Movimento oscilatório e Caos

Do mais simples para o mais complicado ...

MHS Amortecimento Não linearidade Caos

Hoje

Nas aulas anteriores

Movimento Harmônico Simples

Na penúltima aula:Pêndulo simples

Movimento Harmônico Simples

Hoje: pêndulo não-linear sen() forçado FDsen(Dt) amortecido -b d/dt

T

P

Decompondo

PR=TFR=0

2

2

dt

s dm F

Mas s=l

2

2

dt

dml F

F = P+Fext +Famort

P =-mg sen()

Fext=FDsen(Dt)

Famort=-b d/dt

ml

F

dt

d 2

2

Tomando FD/ml e q b/ml

) ( ) ( 2

2

t sendt

dq sen

l

g

dt

dD

1 equação diferencial não-linear não-homogênea de 2a ordem

Juntando

Solução desconhecida!

Aplicar o Método de Euler-Cromer

Transformar

1 equação diferencial de 2a ordem

em

2 equações diferenciais de 1a ordem

Como aplicar o Método de Euler-Cromer?

) ( ) (t sendt

dq sen

l

g

dt

dD

2 equações de 1a ordem

dt

d

Iterando

t

t t t

dt

d

) ( ) (

dt

d

t t t tdt

dt t t ) ( ) ( ) ( ) (

i+t= i + i+1tIgual a

aulas anteriores

Iterando

t

t t t

dt

d

) ( ) (

t t sen t t q t t senl

gt t tD ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) (

) ( ) (t sendt

dq sen

l

g

dt

dD

tdt

dt t t ) ( ) (

Iterando

t t sen t t q t t senl

gt t tD ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( i+t= i – (g/l)senit-

qit+sen(Dti) t

diferente das aulas anteriores

O programa

i+t= i + i+1t

Inicializa

Itera(até n)

0=... e 0=...

Imprime Print, write ...

i+t= i - (g/l)senit-qit+sen(Dti) t

Testando o programa

l =1m g = 9,8 m/s2

0=0,2 rad sen(0)=0,199 sen(0) 0

t= 0,04 ss

g

l2 2

q= 0= 00= 0

Rodando o programa

Ok ! 0 2 4 6 8 10

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

(ra

d)

t(s)

sen 0=0,2 rad

sen(0)= 0,199 sen(0) 0

Amortecimento

0 2 4 6 8-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3 q=0 q=1.5625

q=3.125 q=6.25 q=12.5

(ra

d)

t(s)

Sub-crítico

crítico

Amortecimento

0 2 4 60,00

0,05

0,10

0,15

0,20

q=0 q=1.5625 q=12.5

E

nerg

ia

t(s)

Força externa

0 10 20 30-0,1

0,0

0,1

0,2

q=0.625

t(s)

l =9.8 m g = 9,8 m/s2

t= 0,04 s

0= 0 0= 0.02

= 0.0

q= 0.625

=2

transiente

Força externa

0 10 20 30 40

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5 =0 =0.5 =1.2

q=0.625

t(s)

= 0= 0.5= 1.2

q= 0.625

transiente

Força externa

l =9.8 m g = 9,8 m/s2

t= 0,04 s

0= 0 0= 0.02

q= 0.5

0 10 20 30 40 50 60

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

=0 =0.5 =1.2

q=0.02

(ra

d)

t(s)CAOS!

Força externa

l =9.8 m g = 9,8 m/s2

t= 0,04 s

0= 0 0= 0.02

q= 0.5

0 10 20 30 40 50 60-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

=0 =0.5 =1.2

q=0.02

(ra

d/s)

t(s)

Caos

Um sistema pode obedecer àsleis determinísticas da física e ainda assim ter seu comportamento não predizível devido a uma extrema sensibilidade às condições iniciais

Esse sistema é dito caótico

Trajetória no espaço de fase

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

(ra

d/s)

(rad)

q= 0.5

= 0.5

0= 0.02

Sem caos

Trajetória no espaço de fase

q= 0.5

= 1.2

0= 0.02

Caos -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

(ra

d/s)

(rad)Tf=60s

Caos

-20 -15 -10 -5 0 5-3

-2

-1

0

1

2

3

(ra

d/s)

(rad)

Tf=360s

Sensibilidade às condições iniciais

(t=0)=0.001

0 10 20 30 401E-10

1E-9

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

||

t(s)

= 0.5

~ et

~-0.25 < 0

Expoente de Liapunov

(t=0)=0.001

= 1.2

~ et

> 00 50 100 1501E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

10

t(s)

Caos

> 0

< 0=0.5

> 0.5 < 1.2

Caos

Sem caos

Transição: = 0

=1.2

BifurcaçãoPara cada (FD) calcula-se (t)

Depois de 300 períodos (transiente vai a zero)

Até 400 períodos

Pegar para t em fase com a força externa: Dt=n

Bifurcação

Referência

Computational Physics

Nicholas J. Giordano