecido a frequencia apresentadana Eq (17) e reescrita como

ω =

radicradicradicradicradic gℓ

(h2 + w2)

12+ ℓ2

minus(

b

2Ip

)2

(23)

2 Materiais e metodos

Neste estudo foi utilizada como placa uma ripa de eu-calipto de massa m = (68 14 plusmn 0 01) g comprimentoh = (473 0 plusmn 0 5)mm largura w = (41 0 plusmn 0 5)mme espessura a = (10 0 plusmn 0 5)mm A massa da ripafoi aferida com balanca semianalıtica e suas dimensoesmedidas com uma regua

Para a determinacao da posicao do centro de massa(CM ) da ripa foram efetuados tres furos com 2 mm dediametro ao longo da sua extremidade Os dois furosexternos foram utilizados para a determinacao do CMpelo metodo do prumo [12] conforme ilustra a Fig 2Neste metodo dependura-se a ripa por um dos furos ex-ternos soltando-a do repouso Depois que a ripa osciloue atingiu o repouso dependura-se no mesmo alfinete ofio de prumo junto a ripa e novamente coloca-se oconjunto para oscilar Depois que o sistema ldquoripa + fiode prumordquo atinge o equilıbrio traca-se uma reta ver-tical que coincide com a direcao indicada pelo fio deprumo Faz-se o mesmo procedimento pendurando-se osistema no furo da outra extremidade da ripa O cruza-mento das duas retas indica a posicao do CM da ripaA distancia entre o furo central (eixo de oscilacao) e oCM da ripa foi medida com uma regua cujo valor foide ℓ = (234 0plusmn 0 5)mm

Figura 2 - Ripa com o fio de prumo utilizado para a determinacaodo CM


Outro valor necessario para determinar o mo-mento de inercia e o da aceleracao gravitacionalque nos calculos do dia-a-dia geralmente utiliza-seg = 9 8 ms

2 Segundo Lopes [17]

E notoria a dificuldade de alguns alunosque ingressam no curso superior em admitirque a aceleracao da gravidade nao seja umagrandeza fısica constante Afinal e naturalque apos um longo perıodo de tempo (pelomenos tres anos) usando 98 ms2 (ou seuvalor aproximado para 10 ms2) ficasse con-solidado na mente do aluno essa grandezafısica como sendo constante

Este valor de 98 ms2 para g e uma aproximacaouma vez que supoe a Terra como sendo uma esfera per-feita e com densidade homogenea Na realidade paradeterminar o valor de g tem-se que levar em consi-deracao a velocidade angular do planeta e o fato domesmo ser um referencial nao inercial Segundo Ma-roja e cols [18]

A fim de estimar o valor de g com maiorprecisao devemos nos reportar a mecanicaclassica e levar em consideracao que a Terrae um referencial nao inercial (acelerado) de-vido ao movimento de rotacao Tambem te-mos de levar em conta fatores estaticos suaforma geometrica de geoide (achatamentonos polos) bem como a altitude do local

Devido a velocidade angular e ao achatamento doplaneta a aceleracao da gravidade a partir do nıvel domar aumenta seu valor ao percorrer-se um meridianono sentido dos polos Varios autores tem proposto di-ferentes expressoes matematicas para determinar o va-lor da aceleracao da gravidade levando-se em conta alatitude eou a altitude local [18-21] Neste trabalhousaremos a seguinte expressao que considera tanto alatitude quanto a altitude para determinar o valor deg na cidade de Sorocaba - SP [19]

g = 9 7803184[1 + 0 0053024sen2Lminus0 0000059sen2(2L)]minus 3 08610minus6H (24)

onde L e a latitude e H a altitude locais

Maroja e cols [18] comentam ainda que

A variacao do g sobre a superfıcie da terrae aproximadamente 05 devido a latitudeaproximadamente 0003 a cada 100 m dealtitude A topografia local e as mares po-dem causar pequenos efeitos A incerteza novalor de g obtido e geralmente menor que plusmn5 partes em 105

A cidade de Sorocaba esta situada a uma altitudede 601 m acima do nıvel do mar numa latitude de2330rsquo06rdquo [22] Substituindo esses valores na relacao(24) obtem-se a aceleracao da gravidade na cidade deSorocaba como sendo de 9786679602 ms2 Para efeitode calculo neste trabalho arredondaremos o valor de gpara 979 ms2

Para as medidas do momento de inercia colocou-sea ripa suspensa pelo furo central feito na sua extremi-dade (Fig 2) fixada a um eixo metalico girando comatrito bem pequeno de forma a garantir um regime deoscilacao subamortecido em que ocorrem varios ciclospara melhorar a precisao do ajuste dos parametros dafuncao (16) iniciando pela frequencia

O conjunto apresentado na Fig 3 teve suspensapor tras uma folha em branco que sustentava uma reguana sua extremidade inferior para fins de calibracao deescala

O sistema foi posto a oscilar a partir de um angulode 48 valor admissıvel para a aproximacao senθ sim θrealizada neste trabalho e que e discutido mais detalha-damente na secao 34 Para medir o angulo inicial deinclinacao θ0 da ripa em relacao a vertical foi utilizadoo proprio transferidor do ldquoTrackerrdquo indicado na Fig 3

Como um dos objetivos do experimento e utili-zar configuracoes e equipamentos acessıveis utilizou-separa a filmagem do movimento um smartphone comcamera de resolucao 5 MP tomada a uma distanciaaproximada de 20 cm do conjunto A duracao da filma-gem foi de aproximadamente 45 s gerando 520 quadroscom dados de tempo e posicoes nas direcoes x e y Aoscilacao inicia no quadro n 32 (t = 2 56 s) quando aripa foi liberada e termina no quadro 552 (t = 44 07 s)

21 Medidas com o ldquoTrackerrdquo

O ldquoTrackerrdquo e um software livre que trabalha com alinguagem Java para analise e modelagem de movimen-tos gravados em vıdeo [6 7 8] Ele tem sido propostocomo alternativa para a coleta e analise de dados expe-rimentais

A tomada das posicoes do pendulo durante sua os-cilacao foi realizada inicialmente atraves do posicio-namento do eixo de referencia e da escala (em lilase azul respectivamente na Fig 3) calibrados comauxılio da imagem da regua Em seguida foram mar-cadas as posicoes de um ponto da ripa em cada framedo vıdeo Estas marcacoes consistem em ldquoclicksrdquo naimagem sobre o ponto escolhido que percorre sua tra-jetoria durante a oscilacao Foram tomadas as posicoesna direcao horizontal (x) usando como origem das co-ordenadas aquelas definidas pelos eixos de cor lilas daFig 3

No caso da ripa este ponto rastreado nao precisanecessariamente estar em sua extremidade pois todosos pontos da mesma seguirao trajetorias conforme afuncao (16)


3 Resultados e discussao

De posse dos dados experimentais efetuou-se a analisedos resultados fornecidos pelo ldquoTrackerrdquo e pelo pro-grama Qtiplot

Figura 3 - Visualizacao da tela do ldquoTrackerrdquo

31 Ajuste dos parametros

Para o ajuste da funcao (16) foi utilizado o proprioldquoTrackerrdquo e feita uma busca de programas livres quetambem ajustassem esse tipo de funcao Para esse pro-cesso utiliza-se a janela ldquoData Toolrdquo do ldquoTrackerrdquo Coma opcao ldquoautofitrdquo habilitada informa-se a margem deerro admissıvel para cada parametro (10 1 ou 01)para a otimizacao automatica dos mesmos Frequente-mente e necessario informar os valores dos parametrosiniciais para que o programa inicie o processo de ajustede modo a possibilitar sua convergencia Entre os pro-gramas testados o unico que possibilitou um ajuste si-milar ao do ldquoTrackerrdquo foi o programa Qtiplot [9 10] Nocaso do ajuste utilizando o ldquoTrackerrdquo basta ldquoclicarrdquodiretamente no grafico com o botao direito do mousee no menu flutuante selecionar a opcao ldquoAnalisarrdquo Afuncao ajustada segue o modelo de oscilacao harmonicaamortecida mostrada na Eq (16) porem a constantede fase ϕ foi transformada em um deslocamento notempo (ϕ = minusωt0) e ω = 2πf escrito explicitamentepara fins de ajuste experimental segundo a funcao (25)

x(t) = A eminus B (t minus t0) cos [2πf (tminus t0)] + C (25)

em que t0 assinala o inıcio do movimento em relacao afilmagem o parametro C e a posicao da linha de basedos pontos e B = b2Ip o parametro de amortecimentobaseado na Eq (16)

Inserindo a funcao de ajuste e valores iniciais para osparametros a expressao fornecida pelo ldquoTrackerrdquo aposa convergencia dos valores foi

x(t) = 44 0 eminus0049t cos[2π0 89(tminus 2 58)]minus 1 49

com desvio medio quadratico de 305 (Tabela 2)O grafico apresentado na Fig 4 mostra os pontos

experimentais e o ajuste da funcao (16) ambos obtidospelo ldquoTrackerrdquo

Figura 4 - Pontos experimentais (em azul) e curva da funcao x(t)ajustada pelo ldquoTrackerrdquo (linha contınua em vermelho)

O mesmo ajuste realizado com o programa Qtiplotresultou na seguinte expressao

x(t) = 42 44eminus0045t cos[2π0 89(tminus 2 56)]minus 1 0

com desvio medio quadratico de 478Devido ao menor desvio medio quadratico adotou-

se o ajuste realizado pelo ldquoTrackerrdquo Os valores dessesparametros estao sumarizados na Tabela 2

32 Momentos de inercia

O momento de inercia calculado para o modelo estaticoa partir da relacao (21) fornece o seguinte valor

Ip = 0 005011026 kgm2 rfloor

A incerteza no valor do momento de inercia Ip obtido a partir da Eq (21) e calculada pela expressao depropagacao de erro dada pela relacao (26) [23]

δIp =

radic(partIpparth

δh

)2

+

(partIppartw

δw

)2

+

(partIppartm

δm

)2

+

(partIppartℓ

δℓ

)2

(26)


lceil

Derivando a expressao (21) e substituindo naEq (26) obtemos um valor para a incerteza no calculodo momento de inercia de 0000016187 kgm2 Por-tanto considerando as regras de arredondamento e dealgarismos significativos [23] o valor calculado para Ipa partir dos parametros medidos inicialmente (h w em) e expresso na seguinte forma

Ip = (0 00501plusmn 0 00002) kgm2 (27)

Para obter o Ip dinamico utilizam-se os valores dosparametros fornecidos pelo ldquoTrackerrdquo (apresentados naTabela 2) e a relacao (17) reescrita abaixo substituindo(b2Ip)

2 por B2

ω2 = ω20 minusB2 (28)

O ajuste realizado pelo ldquoTrackerrdquo fornece um valorpara B = 0049 sminus1 o que resulta em B2 = 00024 sminus2f = 089 Hz e ω2 = (2πf)2 = 312391 (rds)2 Substi-tuindo esses valores na Eq (28) tem-se ω2

0 = 312415(rds)2 O erro relativo entre os valores de ω2 e ω2

0 e0008 Observando a relacao (28) tem-se que o fatode B ser pequeno (B ltlt ω0) implica em ω asymp ω0 Esteresultado e consistente com o decaimento visualizado naFig 4 visto que a amplitude do movimento oscilatoriodada pelo termo AeminusBt da relacao (16) deve diminuirgradualmente com o tempo

O valor de Ip dinamico e entao calculado pela se-guinte relacao

Ip =mgℓ

ω20

=0 06814times 9 79times 0 234

31 2415 (29)

Ip = 0 0049965kgm2

A incerteza do momento de inercia obtido daEq (29) e calculada utilizando propagacao de erro [23]a partir das relacoes a seguir

δω20 = 2 ω0 δω0 (30)

δIprime =

radic(partI prime

partmδm

)2

+

(partI prime

partℓδℓ

)2

+

(partI prime

partω20

δω20

)2

(31)

Substituindo os valores obtidos nas duas relacoesacima resulta num erro total para o momento de inerciaIp de δIp = 00001375 kgm2 Portanto o resultado fi-nal para o momento de inercia dinamico levando-se emconta os ajustes realizados pelo ldquoTrackerrdquo fica na se-guinte forma

Ip = (0 00499plusmn 0 00013) kgm2 (32)

Comparando os resultados da Eq (27) e da Eq (32)observa-se um erro relativo de 04 Este erro e menorse comparado com os resultados da literatura Pintaoe cols [2] utilizaram uma montagem com sensor opticopara o estudo do movimento de um disco rıgido Nestetrabalho o momento de inercia foi obtido indiretamenteatraves da corrente eletrica do sistema de deteccaoeletronico resultando num erro menor que 5 entreo momento de inercia teorico e o experimental No tra-balho de Bonagamba e cols [24] que tambem utilizouum sistema de deteccao optico com sensor e receptor in-fravermelhos no estudo de oscilacao de corpos rıgidosobteve erros relativos que variaram de 14 a 34Eadkhong e cols [3] utilizou o ldquoTrackerrdquo no estudo domomento de inercia de um cilindro obtendo erros nafaixa de 04 a 33 rfloor

Tabela 2 - Valores dos parametros ajustados pelo ldquoTrackerrdquo

Angulo inicial t0 (s) t (s) A (mm) B (sminus1) f (Hz) C (mm) Desvio medio quadratico48 258 plusmn 1 256 a 4399 4400 plusmn 1 0049 plusmn 1 089 plusmn 1 -149 plusmn 1 305

33 Constante de amortecimento

Obtido o valor do momento de inercia dinamico torna-se possıvel calcular a constante de amortecimento rota-cional deste movimento como

b = B2Ip = (0 049)times 2times (0 00499)

b = 0 000489 kgm2s

A incerteza desta constante e dada por

δb =

radic(partb

partBmiddot δB

)2

+

(partb

partIpmiddot δIp

)2

resultando em δb = 0 0000137 kgm2s de modo que

b = (0 00049plusmn 0 00001) kgm2s

A constante de amortecimento e muito pequenamas diferente de zero o que faz com que as frequencias


angulares harmonica nao amortecida (ω0 = 55819 rdsEq (32)) e anarmonica amortecida (ω = 55817 rdsEq (28)) sejam praticamente iguais A amplitude daEq (16) que e o termo Aeminusbt2Ip diminui gradual-mente com o tempo e corresponde a envoltoria da curvada Fig 4 como discutido no item 32

34 Desvio do regime harmonico

O angulo inicial de 48 para este experimento e aproxi-madamente igual a 008 radianos Segundo a literatura[16] o angulo θ mostrado na Fig 1 pode ser consideradopequeno quando senθ sim θ (com θ em radianos) o quepermitiu simplificar a Eq (5) e utilizar as relacoes (6)e (7) No caso de θ = 008 rd tem-se senθ = 00799o que resulta num erro menor que 01 Este argu-mento permitiu considerar este angulo de 48 comosendo bem pequeno de modo a empregar a funcao (16)na condicao de oscilacao harmonica amortecida Estae a justificativa que geralmente se encontra nos livrostexto

Uma argumentacao mais completa para esse tipode aproximacao e a apresentada na secao 11 (Solucaoexata da Eq (5)) De acordo com a Tabela 1 o termode correcao 2Kπ pode ser estimado em 1001 por umainterpolacao linear no intervalo de 0 a 10 (Fig 5)

Utilizando os valores dos parametros estaticos tem-se o valor para a frequencia angular harmonica naoamortecida ω0 - lembrando que ω0 e equivalente ao ob-tido na Eq (8) - dada por

Figura 5 - Grafico obtido com os dados da Tabela 1

ω0 =

radicmgℓ

Ip=

radic0 06814times 9 790 234

0 00501=

5 5819 rd s (33)

Aplicando-se a correcao para o caso anarmonicodiscutido na secao 11 (solucao exata da Eq (5))e a interpolacao linear ja discutida acima tem-se afrequencia angular anarmonica nao amortecida dadapela Eq (12)

ω0 =1

1 001times 5 5819 = 5 5763 rds (34)

A diferenca percentual entre os valores de ω0 ob-tidos nas Eqs (32) e (33) e de 01 que e uma or-dem de grandeza inferior ao desvio experimental de 1na frequencia angular Portanto considera-se que osistema pode ser aproximado ao regime de oscilacaoharmonica amortecida

4 Conclusoes

O uso do programa ldquoTrackerrdquo facilitou a tomada e aanalise dos dados experimentais e seus resultados apre-sentaram grande concordancia com os calculos do mo-mento de inercia obtido a partir das dimensoes da ripa

A disseminacao de aparelhos portateis tais como ta-blets e smartphones com capacidade de filmagem bemcomo a disponibilidade de computadores atualmentenas escolas e a gratuidade deste programa permitemuma maior facilidade no aprendizado dos alunos no es-tudo de fenomenos fısicos

Os resultados mostraram que o ajuste realizado como programa ldquoTrackerrdquo e mais preciso do que o ob-tido atraves do programa Qtiplot para obtencao dosparametros do movimento oscilatorio Alem disso oldquoTrackerrdquo e um ambiente em que integra o vıdeo a co-leta de dados e os calculos necessarios para o problemaem estudo facilitando as analises dos parametros expe-rimentais de movimentos

Esta forma de analise experimental tambem permi-tiu a comparacao com os modelos teoricos harmonico eanarmonico alem de estimar o fator de amortecimentocom precisao de 1 o que didaticamente permite acomparacao de um sistema real diante de um modelode movimento e a estimativa dos desvios ocorridos

Agradecimentos

Os autores agradecem a FAPESP (processo n

201421122-00) pelo apoio financeiro

Referencias

[1] CAF Pintao MP Souza Filho e WF Usida RevistaBrasileira de Ensino de Fısica 27 237 (2005)

[2] CAF Pintao MP Souza Filho CR Grandini andR Hessel European Journal of Physics 25 409 (2004)

[3] T Eadkhong R Rajsadorn P Jannual and S Danwo-raphong European Journal of Physics 33 615 (2012)

[4] A Kazachkov AS Castellanos and V Kostyukov LatAm J Phys Educ 6 Suppl I 168 (2012)

[5] LP Vieira e VOM Lara Revista Brasileira de Ensinode Fısica 35 3503 (2013)

[6] AG Bezerra Jr LP de Oliveira JA Lenz e N Sa-avedra Cad Bras Ens Fıs 29 469 (2012)


[7] JS Figueira Revista Brasileira de Ensino de Fısica33 4403 (2011)

[8] D Brown Tracker Video Analysis and Modeling ToolDisponıvel em httpswwwcabrilloedudbrown

tracker acesso em 20102014

[9] 42 of the Best Free Linux Scientific Soft-ware Linuxlinks The Linux Portal 2009 Dis-ponıvel em httpwwwlinuxlinkscomarticle

20080803104017665Scientifichtml acesso em20102014

[10] K Muller and A Seubert Isotopes in Environmentaland Health Studies 50 88 (2014)

[11] D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos deFısica (LTC Rio de Janeiro 2012) v 1 9a ed

[12] AKT Assis Arquimedes o Centro de Gravidade e aLei da Alavanca (C Roy Keys Inc Montreal 2008)

[13] DH Young e RA Freedman Fısica I (Pearson Edu-cation do Brasil Sao Paulo 2008) 12a ed

[14] GL Baker and JA Blackburn The Pendulum ACase Study in Physics (Oxford University Press Ox-ford 2005)

[15] FP Beer ER Johnston e PJ Cornwell MecanicaVetorial Para Engenheiros Dinamica (AMGH PortoAlegre 2012) v 2


[17] W Lopes Cad Bras Ens Fıs 25 561 (2008)

[18] AM Maroja MFC Viturino e J de Sousa PereiraProc XVI Simposio Nacional de Ensino de FısicaDisponıvel em httpwwwsbf1sbfisicaorgbr

eventossnefxvicdresumosT0297-1pdf Acessoem 12012015

[19] LG Mezzalira G Moscati e JM Saffar InENQUALAB-2006 - Congresso e Feira da Qualidadeem Metrologia (REMESP Sao Paulo 2006) p 1

[20] Levantamentos Gravimetricos Disponıvel em http

w3ualgpt^jluisfilesfolhas_cap1pdf acessoem 12012015

[21] Disponıvel em httpwwwsismetractabr

Apresentacao_VI_SemetraOs_Efeitos_da_

Gravidade_na_Calibracao_de_Balancaspdf acessoem 12012015

[22] Disponıvel em httpwwwgeografoscombr

cidades-s~ao-pauloSorocabaphp acesso em20102014

[23] JR Taylor Introducao a Analise de Erros (BookmanPorto Alegre 2012)

[24] TJ Bonagamba E Santoni PRO Lasso CB Bre-tas A Gentil Revista Brasileira de Ensino de Fısica17 133 (1995)


carentes de laboratorios de fısica

A utilizacao de dispositivos eletronicos que fazemparte do dia a dia do aluno torna os experimentos defısica mais dinamicos em comparacao com as tecnicastradicionais utilizadas no laboratorio como por exem-plo a tomada de dados utilizando o cronometro e aregua

Neste trabalho foi realizada a filmagem do movi-mento oscilatorio de uma ripa com o auxılio de umsmartphone e os dados tratados com o auxılio dos pro-gramas ldquoTrackerrdquo e Qtiplot O momento de inerciada ripa obtido estaticamente (a partir das medidas desuas dimensoes geometricas) foi comparado com seu va-lor obtido de forma dinamica atraves da medida dafrequencia de oscilacao fornecida pelo ldquoTrackerrdquo

11 Oscilacao do pendulo fısico (metododinamico)

Corpos rıgidos suspensos de modo a oscilar livrementeem um plano vertical em torno de um eixo passandopelo corpo sao denominados pendulos fısicos Esta con-figuracao representa os pendulos reais que apresentamsua massa distribuıda por varias distancias relativa-mente ao eixo de suspensao generalizando o conceito dependulo simples Neste considera-se toda a sua massaconcentrada em um unico ponto a uma distancia cons-tante do ponto de suspensao

A Fig 1 ilustra um pendulo fısico generico onde oeixo de suspensao passa pelo ponto p A oscilacao resul-tante decorre da contribuicao da forca peso de cada ele-mento de massa do corpo ou seja cada pedaco do corpocom sua respectiva quantidade de massa estara sujeitoa forca gravitacional No caso de corpos extensos commassa total m os efeitos de rotacao e translacao sao de-vido a forca peso mg aplicada ao centro de massa deste[11] Este conceito vem das ideias de Arquimedes [12]

Chamamos de centro de gravidade de umcorpo ao ponto de aplicacao da forca gra-vitacional Ou seja e o ponto neste corpoonde atua toda a gravidade o ponto ondese localiza o peso do corpo Ele tambempode ser chamado de centro do peso destecorpo

Durante a oscilacao o corpo gira em torno do pontop (denominado pivo) com uma inercia rotacional Ip NaFig 1 sao representados o ponto p (pivo) a distanciaℓ do pivo ao centro de massa (CM ) do corpo a am-plitude A do movimento oscilatorio na direcao x e oangulo θ entre o vetor forca peso (mg) e a direcao aolongo da distancia ℓ Quando esta direcao nao estiveralinhada com a vertical aparecera um torque restau-rador τ proporcional ao deslocamento angular θ dadopor [13]

Figura 1 - Representacao do pendulo fısico Extraıdo da Ref[14]

τ = minusmgℓsenθ (1)

onde o sinal negativo exprime esta caracterıstica de res-tauracao - torque oposto ao deslocamento angular - le-vando o corpo a uma condicao de equilıbrio estavel

Por outro lado a dinamica dos corpos rıgidos relaci-ona este torque (ou momento da forca) a aceleracao an-gular α do corpo durante sua rotacao de forma analogaa segunda lei de Newton

τ = Ipα (2)

onde Ip representa o momento de inercia do corpo emrelacao ao ponto p (Fig 1) e α sua aceleracao angular

Da cinematica rotacional tem-se que a aceleracaoangular α e dada pela segunda derivada temporal dodeslocamento angular θ ou seja

α =d2θ

dt2 (3)

de modo que o movimento oscilatorio deste sistema edescrito pela seguinte equacao dinamica

Ipα = minusmgℓsenθ (4)

que explicitando em termos de θ produz juntamentecom a Eq (3) a equacao diferencial de segunda ordem

Ipd2θ

dt2+ mgℓsenθ = 0 (5)

Para oscilacoes de pequena amplitude a apro-ximacao senθ sim θ (para θ em radianos) simplifica aEq (5) para a forma

Ipd2θ

dt2+ mgℓθ = 0 (6)

permitindo uma solucao mais simples na seguinte forma

θ(t) = θ0 cos(ω t+ ϕ) (7)




ω =

radicmg ℓ

Ip (8)



A = ℓ senθ0 (9)


x(t) = A cos(ω t+ ϕ) (10)







ℓg


perıodo fica

T =

(2K

π

) 2π

radicIpmgℓ

(11)


ω =π

2K

radicmgℓ

Ip (12)





Ipd2θ

dt2+ b

dθ

dt+mgℓθ = 0 (14)


d2θ

dt2+

b

Ip

dθ

dt+

mgℓ

Ipθ = 0 (15)

rfloor


θ0 0 10 20 30 60 90 120 150 180









ϕ = 0


ω =

radicω20 minus

(b

2Ip

)2

(17)


ω =

radicmgℓ

IPminus

(b

2Ip

)2

(18)



ICM = m

(h2 + w2

)12

(19)




Ip = ICM + mℓ2 (20)


Ip = m

[(h2 + w2)

12+ ℓ2

] (21)


ω20 =

gℓ

h2 + w2

12+ ℓ2

(22)



ω =


(h2 + w2)

12+ ℓ2

minus(

b

2Ip

)2

(23)












































Ip = 0 005011026 kgm2 rfloor


δIp =

radic(partIpparth

δh

)2

+

(partIppartw

δw

)2

+

(partIppartm

δm

)2

+

(partIppartℓ

δℓ

)2

(26)


lceil


Ip = (0 00501plusmn 0 00002) kgm2 (27)


2 por B2

ω2 = ω20 minusB2 (28)





Ip =mgℓ

ω20

=0 06814times 9 79times 0 234

31 2415 (29)

Ip = 0 0049965kgm2


δω20 = 2 ω0 δω0 (30)

δIprime =

radic(partI prime

partmδm

)2

+

(partI prime

partℓδℓ

)2

+

(partI prime

partω20

δω20

)2

(31)


Ip = (0 00499plusmn 0 00013) kgm2 (32)






b = B2Ip = (0 049)times 2times (0 00499)

b = 0 000489 kgm2s


δb =

radic(partb

partBmiddot δB

)2

+

(partb

partIpmiddot δIp

)2


b = (0 00049plusmn 0 00001) kgm2s









ω0 =

radicmgℓ

Ip=

radic0 06814times 9 790 234

0 00501=

5 5819 rd s (33)


ω0 =1

1 001times 5 5819 = 5 5763 rds (34)


4 Conclusoes





Agradecimentos



Referencias




































ω =

radicmg ℓ

Ip (8)



A = ℓ senθ0 (9)


x(t) = A cos(ω t+ ϕ) (10)







ℓg


perıodo fica

T =

(2K

π

) 2π

radicIpmgℓ

(11)


ω =π

2K

radicmgℓ

Ip (12)





Ipd2θ

dt2+ b

dθ

dt+mgℓθ = 0 (14)


d2θ

dt2+

b

Ip

dθ

dt+

mgℓ

Ipθ = 0 (15)

rfloor


θ0 0 10 20 30 60 90 120 150 180









ϕ = 0


ω =

radicω20 minus

(b

2Ip

)2

(17)


ω =

radicmgℓ

IPminus

(b

2Ip

)2

(18)



ICM = m

(h2 + w2

)12

(19)




Ip = ICM + mℓ2 (20)


Ip = m

[(h2 + w2)

12+ ℓ2

] (21)


ω20 =

gℓ

h2 + w2

12+ ℓ2

(22)



ω =


(h2 + w2)

12+ ℓ2

minus(

b

2Ip

)2

(23)












































Ip = 0 005011026 kgm2 rfloor


δIp =

radic(partIpparth

δh

)2

+

(partIppartw

δw

)2

+

(partIppartm

δm

)2

+

(partIppartℓ

δℓ

)2

(26)


lceil


Ip = (0 00501plusmn 0 00002) kgm2 (27)


2 por B2

ω2 = ω20 minusB2 (28)





Ip =mgℓ

ω20

=0 06814times 9 79times 0 234

31 2415 (29)

Ip = 0 0049965kgm2


δω20 = 2 ω0 δω0 (30)

δIprime =

radic(partI prime

partmδm

)2

+

(partI prime

partℓδℓ

)2

+

(partI prime

partω20

δω20

)2

(31)


Ip = (0 00499plusmn 0 00013) kgm2 (32)






b = B2Ip = (0 049)times 2times (0 00499)

b = 0 000489 kgm2s


δb =

radic(partb

partBmiddot δB

)2

+

(partb

partIpmiddot δIp

)2


b = (0 00049plusmn 0 00001) kgm2s









ω0 =

radicmgℓ

Ip=

radic0 06814times 9 790 234

0 00501=

5 5819 rd s (33)


ω0 =1

1 001times 5 5819 = 5 5763 rds (34)


4 Conclusoes





Agradecimentos



Referencias


































ϕ = 0


ω =

radicω20 minus

(b

2Ip

)2

(17)


ω =

radicmgℓ

IPminus

(b

2Ip

)2

(18)



ICM = m

(h2 + w2

)12

(19)




Ip = ICM + mℓ2 (20)


Ip = m

[(h2 + w2)

12+ ℓ2

] (21)


ω20 =

gℓ

h2 + w2

12+ ℓ2

(22)



ω =


(h2 + w2)

12+ ℓ2

minus(

b

2Ip

)2

(23)












































Ip = 0 005011026 kgm2 rfloor


δIp =

radic(partIpparth

δh

)2

+

(partIppartw

δw

)2

+

(partIppartm

δm

)2

+

(partIppartℓ

δℓ

)2

(26)


lceil


Ip = (0 00501plusmn 0 00002) kgm2 (27)


2 por B2

ω2 = ω20 minusB2 (28)





Ip =mgℓ

ω20

=0 06814times 9 79times 0 234

31 2415 (29)

Ip = 0 0049965kgm2


δω20 = 2 ω0 δω0 (30)

δIprime =

radic(partI prime

partmδm

)2

+

(partI prime

partℓδℓ

)2

+

(partI prime

partω20

δω20

)2

(31)


Ip = (0 00499plusmn 0 00013) kgm2 (32)






b = B2Ip = (0 049)times 2times (0 00499)

b = 0 000489 kgm2s


δb =

radic(partb

partBmiddot δB

)2

+

(partb

partIpmiddot δIp

)2


b = (0 00049plusmn 0 00001) kgm2s









ω0 =

radicmgℓ

Ip=

radic0 06814times 9 790 234

0 00501=

5 5819 rd s (33)


ω0 =1

1 001times 5 5819 = 5 5763 rds (34)


4 Conclusoes





Agradecimentos



Referencias








































































Ip = 0 005011026 kgm2 rfloor


δIp =

radic(partIpparth

δh

)2

+

(partIppartw

δw

)2

+

(partIppartm

δm

)2

+

(partIppartℓ

δℓ

)2

(26)


lceil


Ip = (0 00501plusmn 0 00002) kgm2 (27)


2 por B2

ω2 = ω20 minusB2 (28)





Ip =mgℓ

ω20

=0 06814times 9 79times 0 234

31 2415 (29)

Ip = 0 0049965kgm2


δω20 = 2 ω0 δω0 (30)

δIprime =

radic(partI prime

partmδm

)2

+

(partI prime

partℓδℓ

)2

+

(partI prime

partω20

δω20

)2

(31)


Ip = (0 00499plusmn 0 00013) kgm2 (32)






b = B2Ip = (0 049)times 2times (0 00499)

b = 0 000489 kgm2s


δb =

radic(partb

partBmiddot δB

)2

+

(partb

partIpmiddot δIp

)2


b = (0 00049plusmn 0 00001) kgm2s









ω0 =

radicmgℓ

Ip=

radic0 06814times 9 790 234

0 00501=

5 5819 rd s (33)


ω0 =1

1 001times 5 5819 = 5 5763 rds (34)


4 Conclusoes





Agradecimentos



Referencias


































lceil


Ip = (0 00501plusmn 0 00002) kgm2 (27)


2 por B2

ω2 = ω20 minusB2 (28)





Ip =mgℓ

ω20

=0 06814times 9 79times 0 234

31 2415 (29)

Ip = 0 0049965kgm2


δω20 = 2 ω0 δω0 (30)

δIprime =

radic(partI prime

partmδm

)2

+

(partI prime

partℓδℓ

)2

+

(partI prime

partω20

δω20

)2

(31)


Ip = (0 00499plusmn 0 00013) kgm2 (32)






b = B2Ip = (0 049)times 2times (0 00499)

b = 0 000489 kgm2s


δb =

radic(partb

partBmiddot δB

)2

+

(partb

partIpmiddot δIp

)2


b = (0 00049plusmn 0 00001) kgm2s









ω0 =

radicmgℓ

Ip=

radic0 06814times 9 790 234

0 00501=

5 5819 rd s (33)


ω0 =1

1 001times 5 5819 = 5 5763 rds (34)


4 Conclusoes





Agradecimentos



Referencias








































ω0 =

radicmgℓ

Ip=

radic0 06814times 9 790 234

0 00501=

5 5819 rd s (33)


ω0 =1

1 001times 5 5819 = 5 5763 rds (34)


4 Conclusoes





Agradecimentos



Referencias

































estudo das oscilaç˜oes amortecidas de um pêndulo f´ısico com o

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