movimento harmÔnico simples (mhs) césar augusto. por que estudar... possibilita construir um...
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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
(MHS)
César Augusto
Por que estudar... Possibilita construir um modelo de movimento que pode ser
utilizado em diversas situações concretas.
Permite conhecer e prever uma grande quantidade de
movimentos oscilatórios.
Permite modelar microscopicamente o movimento de átomos e
moléculas.
Faz com que se compreenda de que maneira dispositivos tais
como sistemas massa-mola e pêndulo simples realizam
movimentos periódicos e suas diversas aplicações tecnológicas.
1. INTRODUÇÃO
É possível medir a massa de
uma pessoa utilizando-se
apenas um cronômetro?
Como medir a massa de
um astronauta?
Body Mass Measuring Device (BMMD),
o Aparelho de Medida de Massa
Corpórea (AMMC) projetado pela NASA
para monitorar a perda de massa de
seus astronautas em microgravidade.
Foto retirada do site da NASA.
(A) MOVIMENTO OSCILATÓRIO ou VIBRATÓRIOOscilações (vibrações) são fenômenos físicos muito comuns na
natureza. Os carros oscilam para cima e para baixo quando passam num
buraco, os edifícios e pontes vibram quando caminhões pesados
trafegam nas suas proximidades ou quando o vento sopra forte.
Os pistões do motor de carro ficam acoplados em um eixo comum e realizam um movimento oscilatório.
A alavanca de oscilação transforma um movimento circular num movimento oscilatório regular.
As asas de um beija-flor realizam um movimento vibratório que se repete de 80 vezes por segundo.
Um movimento é considerado oscilatório quando um
corpo realiza um movimento de vai-e-vem em torno da
sua posição central, denominada posição de equilíbrio
estável.
Ex. Oscilador massa-mola
Oposição de equilíbrio
O
É todo movimento que se repete em intervalos de tempo iguais.
Ex: O movimento de translação e rotação da Terra;
Movimento Circular Uniforme (MCU)
(B) MOVIMENTO PERIÓDICO
O tempo necessário para o móvel percorrer
uma volta completa, chama-se período (T) do
movimento.
Ou seja, período é o intervalo de tempo
necessário que o movimento complete um
ciclo inteiro.
Num fenômeno periódico, chama-se
frequência (f) o número de vezes em que o
fenômeno se repete na unidade de tempo.
Matematicamente, pode-se mostrar que as
duas grandezas se relacionam pela expressão:
T
1f
• Relações entre as unidades de T e f:
Período (T) Frequência (f)s RPS (hertz – Hz)
min RPMh RPH
60 RPM = 1 RPS = 1 Hz
“1Hz é a frequência do movimento periódico
que executa 1 volta completa a cada 1s”.
É todo movimento retilíneo, oscilatório e periódico.
Ex. Pêndulo Simples (pequenas oscilações) & Oscilador massa-mola
a) Amplitude ( A) – deslocamento
máximo em relação à posição de
equilíbrio produzido pela oscilação.
• GRANDEZAS RELEVANTES DE UM MHS
(C) MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
b) pulsação () – está relacionada a rapidez de oscilação
do movimento.
f2Dependência de ω:
Depende da massa
oscilante;
Não depende da
amplitude de vibração.
No S.I.:[] rad/s
c) Elongação (x) qualquer posição ocupada durante a
oscilação. No ponto de equilíbrio: x = 0;
nas extremidades: x = A (amplitudes).
X
+A
-A
0
4
T
2
T
4
T3 T
t
Graficamente:
• Pausa para testes:
1. Um motor executa 600RPM. Determine sua
frequência, em hertz, e seu período, em segundos.
2. Uma lâmina flexível está presa perpendicularmente a
um suporte, de acordo com a figura. Uma pessoa puxa
a extremidade livre da lâmina, soltando-a em seguida, e
a lâmina começa a vibrar.
a) Caso a lâmina demore 4s para
realizar 2 oscilações completas,
qual é a sua frequência em Hz e
em RPM?
b) Considerando o item anterior, qual é o período do
movimento em segundos?
c) Calcule, em rad/s, a pulsação de vibração da lâmina.
3. Um corpo está preso ao teto de uma sala por meio de
uma mola ideal, que está em equilíbrio; isto é, imóvel.
Uma pessoa puxa o corpo para baixo, deslocando-o
10cm de sua posição de equilíbrio. Sem a ação de
forças de atrito, o corpo começa oscilar, realizando 30
oscilações em 15s.
Pergunta-se:
a) Identifique a força responsável pelo movimento
oscilatório realizado pelo corpo após o puxão.
b) Calcule o período, em segundos, do movimento
descrito pelo corpo.
c) Calcule a frequência do movimento, em Hz e em
RPM, e a pulsação em rad/s.
d) Calcule a amplitude do movimento e o
comprimento da trajetória.
4. Uma partícula realiza um MHS, cujo gráfico da elongação x em
função do tempo t está representado abaixo.
Determine, em unidades SI, para esse MHS:
a) o período e a frequência do movimento;
b) a pulsação.
ESTUDO DO OSCILADOR HARMÔNICO MASSA-MOLA
2. DINÂMICA DO OSCILADOR MASSA-MOLA
�⃗��⃗�m: massa do oscilador
K: constante elástica da mola
A: amplitudes de oscilação
: força elástica restauradora
: aceleração do MHS
: pulsação
T: período do oscilador
Pela 2ª Lei de Newton:| = m| ma = -Kx
Importante: “K” e “m” são valores constantes do oscilador. Pode-se mostrar que a razão é igual a ².Assim: 𝐚=−𝛚𝟐𝐱
Desta forma:²x = = 2f =
T = 2 (período do oscilador massa-mola)
Este resultado tem inúmeras aplicações. Dentre elas, destaca-se o
dispositivo para medida de massa corpórea dos astronautas. Em
condições de microgravidade o organismo e o corpo do ser humano
sofre bastante perda de massa, e é por isso que a NASA monitora
periodicamente essa perda de massa de seus astronautas.
Foto retirada do site da NASA. Mostra uma astronauta no BMMD executando as
oscilações. O sistema astronauta + BMMD é o já conhecido sistema massa-mola
também conhecido como Oscilador Harmônico. O movimento realizado pelo
sistema é um movimento harmônico simples (MHS).
Movimento Harmônico Simples é um movimento
periódico de um corpo em torno de um ponto de
equilíbrio quando submetido a uma força
restauradora. A aceleração desse movimento é
dirigida para a posição de equilíbrio, e sua intensidade
é proporcional à distância em relação à posição de
equilíbrio.
3. DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA (EM) NO OSCILADOR MASSA-MOLA
A Energia Mecânica pode ser dividida em duas
partes: A energia cinética EC, associada à velocidade “V” do
corpo massivo “m” e a energia potencial elástica Epe
associada à posição “x” da mola de constante elástica “K”.
2
²xK
2
²VmEEE PECM
A0-A
2
A.KE
0E2
PE
C
0E2
v.mE
PE
2
C
2
A.KE
0E2
PE
C
4. Pêndulo SimplesO pêndulo simples é um instrumento que consiste
num objeto que oscila em torno de um ponto fixo.
O braço executa movimentos alternados em torno
da posição central, chamada posição de equilíbrio.
O período T do pêndulo simples independe da
massa m do corpo massivo, dependendo
apenas do comprimento do fio L e da
aceleração da gravidade g.
g
L2T
Uma das aplicações mais comuns de um pêndulo é
seu uso para regular o funcionamento de um relógio, em
virtude de seu período manter-se invariável, sob
determinadas condições. A descoberta da periodicidade do
movimento pendular foi feita por Galileu Galilei.• Pausa para teste:
Pense no que ocorrerá com o período pendular se:
a) Variarmos o comprimento (mantendo-se a gravidade constante) e;
b) Variarmos a gravidade local (mantendo-se o comprimento da corda
constante).
5. RELAÇÕES DO MCU COM MHSEnquanto uma partícula descreve um
MCU, sua projeção descreve um MHS.
• Equação da elongação (posição)
inicialfase
tAx
Assim
tPorém
AxA
x
:
)cos(
:
:
coscos
0
0
0
• Equação da velocidade
)t(AsenV
:Assim
AV:Porém
)t(senVV
0
MCU
0MCU
• Equação da aceleração
)tcos(A²a
:Assim
A²a:Porém
)t(cosaa
0
MCU
0MCU
X
+A
-A
0
4
T
2
T
4
T3 T
t
elon
gaçã
o)0()tcos(Ax 0
V
t
+A
-A
0
4
T
2
T
4
T3 Tvelo
cida
de
)0()t(AsenV 0
a
t
+²A
-²A
0
4
T
2
T
4
T3 Tacel
eraç
ão
)0()tcos(A²a 0