mmc e mdc...frações equivalentes são frações que repre-sentam a mesma parte de um inteiro (ou...

Matemática em Foco - Profº Mick Xavier

A Matemática está em TUDO, inclusive em VOCÊ!2

ESTUDO DASFRAÇÕES, DÍZIMAS,

MMC E MDC

Estudos das Frações, Dízimas, MMC e MDC

A Matemática está em TUDO, inclusive em VOCÊ! 3

CONCEITO DE FRAÇÃO E SEUS ELEMENTOS.

A palavra fração indica partes de um inteiro. Toda fração possui um NUMERADOR, um DE-NOMINADOR e um traço horizontal que separa esses dois elementos. Supondo que uma barra de chocolate foi dividida em 3 partes, se comermos 1 parte, comemos 1 parte de um total de 3.

Essa parte é representada pela fração 31

(um terço). O número 1 é o NUMERADOR da fração

e o número 3 é DENOMINADOR.

Figura 1 - fração e seus elementos

TIPOS DE FRAÇÃO.

A fração apesar de nos remeter à palavra parte, ela não necessariamente sempre repre-sentará uma parte menor que um inteiro, ela pode representar mais de um inteiro, menos de um inteiro ou inteiros completos. Observe abaixo os tipos de fração.

Existem três tipos de fração:

Fração própria: Neste caso o numerador é menor que o denominador, como 31 que

vimos anteriormente. Note que esse tipo de fração representa uma parte menor que um inteiro.

Fração imprópria: Neste caso o numerador é maior que o denominador, como 34 . A

fração imprópria representa mais que um inteiro.



Figura 2 - fração imprópria

Fração aparente: O numerador é múltiplo do denominador, como 36 . Observe a ima-

gem a seguir.

Figura 3 - fração aparente

OBSERVAÇÃO: Toda fração aparente representa EXATAMENTE um número inteiro. Neste caso se dividirmos o numerador pelo denominador o resultado será um número inteiro. Sempre podemos dividir o numerador da fração pelo seu denominador mas nem sempre o resultado será inteiro.

NÚMERO MISTO

Número misto serve para representarmos um número inteiro mais uma fração. Como as-sim professor?

Por exemplo, na figura 2 acima, a fração 34 . Na imagem temos exatamente uma parte in-

teira (1) e uma parte fracionária (31 ). A junção desses valores forma o número misto

311 que é

exatamente igual à fração 34 .



Figura 4 - número misto

FRAÇÕES EQUIVALENTES.

Este conceito é um dos mais importantes. Frações equivalentes são frações que repre-sentam a mesma parte de um inteiro (ou um mesmo número) conforme o exemplo:

Figura 5 - frações equivalentes

Note que fazendo as divisões de 2 por 8 e 1 por 4, ambas resultam em 0,25.

A igualdade de duas frações equivalentes forma uma PROPORÇÃO. Em toda proporção, a multiplicação cruzada (ou “cruz credo”) dá o mesmo resultado. Na imagem anterior temos:

1.84.241

82

=⇒=

Toda fração possui uma infinidade de frações equivalentes. Para determinar frações equivalentes à uma determinada fração é só seguir a sequência dos múltiplos do numerador e

denominador da fração. Por exemplo, para determinarmos as frações equivalentes à 31 deve-

mos escrever todas as frações seguindo a sequência dos múltiplos de 1 e 3:



.....186

155

124

93

62

31

======

Ou seja, se multiplicarmos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, obtemos uma fração equivalente. Veja a imagem abaixo.

Figura 6 - obtendo frações equivalentes

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES.

Simplificar uma determinada fração significa obter uma fração equivalente a ela com nume-rador e denominador irredutíveis. O processo de simplificação de uma fração é exatamente o inverso do processo de obtenção de frações equivalentes, isto é, para simplificar uma fração devemos dividir numerador e denominador pelo mesmo número, em divisões sucessivas, até não conseguir dividir mais (fração irredutível).

Por exemplo:

65

1815

3630

7260

53

159

3018

54

1512

===

==

=



Figura 7 - simplificação

Antes de ensiná-lo a somar e subtrair frações, queremos que você tente calcular a soma abaixo:

?154

1512

=+

Se você respondeu 1516 então você acertou! Essa soma é bem fácil pois estamos so-

mando frações com o mesmo denominador, é só repetir embaixo e somar em cima. Mas e se os denominadores forem diferentes? Por exemplo:

3018

1512

+

Se você respondeu 4530

então você errou! É comum neste caso, os alunos somarem os

numeradores e os denominadores, mas isso está errado. Nunca devemos somar ou subtrair os denominadores, apenas podemos repeti-los, caso eles sejam iguais. Quando os denominado-res são diferentes, como em nosso exemplo acima, devemos trocar cada fração por uma nova fração (equivalente), e essas novas frações devem ter o mesmo denominador. Ou seja, a fração

3018

pode ser trocada por

159

já que são frações equivalentes, conforme imagem abaixo.

65

1815

3630

7260

53

159

3018

54

1512

===

==

=



E assim temos 1521

159

1512

3018

1512

=+=+ . Simplificando a fração anterior obtemos, 57

1521

= .

Conclusão: Como toda fração possui infinitas frações equivalentes, sempre existirão infi-nitas maneiras de somarmos e subtrairmos frações com denominadores diferentes, no entanto existe um método padrão na tentativa de tornar esse cálculo mais simples e direto. Este método consiste em:

Trocar os denominadores que são diferentes pelo seu mínimo múltiplo comum (mmc).

Então o exemplo anterior ficaria:

3042

3018

3024

3018

1512

=+=+

O menor múltiplo comum de 15 e 30 é o 30, isto é, o mmc(15,30) = 30. Simplificando a

fração 3042

, dividindo numerador e denominador por 6, obtemos 57

3042

= .

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES.

Para multiplicar frações é muito simples, apenas devemos MULTIPLICAR OS NUMERADORES e MULTIPLICAR OS DENOMINADORES:

4039

10.413.3

1013.

43)

2110

7.35.2

75.

32)

==

==

b

a

Note que não é possível simplificar os resultados acima.

Observação: utilizamos a mesma ideia mesmo que tenhamos a multiplicação de duas ou mais frações.



DIVISÃO DE FRAÇÕES.

Para dividir frações precisamos utilizar a seguinte regra:

“ Repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda”

Segue um exemplo:

Observe que a ideia de divisão de naturais (“quantos vezes cabe”) também se aplica na divisão de frações. Na divisão de 1/2 por 1/4 o resultado é 2 pois 1/4 cabe duas vezes em 1/2.

Bom meu querido aluno temos certeza que este resumo será muito útil, com uma lingua-gem bem simplificada e detalhada para você entender bem a ideia de fração. Agora chegou o momento de partir para os exercícios e PRATICAR. Segue uma lista de questões diversas, com gabarito simples e comentado, além de conteúdos relacionados às frações como Dízimas pe-riódicas, MMC e MDC para complementarmos com ideias e procedimentos importantes. Vamos MUTANTE!

PROBLEMAS INTRODUTÓRIOS.

1- Um saco de cimento tem 40kg. Determine o peso de 43

dessa quantidade?

2- João acertou 87

de uma prova, errando apenas duas questões. Quantas questões tinha

a prova?3- Maria plantou

41 do seu terreno com tomates,

51

com alfaces e

203

com laranjas. Qual

fração do terreno sobrou?

4- Lucas comeu 1511

de uma pizza e André comeu

2013

de outra pizza igual. Quem comeu mais?



5- Para comprar um bolo, João deu R$ 9,00, Silvia R$ 15,00 e Lauro R$ 21,00. Qual fração do bolo coube a cada um?

6- Uma fração equivalente a 43 cujo denominador é múltiplo de 3 e 4:

a) 86

b) 129

c) 2415

d) 1612

FRAÇÃO DE UM NÚMERO.

7) (CFS) 2/5 do efetivo de uma companhia foi acampar. Se a mesma possui 140 homens, estão acampados:

a) 70 homens b) 28 homensc) 14 homensd) 56 homense) 21 homens

8) (CEFET) Uma gráfica tem uma encomenda de 2400 cartões de Natal. No 1° dia, foi fabricado 1/4 do total da encomenda, tendo sido rejeitado pelo controle de qualidade 1/3 desta produção. No 2° dia, foram fabricados mais 2/5 do total da encomenda e rejeitados 5/12 deste lote. Quantos cartões ainda faltavam para completar os 2400, após o 2° dia?

a) 2350b) 1870c) 3590d) 1440e) 780

DIVISÃO DE FRAÇÕES.

9) (CFS) Determinando o valor de x em 238 63 9

x= , obtém-se:

a) 8/3b) 2/3c) 1/6d) 1/3



10) (CFS) O número de garrafas com capacidade de 2/3 do litro que podemos encher com 10 litros de água é:

a) 6b) 10c) 15d) 30e) 45

11) (CFS) Dividindo o numerador de uma fração por 16 e o denominador por 8, a fração fica : a) multiplicada por 2b) dividida por 128c) multiplicada por 128d) dividida por 1/2e) dividida por 2

NÚMERO MISTO + DIVISÃO DE FRAÇÕES.

12) (CFS) Se

8 1121 1 11 31

5

x = ++

++

, então x vale: a) 2b) 9/5c) 3/2d) 1e) 19/21

DÍZIMAS PERIÓDICAS.

13) Obtenha a fração geratriz de cada dízima periódica abaixo: (Sugestão: Faça pelos dois métodos que você aprendeu).

a) 2,888....b) 3,4777...

14) A sentença 0,999.... = 1 é verdadeira? Pense e responda.

15) (CEFET) Entre as adições abaixo, aquela cuja soma é a dízima periódica 12,43525252... é:

10002

990043512)

999252

103

100124)

100052

1003

10124)

100025

1004312)

990052

1004312)

++

++

++

++

++

e

d

c

b

a



10002

990043512)

999252

103

100124)

100052

1003

10124)

100025

1004312)

990052

1004312)

++

++

++

++

++

e

d

c

b

a

16) A diferença 8 0,666... – 9 0,5 é igual a: a) – 2

b) 2 3−

c) 2 2−

d) 1

17) (OBM) Se pq

é a fração irredutível equivalente a 6,888...2, 444...

, qual é o valor de p + q?a) 40b) 41c) 42d) 43d) 44

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC).

18) Calcule o mmc (20,50) de três maneiras diferentes. Não vale fazer de um único jeito.

19) Um filho me visita a cada 15 dias e o outro a cada 18 dias. Se me visitaram juntos hoje, daqui a quantos dias me visitarão novamente juntos?

a) 50b) 60c) 70d) 80e) 90

20) Newton comprou uma calça, uma camisa e uma gravata. Sabe-se que: - A prestação da calça é paga de 12 em 12 dias.- A prestação da camisa é paga de 20 em 20 dias.- A prestação da gravata é paga de 25 em 25 dias.

Se a primeira prestação de cada peça foi paga no mesmo dia, daqui a quantos dias serão pagas novamente juntas?

a) 50b) 80



c) 100d) 200e) 300

21) Qual menor número a seguir que dividido por 6,10 e 15 deixa sempre resto 1?a) 90b) 91c) 92d) 75e) 76

22) Determine abaixo o número que está compreendido entre 1000 e 4000 que seja divisí-vel, ao mesmo tempo, por 75, 150 e 180.

a) 3600b) 3700c) 3800d) 3900e) 20000

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC).

23) (Cesgranrio) O máximo divisor de 20 e 32 é:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8

24) Se A = 23. 34. 7 e B = 25. 32. 5, então m.d.c.(A,B) é:

a) 72 b) 360 c) 2520 d) 2592

25) Sabemos que mdc (23,80) = 2n . Então, o valor de n é:

a) 2b) 3c) 4d) 5



26) (CESCEM-SP) Qual é o máximo divisor comum dos números 4, 8 e 9?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 6

27) Uma repartição pública recebeu 143 computadores e 104 impressoras para distribuir em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos. Se cada lote deve conter um único tipo de aparelho, o menor número de lotes formados será:

a) 21b) 20c) 19d) 11e) 8

28) Pretende-se cortar 3 fios de comprimentos 100m, 108m e 120m em pedaços de mes-mo comprimento, de modo que esse seja o maior possível. O tamanho de cada pedaço será em metros:

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

GABARITO.

1- 30kg.2- 16 questões.3- Sobrou 2/5 do terreno.4- Lucas comeu mais.5- Para João coube 3/15 do bolo, para Silvia coube 1/3 do bolo e a para Lauro coube 7/15

do bolo.6- B7- D8- 14409- C10- C11- E



12- D13- a) 26/9 b) 313/9014- Sim15- A16- D17- (p + q = 42)18- mmc (20,50) = 10019- Solução comentada: Neste tipo de questão, a interpretação nos leva a concluir que a

solução corresponde ao mmc(15,18) já que o dia do encontro é um múltiplo de 15 e de 18. Cal-culando o mmc, encontraremos o dia do próximo encontro, e o resultado é igual a 90. Portanto o gabarito é a letra E.

20- Solução comentada: Seguindo a mesma lógica da questão anterior, o dia que serão pagas todas as prestações juntas, é múltiplo de 12, de 20 e de 25. Portanto o próximo dia que as prestações serão pagas juntas corresponde ao mmc(12, 20, 25) que é igual a 300. Portanto o gabarito é a letra E.

21- Solução comentada: Neste contexto, o primeiro passo é calcular o mmc(6, 10 e 15) e o resultado será 30. Sabemos que o 30 dividido por 6, 10 ou 15 deixará resto zero. E isso também vale para 60, 90, 120, ... .Então os números que deixam resto 1 quando divididos por 6, 10 ou 15 são: 31, 61, 91, 121, ... . Neste caso, o gabarito é a letra B.

22- Solução comentada: Se calcularmos o mmc(75,150,180) o resultado será 900. Esse é o menor número que é divisível ao mesmo tempo por 75, 150 e 180. Então a sequência de números positivos que são divisíveis por 75, 150 e 180 começa por 900, e avança com diferença também de 900 entre os valores que são: 900, 1800, 2700, 3600, 4500, ... . Sendo assim, o ga-barito é a letra A.

23- C24- A25- C26- Solução comentada: Pelo processo da fatoração é fácil chegar que o mdc (4,8 e 9) = 1,

pois eles não possuem divisor comum além do número 1. Neste caso, 4,8 e 9 são ditos “Números Primos entre si”.

27- Solução comentada: Como cada lote deve conter um único tipo de aparelho e a mesma quantidade de aparelhos, essa quantidade deve ser um divisor comum de 143 e 104. E como queremos a menor número de lotes possíveis, a quantidade de aparelhos por lote de ser a MÁ-XIMA POSSÍVEL . Portanto a quantidade de aparelhos por lotes é igual ao mdc(143,104) que é igual a 13. Então os 143 computadores serão divididos em 11 lotes pois 143 : 13 = 11 e as 104 impressora serão divididas em 8 lotes pois 143 : 13 = 8. Consequentemente obtém-se um total de 11 + 8 = 19 lotes. Gabarito é a letra C.



28- Solução comentada: Como desejamos cortar os 3 fios em pedaços do mesmo tamanho, o valor correspondente ao tamanho deve ser um divisor comum de 100, 108 e 120. Se dese-jamos que esse tamanho seja o maior possível, significa que ele deve ser máximo, ou seja, o tamanho de cada pedaço precisa ser o mdc(100,108 e 120). Fazendo esse cálculo por fatoração simples ou simultânea, chegamos ao resultado 4. Gabarito é letra B.

MAPAS MENTAIS

mmc e mdc...frações equivalentes são frações que repre-sentam a mesma parte de um inteiro (ou...

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