materiais e circuitos eel401 – eletrotécnica geral ii...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

ISEE / GESisInstituto de Sistemas Elétricos e Energia

Grupo de Engenharia de Sistemas

EEL401 – Eletrotécnica Geral II

MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Prof. Pedro Paulo de Carvalho Mendes

3a Edição

Julho – 2004

Universidade Federal de Itajubá__________________________________________________

“Materiais e Circuitos Magnéticos” ______________________________________________________

Índice

Universidade Federal de Itajubá_______________________________________________

“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 1

CAPÍTUL0 01 – CONCEITOS BÁSICOS

______________________________________________________________________

1.1 – INTRODUÇÃO

As máquinas elétricas (como transformadores, motores e geradores) são

constituídas por circuitos elétricos e magnéticos acoplados entre si. Um circuito

magnético é aquele onde existe um caminho para o fluxo magnético, de forma análoga

ao circuito elétrico, que proporciona um caminho para a corrente elétrica.

Os materiais magnéticos utilizados no desenvolvimento de circuitos magnéticos

determinam as dimensões dos equipamentos, as suas capacidades, e introduzem

limitações nos desempenhos, devido a saturações e perdas. É importante, portanto,

conhecer suas características e propriedades básicas, para possibilitar um

desenvolvimento mais econômico e adequado dos diversos equipamentos.

O presente capítulo apresenta diversos conceitos básicos para a teoria dos

circuitos magnéticos, como: fluxo magnético, leis de Lenz e Faraday, fluxo enlaçado,

indutâncias próprias e mútuas. Nos capítulos posteriores serão consideradas as

características e propriedades básicas dos materiais magnéticos, bem como suas

aplicações em cálculos de circuitos magnéticos de configurações diversas.

1.2 – INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

1.2.1 Fluxo Magnético



Considere um campo magnético não uniforme de módulo B onde são colocadas

três espiras, conforme a figura 1.1, a seguir.

Figura 1.1 - Espiras Colocadas em um Campo Magnético

A espira 01 tem uma área “A1” e ela está colocada de forma perpendicular ao

vetor campo magnético de módulo B1. A espira 02 tem uma área “A2<A1” e ela está

colocada de forma perpendicular ao vetor campo magnético de módulo B2, sendo B2 >

B1. A espira 03 tem uma área “A3 = A2”, porém está posicionada de tal forma que existe

um ângulo "θ " entre a normal à superfície e o vetor campo magnético de módulo B3

(observar que B3 = B2). Pode-se perceber da figura 1.1, que:

a) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 01 e 02 é igual,

embora as áreas sejam diferentes. Isto se deve ao fato do campo magnético

B2 ser mais intenso do que o campo magnético B1 (devido a maior

densidade de linhas de campo);

b) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 02 e 03 é diferente,

embora elas possuam a mesma área e estejam colocadas em posições de

densidades iguais de campo magnético. Isto acontece porque a espira 03 esta

inclinada em relação ao vetor campo magnético 3B , formando um ângulo

“θ ”; portanto, a sua área projetada na perpendicular ao campo é menor que

a área real.



Assim, pode-se dizer que, o fluxo magnético que atravessa uma espira

corresponde ao número de linhas de campo que passa pela mesma e depende do campo

magnético B, da área “A” da espira e do ângulo “θ ” formado entre a normal à

superfície da espira e o campo magnético.

De uma outra forma, pode-se dizer que o fluxo magnético corresponde ao

conjunto de linhas de campo magnético que emerge do pólo norte de um imã.

Matematicamente pode-se expressar o fluxo magnético como sendo:

θφ cos⋅⋅= AB (1.1)

Ou ainda, de uma forma mais geral,

∫ ⋅⋅=A

dAnBφ (1.2)

Onde:

φ = Fluxo magnético através de uma superfície;

B = Vetor campo magnético;

n = Vetor unitário normal à superfície;

dA = Elemento de área de uma superfície.

Dimensões do Fluxo Magnético φ :

No sistema internacional, a unidade de fluxo magnético é o Weber [Wb].

[ ] [ ] [ ]WbWeber ==φ

A unidade [Weber] pode ser expressa, também, como sendo:

[ ] [ ] [ ]MaxwelllinhasWb 88 10101 ==



1.2.2 Lei de Faraday

Em 1831, o físico inglês Michael Faraday descobriu o princípio da indução

eletromagnética, através de diversas experiências. Estas experiências estão sintetizadas

no exemplo a seguir.

Considere uma espira circular cujos terminais foram ligados a um amperímetro,

fechando o circuito. Considere também um imã em forma de barra se aproximando da

espira, conforme ilustra a figura 1.2, a seguir.

A

NS

Figura 1.2 - Espira Fechada com um Amperímetro

Faraday verificou que, enquanto ele aproximava o imã da espira, a agulha do

amperímetro se deslocava para um determinado lado (admitindo que ele estivesse

trabalhando com um amperímetro de zero central), o que significava que havia

aparecido no circuito uma corrente elétrica induzida. No momento em que Faraday

parou de movimentar o imã, ele notou que a corrente através do circuito se anulava.

Numa terceira etapa, afastando o imã da espira, o físico inglês viu a agulha do

amperímetro novamente se deslocar, só que para o lado oposto, sinal de que havia

surgido, outra vez no circuito, uma corrente induzida mas de sentido contrário àquele

com a qual ela havia aparecido na primeira vez.

Com base nesta e em outras experiências realizadas, Faraday concluiu que:



“Sempre que houver variação do fluxo magnético através de uma espira,

surgirá nesta espira uma força eletromotriz induzida”.

A este fenômeno dá-se o nome de “indução eletromagnética”.

Da experiência desenvolvida por Faraday é necessário destacar que, para que

surja uma f.e.m. induzida no circuito, não é necessária a existência de um fluxo

magnético através da espira, mas sim o fato de que este fluxo deve variar no decorrer do

tempo.

Assim, pode-se escrever matematicamente que:

[ ]Vdtde φ= (1.3)

Onde:

φ = Fluxo magnético,variável com o tempo, que atravessa o circuito;

E = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral).

1.2.3 Fatores que influem na variação do Fluxo Magnético

a) Variação do Fluxo pela mudança da intensidade do Campo Magnético

Considere um circuito fechado fixo e um imã em forma de barra, conforme ilustra

a figura 1.3, a seguir.

N

S

imã móvel

circuito fechado

B

Figura 1.3 - Imã se Aproximando de um Circuito Fechado Fixo



À medida que o imã se aproxima do circuito fechado, ocorre um crescimento do

campo magnético e, portanto, há um aumento do fluxo através do circuito (maior

número de linhas de campo o atravessam). A variação do campo magnético conduz a

uma variação do fluxo magnético (lembrar que θφ cos⋅⋅= AB ). Por outro lado, o fluxo

magnético variável faz surgir no circuito uma f.e.m. induzida (lei de Faraday). Como o

circuito é fechado, irá circular no mesmo uma corrente elétrica.

É importante observar, ainda, que o fenômeno da indução também ocorre

quando se mantém o imã fixo e se movimenta o circuito fechado.

b) Variação do Fluxo pela variação da Área

Considere um circuito fechado de área “A” movendo-se no plano do papel sobre

um campo magnético uniforme e perpendicular à folha, conforme ilustra a figura 1.4, a

seguir.

Figura 1.4 - Circuito Fechado Entrando em um Campo Magnético

No instante em que o circuito passa a se movimentar, penetrando no campo,

começa a aumentar o fluxo no seu interior, pois ocorre uma variação na área “A” imersa

no campo magnético (“A” varia com o tempo). Aparece, então, uma f.e.m. induzida no

circuito, esta f.e.m. dá origem a uma corrente e conseqüentemente o amperímetro sofre

uma deflexão.

Quando o circuito estiver totalmente dentro do campo magnético, o fluxo através

da área “A” não mais varia e portanto, não há corrente induzida no circuito.



c) Variação do Fluxo pela variação do Ângulo “θ ”

Considere um circuito fechado imerso em um campo magnético uniforme de

módulo B, inicialmente na posição (01) perpendicular ao campo, conforme mostra a

figura 1.5, a seguir.

Bnn

(1) (2)

O

Figura 1.5 - Espira Girando em um Campo Magnético

Girando-se o circuito muda-se o ângulo entre a normal à superfície e o campo

magnético. Nessas condições ocorre uma variação do fluxo através do circuito, esta

variação produz uma f.e.m. induzida no mesmo e, conseqüentemente, haverá a

circulação de uma corrente elétrica.

Observação: As análises anteriores podem ser verificadas através das

expressões (1.1), do fluxo magnético e (1.3), da lei de Faraday.

d) Variação do Fluxo pela Variação da Corrente

Considere um circuito fechado colocado próximo de um eletroimã em forma de

barra, sendo ambos fixos, conforme ilustra a figura 1.6 a seguir.



ELETROIMÃ

CIRCUITOFECHADO

i

Figura 1.6 - Circuito Fechado Próximo de um Eletroímã

Para uma corrente “i” variável injetada na bobina do eletroimã, corresponderá

um fluxo magnético variável que irá envolver o circuito fechado. Este fluxo variável

dará origem a uma f.e.m. induzida (lei de Faraday) e conseqüentemente uma corrente

elétrica irá circular no referido circuito.

Dos quatro casos analisados anteriormente pode-se concluir que:

- A variação do fluxo causada, ou por mudança na intensidade do campo

magnético, devido a aproximação relativa entre o imã e o circuito (caso

“a”); ou por variação da área do circuito (caso “b”); ou ainda por variação

do ângulo “θ ” (caso “c”), produz uma f.e.m. induzida no circuito fechado.

Esta f.e.m. é induzida por efeito de algum tipo de movimento. Desta forma

ela é denominada “f.e.m. de movimento”;

- A variação do fluxo causada por variação na intensidade da corrente,

considerando o eletroimã e o circuito, fixos (caso “d”) produz uma f.e.m.

induzida no circuito fechado. Esta f.e.m., que é induzida, não por efeito de

movimento, mas sim pela variação da corrente na bobina é denominada

“f.e.m. de efeito transformador”.

1.2.4 Lei de Lenz

A intensidade da corrente elétrica originada pela variação do fluxo magnético,

num circuito fechado, puramente resistivo, é dada por:



Rei = (01a Lei de Ohm)

O estudo do sentido da corrente elétrica é determinado pela Lei de Lenz, que diz

o seguinte:

“O sentido da corrente elétrica induzida é tal que seus efeitos tendem sempre

a se opor à variação de fluxo que lhe deu origem”.

Desta forma pode-se escrever a Lei de Faraday (expressa matematicamente pela

equação 1.3), como sendo:

[ ]Vdtde φ−= (1.4)

A equação (1.4) corresponde à expressão matemática da “Lei de Lenz-

Faraday”.

1.2.5 Lei de Lenz-Faraday

Enunciado: “Sempre que houver variação do fluxo magnético através de um

circuito surgirá neste uma força eletromotriz induzida. Se o circuito for fechado

circulará uma corrente induzida cujo sentido será tal que tenderá a se opor às

variações do fluxo que lhe deu origem”.

Expressão Matemática:

[ ]Vdtde φ−=

Onde:

φ = Fluxo magnético,variável com o tempo, que atravessa o circuito;

e = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral);



sinal = Retrata a oposição ao fluxo de origem (Lei de Lenz).

1.3 – FLUXO ENLAÇADO OU CONCATENADO

Considere a barra de ferro da figura 1.7, a seguir, envolvida por uma bobina de

“N” espiras.

i

N

O

a b

Figura 1.7 - Barra de Ferro com “N” Espiras

Para uma corrente “i” injetada no terminal “a” obtém-se um fluxo “φ ” no

material ferromagnético. Na figura 1.7, este fluxo “φ ” enlaça ou concatena as “N”

espiras da bobina. Assim, pode-se definir que:

φλ ⋅= N (1.5)

Onde:

λ = Fluxo enlaçado ou concatenado.

[ ] [ ] [ ]espWbuoespitaWeber ⋅⋅=λ

Portanto, “λ ” corresponde ao fluxo que enlaça ou envolve as “N” espiras da

bobina.

A figura 1.8, a seguir, apresenta outros exemplos.



(1)

(3)

(2)

(4)

oo

12

Figura 1.8 - Fluxos Enlaçados ou Concatenados

Na figura 1.8 pode-se observar que:

⇒⋅= 22 2 φλ fluxo enlaçado com a bobina (02);

⇒⋅= 23 1 φλ fluxo enlaçado com a bobina (03);

⇒⋅= 24 4 φλ fluxo enlaçado com a bobina (04).

Considere agora o fluxo enlaçado com a bobina da figura 1.9, a seguir.

a b

1 2 3

ö

N = 3

Figura 1.9 – Fluxo Enlaçado com uma Bobina

Se o fluxo “φ ” for variável com o tempo obrem-se, através das leis de Lenz e

Faraday, que:

dtde φ−=1 (1.6)



dtde φ−=2 (1.7)

dtde φ−=3 (1.8)

Compondo, agora, as equações (1.6), (1.7) e (1.8), vem:

dtd

dtd

dtdeeee φφφ −−−=++= 321 (1.9)

Ou ainda,

dtde φ⋅−= 3 (1.10)

Para uma bobina de “N” espiras obtém-se:

dtdNe φ⋅−= (1.11)

Ou de outra forma:

dtNde )( φ⋅−= (1.12)

Com φλ ⋅= N (ver equação 1.5), pode-se escrever que:

dtde λ−= (1.13)

Sendo “ λ ” o fluxo total enlaçado ou concatenado com a bobina.



1.4 – INDUTÂNCIA PRÓPRIA

A indutância própria é também chamada de auto- indutância. Para entender o seu

significado, considere inicialmente a bobina de “N” espiras com corrente “i”, da figura

1.10 a seguir.

i

N

a b

Figura 1.10 – Bobina de “N” Espiras com Correntes “i”

A corrente “i” passando pela bobina de “N” espiras dá origem a um fluxo

enlaçado “ λ ”. Em determinadas condições pode-se dizer que existe uma

proporcionalidade entre esta corrente e o fluxo enlaçado por ela produzido. Esta

constante de proporcionalidade é denominada “indutância própria da bobina”, e é

normalmente representada pela letra L. Desta forma, pode-se escrever que:

iL λ= (1.14)

Ou ainda:

iL ⋅=λ (1.15)

Como φλ ⋅= N , em (1.14), vem:

iNL φ⋅= (1.16)

Considere agora uma corrente variável com o tempo sendo injetada na bobina de

“N” espiras da figura 1.10. Pode-se escrever que:



dtdiL

dtd ⋅=λ (1.17)

Através da lei de Lenz-Faraday, tem-se:

dtde λ−= (1.18)

Levando (1.18) em (1.17), obtém-se:

dtdiLe ⋅−= (1.19)

Portanto, da equação (1.19), observa-se que há uma queda de tensão na bobina,

como efeito de sua indutância própria. Este comportamento pode ser representado

através do circuito elétrico equivalente da figura 1.11, a seguir.

vi

L

Figura 1.11 – Circuito Elétrico Equivalente

Da equação (1.14) tem-se que a indutância própria apresenta uma dimensão de

[Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H].

É importante observar também que, pela definição a indutância corresponde a

uma constante de proporcionalidade entre o fluxo enlaçado e a corrente que o produz.

Isto não é verdadeiro no caso de materiais ferromagnéticos onde, devido a saturação, a

indutância pode apresentar valores variáveis com a corrente.



De uma forma geral, pode-se dizer que a indutância própria de uma bobina

depende: das dimensões, do número de espiras e do meio onde se encontra esta bobina.

1.5 – INDUTÂNCIA MÚTUA

Para entender o significado da indutância mútua, considere a configuração com

duas bobinas apresentada a figura 1.12, a seguir.

iN

1

1

N2

(1)

(2)

Figura 1.12 - Configuração com Duas Bobinas

A indutância mútua retrata o efeito de uma bobina com corrente, sobre uma ou

mais bobinas adjacentes. Na figura 1.12, tem-se uma corrente “i1” passando pela bobina

de “N1” espiras. Esta corrente “i1” dá origem a um fluxo enlaçado com a bobina de “N2”

espiras, de valor “ 21λ ”, ou seja:

21221 fl ⋅= N (1.20)

Onde:

21φ = Fluxo magnético da bobina (02), produzido pela corrente i1 ;

N2 = Número de espiras da bobina (02).

Em determinadas condições, existe uma proporcionalidade entre a corrente “i1” e

o fluxo enlaçado (“ 21λ ”), por ela produzido. Esta constante de proporcionalidade é

denominada indutância mútua entre as bobinas 02 e 01, e é normalmente representada

por M21. Desta forma, pode-se escrever que:



1

2121 i

Mλ

= (1.21)

Ou ainda,

12121 iM ⋅=λ (1.22)

De (1.20) e (1.21), tem-se:

1

21221 i

NMφ

⋅= (1.23)

Considere agora uma corrente “i1” variável com o tempo sendo injetada na

bobina (01), da figura 1.12. Pode-se escrever que:

dtdi

Mdt

d 121

21 ⋅=λ

(1.24)

Através das leis de Lenz e Faraday, tem-se que:

dtd

e 212

λ−= (1.25)


dtdi

Me 1212 ⋅−= (1.26)

Portanto, da equação (1.26), observa-se que há uma tensão induzida na bobina

(02), como efeito da circulação de uma corrente variável com o tempo na bobina (01).

Esta tensão induzida depende da indutância mútua entre as duas bobinas (M21).



De forma análoga pode-se analisar a influência da passagem de uma corrente

“i2” pela bobina (02), sobre a bobina (01). Neste caso, tem-se uma indutância mútua

M12 cujo valor é idêntico ao da indutância M21, anteriormente descrita.

Da equação (1.21) tem-se que a indutância mútua apresenta uma dimensão de

[Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H], da

mesma forma que a indutância própria.

É importante observar também que, pela definição a indutância mútua

corresponde a uma constante de proporcionalidade entre um fluxo enlaçado e a corrente

que o produz. Isto não é verdadeiro para o caso em que o meio entre as bobinas é

constituído por materiais ferromagnéticos, onde as indutâncias mútuas podem

apresentar valores variáveis com as correntes, em função da saturação.

De uma forma geral pode-se dizer que a indutância mútua entre duas bobinas

adjacentes depende: da distância entre as bobinas, das dimensões físicas das duas

bobinas, do número de espiras em cada bobina, e do meio considerado.

1.5.1 Coeficiente de Acoplamento

Na figura 1.12, a corrente “i1” na bobina (01) estabelece um fluxo magnético

total “ 1φ ”. Parte deste fluxo total atravessa a bobina (02), mais precisamente a parcela

“ 21φ ”. A relação entre a parcela de fluxo magnético “ 21φ ” e o fluxo total “ 1φ ” é

denominada coeficiente de acoplamento (K) e pode ser expresso por:

2

12

1

21

φφ

φφ

==K (1.27)

Da expressão (1.23) tem-se que:

1

21221 i

NMφ

⋅=



De forma análoga pode-se escrever que:

2

12121 i

NMφ

⋅= (1.28)

Como M12=M21, tem-se:

22112 MMM =⋅ (1.29)

E ainda,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

2

121

1

212

2

iN

iNM

φφ(1.30)

Levando (1.27) em (1.30), vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=

2

121

1

212

22

iN

iNKM

φφ(1.31)

Ou ainda,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=

2

22

1

11

22

iN

iNKM

φφ(1.32)

Como,

1

111 i

NLφ

⋅= (1.33)

2

222 i

NLφ

⋅= (1.34)



Temos que:

21 LLKM ⋅⋅= (1.35)

Onde:

K = Coeficiente de acoplamento;

L1 = Indutância própria da bobina (01);

L2 = Indutância própria da bobina (02);

M = Indutância mútua entre as bobinas (01) e (02).

1.6 – PERGUNTAS PROPOSTAS

Responda as seguintes perguntas:

01) O que é um circuito magnético? Onde são utilizados?

02) Por quê é importante o estudo de circuitos magnéticos?

03) O que se entende por fluxo magnético atravessando uma espira?

04) Do que depende um fluxo magnético?

05) Quais são as unidades de fluxo magnético que normalmente utilizadas?

06) Fale sobre a experiência realizada por Michael Faraday.

07) Qual é o significado da lei de Faraday?

08) O que é uma f.e.m. de movimento? Onde se aplica? Dê exemplos.

09) O que é uma f.e.m. de efeito transformador? Onde se aplica? Dê um

exemplo.



10) Qual é o significado da lei de Lenz?

11) Qual é o significado de fluxo enlaçado?

12) Dê exemplos de fluxos enlaçados com bobinas.

13) O fluxo enlaçado tem o mesmo significado que o fluxo concatenado?

14) O que é a indutância própria de uma bobina?

15) Qual é a relação entre a indutância própria e o fluxo enlaçado?

16) O que você entende por indutância mútua entre duas bobinas?

17) Qual é a unidade da indutância própria?

18) Qual é a unidade da indutância mútua?

19) O que é o coeficiente de acoplamento?

20) Qual é a relação entre a indutância mútua de duas bobinas e as suas

respectivas auto-indutâncias? Faça uma dedução matemática.

1.7 – PROBLEMAS PROPOSTOS

Resolva os seguintes problemas:

01) Considere um fluxo magnético de 3000 linhas. Calcule seu valor em Weber.

02) Qual é a densidade de fluxo em Tesla quando existe um fluxo de 0.0006

[Wb] através de uma área de 0.0003 m2?



03) Determine a polaridade magnética do eletroimã da figura a seguir (utilize a

regra da mão direita):

04) O fluxo de um eletroimã é de 06 [Wb]. O fluxo aumenta uniformemente até

12 [Wb] num intervalo de 02 [s]. Calcule a tensão induzida numa bobina que contenha

10 espiras, se a bobina estiver parada dentro do campo magnético.

05) No problema anterior, qual é o valor da tensão induzida se o fluxo

magnético permanecer constante em 06 [Wb] após 02 [s]?

06) Um imã permanente desloca-se dentro de uma bobina e produz uma

corrente induzida que passa pelo circuito da mesma, conforme figura a seguir.

Determine a polaridade da bobina e o sentido da corrente induzida.

07) Uma bobina de 100 espiras, com auto- indutância de 10 [H], é percorrida por

uma corrente de 05 [A], que tem uma taxa de variação de 200 A/s. Calcular o

fluxo enlaçado com a bobina e a f.e.m. induzida na mesma.



08) Uma bobina tem uma indutância própria igual a 5 [H] e corrente “i” dada

por: ( )tii MÁX ⋅⋅= 377sen . Fazer o gráfico do fluxo magnético, do fluxo enlaçado e da

f.e.m. induzida em função do tempo.

09) Qual é a densidade de fluxo de um núcleo que possui 20000 linhas e uma

área da seção reta de 5 [cm2]?

10) Complete o quadro a seguir com os valores que estão faltando. Todas as

respostas devem ser dadas em unidades do Sistema Internacional.

φ B A

0.000035 [Wb] ? 0.001 [m2]

? 0.8 [T] 0.005 [m2]

10000 [linhas] ? 02 [cm2]

0.000090[Wb] ? 0.003 [m2]

11) No campo estacionário de uma bobina de 500 espiras, calcule a tensão

induzida produzida pelas seguintes variações de fluxo:

(a) 04 [Wb] aumentando para 06 [Wb] em 01 [s];

(b) 06 [Wb] diminuindo para 04 [Wb] em 01 [s];

(c) 4000 linhas de fluxo aumentando para 5000 linhas em 5.10-6 [s];

(d) 04 [Wb] constante durante 01 [s].

12) Em um par de bobinas acopladas, a corrente contínua na bobina (01) é de 05

[A] e os fluxos correspondentes 11φ e 21φ são, respectivamente, 20000 e 40000

[Maxwell]. Sendo N1 = 500 e N2 = 1500, os totais de espiras, determinar L1, L2, M e K.

13) Duas bobinas L1 = 0.8 [H] e L2 = 0.2 [H] têm um coeficiente de

acoplamento K = 0.9. Determinar a indutância mútua entre elas, bem como a relação

N1/N2.



14) Duas bobinas cujas respectivas auto- indutâncias são L1 = 0.05 [H] e L2 =

0.20 [H] têm coeficiente de acoplamento igual a 0.5. A bobina (2) tem 1000 espiras.

Sendo ( )ti ⋅⋅= 400sen051 a corrente na bobina (01), determinar a tensão na bobina (02)

e o fluxo máximo estabelecido pela bobina (01).

15) Duas bobinas têm coeficiente de acoplamento igual a 0.85 e a bobina (01)

tem 250 espiras. Com i1 = 02 [A] na bobina (01), o fluxo total 1φ = 0.0003 [Wb].

Reduzindo-se i1 linearmente até zero, em dois milissegundos a tensão induzida na

bobina (02) fica igual a 63.75 [V]. Determinar L1, L2, M e N2.

16) O coeficiente de acoplamento de duas bobinas, respectivamente, com N1 =

100 e N2 = 800 espiras é 0.85. Com a bobina (01) aberta e uma corrente de 05 [A] na

bobina (02), o fluxo 2φ é 0.00035 [Wb]. Determinar L1, L2 e M.

17) Duas bobinas idênticas têm indutância equivalente de 0.08 [H], quando

ligadas em série aditiva, e de 0.035 [H], quando em série subtrativa. Quais são os

valores de L1, L2, M e K?

18) Duas bobinas idênticas têm L = 0.02 [H] e coeficiente de acoplamento K =

0.8. Determinar M e as duas indutâncias equivalentes, admitindo que elas estejam

ligadas em série aditiva e em série subtrativa.

19) Duas bobinas cujas indutâncias estão na relação de quatro para um têm

coeficiente de acoplamento igual a 0.6. Ligadas em série aditiva, sua indutância

equivalente é 44.4 [mH]. Determinar L1, L2 e M.

20) Qual é a indutância de uma bobina que induz 20 [V], quando a corrente que

passa pela bobina varia de 12 para 20 [A] em 2 [s]?

21) Uma bobina tem uma indutância de 50 [mH]. Qual é a tensão induzida na

bobina quando a taxa de variação da corrente for de 10000 [A/s]?



22) Uma determinada bobina de 20 [mH] opera com uma frequência de 950

[kHz]. Qual é a reatância indutiva da bobina?

1.8 – BIBLIOGRAFIA

[1] Robert Stein and William T. Hunt Jr., “Electric Power System Components

- Transformers and Rotating Machines”, Van Nostrand Reinhold Company,

1979.

(Ver capítulo 02 - págs. 10 a 14);

[2] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção Schaum, Editora McGraw-

Hill do Brasil, Ltda, 1985.

(Ver capítulo 09 - págs. 232 a 235, capítulo 12 - págs. 307 a 316);

[3] Joseph A. Edminister, “Circuitos Elétricos”, Coleção Schaum, Editora

McGraw-Hill, Ltda e Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1991.

(Ver capítulo 01 - págs. 6 e 7, capítulo 13 - págs. 362 a 365);

[4] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 2a, Editora Guanabara Dois S.A., Segunda

Edição, 1986.

(Ver capítulo 27 - págs. 764 a 766, capítulo 28 - págs. 775 a 781 e 784 a

786);

[5] David Halliday e Robert Resnick, “Fundamentos de Física”, Parte 03 -

Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1991.

(Ver capítulo 32 - págs. 189 a 194, capítulo 33 - págs. 219 a 222 e 227 a

228);

[6] “Curso Completo de Eletricidade Básica”, U. S. Navy, Bureau of Naval

Personnel, Training Publications Division, Hemus Livraria Editora Ltda.

(Ver capítulo 08 - págs. 209 a 213 e 220 a 222, capítulo 10 - págs. 241 a 248

e 254 a 259);



[7] L. Bessonov, “Applied Electricity for Engineers”, MIR Publishers -

Moscow, 1973.

(Ver capítulo 04 - págs. 114 a 122 e 127 a 129).



CAPÍTUL0 02 – MATERIAIS MAGNÉTICOS

______________________________________________________________________


Desde a antiguidade os gregos já conheciam o fato de que certas pedras tinham a

capacidade de atrair pequenos pedaços de alguns metais. Como muitas destas pedras

foram encontrados em Magnésia, na Ásia Menor, os gregos chamaram a substância de

magnetita ou magnética. Esta substância (Fe3O4) constitui o que se chama na atualidade

de “imãs naturais”.

Por volta de 2630 a.C., os chineses perceberam que pequenas barras de um certo

minério tinham a estranha propriedade de apontar sempre em direção ao pólo norte, o

que levou à descoberta da bússola, que nada mais é do que um pequeno imã natural.

Além dos imãs naturais, existem nos dias de hoje, imãs desenvolvidos pelas

mãos do homem, são os chamados “imãs artificiais”.

Um imã qualquer apresenta duas regiões bem distintas, próximas as quais as

ações magnéticas são mais intensas; pode-se verificar esta propriedade jogando limalha

de ferro nas proximidades de um imã em forma de barra. A limalha será atraída pelo

imã e se concentrará em grande parte nas extremidades dele.

Estas regiões são denominadas pólos do imã. A extremidade que aponta em

direção ao norte é chamada de pólo norte do imã e a outra extremidade é o pólo sul. Os

dois pólos de um imã, ou seja, os pólos norte e sul, formam um “dipolo magnético”.



Para se distinguir os pólos é costume hachurar o pólo norte, conforme ilustra a

figura 2.1 a seguir.

N S

Figura 2.1 - Pólos Norte e Sul de um Imã

Os pólos de mesmo nome se repelem (observar figura 2.2), enquanto que os

pólos de nomes contrários se atraem (conforme figura 2.3).

NS

S NS

S

N

N

Figura 2.2 – Repulsão dos Pólos

NS

SNS

S

N

N

Figura 2.3 – Atração dos Pólos

O que acontecerá se tentar dividir ao meio o imã apresentado à figura 2.1? Serão

obtidos pólos norte e sul separados?



Não, na realidade é impossível separar os pólos de um imã. Portanto, no caso da

divisão ao meio, seriam obtidos dois novos imãs menores (com pólos norte e sul) e

assim sucessivamente caso fossem realizadas novas divisões.

A figura 2.4, a seguir, ilustra esta condição.

SN

N NS S

Figura 2.4 - Inseparabilidade dos Pólos

Portanto, os pólos norte e sul de um imã são inseparáveis. Isto ocorre porque a

estrutura magnética mais simples que existe na natureza é o dipolo magnético

elementar. Em outras palavras, os imãs, ou os materiais (de uma forma geral), possuem

uma infinidade de dipolos magnéticos elementares, como àqueles apresentados

esquematicamente à figura 2.5 a seguir.

Figura 2.5 – Dipolos Magnéticos Elementares

Os dipolos magnéticos elementares (d.m.e.) são os responsáveis pelas

propriedades magnéticas da matéria e estão associados aos elétrons.



2.2 – CLASSIFICAÇÃO DOS CORPOS QUANDO A IMANTAÇÃO

Os corpos podem ser classificados de acordo com o grau de orientação de seus

dipolos magnéticos elementares, ou seja, eles podem ser classificados quanto a sua

imantação. A seguir serão apresentadas três disposições possíveis para os dipolos

magnéticos elementares.

2.2.1 Corpo Fortemente Imantado

A figura 2.6, a seguir, apresenta uma disposição típica de um corpo fortemente

imantado.

Figura 2.6 – Corpo Fortemente Imantado

Como pode ser observado, o corpo fortemente imantado é aquele que apresenta

uma forte orientação dos dipolos magnéticos elementares.

2.2.2 Corpo Fracamente Imantado

Um corpo fracamente imantado é aquele que demonstra uma ligeira orientação

dos dipolos magnéticos elementares, como pode ser observado à figura 2.7, a seguir.



Figura 2.6 – Corpo Fracamente Imantado

2.2.3 Corpo Não-Imantado

Diferentemente dos dois casos anteriores, pode-se dizer que em um corpo não-

imantado a disposição dos dipolos magnéticos elementares é aleatória, ou seja, não há

uma orientação definida. A figura 2.8, a seguir, ilustra esta condição.

Figura 2.8 – Corpo Não-Imantado

Alguns materiais e substâncias podem assumir a característica de imantação

forte, outros não. É importante portanto que se faça uma classificação magnética para os

mesmos. Isto pode ser realizado, dividindo-os em grupos diferenciados quanto à

possibilidade de orientação dos dipolos magnéticos elementares.

Esta classificação será realizada no item seguinte.



2.3 – CLASSIFICAÇÃO MAGNÉTICA DOS MATERIAIS E SUBSTÂNCIAS

Os materiais e substâncias são classificados magneticamente, ou seja,

classificados de acordo com a capacidade de orientação dos d.m.e (maior ou menor).

Costumam ser considerados três grupos distintos: ferromagnéticos, paramagnéticos e

diamagnéticos. Estes grupos serão apresentados a seguir.

2.3.1 Materiais Ferromagnéticos

São materiais que possibilitam uma orientação abundante para os seus dipolos

magnéticos elementares, isto é, podem ser fortemente imantados quando da ação de um

campo magnético externo. De uma forma geral, estes materiais tendem a alinhar seus

d.m.e. de forma paralela ao campo magnético aplicado. Fenômeno deste tipo ocorre em

materiais como: ferro, níquel, aço, cobalto, etc.

2.3.2 Materiais Paramagnéticos

A característica magnética deste tipo de material é a de permitir apenas uma leve

orientação dos d.m.e., de forma paralela ao campo magnético externo que lhe é

submetido. Boa parte dos chamados materiais isolantes é classificada como

paramagnética. Podem ser citados exemplos como: madeira, vidro, ar, etc.

2.3.3 Materiais Diamagnéticos

De forma semelhante aos materiais paramagnéticos, os diamagnéticos permitem

apenas uma orientação muito fraca dos seus d.m.e., quando da ação externa de um

campo magnético. Entretanto, estes materiais apresentam uma característica toda

peculiar, que é de alinhar os d.m.e. de forma antiparalela ao campo exterior, ou seja,

orientam os d.m.e. em sentido contrário ao campo magnético aplicado. São exemplos

deste tipo magnético: a água, o cobre, a prata, o ouro, o diamante, etc.

Como pode ser observado nos exemplos anteriores, são classificados como

diamagnéticos os chamados metais nobres (ouro, prata, cobre, etc).



Alguns materiais não permitem uma forte orientação dos d.m.e., outros

permitem e outros ainda são encontrados na natureza com características magnéticas

acentuadas. Os materiais que permitem uma forte orientação dos d.m.e. podem ser

chamados de imãs, sendo caracterizados como artificiais ou naturais, conforme será

visto no item seguinte.

2.4 – TIPOS DE IMÃ

Os imãs podem ser classificados em três tipos: imã natural, imã artificial

permanente e imã artificial transitório.

As principais características destes imãs serão consideradas neste item.

2.4.1 Imãs Naturais

Imãs naturais são materiais com características magnéticas próprias, obtidas

diretamente da natureza. Estes materiais, que foram utilizados inicialmente na

confecção de bússolas, apresentam uma orientação bem definida dos dipolos

magnéticos elementares (d.m.e.).

Exemplos de Imãs Naturais

Minérios como a magnetita (Fe3O4)

Tabela 2.1 – Exemplos de Imãs Naturais

2.4.2 Imãs Artificiais Permanentes

São materiais que apresentam comportamentos distintos quando da presença ou

não de um campo magnético externo, ou seja: na ausência de um campo magnético

externo estes materiais apresentam, de uma forma geral, uma disposição aleatória para

os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo, tendem a alinhar os d.m.e. no

sentido deste campo, ficando então imantados. Supondo agora que o campo externo seja

retirado, boa parte dos d.m.e. permanecerá com a orientação anterior, podendo-se dizer,



portanto, que o material permanecerá imantado. Esta característica de imantação

residual (ou permanente) depende do tipo de material considerado.

Exemplos de Imãs Artificiais Permanentes

Algumas ligas metálicas como: aço, aço-carbono (aço com elevado teor de carbono), alnico 5

(liga composta por: alumínio, níquel e cobalto), etc.

Tabela 2.2 – Exemplos de Imãs Artificiais Permanentes

2.4.3 Imãs Artificiais Transitórios

Estes materiais também apresentam comportamentos distintos quando da

presença ou ausência de um campo magnético externo, a saber: na ausência de um

campo magnético externo estes materiais apresentam, como os anteriores, uma

disposição aleatória para os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo,

promovem um alinhamento dos d.m.e. no sentido deste campo, ficando então

imantados. No caso da retirada do campo externo, uma parcela reduzida dos d.m.e.

permanecerá com a orientação anterior, podendo-se dizer que o material praticamente

perderá sua imantação.

Exemplos de Imãs Artificiais Transitórios

Ferro, ligas metálicas como o ferro-silício, etc.

Tabela 2.3 – Exemplos de Imãs Artificiais Transitórios

2.5 – INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA

A experiência mostra que, acima de um determinado valor de temperatura os

materiais ferromagnéticos perdem as suas propriedades magnéticas principais, ou seja,

perdem a orientação de seus d.m.e. Este valor de temperatura é denominado “Ponto

Curie” ou “Temperatura de Curie”, de um dado material.



A tabela 2.4, a seguir, apresenta o ponto Curie e o ponto de fusão de alguns

materiais ferromagnéticos importantes.

MateriaisPonto Curie

[º C]Ponto de Fusão

[º C]

Níquel 358 2566

Ferro 770 1535

Cobalto 1131 1480

Tabela 2.4 - Ponto Curie e Ponto de Fusão de Alguns Materiais

2.6 – CAMPO MAGNÉTICO DE UMA BARRA IMANTADA

Considere um condutor por onde passa uma corrente “i”, conforme ilustra a

figura 2.9 a seguir.

i

Figura 2.9 – Condutor com Corrente

A passagem da corrente pelo condutor dá origem a um campo magnético ao seu

redor. Se a corrente for variável o campo magnético será variável. Se por outro lado a

corrente for constante, o campo magnético também será constante.

De acordo com o modelo de Ampère, todos os campos magnéticos, de uma

forma ou de outra, provêm de correntes. Nos imãs naturais, e em outros materiais

magnetizados, estas correntes se devem ao movimento intrínseco dos elétrons atômicos.

Embora estes movimentos sejam complexos, pode-se admitir, para este modelo, que os



movimentos sejam equivalentes a espiras fechadas, conforme ilustra a figura 2.10 a

seguir.

Figura 2.10 – Movimento dos Elétrons em uma Barra Imantada

Se o material for homogêneo, a corrente resultante, em qualquer ponto no

interior da barra, é nula, graças ao cancelamento das correntes vizinhas. No entanto, em

virtude de não haver cancelamento na superfície do material, o resultado destas espiras

equivale a uma corrente periférica, denominada “corrente superficial de Ampère”. Esta

corrente superficial é semelhante a uma corrente de condução real em uma bobina (ou

solenóide) de espiras justapostas, ou seja, uma bobina de espiras muito próximas umas

das outras. O campo magnético devido a uma corrente superficial é o mesmo que o

provocado por uma corrente “superficial” em uma bobina.

Seja “M” a corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento da

superfície de um imã linear cilíndrico. A grandeza correspondente na bobina é o produto

“ in ⋅ ”, sendo “n” o número de espiras por unidade de comprimento ( lN / ) e “i” a

corrente que passa em cada espira.

Na região interna de uma bobina, o campo magnético é aproximadamente igual

a:

liNinB ⋅⋅=⋅⋅= 000 μμ (2.1)



Esta aproximação será boa desde que o ponto considerado para o campo

magnético não esteja próximo das extremidades da barra.

Substituindo a corrente por unidade de comprimento da bobina, n.i, pela corrente

superficial de Ampère que lhe corresponde, por unidade de comprimento do imã, M,

tem-se para o campo magnético no interior do imã, longe das extremidades, que:

MBm ⋅= 0μ (2.2)

Através deste modelo é possível fazer uma analogia entre o campo produzido no

interior de uma bobina, quando por ela circula uma corrente “i”, ou seja:

inB ⋅⋅= 00 μ

Com o campo magnético no interior de um imã, produzido pela chamada

corrente superficial de Ampère,

MBm ⋅= 0μ

Portanto, “M”, no caso do imã natural, corresponde ao produto “ in ⋅ ”, no caso

de uma bobina ou solenóide. Assim, pode-se escrever que:

liNinM ⋅=⋅= (2.3)

2.7 – MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS

Considere um material (por exemplo o ferro) em forma de barra cilíndrica

introduzida em uma bobina de “N” espiras, confo rme ilustra a figura 2.11 a seguir.



Figura 2.11 - Material Dentro de Uma Bobina

Para uma corrente “i” injetado no ponto “a”, surgirá um campo magnético total

“B”. Este campo magnético é formado pela ação da corrente “i” que passa pelas “N”

espiras da bobina e pela ação da corrente superficial de Ampère, no material.

Desta forma, pode-se analisar o comportamento do dispositivo da figura 2.11

anterior (na verdade um eletroímã) fazendo-se uma separação dos efeitos. Para tanto,

considere inicialmente apenas a bobina de “N” espiras, conforme apresentado à figura

2.12 a seguir.

Figura 2.12 - Bobina de “N” Espiras com Corrente

A passagem da corrente pela bobina dará origem a um campo magnético “B0”,

no seu interior, que poderá ser escrito como sendo:

liNinB ⋅⋅=⋅⋅= 000 μμ (2.4)



Onde:

l = Comprimento da bobina.

Portanto, o campo magnético “B0” será produzido apenas pela passagem da

corrente “i” na bobina.

Definindo agora o produto “ in ⋅ ” como sendo a intensidade de campo

magnético (H), ou seja:

liNinH ⋅=⋅= (2.5)

Tem-se em (2.4) que:

HB ⋅= 00 μ (2.6)

Onde:

B0 = Campo magnético no interior da bobina ou solenóide [ ]2/ mWb ;

0μ = Permeabilidade magnética do vácuo, de valor igual a [ ]mH /104 7−⋅⋅π ;

H = Intensidade de campo magnético [ ]mEA /⋅ .

A expressão (2.6) apresenta o campo magnético causado apenas pela passagem

da corrente pela bobina.

Introduzindo o material cilíndrico na bobina, conforme indicado à figura 2.11

anterior, irá aparecer no interior deste material um campo magnético total “B”. Isto

ocorre porque agora os dipolos magnéticos elementares estarão sujeitos à ação do

campo externo “B0”, e desta forma proporcionarão o surgimento de uma corrente

superficial de Ampère por unidade de comprimento (M). Esta corrente superficial dará

origem a um campo magnético “Bm”, conforme visto anteriormente (observar expressão

2.2).



Portanto, o campo magnético total “B” será formado pela ação conjunta dos

campos “B0” e “Bm”, ou seja:

mBBB += 0 (2.7)

Das expressões (2.2) e (2.6), pode-se escrever que:

MHB ⋅+⋅= 00 μμ (2.8)

Ou ainda,

( )MHB +⋅= 0μ (2.9)

A equação (2.9) pode ser colocada ainda na seguinte forma vetorial:

( )MHB +⋅= 0μ (2.10)

Onde:

B = Vetor densidade de campo magnético;

H = Vetor intensidade de campo magnético;

M =Vetor de magnetização, sendo o seu módulo igual à corrente superficial

de Ampère por unidade de comprimento (M).

2.8 – SUSCEPTIBILIDADE E PERMEABILIDADE MAGNÉTICAS

Nos materiais e substâncias paramagnéticas e diamagnéticas, existe uma

proporcionalidade entre a corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento

(M) e a intensidade de campo magnético (H). Esta relação de proporcionalidade pode

ser expressa por:

HxM m ⋅= (2.11)



Onde:

xm =

Constante de proporcionalidade entre “M” e “H”, definida como sendo

a susceptibilidade magnética do material ou substancia (grandeza

adimensional).


( )HxHB m ⋅+⋅= 0μ

Ou ainda,

( ) HxB m ⋅+⋅= 10μ (2.12)

Definindo agora,

( )mx+⋅= 10μμ (2.13)

De onde tiramos a relação,

HB ⋅= μ (2.14)

Onde:

μ = Permeabilidade magnética do material [ ]mH /

Da expressão (2.13), pode-se fazer a seguinte relação:

0

1μμ=+ mx (2.15)

Como pode ser observado, o valor “ mx+1 ” corresponde a relação da

permeabilidade magnética do material pela permeabilidade magnética do vácuo. Assim



sendo, “ mx+1 ” pode ser chamada de permeabilidade magnética relativa do material, ou

seja:

0

1μμμ =+= mr x (2.16)

Portanto, a expressão (2.12) pode ser escrita ainda sob a forma:

HHB r ⋅=⋅⋅= μμμ 0 (2.17)

Onde:

rμ =Permeabilidade magnética relativa do material ou substancia (grandeza

adimensional)

Definidas as diversas características magnéticas básicas para os materiais e

substâncias, pode-se passar agora a uma análise do comportamento magnético dos

materiais paramagnéticos, diamagnéticos e ferromagnéticos.

2.9 – PARAMAGNETISMO

Este fenômeno está associado aos materiais e substâncias paramagnéticas. O

paramagnetismo apresenta as seguintes características básicas:

a) Na ausência de um campo magnético externo os dipolos magnéticos

elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, sem indicar

nenhuma orientação predominante. A figura 2.13 a seguir ilustra esta

condição.



Figura 2.13 – Disposição Aleatória dos D.M.E.

b) Na presença de um campo magnético externo os dipolos magnéticos

elementares se alinham fracamente e de forma paralela ao campo aplicado.

A figura 2.14 a seguir ilustra esta condição.

B

Figura 2.14 – Disposição Fracamente Orientada dos D.M.E.

c) Retirando o campo externo os dipolos magnéticos elementares voltam a

uma disposição aleatória. A figura 2.15 a seguir ilustra esta condição.




d) A disposição dos dipolos magnéticos elementares é sensível às variações de

temperatura. Para elevadas temperaturas a orientação dos d.m.e. é

extremamente fraca, devido às vibrações térmicas.

e) Em temperaturas extremamente baixas, próximas do zero absoluto, os

d.m.e. tendem a apresentar uma forte orientação, caracterizando um

comportamento semelhante ao dos materiais ferromagnéticos;

f) A susceptibilidade magnética é positiva e bastante reduzida, ou seja:

10 <<<< mx

Isto ocorre porque a orientação dos d.m.e. é fraca e se apresenta de forma

paralela ao campo magnético externo;

g) A permeabilidade magnética é pouca coisa superior a permeabilidade

magnética do vácuo, podendo-se considerar até que:

0μμ ≅

Desta forma, a permeabilidade magnética relativa é praticamente unitária.

Exemplos de Materiais Paramagnéticos

Alumínio, oxigênio, ar, magnésio, madeira, plástico, tungstênio, cromo, titânio, etc.

Tabela 2.5 – Exemplos de Materiais Paramagnéticos

2.10 – DIAMAGNETISMO

Este fenômeno está associado aos materiais e substâncias diamagnéticas. O

diamagnetismo apresenta as seguintes características básicas:



a) Na ausência de um campo magnético externo os dipolos magnéticos

elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, sem indicar

nenhuma orientação predominante. A figura 2.16 a seguir ilustra esta

condição.


b) Na presença de um campo magnético externo os dipolos magnéticos

elementares se alinham fracamente e de forma antiparalela ao campo

aplicado. A figura 2.17 a seguir ilustra esta condição.

B

Figura 2.17 – Disposição Fracamente Orientada dos D.M.E.

c) Retirando o campo externo os dipolos magnéticos elementares voltam a

uma disposição aleatória. A figura 2.18 a seguir ilustra esta condição.




d) A disposição dos dipolos magnéticos elementares é pouco sensível às

variações normais de temperatura.

e) A susceptibilidade magnética é negativa e bastante reduzida, ou seja:

10 −>>>> mx

Isto ocorre porque a orientação dos d.m.e. é fraca e se apresenta de forma

antiparalela ao campo magnético externo;

f) A permeabilidade magnética é pouca coisa inferior a permeabilidade

magnética do vácuo, podendo-se considerar até que:

0μμ ≅

Desta forma, a permeabilidade magnética relativa é praticamente unitária,

ou seja:

1≅rμ



Exemplos de Materiais Diamagnéticos

Bismuto, cobre, diamante, ouro, prata, sódio, hidrogênio, dióxido de carbono, nitrogênio, água,

mercúrio, etc.

Tabela 2.6 – Exemplos de Materiais Diamagnéticos

2.11 – FERROMAGNETISMO

O ferromagnetismo é um fenômeno que ocorre em materiais e substâncias como:

Exemplos de Materiais Ferromagnéticos

- Ferro

- Níquel

- Cobalto

- Ligas Metálicas • Aço

• Aço-Carbono (aço com maior teor de carbono);

• Ferro-Silicio (96% Fe, 04% Si);

• Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr);

• Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3 Cu);

• Permalloy (55% Fe, 45% Ni);

• Etc.

Tabela 2.7 - Exemplos de Materiais Ferromagnéticos

A característica fundamental dos materiais ferromagnéticos é a de admitir com

facilidade elevadas magnetizações.

De uma forma geral, o ferromagnetismo apresenta as seguintes propriedades

básicas:

a) Os dipolos magnéticos elementares são agrupados em diversos setores,

formando regiões dentro do material, com orientação bem definida. Este



agrupamento de d.m.e. é chamado de “domínio magnético elementar” e é

uma propriedade básica dos materiais ferromagnéticos. A figura 2.19 ilustra

esta condição.

Figura 2.19 – Domínios Magnéticos Elementares

b) Para um material que não tenha sofrido qualquer imantação, os domínios

magnéticos elementares se apresentam dispostos de forma aleatória,

conforme ilustra a figura 2.20 a seguir.

Figura 2.20 – Disposição Aleatória dos Domínios Magnéticos

Obs.: Uma exceção importante é a dos imãs naturais, que apresentam

orientação “in natura” dos domínios magnéticos elementares.

c) Supondo que o material do item anterior seja submetido a um campo

magnético externo, haverá uma tendênc ia de orientação rápida dos domínios

magnéticos elementares, de forma paralela ao campo aplicado. A figura 2.21

ilustra esta condição.



B

Figura 2.21 – Orientação dos Domínios Magnéticos Elementares

d) Considerando agora a retirada do campo magnético externo, haverá uma

perda da orientação dos domínios magnéticos elementares que poderá ser

pequena ou elevada, dependendo do tipo de material empregado. Esta

condição está retratada à figura 2.22 a seguir.

Figura 2.22 – Orientação Residual dos domínios Magnéticos

Portanto os materiais ferromagnéticos tendem a ficar com uma imantação

residual ou remanescente.

e) Os materiais ferromagnéticos perdem as suas propriedades de orientação

dos domínios magnéticos elementares, quando submetidos a elevadas

temperaturas. A temperatura limite para a perda de imantação destes

materiais é chamada de “ponto Curie” ou “temperatura de Curie”. À partir

desta temperatura os materiais ferromagnéticos apresentam propriedades

magnéticas semelhantes as dos materiais paramagnéticos.



2.11.1 Curva de Saturação

Seja o dispositivo composto por uma bobina e um núcleo de material

ferromagnético, da figura 2.23 a seguir.

Figura 2.23 – Bobina com Material Ferromagnético

Para uma corrente contínua “i” injetado no ponto “a”, obtém-se um campo

magnético “B”. Aumentando-se gradualmente o valor desta corrente, haverá uma

elevação também gradual do campo magnético “B”. Na verdade, o que está ocorrendo, é

uma orientação lenta dos domínios magnéticos elementares do material. Quando

praticamente todos estes domínios estiverem orientados, mais difícil ficará o incremento

no campo magnético total que circunda o dispositivo. Neste ponto diz-se que o material

está chegando a saturação. Portanto, a saturação de um material corresponde à condição

de quase totalidade de orientação dos domínios magnéticos elementares.

A figura 2.24, a seguir, ilustra a condição de saturação ocorrida no material, com

o aumento do valor da corrente “i”.



Figura 2.24 – Curva de Saturação (B x i) do Material

Da equação (2.5), tem-se que:

liNinH ⋅=⋅=

Tomando o valor da corrente, vem:

NlHi ⋅=

Como, o número de espiras (N) e o comprimento (l) da bobina, são constantes,

existe uma relação de proporcionalidade entre a corrente (i) e a intensidade de campo

magnético (H). Desta forma, a curva de saturação do material pode ser modificada,

simplesmente através de mudança de escala na sua abscissa. Esta condição é

apresentada à figura 2.25.

Figura 2.25 – Curava de Saturação (B x H) do Material



Como pode ser observada, até a saturação do material, a permeabilidade

magnética permanece praticamente constante. A partir daí seu comportamento passa a

ser eminentemente variável, caracterizando uma não- linearidade entre “B” e “H”. Assim

sendo, pode-se dizer que: nos materiais ferromagnéticos a permeabilidade magnética

( μ ) é variável, devido a saturação.

Na figura 2.25, o valor “HS” corresponde a intensidade de campo magnético

saturante, ou seja, o valor de “H” para o qual o material começa a sofrer o efeito da

saturação. A densidade de campo magnético correspondente vale “BS”.

A tabela 2.8 a seguir apresenta valores das densidades de campo magnético

“BS”, bem como permeabilidades magnéticas relativas ( rμ ), para alguns materiais

ferromagnéticos.

MaterialFerromagnético

Campo MagnéticoBs (Tesla)

PermeabilidadeRelativa ( rμ )

Ferro (temperado) 2.16 5500

Ferro-Silicio 1.95 7000

Permalloy 1.60 25000

Mumetal 0.65 100000

Tabela 2.8 – Valores de “BS” e “ μ ” para a Alguns Materiais

2.11.2 Ciclo de Histerese

No dispositivo da figura 2.23, considere uma corrente alternada senoidal “i” (do

tipo apresentado à figura 2.26 a seguir), sendo injetada no ponto “a”.



Figura 2.26 – Corrente Alternada Senoidal

A passagem desta corrente pela bobina dará origem a um campo magnético

variável “B”. A corrente “i” é proporcional a intensidade de campo magnético “H”,

desta forma, à medida que a corrente varia, a intensidade de campo magnético também

varia. Esta variação irá ocasionar uma alteração no campo magnético total do

dispositivo.

A figura 2.27, a seguir, mostra como será o comportamento do campo magnético

“B”, para um ciclo completo da corrente alternada senoidal representada pela figura

2.26.

Figura 2.27 – Curva B x H (Ciclo de Histerese)



O ponto (01) corresponde à condição inicial, a corrente é nula e o material não

apresenta qualquer imantação. O ponto (02) está associado à condição de máxima

corrente no sentido positivo. Para este valor de corrente tem-se o valor máximo positivo

da densidade de campo magnético (Bmáx). No ponto (03), a corrente se anula e o

material mantém um magnetismo residual ou remanescente (Br) positivo, ou seja,

permanece uma determinada orientação dos domínios magnéticos elementares. A partir

deste último ponto, até (04), a corrente cresce negativamente até atingir seu máximo

valor. No ponto (04) tem-se a correspondente densidade de campo magnético máxima

em sentido contrário (ou negativa). Finalmente em (05), a corrente se anula novamente,

restando no material um magnetismo residual (Br) negativo.

Ao percurso fechado da figura 2.27 (curva B x H) dá-se o nome de “ciclo de

histerese”. Portanto, a cada ciclo da corrente alternada “i” corresponde um ciclo da

curva B x H.

A figura 2.28 a seguir apresenta, com maiores detalhes, alguns valores

importantes de densidade de campo magnético (B) e de intensidade de campo

magnético (H), do ciclo de histerese.

Figura 2.28 – Ciclo de Histerese



Na figura 2.28, podem ser observados os seguintes valores:

Br = Magnetismo Residual ou Remanescente ⇒ é a densidade de campo

magnético que permanece no material após a retirada do campo magnético externo, ou

seja, quando a corrente “i” se anula. Corresponde a orientação remanescente dos

domínios magnéticos elementares do material;

Bmáx = Densidade de Campo Magnético Máxima ⇒ corresponde ao máximo

valor de campo magnético no material. É produzido pelo valor máximo da corrente “i”

na bobina;

Hc = Força Coercitiva ou Coerciva ⇒ é a intensidade de campo magnético

necessária para eliminar o magnetismo residual ou remanescente do material.

Com relação à polarização, pode-se observar na figura 2.28 as seguintes

características dos materiais ferromagnéticos:

• 01o Quadrante B (+) e H (+) ⇒ Mesmos Sentidos

• 02o Quadrante B (+) e H (–) ⇒ Sentidos Opostos

• 03o Quadrante B (–) e H (–) ⇒ Mesmos Sentidos

• 04o Quadrante B (–) e H (+) ⇒ Sentidos Opostos

Tabela 2.9 – Características dos Materiais Ferromagnéticos

Os sentidos opostos, verificados nos quadrantes pares (02º e 04º), ocorrem

devido ao processo de desimantação do material, ou seja, a eliminação do magnetismo

residual através da inversão no sentido da corrente “i” (e conseqüentemente a inversão

da intensidade de campo magnético “H”).

2.11.3 Materiais Magnéticos Duros e Moles

a) Materiais Magnéticos Duros



Estes materiais apresentam as seguintes características básicas:

- Ciclo de Histerese

Apresentam elevado magnetismo residual o que implica na necessidade de uma

elevada força coercitiva. Conseqüentemente a área do ciclo de histerese é grande, como

pode ser observado através da figura 2.29 a seguir.

Figura 2.29 – Ciclo de Histerese dos Materiais Magnéticos Duros

- Aplicação

São utilizados como imãs permanentes e em dispositivos e equipamentos que

requerem elevado grau de magnetismo residual, como: alto-falantes, telefones,

medidores, etc.

A seguir estão listados alguns exemplos de materiais magnéticos duros:



Exemplos de Materiais Magnéticos Duros

• Aço-Carbono (aço com maior teor de carbono)

• Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu)

• Alcomax (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu, 1% Nb)

• Bismanol (MnBi)

Tabela 2.10 – Exemplos de Materiais Magnéticos Duros

b) Materiais Magnéticos Moles

Estes materiais apresentam as seguintes características básicas:

- Ciclo de Histerese

Apresentam magnetismo residual bastante reduzido, o que implica na

necessidade de uma força coercitiva de pequena intensidade. Conseqüentemente a área

do ciclo de histerese é reduzida, como pode ser observado através da figura 2.30 a

seguir.

Figura 2.30 – Ciclo de Histerese dos Materiais Magnéticos Moles



- Aplicação

Por apresentarem reduzidas áreas dos ciclos de histerese, os materiais

magnéticos moles são utilizados na confecção de núcleos de transformadores e

máquinas elétricas rotativas. Como será visto posteriormente, a área do ciclo de

histerese está associada às perdas no núcleo, que são indesejáveis em equipamentos de

alto rendimento (perdas reduzidas), como é o caso dos transformadores e das máquinas

rotativas.

A seguir estão listados alguns exemplos de materiais magnéticos moles:

Exemplos de Materiais Magnéticos Moles

• Ferro

• Aços-Doces (aços com baixos teores de carbono)

• Ferro-Silício (96% Fe, 4% Si)

• Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr)

• Permalloy

Tabela 2.11 – Exemplos de Materiais Magnéticos Moles

2.12 – CORRENTES PARASITAS OU DE FOUCAULT

Seja o condutor com corrente “i” variável, mostrado à figura 2.31 a seguir.

Figura 2.31 – Condutor com Corrente



A corrente “i” variável dá origem a um campo magnético variável ao redor do

condutor.

Seja aproximar deste condutor uma determinada espira fechada. Através do

princípio da indução eletromagnética sabe-se que, um campo magnético variável dá

origem a uma f.e.m. induzida. Portanto, irá aparecer na espira uma f.e.m. induzida e

como a espira está fechada haverá circulação de uma corrente. Este fato pode ser

verificado à figura 2.32 a seguir.

Figura 2.32 – Espira Fechada Próxima de um Condutor com Corrente

Seja agora aproximar do condutor uma determinada barra de ferro cilíndrica.

Esta barra estará sujeita à ação do campo magnético variável (B), como pode ser

observado à figura 2.33 a seguir.

Figura 2.33 – Barra Cilíndrica Próxima de um Condutor com Corrente



Nos núcleos magnéticos maciços, como aquele da figura 2.33, são encontradas

imperfeições. Algumas delas formam trajetórias fechadas, como espiras, e apresentam

uma determinada condutância elétrica. A presença de um campo magnético variando

através destas pequenas “espiras” (ver figura 2.34) dará origem a correntes elétricas

induzidas.

Figura 2.34 – Barra de Ferro Cilíndrica com Imperfeições

Estas correntes induzidas, circulando no material, causam perdas por dissipação

de calor (efeito Joule). Portanto, quanto maior o número de trajetórias e quanto maiores

forem as suas condutâncias (ou menores as suas resistências), maiores serão as perdas

no núcleo, pelo efeito Joule.

Para uma determinada trajetória fechada (“espira”), tem-se que:

rei = (2.10)

Onde:

I = Corrente induzida na “espira”;

e = F.e.m. induzida na “espira”;

r = Resistência da trajetória fechada (“espira”).

Estas correntes induzidas no material (“i”) são chamadas de “correntes

parasitas” ou “correntes de Foucault” e provocam:



- Perdas por efeito Joule;

- Aquecimento do material (núcleo magnético);

- Redução na orientação dos domínios magnéticos elementares.

Na maioria das aplicações, as correntes de Foucault são indesejáveis. Desta

forma, é importante desenvolver um procedimento para evitá- las.

As correntes parasitas (ou de Foucault) podem ser reduzidas através da

laminação do núcleo magnético. O efeito deste processo pode ser verificado à figura

2.35 a seguir.

Figura 2.35 – Laminação do Núcleo Magnético

Da figura 2.35, vê-se que através da laminação do núcleo magnético é possível

aumentar as resistências elétricas das trajetórias fechadas (r) e conseqüentemente

reduzir a intensidade das correntes parasitas (i). Notar que entre cada lâmina ou chapa

existe uma película isolante, que causa a elevação das resistências das “espiras”.



01) Por quê não se consegue isolar o pólo norte do pólo sul, em um imã natural?

02) O que são os dipolos magnéticos elementares?



03) Como são classificados os corpos quanto à imantação?

04) Qual é o significado de imantação?

05) Como são classificados magneticamente os materiais e substâncias?

06) O que é um imã natural?

07) Quais são os tipos de imãs artificiais?

08) Qual é a diferença básica entre um imã artificial permanente e um imã

artificial transitório?

09) Qual é o significado do ponto Curie?

10) Como surge o campo magnético em um imã natural?

11) O que é a corrente superficial de Ampère? Qual é o seu efeito?

12) Determine o campo magnético no interior de um solenóide ou bobina.

13) Qual é o significado da intensidade de campo magnético? Como determiná-

la?

14) O que acontece quando se introduz um material ferromagnético dentro de

uma bobina com corrente?

15) Qual é a diferença entre densidade de campo magnético e intensidade de

campo magnético? Como são representadas? Quais as suas unidades usuais?

16) Qual é o valor da permeabilidade magnética do vácuo? Como é

representada?



17) Qual é o significado do vetor de magnetização?

18) O que é a susceptibilidade magné tica de um material? Como é

representada? Qual é a sua unidade?

19) A susceptibilidade magnética é definida para todos os materiais? Por quê?

20) O que é a permeabilidade magnética? Como é representada? Qual é a sua

unidade usual?

21) O que é a permeabilidade magnética relativa? Como é representada? Qual é

a sua unidade usual?

22) Qual é a diferença entre a permeabilidade magnética e a susceptibilidade

magnética? Faça uma demonstração matemática.

23) Quais são as principais características dos materiais paramagnéticos?

24) Quais são as principais características dos materiais diamagnéticos?

25) Cite exemplos de substâncias e materiais paramagnéticos?

26) Cite exemplos de substâncias e materiais diamagnéticos?

27) Por quê as substâncias diamagnéticas possuem 10 −>>>> mx ?

28) Por quê as substâncias paramagnéticas possuem 10 <<<< mx ?

29) O que é o ferromagnetismo?

30) O que são os domínios magnéticos elementares?



31) Por quê os materiais ferromagnéticos são facilmente imantados?

32) Cite exemplos de materiais ferromagnéticos.

33) O que são as ligas metálicas?

34) Como é a influência da temperatura nos materiais ferromagnéticos?

35) Por quê ocorre a saturação do campo magnético em um material

ferromagnético?

36) Qual é o significado da curva de saturação de um material

ferromagnético? Como pode ser obtida?

37) A permeabilidade magnética de um material ferromagnético é

constante? Explique.

38) Qual é o significado de não-linearidade?

39) O que é uma curva de magnetização?

40) Qual é o significado do ciclo de histerese? Como pode ser obtido? Explique.

41) O que é magnetismo residual ou remanescente?

42) O que é força coerciva ou coercitiva?

43) O que pode ser feito para eliminar o magnetismo residual de um material?

Explique!

44) Qual é a importância do magnetismo remanescente? Cite exemplos.



45) Que valor define a densidade de campo magnético máxima, no ciclo de

histerese?

46) Quando submetidos a um campo magnético externo, os materiais

ferromagnéticos sempre orientam os seus domínios magnéticos elementares de forma

paralela ao mesmo? Explique detalhadamente.

47) Em termos de magnetização, qual é o efeito de uma corrente alternada

senoidal?

48) Quais são as características básicas de um material magnético duro? Onde

são usados?

49) Quais são as características básicas de um material magnético mole? Onde

são usados?

50) O que são as correntes de Foucault?

51) Como surgem as correntes de Foucault?

52) Como reduzir as correntes de Foucault?

53) Quais são os feitos das correntes de Foucault?

54) Qual é a diferença entre correntes de Foucault e correntes parasitas?

55) Qual é o significado de cada um dos símbolos a seguir:

B, H, n, N, μ , 0μ , rμ , mx , L, λ ?

56) Quais são as dimensões usuais dos seguintes parâmetros e variáveis:



B, H, n, N, μ , 0μ , rμ , mx , L, λ ?

2.14 – BIBLIOGRAFIA

[1] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção Schaum, Editora McGraw-



[2] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 02a, Editora Guanabara Dois S.A.,

Segunda Edição, 1986.


[3] David Halliday e Robert Resnick, “Fundamentos de Física” , Parte 03 -

Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1991.


[4] L. Bessonov, “Applied Electricity for Engineers”, MIR Publishers -

Moscow, 1973.


[5] Syed A. Nasar, “Máquinas Elétricas”, Coleção Schaum, Editora McGraw-



[6] Encyclopedia Britannica, “Magnetism”.



CAPÍTUL0 03 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS

______________________________________________________________________


Os circuitos magnéticos utilizam materiais ferromagnéticos no sentido de

direcionar e elevar a indução magnética (e conseqüentemente o fluxo magnético). Isto é

possível uma vez que os materiais ferromagnéticos possuem altas permeabilidades.

A figura 3.1, a seguir, apresenta um exemplo típico de circuito magnético. Nesta

configuração, pode-se notar o direcionamento do fluxo magnético proporcionado pela

forma do núcleo.

Figura 3.1 – Núcleo Magnético

3.2 – EFEITO DA DISPERSÃO

Os circuitos magnéticos também são sujeitos aos efeitos da dispersão. Assim,

considere inicialmente a bobina ou solenóide da figura 3.2 a seguir.



i

N

a b

B

dispersãodispersão

Figura 3.2 – Efeito da Dispersão em um Solenóide

Como pode ser observado, ocorre nas extremidades da bobina uma determinada

dispersão do campo magnético através do ar (pode-se ver, na figura, uma redução da

densidade de campo magnético “B”, nas extremidades). Este fenômeno é conhecido

como “efeito das extremidades” ou “dispersão”.

Considere agora o circuito magnético apresentado de forma esquemática à figura

3.3 a seguir.

Figura 3.3 – Efeito da Dispersão em um Núcleo Magnético

Neste caso, o efeito da dispersão também ocorre nas extremidades da bobina.

Entretanto, devido à alta permeabilidade proporcionada pelo material ferromagnético

que constitui o núcleo, este efeito de dispersão será bastante reduzido. Observar que a

alta permeabilidade oferece um caminho mais adequado à “circulação” do fluxo

magnético. Portanto, quanto maior for a permeabilidade do núcleo, menor será o efeito

da dispersão de fluxo magnético pelo ar.



Da figura 3.3 tem-se que:

dt φφφ +=

Onde:

tφ = Fluxo magnético total produzido pela corrente;

φ = Fluxo magnético que “circula” pelo núcleo;

dφ = Fluxo magnético de dispersão pelo ar.

Para materiais de alta permeabilidade tem-se que:

dφφ >>>

3.3 – EQUACIONAMENTO

3.3.1 Determinação de “B” e “H”

Considere o circuito magnético da figura 3.4 a seguir. Para a linha média do

mesmo pose-se escrever que:

[ ]2/ mWbA

B φ= (3.1)

Onde:

B =Densidade de campo magnético de cada uma das pernas do núcleo

magnético;

φ =Fluxo magnético que “circula” através de cada uma das pernas do

núcleo magnético;

A =Área da seção reta transversal de cada uma das pernas do núcleo

magnético.



Figura 3.4 – Circuito Magnético

A densidade de campo magnético “B” pode ser expressa por:

( ) HxB m ⋅+⋅= 10μ

Ou ainda,

HB ⋅= μ

Portanto, determinado o valor de “B” (conforme expressão 3.1), e de posse da

curva de saturação do material, pode-se calcular o valor da intensidade de campo

magnético “H” correspondente, para cada uma das pernas do núcleo magnético.

Desta forma, considere a curva de saturação apresentada à figura 3.5 a seguir.

Figura 3.5 – Curva de Saturação do Material



Para cada valor de “B” haverá um valor de “H” correspondente. Assim, pode-se

escrever também que:

[ ]mAEBH /μ

= (3.2)

3.3.2 Definição de Força Magnetomotriz

Foi visto anteriormente que:

liNinH ⋅=⋅=

Desta forma, pode-se escrever também que:

iNlH ⋅=⋅

Define-se como força magnetomotriz, o produto “ lH ⋅ ” ou o produto “ iN ⋅ ”,

então:

[ ]AEiNlHF ⋅=⋅= (3.3)

Onde:

F = Força magnetomotriz (ou simplesmente f.m.m.).

Esta definição é realizada como uma analogia à força eletromotriz nos circuitos

elétricos. Tal correspondência será analisada no item seguinte.

3.4 – ANALOGIA ELETROMAGNÉTICA

3.4.1 Introdução

Seja o circuito elétrico da figura 3.6 a seguir.



Figura 3.6 – Circuito Elétrico

Para este circuito elétrico podem ser escritas as seguintes equações:

iRe ⋅=

Sendo:

Al

AlR

⋅=⋅=

σρ

E ainda,

lAG ⋅= σ

Onde:

e = Força eletromotriz (f.e.m.);

R = Resistência elétrica total do circuito;

G = Condutância elétrica total do circuito;

i = Corrente elétrica que passa pelo circuito elétrico;

l = Comprimento total do condutor;

A = Área da seção reta transversal do condutor;ρ = Resistência elétrica do material utilizado como condutor;

σ = Condutividade elétrica do material utilizado como condutor.



Seja agora o circuito magnético apresentado à figura 3.7:


Na figura 3.7, tem-se que:

F = Força magnetomotriz (f.m.m.);

N = Número de espiras da bobina;

I = Corrente que circula na bobina;

φ = Fluxo magnético que “circula” pelo núcleo.

Observando as figuras 3.6 e 3.7, pode-se concluir que: enquanto no circuito

elétrico circula uma corrente elétrica “i”, no circuito magnético “circula” um fluxo

magnético “φ ”. Por outro lado, no circuito elétrico existe uma fonte de força

eletromotriz “e” e no circuito magnético existe uma fonte de força magnetomotriz “F”.

Portanto, pode-se fazer a seguinte analogia entre os dois circuitos:

i ⇒ φe ⇒ F

Para o circuito elétrico, pode-se escrever que:

iNlHF ⋅=⋅=



lA

lBlHF ⋅⋅

=⋅=⋅=μ

φμ

φμ

⋅⋅

=A

lF(3.4)

No circuito elétrico, pose-se escrever que:

iRe ⋅=

Al

AlR

⋅=⋅=

σρ

iA

le ⋅⋅

=σ (3.5)

Comparando as equações (3.4) e (3.5), pode-se observar uma analogia entre os

seguintes termos:

AlR⋅

=σ

eA⋅μ

1

A primeira relação corresponde à resistência (R) do circuito elétrico. A segunda,

portanto, corresponderia a uma certa “resistência” do circuito magnético. Através desta

analogia, define-se:

[ ]1−

⋅= H

AlRe μ

(3.6)

Onde:

Re = Relutância magnética do núcleo ou do circuito magnético.

Desta forma pode-se escrever que:



φ⋅= eRF (3.7)

Onde (3.7) é uma equação análoga à lei de Ohm no circuito elétrico.

Por outro lado, o inverso da relutância magnética é definido como sendo a

permeância magnética (Pe), de forma análoga a condutância (G) no circuito elétrico.

Desta forma, pode-se escrever que:

[ ]Hl

AR

Pe

e⋅== μ1

(3.8)

3.4.2 Cálculo da Indutância do Circuito Magnético

Sabe-se que:

iLN ⋅=⋅= φλ

Onde:

λ = Fluxo enlaçado ou concatenado;

L = Indutância da bobina.

Portanto,

lN

iL φλ ⋅==

Mas como,

NlHiiNlH ⋅=⇒⋅=⋅

E ainda,



AB ⋅=φ

Vem:

lHABNN

lHABN

iNL

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅=

2φ

Mas,

HB ⋅= μ

Assim,

lANL ⋅⋅= μ2

Como,

AlRe ⋅

=μ

Tem-se que:

[ ]HPNRNL e

e

⋅== 22

(3.9)

3.4.3 Resumo da Analogia Eletromagnética

A seguir será apresentada uma tabela com o resumo das principais analogias

verificadas entre os circuitos elétricos e magnéticos.



Circuito Elétrico Circuito Magnético

i = Corrente Elétrica φ = Fluxo Magnético

e = Força Eletromotriz F = Força Magnetomotriz

R = Resistência Elétrica Re = Relutância Magnética

G = Condutância Elétrica Pe = Permeância Magnética

σ = Condutividade elétrica μ = Permeabilidade Magnética

e = iR ⋅ F = φ⋅=⋅ eRiN (Lei de Hopkinson)

∑ i = 0 (Lei de Kirchhoff) ∑φ = 0

R = ( )Al ⋅σ/ e G = ( ) lA /⋅σ R0 = ( )Al ⋅μ/ e Pe = ( ) lA /⋅μ

Tabela 3.1 – Analogia Eletromagnética

3.4.4 Circuito Elétrico Análogo

Um circuito elétrico simples pode ser representado de forma esquemático

conforme a figura 3.8 a seguir.

Figura 3.8 – Representação Esquemática de um Circuito Elétrico

Seja agora um circuito magnético como aquele apresentado à figura 3.9 a seguir.




Através da analogia com o circuito elétrico, o circuito magnético anterior pode

ser representado por um circuito elétrico análogo, conforme ilustra a figura 3.10 a

seguir.

Figura 3.10 – Circuito Elétrico Análogo

A analogia é utilizada para melhorar a compreensão e maior facilidade na

solução dos circuitos magnéticos.

3.4.5 Efeitos da Saturação

Seja a curva de saturação ou magnetização da figura 3.11 a seguir.



Figura 3.11 – Curva de Saturação

Como pode sr observado na figura (3.11) anterior, as permeabilidades dos

pontos (01) e (02) são diferentes.

Assim, sendo, pode-se concluir que a saturação afeta:

a) A permeabilidade magnética do material ( μ );

b) A permeância (Pe) ou a relutância (Re) do circuito magnético;

c) A indutância (L) da bobina ou do circuito elétrico.

Vale lembrar que:

lAPe

⋅= μA

lRe ⋅=

μeR

NL2

=

3.5 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS SÉRIE

Um circuito magnético série é aquele em que o fluxo magnético é o mesmo em

todas as suas pernas.

Este tipo de circuito magnético pode ser dividido em:



a) Circuito magnético série homogêneo: quando as áreas das seções retas

transversais de todas as pernas do núcleo forem iguais. A figura 3.12 a

seguir ilustra esta condição.

Figura 3.12 – Circuito Magnético Série Homogêneo

Da figura 3.12, tem-se:

AAAAA ==== 4321

44

33

22

11 A

BA

BA

BA

B φφφφ ====

BBBBB ==== 4321

b) Circuito magnético série não-homogêneo: quando pelo menos uma das

áreas das seções retas transversais for diferente das demais. A figura 3.13 a

seguir ilustra esta condição.



Figura 3.13 – Circuito Magnético Série Não-Homogêneo

Da figura 3.13, tem-se que:

4321 AAAA ≠≠≠

44

33

22

11 A

BA

BA

BA

B φφφφ ====

4321 BBBB ≠≠≠

Para os circuitos magnéticos das figuras 3.12 e 3.13, pode ser desenvolvido o

circuito análogo equivalente apresentado à figura 3.14 a seguir:





( ) φ⋅+++=4321 eeee RRRRF

Chamando,

4321 eeeee RRRRRTOTAL

+++=

Vem:

φ⋅=TOTALeRF

Portanto, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo equivalente

apresentado à figura 3.15 a seguir.

Figura 3.15 – Circuito Elétrico Análogo Equivalente

Considere agora o circuito magnético da figura 3.16 a seguir.



Figura 3.16 – Circuito Magnético Série

Onde:

lllll =+++ 4321

Sendo “l” sendo a linha média do circuito.

Através da analogia eletromagnética pode-se desenvolver o circuito elétrico

análogo à figura 3.17 a seguir.




Conforme desenvolvimento anterior pode-se escrever que:

φ⋅=TOTALeRF

Ou de uma forma mais geral:

∑=

⋅=n

keTOTAL

RF1

φ (3.10)

Da equação 3.6, tem-se que:

[ ]1−

⋅= H

AlRe μ

Ou ainda,

kk

ke A

lR

k ⋅=

μ

Levando em 3.10, obtém-se:

∑= ⋅

⋅⋅=n

k kk

k

Al

F1 μφφ (3.11)

Mas,

AB φ=

Ou ainda,



kk A

B φ=

Em (3.11), vem:

∑=

⋅=n

kk

k

k lB

F1 μ

Como,

HB ⋅= μ

Ou ainda,

k

kk

BH

μ=

Obtém-se finalmente que:

∑=

⋅=n

kkk lHF

1

(3.12)

Ou seja,

iNlHlHlHlHF ⋅=+⋅+⋅+⋅+⋅= ....44332211

Ou ainda,

iNFFFFF ⋅=++++= ....4321



As intensidades de campo magnético: H1, H2, H3, H4,..., são determinadas

através das curvas de magnetização dos materiais, respectivamente para B1, B2, B3,

B4,...

3.5.1 Tipos de Problemas

Existem basicamente dois tipos de problemas de cálculo de circuitos magnéticos,

a saber:

a) Determinar o valor da corrente “i” injetada na bobina, necessária para

produzir um determinado fluxo magnético “φ ” no núcleo;

b) Determinar o valor do fluxo magnético “φ ”, no núcleo, produzido por uma

dada corrente “i” na bobina.

O primeiro tipo de problema é de solução muito simples (solução direta), já o

segundo tipo requer uma solução iterativa mais trabalhosa.

A seguir serão apresentados exemplos práticos dos dois tipos de problemas

citados.

3.5.2 Exemplos

Exemplo 3.1:

Seja o circuito magnético serie não-homogêneo apresentado à figura 3.18 a

seguir:



Figura 3.18 – Circuito Magnético de Exemplo 3.1

Sabendo que:

Espessura do Núcleo = 08 [cm]

N = 300 espiras (número total de espiras da bobina)

φ =0.0064 [Wb] (fluxo magnético no núcleo)

Tabela 3.2 – Dados do Exercício 3.1

Determinar a força magnetomotriz “F” e a corrente “i” injetada na bobina. As

medidas na figura 3.18 são dadas em centímetros.

Considerar a curva 01 de magnetização, do anexo 01.

Solução:

- Cálculos Iniciais

O circuito magnético da figura 3.18 pode ser dividido em 02 partes (de seções

iguais). Para estas partes podem ser calculados os comprimentos das linhas médias e as

áreas das seções retas transversais do núcleo, ou seja:



Parte 01

l1 = (05 + 30 + 04) x 02 + (05 + 22 + 05) = 110 [cm]

I1 = 1.10 [m]

A1 = 10 x 08 = 80 [cm2]

A1 = 0.0080 [m2]

Tabela 3.3 – Medidas da Parte 01 do Circuito Magnético da Figura 3.18

Parte 02

l2 = 05 + 22 + 05 = 32 [cm]

I2 = 0.32 [m]

A2 = 08 x 08 = 64 [cm2]

A2 = 0.0064 [m2]


- Circuito Elétrico Análogo

O circuito magnético da figura 3.18 pode ser representado pelo circuito elétrico

análogo da figura 3.19 a seguir.


Da figura 3.19 tem-se que:



φφ ⋅+⋅=21 ee RRF

Ou ainda,

21 FFF +=

Vale lembrar que:

lHF ⋅=

Portanto,

111 lHF ⋅=

222 lHF ⋅=

- Tabela de Valores

Considerando os dados fornecidos e através das expressões anteriormente

apresentadas, é possível montar a tabela de valores (3.5) a seguir.

Parte Ö [Wb] A [m2] B [T] H [AE/m] l [m] F [AE]

01 0.0064 0.0080 0.8 620 1.10 682

02 0.0064 0.0064 1.0 900 0.32 288

Tabela 3.5 – Tabela de Valores

No desenvolvimento da tabela 3.5, considerou-se que:

a) No circuito magnético série, o fluxo magnético é o mesmo em todas as

partes. Portanto:



[ ]Wb0064.01 == φφ

b) As áreas das seções retas transversais (A1 e A2) e os comprimentos das

linhas médias (l1 e l2) foram determinados no item “cálculos iniciais”;

c) Os valores B1 e B2 são determinados através da expressão:

AB φ=

d) Os valores H1 e H2 são obtidos através da curva de saturação do material,

para B1 e B2 respectivamente.

Obs.: A curva de magnetização do material é apresentada no anexo 01

(curva 01).

e) Os valores F1 e F2 são determinados através da seguinte expressão:

lHF ⋅=

- Determinação da Corrente

A corrente “i” da bobina pode ser determinada da seguinte forma:

21 FFF +=

Logo,

[ ]AEF 970288682 =+=

Como,



iNF ⋅=

Vem,

[ ]ANFi 233.3

300970 ===

- Determinação de outros Valores

Da tabela podem ser extraídos diversos valores como:

- As relutâncias das diversas partes do núcleo magnético;

- As permeâncias das diversas partes do núcleo;

- A relutância equivalente do circuito magnético;

- As permeabilidades magnéticas absolutas e relativas das diversas

partes;

- O fluxo enlaçado com a bobina;

- A indutância (L) da bobina.

Fica como exercício para o leitor, a determinação destas grandezas.

Exemplo 3.2:

Para o mesmo circuito magnético do exemplo 3.1 anterior, achar o valor do

fluxo magnético correspondente a uma corrente de 6.667 [A] na bobina.

Solução:




No exemplo 3.1, foram determinadas as áreas das seções e os comprimentos das

linhas médias do núcleo. Foi desenvolvido também o circuito elétrico análogo.

É sabido que:

iNF ⋅=

Como:

i = 6.667 [A] e N = 300 espiras

Vem:

[ ]AEF 2000667.6300 =⋅=


A figura 3.20 a seguir apresenta o circuito elétrico análogo correspondente.




Admitindo por hipótese que: F1=1000[AE] , é possível desenvolver a tabela de

valores (3.6) do item a seguir.

- Tabela de Valores


01 0.0080 0.0080 1.00 909 1.10 1000

02 0.0080 0.0064 1.25 1600 0.32 512


A força magnetomotriz total (F) é igual a soma das parcelas F1 e F2, portanto;

][1512512100021 AEFFF =+=+=

Este valor (1512 [AE]) está abaixo do valor real da força magnetomotriz total,

ou seja, 2000 [AE]. Desta forma, uma nova hipótese se faz necessária.

Admitindo por hipótese que: F1=1400[AE] , pode-se desenvolver a tabela de

valores (3.7) a seguir.

- Tabela de Valores


01 0.0093 0.0080 1.16 1273 1.10 1400

02 0.0093 0.0064 1.45 3000 0.32 960


A força magnetomotriz total (F) é igual a soma das parcelas F1 e F2, portanto;



][2360960140021 AEFFF =+=+=

Este valor (2360 [AE]) está acima do valor real da força magnetomotriz total, ou

seja, 2000 [AE]. Desta forma, uma nova hipótese se faz necessária.

Admitindo agora F1=1250[AE] , pode-se desenvolver a tabela de valores (3.8) a

seguir.

- Tabela de Valores


01 0.0089 0.0080 1.11 1136 1.10 1250

02 0.0089 0.0064 1.39 2300 0.32 736


Somando F1 e F2 obtém-se: F = 1986 [AE]. Este valor está muito próximo do

valor real de 2000 [AE]. Portanto, pode-se dizer que o fluxo magnético no núcleo vale

0.0089 [Wb].

- Outros Valores Obtidos da Tabela

Da tabela 3.8 podem ser obtidas inúmeras outras grandezas, conforme sugerido

no exemplo 3.1 anterior. Alguns destes possíveis resultados são apresentados a seguir.

φ = 0.0089 [Wb]Te

R = 223147 [H-1]

1eR = 140450 [H-1] L = 0.4033 [H]

2eR = 82697 [H-1]

Tabela 3.9 - Outros Valores Obtidos da Tabela



O leitor deve comparar os resultados obtidos nos dois exemplos dados e verificar

os efeitos causados pela não- linearidade do circuito magnético.

3.6 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS PARALELOS

Em um circuito magnético paralelo, existem “nós” de bifurcação para o fluxo

magnético. A figura 3.21 a seguir apresenta uma configuração típica.

Figura 3.21 – Circuito Magnético Paralelo

Para este circuito magnético, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo

apresentado à figura 3.22.


Da figura 3.22, tem-se:

321 φφφ +=



Tem-se também,

21 2121 eeRFFF φφφ ⋅+⋅=+=

31 3131 eeRFFF φφφ ⋅+⋅=+=

Portanto, podemos admitir que,

32 FF =

De onde retiramos:

3322 lHlH ⋅=⋅

Considere agora o núcleo magnético apresentado à figura 3.23 a seguir.

Figura 3.23 – Circuito Magnético Paralelo com Bobina Central

Da figura anterior, tem-se que:

312 φφφ +=

Considerando a simetria do núcleo,



22

31

φφφ ==

Por analogia, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo da figura 3.24 a

seguir.


Da figura 3.24, pode-se escrever que:

3221 FFFFF +=+=

E portanto,

31 FF =

Exemplo 3.3:

Determinar o valor da corrente “i” na bobina do circuito magnético da figura

3.25, a seguir, tal que [ ]Wb005.03 =φ .

Para o material ferromagnético do núcleo, considere a curva 01 de

magnetização, apresentada no anexo 01.



Figura 3.25 – Circuito Magnético do Exemplo 3.3

Os dados referentes às dimensões do núcleo podem ser obtidos da tabela 3.9 a

seguir.

Parte A [m2] l [m]

01 0.0090 0.56

02 0.0032 0.26

03 0.0045 0.51

N = 300 espiras


Solução:


Os comprimentos das linhas médias, bem como as áreas das seções retas

transversais do núcleo magnético, estão relacionados à tabela 3.9, dada anteriormente.


Para o circuito magnético dado, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo

apresentado à figura 3.26 a seguir.




Da figura anterior, tem-se que:

321 φφφ +=

3121 FFFFF +=+=

32 FF =

11 1φ⋅= eRF 22 2

φ⋅= eRF 33 3φ⋅= eRF

- Tabela de Valores

Considerando os dados da tabela 3.9, e [ ]Wb005.03 =φ , pode-se desenvolver a

tabela de valores a seguir.


01 0.0094 0.0090 1.044 980 0.56 549

02 0.0044 0.0032 1.375 2254 0.26 586

03 0.0050 0.0045 1.111 1150 0.51 586

Tabela 3.10 – Tabela de Valores do Exemplo 3.3



Obs.: Na elaboração da tabela anterior, considerou-se a curva 01 de

magnetização apresentada no anexo 01.

Da tabela 3.10, tem-se que:

][113558654921 AEFFF =+=+=

Como iNF ⋅=

][783.3300

1135 ANFi ===

- Cálculos Adicionais Propostos

Fica para o leitor, a titulo de exercício, calcular os valores das relutâncias e

permeâncias do circuito magnético dado, bem como o valor da indutância da bobina. As

respectivas respostas são apresentadas a seguir.

1eR = 58404 [H-1]

1eP = 1.7122 x 10-5 [H]

2eR = 133182 [H-1]2eP = 7.5080 x 10-6 [H]

3eR = 117200 [H-1]3e

P = 8.5320 x 10-6 [H]

TOTALeR = 120744 [H-1]TOTALeP = 8.2810 x 10-6 [H]

L = 0.7454 [H]

Tabela 3.11 – Dados finais do Exercício 3.3

3.7 – GAPS E ENTREFERROS

A figura 3.27 a seguir apresenta um exemplo típico de introdução de gap em um

circuito magnético.



Figura 3.27 – Circuito Magnético Série com Gap

Os gaps ou entreferros são muitas vezes utilizados em circuitos magnéticos no

sentido de :

a) Possibilitar uma certa linearização da curva de saturação;

b) Possibilitar acesso físico ao fluxo em um núcleo magnético.

3.7.1 Espraiamento

A introdução de gaps em circuitos magnéticos, como aquele apresentado à figura

3.27, causa uma certa dispersão do fluxo magnético pelo ar, no local onde este gap foi

colocado. Este fenômeno é chamado de “espraiamento” do fluxo magnético e seu

efeito pode ser verificado através da figura 3.28 a seguir.

Figura 3.28 – Espraiamento do fluxo Magnético em um Gap

Muitas vezes, o efeito do espraiamento é considerado nos cálculos de circuitos

magnéticos através de um acréscimo da área correspondente a seção reta transversal no



gap. Desta forma, se a área correspondente ao material ferromagnético for “A”,

considera-se como área da seção reta transversal do gap (Ag), a relação:

AkAg ⋅= (3.13)

Onde:

k =Fator de acréscimo correspondente ao espraiamento (p. ex.: k=1.05 ⇒

elevação de 05% na área).

É importante deixar claro que esta forma de representação do espraiamento, nos

cálculos, constitui uma aproximação.

3.7.2 Efeito da Dispersão

A introdução de gaps ou entreferros provoca a elevação da relutância total

equivalente de um núcleo magnético. Em outras palavras pode-se dizer que: os gaps

dificultam a “circulação” do fluxo magnético. Desta forma, haverá uma maior tendência

de formação de fluxo de dispersão no ar, nas extremidades da bobina (cabeças de

bobina), como pode ser observado à figura 3.29 a seguir.

Pode-se concluir portanto que: quanto maior for o gap, maior será a relutância

do núcleo magnético e conseqüentemente maior será o fluxo de dispersão pelo ar.

Figura 3.29 – Efeito da Dispersão em um Núcleo com Gap



3.7.3 Cálculo da Relutância do Gap

Da equação 3.6, tem-se que:

AlRe ⋅

=μ

Para o gap, pode-se escrever que:

gg

gge A

lR

⋅=

μ

Onde:

geR = Relutância magnética do gap;

gl = Comprimento do gap;

gμ = Permeabilidade magnética do gap;

Ag = Área da seção reta transversal do gap.

Como a permeabilidade magnética do ar (e portanto do gap) é praticamente igual

à permeabilidade magnética do vácuo, pode-se escrever que:

g

gge A

lR

⋅=

0μ (3.14)

Exemplo 3.4:

Seja o circuito magnético da figura 3.30 a seguir.



Figura 3.30 – Circuito Magnético do Exemplo 3.4

Determinar a corrente “i” da bobina sabendo que:


N = 300 espiras (número total de espiras da bobina)

φ =0.0064 [Wb] (fluxo magnético no núcleo)

Gap=0.1 [cm]


Obs.: - Considerar todas as medidas da figura 3.30 em [cm];

- Utilizar a curva de saturação 01 do anexo 01;

- Observar que a única diferença do circuito magnético da figura 3.30,

para o circuito magnético do exemplo 3.1, é exatamente o gap ou

entreferro.

Solução:


O circuito magnético da figura 3.30 pode ser dividido em 03 partes: duas para o

material ferromagnético e uma para o gap. Para estas partes podem ser calculados os



comprimentos das linhas médias e as áreas das seções retas transversais do núcleo, ou

seja:

Parte 01 – Material Ferromagnético

l1 = (05 + 30 + 04) x 02 + (05 + 22 + 05) = 110 [cm]

I1 = 1.10 [m]

A1 = 10 x 08 = 80 [cm2]

A1 = 0.0080 [m2]


Parte 02 – Material Ferromagnético

l2 = 05 + 22 + 05 – 0.1 = 31.9 [cm]

I2 = 0.319 [m]

A2 = 08 x 08 = 64 [cm2]

A2 = 0.0064 [m2]


Parte 03 – Entreferro

l2 = 0.1 [cm]

I2 = 0.001 [m] ⇒ Não há consideração sobre o espraiamento

A2 = 08 x 08 = 64 [cm2]

A2 = 0.0064 [m2]



O circuito magnético da figura 3.30 pode ser representado pelo circuito elétrico

análogo da figura 3.31 a seguir.



Figura 3.31 – Circuito elétrico Análogo


φφφ ⋅+⋅+⋅=321 eee RRRF

Ou ainda,

321 FFFF ++=

Vale lembrar também que;

lHF ⋅=

Portanto,

111 lHF ⋅=

222 lHF ⋅=

333 lHF ⋅=

- Tabela de Valores



Considerando os dados fornecidos e calculados, e através das expressões

anteriormente apresentadas, é possível montar a tabela de valores (3.16) a seguir.


01 0.0064 0.0080 0.8 620 1.10 682

02 0.0064 0.0064 1.0 900 0.32 288

03 0.0064 0.0064 1.0 795775 0.001 796

Tabela 3.10 – Tabela de Valores do Exemplo 3.16

No desenvolvimento da tabela 3.16, considerou-se que:

a) No circuito magnético serie, o fluxo magnético é o mesmo em todas as

partes. Portanto:

[ ]Wb0064.0321 === φφφ

b) As áreas das seções retas transversais (A1, A2, A3) e os comprimentos das

linhas médias (l1, l2, l3) foram determinadas no item “cálculos iniciais”.

c) Os valores B1, B2 e B3 são determinadas através da expressão:

AB φ=

d) Os valores H1 e H2 são obtidos através da curva de saturação do material,

para B1 e B2 respectivamente.

Obs.: Na elaboração da tabela anterior, considerou-se a curva 01 de

magnetização apresentada no anexo 01.



e) A intensidade de campo magnético no gap (H3) é determinada através da

seguinte expressão:

70

33 104

0.1−⋅⋅

===πμ

BHH g

f) Os valores F1, F2 e F3 são determinados da seguinte forma:

lHF ⋅=

- Determinação da Corrente

Para a determinação da corrente “i” na bobina, deve-se considerar que:

][1766796288682321 AEFFFF =++=++=

][887.5300

1766 ANFi ===

- Determinação de outros Valores

Da tabela 3.16, podem ser extraídos outros valores como:

- As relutâncias das diversas partes do núcleo magnético;

- As permeâncias das diversas partes do núcleo;

- A relutância equivalente do circuito magnético;

- As permeabilidades magnéticas absolutas e relativas das diversas

partes;



- O fluxo enlaçado com a bobina;

- A indutância (L) da bobina.

Fica como exercício para o leitor, a determinação destas grandezas.

- Observações

Considere a tabela 3.17 a seguir, onde é realizada uma comparação dos valores

obtidos nos exemplos 3.1 e 3.4.

Variável Exemplo 3.1 Exemplo 3.4

Ö [Wb] 0.0064 0.0064

i [A] 3.233 5.887

TeR [H-1] 151563 275938

L [H] 0.594 0.326

Tabela 3.17 – Comparação dos Resultados com e sem Gap

Pode-se observar que a inserção do gap elevou a relutância equivalente do

circuito magnético de 151563 [H-1] para 275938 [H-1]. Com este novo valor de

relutância, para se obter o mesmo fluxo magnético no núcleo, ou seja, 0.0064 [Wb],

portanto, foi necessária uma elevação no valor da corrente de 3.233 [A] para 5.887 [A].

Evidentemente que a qualidade magnética do núcleo diminui com a inserção do

gap, este fato pode ser observado através da indutância (L), que passou de 0.594 [H]

para 0.326 [H].

3.8 – CURVAS DE SATURAÇÃO

Considere a característica B = f(H) da figura 3.32 a seguir.



Figura 3.32 – Característica B = f (H)

Esta característica B = f (H) é na verdade uma curva de saturação que

determina a propriedade do material ferromagnético em termos de sua permeabilidade

magnética (µ). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação ou curva de

magnetização do material ferromagnético.

Por outro lado, sabe-se que:

AB ⋅=φ e FiNlH =⋅=⋅

Portanto, através de mudanças de escalas, a característica da figura 3.32 pode ser

alterada para aquela desenvolvida à figura 3.33 a seguir.

Figura 3.33 – Característica ( )Ff=φ



Esta nova característica ( )Ff=φ é na verdade uma curva de saturação que

determina a propriedade do núcleo magnético em termos de sua permeância magnética

(Pe) ou relutância magnética (Re). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação ou

curva de magnetização do núcleo magnético.

Sabe-se também que:

φλ ⋅= N e iNf ⋅=

Portanto, através de novas mudanças de escalas, as características das figuras

3.32 e 3.33 podem ser alteradas para aquela desenvolvida à figura 3.34 a seguir.

Figura 3.34 – Característica ( )if=λ

Esta característica ( )if=λ é na realidade uma curva de saturação que determina

a propriedade da bobina em termos de sua indutância (L). Pode ser chamada, portanto,

de curva de saturação da bobina.

As três curvas anteriormente apresentadas (B = f (H), ( )Ff=φ , ( )if=λ ),

podem ser representadas em uma única característica, considerando apenas as mudanças

de escalas das ordenadas e abscissas. Este fato pode ser verificado à figura 3.35 a seguir.



Figura 3.35 – Curvas de Saturação

Na figura 3.35, tem-se que:

B = f(H) ⇒ Característica do material;

φ = f(F) ⇒ Característica do núcleo magnético;

λ = f(i) ⇒ Característica da bobina.



01) Por que são utilizados materiais ferromagnéticos na confecção de circuitos

ou núcleos magnéticos?

02) O que é o efeito da dispersão? Quando ele deve ser considerado?

03) O que é a força magnetomotriz? Faça uma analogia com os circuitos

elétricos.

04) O que são os circuitos elétricos análogos? Onde são utilizados? Por quê?



05) Quais são os respectivos análogos elétricos das seguintes grandezas

magnéticas: φ , F, Re, Pe, µ?

06) O que é relutância de um circuito magnético? Qual é a sua unidade?

07) O que é permeância de um circuito magnético? Qual é a sua unidade?

08) Qual é a relação entre permeância e indutância?

09) Dada à área da seção reta transversal de um núcleo magnético série e

homogêneo, e conhecido o fluxo magnético que atravessa a mesma, como seriam

determinadas: a indução magnética no núcleo (B); a intensidade de campo magnético

“H”.

10) Quais são as unidades usuais de “B” e “H”.

11) Quais são as características dos seguintes circuitos magnéticos:

a) Circuito magnético série uniforme;

b) Circuito magnético série não-uniforme;

c) Circuito magnético paralelo uniforme;

d) Circuito magnético paralelo não-uniforme;

12) Que tipo de cálculo de circuito magnético é mais trabalhoso:

a) Dado um fluxo magnético “φ ”, determinar a corrente necessária para

produzi- la;

b) Dada uma corrente “i”, determinar o fluxo magnético produzido pela

mesma? Por quê?

13) Faça um análogo magnético das leis de Kirchhoff das tensões e correntes.

14) Os circuitos magnéticos devem ser tratados como lineares ou não- lineares?

Por quê?



15) Quais são as dificuldades encontradas nos cálculos de circuitos não-

lineares? Dê exemplos.

16) O que são gaps ou entreferros em um circuito magnético? Por que são

utilizados?

17) Qual é o significado do espraiamento em um gap? De que forma seu efeito é

considerado no cálculo de um núcleo magnético?

18) Qual é a relação entre a relutância de um gap e a relutância do material

ferromagnético que constitui um núcleo? Explique.

19) Qual é o significado de cada uma das seguintes relações:

B = f(H)

φ = f(F)

λ = f(i)

Que grandezas representam?

20) Dê as unidades usuais das seguintes grandezas:

a) Indutância;

b) Permeabilidade magnética;

c) Condutância;

d) f.m.m.;

e) f.e.m.

3.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Resolva os seguintes exercícios:

01) Considere o seguinte circuito magnético:



Dados do Exercício


N = 500 espiras

Medidas na figura em [cm]

Tabela 3.18 – Dados do Exercício 01

Determinar:

a) O Valor da força magnetomotriz necessária para produzir um fluxo de

0.006 [Wb];

b) O valor da corrente correspondente;

c) O valor da indutância “L” da bobina;

d) A permeância total do circuito magnético;

e) A permeabilidade magnética de cada parte do circuito magnético.

Obs.: Considerar a curva de saturação anexa.

02) No circuito magnético do exercício anterior, determine o valor do fluxo

magnético “φ ” produzido por uma força magnetomotriz de 3000 [AE].




Dados do Exercício


N = 1000 espiras

Espraiamento no gap = 10%



Determinar o valor da corrente “i” que produz um fluxo magnético de 0.001

[Wb] na perna direita do núcleo. Considerar para o material ferromagnético a curva de

saturação anexa.

04) Refazer o exercício anterior considerando o circuito magnético sem o

entreferro.

05) Faça uma análise comparativa dos resultados obtidos nos exercícios 03 e 04

anteriores.

06) No circuito magnético a seguir, determinar a indutância da bobina e o fluxo

enlaçado com a mesma.



Dados do Exercício

i = 05 [A]

N = 500 espiras

1φ = 0.002 [Wb]

2φ = 0.003 [Wb]

L1 = 0.6 [m]

L2 = 0.4 [m]


Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da curva de saturação anexa.




Dados do Exercício


N = 1000 espiras

φ = 0.015 [Wb]

1gl = 0.10 [cm] e2gl = 0.15 [cm]

dl = 150 [cm] e de = 180 [cm]


De posse dos dados acima, determinar:

a) A força magnetomotriz necessária para produzir o fluxo “φ ”;

b) A corrente “i” da bobina;

c) A permeância total do circuito magnético;

d) A indutância da bobina.

Obs.: - Considerar simetria dos gaps;

- Considerar espraiamento de 05% nos gaps de comprimento 2gl ;

- Considerar para o material ferromagnético a curva de saturação

anexa.




Dados do Exercício


i = 6.2 [A]



Sabendo-se que [ ]Wb0056.03 =φ , determinar o numero de espiras da bobina.

Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da curva de saturação anexa.

09) Seja o seguinte circuito magnético toroidal, com gap e “N” espiras

uniformemente distribuídas:



Dados do Exercício

Espraiamento no Gap = 10%

N = 1000 espiras

gapλ = 12.0 x 10-7 [H/m]

gl = 01 [mm]

dl = 81.2 [cm] e de = 103.8 [cm]

Espiras justapostas


Desprezando:

- O fluxo de dispersão;

- O comprimento do arco equivalente a linha media do gap.

De posse destes dados, determinar:

a) A corrente necessária para produzir um fluxo de 0.0012 [Wb];

b) As relutâncias equivalentes, do ferro e do gap;

c) A indutância da bobina.

Obs.: Considerar a curva de magnetização anexa.




Dados do Exercício

Espessura do Núcleo = 01 [pol]

i = 0.2 [A]

N = 1000 espiras

Medidas na figura em [pol]


Determinar o fluxo e a indução magnética em cada perna do circuito magnético.

Desprezar os espraiamentos dos entreferros e os campos de dispersão. Supor que a

permeabilidade relativa do ferro é tão alta que a força-magnetomotriz do enrolamento

está totalmente aplicada nos entreferros.

Obs.: Desenvolva um circuito magnético equivalente.

11) Refazer o exercício anterior, considerando agora a seguinte curva de

magnetização para o material ferromagnético:



12) Na curva de magnetização anexa (curva 01), determinar o valor da

permeabilidade magnética relativa para:

a) B = 0.5 [Wb/m2];

b) B = 1.5 [Wb/m2];

c) H = 1400 [AE/m];

d) H = 3600 [AE/m].

13) Considere o circuito magnético da figura a seguir, onde:

Dados do Exercício


Espraiamento do núcleo = 20%

N = 1390 espiras





Determinar:

a) O circuito elétrico análogo;

b) A corrente na bobina para que se obtenha um fluxo de 0.006 [Wb] no

núcleo magnético;

c) A indutância da bobina;

d) A relutância total do circuito magnético.

Obs.: - Considerar simetria na perna do núcleo onde está o gap;

- Para o material ferromagnético, considerar a curva de saturação

(01) anexa;

- [ ]mH /104 70

−⋅⋅= πμ

materiais e circuitos eel401 – eletrotécnica geral ii...

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