resistncia dos materiais-capitulo6

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  • 6-68

    6 TORO SIMPLES

    Toro simples ocorre quando a resultante na seo for um binrio cujo plano de ao o da prpria seo.

    Considerando a barra de seo circular AB submetida em A e B a toques iguais e opostos T e T, cortada em por

    um plano perpendicular em algum ponto arbitrrio C, conforme

    Figura 6.1: Barra circular submetida a toro.

    O diagrama de corpo livre da parte BC da barra deve incluir as foras de cisalhamento elementares dF,

    perpendiculares ao raio da barra, que a parte AC aplica em BC quando a barra torcida, conforme

    Figura 6.2: Aes elementares de toro dF.

    As condies de equilbrio para BC requerem que o sistema dessas foras elementares seja equivalente a um

    torque interno T, igual e oposto a T. Chamando de a distncia perpendicular da fora dF ao eixo da barra, ou

    centro de toro, ponto onde as tenses de cisalhamento da toro so iguais a zero, e supondo que a soma dos

    momentos das foras de cisalhamento dF em relao ao eixo da barra seja igual em intensidade ao torque T,

    pode-se escrever:

    Equao 6.1

    Ou, uma vez que dF = dA, com sendo a tenso de cisalhamento do elementos de rea dA,

    Equao 6.2

    Embora a relao obtida expresse uma importante condio que deve ser satisfeita pelas tenses de cisalhamento

    em qualquer seo transversal, ela no nos informa como essas tenses so distribudas na seo transversal.

    Sabe-se que o torque aplicado barra produz tenses de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo

    longitudinal da barra. Entretanto, as condies de equilbrio requerem a existncia de tenses iguais nas faces

    formadas pelos dois planos que contm o eixo da barra. Uma visualizao de que essas tenses realmente

    ocorrem na toro pode ser feita atravs da considerao de uma barra formada por tiras separadas e fixadas por

  • 6-69

    meio de pinos a discos colocados em suas extremidades, conforme ilustra a Figura 6.3.

    Figura 6.3: Barra torcida formada por tiras fixadas nas extremidades.

    Se forem pintadas marcas em duas tiras adjacentes, observa-se que as tiras deslizam uma em relao a outra,

    quando so aplicados torques iguais e opostos nas extremidades. Embora esse deslizamento no ocorra

    realmente em uma barra de material coesivo e homogneo, a tendncia ao deslizamento existir, mostrando

    assim que ocorrem tenses em planos longitudinais bem como em planos perpendiculares ao eixo da barra.

    6.1 DEFORMAES POR TORO EM UMA BARRA DE SEO CIRCULAR

    Considere uma barra de seo circular conectada a um suporte rgido em uma de suas extremidades, conforme

    ilustra a Figura 6.4.

    Figura 6.4: Barra circular em balano torcida.

    Se um torque T aplicado extremidade livre, a barra sofrer rotao em torno do seu eixo central, com a

    extremidade livre girando de um ngulo chamado de ngulo de toro. Dentro de determinados valores de T, o

    ngulo proporcional ao T e ao comprimento L da barra.

    Uma importante propriedade de uma barra circular de seo cheia quando submetida a toro que toda a seo

    permanece plana e indeformada. Embora vrias sees transversais ao longo da barra sofram rotaes de

    diferentes valores, cada seo transversal gira como um disco rgido (Figura 6.5a). Isso no valido para sees

    circulares vazadas ou prismticas. Quando uma barra de seo no circular submetida a toro, suas vrias

    sees transversais empenam e no permanecem planas (Figura 6.5b).

  • 6-70

    Figura 6.5: Seo circular e no circular torcida.

    As dedues apresentadas nesse captulo so fundamentadas na hiptese de barras com extremidades rgidas.

    A determinao das deformaes de cisalhamento em uma barra circular de comprimento L e raio c, que foi

    torcida de um ngulo (Figura 6.6a), ser feita destacando-se da barra um cilindro de raio e considerando-se

    um pequeno elemento quadrado formado por dois crculos adjacentes e duas linhas retas adjacentes traadas

    antes da aplicao de qualquer torque, conforme Figura 6.6b. Quando a barra torcida, o elemento assume o

    formato de um losango (Figura 6.6c).

    Figura 6.6: Barra circular de material homogneo torcida de .

    Como a deformao por cisalhamento em um elemento medida pela variao dos ngulos formados pelos lados

    daquele elemento e, como os crculos que definem dois dos lados do elemento considerado aqui permanecem

    inalterados, a deformao de cisalhamento deve ser igual ao ngulo entre as linhas AB e AB (com expresso

    em radianos). Das hipteses simplificadoras, ou seja, para pequenos valores de , pode-se expressar o

    comprimento do arco AA como AA = L. Da seo transversal da extremidade tem-se ainda que AA = ,

    portanto:

    Equao 6.3

    Sendo e expressos em radianos. A equao nos diz que a deformao por cisalhamento na extremidade de uma

    barra circular varia linearmente com a distncia do eixo da barra. Portanto, a deformao de cisalhamento

    mxima obtida quando = c.

    Equao 6.4

    Eliminando na Equao 6.3, pode-se expressar a deformao de cisalhamento em funo da deformao

    mxima de cisalhamento.

  • 6-71

    Equao 6.5

    6.2 TENSES POR TORO EM BARRAS CIRCULARES

    Considerando o material homogneo e trabalhando em seu regime elstico linear, a relao entre tenso e

    deformao de cisalhamento pode ser escrita em funo do mdulo de elasticidade transversal G.

    Equao 6.6

    Substituindo-se a Equao 6.6 em ambos os lados da Equao 6.5, chega-se a:

    Equao 6.7

    A equao mostra que a tenso de cisalhamento na barra circular varia linearmente com a distncia do eixo da

    barra, conforme mostra a Figura 6.7a para sees cheias e Figura 6.7b para sees anelares.

    Figura 6.7: Tenses de cisalhamento em barras circulares.

    No caso da seo anelar, verifica-se que:

    Equao 6.8

    Lembrando-se que a soma dos momentos das foras elementares aplicadas em qualquer seo transversal da

    barra circular deve ser igual intensidade T do torque, substituindo a Equao 6.7 na Equao 6.2:

    Equao 6.9

  • 6-72

    A integral no ltimo membro representa o momento polar de inrcia J3 com relao ao seu centro, portanto:

    Equao 6.10

    Ou, resolvendo para max:

    Equao 6.11

    Ou ainda, para uma distncia qualquer do eixo da barra, a tenso calculada como:

    Equao 6.12

    6.3 NGULO DE TORO EM BARRAS CIRCULARES

    Sendo a barra em balano da Figura 6.8, de comprimento L e seo transversal cheia de raio c, solicitada por um

    momento toror T em sua extremidade livre.

    Figura 6.8: Barra em balano solicitada por um torque T.

    Sabendo que:

    Equao 6.13

    Igualando o segundo e o quarto termos da equao, o ngulo de toro escrito como:

    Equao 6.14

    3 O momento polar de inrcia de um crculo de raio c

    , e de uma seo anelar,

    .

  • 6-73

    Sendo expresso em radianos. A relao obtida mostra que o ngulo de toro proporcional ao momento toror

    T aplicado na barra.

    No caso da barra AB mostrada na Figura 6.9a devem ser consideradas quatro partes diferentes: AC, CD, DE e

    EB.

    (a) (b)

    Figura 6.9: Barra com diferentes dimetros (a) e com seo varivel (b).

    O ngulo de toro total da barra , ou seja, o ngulo em que a extremidade A gira em relao a extremidade B,

    obtido com a soma dos ngulos de toro de cada parte.

    Equao 6.15

    Sendo Ti, Li, Ji e Gi o momento toror, o comprimento o momento polar de inrcia e o mdulo de elasticidade

    transversal de cada parte.

    No caso de uma barra com seo varivel, Figura 6.9b, a Equao 6.14 pode ser aplicada a um disco de espessura

    dx. O ngulo de toro da barra , portanto:

    Equao 6.16

    Na qual o momento polar de inrcia uma funo de x, J(x).

    6.4 ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS

    Uma barra ou tubo circular submetido a um torque pode ser classificado como estaticamente indeterminado,

    quando a equao do momento na condio de equilbrio aplicada em torno de sua linha neutra, no for o

    suficiente para determinar os torques desconhecidos que sobre ele atuam. A Figura 6.10 ilustra essa situao,

    sendo a barra metade macia e metade tubular. Como pode-se observar no diagrama de corpo livre, os torques de

    reao de apoio TA e TB so desconhecidos, e requerido que:

    Equao 6.17

    Como apenas uma equao de equilbrio aplicvel e h duas incgnitas, o problema estaticamente

  • 6-74

    indeterminado.

    Figura 6.10: Barra estaticamente indeterminada submetida a um torque.

    A condio de compatibilidade necessria requer que o ngulo de toro de uma extremidade do eixo em relao

    outra seja nulo, portanto:

    Equao 6.18

    Utilizando a Equao 6.14 e entendendo que o torque interno no segmento AC, T1 = TA positivo, e no segmento

    CB, T2 = TB negativo, a equao de compatibilidade reescrita como:

    Equao 6.19

    Resolvendo para o torque TB:

    Equao 6.20

    E para TA:

    Equao 6.21

    6.5 TORO EM ELEMENTOS DE SEO NO CIRCULAR

    As frmulas obtidas para as distribuies de deformao e tenso sob um torque aplicam-se somente a elementos

    com uma seo transversal circular. As dedues foram fundamentadas na hiptese de que a seo transversal do

    elemento permanecia plana e indeformvel; e a validade dessa hiptese depende da axissimetria do elemento,

    isto , depende do fato de que sua aparncia permanea a mesma quando ele visto de uma posio f