apostila movimento harmonico simples (mhs)
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
1/19
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
2/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
2
SUMRIO
1. MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES (M.H.S.) __________________________________ 3
2. EXERCCIOS DE COMBATE __________________________________________________ 10
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
3/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
3
MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES (M.H.S.)
Quando a fora resultante que atua em uma partcula apresentar a forma abaixo
F kr r
Podemos dizer que a partcula realiza um M.H.S.
Vamos imaginar a seguinte situao: Uma mola pendurada no teto com a sua outra ponta presa a um bloco
de massa m. O sistema est inicialmente em repouso. Ou seja, a mola est esticada e essa elongao x medida com a equao abaixo:
mgmg kx x
k
O que fizemos foi igualar o mdulo da fora peso ao da fora elstica. Vamos lembrar que a fora elstica
definida como
F kx x
O sinal de menos deve-se ao fato de que o sentido da fora oposto ao sentido da deformao da mola.
Bom, vamos continuar com a nossa situao. Suponha que algum, aps a situao acima, tenha aplicado
uma fora no bloco de modo que a mola esticasse ainda mais (x+d). Nesse caso a fora elstica supera, em
mdulo, a fora peso. Logo aps a mola alcanar essa nova posio (L+x+d), onde L o seu comprimentonatural, essa pessoa que aplicou uma fora extra no bloco o solta. Como ser o movimento da mola??
Sim, ser oscilatrio. A mola ficar oscilando em torno da posio inicial de equilbrio (x). Vamos considerar
que no h atuao de foras dissipativas. A amplitude do movimento (A) ser justamente o quanto a pessoa
esticou a mola (d). Sendo assim, o bloco oscilar da posio inicial A, subindo, passando pela posio de
equilbrio e alcanando a posio A, onde comear a descer, passando novamente pela posio de
equilbrio e voltando para o ponto A. O tempo necessrio para uma oscilao completa chamado de perodo
(T), que o inverso da frequncia (f) de oscilao do movimento, como j sabemos.
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
4/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
4
Um M.H.S. pode ser transformado em um crculo. A analogia ajuda bastante no entendimento do movimento.
Observe o crculo abaixo:
Podemos ver que a movimentao vertical do objeto ao longo de sua trajetria circular um M.H.S. cujo
perodo o mesmo do objeto (tempo para dar a volta no crculo) e a amplitude do seu movimento coincide
com o raio da trajetria.
Sendo assim podemos calcular a velocidade angular () do objeto, a fim de descobrirmos o perodo de
oscilao do M.H.S..
A partir da figura acima podemos retratar o movimento do bloco na mola, por exemplo. Note que,
inicialmente o nosso bloco est na posio x = A. Pelo grfico podemos tirar a equao da posio de um
corpo realizando um M.H.S. em funo do tempo:
x t Asen t Acos( t )2
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
5/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
5
Perceba que, no caso da figura, a posio inicial x = 0. No nosso exemplo da mola, o bloco comea na
posio x = A, ento, de modo mais geral ( mais conveniente), temos que:
0x t Acos( t+ )
Onde 0 a fase inicial do sistema.
Note que, como a posio inicial do bloco x = A, no nosso exemplo, ento:
0 0 0x A Acos 0
Lembrando que2
2 f .T
Sabendo a frequncia ou o perodo do movimento, conseguimos determinar a
posio do objeto submetido a um M.H.S. em funo do tempo. A fase inicial conseguimos descobrir sabendo
a posio inicial do corpo e/ou a sua velocidade inicial. Porm, podemos descobrir a velocidade angular de
outra maneira. Para isso vamos, a partir da equao da posio, as equaes da velocidade e da acelerao
em funo do tempo:
0dx t
v t Asen tdt
E
2 20dv t
a t Acos t x tdt
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
6/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
6
A partir da tabela acima podemos entender como se comportam as energia no movimento e gerar o grfico
abaixo:
A energia mecnica constante durante o movimento e, conforme a energia potencial cai, a cintica aumenta e
vice-versa.
A velocidade ser nula quando o objeto estiver nos extremos (x = A e x = + A) e mxima
quando estiver na posio de equilbrio, j que, nesse ponto, a acelerao ser nula, ou
seja, 0cos t 0, portanto, 0sen t 1 ou 1. A tabela abaixo apresenta todas essas
informaes:
x = 0 x A
v A v = 0
a = 0 2a A
2 2 2
c m
mv m AE E
2 2
2
p m
KAE E
2
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
7/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
7
Note tambm, a partir da tabela, que a acelerao diretamente proporcional ao deslocamento do objeto:
2a x t
Ento:
2F m x t kx t
Podemos definir a velocidade angular, tambm chamada de pulsao, do movimento de um bloco de massa
m preso a uma mola de constante elstica k sob M.H.S. como:
k
m
Logo:
mT 2
k
Outro exemplo muito comum de M.H.S. o movimento de uma bolinha de massa m presa por um fio cuja
outra extremidade est presa no teto. Movimento de um pndulo simples.
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
8/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
8
As equaes de movimento continuam sendo as definidas anteriormente, j que se trata de um M.H.S. bem
como todas as informaes da tabela. O que ser diferente a velocidade angular do movimento. Pela figura
acima podemos dizer que:
2mgsen ma m x
Onde
x lsen
Ento:
g
l
Logo:
lT 2 g
EXEMPLO:
Um pndulo cujo comprimento de fio vale 1,0 m foi abandonada a uma distncia de 20 cm da posio de
equilbrio. Qual o perodo do movimento? E se o pndulo fosse afastado a uma distncia de 10 cm, qual seria
o perodo?
RESOLUO:
Apesar de ser contra a nossa intuio, o perodo no depende da amplitude de oscilao. Sendo assim, tanto a
20cm quanto a 10cm, o perodo ser1
2 2,2 s.g
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
9/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
9
Essa frmula s vale para pequenas oscilaes. Mas, para um afastamento de 45, por
exemplo, o erro menor que 10%. Ento podemos usar essa frmula sem muitos
problemas.
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
10/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
10
1.(Espcex_2015) Uma criana de massa 25 kg brinca em um balano cuja haste rgida no deformvel e de
massa desprezvel, presa ao teto, tem 1,60 m de comprimento. Ela executa um movimento harmnico
simples que atinge uma altura mxima de 80 cm em relao ao solo, conforme representado no desenho
abaixo, de forma que o sistema criana mais balano passa a ser considerado como um pndulo simples com
centro de massa na extremidade P da haste. Pode-se afirmar, com relao situao exposta, que
DADOS:
Intensidade da acelerao da gravidade 2g 10 m/s
Considere o ngulo de abertura no superior a 10 .
a) a amplitude do movimento 80 cm.
b) a frequncia de oscilao do movimento 1,25 Hz.
c) o intervalo de tempo para executar uma oscilao completa de 0,8 s.
d) a frequncia de oscilao depende da altura atingida pela criana.
e) o perodo do movimento depende da massa da criana.
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
11/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
11
2. (EsPCEx_2014)Peneiras vibratrias so utilizadas na indstria de construo para classificao e separao
de agregados em diferentes tamanhos. O equipamento constitudo de um motor que faz vibrar uma peneira
retangular, disposta no plano horizontal, para separao dos gros. Em uma certa indstria de minerao,
ajusta-se a posio da peneira de modo que ela execute um movimento harmnico simples (MHS) de funo
horria x 8 cos (8 t), onde x a posio medida em centmetros e t, o tempo em segundos.
O nmero de oscilaes a cada segundo executado por esta peneira de
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 32
3. (IME 2013) Uma partcula de carga q e massa m est sujeita a dois campos eltricos ortogonais Ex(t) e Ey(t),
dados pelas equaes:
x
y
E t 5 sen 2t
E t 12 cos 2t
Sabe-se que a trajetria da partcula constitui uma elipse. A velocidade escalar mxima atingida pela partcula :
a)5 q
2 m
b)q
5m
c)q
6m
d)13 q
2 m
e)q
13m
4. (EsPCEx_2013)Uma mola ideal est suspensa verticalmente, presa a um ponto fixo no teto de uma sala, por
uma de suas extremidades. Um corpo de massa 80 g preso extremidade livre da mola e verifica-se que a
mola desloca-se para uma nova posio de equilbrio. O corpo puxado verticalmente para baixo e
abandonado de modo que o sistema massa-mola passa a executar um movimento harmnico simples.
Desprezando as foras dissipativas, sabendo que a constante elstica da mola vale 0,5N m e considerando
3,14, o perodo do movimento executado pelo corpo de
a) 1,256 s
b) 2,512 sc) 6,369 s
d) 7,850 s
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
12/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
12
e) 15,700 s
5. (Esc. Naval 2013) A figura abaixo mostra uma mola ideal de constante elstica k 200 N m, inicialmente em
repouso, sustentando uma esfera de massa M 2, 00 kg na posio A. Em seguida, a esfera deslocada
15,0 cm para baixo at a posio B, onde, no instante t 0 , liberada do repouso, passando a oscilarlivremente. Desprezando a resistncia do ar, pode-se afirmar que, no intervalo de tempo 0 t 2 30 s, o
deslocamento da esfera, em cm, de
a) 3,75
b) 7,50
c) 9,00
d) 15,0
e) 22,5
6. (EPCAr (AFA) 2013) Num local onde a acelerao da gravidade constante, um corpo de massa m, com
dimenses desprezveis, posto a oscilar, unido a uma mola ideal de constante elstica k, em um plano fixo e
inclinado de um ngulo , como mostra a figura abaixo.
Nessas condies, o sistema massa-mola executa um movimento harmnico simples de perodo T. Colocando-
se o mesmo sistema massa-mola para oscilar na vertical, tambm em movimento harmnico simples, o seu
novo perodo passa a ser T.
Nessas condies, a razo T/T
a) 1
b) sen
c)1
2
d)1
sen
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
13/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
13
7. (EsPCEx_2012) Um objeto preso por uma mola de constante elstica igual a 20N mexecuta um movimento
harmnico simples em torno da posio de equilbrio. A energia mecnica do sistema de 0,4 J e as foras
dissipativas so desprezveis. A amplitude de oscilao do objeto de:a) 0,1 m
b) 0,2 m
c) 1,2 m
d) 0,6 m
e) 0,3 m
8. (ITA 2012) Um cilindro vazado pode deslizar sem atrito num eixo horizontal no qual se apoia. Preso ao
cilindro, h um cabo de 40 cm de comprimento tendo uma esfera na ponta, conforme figura. Uma fora
externa faz com que o cilindro adquira um movimento na horizontal do tipo 0y y sen(2 ft) . Qual deve ser o
valor de f em hertz para que seja mxima a amplitude das oscilaes da esfera?
a) 0,40
b) 0,80
c) 1,3
d) 2,5
e) 5,0
9. (ITA 2011) Uma partcula de massa m move-se sobre uma linha reta horizontal num Movimento Harmnico
Simples (MHS) com centro O. Inicialmente, a partcula encontra-se na mxima distncia x0de O e, a seguir,percorre uma distncia a no primeiro segundo e uma distncia b no segundo seguinte, na mesma direo e
sentido. Quanto vale a amplitude x0desse movimento?
a) 2a3/ (3a2b2)
b) 2b2/ (4ab)
c) 2a2/ (3ab)
d) 2a2b / (3a2b2)
e) 4a2/ (3a2b)
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
14/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
14
10. (AFA_2011) Dois corpos, de dimenses desprezveis, A e B presos a molas ideais, no deformadas, de
constantes elsticas Ak e Bk , respectivamente, esto, inicialmente, separados de uma distncia d numa
plataforma sem atrito como mostra a figura a seguir.
A partir dessa situao, os blocos so ento lentamente puxados por foras de mesma intensidade,
aproximando-se, at se encostarem. Em seguida, so abandonados, passando a oscilar em movimento
harmnico simples.
Considere que no haja interao entre os blocos quando esses se encontram.Nessas condies, a soma das energias mecnicas dos corpos A e B ser
a)
2
A B
A B
k k d
2 k k
b)
2 2
A
2
B A B
k d
2k k k
c)
2
A B
2
A B
k k d
2 k k
d) A A B2k k k
11. (ITA 2011) Um relgio tem um pndulo de 35 cm de comprimento. Para regular seu funcionamento, ele
possui uma porca de ajuste que encurta o comprimento do pendulo de 1 mm a cada rotao completa
direita e alonga este comprimento de 1 mm a cada rotao completa esquerda.
Se o relgio atrasa um minuto por dia, indique o nmero aproximado de rotaes da porca e sua direo
necessrios para que ele funcione corretamente.
a) 1 rotao esquerda
b) 1/2 rotao esquerdac) 1/2 rotao direita
d) 1 rotao direita
e) 1 e 1/2 rotaes direita.
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
15/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
15
12. (IME 2010) Uma partcula emite um som de frequncia constante e se desloca no plano XY de acordo com
as seguintes equaes de posio em funo do tempo t, onde a, b e w so constantes positivas, com a > b.
x a cos(wt)
y b sen(wt)
Sejam as afirmativas:
I. o som na origem percebido com a mesma frequncia quando a partcula passa pelas coordenadas (a,0) e
(0,b).
II. o raio de curvatura mximo da trajetria ocorre quando a partcula passa pelos pontos (0,b) e (0,-b).
III. a velocidade mxima da partcula ocorre com a passagem da mesma pelo eixo Y.
A(s) afirmativa(s) correta(s) (so):
a) I, apenas
b) I e II, apenas
c) II, apenas
d) II e III, apenas
e) I, II e III
13. (ITA 2009) Um cubo de 81,0 kg e 1,00 m de lado flutua na gua cuja massa especfica = 1000 kg/m 3. O
cubo ento calcado ligeiramente para baixo e, quando liberado, oscila em um movimento harmnicosimples com uma certa frequncia angular. Desprezando-se as foras de atrito e tomando g = 10 m/s 2, essa
frequncia angular igual a:
a)100
9rad/s.
b)1000
81rad/s
c)1
9rad/s.
d)9
100rad/s.
e)81
1000rad/s
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
16/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
16
14. (ITA 2007) Uma bolinha de massa M colada na extremidade de dois elsticos iguais de borracha, cada
qual de comprimento L/2, quando na posio horizontal. Desprezando o peso da bolinha, esta permanece
apenas sob a ao da tenso T de cada um dos elsticos e executa no plano vertical um movimento
harmnico simples, tal que sen tg . Considerando que a tenso no se altera durante o movimento, o
perodo vale
a) 2 4ML /T .
b) 2 ML /4T .
c) 2 ML /T .d) 2 ML /2T .
e) 2 2ML /T .
15. (ITA 2007) Um sistema massa-molas constitudo por molas de constantes k1 e k2, respectivamente,
barras de massas desprezveis e um corpo de massa m, como mostrado na figura. Determine a frequncia
desse sistema.
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
17/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
17
16. (ITA 2005) Considere um pndulo de comprimento , tendo na sua extremidade uma esfera de massa m
com uma carga eltrica positiva q. A seguir, esse pndulo colocado num campo eltrico uniforme E queatua na mesma direo e sentido da acelerao da gravidade g . Deslocando-se essa carga ligeiramente de
sua posio de equilbrio e soltando-a, ela executa um movimento harmnico simples, cujo perodo
a) T = 2 g
b) T = 2 g q
c) T = 2 m qE d) T = 2 m mg qE
e) T = 2 m mg qE
17. (FUVEST 2004) Um certo relgio de pndulo consiste em uma pequena bola, de massa M = 0,1 kg, que
oscila presa a um fio. O intervalo de tempo que a bolinha leva para, partindo da posio A, retornar a essa
mesma posio seu perodo T0, que igual a 2s. Neste relgio, o ponteiro dos minutos completa uma volta
(1 hora) a cada 1800 oscilaes completas do pndulo.
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
18/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
18
Estando o relgio em uma regio em que atua um campo eltrico E, constante e homogneo, e a bola
carregada com carga eltrica Q, seu perodo ser alterado, passando a T(Q). Considere a situao em que a
bolinha esteja carregada com carga Q = 3 x 10-5C, em presena de um campo eltrico cujo mdulo E = 1 x 10 5
V/m.
Ento, determine:
a) A intensidade da fora efetiva F(e), em N, que age sobre a bola carregada.
b) A razo R = T(Q)/T0entre os perodos do pndulo, quando a bola est carregada e quando no tem carga.
c) A hora que o relgio estar indicando, quando forem de fato trs horas da tarde, para a situao em que o
campo eltrico tiver passado a atuar a partir do meio-dia.
18. (ITA 2001) Uma partcula descreve um movimento cujas coordenadas so dadas pelas seguintes equaes:X(t) = X0 . cos(t) e Y(t) = Y0 . sen(t + /6), em que w, X0 e Y0 so constantes positivas. A trajetria da
partcula
a) Uma circunferncia percorrida no sentido anti-horrio.
b) Uma circunferncia percorrida no sentido horrio.
c) Uma elipse percorrida no sentido anti-horrio.
d) Uma elipse percorrida no sentido horrio.
e) Um segmento de reta.
19. (FUVEST 1999) O grfico representa, num dado instante, a velocidade transversal dos pontos de umacorda, na qual se propaga um onda senoidal na direo do eixo dos x.
A velocidade de propagao da onda na corda de 24m/s. Sejam A, B, C, D e E pontos da corda. Considere,
para o instante representado, as seguintes afirmaes:
I. A frequncia da onda 0,25Hz.
II. Os pontos A, C e E tm mxima acelerao transversal (em mdulo).
III. Os pontos A, C e E tm mximo deslocamento transversal (em mdulo).IV. Todos os pontos da corda se deslocam com velocidade de 24m/s na direo do eixo x.
-
7/24/2019 apostila Movimento Harmonico Simples (Mhs)
19/19
FSICAProf. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MDULO 11
So corretas as afirmaes:
a) todas.
b) somente IV.
c) somente II e III.
d) somente I e II.
e) somente II , III e IV
20. (ITA 1998) Um relgio de pndulo simples montado no ptio de um laboratrio em Novosibirsk na
Sibria, utilizando um fio de suspenso de coeficiente de dilatao 1 x 105C1. O pndulo calibrado para
marcar a hora certa em um bonito dia de vero de 20 C. Em um dos menos agradveis dias do inverno, com a
temperatura a40C, o relgio:a) adianta 52 s por dia.
b) adianta 26 s por dia.
c) atrasa 3 s por dia.
d) atrasa 26 s por dia.
e) atrasa 52 s por dia.