Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicaçãoJuros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital.

Capital é o valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em dinheiro.

A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtem um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.

A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. t

Onde:

j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo.

Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

Antes de iniciarmos a resolução deste problema, devemos descobrir, o que é o que, ou seja, quais dados fazem parte das contas.

Capital Aplicado (C) : R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 mesesTaxa (i): 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)

Fazendo o cálculo, teremos:

J = c . i. t  → J = 2.000 x 3 x 0,03 → R$ 180,00

Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, o valor dos juros será de R$ 60,00 por mês e esse valor será somado mês a mês, nunca mudará.

                                                                 tA fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i)

Onde:

M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.

Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a uma taxa de 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:

Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) = 3 mesesTaxa de Aplicação (i) = 0,03 (3% ao mês)

Fazendo os cálculos, teremos:

M = 2.000 . ( 1 + 0,03)³  → M = 2.000 . (1,03)³ → M = R$ 2.185,45

Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 185,45 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, no primeiro mês ela pagará R$ 60,00, no segundo mês ela pagará R$ 61,80 e no terceiro mês ela pagará R$ 63,65.

JUROS SIMPLESQuando se deposita ou empresta uma certa quantia, denominada capital por um certo tempo, recebe-se como compensação outra quantia , chamada juros.

Capital __c___ (quantia emprestada)Taxa____ i___ (porcentagem envolvida)Tempo___t___ (período do empréstimo)Juros____j____(a renda obtida)

Os problemas sobre juros simples podem ser resolvidos por meio de uma regra de três composta. Na pratica são resolvidos através de formula.Exemplo:O capital 100 em 1 ano produz iO capital c em t anos produzira j

Capital______tempo______juros

100_________1____________ic___________ t____________J

I/j=100/c.1/t

i/j= 100/c.t

100j= c.i.t

j=c.i.t/100

OBESERVAÇÃOA formula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidadeExemplosCalcular os juros produzidos por um capital de R$ 5.000,00 empregado à taxa de 90% ao ano, durante 2 anos

SoluçãoJ = ?, c = 5000, i = 90% ao ano, t = 2 anos

Temos: j = c.i.t / 100Substituindo temos:

J = 5000.90.2 / 100J = 900000/ 100J = 9000

Exemplo “2”

Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado à taxa de 3% ao mês, durante um ano.

Temos: j = c . i . t / 100

J= 10000.3.12 / 100J = 360000 / 100J = 3600

Exemplo “3”Qual o capital que, em quatro meses, rendeu R$ 11.520,00 de juros à taxa de 96% ao ano?

Temos : j = c.i.t / 100

11520 = c.8.4 / 10032c = 1152000c = 1152000 / 32c = 36000

Exemplo “4”Durante quanto tempo ficou empregado um capital de R$ 45.000,00 que rendeu R$ 8.100,00 de juros, à taxa de 2% ao mês?

Temos : j = c.i.t / 100

8100 = 45000. 2. t / 10090000t = 810000t = 810000 / 90000t = 9

EXERCICIOS1) Calcule o juro produzido por R$ 50.000,00 durante 2 anos , a taxa de 30% ao ano. (R=30.000)2) Calcule o juro produzido por R$ 18.000,00, durante 3 meses, a taxa de 7% ao mês. (R=3780)3) Calcule o juro produzido por R$ 72.000,00, durante 2 meses , a taxa de 60% ao ano (R=7200)4) Calcule o juro produzido por R$ 12.000,00, durante 5 meses, a taxa de 6,5% ao mês (R= 3900)5) Por quanto tempo devo aplicar R$ 10.000,00 para que a renda R$ 4.000,00 a uma taxa de 5% ao mês? (R=8)6) Por quanto tempo devo aplicar R$ 3.000,00 para que renda R$ 1.440,00 a taxa de 12% ao mês? (R = 4)7) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 10.000,00 para que, no fim de 2 meses renda R$ 2.000,00 de juros? (R=10%)8) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 20.000,00 para que, no fim de 10 meses renda R$ 18.000,00 de juros? (R= 9%)9) Qual será o capital que em 9 meses, a 6% ao mês, renderá R$ 32.400,00 de juros ? (R= 60.000)10) Qual será o capital que,em 3 meses, a 72% ao ano renderá R$ 720,00 de juros? (R=4.000)

Exercícios de Juros Simples e Compostos

Exercícios de Juros Simples e Compostos (bateria 1). Professor Manoel Ribeiro, Disciplina Matemática Financeira, Universidade Federal do Ceará.

01. (Cespe/UnB – Chesf/2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5350,00. O valor desse capital é:

Solução:a) 7050 = C (1+21.i)b) 5350 = C (1+13.i)multiplicando (b) por 21/13 temosb’)112350/13 = 21.C/13 – 21.C.iSomando b’ com a:204000 = 21.C+13.C → 34C = 204000 →C = 6000, alternativa D.

02. (Cespe/UnB – Chesf/2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investirtodo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é:

Solução:Cx + Cy = 6000com ix = 0.07 a.a e iy = 0.09 a.a.Jx + Jy = 500Cx* 0.07 * 1 + Cy * 0,09 * 1 = 500como Cy = 6000 – Cx

Cx* 0.07 + (6000 – Cx) * 0,09 = 500Cx* 0.07 + 540 – 0.09 * Cx= 500Cx = 2000, alternativa C.

03. (Cespe/UnB – Chesf/2002) No sistema de juros compostos com capitalização anual, um capital de R$ 20.000,00, para gerar em dois anos um montante de R$ 23.328,00, deve ser aplicada a uma taxa:

Solução:t = 1; C = 20000; n = 2; M = 2332823328 = 20000*(1+i)²1.1664 = (1+i)²i = 0.08taxa é de 8% a.a.

04. (Cespe/UnB – TRT 6º Região – 2002) Se um capital aplicado a juros simples durante seis meses à taxa mensal de 5% gera, nesse período, um montante de R$ 3250,00, então o capital aplicado é menor que R$ 2600,00.

Solução:n = 6; i=0,05; M=3250;3250 = C*(1+0,05*6)C=2500Verdadeiro, C é menor que R$ 2600.

05. (Cespe/UnB – TRT 6º Região – 2002) Suponha que uma pessoa aplique R$ 2000,00 por dois meses, a juros compostos com uma determinada taxa mensal, e obtenha um rendimento igual a R$ 420,00, proveniente dos juros. Se essa pessoa aplicar o mesmo valor por dois messes a juros simples com a mesma taxa anterior, ela terá, no final desse período, um montante de R$ 2.400,00.

Solução:Aparentemente se quer saber qual foi a taxa de juros mensal aplicada, i.Na primeira aplicação podemos dizer que420 = 2000 [(1+i)² - 1]e na segunda aplicação temos2400 = 2000 (1+2.i)como descobrir i na segunda equação é mais fácil:1 + i.2 = 1.2 → i . 2 = 1.2 → i = 0.1E de fato, substituindo o valor de i na primeira equação, chegamos em uma verdade.420 = 2000 [(1+0.1)² - 1] → 420 = 2000 * 0.21 → 420 = 420

06. (Cespe/UnB – TRT 6º Região – 2002) Considereque um capital de R$ 4000,00 ficou aplicado por 2 meses à taxa de juros compostos de 10% a.m. Se o montante obtido foi corrigido pela inflação do período obtendo-se um total de R$ 5082,00, então a inflação do período foi superior a 7%.

Solução:C=4000; n=; i=0,1 a.m.M = 4000.(1+0.1)²M = 4000*1,21M = 4840

A correção da inflação, que eu chamei de f, é no regime de juros compostos:5082 = 4840 * (1+f)²(1+f)² = 1.05f=0,0247A inflação foi de 2,47% ao mês.

07. (Cespe/UnB – TRT 6º Região – 2002) Considere o capital de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 6% a.m. e sejam M1, M2, …, Mn os montantes gerados por esse capital após o 1º mês, 2º mês, respectivamente. Então os montantes M1, M2, …, Mn, formam uma progressão geométrica de razão igual a 1,06.

Solução:M1 = 5000 * (i+0.06)¹eM2 = 5000 * (i+0.06)² → M2 = 5000 * (1.06)*(1.06)M2 = M1*(1+0.06)da mesma maneira M3:M3 = 5000 * (1.06)³ → M3 = 5000 * (1.06)² * (1.06)M3 = M2*(1.06)Logo podemos definir M como uma progressão geométrica onde:a1 = 5300; q = 1.06an = an-1*1.06; para n > 1

08. (Cespe/Unb – Docas/PA) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,0. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% a.m. O restante, Mário, aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% a.m. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4500 de juros das duas aplicações, julgue os seguintes itens:

a) A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4000,00.

b) Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD.

c) Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco DB foi superior a R$ 8000,00.

Solução:CBD + CBM = 10000iBD = 0.03 a.m; iBM = 0.05 a.m; n=12 mesesJBD + JBM = 4500

Como M = C * (1+i*n) → M-C = C * (1+i*n)-C → J = C * (1+i*n)-C → J = C * (i*n) entãoJBD = CBD * (iBD*n)JBD = CBD * (0.03*12)JBD = CBD * 0.36

Da mesma forma para o banco BM:JBM = CBM * 0.6

somando as duas equações temos que:JBD + JBM = CBD * (0.36) + CBM * (0.6)

mas JBD + JBM = 4500 então:4500 = CBD * 0.36 + CBM * 0.6

mas CBD = 10000 – CBM então:4500 = (10000 – CBM) * 0.36 + CBM * 0.64500 = 3600 – CBM * 0.36 + CBM * 0.64500 – 3600 = CBM * 0.24CBM = 3750

logo a alternativa a) é falsa.

Para achar os juros:JBM = CBM * 0.6JBM = 3750 * 0.6JBM = 2.250

e como JBD + JBM = 4500 entãoJBD = 4500 – 2250JBD = 2250logo a alternativa b) é falsa.

Quanto ao montante da aplicação no banco BD:CBD + CBM = 10000CBD = 10000 – 3750CBD = 6250

MBD = CBD + JBD

MBD = 6250 + 2250MBD = 8500

portanto a alternativa c) é verdadeira.