modelagem e análise de sistemas de computação aula...
TRANSCRIPT
Figueiredo – 2009
Modelagem e Análise de Sistemas de Computação
Aula 19Aula de hoje
Lei dos grandes números
Calculando integrais
Gerando outras distribuições
Método da transformada inversa
Aula passadaIntro a simulaçãoGerando números pseudo-aleatórios
Figueiredo – 2009
Lei dos Grandes NúmerosVocê já deve conhecer (intuitivamente)
Experimento: jogar n vezes dado com seis faces
D : resultado de uma jogada
N1(n) : número de vezes que
resultado é 1
F1(n) : fração de vezes que
o resultado é 1 F 1 n =N 1 n
n
Figueiredo – 2009
Lei dos Grandes Números
F 1 n =N 1 n
nRealizar experimento (jogar o dado)
quanto vale F1(10)?
e F1(100)?
e F1(1000)?
F1(n) converge para P[D = 1]
quando n tende ao infinito!
P[D = 1] = 1/6
prob. do resultadoser igual a 1
Figueiredo – 2009
Lei dos Grandes NúmerosFrequência relativa do resultado de um experimento aleatório converge para sua probabilidade
Atribui significado físico a um conceito abstrato (probabilidade)
probabilidade existe!
números (quando muitos) convergem
Resultado fundamental em probabilidade e estatística
Figueiredo – 2009
Lei dos Grandes NúmerosGeneralização: média de uma sequência de v.a. (iid) converge para seu valor esperado
Média amostral: X n=∑i=1
nX i
n
X n E [ X ] quando n tende ao infinito
Sequência (iid): X 1 , X 2 , . . . , X n
Variável aleatória: XValor esperado: E [ X ]
E [ X ]=E [X i ]para todo i
Convergência:
Figueiredo – 2009
ExemploExperimento: jogar um dado
X v.a. que indica o resultado
Xi v.a. que indica o resultado
do i-ésimo experimento
3, 1, 2, 5, 6, 3, 2, 1, 4, 4, 2, 3, 5, 6, 1, 2, 2, 5, 3, 1.
Sequência de resultados de experimentos repetidos
Média: X n=∑i=1
nX i
n6 12 0
=3 . 0 5
Quanto vale E[X]? E [ X ]=3 . 5
=
Figueiredo – 2009
Lei dos Grandes NúmerosDuas versões
Lei fraca e lei forte
Diferem na forma como a convergência é definida
X n=∑i=1
nX i
n
∞
Seja X1, X
2, ..., X
n uma sequencia de v.a. iid
com valor esperado
Seja a média da sequência
Figueiredo – 2009
Lei dos Grandes Números
Lei fraca dos grandes números
para qualquer
limn∞
P [∣ X n−∣]=1
0
Lei forte dos grandes números
convergência em probabilidade
P [ limn∞
X n=]=1 convergência quase certa (almost surely)
Média converge para valor esperado!
Figueiredo – 2009
Lei Fraca dos Grandes Números (Prova)
Caso onde Xi possui variância
X n
2∞
é uma variável aleatória
E [ X n]=
Temos então
Var [ X n]=
2
nLembrando desigualdade de Chebyshev
P [∣X −∣k]1k 2
Figueiredo – 2009
Lei Fraca dos Grandes Números (Prova)
Dado
=k
n
0
Escolher k, tal que
P [∣X n−∣k
n]1− 1
k 2
Aplicando Chebyshev a X n
P [∣X n−∣]1−
2
n2
Substituindo, temos Converge para 1 quando n vai ao infinito
Figueiredo – 2009
Aplicação NuméricaAvaliação numérica de integrais
Como calcular a seguinte integral?
=∫0
1g xdx
Se U é uma v.a. Uniforme [0, 1], então
E [ g U ]=∫0
1g x f U x dx
∫0
1g xdx=
=
Figueiredo – 2009
Resolvendo Integrais
Considere uma sequência U1, U
2, ..., U
k de
v.a. independentes e uniforme [0,1]
∑i=1
kg U i
kE [ g U ]= k ∞quando
Como calcular E[g(U)] ?
Lei dos grandes númerossequência de v.a. i.i.d. converge para média
Gerar várias v.a. uniformes, aplicar g() aos valores, e tirar a média
Figueiredo – 2009
Resolvendo Integrais
Conhecido como Método de Monte Carlo
Generalização para quaisquer limites de integração
mudança de variáveis
Generalização para integrais múltiplasgeração de vetor de uniformes (iid)
muito poderoso
Figueiredo – 2009
Exemplo: Estimando Pi
X, Y : v.a. independentes uniforme (-1, 1)
definem um ponto dentro do quadrado
(-1, 1)
(-1, -1)
(1, 1)
(1, -1)
.
Definir v.a. Indicadora
Estar dentro do círculo: I(x2 + y2 <= 1)
Calcular sua probabilidade e valor esperado
Figueiredo – 2009
Gerando Outras DistribuiçõesComo gerar v.a. de outras distribuições?
P [X = x j]= p j
V.a. discreta X
Utilizar a uniforme!
∑ jp j=1
Como gerar valores de X?
p1 p 2 p 3 p 4 p 50
. . .
1. . .
U(0,1)
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
Figueiredo – 2009
Gerando V.A. Discreta
P [ X=x j ]=p j
V.a. discreta X
∑ jp j=1
Se e U é uniforme (0,1) , então0ab1P [aU b ]=b −a
Assim, temos
P [ X=x j ]=P [∑i=1
j−1p iU ∑i=1
jp i]=p j
Figueiredo – 2009
Gerando uma GeométricaP [ X=i ]=p q i−1X é geométrica :
X ocorrência do primeiro sucesso de um experimento independente
p p q p q 2 p q 3 p q 40
. . .
1. . .
U(0,1)
1 2 3 4 5
P [ X j−1 ]=1−P [X j−1 ]
= 1 – P[primeiros j-1 experimentos são falhas]
= 1−q j−1
Figueiredo – 2009
Gerando V.A. Contínua
Método da Transformada Inversa generalização da técnica que acabamos de ver
Mesma idéia: utilizar uniforme(0,1)
0
1
x
FX(x)U(0,1)
x
Função de probabilidadecumulativa
Figueiredo – 2009
Método da Transformada
Inversa 0
1
x
FX(x)U(0,1)
x
Seja U uniforme (0, 1) e X uma v.a. com função distribuição cumulativa F. X é dado por:
X =F −1U
onde F-1 é a inversa de F (valor de x para o qual F(x) = u)
Figueiredo – 2009
Método da Transformada Inversa (Prova)
Seja F uma função de probabilidade cumulativa
Seja X = F-1(U) e U uma v.a. Uniforme (0,1)
Seja FX a distribuição de X
Provar que FX(x) = F(x)
F X x =P [X x ]P [F−1
U x ]=
P [F F −1U F x ]
P [U F x ]
F x
=
=
=
definição
Equivalência deeventos e monotonicidade de F
definiçãouniforme
Figueiredo – 2009
Gerando uma Exponencial
Seja X v.a. exponencial com parâmetro
F X x =1 −e− x
x=F X−1u
F x =u
Pelo método, temos que
Então
1−e − x=u
e− x=1−u
− x= l o g 1−u
x=−1
l o g 1−u x=−1
l o gu
(1-U) também é uniforme(0,1)
F x =F F −1u
Figueiredo – 2009
Gerando um Processo de Poisson
Como gerar eventos de acordo com o processo de Poisson?
Seja N(t) uma v.a. Poisson com parâmetro
eventos
t
P [N t o=k ]=
t o
k
k !e−t o
Seja S o tempo entre chegadas
Qual a distribuição do tempo entre chegadas?
S
P [S t ]=? Exponencial!
Figueiredo – 2009
Gerando um Processo de Poisson
Gerar sequência de exponenciais com parâmetro
eventos
t
Quantos eventos em um intervalo to?
S
P [S t ]=e−t
Gerar exponencias em sequência até que soma dos tempos seja maior que t
o