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EME 311Mecânica dos Sólidos- CAPÍTULO 6 -- CAPÍTULO 6 -

Profa. PatriciaEmail: [email protected]

IEM – Instituto de Engenharia MecânicaUNIFEI – Universidade Federal de Itajubá

6 – FORÇAS DISTRIBUÍDAS

� 6.1 – Forças em Superfícies Submersas;� 6.1.1 – Embarcações;� 6.1.2 – Pressão de fluidos;� 6.1.3 – Placas ou barragens planas;

Capítulo 6 - Forças Distribuídas 2

� 6.1.3 – Placas ou barragens planas;� 6.1.4 – Placas ou barragens curvas;

� 6.2 – Forças em Linhas;� 6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas.

6.1 – Forças em Superfícies Submersas

� São resultantes das pressões hidrostáticas exercidas por um líquido sobre um corpo submerso, através das diversas áreas elementares consideradas.


� São portanto proporcionais à profundidade de localização e dirigidas segundo as normais (perpendiculares) de cada elemento de área em questão.

6.1.1 – Embarcações

Definição:Corpos estáticos, parcialmente submersos

(flutuantes), que atingem uma dada posição de equilíbrio estável.


dVz

x

pdA


O corpo submerso apresenta um número infinito de elementos de volume:

� dA – área elementar de contato com o líquido, tomada na horizontal;

dV zdA=


tomada na horizontal;� z – profundidade de dA, tomada na vertical.

dVz

x

pdA


Para um líquido homogêneo, o peso específico é constante. Logo, a força total na embarcação será:

( )V V

F dF dV dV Vγ γ γ= = − = − = −∫ ∫ ∫


� o sinal negativo indica que o sentido da força é voltado para cima;

� V é o volume do fluído deslocado pelo corpo;� Esta força é conhecida como força de empuxo.

V V


� As coordenadas de um ponto da linha de ação da força de empuxo podem ser determinadas por:

� O centro de empuxo (ou flutuação), por:

c

V V

x xdV dV= ∫ ∫ c

V V

y ydV dV= ∫ ∫


� O centro de empuxo (ou flutuação), por:

Estas coordenadas coincidem com o centróide de volume deslocado.

c

V V

z zdV dV= ∫ ∫


Estabilidade do corpo flutuante:

� A posição estável é atingida quando a linha de ação do peso P do corpo coincide com a linha de ação da força de empuxo F;


P

F

GC


Estabilidade do corpo flutuante:

� Caso contrário, existirá um momento que girará o corpo, tendendo a colocá-lo na posição estável.

P


P

F

GC

M

F

M CG

Exemplo 1

Apresentado em aula no quadro!


6.1.2 – Pressão de fluidos

� Pela lei de Pascal, um fluído em repouso cria em um ponto uma pressão p que é a mesma em todas as direções.

� A pressão de um fluído pode ser determinada por:


por:

– peso específico do corpo;Z – profundidade do ponto até a superfície do fluído;

p zγ=

γ

� Ponto B

6.1.2 – Pressão de fluidos

� A pressão varia linearmente com a profundi-dade

1 1p zγ=


� Ponto C e D

2 2p zγ=

6.1.3 – Placas ou barragens planas

Definição:

As barragens são estruturas estáticas e rígidas de materiais diversos, usados para represar as águas

de um curso qualquer.


de um curso qualquer.

Normalmente possuem comportas de escape do fluído, para o devido controle do nível adequado.


A distribuição de pressão sobre a superfície da placa = volume


placa = volume do diagrama de carga que depende do tipo da barragem.

C – centroide do volume


� A força resultante:� igual ao volume desse diagrama de carregamento;� linha de ação passa pelo centróide do volume (centro

de pressão).



� Para barragens ou comportas retangulares (onde a largura L é constante), a força resultante pode ser calculada como:

R DP DPF V A L= =


ADP – área do diagrama de pressão;L – largura.

R DP DPF V A L= =


� A área do diagrama de pressão será:

R DPF A L=


γh

h 21 1

2 2RF hh L h Lγ γ = =

FR


� Barragens inclinadas e retangulares:

2

R DPF A L

hh h Lγ γ=


γh

h

θ

2

2sen 2senR

hh h LF L

γ γθ θ

= =


� Comporta abcd:

( )1 2

R DP oF A L

h hF h L

γ γ=+

= =

Largura da comporta


γh2

h2 γh1

h1

h0

( )

( )

1 2

1 2

2

2

R o o

o o

F h L

h Lh h

γ

= =

= +FR

a

b

a

b


� Se a barragem for plana, mas não retangular (L não constante), as equações definidas anteriormente não são mais válidas.

� Podemos usar:


CG mF p A

F zAγ==

� Podemos usar:

Força resultante do fluído na parede da barragem:

Pressão no centro de gravidade


� Para a barragem plana com L constante:

CG mF p A=


Pressão no centro de gravidade da área molhada da barragem

Área molhada

2CG

hp γ=

mA Lh=γh

hFR


� Na barragem inclinada:

2

R CG m

R

F P A

h hF L

senγ

θ

=

=


γh

h

θ

2

2

2

R

R

F Lsen

h LF

sen

γθ

γθ

=

=


� Ponto de aplicação da força F na barragem:

B

dFyo

Como F foi obtida pela integração dos elementos

dF ao longo da área


h

C

dF

F

d

y

dy

dF ao longo da área molhada, os momentos produzidos num ponto qualquer da barragem

deverão ser os mesmos.



B

dFyo

- devido a força F:

- devido ao elemento dF

oM Fd=

0 0

h h

oM ydF y yLdyγ= =∫ ∫


h

C

dF

F

d

y

dy

- igualando

0 0

3 2

3 3

o

Lh Fh

γ= =

∫ ∫

2 2

3 3 DP

FFd h d h y= ⇒ = =



B

dFyo Logo, o ponto de aplicação

da força resultante coincide


h

C

dF

F

d

y

dy

da força resultante coincide com o centróide do

diagrama de pressões, estando localizado sempre abaixo da área molhada.


� Na barragem inclinada:

2

3DP

hd y

senθ= =

Na direção O’C’

O’


γh

h

θ

3DPd ysenθ

= =

Na vertical

C’2

3DPd y h= =


� Comporta abcd:

1 1 2 21

1 2DP

A y A yd y h

A A

+= = + +


γh2

h2 γh1

h1

h0

A1 – área do triângulo;

A2 – área do retângulo.FRa

b


� A força resultante F atua sempre na direção perpendicular à superfície plana da barragem e, como provado, concentrada no centróide do diagrama de pressões, ou seja, “passando pelo centróide”.


� O conceito mostrado estende-se para o caso de barragens inclinadas, mas não para as curvas que serão mostradas na próxima seção.

Exemplo 2



6.1.4 – Placas ou barragens curvas

� Pressão atuante normal à curva muda continua-mente de direção.

� A intensidade da


� A intensidade da força resultante e sua direção são mais difíceis de calcular do que para uma placa plana.

Exemplo 3




Contudo, existe um método que requer cálculos separados para os componentes horizontal e

vertical da força resultante.



Para os casos a seguir, vamos determinar a intensidade e a localização da força resultante

por meio deste método.


(1) (2)


Para os casos a seguir, vamos determinar a intensidade e a localização da força resultante

por meio deste método.


(3) (4)

Exemplo 4



6.2 – Forças em Linhas

� São forças distribuídas provindas de certas considerações da prática, desde que se possa desprezar a seção transversal do corpo em face à relevante dimensão de seu comprimento.

� Vigas esbeltas, cabos de transmissão de energia, pressão do vento, chuva numa


energia, pressão do vento, chuva numa chaminé alta e delgada, peso nos membros de uma treliça devido suas massas etc.

� Unidade: (força/comprimento)� Distribuição total fornecerá a resultante do

sistema em unidade de força.


� Seja calcular a resultante que atua no sistema

0

( )

( )L

dF w x dx

F w x dx dA A

=

= = =∫ ∫


0l∫ ∫

Intensidade da força resultante é igual área total sob o diagrama de

carga.


� O ponto de aplicação da resultante

( )( )

( )R

wO

FO R

M xdF x wdx xdA

M F x

= = =

=∫ ∫ ∫


Igualando

R

R

xdA F x

xdA xdAx

F A

=

= =

∫

∫ ∫

Exemplo 5

Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente que atua no eixo mostrado.


Exemplo 6

O material granuloso provoca o carregamento distribuído sobre a viga, como mostrado na figura. Determine a intensidade e a resultante equivalente.


Exemplo 7



6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas

� Também chamadas de vigas Gerber:� possuem folgas nas rótulas (ex.: juntas de dilatação

em vigas de concreto ou trilhos de aço etc.);� na rótula, o momento fletor é NULO, devido à

flexibilidade de giro que cada trecho adjacente à rótula possui


possui

� Número total de equações: três equações da estática + número de rótulas.

6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas

“Mas se a terceira equação da estática conceitua ser zero o momento fletor em

qualquer ponto tomado, este conceito não abrangeria inclusive a rótula existente no

sistema?”


sistema?”

� A equação da estática ( ) – viga toda;

� A equação na rótula ( ) – apenas um lado da rótula.

0iM =∑

0RM =∑

Exemplo 8



Exemplo 9


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Capítulo 6 - Forças Distribuídas 47 Capítulo 6 - Forças Distribuídas 48

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