material de apoio: movimento oscilatório uma partícula descreve um movimento oscilatório quando...

Material de apoio: movimento oscilatório

Uma partícula descreve um movimento oscilatório quando se move periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio

Exemplos: movimento pendular movimento de uma mola vibração dos átomos numa molécula vibração do campo electromagnético numa onda electromagnética …

Movimento Harmónico Simples (MHS) movimento oscilatório mais simpes consitui uma descrição bastante precisa de muitos fenómenos

oscilatórios


Uma partícula tem um MHS ao longo do eixo dos xx, quando o seu deslocamento relativamente à origem do eixo é dada por

)wcos()( tAtx )wcos()( tAtx

- fase da onda - fase inicial da onda A – amplitude do movimento: deslocamento máximo para a direita

e para a esquerda da origem do eixo – posição de equilíbrio

tt w)(

)0(

0x Ax Ax

movimento oscilatório em torno de x=0, a posição de equilíbrio


T – período do movimento: intervalo de tempo mínimo ao fim do qual x(t) repete o seu valor

)wcos(

)(

)w(cos

)(

tA

tx

TtA

Ttx

TTtTt

2w2w)wcos()wcos(w

w – frequência angular f – frequência: número de reptições na unidade de tempo:

Notas:

1 - o movimento pode igualmente ser descrito através da função seno, igual à função cosseno com um desfasamento de /2, implicando apenas um ajuste na fase inicial

2 – a frequência angular, w, só é igual à velocidade angular, w, quando esta é constante

Tf

1

período da função cosseno


Velocidade de uma partícula com MHS ao longo do eixo dos xx

)wsin(w)()( tAtdt

dxtv )wsin(w)()( tAt

dt

dxtv

varia periòdicamente, com a mesma frequência angular, entre os valores wA e -wA

Aceleração de uma partícula com MHS ao longo do eixo dos xx

)wcos(w)()()( 22

2

tAtdt

xdt

dt

dvta )wcos(w)()()( 2

2

2

tAtdt

xdt

dt

dvta

aceleração é proporcional ao deslocamento; varia periòdicamente, com a mesma frequência angular, entre os valores wA e -wA


em oposição de fase

)wcos(w)(

)wsin(w)(

0 ; )wcos()(

2

tAta

tAtv

tAtx

T

t

)(tx

)(tv

)(ta

A

A2w

Aw


amplitude, frequência angular e condições iniciais

2

2

202

00

0

w)sin(w)0(

)cos()0(A

vx

Avv

Axx

2

202

0 w

vxA

2

202

0 w

vxA

condições iniciais

equação do movimento

)(w)(

)wcos(w)(

)wcos()(2

2txta

tAta

tAtx

)(w)( 22

2

txtdt

xd )(w)( 2

2

2

txtdt

xd

cuja solução é portanto

)wcos()( tAtx )wcos()( tAtx

x(t) pode ser interpretado como a componente x de um vector

de norma igual à amplitude:

que roda com velocidade angular igual à frequência angular do MHS:


w)( tw

)(tA

AtA )(

)(tA

)(tx

)(t)wcos(

)(cos

)(

tA

tA

Atx x


Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e mesma frequência

diferença de fase dos dois MHS: independente do tempo12

)wcos()()( 1111 tAtAtx x

xx

xx

tAtAtA

tAtAtxtxtx

)()()(

)()()()()(

21

2121


)w()( ; )(cos)( tttAtx

cos2 2122

21

21

AAAA

AAAA

A

AAxxx 2211

21

coscoscos)0()0()0(

)(tA

)(1 tA

)(2 tA

)(tx

)(t


Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e mesma frequência: casos especiais

dois MHS em fase: 012


122222 ; )wcos()()( tAtAtx x

21

21

)w()(

)(cos)(

AAA

tt

tAtx

interferência construtiva

)(1 tx

t

)(2 tx

)()( 21 txtx

)wcos(

)()()(

121

21

tAA

txtxtx


Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e mesma frequência: casos especiais

dois MHS em oposição de fase: 12


122222 ; )wcos()()( tAtAtx x

121

21

21

coscos

)w()(

)(cos)(

AA

AA

AAA

tt

tAtx

)wcos(

)()()(

121

21

tAA

txtxtx

interferência destrutiva

)(1 tx

t)(2 tx

)()( 21 txtx


Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e frequências diferentes

diferença de fase dos dois MHS:

12

12 )w-w()(

tt


x

xx

tAtAtA

tAtAtxtxtx

)()()(

)()()()()(

21

2121


)(cos2

)()()()(

2122

21

21

tAAAA

tAtAtAtA

)(tA

)(1 tA

)(2 tA

)(t )(tx

)(t

amplitude depende do tempo, oscila entre e21max AAA 21min AAA


Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e frequências diferentes e amplitudes iguais


1222222 ; )wcos()()( tAtAtx x

amplitude modulada pela frequencia w2-w1

2

12)ww(cos

2

)w-w(cos2)()()( 1212

121

ttAtxtxtx

2

)w-w(cos2)( 12

1

tAtA

)(tx

2

)w-w(cos2 12

1

tA

Composição, ou sobreposição de dois MHS Direcções ortogonais

exemplo: movimento plano de uma partícula com as coordenadas x e y animadas de MHS


12 )wcos()()( 111 tAtxtx

yx utyutxtr

)()()(

)wcos()()( 222 tBtytx

By

By

)(tx

)(ty

)(tr

Ax Ax

extremidade descreve linha, trajectória, confinada pelas rectas x=±A e y=±B

a forma da linha depende da razão w1/w2 e de

esta linha genérica tem o nome de Figura de Lissajous


Caso especial:


0 ; www 1221

)w(cos)(

)()()(

)(

)wcos()()(

)wcos()()(

22222

1

tBAtr

txA

Bty

A

B

tx

ty

tBtytx

tAtxtx

trajectória descrita sobre a recta y=B/Ax posição sobre esta recta pode ser

descrita por

oscilação, sobre a recta y=B/Ax, em torno da origem com w

By

By

)(tx

)(ty

)(tr

Ax Ax

xABy

tBAt wcos)( 22

distância à origem


Caso especial:


1221 ; www

trajectória descrita sobre a recta y=-B/Ax posição sobre esta recta pode ser descrita

por

oscilação, sobre a recta y=-B/Ax, em torno da origem com w

tBAt wcos)( 22

)w(cos)(

)()()(

)(

)wcos(

)wcos()()(

)wcos()()(

22221

22

11

tBAtr

txA

Bty

A

B

tx

ty

t

tBtytx

tAtxtx

distância à origem

By

By

)(tx)(ty

)(tr

Ax Ax

xABy

By

By

Ax Ax


caso especial:


2 ; www 1221

1)()(

)wsin(

)wcos()()(

)wcos()()(

2

2

2

2

1

22

11

B

ty

A

tx

t

tBtytx

tAtxtx

equação de uma elipse de semieixos A e B

se A=B, a trajectória é circular

)(tx

)(ty

)(tr1

)()(2

2

2

2

B

ty

A

tx


MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola

xuxtxktF

)()( 0 xuxtxktF

)()( 0

força da mola é proporcional, e opõe-se, à sua deformação: força elástica

deformação da mola no instante de tempo t : x(t) - x0

)()()()( )()(2

2

02

2

0 tXm

kt

dt

Xdxtx

m

kt

dt

xduxtx

m

kta x

posição de não deformação: posição de equilíbrio

0xx F

0)( xtx

x


MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola

massa oscila em torno de x0 com

m

ktAtXtX

m

kt

dt

Xd w; wcos)()()(

2

2

m

kw

)0(

)0(

w

)0()0(

2

22

0 v

x ;

vxxA

frequência angular amplitude condições iniciais

tAxtx wcos)( 0 tAxtx wcos)( 0 tAtv wsinw)( tAtv wsinw)(

Axx

Axx

0min

0max

0xminx maxx

F

x

Material de apoio: movimento oscilatório MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola

força elástica é conservativa deriva de energia potencial energia mecânica conserva-se

0constante ; constante 2

1)(

2

1

2

1')'(

02

0

20

200

)Ep(xxxkxE

xxkxxkudxuxxkrdFEW

p

ffif

fx

ix xxpif

2220

2 )wcos(2

1)wsin(w

2

1

2

1

2

1 tAktAmxxkmvEEE pk

Axx

Axx

0min

0max

0xminx maxxx

2

2

1kAEEE pk 2

2

1kAEEE pk km 2w

maxvv

EE k

0

v

EE p

0

v

EE p


MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola sob acção do campo gravítico

00 0 xx umgukxPF

situação de equilíbrio

mgkx 0 mgkx 0condição de equilíbrio

situação de oscilação

2

2

0

dt

xdm

kx

mgkxamPF

0x

minx

maxx

x

0 posição de não deformação

posição de equilíbrio

F

P )( 02

2

xxm

k

dt

xd

tAxtx wcos)( 0 tAxtx wcos)( 0


MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola sob acção do campo gravítico forças elástica e gravítica conservativas

situação de oscilação

constante

constante2

1

2

1

constante)(2

1)(

020

2

20

mgxkxmgxkx

xxkxEp

2

2

1kAEEE pk 2

2

1kAEEE pk

0constante)( 0 xEp

0x

maxx

minx

x

0

F

P

0v

EE p

maxvv

EE k

0vv

EE p

elásticagravítica

derivam de energias potenciais


MHS: pêndulo de massa pontual m regime das pequenas oscilações

)wcos()( 0 tt )wcos()( 0 tt

l

vmmgT

vmR

gdt

dv

dt

dvmmg

dt

dvmR

N

T

22

cos

sinsin

T

P

2

2

0

dt

dr

dt

dv

w

dt

dlrwv

sin

2

2

l

g

dt

d

l

g

dt

d

2

2

amplitude

l

gw

l

gw 2

22

0 w

)0()0(

w

2

22

0 w

)0()0(

w

l

sin

frequência angular

Material de apoio: movimento oscilatório MHS: pêndulo de massa pontual m

regime das pequenas oscilações tensão: ortogonal ao deslocamento não realiza trabalho peso: força conservativa deriva de eergia potencial energia mecânica conserva-se

00constante ; constante )Ep(mghEp

202

1 mglEEE pk 202

1 mglEEE pk

)w(sinw2

1

)w(cos2

1

2

1)cos1(

220

22

220

2

tg

lmEdt

dlv

tmgEllh

k

p

00

0 ; hEE k

0 ; vEE p0 ; vEE p


MHS: pêndulo de massa extensa m regime das pequenas oscilações

)wcos()( 0 tt )wcos()( 0 ttsin

2

2

I

lmg

dt

d

I

lmg

dt

d

2

2

momentos calculados relativamente a O

I

lmgw

I

lmgw

sin

massa roda em sentido retrágrado (movimento descendente) em torno do eixo dos zz perpendicular ao plano formado por

e , e que passa por O: eixo de simetriaT

P

zzz

zPP

TT

TP

udt

du

dt

duww

ulmgPrN

TrN

Idt

wId

dt

LdNN

2

2

sin

0

l

O

T

P

z

vectores paralelos

se a massa for pontual l

gmlI w2


Oscilações Amortecidas: presença de uma força resistiva fraca exemplo – efeito do ar

x

x

x

xxR

udt

xdmamR

v

udt

dxb

uxxk

ukxumgFFPR

2

2

0

dt

dxbxxk

dt

xdm 02

2

dt

dxbxxk

dt

xdm 02

2termo de

amortecimento

)wcos()( 0 tAextx t

)wcos()( 0 tAextx t

m

b

2

m

b

2

m

k 0

220 w; ww

m

k 0

220 w; ww

amplitude tende exponencialmente para zero: movimento oscilatório não periódico

x

F

P

RF

força resistiva opõe-se ao movimento realiza

trabalho negativo corpo perde energia

mecânica

l

vmmgT

vmR

vm

bg

dt

dv

dt

dvmbvmg

dt

dvmR

N

T

22

cos

sinsin


Oscilações Amortecidas: presença de uma força resistiva fraca exemplo – efeito do ar

dt

d

m

b

l

g

dt

d

2

2

dt

d

m

b

l

g

dt

d

2

2

termo de amortecimento

)wcos()( tAet t)wcos()( tAet t

m

b

2

m

b

2 l

g 0

220 w; ww

l

g 0

220 w; ww

amplitude tende exponencialmente para zero: movimento oscilatório não periódico

T

P

l

RF

vb

FFPR R

2

2

dt

dl

dt

dv

dt

dlv

força resistiva opõe-se ao movimento realiza

trabalho negativo corpo perde energia

mecânica

Material de apoio: movimento oscilatório Oscilações Forçadas

força resistiva opõe-se ao movimento realiza trabalho negativo sistema perde energia mecânica amplitude do movimento tende exponencialmente para zero

perda da amplitude pode ser compensada pela aplicação de uma força periódica, , que contrarie a força resistiva, também periódica porque proporcional à velocidade forneça sustentadamente energia ao sistema

xff

xR

x

fR

utFF

ubvF

ukxF

FFFR

)(wcos0

)wcos(02

2

tFdt

dx

m

bx

m

k

dt

xdf )wcos(02

2

tFdt

dx

m

bx

m

k

dt

xdf

termo de amortecimento

termo elástico termo forçado

fF


Oscilações Forçadas ao fim de um certo intervalo de tempo, o sistema estabiliza: em

cada ciclo a energia perdida, por acção de , iguala a energia fornecida por

sistema entra em regime estável e oscila forçadamente com amplitude constante e a frequência da força periódica aplicada

)wcos()( tAtx f )wcos()( tAtx f

m

k ;

mb

mF

A 0

f20

2f

w

ww-w2

2

0

m

k ;

mb

mF

A 0

f20

2f

w

ww-w2

2

0

frequência natural do oscilador

fF RF

frequência forçada

amplitude forçada

intensidade da força aplicada


Oscilações Forçadas fenómeno ressonante

mesmo para uma intensidade fraca da força aplicada, a amplitude pode assumir valores muitos elevados quando

b é pequeno – força resistiva de fraca intensidade wf ~ w0 – frequência forçada muito próxima da frequência

natural

m

k ;

mb

mF

A 0

f20

2f

w

ww-w2

2

0

m

k ;

mb

mF

A 0

f20

2f

w

ww-w2

2

0

fw0w

A

b grande

b pequeno

b ~ 0

material de apoio: movimento oscilatório uma partícula descreve um movimento oscilatório quando...

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