capÍtulo iii circuitos magnÉticos -...

ELE401 – Circuitos Magnéticos

PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO 1

CAPÍTULO III – CIRCUITOS MAGNÉTICOS

3.1 INTRODUÇÃO

Os circuitos magnéticos utilizam materiais ferromagnéticos no sentido de direcionar e elevar a indução magnética (e conseqüentemente o fluxo magnético). Isto é possível uma vez que os materiais ferromagnéticos possuem altas permeabilidades.

A figura 3.1, a seguir, apresenta um exemplo típico de circuito magnético. Nesta configuração, pode-se notar o direcionamento do fluxo magnético proporcionado pela forma do núcleo.

Figura 3.1 – Núcleo Magnético

3.2 EFEITO DA DISPERSÃO

Os circuitos magnéticos também são sujeitos aos efeitos da dispersão. Assim, considere inicialmente a bobina ou solenóide da figura 3.2 a seguir.

i

N

a b

B

dispersãodispersão

Figura 3.2 – Efeito da Dispersão em um Solenóide

Como pode ser observado, ocorre nas extremidades da bobina uma determinada dispersão do campo magnético através do ar (pode-se ver, na figura, uma redução da densidade de campo magnético “B”, nas extremidades). Este fenômeno é conhecido como “efeito das extremidades” ou “dispersão”.

Considere agora o circuito magnético apresentado de forma esquemática à figura 3.3 a seguir.

Neste caso, o efeito da dispersão também ocorre nas extremidades da bobina. Entretanto, devido à alta permeabilidade proporcionada pelo material ferromagnético que constitui o núcleo, este efeito

de dispersão será bastante reduzido. Observar que a alta permeabilidade oferece um caminho mais adequado à “circulação” do fluxo magnético. Portanto, quanto maior for a permeabilidade do núcleo, menor será o efeito da dispersão de fluxo magnético pelo ar.

Figura 3.3 – Efeito da Dispersão em um Núcleo Magnético

Da figura 3.3 tem-se que:

dt

Onde:

t = Fluxo magnético total produzido pela

corrente;

= Fluxo magnético que “circula” pelo

núcleo;

d = Fluxo magnético de dispersão pelo ar.

Para materiais de alta permeabilidade tem-se que:

d

3.3 EQUACIONAMENTO

3.3.1 Determinação de “B” e “H”

Considere o circuito magnético da figura 3.4 a seguir. Para a linha média do mesmo pose-se escrever que:

2/ mWbA

B

(3.1)

Onde:

B= Densidade de campo magnético de cada uma das pernas do núcleo magnético;

= Fluxo magnético que “circula” através de

cada uma das pernas do núcleo magnético;



A= Área da seção reta transversal de cada uma das pernas do núcleo magnético.

Figura 3.4 – Circuito Magnético

A densidade de campo magnético “B” pode ser expressa por:

HxB m 10

Ou ainda,

HB

Portanto, determinado o valor de “B” (conforme expressão 3.1), e de posse da curva de saturação do material, pode-se calcular o valor da intensidade de campo magnético “H” correspondente, para cada uma das pernas do núcleo magnético.

Desta forma, considere a curva de saturação apresentada à figura 3.5 a seguir.

Figura 3.5 – Curva de Saturação do Material

Para cada valor de “B” haverá um valor de “H” correspondente. Assim, pode-se escrever também que:

mAEB

H /

(3.2)

3.3.2 Definição de Força Magnetomotriz

Foi visto anteriormente que:

l

iNinH

Desta forma, pode-se escrever também que:

iNlH

Define-se como força magnetomotriz, o produto “ lH ” ou o produto “ iN ”, então:

AEiNlHF (3.3)

Onde:

F= Força magnetomotriz (ou simplesmente f.m.m.).

Esta definição é realizada como uma analogia à força eletromotriz nos circuitos elétricos. Tal correspondência será analisada no item seguinte.

3.4 ANALOGIA ELETROMAGNÉTICA

3.4.1 Introdução

Seja o circuito elétrico da figura 3.6 a seguir.

Figura 3.6 – Circuito Elétrico

Para este circuito elétrico podem ser escritas as seguintes equações:

iRe

Sendo:

A

l

A

lR

E ainda,

l

AG

Onde:

e Força eletromotriz (f.e.m.)

R Resistência elétrica total do circuito;

G Condutância elétrica total do circuito;

i Corrente elétrica que passa pelo circuito elétrico;

l Comprimento total do condutor;



A Área da seção reta transversal do condutor;

Resistência elétrica do material utilizado

como condutor;

Condutividade elétrica do material utilizado como condutor.

Seja agora o circuito magnético apresentado à figura 3.7:


Na figura 3.7, tem-se que:

F Força magnetomotriz (f.m.m.);

N Número de espiras da bobina;

I Corrente que circula na bobina;

Fluxo magnético que “circula” pelo

núcleo.

Observando as figuras 3.6 e 3.7, pode-se concluir que: enquanto no circuito elétrico circula uma corrente elétrica “i”, no circuito magnético “circula” um fluxo magnético “ ”.

Por outro lado, no circuito elétrico existe uma fonte de força eletromotriz “e” e no circuito magnético existe uma fonte de força magnetomotriz “F”. Portanto, pode-se fazer a seguinte analogia entre os dois circuitos:

i

e F

Para o circuito elétrico, pode-se escrever que:

iNlHF

lA

lB

lHF

A

lF (3.4)

No circuito elétrico, pose-se escrever que:

iRe

A

l

A

lR

iA

le

(3.5)

Comparando as equações (3.4) e (3.5), pode-se observar uma analogia entre os seguintes termos:

A

lR

e

A

1

A primeira relação corresponde à resistência (R) do circuito elétrico. A segunda, portanto, corresponderia a uma certa “resistência” do circuito magnético. Através desta analogia, define-se:

1

H

A

lRe

(3.6)

Onde:

Re Relutância magnética do núcleo ou do circuito magnético.

Desta forma pode-se escrever que:

eRF (3.7)

Onde (3.7) é uma equação análoga à lei de Ohm no circuito elétrico.

Por outro lado, o inverso da relutância magnética é definido como sendo a permeância magnética (Pe), de forma análoga a condutância (G) no circuito elétrico. Desta forma, pode-se escrever que:

Hl

A

RP

e

e

1 (3.8)

3.4.2 Cálculo da Indutância do Circuito

Magnético

Sabe-se que:

iLN

Onde:

Fluxo enlaçado ou concatenado;

L Indutância da bobina.

Portanto:



l

N

iL

Mas como,

N

lHiiNlH

E ainda,

AB

Vem:

lH

ABNN

lH

ABN

i

NL

2

Mas,

HB

Assim,

l

ANL

2

Como,

A

lRe

Tem-se que:

HPNR

NL e

e

22

(3.9)

3.4.3 Resumo da Analogia Eletromagnética

A seguir será apresentada uma tabela com o resumo das principais analogias verificadas entre os circuitos elétricos e magnéticos.

Circuito Elétrico Circuito Magnético

i = Corrente Elétrica [A] = Fluxo Magnético [Wb]

e = Força Eletromotriz [V] Fmm = Força Magnetomotriz [Ae]

R = Resistência Elétrica [] Re = Relutância Magnética [Ae/Wb]

G = Condutância [S] Pe=Permeância [Wb/Ae]

= Condutividade [A/Vm] = Permeabilidade [Wb/Am]

E=Ri (Lei de Ohm) F=Ni=Re

i = 0 (Lei de Kirchhoff) = 0

A

lR

,

l

AG

A

lRe

,

l

APe

Tabela 3.1 – Resumo da Analogia Eletromagnética

3.4.4 Circuito Elétrico Análogo

Um circuito elétrico simples pode ser representado de forma esquemático conforme a figura 3.8 a seguir.

Figura 3.8 – Representação Esquemática de um Circuito

Elétrico

Seja agora um circuito magnético como aquele apresentado à figura 3.9 a seguir.


Através da analogia com o circuito elétrico, o circuito magnético anterior pode ser representado por um circuito elétrico análogo, conforme ilustra a figura 3.10 a seguir.

Figura 3.10 – Circuito Elétrico Análogo

A analogia é utilizada para melhorar a compreensão e maior facilidade na solução dos circuitos magnéticos.

3.4.5 Efeitos da Saturação

Seja a curva de saturação ou magnetização da figura 3.11 a seguir.




Como pode ser observado na figura (3.11) anterior, as permeabilidades dos pontos (1) e (2) são diferentes.

Assim, sendo, pode-se concluir que a saturação afeta:

a) A permeabilidade magnética do material

();

b) A permeância (Pe) ou a relutância (Re) do circuito magnético;

c) A indutância (L) da bobina ou do circuito elétrico.

Vale lembrar que:

l

APe

A

lRe

eR

NL

2

3.5 CIRCUITOS MAGNÉTICOS SÉRIE

Um circuito magnético série é aquele em que o fluxo magnético é o mesmo em todas as suas pernas.

Este tipo de circuito magnético pode ser dividido em:

a) Circuito magnético série homogêneo: quando as áreas das seções retas transversais de todas as pernas do núcleo forem iguais. A figura 3.12 a seguir ilustra esta condição.

Figura 3.12 – Circuito Magnético Série Homogêneo

Da figura 3.12, tem-se:

AAAAA 4321

4

4

3

3

2

2

1

1A

BA

BA

BA

B

BBBBB 4321

b) Circuito magnético série não-homogêneo: quando pelo menos uma das áreas das seções retas transversais for diferente das demais. A figura 3.13 a seguir ilustra esta condição.

Figura 3.13 – Circuito Magnético Série Não Homogêneo

Da figura 3.13, tem-se que:

4321 AAAA

4

4

3

3

2

2

1

1A

BA

BA

BA

B

4321 BBBB

Para os circuitos magnéticos das figuras 3.12 e 3.13, pode ser desenvolvido o circuito análogo equivalente apresentado à figura 3.14 a seguir:



4321 eeee RRRRF

Chamando,

4321 eeeee RRRRRTOTAL

Vem,

TOTALeRF



Portanto, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo equivalente apresentado à figura 3.15 a seguir.


Considere agora o circuito magnético da figura 3.16 a seguir.

Figura 3.16 – Circuito Magnético Série

Onde:

lllll 4321

Sendo “l” sendo a linha média do circuito.

Através da analogia eletromagnética pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo à figura 3.17 a seguir.


Conforme desenvolvimento anterior pode-se escrever que:

TOTALeRF

Ou de uma forma mais geral:

n

k

eTOTALRF

1

(3.10)

Da equação 3.6, tem-se que:

1

H

A

lRe

Ou ainda,

kk

k

eA

lR

k

Levando em 3.10, obtém-se:

n

k kk

k

A

lF

1 (3.11)

Mas,

AB

Ou ainda,

k

kA

B

Em (3.11), vem:

n

k

k

k

k lB

F1

Como,

HB

Ou ainda,

k

k

k

BH

Obtém-se finalmente que:

n

k

kk lHF1

(3.12)

Ou seja,

iNlHlHlHlHF ....44332211

Ou ainda,

iNFFFFF ....4321

As intensidades de campo magnético: H1, H2, H3, H4,..., são determinadas através das



curvas de magnetização dos materiais, respectivamente para B1, B2, B3, B4,..

3.5.1 Tipos de Problemas

Existem basicamente dois tipos de problemas de cálculo de circuitos magnéticos, a saber:

a) Determinar o valor da corrente “i” injetada na bobina, necessária para produzir um determinado fluxo

magnético “” no núcleo;

b) Determinar o valor do fluxo magnético

“”, no núcleo, produzido por uma dada corrente “i” na bobina.

O primeiro tipo de problema é de solução muito simples (solução direta), já o segundo tipo requer uma solução iterativa mais trabalhosa.

A seguir serão apresentados exemplos práticos dos dois tipos de problemas citados.

3.5.2 Exemplos

Exemplo 1

Seja o circuito magnético serie não-homogêneo apresentado à figura 3.18 a seguir:

Figura 3.18 – Circuito Magnético – Exemplo 1

Sabendo que:

Espessura do Núcleo = 8 [cm], N = 300 espiras

(número total de espiras da bobina), = 0,0064 [Wb] (fluxo magnético no núcleo)

Determinar a força magnetomotriz “F” e a corrente “i” injetada na bobina. As medidas na figura 3.18 são dadas em centímetros.

Considerar a curva 1 de magnetização, do anexo 1.

Solução:

Cálculos Iniciais: O circuito magnético da figura 3.18 pode ser dividido em 2 partes (de seções iguais). Para estas partes podem ser calculados os comprimentos das linhas médias e as áreas das seções retas transversais do núcleo, ou seja:

Parte 1

L1 = (05 + 30 + 04) x 02 + (05 + 22 + 05) = 110 [cm], L1 = 1,10 [m]

A1 = 10 x 8 = 80 [cm2], A1 = 0,0080 [m2]

Parte 2

L2 = 05 + 22 + 05 = 32 [cm], L2 = 0,32 [m]

A2 = 08 x 08 = 64 [cm2], A2 = 0,0064 [m2]

Circuito Elétrico Análogo

O circuito magnético da figura 3.18 pode ser representado pelo circuito elétrico análogo da figura 3.19 a seguir.

Figura 3.19 – Circuito Elétrico Análogo – Exemplo 1

Da figura 3.19 tem-se que:

21 ee RRF

Ou ainda,

21 FFF

Vale lembrar que:

lHF

Portanto,

111 lHF

222 lHF

Tabela de Valores

Considerando os dados fornecidos e através das expressões anteriormente apresentadas, é



possível montar a tabela de valores (3.5) a seguir.

Parte [Wb] A[m2] B[T] H [Ae/m] L [m] F [Ae]

1 0,0064 0,0080 0,8 620 1,10 682

2 0,0064 0,0064 1,0 900 0,32 288

Tabela 3.2 – Tabela de Valores

No desenvolvimento da tabela 3.2, considerou-se que:

a) No circuito magnético série, o fluxo magnético é o mesmo em todas as partes. Portanto:

Wb 0064,01

b) As áreas das seções retas transversais (A1 e A2) e os comprimentos das linhas médias (l1 e l2) foram determinados no item “cálculos iniciais”;

c) Os valores B1 e B2 são determinados através da expressão:

AB

d) Os valores H1 e H2 são obtidos através da curva de saturação do material, para B1 e B2 respectivamente.

Obs.: A curva de magnetização do material é apresentada no anexo 1 (curva 1).

e) Os valores F1 e F2 são determinados através da seguinte expressão:

lHF

Determinação da Corrente

A corrente “i” da bobina pode ser determinada da seguinte forma:

21 FFF

Logo,

AeF 970288682

Como,

iNF

Vem,

AN

Fi 233,3

300

970

Determinação de outros Valores

Da tabela podem ser extraídos diversos valores como:

As relutâncias das diversas partes do núcleo magnético;

As permeâncias das diversas partes do núcleo;

A relutância equivalente do circuito magnético;

As permeabilidades magnéticas absolutas e relativas das diversas partes;

O fluxo enlaçado com a bobina;

A indutância (L) da bobina.

Fica como exercício para o leitor, a determinação destas grandezas.

Exemplo 2

Para o mesmo circuito magnético do exemplo 1 anterior, achar o valor do fluxo magnético correspondente a uma corrente de 6,667 [A] na bobina.

Solução:

Cálculos Iniciais

No exemplo 1, foram determinadas as áreas das seções e os comprimentos das linhas médias do núcleo. Foi desenvolvido também o circuito elétrico análogo.

É sabido que:

iNF

Como,

i = 6,667 [A] e N = 300 espiras

Vem,

AeF 2000667,6300


A figura 3.20 a seguir apresenta o circuito elétrico análogo correspondente.



Figura 3.20 – Circuito Elétrico Análogo – Exemplo 2

Admitindo por hipótese que: F1=1000 [Ae], é possível desenvolver a tabela de valores (3.3) do item a seguir.

Tabela de Valores – 1ª iteração


1 0,0080 0,0080 1,00 909 1,10 1000

2 0,0080 0,0064 1,25 1600 0,32 512


A força magnetomotriz total (F) é igual a soma das parcelas F1 e F2, portanto;

][ 1512512100021 AeFFF

Este valor (1512 [Ae]) está abaixo do valor real da força magnetomotriz total, ou seja, 2000 [Ae]. Desta forma, uma nova hipótese se faz necessária.

Admitindo por hipótese que: F1 = 1400 [Ae], pode-se desenvolver a tabela de valores (3.4) a seguir.



1 0,0093 0,0080 1,16 1273 1,10 1400

2 0,0093 0,0064 1,45 3000 0,32 960


A força magnetomotriz total (F) é igual a soma das parcelas F1 e F2, portanto;

][ 2360960140021 AeFFF

Este valor (2360 [Ae]) está acima do valor real da força magnetomotriz total, ou seja, 2000 [Ae]. Desta forma, uma nova hipótese se faz necessária.

Admitindo agora F1 = 1250 [Ae], pode-se desenvolver a tabela de valores (3.5) a seguir.



1 0,0089 0,0080 1,11 1136 1,10 1250

2 0,0089 0,0064 1,39 2300 0,32 736


Somando F1 e F2 obtém-se: F = 1986 [Ae]. Este valor está muito próximo do valor real de 2000 [Ae]. Portanto, pode-se dizer que o fluxo magnético no núcleo vale 0,0089 [Wb].

Outros Valores Obtidos da Tabela

Da tabela 3.5 podem ser obtidas inúmeras outras grandezas, conforme sugerido no exemplo 1 anterior. Alguns destes possíveis resultados são apresentados a seguir.

0,0089 [Wb] ReT 223147 [H-1

]

Re1 140450 [H-1

] L 0,4033 [H]

Re2 82697 [H-1

]

Tabela 3.6 – Outros Valores Obtidos

O leitor deve comparar os resultados obtidos nos dois exemplos dados e verificar os efeitos causados pela não-linearidade do circuito magnético.

3.6 CIRCUITOS MAGNÉTICOS PARALELOS

Em um circuito magnético paralelo, existem “nós” de bifurcação para o fluxo magnético. A figura 3.21 a seguir apresenta uma configuração típica.

Figura 3.21 – Circuito Magnético Paralelo

Para este circuito magnético, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo apresentado à figura 3.22.




Da figura 3.22, tem-se:

321

Tem-se também,

21 2121 eeRFFF

31 3131 eeRFFF

Portanto, podemos admitir que,

32 FF

De onde retiramos:

3322 lHlH

Considere agora o núcleo magnético apresentado à figura 3.23 a seguir.

Figura 3.23 – Circuito Magnético Paralelo com Bobina

Central

Da figura anterior, tem-se que:

312

Considerando a simetria do núcleo,

2

231

Por analogia, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo da figura 3.24 a seguir.


Da figura 3.24, pode-se escrever que:

3221 FFFFF

E portanto,

31 FF

Exemplo 3

Determinar o valor da corrente “i” na bobina do circuito magnético da figura 3.25, a seguir, tal

que 3= 0,005 [Wb].

Para o material ferromagnético do núcleo, considere a curva 1 de magnetização, apresentada no anexo 1.

Figura 3.25 – Circuito Magnético – Exemplo 3

Os dados referentes às dimensões do núcleo podem ser obtidos da tabela 3.7 a seguir.

Parte A [m2] L [m2]

1 0,0090 0,56

2 0,0032 0,26

3 0,0045 0,51

N = 300 espiras

Tabela 3.7 – Dados do Exemplo 3

Solução:

Cálculos Iniciais

Os comprimentos das linhas médias, bem como as áreas das seções retas transversais



do núcleo magnético, estão relacionados à tabela 3.7, dada anteriormente.


Para o circuito magnético dado, pode-se desenvolver o circuito elétrico análogo apresentado à figura 3.26 a seguir.


Da figura anterior, tem-se que:

321

3121 FFFFF

32 FF

11 1 eRF 22 2

eRF 33 3 eRF

Tabela de Valores:

Considerando os dados da tabela 3.7, e

Wb005.03 , pode-se desenvolver a tabela

de valores a seguir.


1 0,0094 0,0090 1,044 980 0,56 549

2 0,0044 0,0032 1,375 2254 0,26 586

3 0,0050 0,0045 1,111 1150 0,51 586

Tabela 3.8 – Tabela de Valores – Exemplo 3

Obs.:Na elaboração da tabela anterior, considerou-se a curva 1 de magnetização apresentada no anexo 1.

Da tabela 3.8, tem-se que:

][ 113558654921 AeFFF

Como iNF

][783.3300

1135A

N

Fi

Cálculos Adicionais Propostos

Fica para o leitor, a título de exercício, calcular os valores das relutâncias e permeâncias do

circuito magnético dado, bem como o valor da indutância da bobina. As respectivas respostas são apresentadas a seguir.

Re1 58404 [H-1

] Pe1 1,7122x10-5

[H]

Re2 133182 [H-1

] Pe2 7,5080x10-6

[H]

Re3 117200 [H-1

] Pe3 8,5320x10-6

[H]

ReT 120744 [H-1

] PeT 8,2810x10-6

[H]

L 0,7454 [H]

Tabela 3.9 – Dados finais do Exercício 3

3.7 GAPs E ENTREFERROS

A figura 3.27 a seguir apresenta um exemplo típico de introdução de gap em um circuito magnético.

Figura 3.27 – Circuito Magnético Série com Gap

Os gaps ou entreferros são muitas vezes utilizados em circuitos magnéticos no sentido de :

a) Possibilitar certa linearização da curva de saturação;

b) Possibilitar acesso físico ao fluxo em um núcleo magnético.

3.7.1 Espraiamento

A introdução de gaps em circuitos magnéticos, como aquele apresentado à figura 3.27, causa certa dispersão do fluxo magnético pelo ar, no local onde este gap foi colocado. Este fenômeno é chamado de “espraiamento” do fluxo magnético e seu efeito pode ser verificado através da figura 3.28 a seguir.



Figura 3.28 – Espraiamento do fluxo Magnético em um Gap

Muitas vezes, o efeito do espraiamento é considerado nos cálculos de circuitos magnéticos através de um acréscimo da área correspondente a seção reta transversal no gap. Desta forma, se a área correspondente ao material ferromagnético for “A”, considera-se como área da seção reta transversal do gap (Ag), a relação:

AkAg (3.13)

Onde:

k = Fator de acréscimo correspondente ao

espraiamento (p. ex.: k=1.05 elevação de 5% na

área).

É importante deixar claro que esta forma de representação do espraiamento, nos cálculos, constitui uma aproximação.

3.7.2 Efeito da Dispersão

A introdução de gaps ou entreferros provoca a elevação da relutância total equivalente de um núcleo magnético. Em outras palavras pode-se dizer que: os gaps dificultam a “circulação” do fluxo magnético. Desta forma, haverá uma maior tendência de formação de fluxo de dispersão no ar, nas extremidades da bobina (cabeças de bobina), como pode ser observado à figura 3.29 a seguir.

Figura 3.29 – Efeito da Dispersão em um Núcleo com Gap

Pode-se concluir, portanto que: quanto maior for o gap, maior será a relutância do núcleo magnético e consequentemente maior será o fluxo de dispersão pelo ar.

3.7.3 Cálculo da Relutância do Gap

Da equação 3.6, tem-se que:

A

lRe

Para o gap, pode-se escrever que:

gg

g

geA

lR

Onde:

geR = Relutância magnética do gap;

gl = Comprimento do gap;

g = Permeabilidade magnética do gap;

Ag = Área da seção reta transversal do gap.

Como a permeabilidade magnética do ar (e, portanto do gap) é praticamente igual à permeabilidade magnética do vácuo, pode-se escrever que:

g

g

geA

lR

0 (3.14)

Exemplo 4

Seja o circuito magnético da figura 3.30 a seguir.

Figura 3.30 – Circuito Magnético do Exemplo 4

Determinar o valor da corrente “i” na bobina do

circuito magnético, tal que = 0,0064 [Wb], espessura do Núcleo = 8 [cm], N = 300 espiras



(número total de espiras da bobina), Gap=0,1 [cm].

Obs:

Considerar todas as medidas da figura 3.30 em [cm];

Utilizar a curva de saturação 1 do anexo 1;

Observar que a única diferença do circuito magnético da figura 3.30, para o circuito magnético do exemplo 1, é exatamente o gap ou entreferro.

Solução:

Cálculos Iniciais

O circuito magnético da figura 3.30 pode ser dividido em 3 partes: duas para o material ferromagnético e uma para o gap. Para estas partes podem ser calculados os comprimentos das linhas médias e as áreas das seções retas transversais do núcleo, ou seja:

Parte 1 – Material Ferromagnético

1l = (5 + 30 + 4) x 2 + (5 + 22 + 5) = 110 [cm]

1l = 1,10 [m]

1A = 10 x 8 = 80 [cm2]

1A = 0,0080 [m2]

Tabela 3.10 – Medidas da Parte 1 do Circuito Magnético da Figura 3.30

Parte 2 – Material Ferromagnético

2l = (5 + 22 + 5) – 0,1 = 31,9 [cm]

2l = 0,319 [m]

2A = 8 x 8 = 64 [cm2]

2A = 0,0064 [m2]


Parte 3 – Entreferro

2l = 0,1 [cm]

2l = 0,001 [m]

2A = 8 x 8 = 64 [cm2]

2A = 0,0064 [m2]



O circuito magnético da figura 3.30 pode ser representado pelo circuito elétrico análogo da figura 3.31 a seguir.



321 eee RRRF

Ou ainda,

321 FFFF

Vale lembrar também que;

lHF

Portanto,

111 lHF

222 lHF

333 lHF

Tabela de Valores:

Considerando os dados fornecidos e calculados, e através das expressões anteriormente apresentadas, pode-se desenvolver a tabela de valores a seguir.


1 0,0064 0,0080 0,8 620 1,10 682

2 0,0064 0,0064 1,0 900 0,32 288

3 0,0064 0,0064 1,0 795775 0,001 796

Tabela 3.13 – Tabela de Valores – Exemplo 4

No desenvolvimento da tabela 3.13, considerou-se que:

a) No circuito magnético serie, o fluxo magnético é o mesmo em todas as partes. Portanto:

Wb 0064,0321



b) As áreas das seções retas transversais (A1, A2, A3) e os comprimentos das linhas médias (l1, l2, l3) foram determinadas no item “cálculos iniciais”.

c) Os valores B1, B2 e B3 são determinados através da expressão:

AB

d) Os valores H1 e H2 são obtidos através da curva de saturação do material, para B1 e B2 respectivamente.

Obs.: Na elaboração da tabela anterior, considerou-se a curva 1 de magnetização apresentada no anexo 1.

e) A intensidade de campo magnético no gap (H3) é determinada através da seguinte expressão:

7

0

3

3104

0.1

BHH g

f) Os valores F1, F2 e F3 são determinados da seguinte forma:

lHF

Determinação da Corrente

Para a determinação da corrente “i” na bobina, deve-se considerar que:

][ 1766796288682321 AeFFFF

][ 887,5300

1766A

N

Fi

Determinação de outros Valores

Da tabela 3.13, podem ser extraídos outros valores como:

As relutâncias das diversas partes do núcleo magnético;

As permeâncias das diversas partes do núcleo;

A relutância equivalente do circuito magnético;

As permeabilidades magnéticas absolutas e relativas das diversas partes;

O fluxo enlaçado com a bobina;

A indutância (L) da bobina.

Fica como exercício para o leitor, a determinação destas grandezas.

Observações:

Considere a tabela 3.14 a seguir, onde é realizada uma comparação dos valores obtidos nos exemplos 1 e 4.

Variável Exemplo 1 Exemplo 4

[Wb] 0,0064 0,0064

i [A] 3,233 5,887

ReT [H-1

] 151563 275938

L [H] 0,594 0,326

Tabela 3.14 – Comparação dos Resultados com e sem Gap

Pode-se observar que a inserção do gap elevou a relutância equivalente do circuito magnético de 151563 [H-1] para 275938 [H-1]. Com este novo valor de relutância, para se obter o mesmo fluxo magnético no núcleo, ou seja, 0,0064 [Wb], portanto, foi necessária uma elevação no valor da corrente de 3,233 [A] para 5,887 [A].

Evidentemente que a qualidade magnética do núcleo diminui com a inserção do gap, este fato pode ser observado através da indutância (L), que passou de 0,594 [H] para 0,326 [H].

3.8 CURVAS DE SATURAÇÃO

Considere a característica B = f(H) da figura 3.32 a seguir.

Figura 3.32 – Característica B = f (H)

Esta característica B = f (H) é na verdade uma curva de saturação que determina a propriedade do material ferromagnético em termos de sua permeabilidade magnética (µ). Pode ser chamada, portanto, de curva de



saturação ou curva de magnetização do material ferromagnético.

Por outro lado, sabe-se que:

AB e FiNlH

Portanto, através de mudanças de escalas, a característica da figura 3.32 pode ser alterada para aquela desenvolvida à figura 3.33 a seguir.

Figura 3.33 – Característica = f (F)

Esta nova característica Ff é na

verdade uma curva de saturação que determina a propriedade do núcleo magnético em termos de sua permeância magnética (Pe) ou relutância magnética (Re). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação ou curva de magnetização do núcleo magnético.

Sabe-se também que:

N e iNf

Portanto, através de novas mudanças de escalas, as características das figuras 3.32 e 3.33 podem ser alteradas para aquela desenvolvida à figura 3.34 a seguir.

Figura 3.34 – Característica = f (i)

Esta característica if é na realidade uma

curva de saturação que determina a

propriedade da bobina em termos de sua indutância (L). Pode ser chamada, portanto, de curva de saturação da bobina.

As três curvas anteriormente apresentadas (B

= f (H), Ff , if ), podem ser

representadas em uma única característica, considerando apenas as mudanças de escalas das ordenadas e abscissas. Este fato pode ser verificado à figura 3.35 a seguir.

Figura 3.35 – Curva de Saturação

Na figura 3.35, tem-se que:

B = f(H) Característica do material;

= f(F) Característica do núcleo magnético;

= f(i) Característica da bobina.



3.9 PERGUNTAS PROPOSTAS

Responda as seguintes perguntas:

1) Por que são utilizados materiais ferromagnéticos na confecção de circuitos ou núcleos magnéticos?

2) O que é o efeito da dispersão? Quando ele deve ser considerado?

3) O que é a força magnetomotriz? Faça uma analogia com os circuitos elétricos.

4) O que são os circuitos elétricos análogos? Onde são utilizados? Por quê?

5) Quais são os respectivos análogos elétricos

das seguintes grandezas magnéticas: , F, Re, Pe, µ?

6) O que é relutância de um circuito magnético? Qual é a sua unidade?

7) O que é permeância de um circuito magnético? Qual é a sua unidade?

8) Qual é a relação entre permeância e indutância?

9) Dada à área da seção reta transversal de um núcleo magnético série e homogêneo, e conhecido o fluxo magnético que atravessa a mesma, como seriam determinadas: a indução magnética no núcleo (B); a intensidade de campo magnético “H”.

10) Quais são as unidades usuais de “B” e “H”.

11) Quais são as características dos seguintes circuitos magnéticos:

a) Circuito magnético série uniforme;

b) Circuito magnético série não-uniforme;

c) Circuito magnético paralelo uniforme;

d) Circuito magnético paralelo não-uniforme;

12) Que tipo de cálculo de circuito magnético é mais trabalhoso:

a) Dado um fluxo magnético “”, determinar a corrente necessária para produzi-la;

b) Dada uma corrente “i”, determinar o fluxo magnético produzido pela mesma? Por quê?

13) Faça um análogo magnético das leis de Kirchhoff das tensões e correntes.

14) Os circuitos magnéticos devem ser tratados como lineares ou não-lineares? Por quê?

15) Quais são as dificuldades encontradas nos cálculos de circuitos não-lineares? Dê exemplos.

16) O que são gaps ou entreferros em um circuito magnético? Por que são utilizados?

17) Qual é o significado do espraiamento em um gap? De que forma seu efeito é considerado no cálculo de um núcleo magnético?

18) Qual é a relação entre a relutância de um gap e a relutância do material ferromagnético que constitui um núcleo? Explique.

19) Qual é o significado de cada uma das seguintes relações:

B = f(H) = f(F) = f(i)

Que grandezas representam?

20) Dê as unidades usuais das seguintes grandezas:

a) Indutância;

b) Permeabilidade magnética;

c) Condutância;

d) f.m.m.;

e) f.e.m.



3.10 EXECÍCIOS PROPOSTOS

Resolva os seguintes exercícios:

1) Considere o seguinte circuito magnético:

Dados do Exercício:

Espessura do Núcleo = 10 [cm], N = 500 espiras

Medidas na figura em [cm]

Determinar:

a) O Valor da força magnetomotriz necessária para produzir um fluxo de 0,006 [Wb];

b) O valor da corrente correspondente;

c) O valor da indutância “L” da bobina;

d) A permeância total do circuito magnético;

e) A permeabilidade magnética de cada parte do circuito magnético.

Obs.: Considerar a curva de saturação anexa.

2) No circuito magnético do exercício anterior,

determine o valor do fluxo magnético “” produzido por uma força magnetomotriz de 3000 [Ae].



Espessura do Núcleo = 8 [cm], N = 1000 espiras, Espraiamento no gap = 10%

Medidas na figura em [cm].

Determinar o valor da corrente “i” que produz um fluxo magnético de 0,001 [Wb] na perna direita do núcleo. Considerar para o material ferromagnético a curva de saturação anexa.

4) Refazer o exercício anterior considerando o circuito magnético sem o entreferro.

5) Faça uma análise comparativa dos resultados obtidos nos exercícios 03 e 04 anteriores.

6) No circuito magnético a seguir, determinar a indutância da bobina e o fluxo enlaçado com a mesma.


i = 05 [A], N = 500 espiras, 1= 0,002 [Wb],

2=0,003 [Wb], L1 = 0,6 [m], L2 = 0,4 [m]

Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da curva de saturação anexa.



Espessura do Núcleo = 10 [cm], N = 1000 espiras,

=0,015 [Wb], 1gl =0,10 [cm] e

2gl = 0,15 [cm],

dl=150 [cm] e de=180 [cm]

De posse dos dados acima, determinar:



a) A força magnetomotriz necessária para

produzir o fluxo “”;

b) A corrente “i” da bobina;

c) A permeância total do circuito magnético;

d) A indutância da bobina.

Obs.: Considerar simetria dos gaps, espraiamento

de 5% nos gaps de comprimento 2gl , para o

material ferromagnético a curva de saturação anexa.



Espessura do Núcleo = 8 [cm], i = 6,2 [A], medidas na figura em [cm]

Sabendo-se que Wb 0056,03 , determinar o

numero de espiras da bobina.

Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da curva de saturação anexa.

9) Seja o seguinte circuito magnético toroidal, com gap e “N” espiras uniformemente distribuídas:


Espraiamento no Gap = 10%, N = 1000 espiras,

gap = 12.0 x 10-7 [H/m], gl = 1 [mm], dl = 81,2 [cm]

e de = 103,8 [cm], Espiras justapostas

Desprezando:

O fluxo de dispersão, o comprimento do arco equivalente a linha media do gap.

De posse destes dados, determinar:

a) A corrente necessária para produzir um fluxo de 0,0012 [Wb];

b) As relutâncias equivalentes, do ferro e do gap;

c) A indutância da bobina.

Obs.: Considerar a curva de magnetização anexa.



Espessura do Núcleo = 1 [pol], i=0,2 [A], N = 1000 espiras

Medidas na figura em [pol]

Determinar o fluxo e a indução magnética em cada perna do circuito magnético. Desprezar os espraiamentos dos entreferros e os campos de dispersão. Supor que a permeabilidade relativa do ferro é tão alta que a força-magnetomotriz do enrolamento está totalmente aplicada nos entreferros.

Obs.: Desenvolva um circuito magnético equivalente.



11) Refazer o exercício anterior, considerando agora a seguinte curva de magnetização para o material ferromagnético:

12) Na curva de magnetização anexa (curva 1), determinar o valor da permeabilidade magnética relativa para:

a) B = 0.5 [Wb/m2];

b) B = 1.5 [Wb/m2];

c) H = 1400 [AE/m];

d) H = 3600 [AE/m].

13) Considere o circuito magnético da figura a seguir, onde:

i

F N

18 26 6

10

10

202


Espessura do Núcleo = 10 [cm], espraiamento do núcleo = 20%, N = 1390 espiras.

Medidas na figura em [cm]

Determinar:

a) O circuito elétrico análogo;

b) A corrente na bobina para que se obtenha um fluxo de 0,006 [Wb] no núcleo magnético;

c) A indutância da bobina;

d) A relutância total do circuito magnético.

Obs.: Considerar simetria na perna do núcleo onde está o gap;

Para o material ferromagnético, considerar a curva de saturação (1) anexa;

3.11 BIBLIOGRAFIA

[1] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda, 1985. (Cap. 9 - págs. 217 a 229);

[2] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 02a, Editora Guanabara Dois S.A., Segunda Edição, 1986. (Cap. 29 - págs. 803 a 819);

[3] David Halliday e Robert Resnick, “Fundamentos de Física” , Parte 03 - Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1991. (Cap. 34 - págs. 241 a 257);

[4] L. Bessonov, “Applied Electricity for Engineers”, MIR Publishers - Moscow, 1973. (Cap. 3 - págs. 89 a 95);

[5] Syed A. Nasar, “Máquinas Elétricas”, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda, 1984. (Cap. 1 - págs. 01 a 05);

[6] Encyclopedia Britannica, “Magnetism”.

capÍtulo iii circuitos magnÉticos -...

Documents