movimento harmonico

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  1. 1. I Funo horria da elongao 10 exerccios (01 ao 10) II Funo horria da velocidade e da acelerao 11 exerccios - (11 ao 21) III Dinmica do MHS Sistema massa-mola 12 exerccios (22 ao 33) IV Pndulo Simples 13 exerccios (34 ao 46) V Associao de molas 6 exerccios (47 ao 51) - Movimento peridico --- todo movimento que se repete em intervalos de tempo iguais - Movimento oscilatrio (vibratrio) harmnico --- o mvel se desloca sobre a mesma trajetria, indo e vindo, em relao a uma posio mdia de equilbrio (ponto O, onde a resultante das foras que agem sobre ele nula) - O perodo T o tempo em que o corpo em cada uma das figuras (figura 1 pndulo simples; figura 2 pndulo de mola; figura 3 sistema massa-mola e figura 4 lmina vibrante) demora para ir de A at A e depois retornar a A, ou seja,. o tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do corpo por um mesmo ponto da trajetria. - A freqncia f representa o nmero de vezes que o mvel passa pelo mesmo ponto da trajetria, na unidade de tempo, ou seja, o nmero de vezes que o fenmeno se repete, na unidade de tempo. - Quando o perodo T medido em segundos (s), a freqncia f medida em hertz (Hz), sendo 1Hz=1oscilao por segundo. - T = 1/f e f = 1/T.
  2. 2. Movimento Harmnico Simples (MHS) --- Podemos generalizar um MHS como a projeo ortogonal de um movimento circular uniforme (MCU) sobre uma reta. Observe na figura acima que, enquanto o corpo descreve um MCU anti-horrio entre os instantes to e t4, sua projeo sobre o eixo x, em MHS, se desloca para a esquerda em movimento retrgrado de +A at A e quando o corpo em MCU se move do instante t4 at o instante t8, sua projeo sobre o eixo x se move para a direita, em movimento progressivo, de A at +A, completando um perodo em t8. A partir da, tudo se repete. O mesmo ser vlido se o eixo x estiver na vertical e for orientado para cima. Definies Elongao (x) posio (localizao) da partcula em MHS sobre o eixo x em relao origem 0, ou seja, mostra a que distncia de 0 a partcula se encontra em determinado instante. Amplitude (A) em mdulo a elongao mxima do MHS e corresponde ao raio da circunferncia do MCU (R=A). Perodo (T) corresponde ao tempo que o MCU demora para efetuar uma volta completa ou ao tempo que o MHS demora para efetuar um vai e vem completo sobre a reta x. Freqncia (f) nmero de voltas completas (MCU) ou nmero de idas e voltas completas (MHS), na unidade de tempo. ngulo de fase ( ) posio (localizao) angular no MCU, ou seja, localiza angularmente o corpo em MCU. Fase inicial ( o) indica, no instante t=0, o ngulo de fase inicial do MCU. O ngulo de fase ( ) e a Fase inicial ( o) so medidos em radianos (rad). Velocidade angular ou pulsao (w) mede no MCU o ngulo varrido na unidade de tempo e fornece o perodo ou a freqncia do MCU atravs das expresses w=2 /T ou w=2 f Funes
  3. 3. Funo horria da elongao x Na figura abaixo, considere o ponto P em MHS e o ponto Q em MCU num instante qualquer t No tringulo OPQ -- cos =0P/0Q -- cos =x/A -- x = Acos 1 Lembrando que, no MCU, a posio angular varia com o tempo conforme a funo = o + wt, teremos, substituindo-a em 1 --- x = A.cos( o + wt) que a funo horria da elongao e onde x a elongao; w, a pulsao ou freqncia angular ou ainda velocidade angular; A, a amplitude (elongao mxima) e o a fase inicial da partcula em MHS. O mesmo ser vlido se o eixo x estiver na vertical Os ngulos so medidos em radianos (rad) e a pulsao w em radianos por segundo (rad/s) 01-(UFB) Uma partcula realiza um MHS em torno do ponto O com perodo de 2s (figura). Os pontos M e N so os extremos da oscilao e no instante t=0 a partcula est passando sobre o ponto 0, deslocando-se para a esquerda. Pede-se para esse MHS: a) a freqncia f b) a pulsao w (velocidade angular) c) a amplitude d) a fase inicial e) a funo horria da elongao f) a elongao nos instantes t=0; t=0,5s; t=1s; t=1,5s, t=2s e t=4,5s. g) Esboce o grfico da elongao x em funo do tempo t, desde t=0 at t=4,5s. 02- (Unicamp-SP) Enquanto o ponto P se move sobre uma circunferncia, em movimento circular uniforme com velocidade angular =2 rad/s, o ponto M (projeo de P sobre o eixo x) executa um movimento harmnico simples entre os pontos A e A'. Nota: B e C so os pontos mdios de AD e DA', respectivamente.
  4. 4. a) qual a freqncia do MHS executado por M? b) determine o tempo necessrio para o ponto M deslocar-se do ponto B ao ponto C. 03-(UFG-GO) O grfico mostra a posio em funo do tempo de uma partcula em movimento harmnico simples (MHS) no intervalo de tempo entre 0 e 4 s. A equao da posio em funo do tempo para este movimento dada por x=A cos( t+ wo). A partir do grfico, encontre os valores das constantes A, e wo. 04- (UFV-MG) Duas partculas descrevem movimentos harmnicos simples representados nos grficos (I) e (II) a seguir. CORRETO afirmar que os dois movimentos tm: a) mesma freqncia, amplitudes iguais e fases diferentes. b) freqncias diferentes, amplitudes iguais e fases diferentes. c) mesma freqncia, amplitudes diferentes e mesma fase. d) mesma freqncia, amplitudes iguais e mesma fase. e) freqncias diferentes, amplitudes iguais e mesma fase. 05-. (UFPE) Dois corpos descrevem movimentos de oscilao peridicos ao longo do eixo y, conforme indicado na figura. Qual a razo entre as freqncias de oscilao dos corpos? 06-(UFL-MG) Um corpo executa um movimento harmnico simples descrito pela equao x=4.cos(4 t) (SI) a) Identifique a amplitude, a freqncia e o perodo do movimento. b) Em que instante, aps o incio do movimento, o corpo passar pela posio x=0?
  5. 5. 07-(MACKENZIE-SP) Uma partcula realiza um MHS (movimento Harmnico simples), segundo a equao x=0,2.cos( /2 + /2t), no SI. A partir da posio de elongao mxima, o menor tempo que essa partcula gastar para passar pela posio de equilbrio : a) 0,5s b) 1s c) 2s d) 4s e) 8s 08-(UFPI) O grfico da elongao x=Acos(wt+ ) de uma partcula que executa um movimento harmnico simples est representado na figura. Determine a fase inicial, a pulsao ou freqncia angular e a funo horria da elongao desse movimento. 09-(FUVEST-SP) Enquanto uma folha de papel puxada com velocidade constante sobre uma mesa, uma caneta executa movimento de vaivm perpendicularmente direo de deslocamento do papel, deixando registrado na folha um trao em forma de senide. A figura abaixo representa um trecho AB do trao, bem como as posies de alguns de seus pontos e os respectivos instantes. Pede-se: a) a velocidade de deslocamento da folha b) a razo das freqncias do movimento de vaivm da caneta entre os instantes 0 a 3s e 5s a 13s. 10-(PUC-SP) O grfico abaixo representa as posies ocupadas, em funo do tempo, por uma partcula que oscila em MHS. Determine a funo horria da elongao
  6. 6. Funo horria da velocidade V No MCU o vetor velocidade sempre tangente em cada ponto. . Observe, na figura acima, que a velocidade V do MHS a projeo da velocidade VMCU sobre o eixo da elongao X. No tringulo da direita, obtemos: sen = V/VMCU ---- V = - VMCU.sen --- O sinal negativo devido ao fato de o sentido de V ser contrrio orientao positiva do eixo 0X. Mas, do MCU, temos que VMCU = w.R, sendo w a pulsao (velocidade angular) e R o raio da circunferncia que igual amplitude A.. Ainda do MCU, temos que, = o + w.t.. Portanto: V = - VMCU.sen ---- V = - w.A.sen( o + w.t) -- que a funo horria da velocidade do MHS. V mnimo e vale wA quando = /2 rad, cujo seno +1--- v= - wAsen --- v= -wAsen /2 ---v= -wA.(+1) vmnimo= -wA V mximo e vale +wA quando =3 /2 rad ---v= - wAsen --- v= -wAsen3 /2 -- v= -wA.(- 1) vmximo=+wA Grfico da velocidade em funo do tempo. Observe, na figura abaixo que, enquanto a partcula se move em MCU de =0 at = rad, a velocidade do MHS (projeo da velocidade do MCU sobre X) sempre negativa pois contrria a orientao positiva de X.e que:
  7. 7. V1=0 e V5=0 (projeo sobre X nula) e que V3 tem mdulo mximo e valor mnimo. Analogamente, quando a partcula se move em MCU de rad at 2 rad sua velocidade sempre positiva e tem valor mximo em X=0 e nula nos extremos. Funo horria da acelerao a No MCU a acelerao ac a acelerao centrpeta, sempre radial e dirigida para o centro da circunferncia. A acelerao a do MHS a projeo da acelerao ac do MCU sobre o eixo X. cos = a/ac ----- a = - ac.cos (negativo porque as orientaes de a e do eixo x so contrrias). Do MCU ---- ac=w2 .R --- ac=w2 .A e = o + w.t a= -accos a= -w2 .A.cos( o + w.t) funo horria da acelerao do MHS Observe que: * quando x=0 --- a=0 * quando x= +A --- a= -w2 A --- valor mnimo de a, pois = rad e cos = -1 --- amnimo= - w2 .A * quando x= -A --- a= w2 A --- valor mximo de a, pois =2 rad e cs 2 = 1 --- amximo = w2 .A Grfico aXt Grfico aXx a = - w2 .A.cos --- x = A.cos --- a = - w2 .x
  8. 8. Definies Elongao (x) posio (localizao) da partcula em MHS sobre o eixo x em relao origem 0, ou seja, mostra a que distncia de 0 a partcula se encontra em determinado instante. Amplitude (A) em mdulo a elongao mxima do MHS e corresponde ao raio da circunferncia do MCU (R=A). Perodo (T) corresponde ao tempo que o MCU demora para efetuar uma volta completa ou ao tempo que o MHS demora para efetuar um vai e vem completo sobre a reta x. Freqncia (f) nmero de voltas completas (MCU) ou nmero de idas e voltas completas (MHS), na unidade de tempo. ngulo de fase ( ) posio (localizao) angular no MCU, ou seja, localiza angularmente o corpo em MCU. Fase inicial ( o) indica, no instante t=0, o ngulo de fase inicial do MCU. O ngulo de fase ( ) e a Fase inicial ( o) so medidos em radianos (rad). Velocidade angular ou pulsao (w) mede no MCU o ngulo varrido na unidade de tempo e fornece o perodo ou a freqncia do MCU atravs das expresses w=2 /T ou w=2 f * Funo horria da elongao --- x = A.cos ou x = A.cos( o + wt) * xmximo= + A * xmnimo= - A * Funo horria da velocidade --- v = -w.A.sen ou v= -w.A.sen( o + wt) * vmxima= +w.A * vmnima= - w.A * Funo horria da acelerao --- a= -w2 .A.cos( o + wt) ou a=-w2 . A.cos * amxima= + w2 .A * amnima= - w2 .A * Velocidade v em funo da elongao ou posio x --- v=w. A2 x2 * ac