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Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-

sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br

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Aritmética

IntroduçãoA Aritmética é um dos mais antigos ramos da Matemática e trata dos nú-

meros e das operações entre esses números. Apenas para termos uma ideia, quando efetuamos uma compra no supermercado, por exemplo, e adiciona-mos os preços dos produtos adquiridos para obter o custo total da compra, estamos utilizando a Aritmética em sua forma mais elementar.

Apesar de os primeiros registros escritos indicarem que os egípcios e ba-bilônios já utilizavam operações aritméticas elementares há mais de 2 000 anos, sua presença atual não se restringe às operações mais simples. A Ma-temática presente na Aritmética é utilizada também nos Sistemas de Infor-mação, nos quais a privacidade no uso de senhas e dados sigilosos de países e grandes corporações é revestida por algoritmos cada vez mais complexos. Existe, nesses casos, uma benéfica corrida entre os que tentam ultrapassar as barreiras dos sigilos bancários, por exemplo, e as instituições, que cada vez mais aprimoram os sistemas de segurança.

O universo da Aritmética é basicamente relacionado aos números naturais. Vamos iniciar nossa aula explicando conceitos sobre múltiplos e divisores.

Múltiplos e divisoresObserve este conceito:

O múltiplo de um número natural n é o produto de n por outro número natural.

O conjunto dos números naturais, representado por IN, é dado por:

IN = {0; 1; 2; 3; 4; ...}

Logo, o conjunto dos números naturais múltiplos de 5, por exemplo, re-presentado por M(5), é dado por:


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Aritmética

5 . 0 = 0

5 . 1 = 5

5 . 2 = 10

5 . 3 = 15

5 . 4 = 20

...

E assim sucessivamente.

M(5) = {0; 5; 10; 15; 20; ...}

Critérios de divisibilidade

É possível estabelecer algumas regras que permitam verificar se um número natural qualquer é divisível por outro. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Exemplo:

O número 87 é divisível por 3?

Podemos responder a essa pergunta de diferentes maneiras. Uma delas é verificar se 87 pertence ao conjunto dos múltiplos de 3. Outra é dividir 87 por 3 e verificar se o resto da divisão é igual a zero. A terceira maneira é utilizar os critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for igual a 0, 2, 4, 6 ou 8. Os números que são divisíveis por 2 são denominados pares e aqueles que não são divisíveis por 2 são denominados ímpares.

Exemplo:

O número 754 é par, logo, é divisível por 2. O número 863 é ímpar, ou seja, não é divisível por 2.


Aritmética

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Divisibilidade por 3 (ou por 9)

Um número natural é divisível por 3 (ou por 9) quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3 (ou por 9).

Exemplo:

O número 756 é divisível por 3, pois a soma dos algarismos de 756 resulta em um número divisível por 3, observe:

7 + 5 + 6 = 18

Como 18 é divisível por 3, 756 também é divisível por 3. O mesmo vale para a divisibilidade por 9.


Um número natural é divisível por 4 se o número formado pelos dois últi-mos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:

O número 75 916 é divisível por 4, pois a dezena final, 16, é divisível por 4.


Um número natural é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5.

Exemplo:

O número 930 é divisível por 5, pois termina com 0.

O número 345 é divisível por 5, pois termina com 5.


Um número natural é divisível por 6 se for divisível simultaneamente por 2 e por 3.

Exemplo:

O número 54 é divisível por 2, pois é par. Além disso, a soma dos algaris-mos de 54 resulta em um número divisível por 3, ou seja, 54 também é divi-sível por 3. Logo, por ser divisível por 2 e por 3, conclui-se que 54 também é divisível por 6.


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Aritmética


Um número natural é divisível por 10 se o algarismo das unidades for zero.

Exemplo:

O número 540 é divisível por 10, pois termina em 0.

Números primosQualquer número natural não nulo é divisível pelo número 1 (unidade) e

por si próprio. Quando um número natural admitir exatamente dois divisores distintos (ele próprio e a unidade), será então denominado número primo.

A seguir, a tabela dos números naturais primos menores que 100:

2 3 5 7 11

13 17 19 23 29

31 37 41 43 47

53 59 61 67 71

73 79 83 89 97

Os números naturais que não são primos, com exceção do 0 e do 1, são denominados números compostos.

Decomposição em fatores primos

Um número composto pode ser escrito como produto de dois ou mais números primos. A decomposição de um número natural em fatores primos pode ser realizada por meio de sucessivas divisões por números primos.

Exemplo: 90

90 2

45 3

15 3

5 5

1

Portanto, 90 = 2 . 32 . 5Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,

mais informações www.iesde.com.br

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Divisores de um número

Por meio da decomposição de um número natural em fatores primos, é possível determinar todos os seus divisores.

Exemplo: 90

90 2

45 3

15 3

5 5

1

Escreve-se o número natural 1 e, em seguida, multiplica-se cada fator primo por todos os números que estão à direita e acima desse fator primo. Os produtos constituem-se nos divisores de 90.

1

90 2 2

45 3 3; 6

15 3 9; 18

5 5 5; 10; 15; 30; 45; 60

1

Logo, o conjunto dos divisores naturais de 90 é dado por:

d(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

Números primos entre si

Dois números são primos entre si se o único divisor natural comum for a unidade.

Exemplo:

Os números 8 e 9 são primos entre si, pois:

d(8) = {1, 2, 4, 8}

d(9) = {1, 3, 9}

d(8) ∩ d(9) = {1}


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Aritmética

MDC e MMC

Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum entre dois números naturais pode ser obtido a partir dos divisores comuns aos dois números.

Exemplo:

Obter o máximo divisor comum entre os números 36 e 24.

A partir da decomposição desses números em fatores primos, podemos obter os divisores naturais de cada um deles.

d(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

d(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

O máximo divisor comum entre 24 e 36 é o maior número natural que é divisor de 24 e de 36:

MDC{24, 26} = máximo {d(24) ∩ d(36)}

MDC{24, 26} = máximo {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} ∩ {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

MDC{24, 26} = máximo {1, 2, 3, 4, 6, 12}

MDC{24, 26} = 12

Portanto, o máximo divisor comum entre os números 24 e 36 é igual a 12.

Observação:

É possível obter-se o máximo divisor comum entre dois números pela decomposição em fatores primos. No caso dos números 24 e 36, o MDC é obtido multiplicando-se os fatores primos comuns de menores expoentes:

36 = 22 . 32

24 = 23 . 3

MDC{24, 26} = 22 . 3 = 12


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Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais consiste em determinar, a partir da interseção entre os conjuntos dos múlti-plos, o menor elemento.

Exemplo: 12 e 18

M(12) = {12; 24; 36; 48; 60; ...}

M(18) = {18; 36; 54; 72; 90; ...}

MMC{12; 18} = mínimo {M(12) ∩ M(18)}

MMC{12; 18} = mínimo {12; 24; 36; 48; 60; ...} ∩ {18; 36; 54; 72; 90; ...}

MMC{12; 18} = mínimo {36; 72; 108; ...}

MMC{12; 18} = 36

Observação:

É possível obter-se o mínimo múltiplo comum entre dois números pela decomposição em fatores primos. No caso dos números 12 e 18, o MMC é obtido multiplicando-se os fatores primos de maiores expoentes:

12 = 22 . 3

18 = 2 . 3²

MMC{12, 18} = 22 . 32 = 36

Dica de estudoNo estudo da Aritmética é necessário compreender os conceitos de divi-

sor, múltiplo, números primos, MDC e MMC, além do domínio dos critérios de divisibilidade. Uma vez absorvidos esses conhecimentos, pratique resol-vendo muitos exercícios. Os testes selecionados neste capítulo são uma boa escolha para começar. Além desses, procure outras fontes e diversifique.


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Aritmética

Resolução de questões1. (FCC) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos:

192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes instruções:

todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, �de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos;

cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. �

Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é:

a) 8

b) 12

c) 24

d) 36

e) 48

2. (Cesgranrio) O MMC entre os números inteiros 2m . 15 e 4 . 3n é 360, então:

a) m = n

b) m . n é múltiplo de 4.

c) m + n é ímpar.

d) m . n é múltiplo de 15.

e) m = 2n

3. (FCC) Seja o número inteiro 5X7Y, em que X e Y representam os algaris-mos das centenas e das unidades, respectivamente. O total de pares de valores (X,Y) que tornam tal número divisível por 18 é:

a) 8

b) 7

c) 6

d) 5

e) 4


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4. (FCC) Seja N o menor número inteiro positivo que multiplicado por 33 dá um produto cujos algarismos são todos iguais a 7. É correto afirmar que

a) N é par.

b) o algarismo das unidades de N é 7.

c) o algarismo das dezenas de N é menor que 4.

d) o algarismo das centenas de N é maior que 5.

e) a soma dos algarismos de N é igual a 25.

5. (Esaf ) Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos cas-tanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, conside-radas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em núme-ro de anos completados, é igual

a) à idade de Júlia mais 7 anos.

b) ao triplo da idade de Júlia.

c) à idade de Júlia mais 5 anos.

d) ao dobro da idade de Júlia.

e) à idade de Júlia mais 11 anos.

6. (Esaf ) Sabe-se que todo número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p1, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se en-tão que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a

a) 25

b) 87

c) 112

d) 121

e) 169


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7. (FCC) No vestiário de um hospital há exatamente 30 armários que são usa-dos por exatamente 30 enfermeiros. Curiosamente, certo dia em que todos os armários estavam fechados, tais enfermeiros entraram no vestiário um após o outro, adotando o seguinte procedimento:

o primeiro a entrar abriu todos os armários; �

o segundo fechou todos os armários de números pares (2, 4, 6, ..., 30) e �manteve a situação dos demais;

o terceiro inverteu a situação a cada três armários (3.º, 6.º, 9.º, ..., 30.º), ou �seja, abriu os que estavam fechados e fechou os que estavam abertos, mantendo a situação dos demais;

o quarto inverteu a situação a cada quatro armários (4.º, 8.º, 12.º, ..., 28.º) �mantendo a situação dos demais;

e, da mesma forma, ocorreu sucessivamente o procedimento dos de- �mais enfermeiros.

Com certeza, após a passagem de todos os enfermeiros pelo vestiário, os armários de números 9, 16 e 28 ficaram, respectivamente,

a) aberto, aberto e fechado.

b) aberto, fechado e aberto.

c) fechado, aberto e aberto.

d) aberto, aberto e aberto.

e) fechado, fechado e fechado.

8. (Cesgranrio) Em um site de compras coletivas foi anunciada uma oferta para um jantar em um restaurante de luxo. As regras para utilização dos cupons eram as seguintes:

limite de uso de um cupom por pessoa, gasto em uma única visita; �

não é válido para entrega ou viagem; �

validade: de segunda a sexta-feira, dentro de uma determinada semana. �

Sabendo-se que foram vendidos N cupons e que, na semana destinada à utilização da oferta, metade dos compradores compareceu ao restaurante


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na segunda-feira; um terço do restante foi na terça-feira; na quarta-feira, a quarta parte do que faltava; na quinta-feira, a quinta parte do restante; e que, na sexta-feira, último dia da oferta, restavam menos de 20 clientes para utilizar o cupom. Se todos os compradores utilizaram o cupom, o nú-mero de compradores que foram atendidos na sexta-feira foi:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

9. (FCC) Todo ano bissexto é um número múltiplo de 4. Com base nessa afir-mação, é correto afirmar que, se 23/01/2012 ocorreu em uma segunda- -feira, então, no ano de 2019, o 23 de janeiro ocorrerá em

a) um domingo.

b) um sábado.

c) uma sexta-feira.

d) uma quinta-feira.

e) uma quarta-feira.

10. (Fepese) Em uma empresa de segurança há duas turmas: uma com 42 vigias e a outra com 30. Para fazer a segurança de um evento, todos esses vigias serão organizados em grupos com o mesmo número de elemen-tos, sem misturar vigias de turmas diferentes. Qual é o número máximo de vigias que pode haver em cada grupo?

a) 3

b) 5

c) 6

d) 7

e) 12


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11. (FGV) Uma escola possui 2 600 alunos que nasceram em anos de 365 dias. O número mínimo desses alunos da escola que faz aniversário no mesmo dia (e mês) e que nasceu no mesmo dia da semana é:

a) 36

b) 38

c) 42

d) 46

e) 54

ReferênciasBOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.

LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. v. 1, 2 e 3.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

Gabarito1. Se todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas,

de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos e, além disso, se cada caixa deve conter apenas documentos de um único tipo, então a quantidade de documentos em cada caixa deve ser um di-visor comum de 168 e 192. Essa condição é obrigatória, pois se o número de documentos em cada caixa não for um divisor comum de 168 e 192, certamente haverá pastas com diferentes quantidades de documentos, o que não é possível acontecer.

Se as instruções indicam ainda que a quantidade de documentos seja a maior possível, então a quantidade de documentos em cada pasta, além


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de ser um divisor comum de 168 e 192, também deve ser o maior de todos. O maior divisor comum de dois números dados chama-se Máximo Divisor Comum (MDC). Assim, a quantidade de documentos em cada pas-ta deve ser o MDC de 168 e 192.

Vamos encontrá-lo.

168 – 192 2

84 – 96 2

42 – 48 2

21 – 24 3

7 – 8

Os números 7 e 8 são primos entre si, pois o único divisor natural comum é a unidade.

Assim, não há mais necessidade de decompor em fatores primos.

Pela decomposição simultânea, o MDC é dado por:

MDC {168; 192} = 2 . 2 . 2 . 3

MDC {168; 192} = 24

Resposta: C

2. Decompondo o número 360 em fatores primos, temos:

360 = 23 . 32 . 5

Os números dados podem ser assim escritos como produto de números primos:

2m . 15 = 2m . 3 . 5

4 . 3n = 22 . 3n

Quando os números são decompostos separadamente, o produto dos fa-tores primos de maior expoente resulta no MMC. Assim, m = 3 e n = 2.

Logo, m + n = 3 + 2 = 5 e 5 é ímpar.

Resposta: C


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3. Para que um número seja divisível por 18, deve ser divisível separada-mente por 2 e por 9.

Para ser divisível por 2, deve ser par, ou seja, o algarismo das unidades deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8.

Vamos, então, analisar cinco casos, cada um levando em consideração um valor de Y possível.

Y = 0 � → 5X70 → é par

Para que um número seja divisível por 9, a soma dos algarismos deve ser divisível por 9, ou seja:

5X70 = 5 + X + 7 + 0 = 12 + X

Se 12 + X deve ser divisível por 9, então X deve ser igual a 6, pois 12 + 6 = 18 e 18 é divisível por 9.

Logo, o par (X, Y) = (6, 0) é solução.

Esse raciocínio serve para os demais casos possíveis para Y. Vejamos o próximo.

Y = 2 � → 5X72 → é par

O número 5X72 deve ser divisível por 9, então a soma dos algarismos deve ser divisível por 9.

5X72 = 5 + X + 7 + 2 = 14 + X

Nesse caso, temos X = 4, pois 14 + 4 = 18 e 18 é divisível por 9.

Portanto, o par (4, 2) é solução.

Y = 4 � → 5X74 → é par

O número 5X74 deve ser divisível por 9, então a soma dos algarismos deve ser divisível por 9.

5X74 = 5 + X + 7 + 4 = 16 + X

Assim, X = 2, porque 16 + 2 = 18 e 18 é divisível por 9. O par (2, 4) é solução.


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Y = 6 � → 5X76 → é par

A soma dos algarismos é dada por:

5X76 = 5 + X + 7 + 6 = 18 + X

Nesse caso, existem dois valores possíveis para X.

Se X = 0, então 18 + 0 = 18 e 18 é divisível por 9.

Se X = 9, então 18 + 9 = 27 e 27 é divisível por 9.

Os pares podem ser então (0, 6) e (9, 6).

Y = 8 � → 5X78 → é par

A soma dos algarismos é igual a:

5X78 = 5 + X + 7 + 8 = 20 + X

Para que 20 + X seja divisível por 9, deve-se ter X = 7, pois 20 + 7 = 27 e 27 é divisível por 9.

O par é (7, 8).

Logo, os pares podem ser: (6, 0); (4, 2); (2, 4); (0, 6); (9, 6) e (7, 8).

Resposta: C

4. Se N é o menor número inteiro positivo que, multiplicado por 33, dá um produto cujos algarismos são todos iguais a 7, então o menor N deve sa-tisfazer a seguinte equação:

N . 33 = 77 ... 7

Se N deve ser o menor inteiro positivo possível a satisfazer essa equação, então o número formado exclusivamente por algarismos iguais a 7 tam-bém deve ser o menor possível. Além disso, como o produto de N por 33 deve ser igual ao número formado exclusivamente por algarismos iguais a 7, então esse número deve ser divisível por 33. E, como 33 é o produto dos números primos 3 e 11, então o número formado apenas pelo alga-rismo 7 deve ser divisível separadamente por 3 e por 11.

Vamos testar a divisibilidade iniciando com os números que possuem as menores quantidades de algarismos iguais a 7:


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7 � → não é divisível por 3, nem por 11;

77 � → é divisível por 11, mas não é divisível por 3;

777 � → é divisível por 3, mas não é divisível por 11;

7 777 � → é divisível por 11, mas não é divisível por 3;

77 777 � → não é divisível por 3, nem por 11;

777 777 � → é divisível por 3 e por 11.

Assim, N . 33 = 777 777 e, portanto, N = 777 777

33 = 23 569.

A soma dos algarismos de N é dada por:

2 + 3 + 5 + 6 + 9 = 25

Resposta: E

5. Vamos considerar que A e J representam as idades atuais de Ana e Júlia, respectivamente.

Se o produto das idades de Ana e Júlia é representado por número primo, então:

A . J = P

Em que P é um número primo.

Entretanto, o produto de números naturais resulta em um primo somente quando um dos números é primo e o outro é o número 1. Logo, neces-sariamente, entre as idades de Ana e Júlia, uma delas é representada por um número primo e a outra é o número 1.

Como Ana é a mais velha, então Júlia tem 1 ano de idade.

Se a soma das idades de Ana e Júlia é representada por um número pri-mo, então:

A + J = P

A + 1 = P

Em que P é um número primo.


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Se P é primo, então não pode ser igual a 2, pois, nesse caso, as idades de Ana e Júlia seriam ambas iguais a 1:

1 + 1 = 2

Assim, observamos que P é um primo ímpar, já que o único número par, natural e primo é o número 2.

Se P é ímpar, então A deve ser par.

Se A é também um número primo, então necessariamente A = 2.

Portanto, Ana tem 2 anos e Júlia tem 1 ano de idade e, assim, a idade de Ana é igual ao dobro da de Júlia.

Resposta: D

6. Um número da forma p2, em que p é um número natural primo, possui exatamente três divisores naturais: 1, p1 e p2. Assim, com exceção do nú-mero 1, o número que possui exatamente três divisores naturais deve ser quadrado de um primo. E, se esse número é positivo e menor do que 100, então as opções são 4, 9, 25 e 49.

A soma desses números é dada por:

4 + 9 + 25 + 49 = 87

Resposta: B

7. Aparentemente o problema apresenta grande complexidade, mas com um pouco de análise podemos responder sem tanta dificuldade.

Vamos começar pensando no seguinte: enfermeiros de quais números abrem ou fecham a porta de número 9?

Os enfermeiros de números 1, 3 e 9 são os únicos que mudam a situação do armário 9, pois estes são os únicos números naturais que possuem 9 como um de seus múltiplos. Outra forma de analisar é observar que 1, 3 e 9 são os únicos divisores naturais de 9.

De uma forma geral, podemos concluir que o armário de número X será aberto ou fechado pelos enfermeiros cujos números são divisores de X.


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Assim, a situação do armário de número 9 será mudada apenas pelos en-fermeiros de números 1, 3 e 9. Como os armários estavam inicialmente fechados, então:

Enfermeiro 1 → abriu o armário 9

Enfermeiro 3 → fechou o armário 9


Logo, após a passagem dos 30 enfermeiros, o armário 9 estará aberto.

O raciocínio vale também para o armário de número 16, que será aberto ou fechado somente pelos enfermeiros de números 1, 2, 4, 8 e 16, uma vez que estes são os únicos divisores naturais de 16. Portanto:






O armário 16 ficará aberto.

O armário de número 28 será aberto ou fechado apenas pelos enfermei-ros de números 1, 2, 4, 7, 14 e 28, pois estes são os únicos divisores natu-rais de 28. Logo:







Dessa forma, o armário 28 ficará fechado.

Portanto, após a passagem dos 30 enfermeiros, os armários de números 9, 16 e 28 ficarão, respectivamente, aberto, aberto e fechado.

Resposta: A


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8. Vamos equacionar o problema.

Se metade dos compradores compareceu ao restaurante na segunda-fei-ra, então N/2 foram os que compareceram. Logo, a metade restante, N/2, não compareceu na segunda-feira.

Se um terço do restante foi na terça-feira, então (1/3) . (N/2) = N/6

De segunda a terça, a quantidade de compradores que compareceu é dada por:

N/2 + N/6 = 3N/6 + N/6 = 4N/6 = 2N/3

Logo, se dois terços de N compareceram até terça, então um terço de N compareceu após terça.

Se na quarta-feira compareceu a quarta parte dos que faltavam, então (1/4) . (N/3) = N/12 compareceu na quarta.

Observe que, até quarta, havia comparecido 2N/3 + N/12 = 8N/12 + + N/12 = 9N/12 = 3N/4.

Logo, após quarta, compareceu N/4.

Se na quinta-feira, a quinta parte do restante compareceu, então compa-receram na quinta:

(1/5) . (N/4) = N/20

Até quinta compareceram 3N/4 + N/20 = 15N/20 + N/20 = 16N/20 = 4N/5

Seja X a quantidade de pessoas que compareceu na sexta-feira. Então:

X + (4N/5) = N

X = N – (4N/5)

X = (5N/5) – (4N/5)

X = N/5

Observe que, se a quantidade de pessoas presentes deve ser necessaria-mente um número natural, os números N/2, N/6, N/12, N/20 e N/5 indicam que N deve ser simultaneamente múltiplo comum de 2, 5, 6, 12 e de 20.

Logo, vamos encontrar o conjunto dos múltiplos comuns de 2, 5, 6, 12 e de 20 a partir do menor deles. Esse número é o mínimo múltiplo comum.


22

Aritmética

2 – 5 – 6 – 12 – 20 2

1 – 5 – 3 – 6 – 10 2

1 – 5 – 3 – 3 – 5 3

1 – 5 – 1 – 1 – 5 5

1 – 1 – 1 – 1 – 1

A decomposição simultânea dos números 2, 5, 6, 12 e 20 indicou que o MMC desses números é igual a:

2 . 2 . 3 . 5 = 60

Assim, os múltiplos comuns de 2, 5, 6, 12 e 20 são os múltiplos de 60, ou seja:

M(60) = {0; 60, 120, 180, ...}

Como a quantidade de pessoas presentes na sexta é igual a N/5 e deve ser menor que 20, o valor de N deve ser necessariamente 60, pois:

N/5 = 60/5 = 12 < 20

Assim, 12 compradores compareceram na sexta-feira.

Resposta: B

9. Os anos bissextos são os que apresentam 366 dias, em função da existên-cia do dia 29 de fevereiro. A afirmação “todo ano bissexto é um número múltiplo de 4” é verdadeira para o intervalo que vai de 2012 a 2019, mas não é verdadeira, por exemplo, de 2090 a 2110.

Se 23/01/2012 foi segunda-feira e 2012 é um número múltiplo de 4, en-tão 2012 é um ano bissexto. O mesmo ocorrerá com 2016. Os demais anos, 2013, 2014, 2015, 2017, 2018 não serão bissextos, portanto, cada um deles terá 365 dias. Logo, de 2012 a 2019, teremos dois anos bissex-tos e cinco anos não bissextos.

Logo, a quantidade de dias de 23/01/2012 a 23/01/2019 será:

2 . 366 + 5 . 365 = 2 557

A cada sete dias, o dia da semana se repete. Assim, vamos dividir a quan-tidade total de dias por 7:

2 557 7

– 2 555 365

2


Aritmética

23

A partir da divisão, pode-se escrever:

2 557 = 7 . 365 + 2

Assim, em 2 557 dias, teremos 365 semanas (sete dias) e ainda mais dois dias. As 365 semanas não alterarão o dia da semana, apenas os dois dias excedentes. Se 23/01/2012 foi uma segunda-feira, então 23/01/2019 será um dia da semana que se encontra dois dias após a segunda-feira, ou seja, será quarta-feira.

Resposta: E

10. Se todos os vigias serão organizados em grupos com o mesmo número de elementos, sem misturar vigias de turmas diferentes, então o número máximo de vigias é igual ao MDC entre os números 42 e 30. Efetuando a decomposição simultânea dos números 42 e 30, temos:

42 – 30 2

21 – 15 3

7 – 5

Logo, MDC {42; 30} = 2 . 3 = 6. Assim, 6 é o número máximo de vigias em cada turma.

Resposta: C

11. Observe inicialmente que 2 600 = 7 . 365 + 45. Ou seja, se a escola tivesse 2 555 alunos poderia ocorrer de não haver qualquer coincidência de nasci-mento no mesmo dia do ano, mês e da semana. Entretanto, existem 45 alu-nos a mais do que 2 555. Assim, se cada um desses 45 alunos fizer aniversário em um dia diferente do ano, mês ou da semana, na pior das hipóteses, ha-veria outro aluno com a mesma data do ano, mês e da semana. Nesse caso, duplicaríamos a quantidade de alunos com a mesma data do ano, mês e da semana, ou seja, seriam 45 . 2 = 90 os alunos com mesmas datas. Em vez dis-so, todos os 45 alunos restantes poderiam ter a mesma data de nascimento (ano, mês, dia da semana). Se isso ocorresse, haveria, na pior das hipóteses, mais um aluno com a mesma data de nascimento, o que aumentaria em apenas uma unidade a quantidade de alunos com as mesmas datas. Portan-to, pode-se garantir que, no mínimo, 46 (45 + 1) alunos fazem aniversário no mesmo dia (e mês), e que nasceram no mesmo dia da semana.

Resposta: D


emerson marcos furtado - gopem.com.br · absolutos de seus algarismos for divisível por 3 (ou por...

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