OPERAÇÕES BÁSICAS

Professor Dudan

Operações MatemáticasObserve que cada operação tem nomes especiais:Adição: 3 + 4 = 7, em que os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a soma ou total.

Subtração: 8 – 5 = 3, em que o número 8 é o minuendo, o número 5 é o subtraendo e o número 3 é a diferença.

Multiplicação: 6 × 5 = 30, em que os números 6 e 5 são os fatores e o número 30 é o produto.

Divisão: 10 ÷ 5 = 2, em que 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente, neste caso o resto da divisão é ZERO.

Adição e SubtraçãoRegra dos sinais✓A soma de dois números positivos é um número positivo.(+ 3) + (+ 4) = + 7, na prática eliminamos os parênteses. + 3 + 4 = + 7

✓A soma de dois números negativos é um número negativo.(– 3) + (– 4) = – 7, na prática eliminamos os parênteses. – 3 – 4 = – 7

✓Se adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos e damos o sinal do número que tiver o maior valor absoluto.(– 4) + (+ 5) = + 1, na prática eliminamos os parênteses. – 4 + 5 = 1 assim, 6 – 8 = – 2.

Adição e Subtração✓ Se subtrairmos dois números inteiros, adicionamos ao 1º o oposto do 2º número.(+ 5) – (+ 2) = (+ 5) + (– 2) = + 3, na prática eliminamos os parênteses escrevendo o oposto do segundo número, então: + 5 – 2 = + 3

(o oposto de + 2 é – 2)✓Outros exemplos:

(– 9) – (- 3) = – 9 + 3 = – 6(– 8) – (+ 5) = – 8 – 5 = – 13

Adição e SubtraçãoLembrando que quando antes dos parênteses vier um sinal de + , ele derruba os parênteses e mantem o sinal de quem está dentro. Caso venha um sinal de - , ele derruba os parênteses e troca o sinal de quem está dentro.

DICA: Na adição e subtração, um número de sinal positivo representa “o que eu tenho de dinheiro” e um número de sinal negativo, “o que eu devo à alguém”, assim, basta imaginar que você está acertando as contas.

1. Calcule:a) – 5 + 3 = b) + 73 – 41 =

c) – 24 – 13 = d) – 5 + (– 12) =

e) + 51 – 4 = f) + 17 + (–14) =

g) – 9 – (– 25) = h) + 72 – (–12) =

i) + 19 – 25 = j) – 80 + 41 + 57 =

k) – 2 – 22 – 21 = l) – 6 – (+ 31) + 50 =

Múltiplos e Divisores• Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si

da seguinte forma:

Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3.

Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2.

Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5.

• Múltiplos de um número natural

Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)

2 x 0 = 02 x 1 = 22 x 2 = 42 x 3 = 62 x 4 = 82 x 5 = 102 x 6 = 122 x 7 = 142 x 8 = 162 x 9 = 182 x 10 = 20 ... E assim sucessivamente.

▪ Divisores de um número natural

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto,

12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48.

Observações importantes:

▪ O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.

▪ O maior divisor de um número é o próprio número.

▪ O zero não é divisor de nenhum número.

▪ Os divisores de um número formam um conjunto finito.

Principais Critérios de Divisibilidade

Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que consiste em representar o número em partes menores e iguais. Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. Lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero.

✓Divisibilidade por 1

Todo número é divisível por 1.

✓Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Regras de divisibilidade

✓Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

✓Divisibilidade por 4

Todo número é divisível por 4 quando for dividido por 2 e resultar em quociente par, o que permitirá outra divisão por 2.Exemplo: 156 é divisível por 4 pois se dividido por 2, resulta em 78 que pode novamente ser dividido por 2.

✓Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

✓Divisibilidade por 6Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.Exemplos: 54 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 também. 90 é divisível por 6, pelo mesmos motivos.. 87 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.

✓Divisibilidade por 9

Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplos: 81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 91107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 94788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27

✓Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero)6342 não é divisível por 10 pois não termina em 0 (zero).

• Teste a divisibilidade dos números abaixo por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.a) 1278 b)1450 c)1202154

Multiplicação e DivisãoRegra dos sinais

✓Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o resultado é um número positivo.Exemplos: a) (+ 3) × (+ 8) = + 24 b) (+12) ÷ (+ 2) = + 6

✓Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o resultado é um número positivo.Exemplos: a) (– 6) × (– 5) = + 30 b) (– 9) ÷ (– 3) = + 3

✓Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinaisdiferentes, o resultado é um número negativo.Exemplos: a) (– 4) × (+ 3) = – 12 b) (+ 16) ÷ (– 8) = – 2

3. Calcule os produtos e os quocientes:a) (– 5) × (– 4) = b) 24 ÷ (– 2) =

c) – 5 × 8 = d) (– 14) ÷ (–14) =

e) 32 ÷ (– 16) = f) – 14 × (– 4) =

g) (+ 17) × (+ 2) = h) (– 64) ÷ (– 8) =

4. Efetue os cálculos a seguir:

Regras da DIVISÃO✓ Depois de iniciada a divisão, sempre deve cair um algarismo original (que pretence ao Dividendo) por vez e quando ele cair devemos efetuar a divisão. Caso não seja possível dividir colocaremos “0” no quociente e somente assim cairá o próximo algarismo original.

✓Após a colocação da vírgula no quociente , mediante empréstimo do “0” para seguir dividindo, a cada nova rodada de divisão teremosdireito a um “0” gratuito. Caso ele não seja suficiente, na mesma rodada , um outro “0” sera solicitado devendopara isso colocar “0” no quociente.

PotênciasNo exemplo 7² = 49 temos que: 7 é a base, 2 é o expoente e 49 é a potência.A potência é uma multiplicação de fatores iguais: 7² = 7 x 7 = 49

Todo número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo: Ex.: a) (– 4)¹ = -4 b) (+ 5)¹ = 5

Todo número inteiro elevado a zero é igual a 1. Ex.: a) (– 8)⁰ = 1 b) (+ 2) ⁰ = 1

Regra dos sinais✓ Expoente par com parênteses: a potência é sempre positiva.a) (– 2)² = +4, porque (– 2) × (– 2)= + 4b) (+ 2)² = 4, porque (+ 2) × (+ 2) = + 4

✓ Expoente ímpar com parênteses: a potência terá o mesmo sinal da base.a) (– 2)³ = – 8, porque (– 2) × (– 2) × (– 2) = – 8b) (+ 2)⁵ = + 32, porque (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) = + 32

✓ Quando não tiver parênteses, conservamos o sinal da base independente do expoente.a) – 2² = – 4 b) – 2³ = – 8c) + 3² = 9 d) + 5³ = + 125

Potências

5. Calcule as potências:

Propriedades da Potenciação

✓Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes. a) a³ x a⁴ x a² = a³⁺⁴⁺² = a⁹b) (– 5)² x (– 5)¹ = (– 5)²⁺¹ = (– 5)³ = – 125c) 3⁻² x 3¹ x 3⁵ = 3⁻²⁺¹⁺⁵ = 3⁴ = 81

✓Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. a) b ⁵ ÷ b² = b ⁵⁻² = b³b) (– 2)⁶ ÷ (– 2)⁴ = (– 2)⁶⁻⁴ = (– 2)² = + 4c) (– 19)¹⁵ ÷ (– 19)⁵ = (– 19)¹⁵⁻⁵ = (– 19)¹⁰

✓Potência de potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

a) (a²)³ = a².³ = a⁶b) [(– 2)⁵]² = (– 2)⁵.² = (– 2)¹⁰ = 1024

✓Potência de um produto ou de um quociente: multiplica-se o expoente de cada um dos elementos da operação da multiplicação ou divisão pela potência indicada.

a) [(– 5)² x (+ 3)⁴]³= (– 5)².³ x (+ 3)⁴.³ = (– 5)⁶ x (+ 3)¹²b) [(– 2)¹ ÷ (– 3)⁴]² = (– 2)¹.²÷ (– 3)⁴.² = (– 2)² ÷ (– 3)⁸

RadicaisJá sabemos que 6² = 36. Veremos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao quadrado equivale a 36.

, pois 6 elevado ao quadrado é 36. Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação..

Radicais

Principais Regras

✓Regra do SOL e da SOMBRA

Exemplo:

Propriedades da Radiciação

✓Produto de radicais de mesmo índica: conserva-se a raiz nesse indice e multiplicam-se os radicandos.

✓ Divisão de radicais de mesmo índice: conserva-se a raiz nesse índice e dividem-se os radicandos.

Para resolver expressões numéricas é preciso obedecer à seguinte ordem:

1º resolvemos as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem.2º resolvemos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.3º resolvemos as adições e subtrações na ordem em que aparecem.

Caso contenha sinais de associação:1º resolvemos os parênteses ( ) 2º resolvemos os colchetes [ ] 3º resolvemos as chaves { }

Expressões numéricas

6. Calcule o valor das expressões numéricas:

7. Aplique seus conhecimentos e calcule o valor das expressões numéricas. Observe as operações indicadas, a existência de sinais de associação e tenha cuidado com as potências.

COMO A BANCACESPE

COBRA ISSO?

CESPE

1. O número resultante da operação matemática 123 + 2x357 é sucessor do resultante da operação 122 + 2x356.

Certo

Errado

2. Os servidores de uma unidade de atendimento do DETRAN participaram de um treinamento que foi realizado em duas salas, A e B. Quando da entrada nas salas, 57 servidores entraram na sala A e apenas 31, na B.Considerando essa situação hipotética, julgue o item a seguir.O número de servidores que deveriam passar da sala A para a sala B para que a mesma quantidade de servidores assistisse ao treinamento nas duas salas é igual a 13.Certo

Errado

CESPE

3.Considere que, para os 170 alunos de uma escola, a merendeira prepare 45 litros de suco para o lanche e que ela saiba que cada litro de suco corresponde a 10 copos. Nesse caso, se cada aluno beber 2 copos de suco, ainda sobrarão 11 litros de suco.

Certo

Errado

CESPE

4. No ato de pagamento por um produto, um cliente entregou ao caixa uma nota de R$ 50. Informado de que o dinheiro entregue não era suficiente, o cliente entregou mais uma nota de R$ 50 e recebeu do caixa R$ 27 de troco. O cliente reclamou que ainda faltavam R$ 9 de troco e foi imediatamente atendido pelo caixa.Nessa situação hipotética, o valor da compra foiA)R$ 52.B)R$ 53.C)R$ 57.D)R$ 63.E)R$ 64.

CESPE

5. Uma repartição com 6 auditores fiscais responsabilizou-se por fiscalizar 18 empresas. Cada empresa foi fiscalizada por exatamente 4 auditores, e cada auditor fiscalizou exatamente a mesma quantidade de empresas. Nessa situação, cada auditor fiscalizouA) 8 empresas.B) 10 empresas.C) 12 empresas.D) 14 empresas.E) 16 empresas.

CESPE - 2019

6. Um grupo de 256 auditores fiscais, entre eles Antônio, saiu de determinado órgão para realizar trabalhos individuais em campo. Após cumprirem suas obrigações, todos os auditores fiscais retornaram ao órgão, em momentos distintos. A quantidade de auditores que chegaram antes de Antônio foi igual a um quarto da quantidade de auditores que chegaram depois dele.Nessa situação hipotética, Antônio foi oA)46.º auditor a retornar ao órgão.B)50.º auditor a retornar ao órgão.C)51.º auditor a retornar ao órgão.D)52.º auditor a retornar ao órgão.E)64.º auditor a retornar ao órgão.

CESPE - 2019

7. O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospitalares deve viajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá percorrer aproximadamente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com a viagem, o consumo de gasolina do seu veículo em 10 km/L. Para efeito de cálculos, considerou que esse consumo é constante.Considerando essas informações, julgue o item que segue.A distância a ser percorrida nessa viagem será de 11 × 105 m.

Certo

Errado

CESPE - 2018

8. Ainda com relação às operações no conjunto dos números naturais N, julgue o próximo item.Sabe-se que, em uma sala de aula, há 22 alunos e 18 alunas. Se, em determinado dia, metade dos alunos e um terço das alunas faltarem à aula, então, nesse dia, a quantidade de alunos e alunas presentes à aula será maior que 20.

Certo

Errado

CESPE - 2011

9. Julgue o item a seguir, relativo a números naturais, números racionais e regra de três.

Se uma TV digital tiver uma resolução de 1.080 pixels de largura por 720 pixels de altura, então o quociente, em pixels, da altura pela largura corresponderá a um número decimal que poderá ser representado por uma dízima periódica.

Certo

Errado

CESPE - 2017

10. Considere que em uma escola com turmas de primeira à quinta séries haja a seguinte distribuição de alunos por turma.• 4 turmas de primeira série, cada uma delas com 35 alunos;• 3 turmas de segunda série, cada uma delas com 30 alunos;• 2 turmas de terceira série, cada uma delas com 37 alunos;• 2 turmas de quarta série, cada uma delas com 30 alunos;• 1 turma de quinta série, com 36 alunos.Com relação a essa distribuição, julgue o próximo item.Supondo-se que o refeitório da escola possua 510 cadeiras,então um terço dessas cadeiras é suficiente para atender

todos os alunos da segunda e terceira séries juntos.Certo

Errado

CESPE - 2011

11. Depois das simplificações possíveis, o númeroserá igual aA)3.B)40.C)80.D)400.E)566.

CESPE - 2016

12. O número é

A)superior a 1.000 e inferior a 1.500.B)superior a 1.500 e inferior a 2.000.C)superior a 2.000.D)inferior a 500.E)superior a 500 e inferior a 1.000.

CESPE - 2018

COMO AFCC

COBRA ISSO?

A soma dos três menores divisores positivos de cada um dos números 14, 32 e 45 é um divisor do número

a) 44.

b) 30.

c) 60.

d) 52.

e) 80.

FCC

Josué queria multiplicar 72 por 34. Josué se enganou e multiplicou 72 por 23. O resultado do cálculo que ele fez é menor do que o resultado do cálculo que ele queria fazer em um número de unidades igual a

a) 642.

b) 792.

c) 820.

d) 566.

e) 1656.

FCC

Um grupo de funcionários do Metrô é formado por mais do que 50 e menos do que 100 pessoas. Os funcionários desse grupo terão que ser distribuídos em subgrupos menores, todos com o mesmo número de funcionários. Para atender a essa regra, se forem formados subgrupos com 5 funcionários, 3 ficarão de fora. Se forem formados subgrupos com 7 funcionários, 4 ficarão de fora. Nas circunstâncias descritas, se forem formados subgrupos com 12 funcionários, o número de funcionários que ficarão de fora será igual

a) 6.

b) 4.

c) 7.

d) 5.

e) 9.

FCC

O número natural x possui ao todo três divisores positivos distintos. O número natural y possui ao todo três divisores positivos distintos. O produto x . y é um número natural maior que 30 e menor que 40. A soma x + y é igual a

a) 12.

b) 14.

c) 13.

d) 16.

e) 19.

FCC

Apenas uma alternativa representa um número real que, em uma reta numérica real, situa-se entre √25 e √49 . A alternativa que corresponde a esse número é:

a) 88/17

b) 150/18

c) 64/13

d) 93/23

e) √50

FCC

O valor da expressão numérica após o cálculo completo é:

a) - 6.

b) -1.

c) 305.

d) 1.

e) 6.

FCC

O resultado da expressão numérica

é igual a:

a) 120.

b) 1/5

c) 55

d) 25

e) 620

FCC

O resultado da expressão numérica: 3 + 4 ×7 −8 ×3 é igual a

a) 9.

b) 123.

c) 7.

d) 60.

e) 23.

FCC

O algarismo da dezena do resultado da expressão numérica

948652919238493 - 5843748 x 95732437 é

a) 1.

b) 3.

c) 9.

d) 7.

e) 5.

FCC