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8/15/2019 MMC e MDC _ Matemática Básica _ Matemática _ Educação

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06/06/2016 MMC e MDC - educação

http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/mmc-e-mdc.html 1/5

MMC e MDC - educação

Por Emanuel Jaconiano e Ricardo Camelier

Professores de Matemática do Colégio Qi

mínimo múltiplo comum (MMC)

Os cálculos de MMC e MDC estão ligados aos múltiplos e aos divisores de um número. Esse tipo de

cálculo, aprendido no ensino fundamental, é essencial para resolver muitas questões e problemas

no Enem.

O mínimo múltiplo comum, ou MMC, de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro

positivo comum a todos eles. Por exemplo, o MMC de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc 6, 8

= 24 Já o MMC de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por MMC 5, 6, 8 = 120.

O MMC é muito útil quando se adicionam ou subtraem frações, pois é necessário um mesmo

denominador comum durante esses processos. Não é necessário que esse denominador comum

seja o MMC, mas a sua escolha minimiza os cálculos. Considere o exemplo:

326 + 18 = 656 + 756 = 1356 , onde o denominador 56 foi usado porque MMC 28, 8 = 56.

Regra prática para calcular o MMC de dois números. Para calcular o MMC entre 28 e 8, fazemos

o seguinte:

1. Reduzimos a fração

288

aos seus menores termos:

2. Multiplicamos em cruz a expressão obtida:

28 x 2 = 8 x 7 = 56

3. O valor obtido é o MMC procurado: MMC 28, 8 = 56.

Regra geral para calcular o MMC de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo

do MMC envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o MMC de

8, 12 e 28, fazemos o seguinte:

1. Realizamos a decomposição primária de cada número:

8 = 23

12 = 22 ∙ 31

28 = 22 ∙ 71

http://educacao.globo.com/provas/enem-2013.htmlhttp://educacao.globo.com/provas/enem-2013.html


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2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo elevado à maior potência com que aparece nas

fatorações. O resultado é o MMC procurado:

MMC 8, 12, 28 = 23 ∙ 31 ∙ 71 = 168

Dispositivo prático para calcular o MMC de dois ou mais números. O procedimento acima tem

a seguinte forma prática de execução:

1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos

pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. Repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até

que a última linha só contenha algarismos 1:

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o MMC procurado:

MMC 8, 12, 28 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 = 168

Propriedade fundamental do MMC. Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é

múltiplo do MMC destes números.

Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de 168,

o seu MMC, ou seja, são 168, 336, 504,...

Exemplo: encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo

tempo, por 3, 4 e 15.

Solução: pela propriedade fundamental do MMC, o número desejado será o menor número de três

algarismos múltiplo do MMC de 3, 4 e 15. Como MMC 3, 4, 15 = 60, então o menor múltiplo de três

algarismos é o 120.


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MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O máximo divisor comum, ou MDC, de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro

comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por MDC 16, 36 = 8.

Já o MDC de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC 30, 54, 72 = 6.

Regra geral para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculodo MDC, como no caso do MMC, envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo,

para calcular o MMC de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte:

1. Realizamos a decomposição primária de cada número:

30 = 21 ∙ 31∙ 51

36 = 22 ∙ 32

72 = 23 ∙ 32

2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns elevados à menor potência com que cadaum aparece nas fatorações. O resultado é o MDC procurado:

MMC 30, 36, 72 = 21 ∙ 31 = 6

Dispositivo prático para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento acima tem a

seguinte forma prática de execução:

1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididospelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim,

sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns:

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado:

MDC 30, 36, 72 = 2 ∙ 3 = 6

O algoritmo de Euclidade para o cálculo do MDC de dois números ES PARA O CÁLCULO DO

M.D.C. DE DOIS NÚMEROS. Para o cálculo do MDC de dois números, existe um dispositivo


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extremamente rápido e econômico. Trata-se do algoritmo de Euclides, que descrevemos, agora,

para calcular o MDC de 305 e 360.

1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo

do divisor:

360305552. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55,

posicionando o novo resto abaixo do 55:

3. Repetimos esse procedimento, transportando o novo resto 30 para o lado direito de 55 e

dividimos o 55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E continuamos assim,

sucessivamente, até obter o primeiro resto 0:

4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior ao primeiro resto 0, é o m.d.c. dos dois

números iniciais: MDC (305, 360) = resto anterior ao 0 = 5.

Números primos entre si ou primos relativos. Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou

primos relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e

21 são primos entre si.

Propriedade fundamental do MDC. Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor

do MDC destes números.

Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o MDC destes

três números.

EXERCÍCIOS

(UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o

mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com

base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no

ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro

ciclistas, respectivamente?

(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.

(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.

(E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.


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Resposta

O MMC 30, 36, 40 = 360 s = 6 min é o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no

ponto de partida. Por eliminação, já podemos marcar a letra B. Mas como encontrar o número de

voltas de casa ciclista, basta dividir o tempo de 360 segundos pelo período de uma volta de cada um

deles:

1º ciclista = 36040 = 9 voltas; 2º ciclista = 36036 = 10 voltas; 3º ciclista = 36030 = 12 voltas

Resposta: letra B.

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