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BASICÃO DE M4T3MÁTIC4 BASICÃO DE M4T3MÁTIC4

CRUSH Página

01 Divisibilidade, MMC e MDC 03

02 Números Inteiros 09

03 Números Racionais 15

04 Potenciação e Radiciação 19

05 Fatoração e Produtos Notáveis 24

06 Razão, Proporção, Médias e Escalas 28

07 Proporcionalidade 31

08 Regra de Três 35

09 Porcentagem 38

10 Equação de 1º e 2º Grau 43

Sem saber que era impossível, ele foi lá e fez!

DE MATEMÁTICA

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CRUSH 01 DIVISIBILIDADE, MMC E MDC

RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA DIVISÃO

DIVIDENDO= (DIVISOR X QUOCIENTE) + RESTO

EXEMPLO: 39 8

(7) 4 Dividendo = 39 Divisor = 8 Quociente = 4 Resto = 7 Logo: 39 = 8 4 + 7

MAIOR RESTO POSSÍVEL DE

UMA DIVISÃO NÃO EXATA (MRP)

MRP= DIVISOR - 1

EXERCÍCIO DE CLASSE 01 Em uma divisão não exata, o quociente é 8, o divisor é 14 e o resto o maior possível. Portanto, o dividendo é: a) 125 b) 300 c) 320 d) 360 e) 112

REGRAS DE DIVISIBILIDADE DIVISIBILIDADE POR 2 Dizemos que um número é divisível por 2 quando o algarismo final das unidades desse número é 0, 2, 4, 6, 8. Tais números chamam-se pares. Exemplos: 20, 72, 64, 96, 38. DIVISIBILIDADE POR 3 Dizemos que um número é divisível por 3 quando a

soma dos valores absolutos de seus algarismos é múltiplo de 3, ou seja, quando a soma dos valores absolutos for dividida por 3, teremos uma resposta exata. Exemplos: 243 (2 + 4 + 3 = 9 9 ÷ 3 = 3) 723 (7 + 2 + 3 = 12 12 ÷ 3 = 4)

DIVISIBILIDADE POR 4 Dizemos que um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.

BASICÃO DA MATEMÁTICA


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Exemplos: 2500 1120 (20 ÷ 4 = 5) 324 (24 ÷ 4 = 6) DIVISIBILIDADE POR 5 Dizemos que um número é divisível por 5 quando o algarismo final desse número é 0 ou 5. Exemplos: 1000, 25, 8750, 3645 DIVISIBILIDADE POR 6 Dizemos que um número é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 216 (é divisível por 2 e por 3) 492 (é divisível por 2 e por 3) DIVISIBILIDADE POR 7 Dizemos que um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor de seu algarismo das unidades é divisível por 7. Exemplos: 819 temos 81 dezenas e 9 unidades Daí fazendo o teste, temos: 81 – 2 x 9 = 81 – 18 = 63 é divisível por 7 Portanto 819 também é divisível por 7 DIVISIBILIDADE POR 8 Dizemos que um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8 ou terminarem em 000. Exemplos: 1864 temos os últimos três algarismos 864 Fazendo 864 8 = 108

Portanto 1864 também é divisível por 8 DIVISIBILIDADE POR 9 Dizemos que um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é múltiplo de 9, ou seja, quando a soma dos valores absolutos for dividida por 9, teremos uma resposta exata. Exemplos: 243 (2 + 4 + 3 = 9 9 ÷ 9 = 1) 864 (8 + 6 + 4 = 18 18 ÷ 9 = 2)

DIVISIBILIDADE POR 10 Dizemos que um número é divisível por 10 quando o algarismo final desse número é 0 (zero). Exemplos:

50, 800, 6870 DIVISIBILIDADE POR 11 Dizemos que um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar (a partir das unidades) e a soma dos valores absolutos algarismos de ordem par é um múltiplo de 11. Exemplos: 23859 Algarismos de ordem ímpar a partir das unidades: 9, 8, 2 9 + 8 + 2 = 19

Algarismos de ordem par: 5, 3 5 + 3 = 8

Diferença entre as duas: 19 – 8 = 11 (múltiplo de 11), portanto divisível por 11 DIVISIBILIDADE POR 13 Dizemos que um número é divisível por 13 quando a soma entre as suas dezenas e o quádruplo do valor de seu algarismo das unidades é divisível por 13.

Exemplos: 351 temos 35 dezenas e 1 unidade Daí fazendo o teste, temos: 35 + 4 x 1 = 35 + 4 = 39 é divisível por 13 Portanto 351 também é divisível por 13 DIVISIBILIDADE POR 12 Dizemos que um número é divisível por 12 quando ele for divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo. Exemplos: 9468, 5472 DIVISIBILIDADE POR 14 Dizemos que um número é divisível por 14 quando ele for divisível por 2 e 7 ao mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR 15 Dizemos que um número é divisível por 15 quando ele for divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR 18 Dizemos que um número é divisível por 18 quando ele for divisível por 3 e 6 ao mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR 21 Dizemos que um número é divisível por 21 quando ele for divisível por 3 e 7 ao mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR 24 Dizemos que um número é divisível por 24 quando ele for divisível por 3 e 8 ao mesmo tempo. DIVISIBILIDADE POR 45 Dizemos que um número é divisível por 45 quando ele for divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo.

EXERCÍCIO DE CLASSE 02 Um número N é formado por dois algarismos a e b

tais que a + b = 7. Se N – 1 é divisível por 7, então N + 1 é divisível por: a) 11 b) 7 c) 3 d) 13 e) 5

MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO Múltiplo de um número inteiro é o produto deste número por um inteiro qualquer Exemplos: M(2)= {0, 2, 4, 6, 8, ...}

Observações: * Qualquer número inteiro é múltiplo de 1 * Somente o próprio zero é múltiplo de zero M(0) = {0} * O zero é múltiplo de todos os inteiros (múltiplo universal)

NÚMEROS PRIMOS Dizemos que um número inteiro é primo, quando ele tem exatamente dois divisores positivos. p é primo D+(p) = {1, |p|} Exemplo: O número 19 é primo, pois tem exatamente dois divisores positivos, que são 1 e 19. NÚMEROS COMPOSTOS Dizemos que um número inteiro é composto, quando ele tem mais que dois divisores positivos.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Todo número composto pode ser expresso com um produto de dois ou mais fatores primos.


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EXEMPLO:

18 2

9 3

3 3

1

A decomposição do número 18 é 2 x 32

EXERCÍCIO DE CLASSE 03 A soma dos fatores primos distintos de 1,26.10

6 é:

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

DIVISORES DE UM NÚMERO Divisor de um número a é qualquer inteiro d

tal que a =d x n por algum inteiro n. * Quando d é divisor de um número n diz-se n

divisível por d.

* O menor divisor positivo de um inteiro n qualquer é

o número 1.

* O maior divisor de um número inteiro n (n 0) é |n|

* O número 1 é divisor de todos os números inteiros

(divisor universal)

* O zero não pode ser divisor de nenhum número

inteiro.

O conjunto de divisores de um número pode ser reconhecido examinando sua fatoração. Veja:

1

18 2 2

9 3 3, 6

3 3 9, 18

1

D(18) = {1, 2, 3, 6, 18}

EXERCÍCIO DE CLASSE 04 Sejam n1, n2, n3, n4, n5 e n6 os números naturais

divisores de 28. A soma 6n

1

5n

1

4n

1

3n

1

2n

1

1n

1

é igual a: a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 TOTAL DE DIVISORES DE UM NÚMERO COMPOSTO Se a decomposição em fatores primos de um número composto N é:

N = p a x q b x r c x ... x t n Então o número de divisores naturais de N é: (a + 1) x (b + 1) x (c + 1) x ... x (n + 1) EXEMPLO: Decompondo o número 12 em fatores primos temos: 12 = 2 2 x 3 1 Logo o número de divisores é igual a: (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6

EXERCÍCIO DE CLASSE 05 Determine o valor inteiro positivo M de modo que o

número M109 admita 48 divisores naturais

distintos: a) 16 b) 4 c) 3

d) 5 e) 12

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

É o maior de todos os divisores comuns de dois ou mais números, diferentes de zero. Existem dois processos para se determinar o M.D.C. de dois ou mais números, que são: (a) Processo das divisões sucessivas; (b) Processo da decomposição de fatores primos; Para resolução das questões aqui propostas, utilizaremos apenas o processo da decomposição em fatores primos

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

(a) Decompõe-se cada número dado em seus fatores primos; (b) O M.D.C. será igual ao produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes que entram na composição dos números

Exemplo:

A = 5322 e B = 752332

M.D.C. (A, B) = 5322

EXERCÍCIO DE CLASSE 06

Sabe-se que o M.D.C. dos números A= 43x 532 ;

B = 2y3 532 e C = z44 532 é igual a 180.

Nessas condições x + y + z é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

Chamamos de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números como sendo o menor números, diferente de zero, que seja, ao mesmo tempo divisível por todos esses números. CÁLCULO DO M.M.C. (a) Decompõe-se cada número em seus fatores primos; (b) Multiplicam-se todos os fatores primos comuns e não comuns elevados aos seus maiores expoentes

Exemplo:

A = 5322 e B = 752332

M.M.C. (A, B) = 752332

EXERCÍCIO DE CLASSE 07 O M.D.C.(a, b) = 2 e o M.M.C.(a, b) = 30. Sabendo que a soma dos quadrados de a e b é 136, calcule o quadrado da soma de a e b: a) 196 b) 60 c) 136 d) 256 e) NRA

RELAÇÃO IMPORTANTE



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PROBLEMAS COM MMC E MDC

EXERCÍCIO DE CLASSE 08 Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de chegada: a) 66, 60 e 55 b) 62, 58 e 54 c) 60, 55 e 50 d) 50, 45 e 40 e) 40, 36 e 32


Um funcionário recebeu 3 lotes de pastas para colocar num arquivo morto. O primeiro lote tinha 240 pastas; o segundo 360; o terceiro 180. Ele deseja repartir os 3 lotes em pacotes contendo a mesma quantidade de pastas e a maior quantidade de pastas possível. O número de pacotes que ele fará é: a) 6 b) 10 c) 13 d) 15 e) 18

Questões de Aprendizagem

01. Um certo inteiro positivo n quando dividido por 5 deixa resto 3. O resto da divisão de 4n por 5 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 02. Em uma divisão não exata, o quociente é 8, o divisor é 14 e o resto o maior possível. Portanto, o dividendo é: a) 125 b) 300 c) 320 d) 360 e) 112

03. Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, dividindo-a em quadrados como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40m por 2,75m. Qual o menor número de quadrados que ele pode colocar na parede? a) 27 b) 40 c) 44 d) 55 e) 60 04. Dois sinos começam a tocar, exatamente às 12 horas. Um toca de 8 em 8 minutos e o outro de 15 em 15. Quantos minutos após às 12 horas, os dois tocarão, pela primeira vez, num mesmo instante? a) 20 minutos b) 23 minutos c) 47 minutos d) 75 minutos

e) 120 minutos 05. Uma empresa montou um painel luminoso com uma sequência de lâmpadas coloridas, onde foram usadas, sempre na mesma ordem, lâmpadas com as seguintes cores: amarela, verde, azul, branca e vermelha. Foram utilizadas, ao todo, 477 lâmpadas. Se a primeira lâmpada for amarela, a cor da última lâmpada será: a) vermelha b) branca c) azul d) verde e) amarela

Gabarito 01 02 03 04 05

B A B E D

SUPER DICA! Sempre que nos depararmos com problemas

envolvendo eventos periódicos, no qual pergunta-se após quanto tempo esses mesmos eventos ocorrerão

simultaneamente, o problema é de MMC.


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01. Se n é um número primo positivo e Sn a soma de todos os números positivos e menores ou iguais a n (por exemplo S5 = 2 + 3 + 5 = 10), o valor de S23 é

igual a: a) 98 b) 99 c) 100 d) 101 02. Num quadrado de 11 m de lado são traçadas retas paralelas a um de seus lados, de modo que a distância entre duas retas consecutivas seja sempre 80 cm. Se a primeira e a última reta traçadas distam 1,50 m do lado mais próximo do quadrado, o número total de retas traçadas é: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 03. Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após as 10 horas? a) 10 horas e 31 minutos b) 11 horas e 02 minutos c) 13 horas e 30 minutos d) 17 horas 04. Quantos números naturais existem entre 10 e 100, divisíveis simultaneamente por 2, 5 e 9? a) nenhum b) um c) dois d) três 05. Deseja-se revestir o piso de uma sala retangular, de dimensões 7,80m e 5,10m, com peças de cerâmica quadradas e iguais sem recortar qualquer peça. A medida máxima do lado de cada peça é: a) 20 cm b) 25 cm c) 30 cm d) 40 cm 06. Considere um número inteiro formado por cinco algarismos cuja representação na base dez seja

abcde. Considere também o fato de que o número nessa forma é divisível por 11 se, e somente se a + c + e – b - d for divisível por 11. Com base nessas condições, assinale a alternativa na qual consta um número divisível por 11. a) 50623 b) 65432 c) 71819 d) 78321 e) 83621 07. Quantos divisores possui o número N = 1.2....11.12? a) 1584 b) 792 c) 100 d) 1024 e) 19

08. Numa competição, dois nadadores partem juntos e prosseguem atravessando a piscina de uma margem a outra, repetidas vezes. O primeiro leva 26 segundos para ir de um lado ao lado oposto e o segundo gasta 24 segundos para fazer o mesmo percurso. Quanto tempo decorrerá até que eles cheguem simultaneamente à mesma margem de onde partiram? a) 12 minutos e 30 segundos b) 14 minutos c) 10 minutos e 24 segundos d) 8 minutos e 12 segundos

e) 11 minutos e 10 segundos 09. Para que o máximo divisor comum dos números

2m3 532 e 532 2n seja 20, os valores de m e

n, nesta ordem, são: a) 0 e 2 b) 2 e 0 c) 2 e 3 d) 3 e 2 e) 1 e 2 10. Seja a e b números inteiros tais que o M.D.C.(a, b) = 6 e ab = 144. O mínimo múltiplo comum de a e b é: a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 11. Seja X um número natural, que ao ser dividido por 9 deixa resto 5 e ao ser dividido por 3 deixa resto 2. Sabendo-se que a soma dos quocientes é 9, podemos afirmar que X é igual a: a) 7 b) 23 c) 9 d) 2 e) 17 12. Numa divisão, o quociente é 8 e o resto é 24. Sabendo-se que a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 344, então a diferença dividendo menos divisor é: a) 127

b) 127

c) 100 d) 248

e) 248

13. Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor máximo que A pode assumir é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 14.Qual deve ser o valor de a no número

N = 1a2 253 para que o M.D.C. entre 96, N e 240

seja 24 ? a) 1 b) 4 c) 0

d) 1

e) 2 15.Três funcionários de um escritório cumprem, sistematicamente, horas extras de um trabalho, inclusive aos sábados e domingos: um deles a cada 15 dias, outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias.



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Se, hoje, os três cumprirem horas extras, a próxima vez em que irão cumpri-las num mesmo dia será daqui a: a) um mês b) um bimestre c) um trimestre d) um semestre e) um ano 16. Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro de 1982. Coincidirão novamente em: a) outubro de 1984 b) setembro de 1983 c) setembro de 1992 d) algum mês de 1994 e) só depois do ano 2000 17. Qual o menor número primo positivo que divide

135113 ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 18. Três torneiras estão em vazamento. Da primeira, cai uma gota de 4 em 4 segundos, da segunda, cai gota de 6 em 6 segundos e da terceira cai uma gota de 10 em 10 segundos. Exatamente, ás 2 horas cai uma gota de cada torneira. O número de vezes que as torneiras pingaram juntas no intervalo de 2h 30seg a 2h 27min é: a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 19. Duas estradas, que se cortam formando um T, têm 2940m e 1680m, respectivamente. Pretende-se colocar postes de iluminação ao longo das estradas de

modo que exista um poste em cada extremidade do trecho considerado e um no cruzamento das duas estradas. Exige-se que a distância entre cada dois postes seja a maior possível. Quantos postes deverão ser empregados? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) Não há dados suficientes

20. (UECE 2012.1)

Um número natural é primo quando possui exatamente dois divisores positivos. Dois números naturais ímpares são consecutivos quando a diferença entre o maior e o menor é igual a dois. Se x, y e z são os três números primos positivos ímpares consecutivos então a soma 1/x+ 1/y + 1/z é igual a

a) 71/105 b) 23/25 c) 75/105 d) 73/105

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

C C A B C E B C A D

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B D D E D C B A C A


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CRUSH 02 NÚMEROS INTEIROS

SISTEMA DE NUMERAÇÃO Os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são chamados de algarismos. Historicamente inventados pelos Hindus e divulgados pelos árabes. Daí chamam-se de Indo-Arábicos. Os algarismos são usados para formarem numerais, isto é, formarem números.

SISTEMA DECIMAL O sistema de numeração que usamos é chamado sistema decimal, pois contamos os elementos (unidades) em grupos de dez.

Cada algarismo ocupa uma ordem (ou casa) no numeral. Veja o exemplo:

1 5 9

Casa d

as

cente

nas

Casa d

as

dezenas

Casa d

as

unid

ades

OBS: A partir de mil, os números são indicados por

4(quatro) ou mais algarismos.

FORMA POLINOMIAL Baseado no sistema de numeração decimal (posicional), podemos escrever os números na seguinte forma:

Números de dois algarismos N = ab (forma normal) N = 10a + b (forma polinomial)

Números de três algarismos N = abc (forma normal) N = 100a + 10b + c (forma polinomial)

Números de quatro algarismos N = abcd (forma normal) N = 1000a + 100b + 10c + d (forma polinomial)

EXERCÍCIO DE CLASSE 01 Seja N um número de dois algarismos, tal que o

algarismo das dezenas seja o triplo do das unidades, e que subtraindo ao número 60 unidades, o resto seja igual ao algarismo das unidades. O número N é: a) 93 b) 31 c) 62 d) 39 e) 26

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ADIÇÃO Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado de soma ou total.

A ordem das parcelas nunca altera o resultado de

uma adição: a + b = b + a

O zero é o elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0 = a

SUBTRAÇÃO O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.

1a. Parcela

2a. Parcela

soma ou total

Dezenas = 10 unidades (grupo de dez unidades)

Centenas = 10 dezenas (grupo de dez dezenas)

Milhar = 10 centenas (grupo de dezcentenas)



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A ordem dos termos pode alterar o resultado de

uma subtração: a + b ≠ b + a (sempre que a ≠ b)

Se adicionarmos uma constante k ao minuendo,

o resto será adicionado de k. EXEMPLO: 4 – 2 = 2 (4 + 2) – 2 = 2 + 2= 4

Se adicionarmos uma constante k ao

subtraendo, o resto será subtraído de k. EXEMPLOS 9 – 3 = 6 9 – (3+ 2) = 6 – 2= 4

A subtração é a operação inversa da adição:

M - S = R R + S = M

A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é

sempre igual ao dobro do minuendo: M + S + R = 2 M

EXERCÍCIO DE CLASSE 02 A diferença entre os termos de uma subtração é igual a 50. Aumentando-se o minuendo de 12 e o subtraendo de 8, o novo resto será igual a: a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 MULTIPLICAÇÃO Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é denominado produto.

O primeiro fator também pode ser chamado de

multiplicando, enquanto o segundo fator pode ser chamado de multiplicador.

A ordem dos fatores nunca altera o produto de uma multiplicação:

abba

O número 1 é o elemento neutro da multiplicação:

aa11a

Se adicionarmos uma constante k a um dos

fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator:

)bk(cb)ka(cba

Se multiplicarmos uma constante k a um dos

fatores, o produto será multiplicado por k:

kcb)ka(cba

Podemos distribuir um fator pelos termos de uma

adição ou subtração qualquer (Propriedade distributiva):

Adição: a (b + c) =a b + a c Subtração: a (b c) =a b a c

Exercício de Classe 03 O produto de dois números é 620. Se adicionássemos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores? a) 31 e 20 b) 62 e 10 c) 124 e 5 d) 155 e 4 e) 310 e 2 DIVISÃO Relação fundamental da divisão:

EXEMPLO: 60 7

(4) 8

Dividendo = 60 Resto = 4 Divisor = 7 Quociente = 8

EXERCÍCIO DE CLASSE 04 Numa divisão em que o divisor é 16, o quociente é 11 e o resto é 5, o dividendo vale: a) 176 b) 71 c) 181 d) 55 e) 91

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA A partir do ponto O, marcamos à sua direita e à sua esquerda, segmentos consecutivos, com a mesma medida e façamos corresponder a cada ponto à direita de O, os números inteiros positivos e à esquerda de O os números inteiros negativos

Deste modo, verificamos que cada número inteiro pode ser associado a um ponto da reta. A reta onde estão assinalados os pontos é denominada reta numérica.

VALOR ABSOLUTO O valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.

EXEMPLOS:

minuendo

subtraendo

resto ou diferença

1º. fator

2º fator

produto

(divisor x quociente)

resto

dividendo

ATENÇÃO! O valor absoluto de um número nunca é

negativo, pois representa uma distância; A representação do valor absoluto de um

número n é |n|. (Lê-se “valor absoluto de n” ou “módulo de n”)


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|-5| = 5 | +23| = 23

NÚMEROS SIMÉTRICOS Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos, quando: a + b = 0 EXEMPLOS: -3 e 3 são simétricos ou opostos, pois (-3) + (3) = 0 5 e -5 são simétricos ou opostos, pois (5) + (-5) = 0 O oposto de 4 é -4

O simétrico de 6 é -6 O oposto do zero é o próprio zero

EXEMPLOS: |-3| = 3 e |3| = 3 |41| = 41 e |- 41| = 41

ADIÇÕES E SUBTRAÇÕES Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os seguintes exemplos: EXEMPLO 1: Calcular o valor da seguinte expressão: 10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4

Solução:

Faremos duas somas separadas – uma somente com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29 – uma somente com os números negativos: (– 7) + (– 9) + (– 3) = – 19

Agora calculamos a diferença entre os dois totais

encontrados: + 29 – 19 = + 10

EXEMPLO 2: Calcular o valor da seguinte expressão: – 10 + 4 – 7 – 8 + 3 – 2

Solução:

Faremos somas de duas em duas parcelas

202182

18

321

232123

21

813

23813238

13

76

238762387

6

410

EXERCÍCIO DE CLASSE 05 Se A = 25 – 16 + 21 – 24 , então o valor de A é: a) 6 b) – 4 c) – 36 d) 20 e) 8 MULTIPLICAÇÕES E DIVISÕES Nas multiplicações e divisões de números inteiros é preciso observar com atenção os sinais dos dois termos da operação:

SINAIS IGUAIS (+) SINAIS OPOSTOS ()

(+5) (+2) = +10 (+5) ( 2) = 10

( 5) ( 2) = +10 ( 5) (+2) = 10

(+10) (+2) = +5 (+10) ( 2) = 5 ( 10) ( 2) = +5 ( 10) (+2) = 5

Seqüência para resolução de expressões (operações):

1. Resolver potências e raízes;

2. Resolver multiplicações e divisões;

3. Resolver adições e subtrações. Seqüência para resolução de expressões (eliminação):

1. Parênteses;

2. Colchetes;

3. Chaves. OBS: A eliminação de parênteses, colchetes e chaves, devem obedecer às mesmas regras dos sinais, utilizadas na multiplicação e divisão. EXEMPLO:

1)2()20()7()3(43 (mult. e div.)

1)10()7(123 (elim. parênteses)

–3 + 12 – 7 + 10 + 1 = – 10 + 23 = + 13

EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Resolva a seguinte expressão (-50): (-5 - 5) - [20 + (-42) : (+7) - (-35) : (-1 - 4)] a) 10 b) – 8 c) –2 d) 13 e) 7

PROBLEMAS COM NÚMEROS INTEIROS Os problemas aqui propostos deverão ser vistos como questões algébricas, em que se apresentam uma ou mais quantidades conhecidas (DADOS DO PROBLEMA) e se busca a identificação de uma ou mais quantidades desconhecidas (INCÓGNITAS). A solução de um problema consta de quatro etapas: (1) Identificar e dar “nome“ à(s) incógnita(s); (2) A formulação da equação ou do sistema de equações; (3) A resolução propriamente dita da equação ou do sistema de equações; (4) Discussão da(s) solução(ões) EXEMPLO: Qual o número cuja metade é igual ao seu triplo mais 5 unidades?

SOLUÇÃO 1ª. Etapa - Identificar e dar “nome“ à(s) incógnita(s) Número = x Metade do número =x/2 Triplo do número = 3x

2ª. Etapa - A formulação da equação ou do sistema de equações

5x32

x

3ª. Etapa - A resolução propriamente dita da equação ou do sistema de equações

Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo.

ATENÇÃO! É preciso dar sempre ao resultado o sinal do

número que tiver o maior valor absoluto!



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x10x6x15x325x32

x

2x5

10x10x510xx6

4ª. Etapa - Discussão da(s) solução(ões)

5x32

x

523

2

2

561 → -1 = -1 (verdadeiro)

EXERCÍCIOS DE CLASSE 07 Qual o número que, se somado a um quarto dele próprio, mais dois quartos dele próprio, mais três quartos dele próprio dá 100? a) 40 b) 30 c) 25 d) 732 e) 122


01. Os ingressos para um teatro custam R$ 40,00, mas os estudantes pagam R$ 25,00. Num dia foi vendido 120 ingressos e foi arrecadado um total de R$ 4.320,00. O número de ingressos vendidos para estudantes, foi de: a) 108 b) 72 c) 64 d) 54 e) 32

02. A soma de dois algarismos de um número é 12. Se trocarmos a ordem desses algarismos, o número aumenta em 18 unidades. Determine a terça parte desse número: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 03. Um atirador ganha R$ 10,00 por tiro acertado e perde R$ 15,00 por tiro errado. Se num total de 100 tiros, lucrou R$ 250,00, quantos tiros ele errou? a) 40 b) 35 c) 30 d) 25

e) 20 04. Um comerciante pretendia vender as laranjas de seu estoque a R$ 3.000,00 a dúzia. Entretanto, estragaram-se 3 dúzias e, para não ter prejuízo, resolveu vender o restante a R$ 3.200,00 a dúzia. Quantas dúzias de laranja ele tinha inicialmente? a) 42 b) 48 c) 50 d) 56 e) 58 05. Pedro gastou R$ 540,00 na compra de certo número de rádios portáteis. Se ele aumentasse a sua compra em mais 5 unidades teria gasto R$ 690,00. Nessas condições, a quantidade de rádios que Pedro comprou é: a) 24 b) 22 c) 19 d) 20 e) 18

06. Foi elaborada uma prova com 39 questões. Na primeira parte da prova havia X questões valendo 3 pontos cada; na segunda parte havia Y questões valendo dois pontos cada. A prova toda valia 100 pontos. A quantidade de questões da primeira parte era: a) 17 b) 22 c) 21 d) 20 e) 19 07. Em uma mesa de um restaurante estavam a família Silva (um casal e duas crianças) e a família Costa (um casal e uma criança). A conta de R$ 75,00 foi dividida de modo que cada adulto pagasse o triplo de cada criança. Quanto pagou a família Silva? a) R$ 40,00 b) R$ 42,00 c) R$ 43,00 d) R$ 44,00 e) R$ 45,00 08. Um trem de 400m de comprimento, tem velocidade de 10 Km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300m de comprimento? a) 1min 48seg b) 2min 24seg c) 3min 36seg d) 4min 12seg e) 5min 09. Um digitador ganha R$ 8,00 por página digitada e calcula que leva 12 minutos para digitar uma página. Se ele trabalhar durante 15 dias das 14h 40min às 18h 16min, ele vai receber: a) R$ 3.760,00 b) R$ 2.256,00 c) R$ 2.016,00 d) R$ 3.360,00 e) R$ 2.160,00

10. Em uma agência trabalham 82 funcionários, entre homens e mulheres. Se o número de mulheres excede de 16 unidades a metade do número de homens, quantos homens trabalham nessa agência? a) 36 b) 38 c) 42 d) 44 e) 48

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

E D C B E B A D E D


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01. Num jogo disputado entre Alfredo e Mário, combinou-se que Mário receberia $100,00 por cada partida que ganhasse e pagaria $40,00 cada vez que perdesse uma partida. Após 30 partidas, Mário recebeu $2.160,00. Pode-se afirmar que Mário perdeu: a) 8 partidas b) 5 partidas c) 6 partidas d) 2 partidas e) 4 partidas 02. As idades de um pai e um filho hoje são 60 e 21 anos. Há quantos anos a idade do pai era o quádruplo da idade do filho? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 03. Comprou-se vinho a $4,85 o litro e chope a $2,50 o litro. O número de litros de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de $19,75 a mais do que a paga pelo chope. A quantidade de litros de vinho comprada foi de:

a) 60 b) 40 c) 65 d) 35 e) 25 04. Certa quantidade de sacos precisa ser transportado e para isto dispõe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram 13 sacos; se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram 3 jumentos desocupados. Quantos sacos precisam ser carregados? a) 44 b) 45 c) 57 d) 22 e) 30

05. Interrogado sobre sua idade, respondeu um menino: "Há oito anos eu tinha um quarto da idade que terei daqui a um ano". Que idade tem o menino? a) 10 anos b) 9 anos c) 8 anos d) 11 anos e) 12 anos 06. Uma fábrica dispõem de duas máquinas que produzem diariamente um total de 1600 peças, sendo que a primeira máquina produz 200 peças a mais que a segunda. Examinando-se a produção de certo dia, verificou-se que havia 80 peças defeituosas no total, tendo a primeira máquina, 10 peças defeituosas a mais que a segunda. Neste dia, o total de peças boas, produzidas pela primeira máquina foi de: a) 900 peças b) 885 peças c) 855 peças d) 825 peças e) 700 peças

07. Um negociante comprou alguns bombons por R$ 720,00 e vendeu-os a R$ 65,00 cada um, ganhando, na venda de todos os bombons, o preço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombom foi: a) R$ 12,00 b) R$ 75,00 c) R$ 60,00 d) R$ 40,00 e) R$ 15,00 08. Que horas são agora se 1/4 do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido?

a) 8 horas b) 4 horas c) 4 horas e 48 minutos d) 6 horas e 48 minutos e) 5 horas e 48 minutos 09. Uma pessoa, ao fazer um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso pagou a mais a importância de $270,00. Sabendo-se que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2, o algarismo, no cheque, que está na casa das dezenas é o: a) 6 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 10. A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Podemos então afirmar que atualmente: a) Carlos é uma criança de menos de 12 anos b) Carlos é um jovem de mais de 12 anos e menos de 21 anos c) Carlos tem mais de 21 anos e menos de 30 anos d) Carlos já passou dos 30 e não chegou aos 40 anos e) Carlos tem mais de 60 anos

11. Que horas são se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido? a) 7 horas e 40 minutos b) 7 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas e 24 minutos 12. Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agência bancária contou "t" moedas de 1 real, "y" de 50 centavos, "z" de 10 centavos e "w" de 5 centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido um engano: contara 3 das moedas de 5 centavos como sendo 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nessas condições a quantia correta é igual a inicial:

a) acrescida de $1,35 b) diminuída de $1,35 c) acrescida de $1,65 d) diminuída de $1,75 e) acrescida de $1,75 13. Isaura tem o dobro da idade de Juraci, que é um ano mais velha que Benedita. Sabendo-se que daqui a dois anos a soma das idades de Isaura, Juraci e Benedita será 77 anos, qual a idade de Benedita daqui a 8 anos? a) 16 b) 17 c) 18 d) 25 e) 36



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14. Um setor de uma repartição pública recebeu um lote de processos. Desse lote, cada funcionário arquivou 15 processos, restando 5 processos. Se cada funcionário tivesse arquivado 8 processos, restariam 33. O número de funcionários desse setor é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 15. Comprei 12 dúzias de canetas e 15 dúzias de chaveiros por R$ 276,00. Uma dúzia de chaveiros é mais cara do que uma dúzia de canetas R$ 4,00. Qual o preço de um chaveiro? a) R$ 4,00 b) R$ 3,00 c) R$ 1,00 d) R$ 12,00 e) R$ 15,00 16. Numa eleição em que dois candidatos disputam o mesmo cargo, votaram 2.150 eleitores. O candidato vencedor obteve 148 votos a mais que o candidato derrotado. Sabendo-se que houveram 242 votos nulos, quantos votos obteve cada candidato? a) 1.149 e 1.001 b) 1.100 e 952 c) 1.223 e 1.075 d) 1.028 e 880 e) 1.001 e 907 17. Atualmente, Gilda tem 14 anos e Aluísio, 4 anos. Daqui a quantos anos Gilda terá o dobro da idade de Aluísio? a) 2 b) 6 c) 10 d) 18 e) 20 f) 18. Se o produto de dois números inteiros e positivos

aumenta de 10 unidades, quando os mesmos são substituídos pelos seus consecutivos, então a soma desses dois números é: a) 9 b) 10 c) 11 d) 18 e) 20 19. Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres, restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada, entretanto, subiram nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. O total de passageiros desse vagão no início da viagem era: a) 42 b) 65 c) 68 d) 73 e) 75 20. Um leiteiro vende o litro de leite por $65,00. A quantidade de água que o leiteiro deve acrescentar a 385 litros de leite para que possa vender o litro da mistura por $55,00 é: a) 70 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

C C D C D C C C D B

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

E A D A C D B A B A


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CRUSH 03 NÚMEROS RACIONAIS

NÚMEROS RACIONAIS (Q) DEFINIÇÃO: São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de zero.

Q ={x

x =

b

a com a e b Z com b diferente de 0 }

Q= RACIONAIS = {..., -2, 2

3 , -1, 0,

2

1, 1, 2, ...}

TIPOS DE FRAÇÕES FRAÇÃO PRÓPRIA É aquela em que o numerador é menor que o denominador

FRAÇÃO IMPRÓPRIA É aquela em que o numerador é maior que o denominador

FRAÇÃO APARENTE É aquela em que o numerador é múltiplo do denominador

DÍZIMAS PERIÓDICAS E FRAÇÃO GERATRIZ Toda fração pode ser representada por um número decimal. A fração que dá origem a dízima periódica é chamada de fração geratriz. OBTENÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ ... (g) DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES

g = Período

Um nove por cada algarismo do período Exemplos: 0,4444... = 4/9 0,515151... = 51/99

2,555... = 9

23

9

52...55,02

DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA

g =

Parte não periódica seguida do período

menos a parte não periódica

Um nove por algarismo do período

seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica

Exemplos:

0,3454545... = 55

19

110

38

990

342

990

3-345

3,257... = 900

25-2573...2577,03

225

733

900

2932

900

2323

EXERCÍCIOS DE CLASSE 01 Encontre a fração geratriz da dízima 0,454545...

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores.

EXERCÍCIOS DE CLASSE 02

Determine o valor de 2

5

2

3

2

1

COM DENOMINADORES DIFERENTES Substituem-se as frações dadas por outras, equivalentes, cujo denominador será o MMC dos denominadores dados.



1

4

3

6

1

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Para multiplicar duas ou mais frações, deve-se: a) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador; b) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador;



1

4

3

5

2

DIVISÃO DE FRAÇÕES Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos números envolvidos é uma fração, devemos multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo.

EXERCÍCIOS DE CLASSE 05 Determine o valor de 1/3 : 4/5

NÚMERO MISTO Dados três números inteiros n, a e b, com n ≠ 0 e 0<a<b, denomina-se número misto à representação de um número racional escrito sob a forma:

b

an

b

an



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Transforme 2

18 em fração imprópria.

PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES Vejamos algumas observações importantes para facilitar a resolução de problemas: (1) A unidade é o número básico para resolvermos problemas de números fracionários;

(2) Para maior facilidade de cálculos, devemos escrever a unidade como fração aparente, isto é, na qual o numerador seja igual ao denominador. Isto depende da situação de cada problema; EXEMPLO: Se você perdeu 1/4 do que possuía, era porque você possuía 1, mas escreve 4/4

)(4/3)(4/1)(4/4 restoperdeupossuía (3) Para se saber quanto é uma fração de um número ou de outra fração, multiplica-se a fração pelo número ou pela outra fração; EXEMPLOS: Quanto é 3/4 de 20? → (3/4).(20/1) → 60/4 =15

Quanto é 2/3 de 4/5 ? → (2/3).(4/5) = 8/15

(4) Quando se tem uma fração que equivale ou corresponde a um número ou uma quantia e se deseja saber o total, multiplica-se o número ou a quantia pela fração invertida. EXEMPLO: 2/3 de um número corresponde a 60. Calcule esse

número. Resposta: (60/1).(3/2) → 180/2 = 90

EXERCÍCIOS DE CLASSE 07 Numa certa cidade, 3/12 são de nacionalidade estrangeira. Sabendo-se que o total de habitantes é 11.760, o número de brasileiros nessa cidade é: a) 8.250 b) 9.600 c) 10.780 d) 8.500 e) 8.820

REGRA: “PROBLEMA DAS TORNEIRAS” O problema das torneiras é bem típico na operação com números racionais. Para resolver com maior facilidade vamos considerar um tanque de capacidade C inicialmente vazio. A primeira torneira consegue encher sozinha em T1. A segunda torneira consegue encher também sozinha, o mesmo tanque em T2. Utilizando-se as duas torneiras juntas simultaneamente abertas ao mesmo tempo, o tempo

para encher o tanque é N. Calculado pela seguinte expressão:

2T

1

1T

1

N

1

OBS: É válido ressaltar que o sinal positivo da fórmula é utilizado para torneiras que estão enchendo o tanque. Caso torneiras ou vazamentos esvaziando o tanque, devemos utilizar o sinal negativo.

EXERCÍCIOS DE CLASSE 07 Uma caixa d'água tem um vazamento que a esvaziaria em 8 horas. A torneira que a abastece pode enchê-la em 6 horas. Com a torneira aberta, em quanto tempo a caixa d'água ficará cheia? a) 60 horas

b) 12 horas c) 24 horas d) 36 horas e) 48 horas


01. A dízima periódica 0,1454545... é igual a: a) 5/11 b) 8/55 c) 29/180 d) 29/198 e) 145/999

02. O numeral 0,555...512 equivale a:

a) 32

b) 16√2 c) 2

d) √2

e) √25

03. Três irmãos devem dividir uma determinada quantia, de modo que o primeiro receba 2/3 menos R$ 600,00; o segundo 1/4 e o terceiro a metade menos R$ 400,00. O valor que o primeiro irmão deve receber é: a) R$ 1.000,00 b) R$ 1.200,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 800,00 e) R$ 1.400,00

04. Dois trabalhadores fazem juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza o mesmo trabalho em 15 dias, o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa em: a) 18 dias b) 20 dias c) 25 dias

d) 27 dias e) 30 dias 05. O tanque de gasolina de um carro tem a capacidade para 65 litros. No momento, ele apresenta apenas 2/5 de gasolina. Quantos litros de gasolina há nesse tanque? a) 30 litros b) 32 litros c) 26 litros d) 18 litros e) 26 litros 06. O salário de Sérgio é igual a 3/7 do salário de Renato. No entanto, se Sérgio tivesse um acréscimo de R$ 2.400,00 em seu salário, passaria a ter um salário igual ao de Renato. A soma dos salários deles é: a) R$ 3.800,00 b) R$ 4.200,00 c) R$ 5.000,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 10.000,00 07. Um pai faleceu deixando uma herança para ser dividida em partes iguais por 5 filhos, um dos quais é viúvo e possui 4 filhos. Sabendo-se que a parte que cabe ao viúvo é metade dele e metade dividida entre seus filhos, podemos afirmar que cada filho do viúvo receberá: a) 1/40 b) 1/25 c) 1/11 d) 1/10


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e) 1/9 08. Um "pool" de cursos de Pós-graduação em Administração realizou seu processo seletivo. Dos candidatos inscritos, 5/8 foram reprovados nos testes. O número total de aprovados nesse ano foi de 978. quantas inscrições recebeu inicialmente o "pool"? a) 3.204 b) 4.503 c) 5.800 d) 2.608 e) 3.275

09. O valor de 0,666...

2 é:

a) 0,333... b) 1,333... c) 3,333... d) 3 e) 12 10. Retirei inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancária. Depois saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram R$ 7.500,00. Qual era o saldo? a) R$ 12.750,00 b) R$ 12.500,00 c) R$ 12.250,00 d) R$ 10.200,00 e) R$ 9.600,00

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

B A A E D D A D D B

O1. Se 0,24444... é escrito em forma de fração irredutível, então a soma do numerador com o denominador dessa fração é: a) 56 b) 64 c) 98 d) 112 e) 156 02. Os 2/3 de 5/3 do preço de uma moto equivalem a 3/2 de 2/5

do preço de um automóvel avaliado em R$

9.600,00. O preço da moto é: a) R$ 5.760,00 b) R$ 8.640,00 c) R$ 6.400,00 d) R$ 16.000,00 e) R$ 5.184,00 03. Três torneiras quando abertas sozinhas, enchem uma piscina em 36h, 6h e 18h, respectivamente. Abertas simultaneamente, a piscina estará cheia em: a) 9 horas b) 7 horas c) 6 horas d) 4 horas e) 3 horas 04. Uma bola de tênis é abandonada de uma altura de 1,2m. Sabendo-se que ela volta até 3/8 da altura de onde caiu, pergunta-se quantos metros percorreu essa bola desde que foi abandonada até bater no chão pela segunda vez? a) 1,56 m b) 1,65 m c) 2,10 m d) 2,20 m e) 3,20 m 05. Em uma amostra retirada de um lote de feijão, constatou-se que 3/7 dele era branco e o resto preto. Sabendo-se que a diferença entre as quantidades de sacos de um e de outro tipo de feijão é 120, os sacos

de feijão branco eram, portanto, em número de: a) 840 b) 480 c) 360 d) 240 e) 120 06. Um comerciante vendeu 4/7 de uma peça de tecido e ainda restavam 450cm. Quantos metros tinha a peça? a) 1.050,00 m b) 150,50 m c) 105,00 m d) 45,50 m e) 10,50 m 07. Um tanque é alimentado por duas torneiras; a primeira pode enchê-lo em 5 horas e a segunda em 4 horas. Em quanto tempo se pode encher esse tanque, se abrirmos a segunda torneira uma hora após a primeira? a) 3 horas e 10 minutos b) 3 horas e 15 minutos c) 3 horas 15 minutos e 10 segundos d) 2 horas 46 minutos e 40 segundos



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e) 2 horas 10 minutos e 10 segundos 08. Na planilha de previsão orçamentária de uma empresa para um certo mês, consta um total gasto equivalente a R$ 216.000,00. Deste total 1/2 destina-se ao pagamento de funcionários, 1/4 a pagamento de impostos e 1/6, a gastos com documentação. O restante, que se destina a despesas miúdas, é de: a) R$ 108.000,00 b) R$ 54.000,00 c) R$ 36.000,00 d) R$ 18.000,00 e) R$ 16.000,00 09. Uma caixa d'água com capacidade para 960m3 possui uma tubulação que a alimenta e que a enche em 7 horas. Possui também um "ladrão" que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o "ladrão" funcionando simultaneamente, em quanto tempo a caixa d'água ficará cheia? a) 16horas e 8 minutos b) 14 horas e 8 minutos c) 16 horas e 28 minutos d) 16 horas e 48 minutos e) 14 horas e 48 minutos 10. Há 8 anos a idade de A era o triplo da de B e daqui a 4 anos a idade de B será 5/9 da de A. Achar a razão entre as idades de A e B: a)1/2 b) 2/1 c) 3/2 d) 2/3 e) 3/1 11. Uma pessoa comprou dois objetos pagando preços iguais e vendeu-os por R$ 4.900,00 no total. Um dos objetos foi vendido pelo preço de compra e no outro obteve-se um lucro de 1/3 sobre o preço da compra. O custo do primeiro objeto foi de: a) R$ 2.100,00 b) R$ 1.900,00 c) R$ 1.750,00

d) R$ 1.690,00 e) R$ 1.850,00 12. João faz um muro em 20 dias e Pedro faz o mesmo muro em 30 dias. Tendo trabalhado juntos durante 5 dias, passaram a ser ajudados por Carlos e terminaram o serviço em 3 dias. Em quantos dias, Carlos construiria o muro sozinho? a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 13. Uma costureira confecciona 40 blusas em 3 dias de 7 horas de trabalho; outra costureira confecciona o mesmo número de blusas em 2 dias de 9 horas. Trabalhando juntas, em quantos dias de 7 horas farão 260 blusas? a) 7 b) 36 c) 12 d) 9 e) 8 14. Um negociante ganhou no primeiro mês de negócio, 1/3 do seu capital. No segundo mês ganhou 1/4 do novo capital, obtendo assim um lucro de R$ 2.000,00.O capital inicial do negociante era: a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 2.750,00 d) R$ 3.000,00

e) R$ 3.500,00 15. Ana fez 2/5 de um tapete em 8 horas e Clara fez 1/3 do restante em 6 horas. Se trabalharem juntas, terminarão o tapete num tempo igual a: a) 4 horas e 12 minutos b) 4 horas e 30 minutos c) 4 horas e 36 minutos d) 4 horas e 45 minutos e) 4 horas e 48 minutos 16. Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os dois começaram a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o trabalho. 2 dias após a saída desse, Carlos também abandona. Antônio sozinho, consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro sozinho, Antônio levaria: a) 48 dias b) 60 dias c) 12 dias e 12 horas d) 75 dias e) 50 dias 17. Seja X o número de fichas cadastrais recebidas para arquivo. Dois funcionários, A e B, trabalhando juntos, arquivam 3/5 de X em 8 horas. Se A, trabalhando sozinho, consegue arquivar 1/4 de X em 10 horas, quantas horas levará B para arquivar a metade de X? a) 15 horas b) 14 horas c) 12 horas d) 11 horas e) 10 horas 18. Um negociante, num dia, recebeu 108 ovos, que os colocou em duas cestas. A um freguês vendeu 1/3

dos ovos da primeira cesta e a outro freguês vendeu 1/6 dos ovos da segunda cesta. As duas cestas têm agora o mesmo número de ovos. Quantos ovos havia em cada cesta? a) 65 e 43 b) 60 e 48 c) 50 e 58

d) 70 e 38 e) 55 e 53 19. A máquina A tira 800 cópias em 1 hora e a máquina B tira 800 cópias em 1 hora e 20 minutos. Em quanto tempo, as máquinas A e B, juntas, tirarão 2.100 cópias? a) 1 hora e 15 minutos b) 1 hora e 20 minutos c) 1 hora e 25 minutos d) 1 hora e 30 minutos e) 1 hora e 40 minutos 20. Um tanque é alimentado por 4 torneiras. A primeira demora 15 horas para encher sozinha o tanque, a segunda gasta 20 horas, a terceira 30 horas e a quarta 60 horas. Após ficarem abertas juntas durante 4 horas, fecharam as duas primeiras. Calcule quanto tempo demorarão as duas últimas torneiras ficando abertas para terminar de encher o tanque: a) 6 horas b) 6 horas e 18 minutos c) 6 horas e 40 minutos d) 5 horas e 24 minutos e) 7 horas e 10 minutos

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

A E D C C E D D D B

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A D D D E E E B D C


19


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CRUSH 04 POTENCIAÇÃO E

RADICIAÇÃO

POTENCIAÇÃO DEFINIÇÃO: A potência de expoente m (com m inteiro, m>1) do número real a é definida como sendo o produto de m fatores iguais a a e é representada por am.

fatoresm

a.....a.a.ama

Onde a = base m = expoente


O valor da expressão 2425

5223

é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 A potência de expoente 2 do número a, a2 é chamada de quadrado de a e a potência de expoente 3 do número a, a3 é chamada de cubo de a.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

Para simplificar expressões envolvendo potências é útil conhecermos as seguintes propriedades:

1ª. Propriedade: a1 = a

Toda potência cujo expoente é 1 (um), será igual a própria base.

EXEMPLO: 717

2ª. Propriedade: a0 = 1

Qualquer número, diferente de zero, elevado ao expoente zero, é igual a 1.

EXEMPLOS: 101258

3ª. Propriedade: ma

1ma

Todo número elevado a um expoente negativo, é igual a uma fração que tem para numerador o número 1 e



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para denominador o próprio número elevado a esse expoente positivo.

EXEMPLO:125

1

5

15

3

3

4ª. Propriedade: am . an = am+ n

Para multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

EXEMPLO: 322222 52323

5ª. Propriedade: n

m

a

a =

nma

Para divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

EXEMPLO: 4222

2 224

2

4

6ª. Propriedade: (an) m = an . m

Para se elevar uma potência, a outra potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

EXEMPLO: 81432232

23

7ª. Propriedade: am . bm = (a . b)m

Para se elevar um produto a uma potência, multiplica-se o expoente de cada fator pelo expoente da potência dada. EXEMPLO:

9002594532)532( 2222

8ª. Propriedade: m

m

m

b

a

b

a

Para se elevar uma fração a uma potência, elevam-se o numerador e o denominador a essa potência.

EXEMPLO:

9

4

3

2

3

22

22

9ª. Propriedade:

mm

a

b

b

a

Para se elevar uma fração a um expoente negativo, eleva-se o inverso da fração a esse expoente positivo.

EXEMPLO:

4

9

2

3

2

3

3

22

222

10ª. Propriedade: n maa n

m

Para se elevar um número a um expoente fracionário, o denominador do expoente será o índice do radical e o numerador do expoente será o expoente do radicando.

EXEMPLO: 2383 183

1

8


Reduzir a uma única potência 10

10)(10 324 :

a) 210 b) 310 c) 410 d) 510 e) 610

REGRAS DE SINAIS NAS POTENCIAÇÕES

O sinal da potência depende sempre do sinal da base (+ ou -) e da paridade do expoente(par ou ímpar).

EXEMPLOS:

(+ 2 4) + 16

( 2 4) + 16

(+ 2 5) + 32

( 2 5) 32 (base negativa e expoente ímpar)

Atenção! Note que - 32 (- 3)2, pois:

- 32 = - 9 (- 3)2 = + 9

Observe que 23a 23)a( , pois:

93 aa2

62.323 aa)a(


O valor da expressão 2

2

1

1

3

12)4(08

é igual a:

a) 2/7 b)22/4 c) 7/2 d) 13/4 e) 7/4

RADICIAÇÃO DEFINIÇÃO: Dado um número real a e um número

natural n 2, define-se na (raiz n-ésima de a) como

sendo o número real r, se existir, tal que:

para n par:

na = r desde que anr e r 0

para n ímpar:

na = r desde que bnr

Na expressão n a , temos:

n = índice; a = radicando e = radical

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

1ª. Propriedade: nan

a

Para se elevar um radical a uma potência eleva-se somente, o radicando a essa potência.

EXEMPLO: 3 4

24

32

2ª. Propriedade: an na

nna

A potência n da raiz enésima de um radical é igual ao radicando.

EXEMPLO: 23

32

3ª. Propriedade: pn pana

ou

pn

pk

an ka

DICA!

O resultado de uma potenciação só é negativo em um único caso: Quando a base é

negativa e o expoente é ímpar.


21


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Multiplicando-se ou dividindo-se, o índice do radical e o expoente do radicando, pelo mesmo número, diferente de zero, o radical não se altera. EXEMPLOS:

6 2232 Multiplicando-se por 2

4 328 62 Dividindo-se por 2

4ª. Propriedade: nbnan ba

A raiz enésima de um produto de vários fatores é igual ao produto das raízes enésimas dos fatores.

EXEMPLO: cb9c2b81c2b81

5ª. Propriedade: nb

nanb

a

Para se extrair a raiz enésima de uma fração, extrai-se a raiz enésima do numerador e do denominador.

EXEMPLO:5

3

25

9

25

9

6ª. Propriedade: nm amna

Para se extrair uma raiz qualquer de um radical, isto é, para substituir um radical duplo, por um radical simples, basta multiplicar os índices dos radicais. EXEMPLOS:

26 62664

364

ab12 6ab

12 12b6a34 12b6a


Seja 32a então 2a é igual a:

a) 32 b) 8 c) 348 d) 3 4 e) 4

Atenção!

Seja n

bna . Pela primeira propriedade podemos

escrever que nban

bna , então pela propriedade

simétrica da igualdade temos que n

bnanba , de

onde concluímos que: para escrever um número que esteja fora do radical, no radicando, basta elevarmos esse número a uma potência igual ao índice do radical.

EXEMPLO: a9a23a3

OPERAÇÕES COM RADICAIS

Redução ao mesmo índice a) Acha-se o MMC dos índices dos radicais. Esse será o índice comum; b) Divide-se o índice comum achado pelo índice de cada radical, os quocientes obtidos multiplicam-se pelos expoentes dos respectivos radicandos.

EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Reduzir ao mesmo índice os radicais:

3 2a e a

Adição e subtração Só podemos somar e subtrair radicais semelhantes, isto é, aqueles que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.

EXEMPLOS:

a5a3a6a2

a6b5a4b2a2b3

Multiplicação O produto de dois ou mais radicais de índices iguais é um radical que tem o mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores.

EXEMPLO: 10240542542

Divisão O quociente de dois ou mais radicais de índices iguais é um radical que tem o mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos dos fatores.

EXEMPLO: 24416


A expressão 5018 é equivalente a:

a) 2√17

b) 34√2

c) 8√2

d) 5√3

e) 2√2

RACIONALIZAÇÃO DE RADICAIS

DEFINIÇÃO: Racionalizar uma fração em cujo denominador figure um radical é encontrar outra fração equivalente à fração dada cujo denominador não contenha mais o radical.

1º. Caso: O denominador contém um só radical

Multiplicamos ambos os termos da fração por outro radical do mesmo grau, de modo que o produto dos radicandos se torne uma raiz exata.


Racionalize a fração 5

3.

2º. Caso: O denominador é formado pela soma

ou diferença de dois termos dos quais um, pelo menos, é radical. Multiplicam-se ambos os termos pelo conjugado do denominador. OBS: Conjugado de a + b é a – b Conjugado de a – b é a + b


Racionalize a fração 25

3

.

RADICAL DUPLO

Dado o radical duplo ba , podemos transformá-lo

em radical simples pela fórmula:

2

ca

2

caba

onde b2ac

OBS: É importante lembrar que nem todos os radicais duplos se reduzem a radicais simples pela fórmula.

Isso só ocorre se a2 - b for um quadrado perfeito.



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A expressão 247 equivale a:

a) 16

b) 16

c) 17 d) 17


01. Seja x um número real estritamente positivo e n um número natural maior ou igual a 2. Sobre as sentenças

I.

xn

nx1

II.nxxn1

III.2

n

xx n

é correto afirmar que: a) somente I é falsa b) somente II é falsa c) somente III é falsa d) I, II e III são falsas.

e) I, II e III são verdadeiras. 02. Quaisquer que sejam os números reais positivos x

e y, a expressão xyxy

yyxx é equivalente a:

a)x

x

y

y

b) yxyy

c)2x

x

2y

y

d) x2xy2y

e) yxyx

03. Se 412503432A , então A é igual a:

a) 4217

b) 4220

c) 4225

d) 217

e) 30

04. A expressão 37

7

37

3

é equivalente a:

a) 3

736 b)

3

736 c)

2

221

d) 2

73 e)

2

212

05. Sobre o número 3347x é correto

afirmar que: a) x ]0, 2[

b) x é racional

c) x2 é irracional

d) 2x é irracional

e) x ]2, 3[

06. Se x e y são números reais positivos, tais que

7294y2x

812y4x, então o produto x y é igual a:

a) 3 b) 1/3 c) 33 d) 1/9 e) 3

07. Se x e y são números reais tais que 25,0)25,0(x e 125,016y , é verdade que:

a) x = y b) x > y

c) 22yx

d) x – y é um número irracional e) x + y é um número racional não inteiro

08. Sejam 16x , 2)51(y 5151z

e 17w . Podemos afirmar que:

a) x, z são irracionais; y, w são racionais b) y, w são irracionais; x, z são racionais c) y, z são irracionais; x, w são racionais d) x, w são irracionais; y, z são racionais

09. Se 23p e 22q , então pqp é igual

a:

a) 221 b) 21 c) 21 d) 221

10. O resultado da soma

42563274141312 é:

a) 121/12 b) 101/12 c) 51/6 d) 49/6

11. O produto 210514 é formado por quantos dígitos?

a) 13. b) 15. c) 14. d) 12.

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

A C A C B B A B A A A


23


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01. Sejam a = 1, b = 3 e c = -2. O valor da expressão

a

b

b

c

c

a é igual a:

a) -1/6

b)1/ 6 c)7/6 d) -7/6 e) 6

02. Simplificando a expressão 23

23

23

23S

, obtém-se: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

03. Se 5q3p2 e 11q3p2 , então p+q vale:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

04. O valor numérico da expressão xy – y

x - y para x =

2 e y = 2 é:

a) 12

b) 20 c) 65/4 d) -63/4

05. O valor numérico da expressão x

y

y

x2)yx(

para x = 2 e y = 1 é:

a) 1 b) 1/2 c) 3/2 d) 5/2

06. Se 444K , então 4K é igual a:

a) 4 + √6 b) 4 + 2√6 c) 22 + 4√6 d) 22 + 8√6

07. O número 6223

23a

é racional ou

irracional? Se for racional calcule o valor 17 a

Se for irracional, calcule o valor de 6a

08. Determine o valor de

n

25,0

1...999,0K

,

onde 12

1

12

1n

09. Se

3

12

3

12K e

32

22M ,

então 3)2M(3)1K( é igual a:

a) 61/27 b) 62/27 c) 64/27 d) 65/27

10. Se p = √5 + 2 e q = √5 -2, então )4q4p(16

5 = ?

a) 45 b) 50

c) 55 d) 60

11. Se 2

12

4

38p e

32

62273q , então

)qp(32 é igual a:

a) 63 b) 65 c) 67 d) 69 12. Se x e y são números reais positivos, a expressão

1xy2

2y2x

é equivalente a:

a) 1xy2

2y2x

b) 1

xy2

2y2x

c)

x2

y

y2

x

d)x2

y

y2

x e)

xy4

2)yx(

13. Sobre as sentenças:

I. 10737633

1

II. m

3an

4n6m4

2a273n2m3

2 , se m > 0, n > 0

III. Se z5y3x23250 , então x = 1/3, y = 0 e z=1 É correto afirmar que SOMENTE: a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) I, II e III são verdadeiras 14. Se a e b são números reais positivos, a expressão

ba

ab2ba

é equivalente a:

a) ba b) ba c) ba

d) ba e) a + b

15. Para todo número real x, x > 0, a expressão

3 2x

6 5x é equivalente a:

x

xa

3

)

2

3

)x

xb

6) xc x

xd

6

)

2

6

)x

xe

16. O valor da expressão x413

2x2x

4

1 ,

para x = 1/6, é:

18

6)a

18

35)b

18

37)c

18

65)d

9

35)e

17. Simplificando-se a expressão

kkkkK , em que k 1, obtém-se:

a) 1kk b) k)1k( c) k2k

d) )1k(k e) )1k(k

18. Sejam x, y e z números reais tais que 025,0

3,0x ,

3512y e ...666,08z . É correto afirmar que:

a) z < y < x b) x < y < z



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c) z é um número racional negativo d) y é um número irracional maior do que 3 e) x é um número racional não inteiro

19. Simplificando-se a expressão,

12

1

12

1

2

1

, obtém-se:

a) 23 b) 25 c) 22 d)2

23 e)

2

25

20. Se 54242x , então x é tal que:

a) x < 0

b) 0 x < 2

c) 2 x < 3

d) 3 x < 6

e) 6 x < 10

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

B D B D D D 85 09 B A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D D E B C B A A E C

CRUSH 05 FATORAÇÃO E

PRODUTOS NOTÁVEIS

PRODUTOS NOTÁVEIS

QUADRADO DA SOMA: 2222 bababa

QUADRADO DA DIFERENÇA: 2222 bababa


Se 22 ba = 100 e ab = 10, o valor de 2b)(a será:

a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

2b2ababa

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

3b2ab3b2a33a3ba

CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

3b2ab3b2a33a3ba


O valor da expressão 3223 yxy3yx3x , para x =

1/2 e y = -1/2 é: a) -1 b) -1/5 c) 0 d) 1/8

e) 1

FATORAÇÃO FATOR COMUM

)ba(xbxax

FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

)ba()yx()ba(y)ba(xbyaybxax

DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

baba2b2a


25


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Calcule o valor de 212344212345

a) 24689 b) 26498 c) 29468 d) 28946 e) 24869 SOMA DE DOIS QUADRADOS

a2 + b

2 = (a + b)

2 – 2ab

SOMA DE DOIS CUBOS

)ba(ab33)ba(3b3a

DIFERENÇA DE DOIS CUBOS

)ba(ab33)ba(3b3a

TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU

PSx2xabx)ba(2x)bx()ax( EXERCÍCIO DE CLASSE 04 Se a + b = 2 e ab = 2, então a2 + b2 é igual a: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8


01. Se 2x

1x , o valor de

22

x

1x é:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 8 e) 10

02. Efetuando-se 2

116116

, obtém-se:

a) √11 − √6

b) 12

c) 6√11

d) 22

e) 11√6

03. O valor da expressão

12a

1a

1a

14a, se a 101, é:

a) 101

b) 1110

c) 9801

d) 9900

e) 10000

04. A expressão 2bab22a

ab2a

2b2a

ab2a

, para a b, é

equivalente a

a) 2b2a

a1

b)

ba2ba

ba1a

c)

ba

a

d) ba

2

e) 2b2a

ab2

05. O valor de 2ab3b2a33b3a , para

32

233a

e

32

233b

é:

a) 239

b) 239

c) 8 d) 32 06. Se x e y são números reais tais que

2x2x23x

2x32xy

, então y é igual a:

1

1)

xa

1

1)

xb

1

2)

2

x

xc

1

1)

x

xd

1

1)

x

xe

07. A expressão equivalente a 22a

2b

2b

2a2 para

a > 0 e b > 0 é:

a) ab

ba b)

ab

2ba c)

2

ab

ba

d) ab22b2a e) ab22b2a

08. Se 3

2

R

1R

, então

3R

13R é igual a:

a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 6

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08

B D E E D B B C



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01. Encontre o valor numérico de 2yxy2x ,

sabendo que 843y3x e x – y = 7/2.

02. Se x é um número real tal que 32x

12x ,

determine o valor de 4x

14x .

03. Nas sentenças abaixo, a, b, c, x, y representam números reais não negativos.

I. )bca()bca(2c2b2a

II.

)7c3b4a5y2x()7c3b4a5y2x(

14c6b8a10y4x

III.

Sobre as sentenças, é correto afirmar que: a) somente I é verdadeira. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) somente I e II são verdadeiras. e) I II e III são verdadeiras. 04. A forma mais simples de se expressar o número real y é: a) ab b) 1/(ab) c) a – b + c d) a + b – c e) a – b – c

05. Se o número real w é tal que

1x

mmx

1x

mmxw

, então w é equivalente a:

a)12x

2

b)12x

m2

c)2x1

mx

d)2x1

mx2

e)

06. Se x e y são números reais estritamente

positivos, a expressão

y

2

x

2

2y

1

2x

1

é equivalente a:

a)x2

1

y2

1 b)

y2

1

x2

1 c)

y

x2

x

y2 d)

x

2

y

2 e)

y

2

x

2

07. Efetuando-se xy2y

3x

x

3y , com x e y não

nulos, obtém-se:

a)xy

2y2x23y3x b)

xy

2)yx( c)

xy

4)yx(

d)xy

4y4x e)

xy

2)2y2x(

08. Para todos os números reais x e y tais que xy≠0,

a expressão )2y2x()4y4x( é equivalente a:

a)xy

2y2x b)

2y2x

2)yx( c)

xy

2y2x

d)2y2x

2x2y

e)2y2x

2)yx(

09. Se 202)yx(2)yx( , então x y é igual a:

a) 1

b) 0 c) 10 d) 5 e) 1/5

10. O valor de 3y2xyy2x3x

4y4x

para x = 111 e

y = 112 é: a) 215 b) 223 c) 1 d) – 1 e) 214

11. O valor de 4x22x

83xy

, para x = √2 é:

a) √2-2 b) √2+2 c) 2 d) -0,75 e) -4/3

12. Sabe-se que 402c2bbc22a e a – b – c =

10 com a, b e c números reais. Então o valor de a + b + c é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 10 e) 20 13. O valor da expressão abaixo para x = -1/2? a) 2/7 b) 4/7 c) -2/7 d) -1/7 e) 1/7

3x52x2

1x2x2

3x42x

3x22x

14. O número real 2)b2a(2c

2)cb2(2ay

é equivalente a:

a)cb2a

cb2a

b)

cb2a

cb2a

c)

cab2

cab2

d)b2ac

b2ac

e)

cab2

cab2

15. O valor da expressão x7,0

2x49,0

para x = 1,3 é:

a) 2

b) 2

c) 2,6 d) 1,3

e) 1,3

16. Se x = 0,121212..., o valor numérico da

expressão

x

12x

1x

1x

é:

a) 1/37 b) 21/37 c) 33/37 d) 43/37 e) 51/37

17. Simplificando 2y2x

2)xy(y23)yx(

, obtém-se:

8

yx

3

2

8

yx

3

2

64

yx

9

4

2b2a

2c

2a

1

1b1a

2

2b

1

)cba(ab

c

a

1

b

1

y

2x1

mx4


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a) yx

2)yx(

b) 2yx2yx

c) x + y

d) x – y e) yx

2y2x

18. (UECE 2012.1) O número real positivo x que

satisfaz a condição x2 = x + 1 é chamado de número

de ouro. Para este número x, temos que x5 é igual a a) 3x + 1. b) 4x + 2. c) 5x + 3. d) 6x + 4. 19. Se a e b são números reais, tais que |a| ≠ |b| e a

b = 2

1, o valor da expressão

ba

3b3a

ba

3b3a

é:

a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 20. Para todo número real x maior que 1, a expressão

2x

1x

2x

1x é equivalente a:

a) 1x

1x2x

b)

1x

1x2x

c)

1x

1x2x

d) 1x

1x2x

e)

1x

1x2x

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

24 07 E A E B E D D B

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A C D E A C C C B E



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CRUSH 06 RAZÃO, PROPORÇÃO,

MÉDIAS E ESCALAS

RAZÃO

A razão entre dois números racionais a e b,

com b ≠ 0, é o quociente de a por b. Indica-se a:b ou

b

a e lê-se: “a está para b” ou “a para b”. Dizemos que

a é o antecedente e b o consequente.

EXERCÍCIO DE CLASSE 01 Em uma repartição pública, o número de funcionários do sexo masculino equivale a 5/8 do número total de funcionários. A razão entre o número de homens e o de mulheres que trabalham nessa Repartição é, nessa ordem: a) 3/8 b) 2/5 c) 1/2 d) 5/3 e) 4/5

PROPORÇÃO É toda igualdade entre duas razões. Indica-se por

d

c

b

a , na qual a, b, c e d ≠ 0

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 1. Propriedade fundamental

dacbd

c

b

a

2. Propriedade da soma dos termos

d

c

b

a

c

dc

a

ba

ou

d

dc

b

ba

3. Propriedade da diferença dos termos

d

c

b

a

c

dc

a

b-a ou

d

dc

b

b-a

4. Propriedade da soma dos antecedentes e dos consequentes

d

c

b

a

b

a

db

ca

ou

d

c

db

ca

5. Propriedade da diferença dos antecedentes e dos consequentes

d

c

b

a

b

a

d-b

c-a ou

d

c

db

c-a

6. Propriedade do produto dos antecedentes e dos consequentes

d

c

b

a

2b

2a

db

ca

ou

2d

2c

db

ca

EXERCÍCIO DE CLASSE 02 A razão entre dois números é de 2/3. Se o maior deles é igual a 24, então o menor é igual a:

a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16


Sejam os números inteiros m e n tais que 7

m=

2

n e

m n = 30. A soma de m + n é um número:

a) quadrado perfeito b) múltiplo de 7 c) divisível por 9 d) menor que 47 e) maior que 70

MÉDIAS

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES (Ma) É a soma de diversos números dividido pela quantidade de números. Dados n valores: x1, x2, x3, ..., xn, temos:

nnx3x2x1x

aM

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA(Map) É a soma dos produtos de cada número multiplicado pelo seu peso e dividido pela soma dos pesos. Dados n valores: x1, x2, x3, ..., xn, cujos respectivos pesos são p1, p2, p3, ..., pn, temos:

np3p2p1pnpnx3p3x2p2x1p1x

aM

EXERCÍCIO DE CLASSE 04 A média aritmética de três números é 11. Um desses números é 6. Calculando-se a média ponderada desses três números, usando-se peso 2 para o menor, peso 1 para o maior e peso 3 para o 6; obtém-se a média ponderada igual a 8. Os outros dois números são: a) 12 e 15 b) 6 e 32 c) 3 e 24 d) 4 e 30 e) 5 e 25


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ESCALAS É a razão existente entre o comprimento

representado no desenho e o correspondente comprimento real, medidos na mesma unidade de comprimento. Então:

D

dE

E = escala d = comprimento no desenho D = comprimento real

EXERCÍCIO DE CLASSE 05 Sabendo-se que um navio de 90m de comprimento é representado por uma miniatura de 30 cm de comprimento, a escala utilizada é: a) 1:300 b) 1:200 c) 1:400 d) 1:250 e) 3:500


01. Uma funcionária recebeu um relatório para datilografar. No primeiro dia datilografou 1/5 do numero total de páginas e no segundo dia o dobro do que havia datilografado na véspera. A razão entre o número de páginas já datilografadas e o número de páginas do relatório é: a) 5/3 b) 3/5 c) 1/2 d) 2/5 e) 3/10 02. A média aritmética de 11 números é 12. Retirando-se um dos números, a média aritmética dos 10 números restantes é 12,4. O número que foi retirado é: a) 10 b) 9 c) 12 d) 7 e) 8 03. Um professor presta um concurso. Tem de se submeter a três provas: escrita, oral e prática. Obtém nota 9 na prova escrita, 6 na oral e 9 na prova prática. Supondo-se que os pesos dados a essas provas sejam 2, 1 e 3, respectivamente, a média ponderada obtida

pelo professor foi: a) 8,0 b) 8,5 c) 9,5 d) 8,7 e) 9,0 04. A miniatura de um foguete balístico foi feita na escala 1/400. O comprimento real do foguete é 116m. O comprimento correspondente na miniatura é de: a) 0,029cm b) 4,6cm c) 29cm d) 0,34cm e) 3,44cm

05. Numa caixa existem bolas brancas e pretas. Se tirarmos 16 bolas brancas, a razão entre as bolas brancas e as pretas será de 1 para 3. Em seguida, retiram-se 7 bolas pretas, restando na caixa a razão de 1 bola branca para 2 bolas pretas. Quantas bolas de cada cor havia inicialmente na caixa? a) 21 brancas e 23 pretas b) 30 brancas e 14 pretas c) 14 brancas e 30 pretas d) 23 brancas e 21 pretas e) 22 brancas e 22 pretas

06. Se 6

x=

3

y=

7

z e 2x + 3y - z = 42, então

3x + 2y + z é igual a: a) 91 b) 93 c) 95 d) 97 e) 99 07. Se dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em R$ 25.000,00, então a soma desses capitais é de: a) R$ 75.000,00 b) R$ 70.000,00 c) R$ 65.000,00 d) R$ 60.000,00 e) R$ 55.000,00 08. A fração equivalente a 7/3, cuja diferença entre os termos é 16, pode ser simplificada por: a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 9 09. Relativamente aos funcionários de uma empresa, sabe-se que o número de homens excede o número de mulheres em 30 unidades. Se a razão entre o número de mulheres e o de homens, nessa ordem, é de 3/5, o total de funcionários dessa empresa é: a) 45 b) 75 c) 120 d) 135 e) 160 10. Num número de dois algarismos, o valor absoluto do algarismo das dezenas está para o das unidades como 3 está para 4. Sabendo que a soma de seus algarismos é 14, esse número é: a) 95 b) 86 c) 77 d) 68

e) 59

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

B E B C D B E C C D

ATENÇÃO! A unidade utilizada nas escalas é o centímetro (cm).



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01. A distância em linha reta entre duas cidades é de 175 Km. Num mapa, cuja escala é de 1:250000, qual é a distância, em cm, entre estas cidades? 02. Sejam x, y e z números reais não nulos tais que y é a média aritmética de x e z. A média aritmética de 1/(xy) e 1/(yz) é: a) 1/(2xy) b) 1/xz c) xz d) 1/(xyz) e) xyz

03. Para obter tinta azul claro, um pintor misturou tinta branca com tinta azul marinho, na razão de 6 partes da primeira para 1 parte da segunda. Usando 15 litros de tinta branca, quantos litros de tinta azul claro ele obterá? a) 16 b) 16,5 c) 17 d) 17,5 e) 18 04. Um jarra contém uma mistura de suco de laranja com água, na proporção de 1 para 3, e outra jarra contém uma mistura de suco de laranja com água na proporção de 1 para 5. Misturando partes iguais dos conteúdos das jarras obteremos uma mistura de suco de laranja com água na proporção de: a) 1 para 4 b) 3 para 11 c) 5 para 19 d) 7 para 23 e) 25 para 32 f) 05. Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos. Com isto a média das idades dos professores diminui 2 anos. A idade do professor que se aposentou é: a) 58 b) 56 c) 52 d) 60 e) 54 06. A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: a) 6,5 b) 7,2 c) 7,4 d) 7,8 e) 8,0 07. Num ano letivo de um colégio, deveria haver 180

dias úteis de aula para a oitava série. Sendo que, em cada dia, haveria 5 aulas. Um estudante faltou 30 dias úteis e houve 10 feriados. A razão entre o número de aulas que o aluno faltou para o número de aulas realmente havidas é: a) 1/6 b) 3/17 c) 4/14 d) 1/4 e) 2/9

08. A média aritmética dos números a e b é 10 e a média geométrica dos mesmos números é 8. Nestas condições a e b são raízes da equação: a) x2 - 20x + 64 = 0 b) x2 + 20x + 64 = 0 c) x2 - 20x - 64 = 0 d) x2 - 10x + 8 = 0 e) x2 + 10 + 8 = 0 09. Numa loja de departamentos trabalham 32 funcionários dando atendimento ao público. A razão entre o número de homens e o número de mulheres, nessa ordem é de 3 para 5. É correto afirmar que, nessa seção, o atendimento é dado por: a) 20 homens e 12 mulheres b) 18 homens e 14 mulheres c) 16 homens e 16 mulheres d) 12 homens e 20 mulheres e) 10 homens e 22 mulheres 10. Uma pessoa pretende medir a altura de um poste baseado no tamanho de sua sombra projetada no solo. Sabendo-se que a pessoa tem 1,80m de altura e as sombras do poste e da pessoa medem 2m e 60cm respectivamente, a altura do poste é: a) 6m b) 6,5m c) 7m d) 7,5m e) 8m 11. A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1 : 50. Então a área real, em m2, de uma sala retangular cujas medidas na planta, são 12 cm e 14 cm é: a) 24 b) 26 c) 28 d) 42 e) 54 12. Sejam ab e ba números de dois algarismos. Se a

média aritmética entre estes números é 66, então o valor de a + b é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 13. Considere três números inteiros e positivos a, b e c, onde um deles é igual à média aritmética dos outros dois. A soma 2a + 2b + 2c é igual ao: a) dobro de um dos números dados b) triplo de um dos números dados c) quádruplo de um dos números dados d) sêxtuplo de um dos números dados 14. Dois números naturais, cujo produto é 432, estão entre sai assim como 3 está para 4. a soma desse números é igual a: a) 42 b) 43 c) 48 d) 57 e) 62

15. Se 2,3

x=

8,1

y=

6,5

z e x + y + z = 37,1, então:

a) x y = 4,9

b) y + z = 17,5 c) x + z = 25,9 d) x + y = 6,3

e) z x = 30,8


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16. Que horas são se a razão das horas que já passaram, para as que faltam é igual a 3/7? a) 6 horas b) 8 horas e 24 minutos c) 7 horas e 12 minutos d) 5 horas e 48 minutos e) 8 horas 17. Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas e 92 vacinadas morreram. Entre as galinhas vacinadas, qual a razão do número de mortas para o número de vivas?

a) 1/4 b) 1/5 c) 4/1 d) 5/1 e) 2/8 18. Numa turma, com igual número de moças e rapazes, foi aplicada uma prova de Matemática. A média aritmética das notas das moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8. Qual a média aritmética de toda a turma nessa prova? a) 7 b) 8,9 c) 9 d) 9,1 e) 9,2 19. A miniatura de um foguete balístico foi feita na escala 1/400. O comprimento real do foguete é de 116m. O comprimento correspondente na miniatura é de: a) 0,029cm b) 4,6cm c) 29cm d) 0,34cm e) 3,44cm

20. Numa família há três moças e dois rapazes. As idades das moças são 10, 15, 20 anos; e as idades dos rapazes são 16 e 25 anos. A razão entre a média aritmética das idades das moças e a média geométrica das idades dos rapazes é: a) 1/2 b) 3/4 c) 4/3 d) 2/1 e) 3/2

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

70 B D C A B B A D A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D C D A A C A C C B

CRUSH 07 PROPORCIONALIDADE

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando as razões existentes entre um elemento qualquer da primeira e o seu correspondente na segunda sucessão são constantes. Exemplo: Digamos que as sucessões a, b, c e x, y, z são diretamente proporcionais, daí temos:

z

c

y

b

x

a

EXERCÍCIO DE CLASSE 01 165 bolas foram distribuídas entre 3 irmãos, cujas idades somadas, totalizam 33 anos. Sabendo-se que a distribuição foi diretamente proporcional à idade de cada um e que o mais moço recebeu 40 bolas e o do meio 50, calcular suas idades: a) 10, 11 e 12 b) 8, 9 e 16 c) 8, 10 e 15 d) 15, 12 e 6

e) 6, 10 e 17

NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas sucessões de números são inversamente proporcionais quando os produtos existentes entre um elemento qualquer da primeira e o seu correspondente na segunda sucessão são constantes. Exemplo: Digamos que as sucessões a, b, c e x, y, z são diretamente proporcionais, daí temos:

zcybxa

EXERCÍCIO DE CLASSE 02 Dividir 120 em partes inversamente proporcionais a 1/2, 1/3 e 1/5: a) 20, 30 e 70 b) 24, 36 e 60

c) 10, 25 e 85 d) 28, 42 e 50 e) 75, 38 e 7



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01. Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente, em partes diretamente proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor de 3a + 2b é: a) 6,0 b) 8,2 c) 8,4 d) 14,4 e) 20,4 02. Sabendo-se que os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, tem-se suas medidas que valem:

a) 40º, 60º e 80º b) 30º, 50º e 100º c) 30º, 60º e 90º d) 20º, 40º e 120º e) 50º, 60º e 70º

03. Determine o valor de x, y e z, sabendo que são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5, e que o valor de x somado ao triplo do valor de y, somado ao quádruplo do valor de z é igual a 93: a) x = 1, y = 10 e z = 18 b) x = 6, y = 9 e z = 15 c) x = 2, y = 12 e z = 18 d) x = 3, y = 9 e z = 18 e) x = 4, y = 8 e z = 16 04. Antonio, Carlos e Paulo ganharam na loteria o prêmio de R$ 12.600,00. O prêmio deverá ser rateado diretamente proporcional à contribuição de cada um no jogo. Tendo Antônio desembolsado R$ 400,00, Carlos R$ 300,00 e Pedro R$ 200,00, ao 1º caberá o valor de: a) R$ 5.500,00 b) R$ 5.300,00 c) R$ 5.600,00 d) R$ 5.400,00 e) R$ 5.800,00 05. Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento, dividindo R$507.000,00 em partes inversamente proporcionais a

4

12 ,

3

21 e 1,2. Nessas condições, o prêmio de

menor valor a ser pago será de: a) R$ 110.000,00 b) R$ 118.905,40 c) R$ 225.000,00 d) R$ 222.947,88 e) R$ 120.000,00 06. Um abono de R$ 81.200,00 deve ser repartido entre as funcionárias Ana e Beatriz, na razão direta de seus respectivos tempos de serviço. Se Ana trabalha no setor há 24 meses e Beatriz há 32 meses, a quantia que caberá a Ana será: a) R$ 46.400,00 b) R$ 34.800,00 c) R$ 32.400,00 d) R$ 28.600,00 e) R$ 27.800,00

07. Dividindo R$ 1.584,00 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 6, a menor parte será igual a: a) R$ 264,00 b) R$ 275,00 c) R$ 288,00 d) R$ 299,00 e) R$ 300,00

08. Certa quantia foi repartida em três partes proporcionais a 2, 5 e 8. Se a soma das duas primeiras partes é R$ 280.000,00, qual o valor da terceira parte? a) R$ 80.000,00 b) R$ 140.000,00 c) R$ 200.000,00 d) R$ 300.000,00 e) R$ 320.000,00

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08

E E B C E B A E


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01. Numa disputa hípica entre dois cavaleiros, o prêmio de R$ 280.000,00 vai ser dividido em partes inversamente proporcionais ao número de obstáculos que cada um derrubar. O primeiro derrubou 6 obstáculos e o segundo 8 obstáculos. O primeiro cavaleiro recebeu: a) R$ 120.000,00 b) R$ 160.000,00 c) R$ 180.000,00 d) R$ 200.000,00 e) R$ 220.000,00 02. Divide-se 315 em três partes A, B e C que são ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 3, 2 e 5 e inversamente proporcionais a 5, 3 e 6, respectiva-mente. O maior valor dessas partes é: a) 225 b) 150 c) 145 d) 100 e) 125 03. Dividir 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira parte como 6 está para 12. Nessas condições, a terceira parte vale: a) 120 b) 150 c) 320 d) 300 e) 250 04. Um pai deixou a três herdeiros um patrimônio líquido de R$ 1.320.000,00 a ser repartido entre seus

filhos proporcional às suas idades e ao número de filhos dos mesmos. Sabendo-se que o primeiro tinha 50 anos e 3 filhos; o segundo 40 anos e 6 filhos e o terceiro 25 anos e 2 filhos, o valor que o primeiro filho recebeu foi: a) R$ 150.000,00 b) R$ 320.000,00 c) R$ 580.000,00 d) R$ 450.000,00 e) R$ 720.000,00 05. Três amigos cujas idades somam 60 anos dividiram as despesas de um jantar em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Se a despesa importou em R$ 420,00 e dois deles pagaram respectivamente, R$ 140,00 e R$ 154,00, então a idade do mais novo era: a) 16 anos b) 18 anos c) 20 anos d) 21 anos e) 22 anos 06. Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que seja diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e inversamente a 4/9 e 2/21. Quantas balinhas cada criança recebeu? a) 27 e 108 b) 35 e 100 c) 40 e 95 d) 25 e 110 e) 30 e 105

07. Um pai ao dividir R$ 282,00 entre seus três filhos verificou que: a parte do 1º estava para a do 2º na razão 4 para 5, e a parte do 2º estava para a do 3º na razão de 6 para 8. O terceiro filho recebeu: a) R$ 141,00 b) R$ 70,50 c) R$ 120,00 d) R$ 211,50 e) R$ 200,00 08. Um reservatório de 25.000 m3 foi completamente cheio por 3 torneiras que despejaram por minuto 12

litros, 8 litros e 16 litros de água. O volume de água que cada torneira despejou, em m3, foi: a) 10.200, 8.000 e 7.000 b) 12.000, 7.200 e 6.000 c) 8.400, 5.600 e 11.200 d) 11.500, 3.700 e 10.000 e) 8.200, 8.000 e 9.000 09. A idade de Maria está para a de Ana assim como 3 está para 4. Sabendo-se que a soma dos quadrados das idades delas é 100, calcule suas idades: a) 4 e 6 b) 5 e 9 c) 6 e 8 d) 2 e 8 e) 7 e 7 10. Marlene dividiu uma certa importância entre os três filhos em partes diretamente proporcionais a 12, 8 e 10 e inversamente proporcionais a 8, 6 e 9, respectivamente. Qual o valor da 3º parte que tocou a um de seus filhos, se a primeira parte é maior que a segunda em R$ 4.500,00? a) R$ 27.000,00 b) R$ 45.000,00 c) R$ 34.500,00 d) R$ 30.000,00 e) R$ 36.000,00 11. Considere 5 semi-retas, todas partindo do mesmo ponto P num certo plano, formando 5 ângulos contíguos que cobrem todo o plano, cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 4, 5 e 6. Determine a diferença entre o maior e o menor ângulo: a) 22º b) 34º c) 56º d) 72º 12. Duas pessoas devem dividir entre elas; a importância de R$ 180.000,00. A primeira pretende receber 2/3 da importância total e a segunda acha que tem o direito a R$ 72.000,00. Por fim concordaram em dividir a importância total proporcionalmente às respectivas pretensões. Quanto recebeu cada uma?

a) R$ 120.000,00 e R$ 60.000,00 b) R$ 115.500,00 e R$ 64.500,00 c) R$ 112.500,00 e R$ 67.500,00 d) R$ 108.000,00 e R$ 72.000,00 e) R$ 96.000,00 e R$ 84.000,00 13. No final de uma sociedade, três sócios verificaram que haviam tido um prejuízo de R$ 18.000,00. Sabendo-se que o primeiro permaneceu durante 1 mês; o segundo 2 meses e o terceiro 3 meses, o prejuízo do primeiro sócio foi: a) R$ 9.000,00 b) R$ 8.000,00 c) R$ 6.000,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 3.000,00



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14. A família A, de cinco pessoas e a família B, de quatro pessoas, combinaram passar férias numa casa de campo, com despesas em comum, distribuídas de acordo com o número de pessoas de cada uma. Terminada as férias, verificou-se que a família A gastara R$ 842,40 e a B, R$ 934, 20, razão pela qual tiveram de fazer um acerto de contas. Que quantia a família A teve que dar à família B? a) R$ 91,80 b) R$ 144,60 c) R$ 197,40 d) R$ 240,00 e) R$ 475,20 15. Um prêmio de $1.520,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, em $, se as faltas cometidas foram 1, 2, 2, 3 e 5? a) 600, 300, 300, 220, 100 b) 600, 300, 300, 200, 120 c) 581, 358, 232, 232, 117 d) 420, 400, 400, 200, 100 e) 450, 400, 400, 200, 170 16. Um número foi dividido em quatro partes de tal modo que a primeira parte está para a segunda assim como 5 está para 7; a segunda está para a terceira assim como 2 está para 5 e a terceira está para a quarta assim como 2,5 está para 3. Sabendo que o quíntuplo da primeira menos o dobro da segunda mais o triplo da terceira menos o triplo da quarta dá o resultado 4, qual é esse número? a) 404 b) 510 c) 315 d) 218 e) 405 17. Uma herança de $200.000,00 foi dividida entre três irmãos, de acordo com suas idades e de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a menor parcela. Juntos os irmãos mais velhos

receberam $150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos três irmãos é de 40 anos, a idade do irmão mais moço, contada em anos é: a) 11 b) 9 c) 10 d) 12 e) 13 18. Dois sócios lucraram R$ 5.000,00. O primeiro entrou para a sociedade com o capital de R$18.000,00 e o segundo com R$ 23.000,00. Se os lucros de cada sócio são proporcionais aos capitais, a diferença entre os lucros foi de aproximadamente: a) R$ 509,00 b) R$ 609,00 c) R$ 709,00 d) R$ 809,00 e) R$ 1.009,00

19. Fábio fundou uma empresa com R$ 500.000,00 de capital e, após 8 meses, admitiu um sócio com R$250.000,00 de capital. Se, após um ano de atividade da empresa, houve um lucro de R$ 630.000,00 a ser repartida entre os dois, a parte que coube a Fábio foi: a) R$ 480.000,00 b) R$ 500.000,00 c) R$ 540.000,00 d) R$ 565.000,00 e) R$ 580.000,00

20. Dois amigos constituem uma sociedade, participando o primeiro com R$ 10.000,00 e o segundo com R$ 8.000,00. Após 10 meses de existência da empresa, o primeiro sócio aumentou seu capital em mais R$5.000,00. Decorridos 2 meses desta data, o segundo sócio retirou R$ 2.000,00 de sua cota inicial. Sabendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.900,00, ao segundo sócio coube a participação no lucro de: a) R$ 8.800,00 b) R$ 8.700,00 c) R$ 9.200,00 d) R$ 8.400,00 e) R$ 8.900,00

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

A E D D B A C C C D

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D C E B B A C B C D


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CRUSH 08 REGRA DE TRÊS

REGRA DE TRÊS SIMPLES

É um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais

Como resolver uma regra de três simples Identificamos os termos dados no problema e o termos que é procurado, dispondo as grandezas envolvidas em colunas, de modo que cada coluna contenha as grandezas semelhantes (dias, horas por dia, máquinas, etc.);

Identificamos se os pares estão nas mesmas unidades ou se é necessário efetuar conversões. Ao lado da coluna que contém a incógnita (x), colocamos uma flecha para baixo (por convenção). Esta coluna serve como referência para comparação com as demais;

Identificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais e colocamos as flechas da seguinte forma: Diretamente proporcional Colocamos uma flecha no mesmo sentido da coluna da incógnita, ou seja, para baixo. Inversamente proporcional Colocamos uma flecha no sentido contrário da coluna da incógnita, ou seja, para cima; Utilizamos as propriedades da proporção para achar a solução do problema EXERCÍCIO DE CLASSE 01 Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, o número de dias em que o trabalho estará terminado será: a) 10 dias b) 15 dias c) 16 dias d) 14 dias e) 20 dias

EXERCÍCIO DE CLASSE 02 Com uma velocidade de 75 km/h, um ônibus faz um determinado percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. A velocidade do ônibus no percurso de volta foi: a) 75 km/h b) 50 km/h c) 40 km/h d) 35 km/h e) 60 Km/h

REGRA DE TRÊS COMPOSTA É um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam mais de dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais

Como resolver uma regra de três composta

Utilizamos o mesmo processo utilizado na regra de três simples; É necessária atenção na identificação das grandezas inversas ou diretas, afim de que se possa montar as proporções de forma correta. EXERCÍCIO DE CLASSE 03 Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Oito datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros prepararão 800 páginas em: a) 10 dias b) 20 dias c) 30 dias d) 25 dias e) 15 dias


01. Se um cento de lápis custa R$ 1.000,00, então o valor, em R$, de duas dúzias e meia é igual a: a) 280 b) 290 c) 300 d) 310 e) 320 02. Dez homens trabalhando 8 horas por dia executaram uma tarefa em 12 dias. Para a realização da mesma tarefa, seis homens, trabalhando 10 horas por dia, necessitariam de: a) 16 dias b) 9 dias c) 15 dias d) 18 dias 03. Uma fábrica produz em 6 dias e meio de trabalho, 481 uniformes escolares. O número de dias

necessários para fazer 1.332 uniformes iguais aos primeiros é: a) 18 b) 15 c) 20 d) 16 e) 21 04. Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminuiu-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Nas novas condições, o número de páginas ocupadas pelo texto será: a) 24



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b) 21 c) 18 d) 12 e) 9 05. Uma composição ferroviária com 250m de extensão viaja com velocidade constante de 45km/h. O tempo transcorrido entre o início da entrada e a completa saída da composição num tunel reto que possui comprimento de 250m é: a) 45 seg b) 40 seg c) 35 seg d) 30 seg 06. Uma torneira despeja 18 litros de água em 9 minutos. Em 2 horas e 15 minutos, despejará: a) 300 litros b) 270 litros c) 240 litros d) 220 litros e) 200 litros 07. Uma torneira com uma vazão de 50 litros/minuto, gasta 27 minutos para encher um determinado tanque. Quanto tempo será necessário para encher o mesmo tanque, utilizando-se três torneiras que tem a vazão de 45 litros/minuto cada uma? a) 8,1 minutos b) 10 minutos c) 9 minutos d) 7,5 minutos e) 5 minutos

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07

C A A C B B B

01. Se 8 homens trabalhando 8 horas por dia, levaram 8 dias para fabricar 8 unidades de um certo artigo, então, em 12 dias, o número de unidades do mesmo artigo, fabricado por 12 homens de mesma capacidade de trabalho que os primeiros, trabalhando 12 horas por dia é: a) 12 b) 24 c) 27 d) 32 e) 35 02. Para alimentar 30 porcos durante 40 dias, preciso de certa quantidade de ração balanceada. Quanto tempo duraria a metade da ração se tivesse que alimentar 20 porcos? a) 28 dias b) 30 dias c) 20 dias

d) 25 dias e) 35 dias 03. Uma certa quantidade de ração é suficiente para alimentar 50 cavalos durante 2 meses. A mesma quantidade de ração alimentaria 40 cavalos em: a) 48 dias b) 70 dias c) 72 dias d) 75 dias e) 90 dias 04.24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias estará a obra terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia? a) 8 b) 11 c) 12 d) 21 e) 18 05. Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108.000 bombons? a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5 06. Uma creche tem alimentos suficientes para alimentar 18 crianças durante 45 dias. Após 30 dias, recebe mais 12 crianças. Quantos dias durarão o alimento? a) 7 dias b) 6 dias c) 12 dias d) 9 dias e) 5 dias 07. Uma empresa se compromete a realizar uma obra

em 30 dias, iniciando a obra com 12 operários, trabalhando 6 horas por dia. Decorridos 10 dias, quando já havia realizado 1/3 da obra, a empresa teve


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que deslocar 4 operários para outro projeto. Nessas condições, para terminar a obra no prazo pactuado, a empresa deve prorrogar o turno por mais: a) 2 horas e 30 minutos b) 2 horas c) 3 horas d) 1 hora e) 1 hora e 30 minutos 08. Um automóvel, com velocidade de 80 Km/h, percorre uma estrada em 1 hora e 30 minutos. Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da

mesma estrada com 25% da velocidade inicial? a) 3 horas e 36 minutos b) 3 horas c) 3 horas e 30 minutos d) 2 horas e 16 minutos e) 2 horas e 36 minutos 09. Em um acampamento, havia comida para alimentar 10 pessoas presentes, durante 15 dias. Após uma permanência de 3 dias, 2 pessoas foram embora. A comida restante pode alimentar as 8 pessoas que ficaram durante alguns dias. Quantos? a) 13 dias b) 15 dias c) 16 dias d) 18 dias e) 24 dias 10. Se 8 lâmpadas de potência simples acesas 13 noites e 3 horas por noite, consomem 78 Kw. Quantos kW consumirão 5 lâmpadas de dupla potência, permanecendo acesas 16 noites e 4 horas por noite? a) 160 Kw b) 100 Kw c) 180 Kw d) 200 Kw e) 260 Kw 11. Um empreiteiro contratou a construção de 200 metros de calçada para ser efetuada em 30 dias. Ao final de 16 dias, constatou que tinham sido construídos apenas 60 metros de calçada com 7 operários em um turno de 6 horas por dia. Para terminar a obra no prazo pactuado, resolve prolongar o turno por 8 horas diárias e aumentar o número de operários. Nessas condições, o empreiteiro deve aumentar o número de operários em mais: a) 6 b) 7 c) 8 d) 4 e) 5 12. Para se pintar a metade de um muro, foram necessárias 2h 30min 45 seg. Quanto tempo será

necessário para se pintar o muro todo? a) 6 h 2 min 15 seg b) 5 h 1 min 30 seg c) 5 h 5 min 30 seg d) 4 h 30 min 15 seg e) 3 h 1 min 40 seg 13. Um navio, com a guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 litros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros, determine qual será a duração da viagem: a) 24 dias b) 22 dias c) 20 dias d) 18 dias e) 16 dias

14. Um operário gasta 9 dias de 6 horas para fazer 270 metros de uma obra. Quantas horas deverá trabalhar por dia, para fazer em 10 dias, outra obra de 300 metros, se a dificuldade entre a primeira e a segunda é de 3 para 4? a) 12 horas b) 8 horas c) 10 horas d) 15 horas e) 7 horas 15. 12 pedreiros constroem 27 m2 de um muro em 30

dias, de 8 horas. Quantas horas devem trabalhar por dia, 16 pedreiros, durante 24 dias, para construírem 36 m2 do mesmo muro? a) 7 b) 8 c) 10 d) 12 e) 17 16. Num navio, havia suprimentos para alimentar 20 homens durante 16 dias. No fim do sexto dia de viagem, este navio recolheu 5 náufragos. Quantos dias deverão durar o alimento existente a bordo? a) 9 b) 11 c) 13 d) 12,5 e) 8 17. Uma artesã deve fazer dois tipos de tapetes, tais que a dificuldade de confeccionar o primeiro está para o segundo, assim como 4 está para 6. Quantos metros do segundo tapete poderá ela fazer em 60 horas, supondo-se que fez 180 metros do primeiro em 90 horas? a) 180 b)160 c) 120 d) 80 e) 60 18. 540 operários, cuja capacidade de trabalho está avaliada pelo número 5, construíram 18 Km de uma estrada, trabalhando 300 dias de 8 horas cada um. Qual a capacidade de trabalho de 270 operários que construíram outro trecho de 27,720 Km da mesma estrada, em 640 dias, trabalhando 8 horas e 45 minutos por dia? a) 9,6 b) 3,6 c) 6,6 d) 7,2 e) 2,8 19. Uma equipe de 10 datilógrafos prepara 5.000 páginas datilografadas, em 20 dias de trabalho, trabalhando 4 horas por dia. A equipe recebeu a incumbência de datilografar 6.000 páginas em 15 dias, mas teve dois de seus datilógrafos afastados por motivos de saúde. Nessas condições, para atender o

pedido no prazo determinado, a jornada de trabalho deve ser prorrogada em: a) 2 horas b) 2horas e 30 minutos c) 3 horas d) 3 horas e 30 minutos e) 4 horas 20. Um serviço é feito por duas pessoas, em 5 dias se elas trabalharem 6 horas por dia. Se apenas uma pessoa trabalhar 10 horas por dia, quantos dias serão necessários para fazer o mesmo serviço? a) 10 b) 8 c) 6 d) 3 e) 2,5



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21. (ENEM/2009) O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego.Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? a) 25 min b) 15 min. c) 2,5 min. d) 1,5 min. e) 0,15 min. 22. (ENEM/2010)

Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável. Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa idade? a) 10–2 b) 103 c) 104 d) 106 e) 109

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

C B D D C D C A B A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B B D B C E D C E C

21 22

D E

CRUSH 09 PORCENTAGEM

DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM Chamamos de porcentagem a parte de um todo, que dele se retira ou a ele se junta. Também podemos definir porcentagem como sendo qualquer razão cujo denominador é 100. O seu símbolo é o %(por cento). 10% - lê-se dez por cento 200% - lê-se duzentos porcento Observe que, quando dizemos, por exemplo 30% de um certo valor, queremos dizer que em cada 100 partes desse valor, tomamos 30 partes TRANSFORMAÇÃO DE PORCENTAGEM EM FRAÇÃO Como porcentagem pode ser definida como sendo a razão na qual o denominador é 100, podemos transformar qualquer porcentagem em uma fração, onde o numerador da fração é a própria porcentagem e o denominador 100. EXEMPLO: 4% = 4/100 = 1/25 TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM PORCENTAGEM Para transformar qualquer fração em porcentagem, basta formar uma proporção na qual, a primeira razão é igual a própria fração e a segunda razão é igual a x/100. Donde X será a porcentagem procurada EXEMPLOS:

%25X4

100X1100X4

100

X

4

1

%50X2

100X1100X2

100

X

2

1

EXERCÍCIO DE CLASSE 01 Transformando a fração 3/8 em taxa percentual, temos: a) 37,5% b) 42% c) 32,5% d) 1,25%

e) 35,7%


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TAXA PERCENTUAL Para determinarmos o percentual de certo valor, devemos tomar este valor e multiplicarmos pela taxa percentual dada. EXEMPLO 01: Determine 20% de 400.

Solução: 8020,0400100

20400%20400

Podemos generalizar nosso raciocínio pela seguinte fórmula:

V100

iP

P = valor do percentual

i = taxa percentual (dada em %) V = valor (principal) EXERCÍCIO DE CLASSE 02 Trinta por cento da quarta parte de 6.400 é igual a: a) 480 b) 640 c) 240 d) 160 e) 120

AUMENTO PERCENTUAL Para aumentarmos i% de um certo valor, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo fator (100 + i)%. Generalizando temos:

V100

)i100(N

N = novo valor (após o aumento)

i = taxa percentual de aumento (dada em %) V = valor inicial (antes do aumento) EXERCÍCIO DE CLASSE 03 Um aluno do EFIVEST comprou um livro de Matemática por $47,00. Se esse aluno, depois do vestibular, deseja vender esse livro de modo a obter um lucro de 38%, então ele deve vender por: a) $61,86 b) $64,86 c) $62,80 d) $65,86 e) $63,86

DESCONTO PERCENTUAL Para descontarmos i% de um certo valor, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo fator (100 i)%. Generalizando temos: N = novo valor (após o desconto) i = taxa percentual de desconto (dada em %) V = valor inicial (antes do

desconto)

V100

)i100(N

EXERCÍCIO DE CLASSE 04 Se na compra de um artigo de R$3.250,00 foi concedido um desconto de 12,5%, o valor a ser pago pelo comprador é: a) R$ 2.856,50 b) R$ 2.843,75 c) R$ 2.840,00 d) R$ 2.834,25 e) R$ 2.827,50

AUMENTOS SUCESSIVOS Para aumentarmos i% de um certo valor e

depois j% e depois k%, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo seguinte fator:

(100 + i)(100 + j)(100 + k)%

EXERCÍCIO DE CLASSE 05 Na cidade de Efivest Ville, a passagem de ônibus custava $12,00 em agosto. Em setembro, houve um aumento de 25% e, em outubro, um reajuste de 20% sobre o preço de setembro. Qual foi o aumento percentual da passagem de outubro em relação a agosto? a) 22,5% b) 36,7% c) 45% d) 50% e) 66,7%

DESCONTOS SUCESSIVOS Para descontarmos i% de um certo valor e depois j% e depois k%, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo seguinte fator:

(100 i)(100 j)(100 k)%

EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Sobre o valor de uma certa compra, foram feitos abatimentos de 10% e 15%. A taxa única que substituirá esses dois abatimentos é: a) 21,5% b) 22% c) 23,5% d) 25% e) 25,5%


01. Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No

primeiro mês, ela perdeu 30% do valor investido. No segundo mês, ela recuperou 40% do que havia perdido. Em porcentagem, com relação ao valor inicialmente investido, ao final do segundo mês houve um: a) lucro de 10% b) prejuízo de 10% c) lucro de 18% d) prejuízo de 18% 02. O metalúrgico Dirceu começou a trabalhar em uma empresa de Santo André/SP no dia 1º/01/2000. Pelo contrato de trabalho, a empresa aumentaria 10% no salário de Dirceu a cada dia 1º de janeiro dos anos subsequentes. O salário de Dirceu em janeiro de 2003 teve um aumento total, com relação ao salário inicial, de: a) 21,0% b) 21,1% c) 30,0% d) 33,1% 03. A Secretaria de Saúde de uma cidade verificou que 10% da população estavam com dengue e os restantes 90% estavam saudáveis. Hoje, verificou que 10% das pessoas que estavam enfermas se recuperaram e 10% das pessoas que estavam com saúde contraíram dengue. A porcentagem da população que, hoje, goza de boa saúde é: a) 82% b) 81% c) 83% d) 84%



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04. Das 1200 pessoas entrevistadas numa pesquisa eleitoral, 55% eram mulheres. Das mulheres, 35% eram casadas. O número de mulheres casadas participantes da pesquisa foi: a) 132 b) 231 c) 312 d) 321 05. Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem 96% das pessoas contidas na sala de aula, deverá sair qual número de homens? a) 2 b) 5 c) 10 d) 15 e) 25 06. Na República Bruzundanga, o salário recebido pelo trabalhador sofre, na fonte pagadora, desconto de 25% a título de pagamento de imposto de renda. Além disso, um terço do valor pago na aquisição de bens e serviços consiste também de impostos. Considerando-se apenas estes impostos, um bruzundanguense que recebe salário brutos, iguais e mensais, ao longo de um ano, e que os gaste integralmente apenas em bens e serviços, no transcorrer de um ano, paga de impostos, o equivalente ao seguinte número de salários brutos: a) 1 b) 2 c) 5 d) 6 e) 8 07. Suponha que o gasto com a manutenção de um terreno, em forma de quadrado, seja diretamente proporcional à medida do seu lado. Se uma pessoa trocar um terreno quadrado de 2.500 m2 de área por outro, também quadrado, de 3.600 m2 de área, o percentual de aumento no gasto com a manutenção

será de: a) 10 % b) 15 % c) 20 % d) 25 % e) 30 %

08. Um trabalhador participou de uma greve na qual era reivindicado um reajuste salarial de 15%. A greve foi encerrada após concessão de 10%. No caso dele, bastariam mais R$ 10,00 para que fossem integralizados os 15% inicialmente pretendidos. O novo salário desse trabalhador, após a greve, é igual: a) R$ 160,00 b) R$ 220,00 c) R$ 240,00 d) R$ 280,00

e) R$ 320,00

09. Se na expressão xy2 os valores de x e y são reduzidos de 27% e 23%, respectivamente, então a expressão fica diminuída (aproximadamente) de: a) 50% b) 56,7% c) 65,3% d) 73% 10. A diária de um hotel, após permanecer sem reajuste durante 3 anos, foi elevada em 12% no mês de janeiro de 1999. O valor assim obtido para a diária vigorou até outubro do mesmo ano, quando então foi reduzido em 12%, com relação ao valor vigente na ocasião, mantendo-se inalterado até hoje. É possível

afirmar que o valor atual da diária, comparado com o valor mantido até dezembro de 1998: a) é maior b) é menor c) é igual d) pode ser maior, igual ou menor, dependendo do valor inicial da diária.

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

D D A B E D C B B B


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01. José e João possuem uma empresa cujo capital é de R$ 150.000,00. José tem 40% de participação na sociedade e deseja aumentar a sua participação para 55%. Se João não deseja alterar o valor, em reais, de sua participação, o valor que José deve empregar na empresa é : a) R$ 110.000,00 b) R$ 170.000,00 c) R$ 82.500,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 02. José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada foi de: a) 0,2%. b) 0,4%. c) 2%. d) 4%. e) 6%. 03. Uma loja concede a seus clientes um desconto de 5% sobre o valor das compras. Quanto devo comprar nesta loja, para que o desconto seja equivalente a 45 bombons se com R$ 4,00 posso comprar 18 bombons? a) R$ 360,00 b) R$ 225,00 c) R$ 200,00 d) R$ 180,00 04. Em 1995 o Produto Interno Bruto (PIB) de um Estado brasileiro foi de 10 bilhões de reais. Espera-se

que este PIB cresça 9 % em 1996. Portanto o crescimento esperado em reais é de: a) 90 mil reais; b) 900 milhões de reais; c) 9 milhões de reais; d) 900 mil reais; e) 90 milhões de reais. 05. Em uma pesquisa de intenção de votos para uma eleição foram entrevistadas 800 pessoas, com o seguinte resultado:

35% responderam que votariam no candidato A

28% responderam que votariam no candidato B

22% responderam que votariam no

candidato C 8% responderam que anulariam o voto 7% responderam que votariam em branco.

Pode-se então dizer que o número de pessoas que responderam que votariam no candidato C e o dos que demonstraram intenção de votar em branco são, respectivamente: a) 280 e 64 b) 176 e 64 c) 176 e 56 d) 224 e 56 e) 224 e 64

06. O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em R$, o preço deste aparelho elétrico, sem este desconto.

07. Manoel compra 100 caixas de laranjas por R$2.000,00. Havendo um aumento de 25% no preço de cada caixa, quantas caixas ele poderá comprar com a mesma quantia?

08. Um balconista ganhou comissões de R$800,00 em agosto e R$ 920,00 em setembro. Quantos por cento ganhou a mais este balconista de comissão em setembro, com relação à comissão do mês de agosto?

09. José vendeu 20% de sua boiada e lhe restaram ainda 40 bois. Quantos bois possuía José?

10. Antônio tem uma dívida de N reais. Se Antônio pagá-la até o final deste mês de junho, fará jus a um desconto de 30% desta dívida e pagará somente R$490,00. Quantos reais de desconto receberá Antônio se pagar a dívida até o final deste mês?

11. Hoje, após seis meses do lançamento do Plano Real, a relação entre o real (moeda brasileira) e o dólar (moeda americana) é R$ 1,00 = US$ 0,85. Qual o percentual de desvalorização do dólar em relação ao real?

12. José comprou um televisor e obteve um desconto de 15% no preço original. Qual o preço original do televisor, sabendo-se que José pagou Cr$425,00?

13. João recebeu um aumento salarial de 15% no início do mês de março e, no último dia do mesmo mês recebeu um outro aumento de 20% sobre o novo salário. Qual o percentual que João recebeu em março?

14. José jantou em um restaurante e pagou a conta de Cr$ 4.180,00, incluindo nesta despesa o seu consumo e os 10% da gorjeta do garçom. Calcule o valor da despesa referente, apenas ao consumido por José.

15. Paulo ganha 70 salários mínimos mensais. Joaquim ganha 30% a menos do que ganha Paulo. Quantos salários mínimos mensais ganha Joaquim?

16. Uma pessoa pagou 18 dólares de entrada na

compra de um rádio, restando pagar 75% do preço combinado. Determine, em dólares, o preço do rádio.

17. João pagou 30% a mais na compra de um livro, por ter usado cartão de crédito. Se o livro custou, a João, Cr$ 26.000,00, quanto ele teria pago, pelo livro, em cruzeiros, se tivesse usado moeda corrente?

18. João comprou um produto por R$28.000,00 e Maria comprou o mesmo produto, em outra loja, por R$ 35.000,00. Sabendo-se que Maria pagou A% a mais do que João. Determine o valor de A.

19. Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços de seus produtos. Para voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer um acréscimo de A%. Determine A.

20. Uma mercadoria sofreu dois reajustes sucessivos e como consequência seu preço final passou a custar 80% a mais do que o inicial. Se o primeiro reajuste foi de 50% e o segundo de P%, determine P.



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21. (ENEM/2010) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.

Supondo-se que, no Sudeste, 14900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? a) 5513 b) 6556 c) 7450 d) 8344 e) 9536 22. (ENEM/2010) Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).

Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de a) 24500. b) 25000. c) 220500. d) 223000. e) 227500.

23. (ENEM/2010)

O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados.

Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de aproximadamente a) 1 mm. b) 10 mm. c) 17 mm. d) 160 mm. e) 167 mm. 24. (ENEM/2010)

Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$132000,00 em 2008 e de R$145000,00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado a) insuficiente. b) regular. c) bom. d) ótimo. e) excelente. 25. (ENEM/2010) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores

proporcionaram cura de a) 16%. b) 24%. c) 32%. d) 48%. e) 64%.


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26. (ENEM/2010)

Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%. Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção

de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente, a) 22,5%. b) 50,0%. c) 52,3%. d) 65,5%. e) 77,5%.

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

E D C B C 60 07 15 50 210

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

15 500 38 # 49 72 * 25 25 20

21 22 23 24 25 26

D A D C B C

# 3.800 * 20.000

CRUSH 10 EQUAÇÃO DO 1º E 2º GRAU

DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO É uma sentença aberta, expressa por uma

igualdade entre duas expressões algébricas. EXEMPLOS:

3x + 5 = 11 4xx

3x2

4x – 1 = 0 x

1x21

1x

x

Cada uma das letras que aparece em uma equação é chamada de variável ou incógnita.

DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU É toda sentença na forma ax + b = 0

EXEMPLO: 5x + 6 = 0

6b

5a

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU Na resolução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações, mas sempre resultando em equações equivalentes à equação inicial. Estas transformações são baseadas em algumas regras.



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REGRA Nº 01 Eliminam-se os denominadores, se houverem. REGRA Nº 02 Efetuam-se as multiplicações indicadas. REGRA Nº 03 Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contiverem a incógnita, que estiverem no segundo membro. REGRA Nº 04 Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos independentes, que estiverem no segundo membro. REGRA Nº 05 Reduzem-se os termos semelhantes. REGRA Nº 06 Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da incógnita.

EXERCÍCIO DE CLASSE 01 Resolva a seguinte equação 8x – 5 = 3x + 10 EXERCÍCIO DE CLASSE 02

Resolva a seguinte equação 1x3

x2

2

x2


Resolva a seguinte equação 82

2x

3

1x

RAIZ DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU Chama-se de raiz da equação o valor que a incógnita x assume para que a equação tenha valor 0 (zero):

a

bxbax0bax

EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Ache o valor da raiz da equação 3x – 4 = 20

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU Chamamos de sistema de equações, ao conjunto formado por duas ou mais equações. Na resolução de um sistema de equações simultâneas do primeiro graus, empregamos os processos da Adição, Substituição e Comparação, os quais passaremos a estudá-los separadamente.

MÉTODO DA ADIÇÃO a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma

ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja eliminar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários;

b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita;

c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita;

d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor de outra incógnita e consequentemente, a solução do sistema.

EXERCÍCIO DE CLASSE 04 Resolva o seguinte sistema pelo método da adição

5yx

11y2x

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO a) Resolve-se uma das equações, em relação à

incógnita que se deseja eliminar; b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita

pelo seu valor obtido na primeira; c) Resolve-se a equação resultante dessa

substituição; encontrando-se dessa forma, o valor dessa incógnita;

d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita e conseqüentemente a solução do sistema.

EXERCÍCIO DE CLASSE 05 Resolva o seguinte sistema pelo método da

substituição

7yx2

1y2x

MÉTODO DA COMPARAÇÃO a) Resolvem-se as duas equações, em relação à

incógnita que se deseja eliminar; b) Comparam-se os dois valores desta incógnita

e resolve-se a equação resultante, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita;

c) Substitui-se o valor dessa incógnita, em qualquer uma das equações do sistema, obtendo-se o valor de outra incógnita e consequentemente a solução do sistema.

ATENÇÃO! Devemos sempre trocar o sinal quando passamos um termo de um membro para outro


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EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Resolva o seguinte sistema pelo método da

comparação

1yx

5yx


01. Se 8

1

yx

1

e

4

1

yx

1

, então o valor de

(x + y) + (x - y) é: a) 8 b) 14 c) 10 d) 12 e) 16

02. Ache o valor de x no sistema formado pelas equações 2x + 3y = 3 e 3x + 2y = 2:

a) 1 b) 0

c) 12⁄

d) 13⁄

e) 23⁄

03. Em dois mercados, as condições de equilíbrio de

manteiga e margarina, onde bP é o preço da manteiga

e mP é o preço da margarina, são dadas pelas

equações abaixo.

19P7P

7P3P8

mb

mb

Os preços da manteiga e da margarina que levarão o modelo ao equilíbrio são, respectivamente:

a) 2 e 3 b) 3 e 2 c) 3 e 4 d) 4 e 2 e) 4 e 3

04. Dadas as equações 2x

2x

e

55

8y2

4

2y

o valor de x + y é:

a) 2

b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

05. Seja (a, b) a solução do sistema de equações:

1y6x22y4x3

Então o valor de a + b é:

a) 126⁄

b) 226⁄

c) 326⁄

d) 426⁄

e) 526⁄

Gabarito 01 02 03 04 05

D B A D A

01. O valor de x que é a solução nos números reais ,

da equação 48

x

4

1

3

1

2

1 é igual a:

a) 36 b) 44 c) 52 d) 60 e) 68

02. Sejam a, b, x e y números reais tais que

9byax

11byax. Determine o valor de 2y2b2x2a .

03. Sejam a, b e c números reais tais que 1ba ,

7ca e 2cb . Determine o valor de

cba .

04. Dadas as equações 3

1x

2

1

3

)x1(3

3

)1x(2

,

6

5y

3

4y2

4

2y4

2

1y3

e

4

1z)z1(

2

z3

. O valor de )zyx(2 é:

a) 12 b) 9 c) 6 d) 3

e) 1 05. Sejam os números racionais x, y e z, tais que z é igual a 20% de y e y é igual a 40% de x. Se x + y + z = 74, então:

a) z = 4 b) y = 24 c) y = 28 d) x = 48 e) x = 52

06. Se os números reais x e y são tais que

1y5x2

2y3x, então é verdade que:

a) 11

9x

b) 11

6y

c) 11

7x

d) 11

4y

e) 11

5x

07. Se o sistema

9y5bx

5ayx2, nas variáveis x e y,

admite solução

2

1;10y;0x , então a soma a + b

é igual a:



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a) 2

9

b) 2

3

c) 2

5

d) 2

7

e) 2

11

08. Se o número 2

1 é solução da equação

)3x(2

1)2x(m)4x(

5

2)1x(3 , na

variável x, então o valor de m é:

a) 15

17

b) 30

101

c) 3

10

d) 10

33

e) 15

49

09. Se o par ordenado (a; b) é a solução do sistema

10y3x

10y2x, então

b

1

a

1 é igual a:

a) 2

1

b) 2

1

c) 4

1

d) 8

1

e) 4

1

10. Se y é o número real

x1

11

1

1x1

1

1

, então

y é igual a:

a) x

2

b) 0 c) 2 d) – 2

e) x

2

11. As raízes da equação 4x

2x

4x

2x

são:

a) inteiras b) irracionais não inteiras c) irracionais d) positivas e) inexistentes

12. O número que deve ser colocado na posição

para tornar válida a igualdade 0

1

11

12

é:

a) 0

b) 3

1

c) 2

1

d) 1

13. Se 0z;0y;0x é a solução do sistema

2zy

3zx

1yx

, então o produto 0z0y0x é igual a:

a) – 6 b) – 4 c) 0 d) 4 e) 6

14. O preço de custo c e o preço de venda v de certo

artigo estão relacionados pelas equações

c3,1v

15cv.

Esses preços são dados em reais e, nessas condições, o preço de venda é:

a) R$ 15,00

b) R$ 50,00 c) R$ 65,00 d) R$ 70,00 e) R$ 75,00

15. Sendo o par (a, b) uma solução da equação x + 2y = 7 e o par (a + 2, b – 3) uma solução de x + 2y = c, o valor de c é:

a) 2 b) – 1 c) – 2 d) 3 e) 4

16. A equação 02x

3x5

2x

3x5

tem uma raiz que é

um número: a) maior que 2 b) menor que – 2 c) par d) primo

e) divisor de 10 17. Na figura o número 8 foi obtido somando-se os dois números diretamente abaixo de sua casinha. Os outros números nas três linhas superiores são obtidos da mesma forma. Qual o valor de x?

42

08

03 05 x 06

a) 7 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6

18. (ENEM/2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na


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passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre

a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m.

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

C 99 05 B A C C B E D

11 12 13 14 15 16 17 18

E D A C D C E D

INTRODUÇÃO EQUAÇÃO 2º GRAU

Uma equação do 2º grau é expressa por ax2 + bx + c = 0 onde a ≠ 0. Para saber se uma equação quadrática tem raízes reais, o discriminante (delta) deve ser maior que zero, ou seja positivo. Da expressão por ax2 + bx + c = 0 o delta tem por fórmula: Δ = b2 – 4ac EXERCÍCIO DE CLASSE 01

Dada a equação 2x2 - 3x + 1 = 0, podemos afirmar

que o discriminante dessa equação será: a) par e positivo b) impar e positivo c) par e negativo d) impar e negativo e) primo e positivo

RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO QUADRÁTICA Para encontrar suas raízes devemos segue 3 passos: 1º passo: encontrar a, b e c. 2º passo: encontrar o discriminante, mais conhecido delta Δ. (Δ = b2 – 4ac) 3º passo: aplicar a fórmula de Bhaskara. OBS: Dizemos que uma equação do segundo é incompleta quando b = 0 ou c = 0. Exemplos. x2 – 9 = 0 (nesse caso b = 0) e x2 – 7x = 0 (nesse caso c = 0) A equação do 2º grau SEMPRE vai apresentar duas raízes e atente pois se: Δ > 0, as duas raízes são diferentes. Δ = 0, as duas raízes são iguais.

Δ < 0, as duas raízes não existem nos números reais EXERCÍCIO DE CLASSE 02

Se as raízes da equação x2 – x + m = 0 são reais e

idênticas, o valor de m é tal que:

a) m = 0,50 b) m = 0,25 c) m = 0,00 d) m = -0,25 e) m = -0,50

APLICAÇÃO DA FÓRMULA DE BHÁSKARA Vamos determinar pelo método resolutivo de Bháskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x2 – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x2 – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3. Na fórmula de Bháskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

acbondea

bx 4

2

2

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta. ∆ = b² – 4ac → ∆ = (–2)² – 4(1)(–3) → ∆ = 4 + 12 →

∆ = 16 2º passo:

12

42

32

42

2

42

)1(2

16)2(

2a

bx

Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

EXERCÍCIO DE CLASSE 03 Ao calcular as raízes da equação x(x – 4) = 5 encontramos: a) O discriminante nulo. b) Duas raízes negativas.

c) Uma raíz que representa um número primo. d) Duas raízes pares. e) A equação não é quadrática.

RELAÇÃO DE RAÍZES E COEFICIENTES As duas raízes de uma equação podem tem uma relação com os coeficientes a, b e c e podemos encontrar a soma e o produto dessas raízes mesmo que o Δ seja negativo. Sendo a equação ax2 + bx + c = 0 podemos afirmar que suas duas raízes (x1 e x2) terão:

Soma = - b/a Produto = c/a Vamos treinar na tabela abaixo, completando-a. EXERCÍCIO DE CLASSE 04

EQUAÇÃO a b c Soma =

-b/a

Produto

= c/a

x2 – 7x + 8 = 0

2x2 – 5x + 9 = 0

3x2 – 4x + 5 = 0

x2 + 10x + 9 = 0


Seja a equação 3x2 – 5x + 7 = 0 com x1 e x2 suas

raízes, o valor de 1/x1 + 1/x2 é:

a) 3/7



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b) 5/3 c) 7/5 d) 3/5 e) 5/7

VERIFICANDO A RAÍZ DE UMA EQUAÇÃO Um valor qualquer só pode ser raiz de uma equação se quando este mesmo valor substituído na equação do 2º grau torná-la nula, ou seja, zerar a equação. Acompanhe o exemplo. Será que 2 e 5 são raízes da equação x2 – 8x + 15 = 0 Vamos testar o 2. Para isso fazer x = 2. (2)2 – 8(2) + 15 = 0 → 4 – 10 + 15 = 0 → 9 = 0

(falso) Vamos testar o 5. Para isso x = 5. (5)2 – 8(5) + 15 → 25 – 40 + 15 = 0 → 15 = 15

(verdade) Conclusão, apenas o 5 é raiz da equação acima. EXERCÍCIO DE CLASSE 06 Sabendo que -2 é raiz da equação 3x2 – mx - n = 0, qual valor de 2m - n? a) -6 b) -8 c) -12 d) -14 e) -16


01. Sendo a, b e c os coeficientes da função quadrática f(x) = x(x – 4) + 2 - [(3 + x)(2x – 1)], determine o valor de a.b.c. a) 45 b) 35 c) 75 d) 15 e) 105 02. Se p e q são raízes da equação x2 – 5x + 6 = 0 então é verdade que: a) p e q são pares. b) p e q são impares. c) p e q são consecutivos. d) p e q são negativos. e) p = q. 03. Um terreno tem dimensões x + 7 por x + 9 e área de 99 m2, qual o perímetro desse terreno em metros? a) 20 b) 40 c) 60 d) 30

e) 50 04. Qual valor do discriminante da equação abaixo? a) 100 b) 113 c) 102 d) 94 e) 87

0743 2 xx

05. A equação 2x2 – px + 3 = 0 possui duas raízes idênticas. Deste modo podemos afirmar a expressão abaixo vale quanto? a) 7 b) 6 c) 3 d) 5 e) 2

21 p

06. Considere u e v as raízes da equação x2-10x + 24 = 0. Sabendo que u > v, encontre o valor da expressão abaixo. a) 1/3 b) 3/4 c) 4/3 d) 2 e) 3

v

u

vu

07. Admita que as raízes da equação x2 – 3(x + 2) + 2 = 0 são p e q, qual valor de: a) -4/3

b) -2/3 c) -1 d) -3/2 e) -3/4

qp

11

08. Encontre a soma e o produto das raízes da equação abaixo: a) -2,5 e 2,8 b) -2,1 e 2,3 c) -2,3 e 2,6 d) -2,2 e 2,4 e) -2,4 e 2,5

012115 2 xx

09. O quadrado de um número somado com seu dobro vale 35. Sabendo que existem dois números com essa característica, podemos afirmar que a diferença entre o maior e o menor vale: a) 12 b) 15 c) 13 d) 7 e) 10 10. Sabemos que -5 é uma das raízes da equação abaixo. Qual valor de m então? a) -12 b) -11 c) -10 d) -9 e) -8

033 2 mmxx

Gabarito 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

A C B A D C E D A A

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