Pêndulo Físico

Experiência Eletiva

OBJETIVOS

• Analisar o pêndulo físico quanto ao período, aproximações, validade de modelos e influência de forças de resistências.

• Medir o valor de g.

Pêndulo Simplese

Pêndulo Físico

• No pêndulo simples, a massa do corpo está concentrada em um só ponto.

• No pêndulo físico, usa-se o modelo de corpo rígido.

Período de um pêndulo físico

• Para determinar o período de um pêndulo físico, é necessário considerar seu comprimento, massa e momento de inércia.

• Esses parâmetros devem ser usados na equação de movimento do pêndulo, e daí obtém-se o período.

Dados importantes do pêndulo físico

• Massa

• Comprimento

• Centro de Massa

• Centro de oscilação• d = distância entre CO e CM

• Momento de inércia

CO

CM

d

L

Período do PF

• m = massa• d = distância• I = momento de inércia• g = gravidade

mgd

IT 2

Comprimento efetivo

• Igualando os períodos do pêndulo simples e do pêndulo físico, pode-se encontrar uma expressão para o comprimento efetivo:

• Fisicamente, o comprimento efetivo representa o comprimento de um pêndulo simples com o mesmo período de um pêndulo físico.

md

ILl

mgd

I

g

lTT ef 2221

• Para encontrar uma expressão para o comprimento efetivo de uma barra, deve-se ter a expressão do seu momento de inércia:

• Como o momento de inércia de uma barra depende da distância d do CM e do CO (ou ponto de apoio), para cada ponto de apoio tem-se um Lef diferente(e, portanto, um período diferente).

22

2

12md

mLmdII cm

• A vantagem de se trabalhar com o comprimento efetivo é que a relação do período T com Lef é mais fácil de se tratar matematicamente:

• A partir do valor de a é possível determinar g.

efef aLTg

LT 22

O experimento

• Para este experimento foi necessário medir os parâmetros da barra: massa, comprimento, espaçamento entre os furos e localização do CM.

• Para 9 posições diferentes foram medidos períodos de 15 oscilação, 5 vezes, para pequenas oscilações.

• Foram medidos também períodos para grandes amplitudes(ângulo maior que 10°).

• Foi avaliado o amortecimento para cada posição.

Para a análise de dados, é necessário:

• Calcular o comprimento efetivo da barra para cada uma das 9 posições.

• Calcular o quadrado dos períodos(médias).

• Analisar a dependência de Lef com T².

Período X distância d

1,500

1,550

1,600

1,650

1,700

1,750

1,800

1,850

1,900

1,950

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600

distãncia(m)

Perío

do(s

)

Período² X Comprimento efetivo

2,000

2,200

2,400

2,600

2,800

3,000

3,200

3,400

3,600

3,800

4,000

0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500 1,0000

Comprimento efetivo(m)

Perío

do²(

s²)

Ajuste dos pontos

• No gráfico T² X Lef, o melhor ajuste é através de uma reta.

• Por MMQ pode-se determinar os coeficientes angulares e lineares: a = 3,788 ± 0,118 s²/m

b = 0,133 ± 0,077 s²

Resíduos

-0,070

-0,060

-0,050

-0,040

-0,030

-0,020

-0,010

0,000

0,010

0,020

0,030

0,500 0,550 0,600 0,650 0,700 0,750 0,800 0,850 0,900 0,950 1,000

Comprimento efetivo(m)

Per

íod

o²(

s²)

Determinação de g

• Com o valor de a(coeficiente angular) é possível determinar o valor de g:

• Substituindo o valor de a, tem-se que: g = 10,41 0,33m/s²

agaL

g

LT ef

ef2

22 44

• Comparando com o valor medido pelo IAG:

g = 9,7864 0,001m/s²

• Os valores são compatíveis dentro de um fator de abrangência 3.

Alguns fatores que implicam em erro nos resultados.

• O centro de Massa da barra não coindide com o centro geométrico.

• A distribuição de massa não é uniforme ao longo da barra.

Comparação entre pequenas e grandes oscilações

• Uma aproximação do período para oscilações com amplitudes maiores que 10° é dada por:

• T0 é o período sem correção

• O período então passa a depender da amplitude 0.

2

00 16

11 TT

• Substituindo 0 por 40°(0,70 rad) usado no experimento, a relação entre os períodos fica sendo:

03,116

1200

T

TK

Relação T / T0

T / T0 incerteza

Posição 1 1,018 0,009

Posição 2 1,022 0,009

Posição 3 1,024 0,010

Posição 4 1,028 0,010

Posição 5 1,029 0,009

Posição 6 1,014 0,010

Posição 7 1,024 0,009

Posição 8 1,030 0,009

Posição 9 1,045 0,008

Efeitos de forças dissipativas

• No pêndulo usado na experiência foram identificadas duas formas de resistência:

• A resistência do ar que, para baixas velocidades, é proporcional à velocidade de rotação da barra.

• Atrito no eixo de sustentação, que independe da velocidade.

• A resistência do ar tende a aumentar o período de oscilação. Mas isso não foi observado através da inclinação da reta ajustada aos pontos.

• O formato da barra, com pequena área transversal na direção do movimento, favorece uma pequena resistência do ar.

• Por outro lado, o atrito no eixo de sustentação não depende do formato e nem afeta o período, embora seja responsável pelo amortecimento, pois há dissipação de energia.

• Portanto, o amortecimento observado se deve mais ao atrito no eixo do que à resistência do ar.

Conclusões finais

• A relação do período com o comprimento efetivo encontrada experimentalmente está de acordo com a previsão teórica.

• O valor de g, embora um pouco alto, é compatível com o valor medido pelo IAG.

• A aproximação do modelo para amplitudes maiores também se mostrou válida.

• Portanto, o modelo do pêndulo físico se mostrou válido.

Referência

• 1.H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica Vol. 2 , Editora Edgard Blücher Ltda, 3ª edição, São Paulo.