Mínimo múltiplo comum eMáximo divisor comum

Prof. Msc. Jeferson G. Moriel Jr.

jeferson.moriel@svc.ifmt.edu.br

Tema:

INSTITUTO FEDERAL DE

EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Mato Grosso / Campus São Vicente

O que é múltiplo?

O que é divisor?

• Exemplo 1. O número n = 7,5 pode ser escrito como o produto 3.2,5. Então, 7,5 = 3.2,5. Da Definição 1, temos que 7,5 é múltiplo de 2,5 e que, também, 2,5 é divisor de 7,5.

• Exemplo 2. O número n = 120 pode ser escrito, por exemplo, como o produto 100.1,2. Então, 120 = 100.1,2. Da Definição 1, temos que 120 é múltiplo de 1,2 e que, também, 1,2 é divisor de 120.

• Auto-avaliação 1. Escolha dois números a e b e mostre que a é múltiplo de b e que b é divisor de a.

• Observação. Um número p é primo se for divisível apenas por 1 e por ele mesmo.

Compreendendo “Mínimo Múltiplo Comum”

A pergunta “Qual é o mínimo múltiplo comum entre 10 e 6?” pode ser transformada em outra mais familiar (talvez): “Qual é o menor múltiplo que os números 10 e 6 tem em comum?” Vejamos como respondê-la.

• Múltiplos de 10*:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...

• Múltiplos de 6*:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ... * Es

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Compreendendo “Mínimo Múltiplo Comum”

Múltiplos de 10*:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...

• Múltiplos de 6*:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...

• Percebe-se que os números 30 e 60 (além de outros)são múltiplos de 10 e 6 simultaneamente. Logo 30 e 60são múltiplos em comum de 10 e 6. No entantoprecisamos apenas do menor: 30. Assim, o número 30é o menor múltiplo comum entre 10 e 6, tambémconhecido como mínimo múltiplo comum. Isto podeser resumido da seguinte forma: M.M.C. (10, 6) = 30.

Compreendendo “Máximo Divisor Comum”

• A pergunta “Qual é o máximo divisor comum entre 10 e 6?” pode ser transformada em outra mais familiar (talvez): “Qual é o maior divisor que os números 10 e 6 tem em comum?” Vejamos como respondê-la.

• Divisores de 10*:

10, 5, 2, 1

• Divisores de 6*:

6, 3, 2, 1.

Compreendendo “Máximo Divisor Comum”

• Divisores de 10*: 10, 5, 2, 1

• Divisores de 6*: 6, 3, 2, 1.

• Percebe-se que os números 2 e 1 são divisores de 10 e 6 simultaneamente. Logo, 2 e 1 são múltiplos em comum de 10 e 6. No entanto, precisamos apenas do maior: 2. Portanto, o número 2 é o maior divisor comum entre 10 e 6, também conhecido como máximo divisor comum (MDC). Isto pode ser resumido da seguinte forma: M.D.C. (10, 6) = 2.

Método prático para obter MMC e MDC: decomposição simultânea

Qual é o MDC e o MMC entre 360 e 84?

360, 84

180, 42

90, 21

45, 21

15, 7

5, 7

1, 7

1, 1

2 ●

2 ●

2

3 ●

3

5

7

MDC (360, 84) = 22.3 = 12

(é o produto dos divisores comuns ●)

MMC (360, 84) = 23.32.5.7 = 2520

(é o produto de todos os divisores)

• Auto-avaliação 2. Usando o método prático da decomposição simultânea verifique que MMC (10, 6) = 30 e que MDC (10, 6) = 2.

Exercícios

1. Calcule o MDC e o MMC de:

a) 3 e 6 b) 11 e 7 c) 24 e 60

d) 24, 36 e 48 e) 72 e 120

2. Escolha dois números diferentes cujo MMC é 24. Mostre que sua escolha é correta.

3. Escolha dois números diferentes cujo MDC é 10. Mostre que sua escolha é correta.

Respostas. A) 3. 6. B) 1. 77. C) 12. 120. D) 12. 144. E) 24. 360.

Problemas de aplicação dos conceitos de MDC e MMC

• P1. Em certa cidade existe três festas queacontecem periodicamente, quais sejam, afesta do milho, a festa da uva e a festa da soja.A festa do milho ocorre a cada quatro anos, afesta da uva ocorre a cada três anos e a festada soja ocorre a cada seis anos. Se em 2010estas festas ocorreram simultaneamente, qualserá o próximo ano elas voltarão a ocorrersimultaneamente outra vez?

• Solução. Calculando o MMC (4, 3, 6) = 12encontramos o número de anos necessáriospara que as festas ocorram simultaneamente.Como as festas ocorreram juntas em 2010,então 2010 + 12 = 2022 é o próximo ano emque as festas ocorrerão outra vezsimultaneamente.

• P2. O cometa X passa perto da Terra a cada100 anos, o cometa Y a cada 45 anos e ocometa K a cada 300 anos. Sabe-se que noano 1.115 foi a última vez que esses trêscometas estiveram próximos da Terra aomesmo tempo. Faça uma previsão da próximavez que eles estarão, simultaneamente,próximos à Terra.

Respostas. 2015

• P3. Em uma casa há quatro lâmpadas, aprimeira acende a cada 27 horas, a segundaacende a cada 45 horas, a terceira acende acada 60 horas e a quarta só acende quando asoutras três estão acesas ao mesmo tempo. Dequantas em quantas horas a quarta lâmpadavai acender?

Respostas. 540 horas

• P4. Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível?

• Solução. Chamemos de n o número de livros que abibliotecária vai colocar em cada estante. Então temos:130/n = número de estantes para os livros de Matemática e195/n = número de estantes para os livros de Português.

• Isso mostra que n deve ser divisor comum de 130 e 195,pois o número de estantes utilizadas é inteiro. Sabemosque quando aumentamos o denominador de uma fração,esta fração diminui (por exemplo, 27/10 é menor do que27/8). Logo, quanto maior for o denominador n, menoresserão as frações 130/n e 195/n, o que significa que menorserá o número de estantes utilizadas. Vemos assim que ndeve ser o maior divisor comum de 130 e 195. Fazendo oscálculos temos quem MDC(130, 195) = 65.

• Logo, a bibliotecária vai colocar 65 livros em cada estante.Portanto, o número de estantes para os livros deMatemática é de 130/65 = 2 e o número de estantes paraos de Português é 195/65 = 3, o que dá um total de 2+3 = 5estantes.

• P5. Uma locadora adquiriu 220 DVDs de filmee 275 DVDs de show. Deve-se armazená-losem prateleiras, colocando igual quantidade deDVDs em cada prateleira, sem misturar os defilme com os de show na mesma prateleira.Quantos DVDs devem ser colocados em cadaprateleira para que o número de prateleirasutilizadas seja o menor possível? Quantasprateleiras serão utilizadas neste caso?

Respostas. 55 livros. 4+5=9 prateleiras