I Função horária da elongação 10 exercícios (01 ao 10)

II Função horária da velocidade e da aceleração 11 exercícios - (11 ao 21)

III Dinâmica do MHS Sistema massa-mola 12 exercícios (22 ao 33)

IV Pêndulo Simples 13 exercícios (34 ao 46)

V Associação de molas 6 exercícios (47 ao 51)

- Movimento periódico --- todo movimento que se repete em intervalos de tempo iguais - Movimento oscilatório (vibratório) harmônico --- o móvel se desloca sobre a mesma trajetória, indo e vindo, em relação a uma posição média de equilíbrio (ponto O, onde a resultante das forças que agem sobre ele é nula)

- O período T é o tempo em que o corpo em cada uma das figuras (figura 1 pêndulo simples; figura 2

pêndulo de mola; figura 3 sistema massa-mola e figura 4

lâmina vibrante) demora para ir de A até A e depois retornar a A, ou seja,.é o tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do corpo por um mesmo ponto da trajetória. - A freqüência f representa o número de vezes que o móvel passa pelo mesmo ponto da trajetória, na unidade de tempo, ou seja, é o número de vezes que o fenômeno se repete, na unidade de tempo. - Quando o período T é medido em segundos (s), a freqüência f é medida em hertz (Hz), sendo 1Hz=1oscilação por segundo. - T = 1/f e f = 1/T.

Movimento Harmônico Simples (MHS) --- Podemos generalizar um MHS como a projeção ortogonal de um movimento circular uniforme (MCU) sobre uma reta.

Observe na figura acima que, enquanto o corpo descreve um MCU anti-horário entre os instantes to e t4, sua projeção sobre o eixo x, em MHS, se desloca para a esquerda em movimento retrógrado de +A até A e quando o corpo em MCU se move do instante t4 até o instante t8, sua projeção sobre o eixo x se move para a direita, em movimento progressivo, de A até +A, completando um período em t8. A partir daí, tudo se repete. O mesmo será válido se o eixo x estiver na vertical e for orientado para cima.

Definições

Elongação (x) posição (localização) da partícula em MHS sobre o eixo x em relação à origem 0, ou seja, mostra a que distância de 0 a partícula se encontra em determinado instante. Amplitude (A) em módulo é a elongação máxima do MHS e corresponde ao raio da circunferência do MCU (R=A). Período (T) corresponde ao tempo que o MCU demora para efetuar uma volta completa ou ao tempo que o MHS demora para efetuar um vai e vem completo sobre a reta x. Freqüência (f) número de voltas completas (MCU) ou número de idas e voltas completas (MHS), na unidade de tempo. Ângulo de fase ( ) posição (localização) angular no MCU, ou seja, localiza angularmente o corpo em MCU. Fase inicial ( o) indica, no instante t=0, o ângulo de fase inicial do MCU. O ângulo de fase ( ) e a Fase inicial ( o) são medidos em radianos (rad).

Velocidade angular ou pulsação (w)

mede no MCU o ângulo varrido na unidade de tempo e fornece o período ou a freqüência do MCU através das expressões w=2 /T ou w=2 f

Funções

Função horária da elongação x Na figura abaixo, considere o ponto P em MHS e o ponto Q em MCU num instante qualquer t

No triângulo OPQ -- cos =0P/0Q -- cos =x/A -- x = Acos 1 Lembrando que, no MCU, a posição angular varia com o tempo conforme a função = o + wt, teremos, substituindo-a em

1 --- x = A.cos( o + wt) que é a função horária da elongação e onde x é a elongação; w, a pulsação ou freqüência angular ou ainda velocidade angular; A, a amplitude (elongação máxima) e o a fase inicial da partícula em MHS. O mesmo será válido se o eixo x estiver na vertical

Os ângulos são medidos em radianos (rad) e a pulsação w em radianos por segundo (rad/s)

01-(UFB) Uma partícula realiza um MHS em torno do ponto O com período de 2s (figura).

Os pontos M e N são os extremos da oscilação e no instante t=0 a partícula está passando sobre o ponto 0, deslocando-se para a esquerda. Pede-se para esse MHS: a) a freqüência f b) a pulsação w (velocidade angular) c) a amplitude d) a fase inicial e) a função horária da elongação f) a elongação nos instantes t=0; t=0,5s; t=1s; t=1,5s, t=2s e t=4,5s. g) Esboce o gráfico da elongação x em função do tempo t, desde t=0 até t=4,5s.

02- (Unicamp-SP) Enquanto o ponto P se move sobre uma circunferência, em movimento circular uniforme com velocidade angular =2 rad/s, o ponto M (projeção de P sobre o eixo x) executa um movimento harmônico simples entre os pontos A e A'. Nota: B e C são os pontos médios de AD e DA', respectivamente.

a) qual é a freqüência do MHS executado por M? b) determine o tempo necessário para o ponto M deslocar-se do ponto B ao ponto C.

03-(UFG-GO) O gráfico mostra a posição em função do tempo de uma partícula em movimento harmônico simples (MHS) no intervalo de tempo entre 0 e 4 s. A equação da posição em função do tempo para este movimento é dada por x=A cos( t+

wo). A partir do gráfico, encontre os valores das constantes A, e wo.

04- (UFV-MG) Duas partículas descrevem movimentos harmônicos simples representados nos gráficos (I) e (II) a seguir.

É CORRETO afirmar que os dois movimentos têm: a) mesma freqüência, amplitudes iguais e fases diferentes. b) freqüências diferentes, amplitudes iguais e fases diferentes. c) mesma freqüência, amplitudes diferentes e mesma fase. d) mesma freqüência, amplitudes iguais e mesma fase. e) freqüências diferentes, amplitudes iguais e mesma fase.

05-. (UFPE) Dois corpos descrevem movimentos de oscilação periódicos ao longo do eixo y, conforme indicado na figura. Qual a razão entre as freqüências de oscilação dos corpos?

06-(UFL-MG) Um corpo executa um movimento harmônico simples descrito pela equação x=4.cos(4 t) (SI) a) Identifique a amplitude, a freqüência e o período do movimento. b) Em que instante, após o início do movimento, o corpo passará pela posição x=0?

07-(MACKENZIE-SP) Uma partícula realiza um MHS (movimento Harmônico simples), segundo a equação x=0,2.cos( /2 + /2t), no SI. A partir da posição de elongação máxima, o menor tempo que essa partícula gastará para passar pela posição de

equilíbrio é: a) 0,5s b) 1s c) 2s d) 4s e) 8s

08-(UFPI) O gráfico da elongação x=Acos(wt+ ) de uma partícula que executa um movimento harmônico simples está representado na figura.

Determine a fase inicial, a pulsação ou freqüência angular e a função horária da elongação desse movimento.

09-(FUVEST-SP) Enquanto uma folha de papel é puxada com velocidade constante sobre uma mesa, uma caneta executa movimento de vaivém perpendicularmente à direção de deslocamento do papel, deixando registrado na folha um traço em forma de senóide. A figura abaixo representa um trecho AB do traço, bem como as posições de alguns de seus pontos e os respectivos instantes.

Pede-se: a) a velocidade de deslocamento da folha b) a razão das freqüências do movimento de vaivém da caneta entre os instantes 0 a 3s e 5s a 13s.

10-(PUC-SP) O gráfico abaixo representa as posições ocupadas, em função do tempo, por uma partícula que oscila em MHS.

Determine a função horária da elongação

Função horária da velocidade V

No MCU o vetor velocidade é sempre tangente em cada ponto.

.

Observe, na figura acima, que a velocidade V do MHS é a projeção da velocidade VMCU sobre o eixo da elongação X. No triângulo da direita, obtemos: sen = V/VMCU ---- V = - VMCU.sen --- O sinal negativo é devido ao fato de o sentido de V ser contrário à orientação positiva do eixo 0X. Mas, do MCU, temos que VMCU = w.R, sendo w a pulsação (velocidade angular) e R o raio da circunferência que é igual à amplitude A.. Ainda do MCU, temos que, = o + w.t..

Portanto: V = - VMCU.sen ---- V = - w.A.sen( o + w.t) -- que é a função horária da velocidade do MHS. V é mínimo e vale wA quando = /2 rad, cujo seno é +1--- v= - wAsen

--- v= -wAsen /2 ---v= -wA.(+1)

vmínimo= -wA V é máximo e vale +wA quando =3 /2 rad ---v= - wAsen

--- v= -wAsen3 /2 -- v= -wA.(- 1)

vmáximo=+wA

Gráfico da velocidade em função do tempo.

Observe, na figura abaixo que, enquanto a partícula se move em MCU de =0 até = rad, a velocidade do MHS (projeção da velocidade do MCU sobre X) é sempre negativa pois é contrária a orientação positiva de X.e que:

V1=0 e V5=0 (projeção sobre X é nula) e que V3 tem módulo máximo e valor mínimo. Analogamente, quando a partícula se move em MCU de rad até 2 rad sua velocidade é sempre positiva e tem valor máximo em X=0 e é nula nos extremos.

Função horária da aceleração a

No MCU a aceleração ac é a aceleração centrípeta, sempre radial e dirigida para o centro da circunferência. A aceleração a do MHS é a projeção da aceleração ac do MCU sobre o eixo X.

cos = a/ac ----- a = - ac.cos (negativo porque as orientações de a e do eixo x são contrárias). Do MCU ---- ac=w2.R --- ac=w2.A e = o + w.t a= -accos

a= -w2.A.cos( o + w.t) função horária da aceleração do MHS Observe que: * quando x=0 --- a=0

* quando x= +A --- a= -w2A --- valor mínimo de a, pois = rad e cos = -1 --- amínimo= - w2.A * quando x= -A --- a= w2A --- valor máximo de a, pois =2 rad e cós 2 = 1 --- amáximo = w

2.A

Gráfico aXt

Gráfico aXx a = - w2.A.cos --- x = A.cos --- a = - w2.x

Definições

Elongação (x) posição (localização) da partícula em MHS sobre o eixo x em relação à origem 0, ou seja, mostra a que distância de 0 a partícula se encontra em determinado instante. Amplitude (A)

em módulo é a elongação máxima do MHS e corresponde ao raio da circunferência do MCU (R=A). Período (T) corresponde ao tempo que o MCU demora para efetuar uma volta completa ou ao tempo que o MHS demora para efetuar um vai e vem completo sobre a reta x. Freqüência (f) número de voltas completas (MCU) ou número de idas e voltas completas (MHS), na unidade de tempo. Ângulo de fase ( ) posição (localização) angular no MCU, ou seja, localiza angularmente o corpo em MCU. Fase inicial ( o) indica, no instante t=0, o ângulo de fase inicial do MCU. O ângulo de fase ( ) e a Fase inicial ( o) são medidos em radianos (rad).

Velocidade angular ou pulsação (w)

mede no MCU o ângulo varrido na unidade de tempo e fornece o período ou a freqüência do MCU através das expressões w=2 /T ou w=2 f

* Função horária da elongação --- x = A.cos ou x = A.cos( o + wt) * xmáximo= + A * xmínimo= - A

* Função horária da velocidade --- v = -w.A.sen ou v= -w.A.sen( o + wt) * vmáxima= +w.A * vmínima= - w.A

* Função horária da aceleração --- a= -w2.A.cos( o + wt) ou a=-w2. A.cos * amáxima= + w2.A * amínima= - w2.A

* Velocidade v em função da elongação ou posição x --- v=w. A2 x2

* aceleração a em função da posição ou elongação x --- a= - w.x

*Gráficos

Elongação x em função do tempo t Velocidade v em função do tempo t aceleração a em função do tempo t

Aceleração (a) em função da elongação (x)

*Facilitando o entendimento

11-(UFB) A função horária da elongação de uma partícula em MHS é x = 4.cos( + t) SI. a) a função horária da velocidade b) a velocidade máxima e a velocidade mínima c) o gráfico da velocidade em função do tempo d) a função horária da aceleração e) a aceleração máxima e a aceleração mínima f) o gráfico da aceleração em função do tempo g) o gráfico da aceleração a em função da elongação x

12-(UFCE) A figura a seguir mostra uma partícula P, em movimento circular uniforme, em um círculo de raio r, com velocidade angular constante w, no tempo t = 0.

A projeção da partícula no eixo x executa um movimento tal que a função horária vf(t), de sua velocidade, e expressa por: a) vf(t) = w r b) ) vf(t) = w r cos (wt + ) c) vf(t) = - w r cos (wt + ) d) vf(t) = - w r sen (wt + ) e) ) vf(t) = w r sen (wt + )

13-(UFPB) Uma partícula material executa um movimento harmônico simples (MHS) em torno do ponto x = 0. Sua aceleração, em função da posição, é descrita pelo gráfico a seguir.

Nessas condições, a freqüência angular do MHS é: a) 4 rad/s b) 3 rad/s c) 2 rad/s d) 1 rad/s e) 0,5 rad/s

14-(UFF-RJ) Medidores de tempo são, em geral, baseados em osciladores periódicos. Um exemplo mecânico simples de um desses osciladores é obtido com um carrinho, preso a duas molas ideais, que oscila, sem atrito, entre as posições x = L em torno da sua posição de equilíbrio x = 0, conforme ilustrado na figura 1. Assinale o gráfico que melhor representa a aceleração do carrinho em função da sua posição x.

15- (MACKENZIE-SP) Um disco de 20cm de diâmetro gira uniformemente em torno de um eixo O, sobre um plano horizontal executando 60rpm. Perpendicularmente ao plano do disco, existe um anteparo, conforme figura.

Ao fixarmos um objeto cilíndrico de pequeno diâmetro. Perpendicularmente ao disco, num ponto de sua periferia, o mesmo passa a descrever um MCU de freqüência igual a do disco Pede-se a máxima velocidade da sombra do objeto.

16-(MACKENZIE-SP) Uma partícula em MHS tem velocidade máxima 2,0 m/s. Se a amplitude do movimento é 20cm, seu período é de: a) 2,0 min b) 0,20 min c) 20 s d) 2,0 s ---e) 0,2 s

17-(PUC-SP) A figura abaixo representa uma senóide para t 0, indicando a velocidade do ponto P móvel na trajetória (0,x), em função do tempo.

a) sua velocidade inicial e sua fase inicial b) sua pulsação (velocidade angular) e sua amplitude c) a maior distância que ele alcança da origem d) a aceleração máxima por ele adquirida

18-(UFCE) Um carrinho desloca-se com velocidade constante, vo, sobre uma superfície horizontal sem atrito, conforme figura.

O carrinho choca-se contra uma mola de massa desprezível, ficando preso a ela. O sistema mola+carrinho começa então a oscilar em movimento harmônico simples, com amplitude de valor A. Determine o período de oscilação do sistema.

19-(Fuvest - SP) Dois corpos, A e B, ligados por um fio, encontram-se presos à extremidade de uma mola e em repouso. Parte-se o fio que liga os corpos, e o corpo

passa a executar um movimento oscilatório, descrito pelo gráfico abaixo:

a) Determine a frequência, a amplitude e a pulsação do movimento de A. b) Escreva a equação horária das posições Y do corpo A, conforme o gráfico.

20-(UNESP-SP) Um móvel com MHS obedece à função horária x=7.cos( /2.t), onde x é medido em centímetros e em segundos. Calcule: a) O tempo necessário para que este móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima. b) A velocidade máxima e a aceleração máxima

21-(UFMS) A figura 1 representa um sistema mecânico que ilustra o funcionamento de um motor a combustão, simplificado, com apenas três peças: virabrequim, biela e pistão. Essas três peças estão acopladas entre si, através de eixos articulados. Enquanto o virabrequim gira com velocidade angular constante, no sentido horário, a biela faz o pistão subir e descer num movimento oscilatório. A posição do pistão no eixo vertical y, é dada pela projeção do ponto de articulação entre a biela e o pistão sobre esse eixo. Essa posição no eixo y, oscila entre as amplitudes +A e -A.

Chamemos de y, vy e ay, respectivamente, a posição, a velocidade e a aceleração do ponto de articulação entre a biela e o pistão. Se iniciarmos a marcação do tempo t, quando a posição do ponto de articulação entre a biela e o pistão estiver na posição y =

0, como mostra a figura 1, assinale a alternativa que apresenta corretamente os gráficos correspondentes às posições y, às velocidades vy e às acelerações ay em função do tempo.

- Sistema massa-mola - Um corpo de massa m realiza MHS quando, sobre uma trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio O, sob ação de uma força denominada força restauradora (Fel) que sempre é dirigida para O. Essa força é a força elástica fornecida pela expressão Fel = - kx (lei de Hooke)

À medida que afastamos o bloco de massa m para a direita a partir da posição de equilíbrio O ( origem da abscissa x orientada para a direita), a força restauradora vai aumentando até atingir um valor máximo no ponto x=+A (abscissa máxima, a partir da qual, retornará)). Analogamente, se empurramos o bloco de massa m para a esquerda a partir da posição 0, uma força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento X surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0, e esta força terá módulo máximo no ponto de abscissa x=-A, a partir de onde, retornará. A distância do ponto O até os extremos x= +A e x= -A é chamada de amplitude A desse MHS. Observe que nesses extremos +A e A, ocorre inversão de sentido do movimento e a velocidade se anula. Observe também que na passagem pela posição de equilíbrio (ponto O), a velocidade é máxima em módulo. O período T desse MHS é fornecido pela expressão

T período

tempo que a massa m demora para efetuar um vai e vem completo

m massa que executa o MHS k constante elástica da mola

- Da lei de Hooke F= -kx e da segunda lei de Newton F=m.a, obtemos --- -k.x=m.a --- a= -k/m.x. Igualando a= -k/m.x. com a= -w2.x, obtemos --- - k/m.x= -w2.x --- w= k/m. Lembrando que w=2 /T e igualando essa expressão com a anterior --- k/m = 2 /T, isolando T, obtemos a expressão acima -- T=2 m/k. Observe na expressão acima que o período T da massa oscilante não depende da amplitude e nem da aceleração da gravidade local, independente do fato da oscilação ser na vertical.

Energia no MHS no plano horizontal * A energia potencial é a elástica --- Ep = k.x2/2 Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x=o e é máxima nos extremos onde x=+A e X=-A, onde x2 é máximo e vale Ep=kA2/2

* A energia cinética vale Ec=m.v2/2 Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde v=0.

* A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2 ou Em=Ec + Ep ou Em=kx2/2 + m.v2/2 * Nos extremos onde v=0 e o módulo de x é A, temos que --- Em=Ec + Ep --- Em= 0 + k.A2/2 --- Em=k.A2/2 = constante * No ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e x=0, temos que --- Em=Ec + Ep --- Em=mv2/2 + 0 --- Em=mv2

max/2=const.

* Gráficos

* Se a massa estiver oscilando na vertical

Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural.

Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos --- Fe = P --- k.x = m.g --- x=m.g/k e

x=A. Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A, desde que a massa m seja a mesma.. Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 0. Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional

* Na expressão T=2 m/k você observa que o período (e consequentemente a freqüência) do MHS do sistema massa-mola depende da massa m do corpo e da constante elástica k da mola, mas não depende da amplitude A da oscilação e nem da aceleração da gravidade local, mesmo que o movimento seja na vertical, desde que seja a mesma mola e a mesma massa.

Energia no MHS no plano horizontal * A energia potencial é a elástica --- Ep = k.x2/2 Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x=o e é máxima nos extremos onde x=+A e X=-A, onde x2 é máximo e vale Ep=kA2/2

* A energia cinética vale Ec=m.v2/2 Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde v=0.

* A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2 ou Em=Ec + Ep ou Em=kx2/2 + m.v2/2 * Se a massa estiver oscilando na vertical

Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural. Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos --- Fe = P --- k.x = m.g --- x=m.g/k e x=A. Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A,desde que a massa m seja a mesma.. Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 0.

Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional No ponto 0 a velocidade de m é máxima, pois ela acelera até 0 e retarda a partir de 0. Portanto, em 0. a aceleração é nula.

22-(UFC) Uma partícula de massa m move-se sobre o eixo x, de modo que as equações horárias para sua velocidade e sua aceleração são, respectivamente, v(t) = - wAsen (wt + ) e a(t) = w2Acos(wt + ), com w, A e constantes. a) Determine a força resultante em função do tempo, F(t) , que atua na partícula.

b) Considere que a força resultante também pode ser escrita como F(t) = - kx(t), onde k = mw2. Determine a equação horária para a posição da partícula, x(t), ao longo do eixo x. c) Usando as expressões para as energias cinética, Ec(t) = 1/2 mv2(t), e potencial, Ep(t) = 1/2 kx2(t), mostre que a energia mecânica da partícula é constante.

23-(UFPB) Um Professor de Física utiliza uma mola, de constante elástica k e comprimento L (quando não distendida), para demonstrar em sala de aula o movimento harmônico simples (MHS). A mola, presa ao teto da sala, pende verticalmente. Um corpo de massa m é preso à extremidade livre da mola e subitamente largado. Desprezando todas as forças dissipativas, admitindo que a mola tem massa desprezível e que a gravidade terrestre é g, analise as afirmações a seguir: (g = 10 m/s2)

I. O período do MHS obtido é T = 2 (L/g). II. O corpo não realiza MHS devido à gravidade. III. A nova posição de equilíbrio está deslocada de L = mg/k. IV. A energia mecânica total do corpo, no movimento vertical, é igual à soma das suas energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional.

Estão corretas apenas: a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III e) III e IV

24-(UECE) Um sistema oscilante massa-mola possui uma energia mecânica igual a 1,0 J, uma amplitude de oscilação 0,5 m e uma velocidade máxima igual a 2 m/s. Portanto, a constante da mola, a massa e a freqüência são, respectivamente, iguais a: a) 8,0 N/m, 1,0 kg e 4/ Hz b) 4,0 N/m, 0,5 kg e 4/ Hz --c) 8,0 N/m, 0,5 kg e 2/ Hz d) 4,0 N/m, 1,0 kg e 2/ Hz

25-(UFMS) O Bungee Jump é um esporte radical que consiste na queda de grandes altitudes de uma pessoa amarrada numa corda elástica. Considerando desprezível a resistência do ar, é correto afirmar que (01) a velocidade da pessoa é máxima quando a força elástica da corda é igual à força peso que atua na pessoa. (02) a velocidade da pessoa é máxima quando o deslocamento da pessoa, em relação ao ponto que saltou, é igual ao comprimento da corda sob tensão nula. (04) o tempo de movimento de queda independe da massa da pessoa. (08) a altura mínima que a pessoa atinge em relação ao solo depende da massa dessa pessoa. (16) a aceleração resultante da pessoa é nula quando ela atinge a posição mais baixa.

26-(ITA-SP) Duas molas ideais, sem massa e de constantes de elasticidade k1 e k2, sendo k1 .k2, acham-se dependuradas no teto de uma sala. Em suas extremidades livres penduram-se massas idênticas.

Observa-se que, quando os sistemas oscilam verticalmente, as massas atingem a mesma velocidade máxima. Indicando por A1

e A3, as amplitudes dos movimentos e por E1 e E2 as energias mecânicas dos sistemas (1) e (2), respectivamente, podemos dizer que: a) A1 A2 e E1= E2 b) A1 A2 e E1= E2 c) A1 A2 e E1 E2 d) A1 A2 e E1 E2 e) A1= A2 e E1 E2 = 27-(PUC-MG) Uma partícula de massa 0,5kg move-se sob ação de apenas uma força, à qual está associada uma energia potencial Ep cujo gráfico em função de x está representado na figura abaixo.

Esse gráfico consiste em uma parábola passando pela origem. A partícula inicia o movimento a partir do repouso, em x= -2,0m. Pede-se: a) Sua energia mecânica b) A velocidade da partícula ao passar por x=0 c) A energia cinética da partícula ao passar por x=1m.

28-(MACKENZIE-SP) Um corpo de 250g de massa encontra-se em equilíbrio, preso a uma mola helicoidal de massa desprezível e constante elástica k igual a 100N/m, como mostra a figura abaixo.

O atrito entre as superfícies em contato é desprezível. Estica-se a mola, com o corpo até o ponto A, e abandona-se o conjunto nesse ponto, com velocidade zero. Em um intervalo de 1,0s, medido a partir desse instante, o corpo retornará ao ponto A a) um vez b) duas vezes ---c) três vezes d) quatro vezes e) seis vezes

29-(UNESP-SP) Em um sistema massa-mola, conforme mostra a figura (superfície horizontal sem atrito), onde k é a constante elástica da mola, a massa é deslocada de uma distância xo, passando a oscilar.

a) em que ponto, ou pontos, a energia cinética da massa é igual a 7/9 da energia potencial do sistema? b) a energia cinética pode ser superior à potencial em algum ponto? Explique sua resposta.

30-(UEM-PR) Um corpo de massa igual a 2,0kg oscila sobre uma mesa horizontal lisa, preso a uma mola também horizontal, cuja constante elástica é k = 200N/m. A amplitude da oscilação é A = 10cm. Nessas condições, dê como resposta a soma dos números correspondentes às afirmações corretas. Considere g = 10m/s2.

(01) A força que a mola exerce sobre o corpo é constante e vale 20N (02) Se nenhuma força externa agir sobre o sistema, o mesmo oscilará indefinidamente. (04) A frequência angular de oscilação é de 10rad/s (08) O módulo da velocidade máxima do corpo é de 1,0m/s e ocorre no ponto de máximo deslocamento, em relação à posição de equilíbrio. (16) O período de oscilação é igual a /5 s.

31-(UFU-MG) Uma massa m executa um MHS. Sua energia potencial U, em função de sua posição x, está no gráfico abaixo.

Se E for sua energia total, teremos: a) em x1, sua energia cinética será a b) em x1, sua energia potencial será b c) em x1, sua energia cinética será +b d) na posição x2 sua energia cinética será máxima e) na posição x2 sua energia potencial será nula.

32-(PUC-SP) Na figura abaixo, está representada a situação de equilíbrio de uma mola ideal quando livre e depois de ser presa a um corpo de massa 400g.

Considere g=10m/s2 e determine: a) a constante elástica da mola b) o tipo e o período do movimento que o corpo descreveria, caso fosse suspenso 1,cm de sua posição de equilíbrio. Despreze a ação do ar sobre o movimento.

33-(UNICAMP-SP) Os átomos de carbono têm a propriedade de se ligarem formando materiais muito distintos entre si, como o diamante, o grafite e os diversos polímeros. Há alguns anos foi descoberto um novo arranjo para esses átomos: os nanotubos, cujas paredes são malhas de átomos de carbono. O diâmetro desses tubos é de apenas alguns nanômetros (1nm=10-

9m). No ano passado, foi possível montar um sistema no qual um nanotubo de carbono fechado nas pontas oscila no interior de um outro nanotubo de diâmetro maior e aberto nas extremidades. As interações entre os dois tubos dão origem a uma força restauradora representada no gráfico. (1nN=10-9N)

a) Encontre, por meio do gráfico, a constante da mola desse oscilador.

b) O tubo oscilante é constituído de 90 átomos de carbono. Qual é a velocidade máxima desse tubo, sabendo-se que um átomo de carbono equivale a uma massa de 2.10-26kg.

- Pêndulo Simples - consta de uma massa m, presa na extremidade inferior de um fio ideal, fixada verticalmente na sua extremidade superior (figura)

Se o pêndulo simples oscilar, com oscilações de pequena abertura (no máximo 15o), ele descreve um movimento circular de raio R=L, sendo L o comprimento do fio. Seu período (T), que é o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo é fornecido pela expressão:

onde g é a aceleração da gravidade local. - Observe que: * a massa pendular m não influi no período T do movimento. Assim dois pêndulos de mesmo comprimento L mas de massas diferentes M e m, apresentam o mesmo período T. * O período de um pêndulo simples independe da amplitude, ou seja, da altura em que m é abandonada, assim, os pêndulos

da figura abaixo, tanto na situação 1 como na 2, demoram o mesmo tempo para ir de A até B, de B até C, de C até B e de B até A.

. * O período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à raiz quadrada de seu comprimento L. Assim, para dobrar o período T de um pêndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado, etc.

* O período de um pêndulo simples é inversamente proporcional à raiz quadrada da aceleração da gravidade g. Assim, quanto maior for a aceleração da gravidade do local onde está o pêndulo, menor será o seu período. Uma das aplicações do pêndulo simples é a determinação da aceleração da gravidade.

. Seu período (T), que é o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo é fornecido pela expressão:

onde g é a aceleração da gravidade local. - Observe que: * a massa pendular m não influi no período T do movimento. Assim dois pêndulos de mesmo comprimento L, mas de massas diferentes M e m, apresentam o mesmo período T. * O período de um pêndulo simples independe da amplitude (angular), ou seja, da altura em que m é abandonada, assim,, os pêndulos da figura abaixo, tanto na situação 1 como na 2, onde a altura em que é abandonada é maior, demoram o mesmo tempo para ir de A até B, de B até C, de C até B e de B até A.

* O período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à raiz quadrada de seu comprimento L. Assim, para dobrar o período T de um pêndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado.

* Se você levar um relógio de pêndulo de uma região mais fria para uma região mais quente, o comprimento do pêndulo aumenta, pois ele se dilata devido à elevação da temperatura e como raiz quadrada de L é diretamente proporcional à T, o período aumentará e o relógio atrasará.

* O período de um pêndulo simples é inversamente proporcional à raiz quadrada da aceleração da gravidade g. Assim, quanto maior for a aceleração da gravidade do local onde está o pêndulo, menor será o seu período. Uma das aplicações do pêndulo simples é a determinação da aceleração da gravidade. * Se o pêndulo for abandonado em A (VA=0), em A sua energia potencial (gravitacional) é máxima e sua energia cinética é nula. A medida que ele desce a energia potencial vai se transformando em cinética que será máxima quando ele atinge B. O processo se inverte até atingir C onde a energia potencial é máxima e a cinética nula. Sendo o sistema conservativo (não há energia dissipada), em todos os pontos do movimento a energia mecânica é constante (veja figura abaixo)

Referencial no solo referencial em B

34-(UEM) Suponha que um pequeno corpo, de massa m, esteja preso na extremidade de um fio de peso desprezível, cujo comprimento é L, oscilando com pequena amplitude, em um plano vertical, como mostra a figura a seguir. Esse dispositivo constitui um pêndulo simples que executa um movimento harmônico simples. Verifica-se que o corpo, saindo de B, desloca-se até B' e retorna a B, 20 vezes em 10 s. Assinale o que for correto.

(01) O período deste pêndulo é 2,0 s. (02) A freqüência de oscilação do pêndulo é 0,5 Hz. (04) Se o comprimento do fio L for 4 vezes maior, o período do pêndulo será dobrado. (08) Se a massa do corpo suspenso for triplicada, sua freqüência ficará multiplicada por 3. (16) Se o valor local de g for 4 vezes maior, a freqüência do pêndulo será duas vezes menor. (32) Se a amplitude do pêndulo for reduzida à metade, seu período não modificará.

35-(UNIFESP-SP) Um estudante faz o estudo experimental de um movimento harmônico simples (MHS) com um cronômetro e um pêndulo simples como o da figura, adotando o referencial nela representado.

Ele desloca o pêndulo para a posição +A e o abandona quando cronometra o instante t = 0. Na vigésima passagem do pêndulo por essa posição, o cronômetro marca t = 30 s. a) Determine o período (T) e a freqüência (f) do movimento desse pêndulo. b) Esboce o gráfico x (posição) × t (tempo) desse movimento, dos instantes t = 0 a t = 3,0 s; considere desprezível a influência de forças resistivas.

36- (UFPR) Uma criança de massa 30,0 kg é colocada em um balanço cuja haste rígida tem comprimento de 2,50 m. Ela é solta de uma altura de 1,00 m acima do solo, conforme a figura abaixo. Supondo que a criança não se auto-impulsione, podemos considerar o sistema "criança-balanço" como um pêndulo simples. Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar: (considere g= 10m/s2)

(01) O intervalo de tempo para que a criança complete uma oscilação é de s. (02) A energia potencial da criança no ponto mais alto em relação ao solo é de 150 J. (04) A velocidade da criança no ponto mais próximo do solo é menor que 4,00 m/s. (08) Se a massa da criança fosse maior, o tempo necessário para completar uma oscilação diminuiria. (16) A freqüência de oscilação da criança depende da altura da qual ela é solta.

37-(UNICAMP-SP) Um antigo relógio de pêndulo é calibrado no frio inverno gaúcho. Considere que o período desse relógio é dado por:

Onde L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade, pergunta-se: a) Este relógio atrasará ou adiantará quando transportado para o quente verão nordestino? b) Se o relógio for transportado do nordeste para a superfície da Lua, nas mesmas condições de temperatura, ele atrasará ou adiantará? Justifique suas respostas. .. 38-(UFRS) A figura a seguir representa seis pêndulos simples, que estão oscilando num mesmo local.

O pêndulo P executa uma oscilação completa em 2 s. Qual dos outros pêndulos executa uma oscilação completa em 1 s? a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

39-(FUVEST-SP) O pêndulo de Foucault popularizado pela famosa obra de Umberto Eco consistia de uma esfera de 28kg, pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um fio de 67m de comprimento. Sabe-se que o período T de oscilação de um pêndulo simples é relacionado com seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g pela seguinte expressão:

.

a) Qual o período de oscilação do pêndulo de Foucault? Despreze as frações de segundos. b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se dobrássemos sua massa? (Adote g=10m/s2 e 10= )

40-(ITA) Um pêndulo simples oscila com um período de 2s. Se cravarmos um pino a uma distância 3L/4 do ponto de suspensão e na vertical que passa por aquele ponto, como mostrado na figura, qual será o novo período do pêndulo?

41-(UFRS) Um pêndulo simples, de comprimento L, tem um período de oscilação T, num determinado local. Para que o período de oscilação passe a valer 2T, no mesmo local, o comprimento do pêndulo deve ser aumentado para a) 1 L. b) 2 L. c) 4 L. d) 5 L. e) 7 L.

42-(UFU) Em um laboratório de Física, um grupo de alunos, Grupo A, obtém dados, apresentados na tabela a seguir, para a freqüência (em hertz) num experimento de Pêndulo Simples, utilizando-se três pêndulos diferentes.

Esses resultados foram passados para um segundo grupo, Grupo B, que não compareceu à aula. Uma vez que os alunos do Grupo B não viram o experimento, os integrantes desse grupo formularam uma série de hipóteses para interpretar os resultados. Assinale a ÚNICA hipótese correta. a) A massa do pêndulo 1 é menor do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que a massa do pêndulo 3. b) A massa do pêndulo 1 é maior do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que a massa do pêndulo 3. c) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é maior do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que o comprimento do pêndulo 3. d) O comprimento L do fio do pêndulo 1 é menor do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que o comprimento do pêndulo 3

43-(UFES) Um pêndulo, formado por uma massa presa a uma haste rígida e de massa desprezível, é posto para oscilar com amplitude angular o.. Durante a oscilação, no exato instante em que a massa atinge a altura máxima , como mostrado na figura, a ligação entre a haste e a massa se rompe. No instante imediatamente após o rompimento, os vetores que melhor representam a velocidade e a aceleração da massa são:

44-(UNESP-SP) Um estudante pretendia apresentar um relógio de pêndulo numa feira de ciências com um mostrador de 5 cm de altura, como mostra a figura. Sabendo-se que, para pequenas oscilações, o período de um pêndulo simples, é dado pela expressão T = 2 L/g, pede-se:

Se o pêndulo for pendurado no ponto O e tiver um período de 0,8 segundos, qual deveria ser a altura mínima do relógio? Para facilitar seus cálculos, admita g= 2m/s2. b) se o período do pêndulo fosse de 5 segundos, haveria algum inconveniente? Justifique.

45-(ITA ) Dois pêndulos de comprimento L1 e L2 conforme a figura, oscilam de tal modo que os dois bulbos de encontram

sempre que são decorridos 6 períodos do pêndulo menor e 4 períodos do pêndulo maior. A relação L2/L1 deve ser:

a) 9/4 b) 3/2 c) 2 d) 4/9 e) 2/

46-(Mackenzie-SP) Comenta-se que o célebre físico e matemático Galileu Galilei, ao observar a oscilação do lampadário da catedral de Pisa, na Itália, concluiu tratar-se de um movimento periódico, semelhante ao que hoje chamaríamos de pêndulo simples. Para tal conclusão, teria medido o período do movimento, utilizando, como unidade de medida para o tempo, seu próprio batimento cardíaco. Se considerarmos um grande pêndulo simples, de comprimento 10 m, oscilando num local ondeg=10m/s2, e que a freqüência dos batimentos cardíacos é de 86 batidas por minuto, o período do movimento desse pêndulo será de aproximadamente:

a) 3 batidas. b) 6 batidas. c) 9 batidas. d) 12 batidas. e) 15 batidas

- Duas molas 1 e 2 tem constantes elásticas k1 e k2, respectivamente. Podemos associá-las em série ou em paralelo. Em cada uma dessas associações podemos substituir as duas molas por uma única, que produza o mesmo efeito e que chamamos de mola equivalente de constante elástica ke. - Associação em paralelo neste caso a deformação x sofrida por cada uma das molas é a mesma.

Quando deformadas de x, a mola 1 fica sujeita a uma força F1=k1.x e a mola 2 a uma força F2=k2.x. A mola equivalente, quando submetida à mesma força F, sofre a mesma deformação x de modo que F=ke.x Observe que F = F1 + F2 --- ke.x = k1.x + k2.x. Assim:

- Associação em série neste caso as molas 1 e 2 estão sujeitas à mesma força F e sofrem deformações diferentes x1 e x2.

Como a força F é a mesma --- mola 1 F =k1.x1 --- mola 2 F =k2.x2 Então, x1=F/k1 e x2=F/k2. Mola equivalente --- F=ke.x --- x=F/ke

x = x1 + x2 --- F/ke = F/k1 + F/k2 ---

* Na associação de molas em série onde 1/ke = 1/k1 + 1/k2, o valor de ke fica bastante reduzido, sendo que a mola equivalente é menos rígida, mais deformável. Se quisermos aumentar a rigidez da mola equivalente, torna-a menos deformável, devemos associar as molas em paralelo, onde ke=k1 + k2. É mais eficaz e ocupa menos espaço.

47-(MACKENZIE-SP) Uma mola helicoidal de massa desprezível está presa pela extremidade A, a uma parede rígida e, na extremidade B, encontra-se preso um corpo de massa m, conforme mostra a figura 1. Quando o conjunto oscila livremente na direção da reta horizontal AB, perpendicular à parede, constitui-se um oscilador harmônico de período T. Se dispusermos de duas molas idênticas à anterior e as fixarmos conforme a figura 2, ao constituirmos um oscilador harmônico, com a oscilação do mesmo corpo de massa m, segundo a mesma direção AB, seu respectivo período será:

Figura 1 figura 2 a) T 2/4 b) T/2 c) T 2/2 d) T e) 2T

48-(UFB) Uma massa M=20/9kg, encontra-se suspensa ao conjunto de molas ilustrado na figura abaixo, Suas constantes elásticas são k1 = k2=30N/m.

a) A constante elástica total equivalente do conjunto. b) A freqüência de oscilação do conjunto. (adote =3)

49-(ITA-SP) Um sistema massa-molas é constituído por molas de constantes k1 e k2, respectivamente, barras de massas desprezíveis e um corpo de massa m, como mostrado na figura.

Determine a freqüência desse sistema.

50-(UFB) A mola helicoidal (figura 1), de constante elástica k=12N/m, foi partida em 3 partes iguais. Em seguida, essas 3 partes foram associadas em paralelo (figura 2) e em série (figura 3).

Figura 1 figura 2 figura 3 As massas das figuras 2 e 3 são iguais e valem 100g. Adote g=10m/s2 e determine: a) a constante elástica de cada parte. b) o período de oscilação do conjunto quando as três molas estão associadas em paralelo. c) o período de oscilação do conjunto quando as três molas estão associadas em série.

51-(PUC-SP) Na figura abaixo, as três molas ideais 1, 2 e 3 são idênticas e possuem a mesma constante elástica de valor 0,1N/cm e as massas também são idênticas e de mesmo valor (10g). Inicialmente, o conjunto está em equilíbrio e as molas estão em seu comprimento natural (20cm cada uma). Em seguida, retira-se o suporte S e cada mola se distende até que o conjunto adquira novamente o equilíbrio.

Após o novo equilíbrio, determine: (g=10m/s2) a) deformação de cada mola. b) o comprimento de cada mola c) a deformação total do conjunto

01- a) T=2s --- f =1/T --- f= 1/2Hz (percorre meia volta em cada 1s) b) w=2 /T --- w=2 /2 --- w= rad/s (varre um ângulo de rad em cada 1s) c) A=4m d) na posição (elongação) x=0 existem duas fases.

Como ela está se deslocando em 0, para a esquerda, teremos que o= /2 rad e) = o + w.t --- = /2 + .t x = A.cos --- x = 4.cos ( /2 + .t) f)

t=0 --- x=4cos( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .0) --- x=4cos ( /2) --- x=4.0 --- x=0 t=0,5s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .0,5) --- x=4cos ( ) --- x=4.(-1) --- x= -4m t=1s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .1) --- x=4cos (3 /2) --- x=4.0 --- x=0 t=1,5s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .1,5) --- x=4cos (2 ) --- x=4.(+1) --- x= +4m t=2s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .2) --- x=4cos (5 /2) --- x=4.0 --- x=0 t=4,5s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .4,5) --- x=4cos (5 ) --- x=4.(-1) --- x= -4m g)

02- a) w=2 /T = 2 f --- 2 = 2 f --- f = 1Hz b) Para que DB e CD sejam pontos médios de AD e A D, os ângulos estão indicados na figura abaixo

Para se deslocar de B a C o ponto P deve varrer um ângulo de 30o + 30o = 60o = /3 rad. = /3rad w= / t --- 2 = /3/ t --- t = 1/6s

w= 2 rad/s

03- A = 2m T = 4s --- w=2 /T --- w=2 /4 --- w = /2 rad/s Quando x=0, Wo pode ser /2 rad ou 3 /2. Observando o gráfico verificamos que é /2, pois, quando t=1s --- A = -2m

04- B

05- T1 = 1,5s --- f1 = 1/1,5Hz T2 = 6s --- f2 = 1/6 Hz F1 / f2 = 1/1,5 X1/6 --- f1/f2 = 4

06- a) A=4m ---- w=2 /T ---- 4 = 2 /T ---- T = 1/2s --- f=1/T ---- f=2Hz b) Como o=0, ele partiu do ponto A=+4m

Até chegar a 0, ele demorou um tempo t que é igual a um quarto do período T=0,5s --- t=0,5/4 --- t = 0,125s

07- :Cálculo do período T --- w=2 /T --- /2 = 2 /T --- T = 4s Para ir de +A até 0 ela andou durante um quarto do período, ou seja, durante t=4/4 --- t=1s

08- O período é T=4s ----- w=2 /T ---- w= 2 /4 ---- w= /2rad/s e A=2m Quando x=1m --- t=0 --- x=Acos(wt+ ) --- 1=2cos(w.0 + ) ---- 1=2cos ---- cos =1/2 ---- =60o= /3 x=Acos(wt+ ) ---- x=2cos( /2+ /3)

09- a) V= S/ t ---- V=26/13 ---- V=2cm/s b) f1=1/2Hz ---- f2=1/8Hz ---- f1/f2=1/2X8/1 ---- f1/f2=4

10- A=6m ---- T=8s ---- w=2 /T ---- w=2 /8 ---- w= /4rad/s Quando x=0, a partícula está na posição angular inicial /2 rad ou 3 /2 rad. Se o MCU for no sentido anti-horário, observando o gráfico verificamos que o=3 /2 rad. X = A.cos( o+ wt) ---- x=6.cos(3 /2 + /4.t)

11- R: a) A=4m w= rad/s o= rad v= -wAsen( o + wt) --- v= - .4.sen( + t) --- v= - 4 .sen( + t) b) v maxima --- vmáxima= w.A --- vmáxima= .4 --- vmáximo= +4 m/s v mínima --- vmínima= -w.A --- vmínima= - .4 --- vmínima= - 4 m/s c)

d) a= -w2.A.cos( o + wt) --- a= - 2.4.cos( + t) --- a= -4 2.cos( + t) e) aceleração máxima --- amáxima= w2A --- amáxima= +4 2 m/s2

aceleração mínima --- amínima= - w2A --- amínima= - 4 2 m/s2

e)

f)

12- C

13- a= -w2Acos --- qdo x=A= 1 --- = --- a= 4 --- 4 = -w2.(1).cos --- 4 = -w2.(1).(-1) --- w = 4 --- w = 2 rad/s

14- D

15- R=A=20/2 --- R=10cm f=60rpm=60/60 --- f=1Hz --- T=1s W=2 /T --- w=2 /1 --- w=2 rad/s V é máxima quando =3 /2, sendo sen3 /2= - 1 --- v= -w.A.sen --- v= -w.10.sen3 /2 --- v= -2 .10.(-1) Vmax = 20 cm/s

16- Vmáxima=2 m/s ---- A=20cm=0,2m Vmáxima= w.A --- 2 =w.0,2 --- w=10 rad/s --- w=2 /T --- 10 =2 /T --- T=0,2s

17- a) vo=0 (vide gráfico) Como v=0 nos extremos, sua fase inicial ou é zero ou rad e observando o gráfico verificamos que o= rad b) T= s (veja gráfico) --- w=2 /T --- w=2 / --- w=2rad/s vmáximo=10m/s (veja gráfico) --- vmáximo=wA --- 10=2A --- A=5m c) é a amplitude, ou seja, 5m

d) amáxima=w2.A --- amáxima=22.5 --- amáxima=20m/s2

18- Quando o carrinho se choca com a mola, o módulo de Vo é máximo e vale vmáximo=w.A --- Vo=w.A --- Vo=2 /T.A -- T=2 A/Vo

19- a) Observe pelo gráfico que o período do movimento vale T=0,2s. Como a freqüência f é o inverso do período T, temos f=1/T

--- f=1/0,2 --- f=5Hz. A amplitude á a distância da origem ao ponto máximo. Logo, A=0,1m Pulsação - ou velocidade angular --- w=2 /T --- w=2 /0,2 --- w=10 rad/s. b) Equação da elongação ou da posição, na vertical é y=-Acos( o + wt) --- y= .0,1.cos(0 + 10 t) --- y= 0,1cos10

o=0, pois, quando t=o, A=+0,1m (elongação máxima).

20- a) A=7cm --- w= /2rad/s --- w=2 /T --- /2=2 /T --- T=4s Para que o móvel vá da posição de equilíbrio até o ponto de elongação máxima, ele se move durante 1/4 de seu período, que

é de 4s (tempo que demora para efetuar uma volta completa) --- t=T/4 --- t=4/4 --- t=1s b) vmáxima=w.A= /2.7 --- vmáxima=3,5 cm/s amáxima=w2.A --- amáxima=( /2)2.7 --- amáxima=1,75 2cm/s2

21- E

22- a) F(t) = ma --- F(t) = mw2Acos(wt + ) b) mw2Acos(wt = ) = mw2x --- x(t) = A cos(wt + ) c) Usando as equações para a energia cinética e potencial, juntamente com as equações horárias da posição e velocidade, temos que k Ec(t) = 1/2mv2(t) = 1/2 m(wAsen(wt + ))2 = 1/2mw2A2sen2(wt + ) --- Ec = 1/2 kA2 sen2(wt + ) Ep(t) = 1/2kx2(t) = 1/2 k(Acos(wt + ) )2 --- Ep(t)=1/2kA2cos2(wt + ) A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial. Logo, Emec = 1/2 kA2 sen2(wt + ) + 1/2kA2cos2(wt + ) --- Em=1/2kA2(sen2(wt + ) + cos2(wt + )) --- Em=1/2kA2(1) Em=1/2kA2, que é uma constante

23- E

24- Em-1J A=0,5m Vmáxima=2m/s Em=1/2.kA2 --- 1=1/2.k.(0,5)2 --- k=8N/m Em=1/2.mV2

máxima --- 1=1/2.m.(2)2 --- m=0,5kg T=2 m/k --- T=2 0,5/8 --- T=2 .1/4 --- T= /2 s --- f=1/T --- f=1/ /2 --- f=2/ Hz

25- 01- Verdadera a força elástica iguala a força peso no ponto médio onde a velocidade é máxima e a aceleração nula 02- Falsa a velocidade da pessoa aumenta até o ponto médio e a partir daí começa a diminuir. 04- Falsa pois, T=2 m/k 08- Verdadeira veja equação acima 16- Falsa- a aceleração é nula no ponto médio, a partir do qual ela inverte seu sentido, retardando a pessoa.

26- Em=kA2/2 (constante) e Em=m.v2

máxima/2 ---k.A2/2 = m.V2máxima/2 --- k.A2 = m.V2

máxima = constante, ou seja, k é inversamente proporcional a A, e Em é sempre constante --- alternativa a

27- a) Como ela está sujeita a apenas uma força, o movimento é horizontal e essa força é a força elástica.Quando x=1m --- Ep=1J --- Ep=k.x2/2 --- 1=k.12/2 --- k=2N/m. A amplitude A vale 2m, pois é aí que v=0. Em=k.A2/2 --- Em=2.22/2 --- Em=4J b) Quando x=0 --- Ep=0 --- Em=Ec + Ep --- 4=mV2/2 + 0 --- 4=0,5V2/2 --- V= 16 --- V=4m/s c) Em=Ec + Ep --- 4=Ec + k.x2/2 --- 4=Ec + 2.12/2 --- Ec=3J

28- Vamos calcular o período T, que é o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo. T=2 m/k --- T=2.3. 0,35/100 --- T=6.5.10-2 --- T 0,3s 0,3s ------ 1 vai e vem completo 1,0s ------ n n 3,3 ----- alternativa C

29- a) Em=k.A2/2 --- Ep=k.x2/2 --- Ec=7/9.k.x2/2 Em= Ec + Eo --- k.A2/2 = 7/9.k.x2/2 + k.x2/2 --- k.A2/2 = (7.k.x2 + 9.k.x2)/18 --- 9.k.A2 = 16.k.x2 --- x = 9/16.A2

X = 3/4.A --- Nas posições x = + 3/4.A e X = - 3/4.A

b) Sim. Por exemplo, no ponto O quando toda a energia mecânica estará na forma de energia cinética.

30- (01) Falsa. A força elástica não é constante, pois varia de acordo com a deformação. (02) Correta. Desprezando-se as forças externas dissipativas o sistema oscilará sempre. (04) Correta --- w = k/m --- w = 200/2 --- w = 10rad/s (08) Falsa. A velocidade máxima do corpo vale --- Vmáxima = w.A = 10.0,1 = 1,0m/s, mas não é no ponto de máximo deslocamento, mas sim na posição central 0. (16) Correta. O período T é dado por T = 2 m/k --- T = 2 2/200 --- T = 2 .1/10 --- T = /5 s. Soma=(02 + 04 + 16) = 22

31- Em X2 --- Ep é máxima e Ec é nula. Em X1 --- Ep = a --- E = Ec + Ep --- E = a + b --- Ec + a = a + b --- Ec = +b R: C

32- a) No equilíbrio --- Fe = P --- k.x = m.g --- k = m.g/x --- k = 0,4.10/0,05 --- k=4/0,05 --- k =80N/m b) O movimento é um MHS e o seu período não depende da amplitude A e é fornecido pela expressão --- T = 2. m/k T = 2 0,4/80 --- T = 2 .2,24 --- T = 4,48 s

33- a) Escolhendo qualquer ponto por exemplo, quando E --- F = 0,75nN, x=-15nm. F =- k.x --- 0,75.10-9 = -(-15).10-9.k --- k = 0,75/15--- k = 0,05N/m. b) T = 2 m/k --- T = 2 180.10-26/0,05 --- T = 12 10-12 s --- w =2 /T --- w = 2 /12 10-12 --- w = 1/6.1012rad/s Vmáaima = w.A --- Vmáxima = 1/6.1012.30.10-9 --- Vmáxima = 5.103 m/s

34- (01) Falsa --- 20 vezes --- 10s 20T = 10 --- T = 10/20 --- T = 1/2 s 1 vez --- T (02) Falsa --- f = 1/T --- f =1/1/2 --- f = 2 Hz (04) Verdadeira --- T = 2 L/g --- Observe que T é diretamente proporcional à raiz quadrada de L. (08) Falsa --- Observe na equação T = 2 L/g que o período T independe da massa m (16) Falsa --- Observe que o período T é inversamente proporcional à raiz quadrada de g e consequentemente diretamente proporcional à freqüência, pois f = 1/T. (32) Verdadeira --- Observe na equação T = 2 L/g que o período T independe da amplitude A Soma (04 +32) = 36

35- a) 20 vezes --- 30s 20T=30 --- T = 1,5s f=1/T --- f=1/1,5 --- f = 0,67Hz

1 vez --- T b) Observando-se que em t = 0, x = + A, temos o gráfico senoidal a seguir.

36- (01) Verdadeira --- T = 2 L/g --- T = 2 2,5/10 --- T = 2 .0,5 --- T = s (02) Falsa --- ponto mais alto h=1m --- Ep=mgh --- Ep=30.10.1 --- Ep=300J 04) Falsa --- A energia mecânica é constante e vale 300J (vide 2). No ponto mais baixo --- Em = Ec + Ep --- 300= mV2/2 + mgh --- 300 = 30V2/2 + 30.10.0,5 --- V = 150/15 --- V = 10 m/s (08) Falsa. Num pêndulo simples o período T de oscilação independe da massa m. (16) Falsa . O período independe da altura (amplitude A). Soma ( ) 01 + 04 = 05

37- a) Como o comprimento do pêndulo aumenta, pois ele se dilata devido à elevação da temperatura e como raiz quadrada de L é diretamente proporcional à T, o período aumentará e o relógio atrasará. b) Sendo T inversamente proporcional a g e como g diminui (gLua gTerra), o período aumentará e o relógio atrasará

38- O V, pois sendo T diretamente proporcional a L (L=comprimento do fio), para T cair pela metade (de 2s para 1s), L deverá ser 4 vezes menor (100/4=25)

39- a)

T = 2 67/10 --- T =2 67/ 10 --- T = 2 8/ --- T =16s b) Permaneceria o mesmo, pois o período do pêndulo simples não depende da massa pendular.

40- R: Comprimento L --- T=2s Comprimento L/4 --- T =2 L/4 / g --- T =2 L/g.1/2 --- T =T/2 --- T =2/2 --- T =1s Observe na figura abaixo que o período (tempo que demora para ir e voltar) entre A e B é T/2=2/2=1s e que o período entre B e C é T /2=1/2=0,5s

Assim, L demora 0,5s para ir de A até B; L/4 demora 0,25s para ir de B a C; L/4 demora 0,25s para ir de C a B e L demora 0,5s para ir de B a A. Portanto o período pedido é 1 + 0,5 = 1,5s

41-: C

42- Sendo f = 1/T --- T3 T2 T1 --- como o local é o mesmo, g é a mesma e como T é diretamente proporcional a L -- L3 L2 L1 R: D

43- E

44- a) T=2 L/g --- 0,8= 2 L/g --- (0,8)2 = 4. 2.L/g --- 0,64=4g.L/g --- L=0,16m=16cm --- h=16 + 5 = 21 cm b) ) T=2 L/g --- 5= 2 L/g --- (5)2 = 4. 2.L/g --- 25=4g.L/g --- L=6,25m --- h=6,25 + 0,25 = 6,5m Sim, o relógio teria de ter mais que 6,5 m

45- 6T1 = 4T2 --- 6. 2 L1/g = 4. 2 L2/g --- L2/L1 = 6/4 --- ( L2/L1)

2 = 36 / 16 --- L2 / L1 = 9 / 4

46- T=2 10/10 --- T=2 s --- 3 --- T 6s 86 batidas ---- 60s X batidas ----- 6s X 9 batidas

47- Período T da mola da figura 1 --- T = 2 m/k Como as molas estão associadas em paralelo, a constante elástica da mola equivalente, que, substituindo as duas produz o mesmo efeito será ke = k + k --- ke =2k e seu período será T = 2 m/2k --- T = 2 m/k.1/ 2. T/T = 2 --- T = T/ 2 --- racionalizando --- T = T 2/2 Resposta C

48- a) Como as duas molas de constantes k2 estão em para, a mola equivalente terá constante ke1 =30 + 30 = 60N/m. Então teremos:

As duas molas acima estão em série, então a mola equivalente terá constante ke, dada por: 1/ke = 1/60 + 1/30 --- ke = 20N/m, que é a constante elástica total equivalente do conjunto. b) T = 2 m/k --- T = 2 20/9 /20 --- T = 2.3.1/3 --- T=2s --- f=1/T --- f=0,5Hz

49- As 3 molas de constantes k2 estão em paralelo e serão substituídas por uma única mola de constante ke1=3k2. As duas molas de constantes k1 também estão em paralelo e serão substituídas por um única mola de constante ke2=2k1

Então, teremos:

A mola resultante das duas acima, que estão em série, terá ke, tal que: 1/ke = 1/3k2 + 1/2k1 --- 1/ke = 2k1 + 3k2 / 6k1. Ke = 6k1.k2 / 2k1 + 3k2

O período desse sistema vale --- T = 2 m/6k1.k2 / 2k1 + 3k2 --- T = 2 m(2k1 + 3k2)/6k1.k2

F = 1/T = 1/2 6k1.k2 / m(2k1 + 3k2)

50- a) A mola inteira (mola equivalente) tem constante elástica k =10N/m sendo que 1/k = 1/k + 1/k +1/k, onde k é a constante elástica de cada parte.

1/k =3/k --- 1/12 = 3/k --- k =36N/m b) Paralelo --- ke=36 + 36 +36 --- ke=108N/m --- T=2 m/ke --- T=2 0,1/108 --- T 6..10-2. s c) Série --- ke=12N/m --- T=2 m/ke --- T=2 0,1/12 --- T 18.10-2. s

51- a) Peso de cada massa --- P=mg --- P=0,01.10 --- P=0,1N. Como as molas são ideais, suas massas são desprezíveis. Observe que a mola 1 está sujeita à força F=0,3N (são as 3 massas que estão deformando-a) F1=k1.x1 --- 0,3=0,1.x1 --- x1 = 3cm A mola 2 está sujeita à F=0,2N (apenas duas massas estão deformando-a) F2=k2.x2 --- 0,2=0,1.x2 --- x2= 2cm Mola 3 --- F3=k3.x3 --- 0,1=0,1.x3 --- x3= 1cm b) mola 1

L1= 23cm mola 2

L2= 22cm mola 3

L3= 21cm c) 6 cm

Definições

Elongação (x) posição (localização) da partícula em MHS sobre o eixo x em relação à origem 0, ou seja, mostra a que distância de 0 a partícula se encontra em determinado instante. Amplitude (A)

em módulo é a elongação máxima do MHS e corresponde ao raio da circunferência do MCU (R=A).

Período (T) corresponde ao tempo que o MCU demora para efetuar uma volta completa ou ao tempo que o MHS demora para efetuar um vai e vem completo sobre a reta x. Freqüência (f) número de voltas completas (MCU) ou número de idas e voltas completas (MHS), na unidade de tempo. Ângulo de fase ( ) posição (localização) angular no MCU, ou seja, localiza angularmente o corpo em MCU. Fase inicial ( o) indica, no instante t=0, o ângulo de fase inicial do MCU. O ângulo de fase ( ) e a Fase inicial ( o) são medidos em radianos (rad).

Velocidade angular ou pulsação (w)

mede no MCU o ângulo varrido na unidade de tempo e fornece o período ou a freqüência do MCU através das expressões w=2 /T ou w=2 f

* Função horária da elongação --- x = A.cos ou x = A.cos( o + wt) * xmáximo= + A * xmínimo= - A

* Função horária da velocidade --- v = -w.A.sen ou v= -w.A.sen( o + wt) * vmáxima= +w.A * vmínima= - w.A

* Função horária da aceleração --- a= -w2.A.cos( o + wt) ou a=-w2. A.cos * amáxima= + w2.A * amínima= - w2.A

* Velocidade v em função da elongação ou posição x --- v=w. A2 x2

* aceleração a em função da posição ou elongação x --- a= - w.x * Gráficos

Elongação x em função do tempo t Velocidade v em função do tempo t aceleração a em função do tempo t

Aceleração (a) em função da elongação (x)

Plano horizontal

Fel = - kx (lei de Hooke) (Fel) Força elástica - (x) Deformação da mola

(k) Constante elástica da mola

T período tempo que a massa m demora para efetuar um vai e vem completo m massa que executa o MHS k constante elástica da mola

Energia no MHS * A energia potencial é a elástica --- Ep = k.x2/2 Observe na equação acima que a energia potencial é nula no ponto médio 0 da trajetória onde x=o e é máxima nos extremos onde x=+A e X=-A, onde x2 é máximo e vale Ep=kA2/2

* A energia cinética vale Ec=m.v2/2 Essa energia é máxima no ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e nula nos extremos onde v=0.

* A energia mecânica é sempre constante no MHS e vale Em= kA2/2 ou Em=Ec + Ep ou Em=kx2/2 + m.v2/2 * Nos extremos onde v=0 e o módulo de x é A, temos que --- Em=Ec + Ep --- Em= 0 + k.A2/2 --- Em=k.A2/2 = constante * No ponto médio 0, onde o módulo de v é máximo e x=0, temos que --- Em=Ec + Ep --- Em=mv2/2 + 0 --- Em=mv2

max/2=const.

* Gráficos

Se a massa estiver oscilando na vertical

Na primeira situação, sem a massa m, a mola está em sua situação natural.

Na segunda situação, já com a massa m e em equilíbrio e distendida de x, temos --- Fe = P --- k.x = m.g --- x=m.g/k e

x=A. Observe que nesta situação, quanto maior for a constante elástica k, menor será a amplitude A, desde que a massa m seja a mesma.. Na terceira situação, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 0. Neste caso, a energia mecânica é a soma das energias cinética, potencial elástica e potencial gravitacional

Seu período (T), que é o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo é fornecido pela expressão:

onde g é a aceleração da gravidade local. - Observe que: * a massa pendular m não influi no período T do movimento. Assim dois pêndulos de mesmo comprimento L mas de massas diferentes M e m, apresentam o mesmo período T.

* O período de um pêndulo simples independe da amplitude, ou seja, da altura em que m é abandonada, assim, os pêndulos

da figura abaixo, tanto na situação 1 como na 2, demoram o mesmo tempo para ir de A até B, de B até C, de C até B e de B até A.

. * O período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à raiz quadrada de seu comprimento L. Assim, para dobrar o período T de um pêndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado, etc.

* O período de um pêndulo simples é inversamente proporcional à raiz quadrada da aceleração da gravidade g. Assim, quanto maior for a aceleração da gravidade do local onde está o pêndulo, menor será o seu período. Uma das aplicações do pêndulo simples é a determinação da aceleração da gravidade.

- Associação em paralelo neste caso a deformação x sofrida por cada uma das molas é a mesma.

Quando deformadas de x, a mola 1 fica sujeita a uma força F1=k1.x e a mola 2 a uma força F2=k2.x. A mola equivalente, quando submetida à mesma força F, sofre a mesma deformação x de modo que F=ke.x Observe que F = F1 + F2 --- ke.x = k1.x + k2.x. Assim:

- Associação em série neste caso as molas 1 e 2 estão sujeitas à mesma força F e sofrem deformações diferentes x1 e x2.

Como a força F é a mesma --- mola 1 F =k1.x1 --- mola 2 F =k2.x2 Então, x1=F/k1 e x2=F/k2. Mola equivalente --- F=ke.x --- x=F/ke

x = x1 + x2 --- F/ke = F/k1 + F/k2 ---

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