1

Movimento Harmônico Simples

2

Movimento PeriódicoFenômeno Periódico: Fenômeno que se repete identicamente em intervalos de tempos iguais.Período T: Menor intervalo de tempo para a repetição de um fenômeno. Pêndulo Simples

3

Movimento PeriódicoSistema Massa-Mola

4

Movimento PeriódicoOscilador Harmônico Simples: O conjunto massa-mola e pêndulo simples constituem um OHS (fenômeno que se repete identicamente em intervalos de tempos iguais).Amplitude A: Valor máximo da oscilação em relação ao eixo.Frequência f: Número de eventos por unidade de tempo

Tf

1 Unidade: 1/s = Hertz = Hz

5

Movimento Periódico

6

Movimento PeriódicoLei de Hooke: Afirma que a força de restauração de uma mola (força elástica) é proporcional a deformação criada na mola.

xkFel

7

Movimento Harmônico SimplesMHS: Quando uma partícula movimenta-se devido a ação de uma força restauradora cuja intensidade é proporcional a distância de equilíbrio do movimento, dizemos que a partícula descreve um movimento harmônico simples.

8

Movimento Harmônico SimplesPeríodo Sistema Massa-Mola:

k

mT 2

Período de um Pêndulo Simples:

g

LT 2

9

Exercícios1. O ponto material da figura possui massa de m = 0,2 kg e está ligado a uma mola de constante elástica k = 0,82N/m. Por meio de uma ação externa distende-se a mola por 3 cm, abandonando o conjunto, que começa a oscilar, efetuando um MHS. Na ausência de forças dissipativas determine: a) O período do movimentob) A amplitude de oscilação c) Após quanto tempo de oscilação o bloco irá retornar a

posição de lançamento P

10

Exercícios2. Uma mola tem o comprimento de 8 cm quando não solicitada. Coloca-se em sua extremidade um corpo de massa igual a 0,1 kg e o comprimento da mola passa a ser 12 cm. Por meio de uma ação externa puxa-se o corpo até que o comprimento da mola atinja 14cm, abandonando-se em seguida o conjunto, que passa a efetuar um MHS. Despreze as forças dissipativas e adote g = 10m/s2

11

Exercícios2. Uma mola tem o comprimento de 8 cm quando não solicitada. Coloca-se em sua extremidade um corpo de massa igual a 0,1 kg e o comprimento da mola passa a ser 12 cm. Por meio de uma ação externa puxa-se o corpo até que o comprimento da mola atinja 14cm, abandonando-se em seguida o conjunto, que passa a efetuar um MHS. Despreze as forças dissipativas e adote g = 10m/s2

Determine:a) A amplitude do MHSb) O período e a frequência do

MHSc) Constante elástica da mola.

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Exercícios3. Determine o período, a freqüência e a amplitude do MHS indicados a seguir. À posição de equilíbrio corresponde ao ponto O, sendo indicados os extremos da oscilação. Não há forças dissipativas (constante elástica k = 0,4 2 N/m)

13

Energia no MHSA energia no MHS pode ser dividida em:

Energia Cinética EC:

Energia Potencial Elástica EE:

Energia Potencial Gravitacional EG:

2

2

1mvEC

2

2

1kxEC

mghEC

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Energia no MHSA energia no MHS pode ser dividida em:

Energia Cinética EC:

Energia Potencial Elástica EE:

A energia mecânica total será: Emec = EC + EE

2

2

1mvEC

2

2

1kxEE

15

Energia no MHSConsiderando o sistema conservativo, a energia mecânica é constante para qualquer posição ocupada pela partícula.

Para as posições x = A e x = -A, a energia mecânica é igual a energia potencial pois não há velocidades nestes pontos.

2

2

1kAEmec

16

Energia no MHSPara a posição x = 0, a energia mecânica é igual a energia cinética pois não há deformação na mola.

Neste ponto a velocidade da partícula é máxima.

2

2

1mvEmec

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Energia no MHS

18

Energia no MHSOs gráficos abaixo relacionam a energia cinética com a energia potencial elástica e a energia mecânica.

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Exercícios1. Um ponto material de massa m = 0,1 kg oscila em torno da posição O, realizando um MHS, na ausência de forças dissipativas. A energia total mecânica do sistema é 0,2 J. Determine: (A constante elástica é de 40N/m)a) A amplitude da oscilação b) O módulo da velocidade máxima do ponto material (k = 40

N/m) c) O período de oscilação

20

Exercícios2. Um ponto material de massa m = 0,2 kg oscila em torno de uma posição de equilíbrio O, com MHS. O módulo da máxima velocidade atingida é 1 m/s. Sendo a constante elástica de 5 N/m, determine.a) A energia mecânica totalb) A amplitude do MHSc) O período do movimento

21

Exercícios3. Uma partícula oscila em trono de um ponto O, num plano horizontal, realizando um MHS. O gráfico representa a energia potencial acumulada na mola em função da abscissa x.Determine:a) A amplitude do MHSb) A constante elástica da molac) A energia potencial e a ener-gia cinética quando x = 0,1m

22

O MHS e o Movimento CircularO MHS e o MCU (movimento circular uniforme) estão relacionados, de modo que um pode ser estudado por meio do outro.

Desejamos obter equações que descrevam a cinemática do MHS.

No movimento circular foi visto que:

Arco de Circunferência: RS

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O MHS e o Movimento CircularVelocidade Angular :

Aceleração Centrípeta acp:

Considere que em um instante t = 0, o espaço inicial seja So e o espaço angular o ver figura

Rv /

RRvacp22 /

24

O MHS e o Movimento Circular

25

O MHS e o Movimento Circular

26

O MHS e o Movimento CircularA equação do espaço no movimento pode ser escrita como:

Na forma angular a equação será

tSS o v

to

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Função Horária do MHSProjetando o ponto P sobre o eixo x encontramos.

)cos(

cos

tax

Rx

o

28

Função Horária do MHSO valor de x indica a posição de Q em relação a origem, tal distância é conhecida como elongação

29

Função Horária do MHSPulsação ou Frequência Angular : É equivalente a velocidade angular no movimento circular uniforme

fT

22

30

Função da Velocidade Escalar Desejamos encontrar a velocidade que o ponto Q descreve sobre o eixo x.

)( tasenv

Rsenv

o

31

Função da Velocidade Escalar A velocidade do ponto Q será máxima em módulo quando = 90 e = 270o

aasenv

aasenvo

o

270

90

32

Função da Velocidade Escalar A velocidade do ponto Q será nula quando = 0o e = 180o

0180

00

o

o

asenv

asenv

33

Função da Velocidade Escalar Fórmula geral para a velocidade do ponto Q.

)( tasenv o

34

Função da Aceleração Escalar A aceleração do ponto Q pode ser obtida usando a aceleração centrípeta

35

Função da Aceleração Escalar A aceleração do ponto Q será a projeção da aceleração centrípeta sobre o eixo x.

)cos(

)cos(

cos

2

2

a

R

v

acp

36

Função da Aceleração Escalar A aceleração máxima ocorre quando = 0o e = 180o

aa

aao

o

22

22

)180cos(

)0cos(

37

Função da Aceleração Escalar Fórmula geral para aceleração do ponto Q

Note que a equação pode ser escrita:

Assim a aceleração é proporcional a abscissa que define a posição e tem sinal oposto ao desta abscissa.

)cos(2 ta o

x2

38

Fase inicial nas funções horáriasNas fórmulas apresentadas o ângulo o é denominado fase inicial e depende das condições iniciais do movimento, isto é, depende:

Posição InicialSentido do movimento

No instante de t = 0

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Fase inicial nas funções horáriasO método é analisar o ângulo o no sentido anti-horário com o eixo x positivo.

40

Fase inicial nas funções horárias

41

Exercícios1. Um ponto material de massa m = 0,04 kg oscila em torno da posição O de equilíbrio, com MHS. A energia mecânica do sistema é 32x10-4J. Considere k = 0,16N/m

Despreze as ações dissipativas e determine:a) O período de oscilaçãob) A pulsação, em radianos por segundoc) A amplitude da oscilaçãod) A função horária da posição, velocidade e aceleração ,

estando o ponto na posição Q em t = 0e) Os gráficos x(t), v(t) e (t)

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Exercícios2. Um corpo de massa m = 1kg oscila livremente, suspenso a uma mola helicoidal de massa desprezível. Preso ao corpo, há um estilete que registra em um papel vertical as posições do corpo. O papel vertical envolve um cilindro que gira com velocidade angular constate. Seja 0,20 m/s a velocidade dos pontos do papel vertical. Os dados obtidos no papel estão indicados na figura. Determine:a)A frequência e a amplitude do Movimentob) A constante elástica da mola

43

Exercícios

44

Exercícios3. Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo Ox segundo a função horária

Determine:a) A amplitude, a pulsação, a fase inicial e o período do

movimentob) A velocidade escalar e a aceleração escalar nos instantes t =

1s e t = 2s

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Exercícios4. A elongação de uma partícula em MHS varia com o tempo segundo o gráfico abaixo.

Determine:a) A amplitude, o período e a pulsação do movimentob) A função horária do movimento

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Associação de MolasConsidere duas molas de constantes elásticas k1 e k2. Essas molas podem ser associadas em série ou em paralelo

47

Associação de MolasAssociação em paralelo:

Associação em Série:

21

111

kkks

21 kkkP