movimento harmonico simplesˆ e ondascoelho/textos/mhseondas-full.pdf · se esta apostila sobre os...
TRANSCRIPT
Instituto Federal Sul-rio-grandense
Campus Pelotas
CINAT - Fısica
Movimento Harmonico Simples
e
Ondas
Autoria dos professores da CINAT-Fısica 25 de Outubro de 2012
Apresentacao
A voce, estudante de ensino medio, tecnico e tecnologico do Instituto Federal Sul-rio-grandense apresenta-
se esta apostila sobre os topicos movimento harmonico simples e ondas.
No primeiro capıtulo considera-se o movimento harmonico simples. Vale-se de um tratamento ma-
tematico simplificado e apropriado a este nıvel de ensino. Encontra-se a dependencia temporal das grande-
zas cinematicas do movimento harmonico simples a partir das projecoes da posicao, velocidade e aceleracao
de uma partıcula em movimento circular uniforme. No movimento harmonico simples as grandezas ci-
nematicas e dinamicas, bem como as energias mecanicas, tem comportamento senoidal (funcoes seno
ou cosseno). Assim, utiliza-se de uma serie de graficos e figuras em toda esta apostila para, atraves da
visualizacao, facilitar a compreensao de fenomenos e conceitos relativos aos topicos abordados. Inicial-
mente, abordam-se conceitos introdutorios. A seguir, descreve-se a cinematica, a dinamica e a energia de
um sistema fısico em movimento harmonico simples. Analiza-se dois sistemas fısicos que exibem mo-
vimento harmonico simples, o sistema massa-mola e o pendulo simples. Finalmente, com o objetivo de
fixacao do conteudo, disponibiliza-se uma lista de exercıcios sobre o conteudo do capıtulo.
No segundo capıtulo considera-se aspectos gerais sobre o tema ondas. Inicialmente, classificam-se as
ondas e descrevem-se suas caracterısticas e propriedades. A seguir, apresenta-se a dependencia da veloci-
dade das ondas em funcao de propriedades do meio no qual se propagam e a relacao entre grandezas carac-
terısticas e a velocidade da onda. Aborda-se a modelagem e estudo das ondas atraves dos conceitos de frente
de onda e de raio de onda juntamente com a descricao e utilizacao do princıpio de Huygens. Descreve-se
os fenomenos ondulatorios de reflexao, refracao, interferencia, difracao e polarizacao. Considera-se ondas
em movimento e os fenomenos onda estacionaria, ressonancia e batimento. Descreve-se caracterısticas as
ondas sonoras, classificacoes, propriedades e fenomenos associados a estas. Finalmente, disponibiliza-se
uma lista de exercıcios sobre o conteudo deste capıtulo.
Um apendice com uma breve revisao sobre movimento circular uniforme e disponibilizado ao final da
apostila com algumas expressoes que sao utilizadas no capıtulo sobre movimento harmonico simples.
Na ultima pagina aparecem algumas sugestoes de leitura. Os livros dos autores [1],[2] e [3] sao livros
didaticos de ensino medio. Os livros dos autores [4],[5] sao citados como bibliografia suplementar para os
interessados em maiores detalhes sobre os topicos abordados nesta apostila.
Agradecemos a compreensao de todos sobre possıveis falhas e recebemos de bom grado sugestoes e
correcoes. ∗
∗Deixe suas consideracoes com o seu professor ou envie-as para [email protected].
Autoria dos professores da CINAT-Fısica 25 de Outubro de 2012
Conteudo
Apresentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
1 Movimento harmonico simples 3
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Movimento periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Perıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Movimento oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Movimento harmonico simples (MHS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 Elongacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.3 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.4 Vibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Cinematica do MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1 Equacao horaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.2 Equacao da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.3 Equacao da aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.4 Fases concordantes e fases opostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Dinamica do MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Energia no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.2 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.3 Energia mecanica total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Pendulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Ondas 27
2.1 Classificacao das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Ondas mecanicas e eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Ondas transversais e longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Ondas simples e periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.4 Ondas unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Amplitude, frequencia e perıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Comprimento de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Velocidade de propagacao das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Ondas mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 Ondas na superfıcie de lıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Ondas eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1
2.4.4 Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Relacao entre comprimento de onda, frequencia e velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Frente de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Princıpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Raio de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 Reflexao e refracao de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.10 Princıpio de superposicao e interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11 Intensidade de uma onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.13 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.14 Ondas em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.14.1 Equacao da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.14.2 A onda em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.15 Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.16 Ondas estacionarias em cordas fixas nas duas extremidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.17 Ressonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.18 Batimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.19 Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.19.1 Som, ultra-som e infra-som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.19.2 Caracterısticas do som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.19.3 Eco e reverberacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.19.4 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.20 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A Movimento circular uniforme (MCU) 53
Em preparacao...✍ 2
Capıtulo 1
Movimento harmonico simples
1.1 Introducao
A compreensao dos movimentos oscilatorios (ou vibratorios) esta profundamente associada a compreensao
de muitos fenomenos naturais, desde fenomenos que podemos observar a olho nu a fenomenos na escala
molecular, atomica e sub-atomica. Os movimentos oscilatorios tambem estao presentes nas teorias que
descrevem fenomenos eletromagneticos. Nestes, as ondas eletromagneticas, a luz e radiacoes, por exemplo,
sao descritas como oscilacoes de campos eletricos e magneticos. Inclua-se tambem a compreensao de
muitas aplicacoes tecnologicas envolvendo conceitos associados aos movimentos oscilatorios. Por exemplo,
os circuitos eletricos oscilantes e o movimento oscilatorio dos eletrons em antenas sao fundamentais na
geracao, transmissao e recepcao de informacao. Movimentos de moleculas, ou atomos, em solidos sao
exemplos de movimentos oscilatorios na escala microscopica.
Movimentos oscilatorios cuja a descricao fısica e matematica e mais simples sao encontrados nas
oscilacoes de pendulos e de massas ligadas a molas. Tais movimentos, com algumas aproximacoes, sao
exemplos de movimento harmonico simples (MHS), o mais simples dos movimentos oscilatorios. O MHS
e tratado em detalhes nesta apostila.
Durante estudos anteriores, a descricao dos movimentos retilıneos de uma partıcula restringia-se a con-
siderar apenas aqueles nos quais a aceleracao era constante. Nestes movimentos retilıneos, uniformes ou
uniformemente variados, os graficos de evolucao temporal das grandezas fısicas deslocamento, velocidade
e aceleracao eram parabolas ou retas. No movimento harmonico simples (MHS) a aceleracao nao e cons-
tante e as grandezas fısicas sao descritas em funcao do tempo, nao por parabolas ou retas, mas por funcoes
senoidais (seno ou cosseno).
Inicia-se o estudo do MHS com introducao de conceitos, termos e expressoes.
1.2 Movimento periodico
Definicao 1 O movimento de uma partıcula (ou corpo) e periodico quando, em movimento numa mesma
trajetoria, a partıcula (ou corpo) volta a ocupar repetidamente, em intervalos de tempo iguais, a mesma
posicao com as mesmas caracterısticas fısicas anteriores.
Consideram-se exemplos de movimento periodico o movimento da Terra em torno do Sol ou em torno
de si mesma, o movimento dos ponteiros de um relogio e o movimento de uma partıcula em movimento
circular uniforme (MCU).
Um movimento periodico caracteriza-se por manter constante o intervalo de tempo no qual a posicao
da partıcula (ou corpo) se repete, sempre com a mesma frequencia.
3
MHS
1.2.1 Perıodo
Definicao 2 Perıodo e o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas de um corpo, em
movimento periodico, num mesmo ponto da trajetoria entre eventos com as mesmas caracterısticas fısicas.
Representa-se o perıodo pelo sımbolo T e usa-se como unidade para o perıodo, no Sistema Internacional
de Unidades (SI), o segundo (s).
1.2.2 Frequencia
Definicao 3 Frequencia e a contagem do numero de vezes que uma partıcula (ou corpo), em movimento
periodico, passa num mesmo ponto da trajetoria com as mesmas caracterısticas fısicas por unidade de
tempo.
Representa-se a frequencia pelo sımbolo f . Usando a definicao acima, obtem-se uma relacao entre a
frequencia e o perıodo do movimento. Uma vez que a partıcula (ou corpo) da uma volta em sua trajetoria
no tempo de um perıodo, a frequencia do movimento periodico e
f =1
T(1.1)
A unidade de frequencia no SI e o hertz (Hz), da equacao acima, Hz=1/s.
1.3 Movimento oscilatorio
Definicao 4 Uma partıcula (ou corpo) esta em movimento oscilatorio (ou vibratorio) quando se desloca
em movimento periodico com o sentido do movimento invertido periodicamente por uma forca restauradora
que tende a leva-lo a uma posicao de equilıbrio.
Observe nos seguintes exemplos de movimento que o corpo tende a uma posicao de equilıbrio, sao
movimentos oscilatorios.
posicao de equilıbrio posicao de equilıbrio posicao de equilıbrio
1.4 Movimento harmonico simples (MHS)
1.4.1 Definicao
O movimento harmonico simples e o mais simples dos movimentos oscilatorios e e definido por
Em preparacao...✍ 4
MHS
Definicao 5 Uma partıcula (ou corpo) esta em movimento harmonico simples (MHS) quando esta em
movimento oscilatorio numa trajetoria retilınea sob acao de uma forca restauradora linear.
O MHS e um movimento em trajetoria retilınea. Escolhe-se o eixo dos x como referencial para estudar
este movimento e usa-se como origem do eixo x (o ponto x = 0) a posicao de equilıbrio.
Como a forca restauradora e linear a expressao para sua componente na direcao do movimento e
Fx =−k x (1.2)
A dependencia em x (e nao x2,x3,...) garante a linearidade. De acordo com a equacao acima a constante
k e positiva e tem unidade Nm
no SI. O sinal negativo expressa a natureza restauradora da forca, indica que o
vetor forca tem sentido oposto ao vetor deslocamento, como esta ilustrado a seguir.
0
~F
~x 0
~F
~x
A dependencia da forca (1.2) em funcao de x esta representada no seguinte grafico.
Fx
x
Qualquer sistema que executa um MHS e denominado um oscilador harmonico simples. Como exem-
plos podemos citar o oscilador massa-mola e o pendulo simples, sistemas que serao considerados em deta-
lhes adiante.
1.4.2 Elongacao
Definicao 6 A elongacao x e o deslocamento da partıcula (ou corpo) em relacao a posicao de equilıbrio
(a origem do eixo x).
Assim, se a partıcula (ou corpo) encontra-se na posicao x, seu deslocamento em relacao a posicao de
equilıbrio (ou simplesmente deslocamento) sera a elongacao x. Note que a elongacao pode ser positiva,
negativa ou nula.
A figura a seguir representa a elongacao num instante qualquer.
0 x
Em preparacao...✍ 5
MHS
1.4.3 Amplitude
Definicao 7 A amplitude, representada por A, e a distancia maxima que um corpo em MHS pode se en-
contrar em relacao a posicao de equilıbrio.
A amplitude A e uma grandeza positiva. De acordo com a definicao, uma partıcula em MHS movimenta-
se entre os valores de elongacao −A e +A, como esta ilustrado na figura a seguir.
0 x +A−A
Observe na figura acima que o valor da amplitude e igual ao modulo da elongacao maxima.
1.4.4 Vibracao
Definicao 8 Uma vibracao e o percurso percorrido por uma partıcula (ou corpo) em MHS durante um
intervalo de tempo igual a um perıodo.
Durante uma vibracao, uma partıcula em MHS percorre uma distancia igual a quatro amplitudes.
1.5 Cinematica do MHS
1.5.1 Equacao horaria
Uma vez que a forca no MHS depende da elongacao, a forca e variavel. De acordo com a segunda lei de
Newton, se apenas a forca restauradora linear (1.2) atua sobre uma partıcula de massa m,
Fx = max⇒−k x = m ax
Assim, aceleracao desta partıcula e igual a
ax =−k
mx (1.3)
E, de acordo com esta equacao, o MHS e um movimento com aceleracao variavel, uma aceleracao que
depende linearmente da posicao.
As tecnicas empregadas neste nıvel de ensino para tratar sistemas com aceleracao constante, utilizadas
no caso do MRUV, nao podem ser utilizadas quando a aceleracao e variavel. Os metodos fısico-matematicos
utilizados para resolver este tipo de problema estao fora do conteudo abordado neste nıvel de ensino. A saıda
para este inconveniente e a simulacao do movimento de uma partıcula em MHS a partir de um movimento
cuja a solucao se conhece. Este movimento e o movimento circular uniforme (MCU), para o qual voce
encontra uma breve revisao no Apendice A, pagina 53.
Em preparacao...✍ 6
MHS
A figura a seguir mostra, inicialmente, uma partıcula P posicionada numa circunferencia de raio A e a
projecao Q de sua posicao na direcao x. Seguem instantaneos em tamanho reduzido do movimento de Q se
a partıcula P estiver em MCU.
eixo x
+A−A O
P
Q
t = 0 s
←
t = T/4
←
t = T/2
→
t = 2T/3
→
t = T
←
O movimento de Q sobre o eixo x e um MHS entre +A e −A. O ponto O e a posicao de equilıbrio do
MHS. Convem resaltar que nao ha consideracoes sobre quando o MHS (ou o MCU) inicia, ele simplesmente
esta acontecendo e nao atribuı-se tempo inicial para o movimento. Atribuı-se valor, isto sim, ao tempo a
partir do qual se inicia a observacao do movimento. A este instante de tempo sera atribuıdo o valor zero
(por exemplo, o instante de tempo no qual se aciona um cronometro zerado). A todas as grandezas fısicas
neste instante de tempo agrega-se a palavra inicial. Por exemplo, o angulo no qual a partıcula em MCU esta
no tempo zero se chama fase inicial do MHS.
Fase
Quando inicia-se a observacao do movimento da partıcula em MCU ela encontra-se num determinado
angulo. Este angulo e denominado fase inicial e e simbolizado por θ0. O valor deste angulo e medido em
relacao ao eixo x positivo, no sentido anti-horario, e deve estar em radianos. Exemplo, se a fase inicial for
θ0 =π6, no instante inicial (t=0s) teremos a figura
eixo x
+A−A
t = 0
O
P
Q
π6
Generalizando a denominacao para qualquer instante de tempo, chama-se de fase (ou angulo de fase) o
angulo no qual a partıcula (que simula um MHS) se encontra num instante de tempo qualquer.
Em preparacao...✍ 7
MHS
Equacao para a elongacao
Constroi-se a equacao da elongacao em funcao do tempo, a equacao horaria do MHS, como a equacao para
a posicao de Q sobre o eixo x. Na figura abaixo a elongacao, representada por x, corresponde a posicao da
projecao Q.
eixo x
+A−A O
P
Qx
θ
A
De acordo com esta figura a elongacao x e escrita como
x = Acosθ
Do movimento da partıcula em MCU se obtem uma relacao entre a fase θ e a fase inicial θ0, veja (A.1)∗,
θ = θ0 +ω t (1.4)
Assim, a expressao final para a elongacao fica
x = A cos( ω t + θ0 ) (1.5)
A grandeza ω, no MHS, e denominada pulsacao (ou frequencia angular).
No intervalo de um perıodo T , a projecao Q percorre uma vibracao, equivalente a um angulo de 2π rad
para a partıcula em MCU. Assim, de acordo com (1.4), a pulsacao no MHS e igual a
ω =2π
T(1.6)
e sua unidade no SI e rads
.
Representacao grafica da elongacao em funcao do tempo
O comportamento da elongacao x em funcao do tempo pode ser visualizado a partir do grafico x× t. Para
simplificar a construcao deste grafico, escolhe-se traca-lo com fase inicial igual a zero (θ0 = 0). A equacao
para a elongacao (1.5), quando a fase inicial e nula, fica
x = A cos( ω t)
Substituindo a pulsacao (1.6) nesta equacao, obtem-se
x = A cos(2π
Tt)
∗Nesta equacao ω e a velocidade angular da partıcula em MCU, veja a equacao (A.1) no Apendice A, pagina 54.
Em preparacao...✍ 8
MHS
Observando o argumento da funcao cosseno escolhe-se como um parametro de escala para o tempo o
perıodo T . Divide-se o perıodo em quatro partes, com valores de t correspondendo a 0, T4, T
2, 3T
4e T , monta-
se a seguinte tabela
t x
0 +A
T/4 0
T/2 −A
3T/4 0
T +A
Conhecendo o comportamento da funcao cosseno, constroi-se o grafico da elongacao em funcao do tempo.
Este grafico aparece na figura que segue.
T4
T2
3T4
T
+A
−A
t
x
elo
ng
acao
1.5.2 Equacao da velocidade
Na figura a seguir identifica-se a velocidade de Q com a componente da velocidade de P na direcao x.
eixo x
+A−A
P
QQvQ
vx
vP
Ou seja,
vQ = vx
Observando a geometria na figura seguinte, onde vx foi transladado para facilitar a observacao.
Em preparacao...✍ 9
MHS
eixo x
+A−A
vx
vP
θ
θ
Verifica-se que
vx =−vP senθ
De acordo com o MCU de P (veja no Apendice A a equacao (A.2, na pagina 54)
vP = ω A
Usando esta expressao e θ = θ0 +ωt na expressao de vx, obtem-se a equacao para a velocidade do MHS
v =−ω A sen(ω t +θ0) (1.7)
Onde, vx foi substituido por v, a velocidade do MHS.
Representacao grafica da velocidade em funcao do tempo
Representa-se graficamente a velocidade v em funcao do tempo escolhendo a fase inicial igual a zero (θ0 =0). A equacao para a velocidade (1.7), neste caso , e
v =−ω A sen( ω t)
que, substituindo a pulsacao (1.6) no argumento da funcao cosseno, fica igual a
v =−ωA sen(2π
Tt)
a partir da qual se verifica os resultados da seguinte tabela
t x
0 0
T/4 −ωA
T/2 0
3T/4 +ωA
T 0
Com os quais, conhecendo o comportamento da funcao seno, se constroi o grafico da velocidade em funcao
do tempo
Em preparacao...✍ 10
MHS
T4
T2
3T4
T
+ωA
−ωA
t
v
vel
oci
dad
e
A velocidade em funcao da elongacao
Das equacoes para a elongacao e velocidade, temos
cosθ =x
A
e
senθ =−v
ωA
Inserindo estas funcoes na identidade trigonometrica
sen2θ+ cos2 θ = 1
se obtemv2
ω2A2+
x2
A2= 1
que, com um pouco de algebra, leva a
v =±ω√
A2− x2 (1.8)
Esta expressao mostra que quando a elongacao e maxima, x =±A, a velocidade e nula. Mostra tambem
que quando a elongacao e nula, x = 0, a velocidade esta no seu valor maximo.
1.5.3 Equacao da aceleracao
A aceleracao responsavel pela alteracao da projecao da velocidade de P na direcao x e a componente da
aceleracao centrıpeta nesta direcao. Da geometria na seguinte figura
eixo x
+A−A
θ
θax
acp
aQ
Em preparacao...✍ 11
MHS
Concluı-se que a aceleracao de Q (aQ) e igual a componente x da aceleracao centrıpeta, ou seja,
aQ = ax =−acp cosθ
Usando nesta equacao acp = ω2A e θ = θ0 +ωt,resultados do MCU (veja o Apendice A),
a =−ω2 A cos(ωt +θ0) (1.9)
onde foi usado simplesmente a para a aceleracao do MHS.
Representacao grafica da aceleracao em funcao do tempo
Representa-se graficamente a aceleracao a em funcao do tempo escolhendo a fase inicial igual a zero (θ0 =0) para simplificar. A equacao para a aceleracao (1.9),quando a fase inicial e nula, e
a =−ω2 A cos( ω t)
Que, substituindo a pulsacao (1.6) no argumento da funcao cosseno, fica igual a
a =−ω2 A cos(2π
Tt)
Da qual pode-se verificar os resultados da seguinte tabela
t x
0 −ω2A
T/4 0
T/2 +ω2A
3T/4 0
T −ω2A
Com os quais, conhecendo o comportamento da funcao cosseno, se constroi o grafico da aceleracao em
funcao do tempo,
T4
T2
3T4
T
+ω2A
−ω2A
t
a
acel
erac
ao
A aceleracao em funcao da elongacao
Inserindo a equacao para a elongacao (1.5)
x = Acos(ωt +θ0)
na equacao para a aceleracao (1.9) se obtem a relacao entre a aceleracao e a elongacao
a =−ω2 x (1.10)
Esta equacao confirma que a aceleracao tem sentido oposto ao da elongacao. Mostra tambem que quando a
elongacao e maxima (x =±A) a acelacao e maxima e quando a elongacao e mınima (x = 0) a aceleracao e
nula.
Em preparacao...✍ 12
MHS
1.5.4 Fases concordantes e fases opostas
Fases concordantes
As fases de dois MHS sao concordantes quando para elas as caracterısticas cinematicas das partıculas sao
identicas. Observe, por exemplo, a figura correspondendo a dois MHS concordantes
θ1θ2
Nestes dois angulos a elongacao, a velocidade e a aceleracao sao iguais, tente imagina-las projetadas no
eixo horizontal para se convencer disto.
As funcoes para a elongacao (1.5) e a aceleracao (1.9) sao proporcionais a funcao cosseno. Portanto,
para garantir que sejam as mesmas
cos(θ1) = cos(θ2)
Se ∆θ = θ2−θ1 e a diferenca entre as duas fases, para as fases serem concordantes deve-se ter
cos(θ1) = cos(θ1 +∆θ) (I)
A velocidade e proporcional a funcao seno (veja (1.7), entao, para garantir que a velocidade seja a mesma
deve-se ter
sen(θ1) = sen(θ2)
ou, utilizando a diferenca de fase ∆θ
sen(θ1) = sen(θ1+∆θ) (II)
Para que (I) e (II) sejam simultaneamente satisfeitas ∆θ deve ser um multiplo inteiro de 2π pois apos
este acrescimo angular o seno e o cosseno voltam a ter os mesmos valores. Isto e conseguido escolhendo
∆θ = 2 n π rad, onde n e um numero inteiro. Assim
Definicao 9 Duas fases sao concordantes quando a diferenca de fases e igual a um numero par de π rad.
Por extensao,
Definicao 10 Dois movimentos harmonicos simples estao em concordancia de fase (ou em fase) quando a
diferenca de fases e igual a um numero par de π rad.
Em preparacao...✍ 13
MHS
Fases opostas
As fases de dois MHS sao opostas quando para elas as caracterısticas cinematicas da partıcula sao simetricas
em relacao ao ponto de equilıbrio, tem a mesma intensidade e sentidos opostos. Observe, por exemplo, a
figura correspondendo ao movimento de duas partıculas em mhs e com fases opostas,
θ1θ2
Nestes dois angulos a elongacao, a velocidade e a aceleracao sao iguais em modulo mas tem sentidos
opostos. Tente imagina-las projetadas no eixo horizontal para se convencer disto.
Para garantir que a elongacao e a aceleracao sejam simetricas, ja que sao proporcionais a funcao cosseno,
cos(θ1) =−cos(θ2)
Se ∆θ = θ2−θ1 e a diferenca entre duas fases, para fases opostas deve-se ter
cos(θ1) =−cos(θ1 +∆θ) (III)
Para garantir que a velocidade seja simetrica, ja que e proporcional a funcao seno,
sen(θ1) =− sen(θ2)
ou
sen(θ1) =− sen(θ1 +∆θ) (IV)
Para que (III) e (IV) sejam satisfeitas simultaneamente ∆θ deve ser um multiplo ımpar de π, pois apos
este acrescimo angular o seno e o cosseno trocam seus sinais mas nao os seus valores. Isto e garantido se
∆θ = (2n+1) π rad, onde n e um numero inteiro. Assim
Definicao 11 Duas fases sao opostas quando a diferenca de fases e igual a um numero ımpar de π rad.
Por extensao,
Definicao 12 Dois movimentos harmonicos simples estao em fases opostas (ou em oposicao de fases)
quando a diferenca de fases e igual a um numero ımpar de π rad.
Em preparacao...✍ 14
MHS
1.6 Dinamica do MHS
O movimento retilıneo de uma partıcula de massa m em torno de uma posicao de equilıbrio configura um
MHS. Isto e equivalente a atribuir ao ponto Q uma massa m, que passa a oscilar sujeita a uma forca cuja a
componente na direcao do movimento, de acordo com a segunda lei de Newton, deve satisfazer
~F = m~a
Como o MHS e retilıneo e acontece sobre o eixo x utiliza-se, da equacao acima, apenas aquela que se refere
a direcao x
Fx = m ax
No MHS, a aceleracao ax e igual a −ω2x [veja (1.9)] e leva, na equacao acima, a forca restauradora
Fx =−m ω2 x
Uma vez que m e ω, sao constantes positivas podemos agrupa-los numa unica constante positiva
k = m ω2 (1.11)
Esta constante caracteriza completamente a dinamica da partıcula de massa m que oscila numa pulsacao
ω. Com esta definicao, a forca restauradora linear passa a ser escrita como
Fx =−k x
Indicando que trata-se de um movimento unidimensional sob a acao de uma forca restauradora linear,
condicao que define um MHS.
A partir da equacao acima, generaliza-se o MHS para qualquer sistema fısico que apresente uma
forca restauradora deste tipo. O sistema fısico que possui tal comportamento e denominado um Oscila-
dor Harmonico Simples.
A interpretacao fısica e o valor de k depende do sistema fısico. Por exemplo, no sistema oscilante que
envolve uma massa presa a uma mola k e a constante elastica da mola.
Ja que k e m caracterizam o sistema fısico em MHS as grandezas do MHS podem ser escritas em funcao
destes. Usando (1.11), a pulsacao fica
ω =
√
k
m(1.12)
Como ω = 2π/T , o perıodo fica
T = 2π
√
m
k(1.13)
A frequencia, o inverso do perıodo, fica
f =1
2π
√
k
m(1.14)
As equacoes acima informam que o sistema oscila numa pulsacao, perıodo e frequencia que dependem de
grandezas que caracterizam o sistema fısico, a massa m e a constante k.
Em preparacao...✍ 15
MHS
1.7 Energia no MHS
1.7.1 Energia cinetica
A energia cinetica de uma partıcula e igual a
Ec =1
2m v2
Se a partıcula esta em MHS,o quadrado de sua velocidade e (veja 1.8)
v2 = ω2(A2− x2)
e sua energia cinetica, portanto, e igual a
Ec =1
2mω2
(
A2− x2
)
como k = mω2, a energia cinetica pode ser escrita como
Ec =1
2k(
A2− x2
)
(1.15)
Observe que a energia cinetica e proporcional a constante k da forca restauradora.
Grafico da energia cinetica em funcao da elongacao
O grafico a seguir mostra o valor da energia cinetica em funcao da elongacao
x
Ec
Emaxc = 1
2k A2
−A +A
Observa-se nesta curva que a energia cinetica e sempre positiva. Tambem visualiza-se que a energia
cinetica e maxima quando a elongacao e nula (o ponto de equilıbrio) e a energia cinetica e mınima (zero)
quando a elongacao e maxima.
Energia cinetica em funcao do tempo
Substituindo v =−ωA sen(ωt +θ0) na expressao da energia cinetica
Ec =1
2mv2
se obtem
Ec =1
2mω2A2 sen2(ωt +θ0)
Em preparacao...✍ 16
MHS
Usando ω =√
km
, encontra-se
Ec =1
2kA2 sen2(ωt +θ0)
Que da o comportamento da energia cinetica em funcao do tempo.
O grafico a seguir mostra o valor da energia cinetica em funcao do tempo de acordo com a equacao
acima com fase inicial nula†.
T4
T2
3T4
T
+ 12kA2
tempo
Ec
1.7.2 Energia potencial
A energia de um sistema mecanico e a soma da energia cinetica mais a energia potencial. A energia poten-
cial esta relacionada ao tipo de forca. Em nosso caso a forca e igual a
Fx =−k x
Em cursos anteriores voce deve ter visto que a forca da mola, que possui caracterısticas identicas a
esta, e uma forca conservativa. Viu tambem que podemos associar uma energia potencial a mola, a energia
potencial elastica. Viu-se que para a forca da mola, dada pela lei de Hooke, Fx = −κx, a expressao da
energia potencial elastica e
Ep =1
2κx2
Onde κ e a constante elastica da mola e x e a deformacao da mola.
Assim, seguindo esta equacao, num MHS a energia potencial armazenada no oscilador e
Ep =1
2k x2 (1.16)
Observe que a energia potencial, assim como a energia cinetica, e proporcional a constante k da forca
restauradora.
Grafico da energia potencial em funcao da elongacao
O grafico a seguir mostra o valor da energia potencial em funcao da elongacao
x
Ec
Emaxp = 1
2k A2
−A +A†Para outras fases o grafico tem o mesmo comportamento, mas a curva estara defasada em relacao a esta
Em preparacao...✍ 17
MHS
Pode-se observar nesta curva que a energia potencial e sempre positiva. Tambem verifica-se na observacao
do grafico que a energia potencial e maxima quando a elongacao e maxima e que a energia potencial e
mınima (zero) quando a elongacao e nula (o ponto de equilıbrio).
Grafico da energia potencial em funcao do tempo
Substituindo x = Acos(ωt +θ0) na expressao da energia potencial
Ep =1
2kx2
se obtem
Ep =1
2kA2 cos2(ωt +θ0)
Que da o comportamento da energia potencial em funcao do tempo.
O grafico a seguir mostra o valor da energia potencial em funcao do tempo de acordo com a equacao
acima com fase inicial nula‡.
T4
T2
3T4
T
+ 12kA2
tempo
Ep
1.7.3 Energia mecanica total
A energia mecanica total e a soma das possıveis formas de energia mecanica presentes no sistema. No
sistema MHS a energia mecanica total e a soma da energia cinetica com a energia potencial.
Em = Ec +Ep
Somando as equacoes da energia cinetica (1.15) e da energia potencial (1.16) obtemos
Em =1
2k (A2
− x2)+1
2k x2
que simplificada leva a energia mecanica total do MHS
Em =1
2k A2 (1.17)
Como k e A sao constantes, concluı-se que a energia mecanica do MHS e constante. Este valor e igual aos
valores maximos das energias cinetica e potencial.
O grafico a seguir mostra as curvas de energia cinetica, energia potencial e energia mecanica total em
funcao do tempo. A fase inicial escolhida e igual a zero.
‡Para outras fases o grafico tem o mesmo comportamento, mas a curva estara defasada em relacao a esta
Em preparacao...✍ 18
MHS
T4
T2
3T4
T
Em = 12kA2
tempo
Energia
Ep
Ec
1.8 Sistema massa-mola
E um sistema composto de uma massa (por exemplo um bloco) preso a uma mola e posto a oscilar. Na
figura a seguir mostra-se tres posicoes do bloco em MHS numa superfıcie lisa horizontal,
−A +Aposicao
de equilıbrio
Neste caso a forca restauradora e a forca da mola sobre o bloco. A expressao desta forca e dada pela lei de
Hooke
Fx =−κ x
onde κ e a constante elastica da mola e x e a deformacao da mola em relacao a posicao de equilıbrio. No
MHS κ e identificado como a constante da forca restauradora k e x como a elongacao. Assim, se a massa
oscilante e igual a m e a mola tem uma constante elastica κ, o sistema oscilara numa pulsacao ω, usando
(1.12), igual a
ω =
√
κ
m(1.18)
e perıodo, usando (1.13)
T =
√
m
κ(1.19)
Da expressao acima concluı-se que o perıodo de um sistema massa-mola
• depende da massa que esta oscilando.
• independe da amplitude da oscilacao.
• e diretamente proporcional a raiz quadrada da massa oscilante.
Em preparacao...✍ 19
MHS
• e inversamente proporcional a raiz quadrada da constante elastica.
Os graficos a seguir expressam a dependencia do perıodo para o sistema massa-mola em funcao da massa e
da constante elastica, respectivamente.
T
m
T
k
1.9 Pendulo simples
E um sistema constituıdo por uma partıcula de massa m, presa numa extremidade de um fio rıgido de
massa desprezıvel, capaz de oscilar sem perda de energia em torno de um eixo vertical que passa na outra
extremidade do fio. Este sistema esta representado na figura a seguir
posicao
de equilıbrio
Quando afastado de sua posicao de equilıbrio e abandonado, o pendulo oscila em um plano vertical devido
a atracao gravitacional sobre a massa m. A figura a seguir mostra as forcas que atuam sobre a massa m
quando afastada em um angulo θ da posicao de equilıbrio,
~P
~Tθ
O diagrama de forcas deste sistema fısico e
Em preparacao...✍ 20
MHS
~P
~T
θ
Aplicando a segunda lei de Newton na direcao x se obtem
−P senθ = max
Substituindo a forca peso por sua expressao (P = mg) nesta equacao encontra-se
m ax =−mg senθ (1.20)
A geometria do pendulo esta desenhada na figura a seguir,
L
s
θ
O angulo θ em radianos e igual a
θ =comprimento de arco
raio
Da figura, s e o comprimento do arco e L e o raio. Assim, em radianos,
θ =s
L
A geometria do pendulo esta desenhada na figura a seguir, na condicao de θ pequeno,
Em preparacao...✍ 21
MHS
L
sx
θ
Quando θ e pequeno podemos aproximar o arco s por x, tente se convencer observando a figura acima.
Quando θ e pequeno, em radianos, podemos aproximar senθ por θ§.
Entao, na aproximacao de θ pequeno,
senθ ∼ θ ∼x
L
Esta aproximacao acima deve ser lida como “o seno de θ e aproximadamente θ que e aproximadamente
x/L”. Onde x e o deslocamento em relacao a posicao de equilıbrio, observe na figura acima.
Com esta aproximacao para o seno a expressao da forca em (1.20) fica
m ax =−mg
Lx
e corresponde a expressao de uma forca restauradora linear com uma constante
k =mg
L(1.21)
utilizando este valor em (1.12), encontramos que este sistema oscila com uma pulsacao
ω =
√
g
L(1.22)
e, usando (1.13), com perıodo
T = 2π
√
L
g(1.23)
Da expressao acima concluı-se que o perıodo de um pendulo simples
• independe da massa que esta oscilando.
• independe da amplitude da oscilacao.
• e diretamente proporcional a raiz quadrada de seu comprimento.
• e inversamente proporcional a raiz quadrada da aceleracao gravitacional.
§Ao final desta secao ha uma pequena tabela que deve ajuda-lo a se convencer da validade desta aproximacao
Em preparacao...✍ 22
MHS
Os graficos a seguir expressam a dependencia do perıodo do pendulo simples em funcao do compri-
mento e da aceleracao da gravidade, respectivamente.
T
L
T
g
Deve-se salientar que o pendulo simples e um sistema restrito a oscilacoes em pequenos angulos que,
quando em radianos, satisfazem senθ ∼ θ. A tabela a seguir deve ajudar a voce se convencer de que esta
aproximacao e valida para pequenos angulos em radianos, como exercıcio verifique outros numeros com
sua calculadora cientıfica.
θ θ sen(θ)(grau) (radiano)
1 0,017 0,017
2 0,035 0,035
3 0,052 0,052
4 0,070 0,070
5 0,087 0,087
6 0,105 0,105
7 0,122 0,122
8 0,140 0,139
9 0,157 0,156
10 0,175 0,174
θ θ sen(θ)(grau) (radiano)
11 0,192 0,191
12 0,209 0,208
13 0,227 0,225
14 0,244 0,242
15 0,262 0,259
16 0,279 0,276
17 0,297 0,292
18 0,314 0,309
19 0,332 0,326
20 0,349 0,342
θ θ sen(θ)(grau) (radiano)
21 0,367 0,358
22 0,384 0,375
23 0,401 0,391
24 0,419 0,407
25 0,436 0,423
26 0,454 0,438
27 0,471 0,454
28 0,489 0,469
29 0,506 0,485
30 0,524 0,500
1.10 Exercıcios
1. O que se entende por movimento periodico? E
por movimento oscilatorio? Todo movimento
periodico e oscilatorio?
2. O que caracteriza um movimento harmonico sim-
ples? Cite exemplos de movimentos que podem
ser considerados como MHS.
3. Qual a diferenca entre amplitude e elongacao?
4. A amplitude de um MHS e de 50 cm, seu perıodo
de 2 s e a fase inicial e nula. Determine as
equacoes da elongacao, velocidade e aceleracao
em funcao do tempo.
5. A equacao de um MHS e x = 10 cos(20π t +3π),sendo x em centımetros e t em segundos. Deter-
mine:
a) a amplitude;
b) a pulsacao;
c) a frequencia;
d) o perıodo;
Em preparacao...✍ 23
MHS
e) a fase inicial;
f) a fase do movimento no instante t=4s;
g) a elongacao nesse instante.
6. A equacao horaria de um MHS e x =0,4 cos(3π t), sendo x expresso em metros e t em
segundos. Determine a amplitude, a pulsacao, a
fase inicial, o perıodo, a frequencia deste movi-
mento e a velocidade em t=8s.
7. A amplitude de um MHS vale 20 cm, oscila
na frequencia de 20Hz com fase inicial igual a
2πrad. Determine a equacao horaria deste mo-
vimento, a velocidade maxima e a aceleracao
maxima.
8. Os graficos abaixo representam a elongacao em
funcao do tempo para oscilacoes em MHS. Es-
crever as equacoes da elongacao e da velocidade
para cada um destes graficos.
a)
0
60
−6010 20 30 40 50 60 t(s)x(
cm)
b)
0
50
−50100 200 300 400 500 600 t(s)x(
cm)
c)
0
10
−102 4 6 8 10 12 t(s)x(
cm)
d)
0
8
−85 10 15 20 25 30 t(s)x(
cm)
9. Uma partıcula oscila num MHS obedecendo a
equacao x = 120cos(6π t), onde x e dado em
centımetros e t em segundos. Determine a
elongacao, a velocidade e a aceleracao nos ins-
tantes de tempo:
a) t=2s
b) t=9s
10. Um corpo realiza um MHS cuja equacao horaria
e x = 0,2 cos(4π t + π), onde x e expresso em
metros e t em segundos. Determine:
a) a amplitude;
b) a pulsacao;
c) a fase inicial;
d) o perıodo e a frequencia;
e) a velocidade no instante t=9s.
11. A amplitude do movimento de uma partıcula, em
MHS, vale 0,4 m e a pulsacao 5 rad/s. Em certo
instante a fase do movimento vale 6π rad. Deter-
mine, nesse instante, os valores da elongacao, da
velocidade e da aceleracao.
12. Certo movel executa um MHS de amplitude igual
a 30 cm e perıodo de 6 s. Em t=0 s, o movel
encontra-se na posicao x=A/2, metade da ampli-
tude. Determine sua equacao horaria e os valores
da elongacao, velocidade e aceleracao do movel
no instante t=3 s.
13. Um ponto material de 1 kg de massa efetua um
MHS. No instante t=0 s, esta a 5 cm da posicao
de equilıbrio e atua uma forca de 5 N sobre ele.
Qual o perıodo do movimento?
14. Um corpo de 20 kg de massa executa um MHS
de amplitude igual a 5 cm e frequencia de 4 Hz.
Pede-se:
(a) a constante de forca da mola;
(b) a velocidade maxima;
(c) a aceleracao maxima.
15. Um corpo de 2 kg de massa esta preso a extre-
midade de uma mola de constante elastica k=50
N/m. Determine a pulsacao e escreva a equacao
horaria do movimento, quando o corpo e afas-
tado 10 cm a direita de sua posicao de equilıbrio
e abandonado sem velocidade inicial. Supor que
se comece a contar o tempo no instante em que o
corpo e solto.
Em preparacao...✍ 24
MHS
16. Uma mola repousa sobre um plano horizontal
sem atrito. Para alonga-la de 10 cm, precisamos
exercer sobre ela uma forca de 10 N. Apos isto,
prende-se a mola num corpo de 0,25 kg, afasta-se
o mesmo em 20cm a esquerda de sua posicao de
equilıbrio e o abandonamos.
Determine:
a) a constante elastica da mola;
b) o perıodo de oscilacao;
c) a velocidade e a aceleracao quando x=16 cm.
17. Um bloco de 4 kg, suspenso por uma mola, pro-
duz nesta um alongamento de 16 cm. Remove-se
o bloco e pendura-se um corpo de 0,5 kg. Deter-
mine o perıodo do movimento neste caso.
18. Uma massa de 2 kg pende de uma mola. Um
corpo de 300 g, pendurado abaixo da massa,
alonga a mesma em mais 2 cm. Se o corpo de
300 g for retirado e uma massa de 2 kg for posta
a oscilar, qual sera o perıodo de sua oscilacao?
19. A constante elastica de uma mola e de 200 N/m.
Uma partıcula, presa a esta mola, executa um
MHS de amplitude igual a 20 cm. Pede-se:
a) a energia potencial quando x=15 cm e quando
x=-8 cm;
b) a energia cinetica quando x=12 cm e quando
x=-15 cm;
c) a energia mecanica total.
20. Determine a amplitude com que deve mover-se
um corpo preso a uma mola, de constante elastica
igual a 800 N/m, a fim de que o sistema armazene
uma energia de 1600 J.
21. A massa de um corpo que executa um MHS e de
0,20 kg e a frequencia de seu movimento e de 4
Hz. Em um dado instante a elongacao vale 0,4 m.
Qual a energia potencial do sistema no instante
considerado?
22. Certa partıcula material em MHS possui no ins-
tante inicial energia cinetica maxima. Tomando o
perıodo do movimento como unidade de tempo,
em que instante ela possuira, pela primeira vez:
a) elongacao nula;
b) elongacao maxima;
c) velocidade nula;
d) aceleracao maxima;
e) energia potencial maxima;
f) energia cinetica maxima
23. Uma partıcula executa um MHS de amplitude
igual a A. Se a amplitude duplicar, o que acon-
tecera com a energia mecanica da partıcula?
24. O comprimento de um pendulo simples e de 88,2
cm e a aceleracao da gravidade no local e g=980
cm/s². Calcule o perıodo deste pendulo.
25. Determine o perıodo de um pendulo simples de
comprimento igual a 100 cm num local onde
g=982 cm/s².
26. O comprimento de um pendulo simples e de 100
cm. Sabendo-se que ele efetua 5 oscilacoes em
10 s, determine o valor da aceleracao da gravi-
dade local.
27. Determine o comprimento que devera ter um
pendulo simples para que seu perıodo seja de 1 s,
num local onde a aceleracao da gravidade e nor-
mal.
28. Em um planeta, um pendulo simples de 1 m de
comprimento efetua uma oscilacao por segundo.
Determine:
a) o valor da aceleracao da gravidade neste pla-
neta;
b) o perıodo de tal pendulo, caso seu compri-
mento seja reduzido a 64 cm.
29. Determine quanto se deve diminuir do compri-
mento de um pendulo simples, sabendo-se que
seu perıodo e de 1,0 s num local onde a aceleracao
da gravidade e normal, para que realize uma
oscilacao a mais em cada hora de funcionamento.
30. Sao dados tres pendulos simples de 20 cm, 50 cm
e 30 cm de comprimento e massa de 1,0 kg, 2,0 kg
e 8,0 kg, respectivamente, localizados proximos
um do outro. Qual dos tres oscilara mais lenta-
mente?
Em preparacao...✍ 25
MHS
Em preparacao...✍ 26
Capıtulo 2
Ondas
O termo onda esta associado ao movimento causado por uma perturbacao que se propaga num determinado
meio. O fenomeno de propagacao das ondas aparece em quase todos os ramos da fısica. Como exemplos de
fenomenos ondulatorios que nos sao familiares podemos citar as ondas produzidas em cordas, na superfıcie
da agua, ondas sonoras, a luz e as ondas de radio.
Nos cursos tecnicos de eletronica, eletrotecnica e eletromecanica o estudo das ondas eletromagneticas
produzidas em circuitos eletricos e transmitidas em determinados meios de transmissao serve para a com-
preensao, dimensionamento e controle de sistemas que interessam a cada curso.
O fenomeno ondulatorio de transporte de energia pela onda sem o transporte de materia destaca-se
nas mais variadas aplicacoes tecnologicas. Por exemplo, todo o sistema de distribuicao de energia eletrica
implantado no paıs. Para exemplificar esta propriedade das ondas, considere uma onda na superfıcie d’agua,
onde flutua um pedaco de cortica. Quando a cortica e atingida pela onda ela se movimenta para cima e para
baixo, para frente e para tras, mas nao se propaga juntamente com a onda. Esta situacao mostra que a onda
transfere energia ao pedaco de cortica, provocando oscilacoes na posicao da cortica. Porem, embora a onda
se propage, a cortica nao se move juntamente com ela na direcao de sua propagacao.
Neste exemplo, as partıculas do meio executam somente movimentos oscilatorios em torno de uma
posicao de equilıbrio.
A figura a seguir mostra uma perturbacao numa corda denominada pulso movendo-se para a direita.
27
Ondas
Nesta figura e evidenciado o movimento de um dos pontos da corda. Este ponto nao possui velocidade
na direcao de propagacao do pulso, nao se movimenta com a perturbacao. Este ponto apenas adquire
movimento oscilatorio (sobe e desce) a medida que o pulso vai se propagando. Se provocarmos na corda
varios pulsos entao estaremos gerando um trem de ondas na corda.
2.1 Classificacao das ondas
As ondas podem ser classificadas de varias maneiras, dependendo do criterio a ser considerado.
2.1.1 Ondas mecanicas e eletromagneticas
A necessidade ou nao de um meio material para se propagar classifica as ondas em mecanicas ou eletro-
magneticas.
Definicao 13 Ondas mecanicas sao aquelas ondas que necessitam de um meio material para se propagar.
Elas transportam energia mecanica (cinetica e potencial). Originam-se no deslocamento de uma porcao
do meio elastico de sua posicao de equilıbrio, o que ocasiona um movimento oscilatorio em torno de sua
posicao de equilıbrio. E importante notar que o meio nao se movimenta acompanhando a propagacao da
onda. Sao exemplos de ondas mecanicas: ondas em cordas, ondas na superfıcie d’agua, ondas em molas e
ondas sonoras.
Definicao 14 Ondas eletromagneticas sao aquelas que nao necessitam de um meio material para se pro-
pagar.
Elas sao constituıdas de oscilacoes de campos eletricos e magneticos. Por exemplo, a luz proveniente das
estrelas atravessa espacos interplanetarios, onde ha regioes de vacuo, e chega ate a Terra. Dependendo da
frequencia, as ondas eletromagneticas recebem varios nomes: ondas de radio, de TV, de radar, microondas,
infravermelho, luz visıvel, raios x, raios gama e etc.
2.1.2 Ondas transversais e longitudinais
Ondas transversais
A direcao do movimento das perturbacoes em relacao a direcao de propagacao da onda fornece outro criterio
de classificacao.
Definicao 15 Uma onda e transversal quando as perturbacoes movem-se em uma direcao perpendicular a
direcao de propagacao da onda.
Nas ondas produzidas numa corda as partıculas das quais a corda e constituıda movem-se perpendicu-
larmente a direcao de propagacao da ondas. A figura a seguir representa um segmento da onda formada
numa corda e propagando-se para a direita, destaca-se o movimento de um elemento da corda em alguns
instantes de tempo.
Em preparacao...✍ 28
Ondas
Observe que podemos concluir a partir da figura acima que a direcao de propagacao e perpendicular a
direcao da perturbacao. Graficamente,
direcao de propagacao
dir
ecao
da
per
turb
acao
Assim, ondas em cordas sao ondas transversais.
As ondas luminosas sao ondas eletromagneticas nas quais a perturbacao nao vem do movimento de
partıculas mas sao oscilacoes de campos eletricos e magneticos numa direcao perpendicular a da propagacao
da onda. Assim, ondas eletromagneticas sao ondas transversais. A figura a seguir mostra a oscilacao de
campos eletricos e magneticos, que sao perpendiculares entre si, numa onda eletromagnetica.
Ondas longitudinais
Definicao 16 Uma onda e longitudinal quando as perturbacoes movem-se na mesma direcao de propagacao
da onda.
Este e o caso das ondas sonoras, onde variacoes de pressao ocorrem na direcao de propagacao do som,
como ilustrado na figura a seguir para uma onda sonora num tubo, num meio isotropico.
b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b
b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b
b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b
b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b b b bbbb b b b bbbbb b b bbbbb b b b bbbb b b
direcao de propagacao
direcao da perturbacao
Outro exemplo de onda sonora e mostrado na figura abaixo e mostra a posicao das partıculas, num
determinado tempo, e as frentes de onda geradas por uma fonte puntiforme num meio isotropico.
Em preparacao...✍ 29
Ondas
direcao de propagacaodirecao da perturbacao
b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b bbb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbb bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
Na figura acima deve-se reforcar que as partıculas oscilam na direcao dos raios mostrados∗.
Outro exemplo de onda longitudinal sao as ondas produzidas em uma mola na horizontal, do tipo mos-
trado na figura seguinte.
Ondas mistas
Algumas ondas mecanicas possuem vibracoes transversais e longitudinais simultaneamente. Alguns autores
as denominam ondas mistas. Nesta classificacao se encontram as ondas geradas na superfıcie da agua.
2.1.3 Ondas simples e periodicas
Um meio e percorrido por uma onda simples quando nele produzimos um unico pulso. Se repetirmos o
pulso inumeras vezes, periodicamente, o meio fica submetido a um conjunto de ondas simples denominado
trem de ondas periodicas.
2.1.4 Ondas unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais
Neste criterio as ondas sao classificadas em relacao ao espaco necessario para definir sua direcao de
propagacao.
Ondas unidimensionais: sao as ondas que propagam-se numa unica dimensao. E necessario apenas um
linha reta para definir sua direcao de propagacao. Ex.: ondas em cordas, ondas horizontais em molas.
Ondas bidimensionais: sao as ondas que propagam-se em duas dimensoes. E necessario um plano para
definir sua direcao de propagacao (propagam-se em distribuicoes superficiais). Ex.: ondas na superfıcie da
agua.
∗Sao mostradas apenas algumas das partıculas que se encontram no plano da pagina, pois as ondas sonoras sao tridimensionais
e voce deve imaginar a distribuicao esferica das partıculas
Em preparacao...✍ 30
Ondas
Ondas tridimensionais: sao as ondas que propagam-se em tres dimensoes. E necessario o espaco
tridimensional para definir sua direcao de propagacao (propagam-se em distribuicoes volumetricas). Ex.:
ondas sonoras no ar.
2.2 Amplitude, frequencia e perıodo
A figura a seguir mostra um trem de ondas periodicas, gerado numa corda horizontal por um MHS vertical
produzido em sua extremidade.
P
P
P
P
PA
O ponto P, um ponto da corda, oscila verticalmente em MHS quando a onda passa por ele. A amplitude
do MHS descrito pelo ponto P e a amplitude da onda. O perıodo do MHS do ponto P e o perıodo da onda.
O numero de oscilacoes executadas pelo ponto P na unidade de tempo e a frequencia da onda.
A frequencia da onda e igual a frequencia da fonte que a originou e mantem-se inalterada durante a
existencia da onda.
2.3 Comprimento de onda
Comprimento de onda e a distancia que a onda move-se num intervalo de tempo igual a um perıodo. O
comprimento de onda e representado pela letra grega λ (lambda).
O comprimento de onda numa onda transversal pode ser obtido como a distancia entre duas cristas da
onda ou entre dois vales (ou depressoes), como identificados na figura a seguir.λ
λ
crista
vale
Em preparacao...✍ 31
Ondas
Numa onda longitudinal o comprimento de onda e a distancia entre duas compressoes ou rarefacoes
sucessivas. A figura a seguir exemplifica esta situacao no caso de ondas sonoras produzidas em tubos, o
que esta sendo mostrado e a compressao e rarefacao do ar dentro do tubo.
λ
pressao
compressao
rarefacao
b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b bb b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b b b bbbbbbbb b b b b b b bbbbbbbb b b b b
Como afirmamos anteriormente, a frequencia depende apenas da fonte. O comprimento de onda, para
uma dada frequencia depende do meio onde a onda propaga-se, como veremos a seguir.
2.4 Velocidade de propagacao das ondas
2.4.1 Ondas mecanicas
A velocidade de propagacao de uma onda mecanica depende das propriedades do meio no qual a onda
propaga-se. Depende da elasticidade e da massa volumetrica do meio.
A tabela a seguir apresenta uma sıntese da dependencia da velocidade de uma mecanica em funcao de
propriedades do meio†
Velocidade das ondas mecanicas
onda longitudinal meio solido v =√
Eµ
E e o modulo de elasticidade do meio
µ e a massa volumetrica do meio
meio fluido v =√
Bµ
B e o modulo de elasticidade volumetrica do meio
µ e a massa volumetrica do meio
onda transversal meio solido v =√
Gµ
G e o modulo de elasticidade transversal do meio
µ e a massa volumetrica do meio
corda tensa v =√
Tµ
T e a tensao na corda
µ e a massa por unidade de comprimento da corda
Observa-se que duas ondas mecanicas propagando-se num mesmo meio material podem possuir velo-
cidades de propagacao diferentes caso uma delas seja transversal e a outra longitudinal.
2.4.2 Ondas na superfıcie de lıquidos
Verifica-se experimentalmente que a velocidade de propagacao de ondas na superfıcie de lıquidos depende
da profundidade. A velocidade diminui quando as ondas passam de regioes mais profundas para regioes
mais rasas.
†Detalhes sobre definicoes de quantidades que aparecem na tabela podem ser encontradas em [5].
Em preparacao...✍ 32
Ondas
2.4.3 Ondas eletromagneticas
As ondas eletromagneticas, como dito anteriormente, nao precisam de um meio material para se propagar,
propagam-se tambem no vacuo.
A velocidade das ondas eletromagneticas no vacuo e c= 2,99792458×108 m/s que, e aproximadamente
300.000 km/s.
A velocidade das ondas eletromagneticas em meios materias sao menores do que no vacuo e depende
tanto do comprimento de onda quanto da densidade do meio material no qual se encontra.
2.4.4 Ondas sonoras
As ondas sonoras, como dito anteriormente, sao ondas longitudinais que necessitam de um meio material
para se propagar.
A velocidade das ondas sonoras dependem de fatores que definem a elasticidade do meio. No ar, a
pressao atmosferica de 1 atm, a 20◦C as ondas sonoras propagam-se numa velocidade aproximada de 340
m/s. Como esta velocidade depende da massa especıfica e esta depende da temperatura, a velocidade do
som altera-se em funcao da temperatura.
2.5 Relacao entre comprimento de onda, frequencia e velocidade
Sabemos que o comprimento de onda e a distancia percorrida pela onda no intervalo de tempo de um
perıodo. Assim, como as velocidades das ondas sao constantes, temos
v =λ
T
ou, em relacao a frequencia ( f = 1/T ),
v = λ f (2.1)
Uma vez que a velocidade de uma onda num determinado meio homogeneo e constante, quando duas ondas
sao geradas neste meio com diferentes frequencias (que dependem apenas da fonte) estas ondas devem
possuir diferentes comprimentos de onda.
Esta relacao acima tambem permite concluir que para as ondas geradas num mesmo meio o compri-
mento de onda e inversamente proporcional a frequencia. Ou seja, se a frequencia da fonte geradora au-
menta o comprimento de onda da onda gerada diminui e se a frequencia diminui o comprimento de onda
aumenta.
2.6 Frente de onda
A frente de onda num determinado instante de tempo e o conjunto dos pontos do meio que, naquele instante,
estao sendo atingidos pela perturbacao da onda que se propaga.
A frente de onda separa a regiao do meio que foi perturbada daquela regiao que ainda nao foi perturbada.
Ondas bidimensionais que propagam-se na superfıcie de lıquidos e possuem formas circulares possuem
frentes de onda que sao circunferencias. As frentes de onda podem corresponder a uma superfıcie plana,
serao denominadas frentes de onda plana e representadas por segmentos de reta.Ondas tridimensionais,
que propagam-se no espaco (ondas eletromagneticas), avancam no espaco apresentando frentes de ondas
esfericas.
Na representacao da onda por uma frente de onda a distancia que separa uma frente de onda da outra
corresponde a um comprimento de onda.
Em preparacao...✍ 33
Ondas
As figuras a seguir exemplificam os tipos de frentes de onda circular, plana e esferica, respectivamente.
λλ
λλ
λ
fonte
λ λ λ λ
fonte
λ
λ
fonte
2.7 Princıpio de Huygens
Imagine um dispositivo soltando pedras periodicamente na superfıcie de um lago tranquilo. As sucessivas
perturbacoes causadas pelas pedras vao deslocando-se atraves da agua. Isso acontece porque cada ponto da
frente de onda, num determinado instante, cria novas ondas atraves da transferencia de energia aos pontos
vizinhos a ela. A envolvente das ondas secundarias criadas e a nova frente da onda. Assim enuncia-se o em
princıpio de Huygens:
Cada ponto de uma frente de onda comporta-se como se fosse uma fonte emissora de ondas
secundarias. A envolvente das frentes de onda de todas as ondas secundarias fornece a nova
posicao da frente de onda principal.
Na figura a seguir esta representado o princıpio de Huygens para frentes de onda circulares e planas.
f1
f2
f3
f4
f5f6
f7
f 8
f 9
f 10 λ
fonte
envolvente
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
λλ
fonte
envolvente
Em preparacao...✍ 34
Ondas
2.8 Raio de onda
Raio de onda, ou simplesmente raio, e uma linha orientada que tem origem na fonte de ondas e e perpen-
dicular as frentes de onda. O raio serve para simplificar o desenho e orientar o sentido de propagacao da
onda. Na figura a seguir sao desenhados alguns raios.
fonte
raio
fonte
raio
2.9 Reflexao e refracao de ondas
Os metodos de analise das reflexoes e refracoes sao os mesmos para todos tipos de onda. Fixa-se aqui em
ondas mecanicas mas a analise serve para ondas eletromagneticas, com algumas ressalvas.
Quando uma onda incide numa superfıcie de separacao entre dois meios de propagacao verifica-se que
a energia por ela transportada divide-se em tres partes. Uma parcela e conduzida de volta ao meio do qual
a onda e proveniente, esta parcela e denominada de energia da onda refletida. Outra parcela da energia
da onda continua propagando-se atraves do outro meio, esta parcela e denominada de energia da onda
refratada. Uma terceira parte e absorvida pelo meio e transformada em outra forma de energia.
A figura representa a conservacao de energia na passagem de uma onda de um meio para outro
convertid
a
refle
tida
refrata
da
incidente
meio 1
meio 2
A frequencia na qual as ondas incidem na interface entre os meios e a mesma na qual elas voltam
ao meio ou passam para o outro meio. Assim, as ondas refletidas e refratadas continuam com a mesma
frequencia da onda original.
Em preparacao...✍ 35
Ondas
As amplitudes das ondas, refletida e refratada, serao menores, pois aconteceu uma divisao da energia
transportada pela onda incidente.
A intensidade da velocidade das ondas dependem do meio‡, como visto na Secao 2.4. Assim, a inten-
sidade da velocidade da onda refletida e igual a intensidade da velocidade da onda incidente, pois estao no
mesmo meio. A intensidade da velocidade da onda refratada e diferente da intensidade da velocidade da
onda incidente, pois os meio sao diferentes.
Como resultado de que a frequencia da onda e a mesma para os dois meios e as velocidades diferentes,
de acordo com a expressao v = λ f , os comprimentos de onda da onda incidente e refratada sao diferentes.
Usando a mesma expressao, conclui-se que os comprimentos de onda da onda da incidente e da onda
refletida sao iguais.
Ondas em cordas
As reflexoes e refracoes em cordas devem ser analisadas em funcao de combinacoes especıficas da juncao
de duas cordas de diferentes massas especıficas.
Pode-se afirmar que pulsos transversais propagando-se de uma corda menos densa para uma corda mais
densa geram pulsos refletidos na interface que estao em oposicao de fase em relacao aos incidentes.
No caso de pulsos transversais propagando-se de uma corda mais densa para uma corda menos densa
geram pulsos refletidos que apresentam-se em fase em relacao aos incidentes.
Ondas na superfıcie de lıquidos
Como ja citado anteriormente, a velocidade de propagacao de ondas na superfıcie de lıquidos diminui
quando as ondas passam de regioes mais profundas para regioes mais rasas. Portanto meios com diferentes
profundidades comportam-se como meios diferentes e as ondas na superfıcie dos lıquidos sofrem refracao
quando a profundidade varia.
Ondas eletromagneticas
O estudo das leis de reflexao e refracao para este tipo de onda e objeto de estudo da optica e nao sera
abordado neste curso. Deve-se observar que as leis de refracao e reflexao estudadas em optica valem
tambem para ondas mecanicas.
Ondas sonoras
As ondas sonoras, como abordado anteriormente, sao ondas longitudinais e precisam de um meio material
para propagarem-se.
Na figura a seguir evidenciamos as frentes de onda de uma onda sonora, a partir das quais podemos
construir refracoes e reflexoes da mesma maneira que para as demais ondas.
‡No caso das ondas eletromagneticas depende tambem do comprimento de onda da onda.
Em preparacao...✍ 36
Ondas
b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b bbb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbbbbb b b b b bbb bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bbb b b
bb bb
bb
bb bb
b b bbb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bbb
bbb
bb
bb b
bb
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
bb b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
b
b b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
b b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
b
bb b
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bb b
b
b
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
b
bbb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb b
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
bb
b
bbb
bb
bbb
bb
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
bbb
b
b
bb
b
b
b
bb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
b
bbb
b
b
bb b
b
b
b bb
b
bbb
b
b
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bbb
bb
b bb
bb b
bb
bbb
bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
bb bbb
bbb b
bb
b bbb
bbb bb
2.10 Princıpio de superposicao e interferencia
Observa-se para muitos tipos de ondas, que duas ou mais ondas podem atravessar o espaco (ou meio ma-
terial) independente umas das outras. Por exemplo, as ondas luminosas atingem os olhos do observador
proporcionando-lhe a visao clara do objeto do qual provem, embora no seu trajeto tenham cruzado com um
numero grande de outras ondas que se propagam nas mais diversas direcoes do espaco. Da mesma forma,
distinguem-se as notas de um determinado instrumento tocado numa orquestra. O fato de as ondas serem
independentes umas das outras traz como consequencia a possibilidade de se obter, num dado instante, a
elongacao resultante pela soma algebrica das elongacoes que cada onda produz individualmente.
Esse processo de soma algebrica das elongacoes e denominado princıpio de superposicao. Enuncia-se
o princıpio da superposicao como:
Quando duas ou mais ondas propagam-se num mesmo meio, a elongacao instantanea resul-
tante e a soma algebrica das elongacoes instantaneas das ondas individuais.
O grafico abaixo mostra a superposicao de duas ondas periodicas de amplitudes e frequencias diferentes.
Como as oscilacoes acontecem na vertical nos referimos as elongacoes das ondas como y1 e y2 e a resultante,
pelo princıpio de superposicao, como y = y1 + y2.
y1
y2
y = y1+ y2
Em preparacao...✍ 37
Ondas
O princıpio de superposicao da origem ao fenomeno fısico denominado interferencia. Vamos ob-
servar o caso mais simples onde duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de
onda encontram-se numa determinada regiao do espaco. A figura mostra estas ondas separadamente com
uma diferenca de fase entre si e a onda resultante da aplicacao do princıpio de superposicao mostrando o
fenomeno de interferencia.
y1
y2
y = y1+ y2
Se no instante da interferencia as ondas estao em fase, a amplitude da onda resultante e a soma das
amplitudes de cada uma, neste caso a amplitude da resultante e o dobro da amplitude de uma delas. Este
fenonemo e denominado interferencia construtiva de duas ondas e esta representado na figura a seguir.
Nesta figura uma das ondas que interferem e representada por uma linha tracejada e a outra por uma linha
pontilhada, que se sobrepoem por que estao em fase. A interfencia construtiva esta representada na linha
solida.
Se no instante da interferencia as ondas estiverem completamente fora de fase (em fases opostas), a am-
plitude da onda resultante e a subtracao das amplitudes de cada uma, e neste caso a amplitude da resultante
e nula. Este fenonemo e denominado interferencia destrutiva e esta representado na figura a seguir.
Nesta figura uma das ondas que interferem e representada por uma linha tracejada e a outra por uma linha
pontilhada. A interfencia destrutiva esta representada na linha solida sobre o eixo horizontal, que representa
uma resultante igual a zero em todos os pontos.
Em preparacao...✍ 38
Ondas
2.11 Intensidade de uma onda
Seja E a energia transportada por uma onda no intervalo de tempo ∆t atraves de uma superfıcie de area A
normal a direcao de propagacao. A intensidade media da onda e definida por
I =E
A∆t
e tem unidade igual a W/m2 no sistema internacional. A intensidade nos informa a taxa na qual a energia e
transportada pela onda por unidade de area na direcao de sua propagacao.
A figura a seguir representa visualmente o conceito de area envolvido acima e a quantidade de energia
a partir dos raios que passam nesta area.
A
fonte
Em relacao a distribuicao espacial das ondas podemos afirmar que para:
• Ondas tridimensionais: a medida que a frente de onda se afasta, a sua energia e distribuıda por uma
superfıcie de area cada vez maior. Como a area cresce na razao do quadrado da distancia ate a fonte,
a intensidade da onda diminui na razao do quadrado da distancia ate a fonte.
• Ondas bidimensionais: a energia se distribui num arco de circunferencia, que aumenta proporcio-
nalmente ao raio, assim a intensidade diminui na razao inversa da distancia ate a fonte.
• Ondas unidimensionais: a intensidade da onda permanece constante, pois a frente de onda e sempre
um ponto.
A intensidade de uma onda e proporcional ao quadrado da sua amplitude, a medida que sua amplitude
diminui a intensidade tambem diminui. Nao devemos esquecer que a amplitude, assim como a frequencia,
depende da fonte geradora.
2.12 Difracao
Considere a seguinte situacao, ondas planas propagando-se na superfıcie da agua em direcao a um obstaculo
que tem uma passagem, como esta representado na figura a seguir.
Em preparacao...✍ 39
Ondas
fonte
raio
frentede onda
λ
obst
aculo
obst
aculo
A (abertura)
regia
oB
regia
oC
O princıpio da propagacao retilınea dos raios nos leva a concluir que as ondas devem propagar-se para
alem da passagem atingindo os pontos da faixa delimitada por A (dentro da regiao mostrada), para os quais
apontam os raios que alcancam a passagem, veja a figura acima. De fato, esta figura representa a situacao
onde a largura da abertura e muito maior do que o comprimento de onda da onda incidente.
Quando a largura da fenda e da ordem do comprimento de onda da onda incidente, o fenomeno obser-
vado e mais complexo. As ondas afetam nao so a faixa central A mas tambem as regioes B e C, que sao
regioes escuras para os raios da figura acima. De fato, quando o tamanho da abertura vai ficando da ordem
ou menor do que o comprimento de onda aparece o fenomeno de difracao. Este fenomeno revela a natureza
ondulatoria de uma onda e mostra que a descricao da onda com raios deve ser revista nesta situacao. O
princıpio de Huygens pode ser utilizado para mostrar que de fato as regioes “escuras” para os raios de fato
podem estar “iluminadas” para as ondas.
Observe a figura abaixo, onde a abertura da fenda e da ordem do comprimento de onda e, de acordo
com o princıpio de Huygens, cada ponto da frente de onda se comporta como uma fonte.
fonte
λ
obst
aculo
obst
aculo
A figura a seguir mostra as frentes de onda resultantes da aplicacao do princıpio de Huygens.
Em preparacao...✍ 40
Ondas
fonte
λobst
aculo
obst
aculo
Como os raios sao perpendiculares as frentes de onda, a figura representando o fenomeno, com a
utilizacao de raios e a seguinte.
λ
obst
aculo
obst
aculo
Assim, mostra-se o fenomeno de difracao e decorrente da natureza ondulatoria da onda incidente. Note
que as frentes de onda, de acordo com as figuras, contornam os obstaculos e penetram nas regioes “escuras”
Em preparacao...✍ 41
Ondas
B e C da primeira figura desta secao. Baseando-se nestas obsevacoes, pode-se descrever e dar nome a este
fenomeno enunciando.
Difracao e o fenomeno que consiste na propriedade que as ondas possuem de contornar
obstaculos.
Se nao ha uma fenda mas apenas um obstaculo a natureza ondulatoria das ondas continua se revelando.
Para obstaculos cuja a espessura e da ordem ou menores do que o comprimento de onda as frentes de onda
curvam-se e contornam os obstaculos, como e ilustrado na figura a seguir.
λobstaculo
Muitos exemplos de difracao sao comuns em nosso quotidiano e acontecem com ondas sonoras, cujos
os comprimentos de onda sao da ordem dos obstaculos nos quais as ondas sonoras incidem. Isto permite,
por exemplo, que se escute alguem falando atras de um muro alto.
2.13 Polarizacao
A onda produzida em uma corda pelo movimento da mao apenas para cima e para baixo, numa orientacao
vertical, e particularmente simples. Podemos produzir uma onda transversal mais complexa movendo a
mao em varias direcoes. No primeiro caso dizemos que a onda era polarizada e, no segundo caso, nao
polarizada. Fazendo a onda nao polarizada passar por uma fenda vertical, apenas as vibracoes nessa direcao
passarao pela fenda. Aı teremos entao uma onda polarizada na direcao vertical.
A figura mostra um exemplo no qual ondas geradas numa corda em diversas orientacoes encontram,
inicialmente, uma fenda vertical (um polarizador) que seleciona apenas a direcao vertical. Na sequencia
a onda polarizada verticalmente encontra uma fenda horizontal (um polarizador) que seleciona apenas a
direcao horizontal. Como a onda que incide na fenda horizontal nao tem nenhuma componente horizontal,
a partir deste polarizador, componentes da corda nao oscilam.
cordafixa
PolarizadorPolarizador
Em preparacao...✍ 42
Ondas
O fenomeno de polarizacao e possıvel apenas em ondas transversais. Assim, ondas longitudinais nao
sao polarizaveis.
2.14 Ondas em movimento
2.14.1 Equacao da onda
Na figura a seguir esta representada a elongacao y de uma onda senoidal em funcao da posicao x, onde as
grandezas comprimento de onda e amplitude foram destacados.
x
y λ
A
Utilizando o comprimento de onda como parametro para a escala no eixo x, temos
λ2
λ 3λ2
2λ x
y
Observando a figura podemos escrever a funcao de onda como
y = A sen
(
2π
λx
)
(2.2)
e verificar facilmente que esta funcao corresponde, exatamente, a funcao do grafico acima.
2.14.2 A onda em movimento
A onda descrita acima e escolhida para corresponder a posicao da onda no instante inicial da observacao.
Na figura a seguir representa-se esta onda deslocando-se para a direita com velocidade v em relacao aquela
do instante inicial. Mostra-se tambem a posicao e o deslocamento de um elemento da onda em relacao ao
instante inicial apos um intervalo de tempo t.
x x′
∆x = v t
Em preparacao...✍ 43
Ondas
Desta figura
x′− x = v t
ou
x = x′− v t
Substituindo na funcao de onda (2.2), obtem-se
y = A sen
(
2π
λx′−
2πv
λt
)
Definindo o numero de onda k por
k =2π
λ(2.3)
e lembrando que v = λ f e ω = 2π f . Podemos escrever a equacao para a elongacao de uma onda que
move-se para a direita com velocidade v como
y = A sen( k x− ω t) (2.4)
Pode-se mostrar, usando os mesmos argumentos, que esta equacao e
y = A sen( k x+ ω t) (2.5)
para uma onda movendo-se para a esquerda.
2.15 Ondas Estacionarias
Considere um trem de ondas propagando-se numa corda cuja extremidade foi fixada. Ao encontrar o ponto
onde a corda foi fixada o trem de onda e refletido. Admitindo que nao ha perdas de energia a parte refletida
tera a mesmas amplitude, o mesmo comprimento de onda, a mesma frequencia e o sentido de propagacao
sera o oposto. A onda resultante desta superposicao entre o trem de onda que esta incidindo e o trem de
onda refletido e chamada de onda estacionaria.
A fim de ilustrar este tipo de onda, considere duas ondas propagando-se em sentidos contrarios, de
mesma amplitude e comprimento de onda. Assim, as equacoes de cada uma delas, de acordo com (2.4) e
(2.5) sao
y1 = A sen(kx−wt)
e
y2 = A sen(kx+wt)
De acordo com o princıpio de superposicao a onda resultante e
y = y1 + y2 = A [ sen(kx−ωt)+ sen(kx+ωt)]
usando a identidade trigonometrica
sen(α±β) = senαcosβ± cosα senβ
temos
sen(kx−ωt)+ sen(kx+ωt) = sen(kx)cos(ωt)− coskx senωt + sen(kx)cos(ωt)+ cos(kx) sen(ωt)= 2 sen(kx)cos(ωt)
Em preparacao...✍ 44
Ondas
Com este resultado a a funcao y e escrita como
y = 2A sen(kx)cos(ωt)
Note que isto corresponde a uma funcao oscilatoria no tempo cuja a amplitude depende da posicao. Assim,
numa posicao x fixa visualizamos oscilacoes de amplitude 2A sen(kx) numa mesma frequencia ω. Podemos
dizer tambem que a funcao oscilatoria cos(ωt) esta sendo modulada pela funcao 2A sen(kx). Para observar
o comportamento de y em funcao do tempo devemos tomar diversos valores de tempo e observar o com-
portamento da funcao. Nas figuras abaixo foram escolhidos valores de tempo que sao fracoes do perıodo.
Note que os pontos na onda oscilam com amplitudes proprias, que depende da posicao em que se encontra.
t = 0 t = 0,125 T t = 0,25 T
t = 0,375 T t = 0,5 T t = 0,625 T
t = 0,75 T t = 0,875 T t = T
Como podemos ver na figura, uma onda estacionaria se caracteriza por apresentar amplitude de vibracao
diferente para cada ponto do meio. De maneira geral pode-se afirmar que:
Dois trens de onda de mesma frequencia e mesma amplitude, que se propagam num mesmo
meio, com a mesma direcao mas em sentidos contrarios geram uma onda estacionaria.
Ao reunir as figuras acima, e outras com outros valores de tempo, em uma unica figura, obtem-se a
seguinte ilustracao
Observa-se nesta figura que os nodos permanecem parados e os demais pontos oscilam na vertical
numa mesma frequencia. Os pontos da onda resultante nos quais as duas ondas chegam em oposicao de
fases permanecem parados devido a interferencia destrutiva e sao chamados nos (ou nodos). Isto tambem
demonstra que uma onda estacionaria nao possui movimento na direcao horizontal e, portanto, uma onda
estacionaria nao transporta energia. Os pontos que oscilam com maxima amplitude sao chamados de
ventres da onda e correspondem aos pontos das duas ondas que chegam em concordancia de fases, o que
leva a uma interferencia construtiva. A distancia entre dois nodos consecutivos, como observa-se na figura
acima, corresponde a metade do comprimento de onda. Ondas estacionarias ocorrem tanto com ondas
mecanicas como em outras ondas transversais como as ondas eletromagneticas. Os estudantes dos cursos
tecnicos de telecomunicacoes e eletronica, quando estudarem topicos relativos as antenas, terao maiores
esclarecimentos sobre os problemas causados por ondas estacionarias em elementos de transmissao.
As posicoes dos nodos sao facilmente encontradas notando que nestes pontos sin(kx) = 0. Assim kx
deve ser um multiplo inteiro de pi,
kx = 0,π,2π,3π, ...
Em preparacao...✍ 45
Ondas
usando k = 2π/λ, as posicoes dos nodos sao
x =λ
2,λ,
3λ
2, ...
xn =nλ
2n = 0,1,2,3, ...
As posicoes dos anti-nodos, onde se localizam as maiores amplitudes, pode ser encontrada da mesma ma-
neira e chega-se a
xn =nλ
4n = 1,3,5, ...
Podemos reunir as informacoes sobre localizacao de nodos e anti-nodos, afirmando
• A distancia entre nodos adjacentes ou anti-nodos adjacentes e iguala a λ2.
• A distancia entre um nodo e um anti-nodo adjacentes e igual a λ4.
2.16 Ondas estacionarias em cordas fixas nas duas extremidades
A figura mostra uma corda fixa nas duas extremidades.
Quando posta a oscilar, as extremidades fixas sao nodos por definicao e as figuras possıveis, denomi-
nados modos normais de vibracao sao facilmente construıdos. A figura a seguir apresenta um conjunto de
possıveis modos.
λ1 = 2L λ2 = L
λ3 =2L3
λ4 =L2
Em preparacao...✍ 46
Ondas
O primeiro modo normal (λ1) e denominado fundamental ou primeiro harmonico. Seguem o segundo,
terceiro e quarto harmonicos, λ2, lambda3 e λ4 respectivamente. Em geral,
λn =2L
nn = 1,2,3, ...
Estes sao os possıveis modos de vibracao de uma corda fixa nas duas extremidades. A partir desses
valores podemos, usando λ f = v escrever as frequencias naturais dos modos normais.
fn = nv
2Ln = 1,2,3, ...
A velocidade de uma onda numa corda e igual a v =√
T/µ, onde T e a tensao na corda e µ e a massa da
corda por unidade de comprimento, podemos escrever
fn =n
2L
√
T
µn = 1,2,3, ..
A frequencia mais baixa, f1, e denominada frequencia fundamental. As outras frequencias sao multiplos
deste valor, fn = n f1 n = 2,3,4, .... Estas frequencias compoem o que e denominado uma serie harmonica.
2.17 Ressonancia
Uma corda, como na secao anterior, pode oscilar em um ou mais modos de vibracao. Outros sistemas
fısicos tambem possuem modos de vibracao naturais. Se externamente aplicamos forcas periodicas sobre
estes sistemas a amplitude e a maior amplitude possıvel quando a frequencia da forca aplicada e igual a
uma das frequencias normais de vibracao. Por causa das grandes amplitudes obtidas quando excitamos
externamente um sistema nas suas frequencias naturais estas frequencias sao chamadas de frequencias de
ressonancia.
2.18 Batimentos
Definicao 17 Batimento e a variacao periodica na amplitude em um dado ponto devido ao princıpio de
superposicao aplicado a duas ondas com frequencias muito proximas.
Para compreender o que acontece observa-se em x= 0 duas ondas de mesma amplitude e com frequencias
proximas f1 e f2. Suas elongacoes verticais sao dadas por
y1 = Acos(ω1t) = Acos(2π f1 t)
e
y2 = Acos(ω2t) = Acos(2π f2 t)
Usando o princıpio de superposicao a funcao de onda resultante e
y = y1 + y2 = A[cos(2π f1 t)+ cos(2π f2 t)]
Usando a identidade trigonometrica
cosα+ cosβ = 2cos
(
α−β
2
)
cos
(
α+β
2
)
Em preparacao...✍ 47
Ondas
Se obtem para a resultante
y =
{
2Acos
[
2π
(
f1− f2
2
)
t
]}{
cos
[
2π
(
f1 + f2
2
)
t
]}
Os graficos das ondas originais e da sua superposicao sao mostrados na figura abaixo.
2.19 Ondas sonoras
2.19.1 Som, ultra-som e infra-som
Som e o efeito produzido por ondas mecanicas longitudinais capazes de sensibilizar o ouvido humano.
Para que se produza uma sensacao auditiva a frequencia da onda mecanica que chega ao ouvido de um ser
humano deve estar entre 20 Hz e 20.000 Hz, a regiao audıvel do ouvido humano. Esses limites nao sao
rıgidos e podem variar de indivıduo para indivıduo. Quando uma onda mecanica possui frequencia maior
que 20.000 Hz ela e denominada ultra-sonica, quando possui frequencia menor que 20 Hz e denominada
infra-sonica.
Propagacao do som
O som propaga-se por vibracoes longitudinais atraves de meios materiais envolvendo compressoes e rarefacoes
destes meios. Nas compressoes a pressao no meio material e mais elevada do que seria caso nao houvesse
ondas mecanicas (situacao na qual dizemos que o meio esta em equilıbrio). Na rarefacao, por sua vez a
pressao no meio material apresenta-se mais baixa que no seu estado de equilıbrio. Essas compressoes e
rarefacoes propagam-se de maneira analoga as ondas longitudinais em molas conforme ja foi abordado an-
teriormente. E importante destacar, porem que, em geral, as ondas sonoras propagam-se as tres dimensoes.
Dentre exemplos de fontes de ondas sonoras audıveis citamos
• vibracao de cordas (violino, piano, cordas vocais...)
• vibracao de colunas de ar (flautas, trombone...)
• vibracao de discos e membranas (tambor, auto-falante...)
O som musical que provoca sensacoes agradaveis ao ouvido e produzido por vibracoes periodicas. O
ruıdo, que provoca sensacoes desagradaveis, e produzido por vibracoes nao-periodicas.
Em preparacao...✍ 48
Ondas
2.19.2 Caracterısticas do som
Existem tres caracterısticas atraves das quais diferenciamos os sons entre si. Sao elas:
a) Intensidade: e a caracterıstica do som que nos permite distinguir um sol fraco de um som forte. Como a
intensidade de uma onda e proporcional a amplitude, no caso do som a intensidade depende da amplitude
de vibracao das camadas de ar.
b) Altura: e a caracterıstica do som que permite-nos classificar os sons em graves e agudos. Os sons graves
sao baixos (frequencias baixas) e os sons agudos sao altos (frequencias altas). A altura esta relacionada
a frequencia da onda sonora.
c) Timbre: e a caracterıstica som que permite-nos distinguir sons de mesma altura e mesma frequencia
emitidos por fontes diferentes. O timbre depende do numero e da intensidade dos harmonicos que
acompanham o som fundamental gerado pela fonte. Harmonicos sao os sons emitidos juntamente com
o som fundamental e correspondem a multiplas frequencias do som fundamental.
2.19.3 Eco e reverberacao
O eco e a reverberacao sao fenomenos causados pela reflexao das ondas sonoras ao incidirem sobre um
ou mais anteparos. O eco e caracterizado pela nıtida distincao entre o som refletido e o som emitido
diretamente. No caso das ondas sonoras no ar, o observador (e emissor de ondas) devera estar a mais de 17
m do anteparo para que perceba o eco. A reverberacao e causada pela reflexao multipla do som nas paredes
de uma grande sala, dando ao observador a impressao de que o som continua presente na sala mesmo que a
fonte ja tenha cessado a sua emissao.
2.19.4 Efeito Doppler
A frequencia que qualquer fenomeno ondulatorio manifesta a um observador depende do movimento rela-
tivo entre a fonte e o observador. Esse e o efeito Doppler, que se produz tanto com o som quanto com a luz.
Um exemplo de efeito Doppler e a alteracao na frequencia do som que se ouve quando um automovel passa
por nos, em alta velocidade, buzinando o tempo todo.
2.20 Exercıcios
1. O que se entende por onda?
2. O que sao ondas mecanicas? Exemplifique.
3. Uma onda sonora e transversal ou longitudinal?
4. Explique a diferenca entre ondas unidimensio-
nais, bidimensionais e tridimensionais.
5. O que significa “pulso” e “trem de ondas”?
6. Qual a diferenca entre onda transversal e longitu-
dinal?
7. Algumas ondas mecanicas precisam de meio ma-
terial para se propagar, outras propagam-se no
vacuo. Certo ou errado?
8. O que se entende por amplitude de uma onda?
9. O que e comprimento de onda?
10. Como se chama a distancia entre duas cristas ou
dois vales consecutivos?
11. Uma onda passa de um meio para outro e a
sua velocidade diminui. O que acontece com a
frequencia da onda? E com o comprimento da
onda?
12. Enuncie o princıpio de Huygens.
Em preparacao...✍ 49
Ondas
13. O que e raio de onda?
14. Uma onda mecanica passa de um meio A para um
meio B, como consequencia, seu comprimento de
onda e frequencia sofrem variacoes, embora a ve-
locidade permaneca constante. Certo ou errado?
Justifique.
15. A cada 0,1 s gera-se um pulso, em um tanque de
ondas. Sendo o comprimento de onda da onda
gerada igual a 4,5 cm. Qual a velocidade de
propagacao da onda gerada no tanque de ondas?
16. Qual o comprimento de onda correspondente
a propagacao, no ar, de uma onda sonora de
frequencia 680 Hz? (vsom no ar=340 m/s)
17. A frequencia da onda representada a baixo e 20
Hz.
a) Qual a velocidade de propagacao da onda?
b) Qual o perıodo da onda?
18. A figura representa a fotoqrafia tirada de dois
movimentos ondulatorios; um se propaga numa
corda A e outro numa corda B. Pergunta-se:
a) Qual a diferenca de fase entre esses movimen-
tos?
b) Qual a amplitude de cada movimento?
c) Qual a frequencia do movimento A, se sua ve-
locidade e de 8 m/s?
19. A figura a baixo representa uma onda percorrendo
uma corda. Sua velocidade e de 6 m/s. Deter-
mine:
a) O comprimento de onda;
b) A frequencia.
20. Em que consiste o fenomeno da superposicao de
onda?
21. Quais as condicoes necessarias para que ocorra
interferencia construtiva? E interferencia destru-
tiva?
22. Como varia a intensidade de uma onda tridimen-
sional? E da onda bidimensional?
23. Porque a intensidade de uma onda unidimensio-
nal e constante?
24. Como varia a amplitude de uma onda em relacao
a sua intensidade?
25. Quando uma onda encontra a superfıcie de
separacao entre dois meios, uma parcela e refle-
tida e a outra refratada. Com relacao a essas par-
celas o que se pode dizer sobre:
a) Suas frequencias?
b) Suas amplitudes?
c) Suas velocidades?
26. O que acontece com a velocidade de uma onda
quando ela passa de um meio menos denso para
outro de maior densidade?
27. O que acontece com os pulsos refletidos de uma
onda transversal quando ela passa de um meio
menos denso para um meio mais denso?
28. O que acontece com o modulo da velocidade de
uma onda na superfıcie de um lıquido, quando ela
passa de uma regiao profunda para regioes rasas?
O que ocorre com o comprimento de onda?
29. Considere as afirmativas abaixo, e diga se e ver-
dadeira ou falsa.
( ) Refracao e o fenomeno que consiste em uma
onda passar de um meio para outro.
( ) Na refracao a frequencia da onda nao se al-
tera.
( ) Na refracao, a direcao de propagacao da
onda pode variar ou nao.
( ) Quando uma onda passa de uma regiao rasa
para outra regiao funda, na superfıcie da
agua o seu comprimento de onda aumenta.
30. Mostre com um desenho o que acontece quando
uma onda reta na, superfıcie da agua, atinge um
obstaculo que tem uma fenda. Como se chama
esse fenomeno? Em que princıpio esse fenomeno
se baseia?
31. Mostre com um desenho que as ondas contornam
um obstaculo. De que princıpio esse fenomeno
decorre?
32. O que acontece com as ondas difratadas, se a lar-
gura da fenda for excessivamente pequena? Por
que?
Em preparacao...✍ 50
Ondas
33. O que e uma onda nao polarizada? O que signi-
fica polarizar uma onda?
34. Que tipo de onda pode ser polarizada?
35. Como se estabelece uma onda estacionaria?
36. Como oscilam os meios de um ponto atingido por
uma onda estacionaria?
37. O que chamamos de ventre numa onda esta-
cionaria?
38. Como se chamam os pontos fixos, atraves dos
quais nao ha passagem de energia?
39. Qual e a distancia entre dois nodos?
40. O que e som? O que e ultra-som? E infra-som?
41. Quais as caracterısticas do som?
Em preparacao...✍ 51
Ondas
Em preparacao...✍ 52
Apendice A
Movimento circular uniforme (MCU)
A figura a seguir mostra a trajetoria do movimento circular de uma partıcula numa circunferencia de raio r
e uma das possıveis posicoes angulares da partıcula na circunferencia.
θ
eixo xO
r
As posicoes angulares θ sao medidas em relacao ao eixo x positivo no sentido anti-horario e sao angulos
em radianos.
O movimento circular uniforme (MCU) e o movimento de uma partıcula (ou corpo) com velocidade
angular constante. A velocidade angular da partıcula e a taxa de variacao da sua posicao angular em relacao
ao tempo.
Como na descricao do movimento retilıneo, definem-se inicialmente grandezas medias. Neste caso,
define-se a velocidade angular media.
Se, num tempo t0 a partıcula esta numa posicao angular θ0 e posteriormente, num tempo t, encontra-se
numa posicao angular θ; sua velocidade angular media ω e definida por
ω =∆θ
∆t
onde ∆θ = θ−θ0 e ∆t = t− t0. Sua unidade no SI e rad/s.
Assim como no movimento retilıneo uniforme a velocidade instantanea e igual a velocidade media, no
movimento circular uniforme a velocidade angular instantanea e igual a velocidade angular media. Utili-
zando o sımbolo ω para representar a velocidade angular constante, temos
ω = ω
53
Ondas
Substituindo nesta expressao o valor de ω da equacao anterior, obtem-se
ω =∆θ
∆t
Com a escolha do tempo inicial (t0) corresponder ao tempo no qual inicia-se a observacao do movimento
(usando um cronometro zerado, por exemplo) atribuı-se a t0 o valor zero, t0 = 0s. Com esta escolha, a
equacao acima permite escrever a posicao angular em funcao do tempo como
θ = θ0 +ω t (A.1)
Esta equacao mostra o comportamento linear da posicao angular θ em relacao ao tempo, uma caracterıstica
de movimentos com taxas de variacao de posicao em relacao ao tempo constante.
Uma partıcula em MCU esta em movimento periodico. Simbolizando o perıodo do movimento por T
e observando que a repeticao da posicao da partıcula acontece quando percorre um deslocamento angular
igual a 2π rad, usando a equacao acima,
T =2π
ω
Uma outra velocidade associada a partıcula em movimento circular esta relacionada a variacao da sua
posicao linear sobre a trajetoria, e a velocidade linear v. Como a partıcula esta em MCU, move-se sobre a
trajetoria numa velocidade linear v constante. Esta velocidade e igual ao comprimento do arco percorrido
pela partıcula dividido pelo tempo que a partıcula levou para o percorrer. Observando que durante o tempo
igual a um perıodo T a partıcula descreve uma volta completa na circunferencia, um comprimento de arco
igual ao comprimento da circunferencia, 2π r; sua velocidade linear sobre a trajetoria e
v =comprimento de arco
tempo=
2π r
T
substituindo o valor de T da equacao anterior,nesta equacao, encontra-se a relacao entre a v e ω,
v = ω r (A.2)
As equacoes (A.1) e (A.2) serao utilizadas no Capıtulo 1, sobre Movimento Harmonico Simples .
Em preparacao...✍ 54
Bibliografia
[1] GASPAR, A. Fısica. Sao Paulo: Editora Atica, 2000. v. 2.
[2] NEWTON, V.; GUALTER, J. H. R. Topicos de fısica. Sao Paulo: Editora Saraiva, 2001. v. 2.
[3] MAXIMO, A; ALVARENGA, B. Fısica conceitual. Sao Paulo: Editora Scipione, 2000. v. 2.
[4] HEWITT, P. G. Fısica conceitual. Porto Alegre: Editora Bookman, 2002.
[5] HALLIDAY, D.; RESNICK, R. W. J. Fundamentos de fısica. Rio de Janeiro: LTC, 2011. v. 2.
55