6.11 – exercÍcios – pg. 269480 6.11 – exercÍcios – pg. 269 1. calculando as integrais =...

22
480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = 2 1 2 1 dx x I , = 2 1 2 dx x I e = 2 1 3 dx I , obtemos: 3 7 2 = I , 2 3 2 = I e 1 2 = I . Usando estes resultados encontre o valor de: a) - = - 2 1 2 1 2 1 6 ) 1 6 ( dx dx x dx x 8 1 2 3 . 6 = - = b) ( ) [ ] ( ) 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 + = + = + x x dx x x dx x x 3 23 3 9 14 3 3 14 2 3 . 2 3 7 . 2 = + = + = + = c) ( )( ) ( ) + - = - - 2 1 2 2 1 2 3 2 1 dx x x dx x x 6 1 6 12 27 14 2 2 9 3 7 1 . 2 2 3 . 3 3 7 - = + - = + - = + - = d) ( ) ( ) + + = + 2 1 2 2 1 2 4 12 9 2 3 dx x x dx x 43 4 18 21 1 . 4 2 3 . 12 3 7 . 9 = + + = + + = 2. Sem calcular a integral, verifique as seguintes desigualdades: a) ( ) ( ) + + 3 1 2 3 1 2 5 2 4 3 dx x dx x ( )( ) ( ] [ ) +∞ - - + - - - - + + + , 1 1 , 0 1 1 0 1 0 5 2 4 3 5 2 4 3 2 2 2 2 2 x x x x x x x x

Upload: others

Post on 12-Mar-2020

17 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

480

6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269

1. Calculando as integrais ∫=

2

1

21 dxxI , ∫=

2

1

2 dxxI e ∫=

2

1

3 dxI , obtemos:

3

72 =I ,

2

32 =I e 12 =I . Usando estes resultados encontre o valor de:

a) ∫∫∫ −=−

2

1

2

1

2

1

6)16( dxdxxdxx

812

3.6 =−=

b) ( )[ ] ( )2

1

232

1

22

1 22

322212

+=+=+ ∫∫

xxdxxxdxxx

3

23

3

9143

3

14

2

3.2

3

7.2 =

+=+=+=

c) ( ) ( ) ( )∫∫ +−=−−

2

1

22

1

2321 dxxxdxxx

6

1

6

1227142

2

9

3

7

1.22

3.3

3

7

−=

+−=+−=

+−=

d) ( ) ( )∫∫ ++=+

2

1

22

1

2 412923 dxxxdxx

4341821

1.423

.1237

.9

=++=

++=

2. Sem calcular a integral, verifique as seguintes desigualdades:

a) ( ) ( )∫∫ +≥+

3

1

23

1

2 5243 dxxdxx

( ) ( ) ( ] [ )+∞∪−∞−∈⇒≥+−

≥−

≥−−+

+≥+

,11,011

01

05243

5243

2

22

22

xxx

x

xx

xx

Page 2: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

481

Portanto vale para [ ].3,1∈x

b) ∫∫−

−−≤

1

2

1

2 42

1dx

x

x

dx

04

24

02

1

4

4

2

1

4

4

2

1

4

142

11

2

2

2

≤++

≤−+

−≤+

−≤+

−−≤

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

1º Caso: 04 <x e 0422≥++ xx

0<x e ( ) 02 2≥+x

Portanto vale a desigualdade em ].1,2[ −−

c) ∫ ≥

π

0

0dxxsen

0≥xsen para ],0[ π∈x

d) ∫ ≥−

23

2

0cos

π

π

dxx

Temos 0cos ≤x para .2

3,

2

ππx Portanto, 0cos ≥− x para .

23

,2

ππx

3. Se ,7

51

0

5 2=∫ dxx calcular dtt∫

0

1

5 2

7

51

0

5 21

0

5 20

1

5 2 −=−=−= ∫∫∫ dxxdttdtt .

Page 3: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

482

4. Se ,4

9cos9

2

0

2 ππ

=∫ dtt calcular .cos2

0

2 θθ

π

d∫−

44

9

9

1cos9

9

1coscos

222

0

2

0

2

0

2 ππθθ

πππ

−=−=−=−=− ∫∫∫ dttdttd .

5. Verificar se o resultado dos seguimentos integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.

a) ∫ +

20

0 2x

dx

20202

12

1)(

−>⇒>+⇒≥+

+=

xxx

xxf

Resultado positivo, porque 02

1)( >

+=

xxf para ].20,0[∈x

b) ∫π2

0

dttsen

É nulo pois ∫∫∫ +=

π

π

ππ 2

0

2

0

dttsendttsendttsen e

dttsendttsen ∫∫ −=

π

π

π 2

0

c) ( )∫ +

3

2

12 dxx

2

1

12012

12)(

−≥

−≥⇒≥+

+=

x

xx

xxf

É positivo, pois 12)( += xxf é positivo para ].3,2[∈x

d) ( )∫−

−−

3

1

2 32 dxxx

Page 4: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

483

( ) ( )

( )3,1 para 0)(

013

032

32)(2

2

−∈<∴

>+−

>−−

−−=

xxf

xx

xx

xxxf

Resultado negativo.

6. Determinar as seguintes derivadas.

a) ∫ +

x

dttdx

d

2

4

Vemos que ( )

x

xt

dtt

2

2

2

34

423

+

=+∫

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( ) 442

3.

3

2

643

2

643

2

4243

2

21

23

23

23

23

23

23

+=+=

−+

−+=

+−+=

xx

xdx

d

x

x

Observamos que o resultado obtido é garantido diretamente pela proposição 6.10.1.

b) ∫+

y

dxx

x

dy

d

32 9

2

Pela proposição 6.10.1, temos que: 9

2

9

22

32

+=

+∫ y

ydx

x

x

dy

dy

c) ∫−

θ

θ 1

dttsentd

d

Pela proposição 6.10.1, temos que:

∫−

θ

θ 1

dttsentd

d.θθ sen=

Page 5: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

484

7. Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar o gráfico da função.

a)

≤≤

<≤−+=

10,5

01,52)(

x

xxxf em ]1,1[−

∫∫∫ +=

−−

1

0

0

1

1

1

)()()( dxxfdxxfdxxf

] ]

9551

552

2

5)52(

10

01

0

1

2

1

0

0

1

=++−=

++

=

++=

∫∫

xxx

dxdxx

-1 1

1

2

3

4

5

6

x

f (x)

b) ||)( xsenxf = ; em ],[ ππ−

≤≤−−

≤≤=

0,

0,)(

xxsen

xxsenxf

π

π

] ]

41111

coscos

||

00

0

0

=+++=

−=

+−=

−−

∫∫∫π

π

π

π

π

π

xx

dxxsendxxsendxxsen

Page 6: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

485

-π -π/2 π/2 π

1

x

f (x)

c) |;|2)( xxf = em ]1,1[−

<−

≥=

0,2

0,2)(

xx

xxxf

∫∫∫ +−=

−−

1

0

0

1

1

1

22||2 dxxdxxdxx

2112

22

21

0

20

1

2

=++=

+

−=

xx

-1 1

1

2

x

f (x)

Page 7: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

486

d) ;2

||)(

xxxf −= em ]1,1[− .

<=+

≥=−

=

02

3

2

02

1

2)(

xsexx

x

xsexx

x

xf

2

1

4

1

4

3

2.

2

1

2.

2

3

22

3

2

||

1

0

20

1

2

1

0

0

1

1

1

−=+

−=

+

=

+=

−−

∫∫∫

xx

dxx

dxxdxx

x

-1 1

-1

1

x

f (x)

e) ||)( xsenxsenxf += em ],[ ππ− .

<

>=

0,0

0,2)(

xsense

xsensexsenxf

( )

[ ]

( ) 4112

cos20

20||

0

0

0

=++=

−+=

+=+ ∫∫∫−−

π

π

π

π

π

x

dxxsendxdxxsenxsen

Page 8: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

487

-π -π/2 π/2 π

1

2

x

f (x)

f) |cos|)( xxsenxf += em ],[ ππ− .

<−

≥+=

0cos,cos

0cos,cos)(

xsexxsen

xsexxsenxf

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

4111111

coscoscos

coscoscos)(

2

2

2

2

2

2

2

2

=++++−=

−−++−+−−

−+++−=

−−

∫∫∫∫

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

xsenxxsenxxsenx

dxxxsendxxxsendxxxsendxxf

-π -π/2 π/2 π

-1

1

2

x

f (x)

8. Mostrar que:

a) ∫−

=

π

π

05cos.2 xdxxsen

Page 9: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

488

[ ]

( ) 0)11(6

111

14

1

3cos3

1.

2

17cos

7

1.

2

1

32

17

2

1

)3(72

1

=+−++−−

=

+

−=

−+=

−+=

−−

−−

∫∫

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

xx

dxxsendxxsen

dxxsenxsen

b) ∫−

=

π

π

03cos.2cos dxxx

[ ]

000

2

15

5

1.

2

1

cos2

15cos

2

1

cos5cos2

1

=+=

+

=

+=

+=

−−

−−

∫∫

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

xsenxsen

dxxdxx

dxxx

c) ∫−

=

π

π

02.5 dxxsenxsen

[ ]

000

7cos2

13cos

2

1

7cos3cos2

1

=−=

−=

−=

∫∫

−−

π

π

π

π

π

π

dxxdxx

dxxx

9. Se )(xf é contínua e Mxf ≤)( para todo x em ],[ ba , provar que

∫ −≤

b

a

abMdxxf ).()( Ilustrar graficamente, supondo .0)( ≥xf

Como )(xf é contínua em ],[ ba e Mxf ≤)( para todo x em ],[ ba ,

∫ ∫≤

b

a

b

a

dxMdxxf )( ] )( abMMxb

a −== .

Page 10: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

489

x

f (x)

M

ba

Observamos que na figura utilizamos o valor máximo absoluto da função no intervalo ],[ ba como M.

10. Se )(xf é contínua e )(xfm ≤ para todo x em ],[ ba , provar que

∫≤−

b

a

dxxfabm .)()( Ilustrar graficamente, supondo .0>m

Como f é contínua em ],[ ba e ],[)( baxmxf ∈∀≥ , temos que:

)()( abmdxmdxmdxxf

b

a

b

a

b

a

−==≥ ∫∫ ∫

ou ∫ −≥

b

a

abmdxxf ).()(

x

f (x)

m

ba

Observamos que na figura utilizamos o valor mínimo absoluto da função no intervalo ],[ ba como m.

Page 11: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

490

11. Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível das integrais dadas a seguir:

Neste exercício tomamos M e m, respectivamente, como o valor máximo e o valor mínimo absolutos da função no intervalo de integração.

a) ∫4

3

5 dxx

Temos que 15

20

=

=

m

M

Portanto,

20515

)34(205)34(15

4

3

4

3

≤≤

−≤≤−

dxx

dxx

b) ∫−

4

2

22 dxx

32)4(

0)0(

2)( 2

==

==

=

fM

fm

xxf

≤≤

+≤≤+

4

2

2

4

2

2

19220

)24(322)24.(0

dxx

dxx

c) ∫ −

4

1

|1| dxx

|1|)( −= xxf

3)4(

0)1(

==

==

fM

fm

( ) ( )

≤−≤

−≤−≤−

4

1

4

1

9|1|0

143|1|14.0

dxx

dxx

d) ( )∫−

+−

4

1

24 168 dxxx

168)( 24+−= xxxf

Page 12: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

491

14416128256)4(

0163216)2(

91981)1(

=+−==

=+−==

=++=−

fM

fm

f

( ) ( ) ( )

( ) 7201680

1414416814.0

4

1

24

4

1

24

≤+−≤

+≤+−≤+

dxxx

dxxx

Nos exercícios 12 a 34 calcule as integrais.

12. ( )∫−

+

2

1

31 dxxx

( )

10

81

5

1

2

1

5

322

52

2

1

52

2

1

4

=

+−+=

+=

+=

xx

dxxx

13. ( )∫−

+−

0

3

2 74 dxxx

48

219.23

277

24

3

0

3

23

=

−−

−−=

+−=

xxx

14. ∫2

16

x

dx

160

31

132

1

5

1

5

2

1

5

=

−=

−=

−x

15. ∫9

4

2 dttt

Page 13: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

492

( )

5

844211.

5

4

322435

2.2

2

522

9

4

9

4

25

23

==

−=

== ∫t

dtt

16. ∫+

1

0 13y

dy

( )

[ ]3

212

3

2

2

113

3

1

1

0

21

=−=

+

=y

17. ∫4

3

4

cos

π

π

dxxxsen

02

1

2

1

2

1

2

43

4

2

=

−=

π

π

xsen

18. ∫− +

1

13

2

9x

dxx

( )

[ ] ( )253

22810

3

2

2

19

3

1

1

1

2/13

−=−=

+

x

19. ∫π2

0

|| dxxsen

Page 14: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

493

] ]

41111

cos2cos0coscos

coscos 20

2

00

=+++=

−++−=

+−=

−+= ∫∫

πππ

π

π

π

ππ

xx

dxxsendxxsen

20. ∫−

5

2

|42| dtt

( ) ( )

25

8420258484

42

242

2

4242

5

2

22

2

2

5

2

2

2

=

+−−++++−=

−+

+−=

−++−=

∫∫

tt

tt

dttdtt

21. ∫ +−

4

0

2 |23| dxxx

( ) ( ) ( )

3

17

42

12

3

88

2

48

3

642

2

3

3

14

2

12

3

82

2

3

3

1

22

33

22

33

22

33

232323

4

2

232

1

231

0

23

4

2

22

1

21

0

2

=

−+−+−++−+−+−+−=

+−+

−+−+

+−=

+−++−−++−= ∫∫∫

xxx

xxx

xxx

dxxxdxxxdxxx

22. ∫+

4

02 .9

4

x

+

=

4

02

9.99

9

4

x

Page 15: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

494

4

0

24

02

133

ln3

43

13

3

4

+

+=

+

= ∫

xx

x

dx

3ln43

5

3

4ln4

9

916

3

4ln4

=+=

++=

23. ( )∫

− −

0

223

2

2v

dvv

( )

15

2

10

1

2

1

3

1

1

2

3

10

2

13

=

+

−=

−=

v

24. ∫ −

5

1

12 dxx

( )

( )3

2626.

3

1127

3

2

2

1

2

312

2

1

5

1

23

==−=

=x

25. ( )∫

+

4

13

1xx

dx

dx

xdu

xu

2

1

1

=

+=

Page 16: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

495

( )

( )

36

5

4

1

9

1

23

2

12

22

4

1

2

=+−=

−−=

+=

−−

x

26. ∫ +

3

0

1 dxxx

( )

( )

23

1

11

23

21

x

dxxvdxxdv

dxduxu

+=

+=→+=

=→=

( ) ( )

( ) ( )

( )

15

116

1325

2.

3

28.

3

3.2

15

2.

3

21

3

2

13

21

3

2.

3

0

3

0

25

23

23

23

=

−−=

+−

+=

+−

+= ∫

xxx

dxxxx

27. ∫2

0

2

π

dxxsen

4

2.

2

1

22

1.

2

1

2

1

2

2cos1

2

2

0

0

π

π

π

π

=

=

−=

−= ∫

xsenx

dxx

Page 17: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

496

28. ( )∫

+

2

051

cosπ

dxxsen

x

dxxdu

xsenu

cos

1

=

+=

( )( )

64

15

116

1

4

1

12

14

1

4

1 44

0

4 2

=

−−=

+−=

+=

−−π

π

senxsen

29. ( )∫−

+

4

0

21

12 dxx

( )

213

21

12

2

1

4

0

21

=−=

+

=x

30. ( )∫ +

2

0

52 dxxx

( )

( ) ( )

3

5822

23

2104

2

2

2

310

22

102

102

3

2

0

2

2

0

2

1

2

0

2

23

+=

+=

+=

+=

+=

xx

dxxx

dxxx

Page 18: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

497

31. ∫+−+

2

12

23 2575dx

x

xxx

2ln52

31

21ln572

512ln52.72.5

12||ln57

25

2575

2

1

12

2

12

−=

++−−−−+=

−+−+=

+−+=

xxx

x

dxxx

x

32. ∫2

1

ln dxxx

2

ln

2xvdxxdv

x

dxduxu

=→=

=→=

( ) ( )

4

32ln2

144

12ln4

2

1

2.

2

1ln

2

.22

ln

2

1

22

2

1

22

−=

−−=

=

= ∫

xx

x

x

dxxxx

33. ∫−

2

3

21

dtt

t ∫−

+−=

2

32

2 11.2 dt

tttt

( ) ( )

2

9

3

1

2

1322278

3

1

12

3

2

3

13

=

−−

−−+−−+−=

−+−=

−t

tt

Page 19: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

498

34. ∫−

+

+1

0

3

2

8dx

x

x

∫−

+

+−=

0

1

3

2

8dx

x

x

Dividindo os polinômios, obtemos:

( )dxxxdxx

x∫∫−−

+−−=+

+−

0

1

20

1

3

422

8

3

1641

3

1

42

23

0

1

23

−=−−

−=

+−−=

xxx

35. Seja f contínua em [ ]aa,− . Mostrar que:

a) Se f é par, então .)(2)(0∫∫ =

aa

a

xfdxxf

Seja f par. Então )()( xfxf =− .

∫∫

∫∫∫

+−=

+=

−−

a

a

a

a

a

a

dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

0

0

0

0

)()(

)()()(

Fazemos uma mudança de variável na primeira integral:

auaxux

dxduxu

=⇒−==⇒=

−=⇒−=

;00

Temos:

∫∫

∫∫∫

=

+

−−=

+−=

a

aa

a

a

a

a

dxxf

dxxfduuf

dxxfduufdxxf

0

00

0

0

)(2

)()(

)()()(

É interessante verificarmos geometricamente, conforme ilustra a figura que segue:

Page 20: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

499

x

y

a-a

b) Se f é ímpar, então .0)( =∫−

a

a

dxxf

Seja f ímpar. Então )()( xfxf −=− .

∫∫

∫∫∫

+−−=

+=

−−

a

a

a

a

a

a

dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

0

0

0

0

)()(

)()()(

Fazemos uma mudança de variável na primeira integral:

auaxux

dxduxu

=⇒−==⇒=

−=⇒−=

;00

Temos:

0

)()(

)()()(

00

0

0

=

+−=

+=

∫∫

∫∫∫−

aa

a

a

a

a

dxxfduuf

dxxfduufdxxf

É interessante verificarmos geometricamente, conforme ilustra a figura que segue:

Page 21: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

500

x

y

a-a

36. Usar o resultado do Exercício 35 para calcular.

a) ∫−

π

π

dxxsen2

xsenxf =)( é função ímpar. Portanto,

∫−

π

π

dxxsen2 02 ∫−

==

π

π

senxdx

b) ∫−

π

ππ

dxxcos

xxf cos)( = é par

00.22

cos2

0

0

==

=

= ∫

ππ

π

π

π

xsen

dxx

c) ( )∫−

+

1

1

24dxxx f é par.

Page 22: 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269480 6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269 1. Calculando as integrais = ∫ 2 1 2 I1 x dx, = ∫ 2 1 I2 xdx e = ∫ 2 1 I3 dx, obtemos: 3 7 I2 = , 2 3 I2

501

( )

15

16

3

1

5

12

3522

1

0

351

0

24

=

+=

+=+= ∫

xxdxxx