o sistema massa-molapatricio:te220:aula_2... · projeções do mcu sobre o eixo x. o mhs e o...
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O Sistema Massa-Mola
O sistema massa mola, como vimos, é um
exemplo de sistema oscilante que descreve um
MHS.
Como sabemos (aplicando a Segunda Lei de Newton) temos que F = ma
Como sabemos, no caso massa-mola (e em todos os sistemas com MHS)
Fx = -Cx, onde C neste caso é k (constante de elasticidade da mola)
portanto:
ou
Equação diferencial linear ordinária de segunda ordem homogênea com
coeficientes constantes.
Se olhamos para a equação veremos que a solução tem que ser uma
função do tipo seno ou co-seno, ou e±ct ou outra função periódica!
Escolhemos a mais simples:
1
Como encontrar as constantes A, e ?
Substituindo a solução proposta x(t) na equação obtemos: k
m
A e podem ser obtidas a partir da posição inicial xo = A cos e da
velocidade inicial vo = -A sen.
O Sistema Massa-Mola
2
Observações
O Sistema Massa-Mola
Compliância = 1/k
k
m M0 ????
Combinação de molas em paralelo igual deformação e soma das forças
portanto a constante da mola efetiva (resultante) será a soma das duas!
Do que depende k?
Combinação de molas em série igual força e soma das deformações
portanto a compliância da mola efetiva (resultante) será a soma das
compliâncias das molas individuais!
E em série?
3
Exercícios1. Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola de constante
k=400 N/m. Em um certo instante t a posição (medida a partir da
posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco
são: x = 0,100m, v = -13,6 m/s e a = -123 m/s2. Calcule (a) a frequência
linear de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do
movimento.2
2 123 m/s35.07 rad/s .
0.100 m
aa x
x
Portanto , f = /2 = 5.58 Hz.
(a)
(b)2
400 N/m= 0.325kg.
(35.07 rad/s)
km
m
(c)
2 2(0.325 kg / 400 N/m)(13.6 m/s) (0.100 m) 0.400m.mx
4
1
2𝑘𝑥𝑚
2
=1
2𝑚𝑣2 +
1
2𝑘𝑥2 → 𝑥𝑚 =
𝑚
𝑘𝑣2 + 𝑥2
2. Na figura duas molas são ligadas entre si a um bloco de massa 0,245
kg que oscila em um piso sem atrito. As duas molas possuem uma
constante elástica k = 6430 N/m. Qual é a frequência das oscilações?
Precisamos encontrar a constante efetiva kef da
combinação de molas da figura. Para isso
determinamos a magnitude F da força exercida
sobre a massa m quando a elongação total é x.
Nesse caso teremos que kef = F/x.
Vamos supor que a mola da esquerda sofre uma elongação xe e a mola
da direita uma elongação xd.
Então a mola da esquerda exerce uma força kxe sobre a mola da direita
e a mola da direita exerce uma força kxd sobre a mola da esquerda.
Pela Terceira Lei de Newton as forças devem ser iguais! portanto xd =
xe e x = 2 xe = 2 xd.
A mola da esquerda exerce uma força sobre o bloco de magnitude F =
kxe
Então o kef = kxe/2xd= k/2 e a frequência será 𝑓 =
𝑘𝑒𝑓𝑓𝑚2𝜋
=
𝑘2𝑚
2𝜋
Exercícios
5
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (13) (23) (24)
Perguntas: (7) (8) (9)
Com m = 0,245 kg e k = 6430 N/m, a frequência será f = 18,2 Hz.
𝑓 =1
2𝜋
𝑘𝑒𝑓𝑓
𝑚𝑓 =
1
2𝜋
𝑘
2𝑚
Exercícios
6
Fixação
Fio de suspensão
Linha de
referência
( ) cosmt t
O Pêndulo de Torção
O pêndulo de torção é um exemplo de sistema oscilante.
Consiste de um disco com momento de inércia I
suspenso por um fio.
Quando o disco gira teremos um deslocamento angular
a partir da posição de equilíbrio.
A torção do fio armazena energia potencial produzindo o
torque restaurador = -.
Esta é a forma angular da Lei de Hooke. A constante é
chamada constante de torção do fio.
Podemos calcular o período T e a frequência angular da oscilação.
Notemos que I é a inércia rotacional do disco em torno do eixo que coincide
com o fio. O ângulo é dado pela equação:
7
Fixação
Fio de suspensão
Linha de
referência
Vamos obter a equação diferencial e resolver ela.
Como sabemos (aplicando a Segunda Lei de Newton
para a rotação) temos que = I
Neste caso = -, onde C neste caso é (constante
de torção do fio) portanto:
ou
Como já vimos, a solução mais simples é:
Se chamamos A=m teremos:
Logo:
Checar!
O Pêndulo de Torção
8
PivôO Pêndulo Simples
O pêndulo simples (matemático) consiste de uma massa m
suspensa por uma corda inextensível de comprimento L.
Se deslocamos a massa do seu equilíbrio, a força resultante
atuando sobre ela é tal que o sistema vai descrever um MHS.
Há duas forças atuando sobre m: a força gravitacional e a
tensão da corda.
O torque líquido destas forças é = -rFg = -Lmg sen
Aqui é o ângulo entre a corda e o eixo vertical.
Se <<1 em radianos! (digamos menor que 5º) podemos
considerar:Sen Onde está expresso em radianos
A partir desta aproximação o troque é = -Lmg
Comparando esta expressão com a da força F = -Cx vemos
que C = mgL e portanto podemos determinar T e da
oscilação
2L
Tg
9
No desenvolvimento das equações obtidas nos utilizamos a aproximação
<< 1 o que nos permitiu realizar a substituição sen .
Vamos agora decidir o que é um ângulo “pequeno”, ou seja, até que
valores do ângulo a aproximação é razoavelmente precisa?
(graus) (radianos) sen
5 0,087 0,087
10 0,174 0,174
15 0,262 0,259 (1% erro)
20 0,349 0,342 (2% erro)
Conclusão: se mantemos < 10 ° o erro será inferior a 1%
Como em este caso a inércia rotacional I em torno do ponto
de pivô indicado é igual a mL2, então:
O Pêndulo Simples
10
Vamos agora obter a equação diferencial do movimento e
resolver ela.
O Pêndulo Simples
Como vimos, o torque líquido sobre o pêndulo
é = -rFg = -Lmg sen
Aplicando a Segunda Lei de Newton para a
rotação temos que = I
Neste caso = -Lmg sen , onde C neste caso
é Lmg portanto:
Considerando ângulos pequenos teremos sen e como I = mL2 :
ou
11
O Pêndulo Simples
Como já vimos, a solução mais simples é:
Se chamamos A=m teremos:
Logo:
Checar!12
O Pêndulo FísicoO pêndulo físico é um corpo rígido suspenso de um
ponto O que oscila sob a influência da gravidade.
O torque líquido é = -mgh sen onde h é a distância
entre o ponto O e o centro de massas C do corpo
suspenso.
Se utilizamos a aproximação do ângulo pequeno <<1
teremos = -mgh
Novamente, comparando esta expressão com a
equação da força F = -Cx vemos que C = mgh e
portanto podemos determinar T e da oscilação
2 I
Tmgh
Onde I é o momento de inércia respeito do eixo que
passa pelo ponto O ( ao slide) e por um conhecido
teorema:IO = IC+ mh2
13
OUTRA VEZ!!! vamos agora obter a equação diferencial
do movimento e resolver ela.
O torque líquido é = -mgh sen
Aplicando a Segunda Lei de Newton para a rotação
temos que = I
Neste caso = -mgh sen , onde C neste caso é mgh
portanto, considerando sen :
Logo:
Checar!
O Pêndulo Físico
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Exercícios1. Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro de
comprimento , cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na
régua a uma distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é
2,5 s. Determine o valor de d. Lembrar que o momento de inércia
rotacional respeito do seu centro de massa para uma barra de
comprimento L é mL2/12.
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (39) (49)
Perguntas: (11)
IO = IC+ mh2Temos que Onde h = d o valor desconhecido.
TmL md
mgd
L
gd
d
g
2
122
12
2 2 2
/
. 2 I
Tmgh
Como
d = 0,056 m.
15
Consideremos um objeto descrevendo uma
trajetória circular de raio xm com velocidade
uniforme v.
Se projetamos a posição P’ da partícula em
movimento, sobre o eixo x obteremos o ponto
P.
A coordenada de P é descrita pela equação x(t)
= xm cos(t+)
Entanto P’ descreve um MCU o ponto P
descreve um MHS.
Vamos ver agora qual é a situação da velocidade e a aceleração para as
projeções do MCU sobre o eixo x
O MHS e o Movimento Circular
16
A velocidade v do ponto P’ é xm.
A direção do vetor velocidade v é ao longo
da tangente à trajetória circular.
Se projetamos o vetor velocidade v sobre o
eixo x teremos v(t) = - xm sen(t+)
A vetor aceleração a aponta ao centro O.
Se projetamos ela sobre o eixo x teremos:.
a(t) = - 2xm cos(t+)
O MHS e o Movimento Circular
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Conclusão: Seja como for que olhamos para
as projeções do MCU (velocidade, aceleração
ou posição) todas elas são MHS
Espaço real Espaço de fases
Velocidade
Po
siçã
o
Orbita
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (91) (105)
O MHS e o Movimento Circular
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Cíclotron
Como vimos, o movimento
harmônico está relacionado com as
componentes do movimento circular. Um caso
importante é o movimento de uma partícula
carregada num campo magnético constante
(movimento cíclotron).
O MHS e o Movimento Circular
.
.elétronB
v
F
C
r
Uma partícula de massa m e carga q quando
injetada com uma velocidade ν em ângulo reto
a um campo magnético uniforme B, segue
uma órbita circular, com velocidade uniforme.
A força centrípeta requerida para tal
movimento é proveniente da força magnética:
19
O MHS e o Movimento Circular
A órbita circular de raio r para um elétron é mostrado na figura. A força magnética:
A frequência correspondente:
A frequência angular:
Nota 1: O período cíclotron não depende da velocidade ν. Todas as partículas de
mesma massa completam uma órbita circular durante um mesmo tempo T
independentemente da velocidade.
Nota 2: Partículas rápidas e de igual massa se movimentam em órbitas circulares de
raios maiores, enquanto partículas lentas se movem em órbitas de raios menores.
Todas as órbitas tem o mesmo período T.
.
.elétronB
v
F
C
r
Cíclotron
mvr
q B
q B
m
20
O MHS e o Movimento Circular
mvr
q B
2 m
Tq B
Agora, considerando o
movimento de uma carga em
um campo magnético uniforme
B quando a velocidade inicial v
forma um ângulo com B.
Decompomos v em duas
componentes:
Uma componente (ν||) paralela e o outra (ν┴) perpendicular ao B (veja a figura a) ν|| =
ν cos ν┴= sen . A partícula executa dois movimentos independentes.
Um é o movimento cíclotron que está em um plano perpendicular a B analisado no
slide anterior. O raio O período .
O segundo movimento está ao longo da direção de B e este movimento é retilíneo
uniforme com velocidade constante ν||. A combinação dos dois movimentos resultam
em uma trajetória helicoidal . O passo p da hélice é :
Trajetórias helicoidais
21𝑝 = 𝑇𝑣∥ =
2𝜋𝑚𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑞𝐵