oscilações amortecidas - laboratório de sistemas...

5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque

Aula 7

1

Oscilações Amortecidas

O modelo do sistema massa-mola visto nas aulas passadas, que

resultou nas equações do MHS, é apenas uma idealização das

situações mais realistas existentes na prática.

Sempre que um sistema físico é posto para oscilar livremente, as

oscilações decaem com o tempo até desaparecer completamente.

Todo sistema real possui características dissipativas que levam a sua

energia mecânica (cinética mais potencial) a se converter em outras

formas de energia (calor, por exemplo).

Portanto, o modelo do MHS que leva à descrição matemática de um

sistema oscilante em termos de uma função senoidal de amplitude

constante e que perdura indefinidamente deve ser modificado para

que possa descrever de maneira mais precisa as oscilações que

decaem com o tempo.

A força resistiva de um fluido (ar, água, etc) a um corpo em

movimento é função da velocidade do corpo. Ela se opõe ao sentido

da velocidade e seu módulo é dado por

2

21)( vbvbvR += , (1)

onde v é o módulo de v e b1 e b2 são constantes positivas.


Aula 7

2

Pergunta: quais as unidades de b1 e b2?

Quando as velocidades são pequenas, como é o caso para pequenas

oscilações, o termo quadrático na equação acima pode ser

desprezado e fica-se apenas com o termo linear:

bvvR =)( . (2)

Vamos novamente tomar o modelo de um corpo preso a mola como

o protótipo de um sistema oscilando. No presente caso,

considerando que há uma força resistiva se opondo ao movimento

do corpo como a da equação (2), a segunda lei de Newton para o

corpo é

bvkxdt

xdm −−=

2

2

. (3)

Esta equação pode ser reescrita como:

02

2

=++ kxdt

dxb

dt

xdm

ou

02

02

2

=++ xdt

dx

dt

xdωγ

, (4)

onde


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3

m

b

m

k== γω e 2

0 . (5)

Pergunta: quais as unidades de γ?

A constante γ caracteriza o amortecimento e, quando ela é nula, não

há amortecimento e o corpo oscila com freqüência angular ω0 como

nos casos vistos anteriormente.

A equação (4) é uma equação diferencial linear homogênea de 2a

ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, iremos usar o

método da exponencial complexa e supor que a solução x(t) é a parte

real do vetor girante z(t) que satisfaz a equação complexa

02

02

2

=++ zdt

dz

dt

zdωγ

. (6)

A solução da equação acima pode ser encontrada pelo método da

substituição. Vamos supor uma solução da forma

iptetz =)( . (7)

Substituindo (7) em (6) obtemos (mostre como exercício):

022 =++− ipt

o

iptipt epeiep ωγ .


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4

Para que esta equação seja satisfeita para todos os valores de t

devemos ter:

022 =++− opip ωγ . (8)

Esta equação é conhecida como equação característica.

Observe que, pela equação acima, p não pode ser um número real

puro. Por causa do termo ipγ, se p for um número real puro

(diferente de zero) a equação não tem solução (a menos que γ seja

nulo, o que não nos interessa aqui).

Portanto, p tem que ser um número complexo. Vamos escrevê-lo

como:

idcp += .

Então,

222 2 dicdcp −+= .

Substituindo estas duas expressões na equação (8):

⇒=+−++−− 02 222

odicdicdc ωγγ

( ) ( ) 022

0

22 =−−+−+−⇒ γωγ ccdiddc .

Esta equação só é satisfeita se os dois termos entre parênteses forem

simultaneamente nulos:


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5

02

0

22 =+−+− ωγddc

02 =− γccd .

Da segunda equação temos que:

2

γ=d

.

Substituindo na primeira equação:

⇒−=4

22

0

2 γωc

4

22

0

γω −±=c

. (9)

Observe que há três possibilidades para c:

a) Se 4

22

0

γω > , c é um número real diferente de zero;

b) Se 4

22

0

γω = , c é zero;

c) Se 4

22

0

γω < , c é um número imaginário puro.

A primeira leva ao caso chamado de amortecimento subcrítico, a

segunda leva ao caso chamado de amortecimento crítico, e a terceira


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6

leva ao caso chamado de amortecimento supercrítico. Veremos a

razão para estes nomes mais adiante, quando interpretarmos

fisicamente as soluções.

Vamos começar considerando a possibilidade (a), que é a que faz

com que c seja um número real não nulo. Considerando então que

4

22

0

γω >

, (10)

temos que

04

22

0

2 >−=γ

ωc

e

ωγ

ω ±≡−±=4

22

0c. (11)

A solução obtida implica que há dois valores possíveis de p:

2 e

221

γω

γω ipip +−=+=

,

ou seja, há dois valores possíveis de z:

tiitip

tiitip

eezeez

+−

+

==== 2

2

2

121 e

γω

γω

.


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7

A solução mais geral de (6) para este caso é dada por uma

combinação linear das duas soluções acima:

⇒+=

+−

+ tiitii

eaeatz 2

2

2

1)(

γω

γω

[ ]titi

t

eaeaetzωω

γ−

−

+=⇒ 212)( , (12)

onde as constantes a1 e a2 podem ser números complexos.

O fato de que a1 e a2 podem ser números complexos implica que, em

princípio, há quatro constantes reais arbitrárias na solução acima

(porque?). Porém, a equação diferencial (6) é de segunda ordem e

sabemos que a sua solução geral deve conter apenas duas constantes

reais arbitrárias.

O número de constantes independentes pode ser reduzido a dois se

fizermos que os dois números complexos a1 e a2 sejam complexos

conjugados:

israaisra −==+= *

121 e ,

onde r e s são números reais.

Na forma trigonométrica, dois números complexos conjugados são

escritos como (mostre como exercício):

ϕϕ iiBeaaBea

−=== *

121 e ,


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8

onde B e φ são números reais.

Substituindo esses números complexos conjugados nas suas formas

trigonométricas na equação (12), obtemos:

( ) ( )[ ]ϕωϕωγ

+−+−

+= titi

t

eeBetz 2)( . (13)

Tomando a parte real desta expressão como a solução x(t)

procurada, obtemos:

( )ϕωγ

+=−

tAetx

t

cos)( 2, (14)

onde definiu-se A = 2B.

Para interpretar esta solução, vejamos o seu gráfico para o caso

particular em que φ = 0.


Aula 7

9

Exercício: tente reproduzir este gráfico usando o Excel ou outro

programa qualquer. Dica: o gráfico foi feito para um caso em que γ

<< ω0, onde ω0 é a freqüência angular do oscilador não amortecido.

Observe que o gráfico mostra uma oscilação cuja amplitude diminui

com o tempo. Ela corresponde à noção intuitiva que temos de um

oscilador amortecido.

A grandeza ω, definida por (11), é chamada de frequência do

oscilador amortecido. Estritamente falando, não se pode definir uma

frequência para o caso de um oscilador amortecido, pois o

movimento não é periódico (o oscilador nunca passa duas vezes pela

mesma posição com a mesma velocidade).

Para o caso de um amortecimento fraco, em que γ << ω0 (que é o

caso da figura acima), pode-se escrever

0

22

04

ωγ

ωω ≅−=.

Desta forma, pode-se usar o termo “frequência” sem incorrer em um

grande erro, mas deve-se ter em mente que o termo só tem

significado preciso quando γ = 0. Apesar disso, é costume se referir

ao termo ω como a “frequência” angular do oscilador amortecido e

isto será feito aqui.


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10

Assim como se define uma “frequência” para o oscilador

amortecido, também se define o “período”, dado por

ω

π2=T

.

Note que a frequência do oscilador amortecido é sempre menor que

a frequência do oscilador sem amortecimento. Por outro lado, o

período do oscilador amortecido é sempre maior que o período do

oscilador não amortecido.

Continuando com os abusos de linguagem, também é costume

chamar o fator Ae–γt/2

de “amplitude” da oscilação amortecida.

Observe que essa amplitude decai com o tempo de forma

exponencial. As curvas

2)(

t

A Aetx

γ−

± ±=

definem a envoltória (ou envelope) das oscilações. Essas duas

curvas também estão mostradas na figura acima.

Define-se o tempo de decaimento τd (uma constante) como o tempo

que a amplitude acima leva para cair a um valor igual a 1/e do seu

valor inicial. Logo:


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11

( )⇒=⇒=

−

±

±

eA

Ae

ex

xd

A

dA 11

)0(

2

γτ

τ

⇒=⇒=⇒ −−

12

12 deed γτ

γτ

b

md

22==⇒

γτ

. (15)

Pode-se então reescrever a equação (14) como:

( )ϕωτ +=−

tAetx d

t

cos)( . (16)

A forma acima é útil quando se estuda experimentalmente um

movimento oscilatório com amortecimento. Isto porque o tempo de

decaimento τd pode ser determinado experimentalmente e, a partir

dele, o valor de b.

A determinação experimental de τd pode ser feita da seguinte

maneira: Mede-se o valor da amplitude da oscilação x0 para um

tempo t0 correspondente a um dos picos mostrados na figura da

página 8. Depois, mede-se a amplitude xN em um tempo tN que esteja

N picos à frente (ou seja, em um tempo NT depois de t0).


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12

Da equação (16), temos que a razão entre as duas amplitudes é

( )d

N

d

N

d tt

t

t

N

e

e

e

x

x τ

τ

τ 0

0

0

−

−

−

==,

de maneira que o tempo de decaimento é dado por:

( )( )N

Nd

xx

tt

0

0

ln

−=τ

. (17)

Apesar disso, no resto desta aula continuaremos a representar o

movimento oscilatório amortecido pela equação (14).

Ao contrário do caso do oscilador harmônico simples, visto nas

aulas passadas, a energia do oscilador amortecido não é constante ao

longo do tempo. Pelo contrário, ela é continuamente dissipada e

transformada em calor ou outras formas de energia.

A energia mecânica do oscilador amortecido num instante de tempo

t é dada por:

)(2

1)(

2

1)( 22 tkxtxmtE += &

. (18)

A taxa de variação temporal da energia é, portanto (usando-se a

notação do “ponto” para expressar a derivada temporal):


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( )kxxmxxkxxxmdt

dE+=+= &&&&&&&

. (19)

Relembrando das equações (3) e (5),

⇒=−−=m

bxbkxxm γ e &&&

xmxbkxxm &&&& γ−=−=+⇒ ,

de maneira que

2xmdt

dE&γ−=

. (20)

A taxa de perda de energia é proporcional ao quadrado da

velocidade instantânea do corpo. Logo, a diminuição da energia não

é uniforme. A taxa de perda de energia possui máximos nos pontos

em que o corpo atinge os máximos de velocidade e é

instantaneamente nula nos pontos em que a velocidade do corpo é

zero.

Esses pontos podem ser obtidos calculando-se a expressão para a

velocidade do corpo. De (14) temos que (mostre como exercício):

( ) ( )

+++−=

−

γωωϕωγγ

ttAetx

t

sencos2

)( 2&,

de maneira que (mostre como exercício),


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14

( ) ( ) ( )[ ]

+++++= − ϕω

γωγωωϕω

γγ ttteAx t 2sen2

sencos4

2222

22&

e

( ) ( ) ( )[ ]

+++++−= − ϕω

γωγωωϕω

γγ γ ttteAm

dt

dE t 2sen2

sencos4

2222

2

.(21)

Os gráficos para E(t) e dE/dt estão dados a seguir. Os gráficos foram

feitos para os mesmos parâmetros e condições usadas para construir

o gráfico da página 8. Exercício: tente reconstruir os dois gráficos

abaixo.


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15

A análise feita até agora mostra que o oscilador amortecido é

caracterizado por dois parâmetros: ω0 e γ = b/m. A constante ω0 é a

freqüência angular das oscilações sem amortecimento e a constante γ

caracteriza o amortecimento. Se você fez a análise dimensional de γ

corretamente acima (página 3), terá visto que γ tem dimensão de

inverso de tempo. Esta é a mesma dimensão de ω0.

Portanto, pode-se definir uma grandeza adimensional para

caracterizar o oscilador amortecido:

γ

ω0≡Q. (22)

O parâmetro Q é chamado de fator “Q” (de qualidade) ou fator de

mérito do oscilador.

O fator Q de um oscilador amortecido é um número puro que pode

ser usado para caracterizar a força do amortecimento. Em termos de

Q, a equação (11) torna-se

−=−=

2

2

0

22

0

2

4

11

4 Qω

γωω

. (23)

Note que quanto maior o valor de Q, mais próximo de ω0 fica o

valor de ω. Valores grandes do fator Q (>> 1) indicam


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16

amortecimento fraco, enquanto que valores pequenos indicam

amortecimento forte.

O fator Q é muito utilizado na descrição de oscilações de voltagem

ou de corrente em circuitos elétricos, e é por isso que ele foi

apresentado aqui. Quando vocês estudarem circuitos elétricos

compostos por capacitores, indutores e resistores, verão que

aparecerão equações idênticas à equação (4) e o fator Q será útil na

análise do comportamento dessas oscilações não mecânicas.

Vamos passar agora aos outros dois casos possíveis para a equação

(9):

b) Se 4

22

0

γω = , c é zero;

c) Se 4

22

0

γω < , c é um número imaginário puro.

No caso (b), se c for zero as duas soluções possíveis do caso (a) (p1 e

p2) tornam-se apenas uma:

⇒==2

γiidp

tipt eetz 2)(

γ−

==⇒ .


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17

Neste caso, pode-se mostrar por substituição que uma segunda

função dada por

t

tetz 21 )(

γ−

=

também é solução da equação diferencial (6) (mostre como

exercício).

Como z = eat

e z1=teat

são linearmente independentes, a solução mais

geral da equação diferencial (6) para o caso em que 4

22

0

γω = é:

( )ttt

eBtABteAetz 222)(

γγγ−−−

+=+= . (24)

A parte real desta solução é ela mesma (note que não há mais o

número complexo i). Portanto, a solução para a equação diferencial

(4) no caso (b) é:

( )t

eBtAtx 2)(

γ−

+= . (25)

O gráfico desta solução é dado abaixo (supondo que x(0) = A e que

)0)0( =x& .


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18

Note que não há mais oscilações. O movimento decai

exponencialmente em direção a zero!

Vejamos agora o caso (c) em que 4

22

0

γω < e c é um número

imaginário puro. Neste caso,

βωγ

iic ±≡−±= 2

0

2

4 ,

onde β é uma constante real positiva.

Os dois valores possíveis para p são:

−=+−=

+=+= β

γγββ

γγβ

22 e

2221 iiipiiip


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19

e os dois valores de z são então:

ttip

ttip

eezeez

−−

+−

====β

γβ

γ

2

2

2

121 e .

Notem que estas duas soluções também não são mais complexas (os

fatores dependentes de i desapareceram todos!).

Podemos, portanto, passar a escrever as soluções diretamente como

x1 e x2, e a solução mais geral de (4) para este caso é dada por uma

combinação linear de x1 e x2:

tt

eaeatx

−−

+−

+=β

γβ

γ

2

2

2

1)( . (26)

onde as constantes a1 e a2 são dois números reais arbitrários.

Observem que a solução acima não é mais oscilatória, assim como

no caso (b). Ela é dada pela soma de duas exponenciais e, portanto,

pode ser uma função que cresce indefinidamente ou decresce

indefinidamente, dependendo dos valores relativos dos expoentes

constantes que multiplicam t nas duas exponenciais.

O expoente da primeira exponencial é

+− β

γ

2, que é sempre

negativo; portanto, a primeira exponencial é sempre decrescente. O


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20

expoente da segunda exponencial é

−− β

γ

2 e também é sempre

negativo, pois γ/2 > β (para mostrar isto, basta lembrar da definição

de β:

( ) βγβγωβγωγβ >⇒>⇒>=−⇒−= 2404)4( 222

0

222

0

22).

Portanto, a segunda exponencial também é sempre decrescente.

Em resumo, a solução (26) para o caso (c) decresce

exponencialmente no tempo e sem oscilações.

O gráfico abaixo mostra dois comportamentos típicos da solução

(26). Nos dois o corpo começa a se movimentar da posição inicial

x(0) = A, mas em um a velocidade inicial é zero ( 0)0( =x& ) e no outro

a velocidade inicial é maior do que zero ( 0)0( >x& ).


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21

Se a velocidade do corpo no instante inicial é positiva, a posição do

corpo aumenta a partir desse instante, atinge um máximo e depois

decai em direção a zero. Se a velocidade inicial do corpo é nula, sua

posição decai monotonamente em direção a zero.

Notem que para tempos grandes os dois decaimentos se igualam.

Observando a solução (26), vemos que o termo exponencial cujo

expoente é

+− β

γ

2 decai mais rapidamente que o termo exponencial

cujo expoente é

−− β

γ

2 (explique o porquê disto).

Isto implica que, para tempos grandes, o termo cujo expoente é

−− β

γ

2 domina o comportamento da solução (26):

grande) (para ,)( 2

2 teatxt

−−

≅β

γ

. (27)

Independentemente da velocidade inicial do corpo e do que acontece

para valores pequenos de t, para tempos grandes o decaimento da

solução para o caso (c) é sempre o mesmo, de tipo exponencial

como na equação (27).

Exercício: Use um programa como o Excel ou qualquer outro

similar para estudar o comportamento da solução (26) para


Aula 7

22

diferentes valores de )0(x& (supondo sempre que x(0) = A). Em

particular, veja o que acontece quando a velocidade inicial for

negativa e tiver um módulo suficientemente grande.

O gráfico abaixo sintetiza os comportamentos dos três casos de

amortecimento estudados nesta aula (a, b e c). Nos três casos, para

facilitar a comparação, a posição inicial do corpo é x(0) = A e a sua

velocidade inicial é 0)0( =x& .

O gráfico explica a razão dos nomes dados aos três casos.

• O único dos três casos que é oscilatório é o do amortecimento

subcrítico;

• Os casos de amortecimento crítico e supercrítico levam a um

decaimento monótono (sem oscilações) em direção ao repouso;


Aula 7

23

• A solução com amortecimento crítico é a que decai mais

rapidamente em direção ao repouso;

• O nome “crítico” vem do fato de que é para o valor do

parâmetro γ deste caso (γ/2 = ω0) que o comportamento de

decaimento do corpo em direção ao repouso deixa de ser

oscilatório e passa a ser monótono (exponencial).

O caso de amortecimento crítico tem aplicação prática importante

na construção de balanças ou outros instrumentos de precisão

baseados em sistemas mecânicos elásticos. A ideia é construir o

aparelho de maneira que o seu amortecimento seja crítico para

que o movimento atinja o equilíbrio o mais depressa possível e

permita uma rápida leitura do resultado.

Amortecedores de automóveis também são ajustados para o caso

crítico, para retornar o mais rapidamente possível ao equilíbrio

após um buraco para estar prontos para o próximo.

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