cap.8 - forcas, materiais e dispositivos magneticos

Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 2 – Prof. Helder A. Pereira

FORÇAS, MATERIAIS E DISPOSITIVOS MAGNÉTICOS

- TÓPICOS DAS AULAS -

1. Forças devido aos campos magnéticos.

2. Torque e momento magnéticos.

3. Dipolo magnético.

4. Magnetização em materiais.

5. Classificação dos materiais magnéticos.

6. Condições de fronteira magnéticas.

7. Indutores e indutâncias.

8. Energia magnética.

9. Circuitos magnéticos.


Forças devido aos campos magnéticos

• Há pelo menos três maneiras da força provocada por campos

magnéticos se manifestar:

1. Movimento de partículas carregadas submetidas a um

campo magnético externo.

2. Presença de um elemento de corrente em um campo

magnético externo.

3. Interação entre dois elementos de corrente.


1. Força sobre partícula carregada:

– Um campo magnético pode exercer força somente sobre uma

carga em movimento.

– Desse modo, a força magnética experimentada por uma

carga Q em movimento, com velocidade u em um campo

magnético B, é dada por

sendo perpendicular à direção da velocidade e à do campo

magnético, portanto, não realiza trabalho.

×=

→→→

BuQFm

0m =⋅→→

ldF


– Para uma carga Q em movimento, na presença de um campo

elétrico e de um campo magnético simultaneamente, a força

total sobre a carga é dada por

×+=

×+=+=

→→→→

→→→→→→

BuEQF

BuQEQFFF me

Equação da força de Lorentz


2. Força sobre um elemento de corrente:

– Para determinarmos a força sobre um elemento de corrente

Idl, devido a um campo magnético externo B, partimos das

seguintes expressões

– Uma carga elementar dQ, se movimentando com uma

velocidade u, é equivalente a um elemento de corrente de

condução Idl.

×=

===

→→→

→→

→→

BuQF

udQdt

lddQld

dt

dQlId

m


– Portanto, temos que

caso a corrente I percorra um caminho fechado L, ou um circuito.

– Devemos ter em mente que o campo magnético produzido pelo elemento de corrente Idl não exerce força sobre ele mesmo.

– O campo B, que exerce força sobre Idl, deve ser gerado por um outro elemento, ou seja, B é externo ao elemento de corrente Idl.

∫→→→

→→→→→

×=

×=

×=

LBlIdF

BlIdBudQFd

m

m


– Se, ao invés do elemento de corrente em uma linha (Idl), tivermos elementos de corrente em uma superfície (KdS) ou

em um volume (Jdv), temos que

→→→

→→→

×=

×=

BdvJFd

BdSKFd

m

m


3. Força entre dois elementos de corrente:

– De acordo com a lei de Biot-Savart, ambos os elementos de

corrente geram campos magnéticos.

– Dessa forma, podemos determinar a força d(dF1) sobre o

elemento I1dl1 devido ao campo dB2, gerado pelo elemento de

corrente I2dl2.

Figura 1


– Dessa forma, as densidades de fluxo magnético geradas

pelos elementos de correntes são dadas por

– Portanto, as forças exercidas pelos campos externos nos

elementos de corrente são dadas por

03

21

2122203

21

21111

4e

4µ

πµ

π R

RldIBd

R

RldIBd

→→→

→→→ ×

=×

−=

∫∫→→

→

→→→

→

→

→→

→

→→→

→

→

×=×=

×=×=

211222121112

1222121112

e

e

LLBldIFBldIF

BldIFdBldIFd


– Substituindo as expressões dos campos magnéticos externos

obtemos

2112

3

21

2121

21021

3

21

2121

21012

1 2

1 2

4

4

→

→

→

→

→→→

→

→

→→→

→

→

−=

××

−=

××

=

∫ ∫

∫ ∫

FF

R

RldldII

F

R

RldldII

F

L L

L L

πµ

πµ


Exercícios

1. Uma partícula carregada de massa 1 kg e carga 2 C, parte da

origem, com velocidade inicial zero, em uma região onde

E=3âz V/m. Determine:

a) A força sobre a partícula.

b) O tempo que a partícula leva para alcançar o ponto

P (0, 0, 12).

c) A velocidade e a aceleração da partícula em P.

d) A energia cinética da partícula em P.

2. Uma partícula carregada se move com uma velocidade uniforme

4âx m/s em uma região onde E=20ây V/m e B=B0âz Wb/m².

Determine B0 tal que a velocidade da partícula permaneça

constante.


Exercício

3. Uma espira retangular, percorrida por uma corrente I2, é

colocada paralelamente a um fio infinitamente longo, percorrido

por uma corrente I1, como mostrado na figura 2. Determine:

a) A expressão da força sobre a espira.

b) A força sobre o fio infinitamente longo,

se I1=10 A, I2=5 A, ρ0=20 cm, a=10 cm e

b=30 cm.

Figura 2


Torque e momento magnéticos

• Tendo considerado a força sobre uma espira de corrente em um

campo magnético, podemos determinar o torque sobre ela.

• Se a espira for colocada paralelamente a um campo magnético,

ela sofre uma força que tende a girá-la.

• O torque T, ou momento mecânico de força sobre a espira, é o

produto vetorial entre a força F e o braço de alavanca r, ou seja,

onde a unidade do torque é dada em Newton-metro.

→→→

×= FrT


• Considerando uma espira retangular, de comprimento l e largura

w, submetida a um campo magnético uniforme, temos

Figura 3


• Ou seja, nenhuma força é exercida na espira como um todo.

• Entretanto, Fo e -Fo agem em diferentes pontos sobre a espira e,

com isso, geram um conjugado.

( ) ( ) ( ) ( )

0yoyoyxyx

14

xxz

32

xxz

=−=−=

×−×=

×=

∫∫

∫

−−

→→→

âFâFâIlBâIlB

âBIdzââBIdzâ

BlIdF


• Se a normal ao plano da espira faz um ângulo α com B, o torque

sobre a espira é dado por

Figura 4

ααα sensenseno BISBIlwwFT ===→→

S = l w => Representa a

área da espira.


• Definimos

como o momento dipolo magnético da espira em A m².

• O momento dipolo magnético é o produto entre a corrente e a

área da espira. Sua direção é perpendicular à espira.

• Dessa forma, temos que

nISâm =→

→→→

×= BmT


• Essa expressão é geralmente aplicável para determinar o torque

sobre uma espira plana, em qualquer formato, embora tenha

sido obtida para uma espira retangular.

• A única limitação é que o campo deve ser uniforme.


Exercício

4. Uma bobina retangular, de área 10 cm², é percorrida por uma

corrente de 50 A e está sobre o plano 2x + 6y - 3z = 7, tal que o

momento magnético da bobina está orientado para fora da

origem. Calcule seu momento magnético.


Dipolo magnético

• Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmente

referido como dipolo magnético.

Figura 5

• Podemos determinar o campo

magnético B em um ponto P (r, θ, φ)

devido a uma espira circular,

percorrida por uma corrente I, da

seguinte forma:

― Determinando A.

― Simplificando a expressão

encontrada para campos

distantes (r >> a).

― Determinando B.


• Dessa forma, encontramos

( )θr3

0 sencos24

ââr

mAB θθ

π

µ+=×∇=

→→→


• Podemos fazer um comparativo das expressões determinadas

para os campos elétrico e magnético da seguinte forma

Figura 6


• Um ímã, ou uma espira filamentar de corrente, é usualmente

referido como dipolo magnético.

Figura 7


Magnetização em materiais

• Sabemos que um dado material é composto de átomos.

• Cada átomo pode ser considerado como constituído de elétrons

orbitando em torno de um núcleo central positivo.

Figura 8


• Os elétrons também giram em torno de seus próprios eixos.

• Portanto, um campo magnético interno é gerado pelos elétrons

que orbitam em torno do núcleo ou pela rotação dos elétrons em

torno de si mesmos.

Figura 9


• Esses dois movimentos eletrônicos geram campos magnéticos

internos Bi que são similares ao campo magnético produzido por

uma espira de corrente.

Figura 10


• Sem um campo externo B aplicado ao material, a soma dos

momentos de dipolo magnético é igual a zero devido à orientação

aleatória dos mesmos.

Figura 11


• Quando um campo externo B é aplicado, os momentos

magnéticos dos elétrons tendem a se alinhar com B, tal que o

momento magnético líquido é diferente de zero.

Figura 12


• Se há N átomos em um dado volume ∆v e o k-ésimo átomo tem

um momento de dipolo magnético igual a mk, temos que

representando a densidade de polarização magnética do meio.

v

m

M

N

k

k

v ∆=

∑=

→

→∆

→1

0lim


• Um meio para o qual M não é zero em nenhum ponto é dito

magnetizado.

• Para um volume diferencial dv’, o momento magnético é dado

por

• Desse modo,

'dvMmd→→

=

'4

'4 3

0

2

R0 dvR

RMdv

R

âMAd

π

µ

π

µ→→→

→ ×=

×=


• Integrando dA por todo o volume e considerando que

∫ ∫→→→→

→→→

→

×−=×∇

×∇−×∇=

∇×

∇=

v S

dSFdvF

R

MM

RRM

RR

R

'''

''11

'

1'

3


• Temos que

onde:

∫∫→→

→

+='

m0

'

m0 '4

'4

Sv

dSR

Kdv

R

JA

π

µ

π

µ

→→→

×∇= MJm

Representa a densidade de

corrente de magnetização ligada,

em um volume, em A/m².

nâMK ×=→→

m

Representa a densidade de

corrente ligada em uma

superfície, e ân é o vetor normal à

superfície.


• No espaço livre, temos que M=0, logo

onde Jf representa a densidade de corrente livre em um volume.

→→

→→→→

=

×∇=×∇ f

0

f ou JB

JHµ


• Em um meio material M é diferente de zero, dessa forma

ou

→→→→

→→→→

→

×∇+×∇=

=+=

×∇

MH

JJJB

mf

0µ

+=

→→→

MHB 0µ


• Para materiais lineares, temos que

→→

= HM mχ

Representa a susceptibilidade

magnética do meio


• Dessa forma

( )→→

→→→

=+=

+=

HH

HHB

rµµχµ

χµ

0m0

m0

1

Representa a permeabilidade relativa

do meio


Classificação dos materiais magnéticos

• Em geral, podemos usar a susceptibilidade magnética (χm) ou a

permeabilidade magnética relativa (µr), para classificar os

materiais em termos de suas propriedades magnéticas, ou de

seu comportamento magnético.

• Um material é dito não magnético se χm=0 (ou µr=1).

• Ele é magnético caso essa condição não se verifique.

• Espaço livre, ar e materiais com χm=0 (ou µr≈1) são considerados

não-magnéticos.


• Em termos genéricos, os materiais magnéticos podem ser

agrupados em três categorias principais, são elas:

1. Diamagnéticos

2. Paramagnéticos

3. Ferromagnéticos

Figura 13


• O diamagnetismo ocorre em materiais em que os campos magnéticos, devido aos movimentos de translação dos elétrons em torno do núcleo e de rotação dos elétrons em torno de seus próprios eixos, se cancelam mutuamente.

• Desse modo, o momento magnético permanente (ou intrínseco) de cada átomo é zero, e os materiais são fracamente afetados pelo campo magnético.

• Os materiais cujos átomos têm um momento magnético permanente diferente de zero podem ser ou paramagnéticos ou ferromagnéticos.

• O paramagnetismo ocorre em materiais para os quais os campos magnéticos produzidos pelos movimentos de translação dos elétrons em torno do núcleo e de rotação dos elétrons em torno de seus próprios eixos não se cancelam completamente.


• O ferromagnetismo ocorre em materiais para os quais os átomos

têm momento magnético permanente relativamente grande.

• São denominados materiais ferromagnéticos porque o material

mais conhecido dessa categoria é o ferro.

• Outros materiais são o cobalto, o níquel e seus compostos.

• De forma distinta dos materiais diamagnéticos e dos

paramagnéticos, os materiais ferromagnéticos apresentam as

seguintes propriedades:

– São capazes de serem magnetizados fortemente por um

campo magnético.

– Retêm um grau considerável de magnetização quando

retirados do campo.


– Perdem suas propriedades ferromagnéticas e tornam-se

materiais paramagnéticos lineares quando a temperatura fica

acima de um certo valor (temperatura Curie).

– São não-lineares, isto é, a relação constitutiva B=µ0µrH não se

verifica para materiais ferromagnéticos porque µr depende de

B e não pode ser representado por um único valor.

• Embora B=µ0(H+M) seja válida para todos os materiais, inclusive

os ferromagnéticos, a relação entre B e H depende da

magnetização prévia do material ferromagnético, isto é, sua

história magnética.

• Ao invés de termos uma relação linear entre B e H, somente é

possível representar essa relação pela curva de magnetização ou

curva B-H.


Figura 14

Curva B-H


Figura 14

Material desmagnetizado


Figura 14

Curva inicial de magnetização


Figura 14

Ponto de saturação


Figura 14

Histerese

Atraso de B em relação

à diminuição de H


Figura 14

Densidade de fluxo remanente

Causa de ímâs

permanentes


Figura 14

Intensidade de campo coercitiva

HC = 0


Figura 14

Laço de histerese

O formato varia de um

material para outro


Figura 14

Laço de histerese

A área representa a energia

perdida por unidade de

volume durante um ciclo de

magnetização


Exercício

5. Em uma certa região (µ=4,6µ0),

encontre:

a) Χm.

b) H.

c) M.

mWb/m²10 zâeBy−

→

=


Condições de fronteira magnéticas

• São definidas como as condições que o campo H, ou B, deve

satisfazer na fronteira entre dois meios diferentes.

• Fazemos uso da lei de Gauss para campos magnéticos e da lei

circuital de Ampère.

IdlHdSB =⋅=⋅→→→→

∫∫ e0


• Considerando a fronteira entre dois meios magnéticos 1 e 2

caracterizada, respectivamente, por µ1 e µ2, temos

( ) 0

22

N2N1

T2N2T1N1

=∆−=

∆+∆−∆+∆=⋅∫→→

SBB

hBSBhBSBSdB πρπρ

Meio 1 (µ1)

Meio 2 (µ2)

B2

B2T

B2N

B1

B1T

B1N

∆h

∆S

θ1

θ2

Figura 15


• Ou seja, a componente normal de B é contínua na fronteira.

• Dessa forma, em relação a H, obtemos que

2211N2N1 coscos θθ BBBB =⇒=

N22N11

N2N1

HH

BB

µµ =

=A componente normal de H é

descontínua na fronteira.


• Aplicando

IldH =⋅→→

∫Meio 1 (µ1)

Meio 2 (µ2)

a

d

b

c

∆w

∆h

H2

H2T

H2N

H1

H1T

H1N

θ1

θ2

X X X X X

Corrente na superfície da fronteira

e normal ao caminho.

K

Figura 16


• Temos que

( )KHH

wKwHH

wK

hHwH

hH

hHwH

hHldH

=−

∆=∆−

∆=

∆+∆−

∆−

∆−∆+

∆=⋅∫

→→

T2T1

T2T1

N2T2N2

N1T1N1

22

22


• Ou seja, a componente tangencial de H na superfície é

descontínua.

• Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não são

condutores, então K=0 e

• Dessa forma, temos que

T2T1 HH =

2

T2

1

T1

µµ

BB= A componente tangencial de B é

descontínua na fronteira.


• No caso geral,

considerando que ân12 representa o vetor unitário normal à

interface e orientado do meio 1 para o meio 2.

• Se a fronteira está livre de corrente, ou os meios não são

condutores, então K=0, logo temos que

T2T1

→→

= HH2

T2

1

T1

µµ

→→

=BB

→→→

=×

− KâHH n1221


• Considerando uma fronteira onde não há qualquer fonte de

corrente na superfície da interface de separação, temos que

Meio 1 (µ1)

Meio 2 (µ2)

B2

B1

θ1

θ2

2211

N2N1

coscos θθ BB

BB

=

=

2

22

1

11

2

T2

1

T1

T2T1

sensen

µ

θ

µ

θ

µµ

BB

BB

HH

=

=

=

ân12

Figura 17


• Dessa forma,

• Essa expressão representa a lei da refração para linhas de fluxo

magnético.

2

1

2

1

2

2

1

1

tg

tgou

tgtg

r

r

µ

µ

θ

θ

µ

θ

µ

θ==


Exercícios

6. A região 1, descrita por 3x + 4y ≥ 10, é um espaço livre, enquanto que a região 2, descrita por 3x + 4y ≤ 10, é um material magnético para o qual µ≈10µ0. Assumindo que a fronteira entre o material e o espaço livre seja livre de corrente, determine B2, se B1 = 0,1âx + 0,4ây + 0,2âz Wb/m².

7. Um vetor unitário normal apontando da região 2 (µ=2µ0) para a região 1 (µ=µ0) é ân21 = (6âx + 2ây - 3âz)/7. Se H1 = 10âx + ây + 12âz A/m e H2 = H2xâx - 5ây + 4âz A/m, determine:

a) O vetor H2x.

b) A densidade de corrente K na interface.

c) Os ângulos que B1 e B2 fazem com a normal à interface.


Indutores e indutâncias

• Um circuito, ou um caminho fechado condutor, que é percorrido

por uma corrente I gera um campo magnético B.

• Este campo B gera um fluxo

que atravessa cada espira do circuito.

∫→→

⋅=S

SdBψ

Figura 18


• Se o circuito tiver N espiras idênticas, definimos o fluxo

concatenado (λ) como

• Ainda, se o meio que circunda o circuito é linear, o fluxo

concatenado é proporcional à corrente que o gerou, ou seja,

onde L é uma constante de proporcionalidade denominada

indutância do circuito.

• A indutância L é uma propriedade que é função da geometria do

circuito.

ψλ N=

LII =→∝ λλ


Figura 19


• Um circuito, ou parte de um circuito, que tem uma indutância édenominado indutor.

• Podemos definir a indutância L de um indutor como a razão entre o fluxo magnético concatenado e a corrente através do indutor, ou seja,

• O fluxo concatenado é gerado pelo próprio indutor.

• A unidade de indutância é o henry (H), que é equivalente àunidade de webers/ampère (Wb/A).

I

N

IL

ψλ== Comumente referida como auto-

indutância.


• Podemos considerar a indutância como uma medida da

quantidade de energia magnética que pode ser armazenada

dentro de um indutor.

• A energia magnética (em joules) armazenada em um indutor é

expressa como

2

m2

m

2

2

1

I

WLLIW =→=


• Se, ao invés de termos um circuito, tivermos dois circuitos

percorridos por correntes I1 e I2, uma interação magnética

existirá entre os circuitos.

• Quatro componentes de fluxo (ψ11, ψ12, ψ21 e ψ22) são geradas.

Figura 20


• O fluxo ψ12 representa o fluxo que passa através do circuito 1

devido à corrente I2 no circuito 2.

• Se B2 é o campo devido à I2 e S1 é a área do circuito 1, então

Figura 21

∫→→

⋅=

1

212

S

SdBψ


• Definimos a indutância mútua M12 como a razão entre o fluxo

concatenado λ12 = N1ψ12 sobre o circuito 1 devido à corrente I2 no

circuito 2, ou seja,

Figura 22

2

121

2

1212

I

N

IM

ψλ==


• De maneira similar, a indutância mútua M21 é definida como o

fluxo concatenado do circuito 2 por unidade de corrente I1, ou

seja,

Figura 23

1

212

1

2121

I

N

IM

ψλ==


• Se o meio que circunda os circuitos é linear, ou seja, ausência de

material ferromagnético, temos que M12=M21.

• A indutância mútua é expressa em henrys (H).

• Dessa forma, a auto-indutância dos circuitos 1 e 2,

respectivamente, podem ser definidas como

onde ψ1=ψ11 + ψ12 e ψ2= ψ21 + ψ22.

2

22

2

222

1

11

1

111 e

I

N

IL

I

N

IL

ψλψλ====


• A energia total no campo magnético é a soma das energias

devido a L1, L2 e M12 (ou M21), ou seja,

• O sinal positivo é considerado se as correntes I1 e I2 fluem tal que

os campos magnéticos dos dois circuitos se reforçam.

• Se as correntes fluem de tal modo que seus campos magnéticos

se opõe, o sinal é considerado negativo.

2112

2

22

2

111221m2

1

2

1IIMILILWWWW ±+=++=


• Um indutor é um condutor montado com formato adequado para

armazenar energia magnética.

• Exemplos típicos de indutores são toróides, solenóides, linhas de

transmissão coaxial e linhas de transmissão de fios paralelos.

• A indutância de cada um desses indutores pode ser determinada

pelo seguinte procedimento:

– Escolhe-se um sistema de coordenadas apropriado.

– Considera-se que o indutor é percorrido por uma corrente I.

– Determina-se B a partir da lei de Biot-Savart, ou a partir da

lei de Ampère, desde que se constate presença de simetria.

– Calcula-se o fluxo magnético.

– Determina-se o valor da indutância.

I

NL

ψ=


• Em um indutor, tal como uma linha de transmissão coaxial ou

uma linha de transmissão de fios paralelos, a indutância

produzida pelo fluxo interno ao condutor é denominada

indutância interna (Lin).

• Enquanto que a produzida pelo fluxo externo é denominada

indutância externa (Lext).

• A indutância total L é dada por

de forma que

extin LLL +=

µε=CLext


Energia magnética

• Considere um volume diferencial em um campo magnético.

Figura 25


• Seja o volume coberto com lâminas metálicas condutoras nas

superfícies do topo e da base percorridas por uma corrente ∆I.

• Assumimos que toda a região está preenchida com tais volumes

diferenciais.

Figura 26


• Dessa forma, cada volume diferencial tem uma indutância de

onde ∆I=H ∆y.

• Com isso, temos que

I

zxH

IL

∆

∆∆=

∆

∆=∆

µψ

vHW

zyxHILW

∆=∆

∆∆∆=∆∆=∆

2

m

22

m

2

1

2

1

2

1

µ

µ


• A densidade de energia magnetostática wm, em J/m³, é definida

como

• Desse modo, a energia em um campo magnetostático em um

meio linear é dada por

que é similar à equação da energia para um campo

elestrostático.

µµµ

22

1

2

1 22m

0

m limB

BHHv

Ww

v

===∆

∆=

→∆

∫∫∫ =⋅==→→

dvHdvHBdvwW2

mm2

1

2

1µ


Exercícios

8. Calcule a auto-indutância, por unidade de comprimento, de um

solenóide infinitamente longo.

9. Um solenóide muito longo, com seção reta de 2 x 2 cm, tem um

núcleo de ferro (µr=1000) e 4000 espiras/metro. Se o solenóide

for percorrido por uma corrente de 500 mA, determine:

a) Sua auto-indutância por metro.

b) A energia armazenada, por metro, nesse campo.


Exercício

10.Dois anéis circulares coaxiais de raios a e b (b>a) estão

separados por uma distância h (h >> a, b) como mostrado na

figura 27. Determine a indutância mútua entre os anéis.

Figura 27


Exercício

11.Determine a indutância mútua de duas espiras circulares

coplanares e concêntricas de raios 2 m e 3 m.


Circuitos magnéticos

• O conceito de circuitos magnéticos está baseado na resolução de

alguns problemas de campo magnético utilizando a abordagem

de circuitos.

• Dispositivos magnéticos como toróides, transformadores,

motores, geradores e relés podem ser considerados circuitos

magnéticos.

• A análise desses circuitos é simplificada se uma analogia entre

circuitos elétricos e magnéticos for explorada.

• Uma vez feito isso, podemos diretamente aplicar conceitos de

circuitos elétricos para resolver circuitos magnéticos análogos.


• Resumo da analogia entre circuitos elétricos e magnéticos

Figura 28


• Analogia entre um circuito elétrico e um circuito magnético

Figura 29


• Definimos a força magnetomotriz (fmm), em ampères-espiras,

como

• A fonte de fmm em circuitos magnéticos é usualmente uma

bobina percorrida por uma corrente.

• Definimos também relutância, em ampères-espiras/weber, como

onde l e S são, respectivamente, o comprimento médio e a área

da seção reta do núcleo magnético.

∫→→

⋅==ℑ ldHNI

S

l

µ=ℜ


• O recíproco da relutância é a permeância.

• A relação básica para elementos de circuitos é a lei de Ohm

(V=RI), ou seja,

• Baseado nisso, as leis de Kirchhoff de corrente e de tensão

podem ser aplicadas aos nós e às malhas de um determinado

circuito magnético da mesma forma como em um circuito

elétrico.

• As regras de soma de tensões e de combinação de resistências

em série e em paralelo também são válidas para fmm’s e

relutâncias.

ℜ=ℑ ψ


• Para n elementos de circuito magnético em série, temos

• Para n elementos de circuito magnético em paralelo, temos

n

n

ℑ++ℑ+ℑ+ℑ=ℑ

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...

321

321 ψψψψ

n

n

ℑ==ℑ=ℑ=ℑ

++++=

...

...

321

321 ψψψψψ


• Algumas diferenças entre circuitos elétricos e magnéticos devem

ser destacadas:

– Diferentemente de um circuito elétrico onde flui corrente I, o

fluxo magnético não flui.

– A condutividade (σ) é independente da densidade de corrente

(J) em um circuito elétrico, enquanto que a permeabilidade

(µ) varia com a densidade de fluxo magnético (B) em um

circuito magnético. Isso porque materiais ferromagnéticos,

não lineares, são normalmente utilizados na maioria dos

dispositivos magnéticos práticos.

• Apesar dessas diferenças, o conceito de circuito magnético é útil

como uma análise aproximada dos dispositivos magnéticos

práticos.


Exercício

12.O núcleo toroidal da figura 30 tem ρ0=10 cm e uma seção reta

circular com a=1 cm. Se o núcleo é feito de aço (µr=1000) e tem

uma bobina com 200 espiras, calcule a intensidade de corrente

que irá gerar um fluxo de 0,5 mWb no núcleo.

Figura 30


Exercício

13.O toróide da figura 31 tem uma bobina com 1000 espiras

enroladas em torno de seu núcleo. Se ρ0=10 cm e a=1 cm, qual a

corrente necessária para estabelecer um fluxo magnético de

0,5 mWb:

a) Se o núcleo é não magnético ?

b) Se o núcleo tem µr=500 ?

Figura 31


Exercício

14.No circuito magnético da figura 32, calcule a corrente na bobina

que irá gerar uma densidade de fluxo magnético de 1,5 Wb/m²

no entreferro de ar, assumindo que µr=50, e que todos os

trechos do núcleo tenham a mesma área de seção reta de

10 cm².

Figura 32

cap.8 - forcas, materiais e dispositivos magneticos

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