Resistência

dos Materiais

EME311 – Mecânica dos Sólidos

Resistência dos Materiais

Objetivo do Curso:

Fornecer ao aluno os fundamentos Fornecer ao aluno os fundamentos teóricos necessários para se calcular as tensões e as deformações em elementos

estruturais de projetos mecânicos.

1 - 1

Resistência

dos Materiais

EME311 – Mecânica dos Sólidos

Bibliografia:

BEER, F.P.; JOHNSTON,E.R.; Resistência dosMateriais, Ed. MakronMateriais, Ed. MakronBooks, 3ª ed. (1995);

Notas de aula.

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dos Materiais

EME311 – Mecânica dos Sólidos

CAP.1 -Conceito de Tensão; CAP.2 -Tensão e Deformação, Carregamento

Axial; CAP.3 -Torção em Seções Circulares; CAP.4 - Flexão Pura; CAP.4 - Flexão Pura; CAP.5 -Carregamento Transversal;

Carregamentos Múltiplos; CAP.6 -Análise de Tensões no Estado Plano; CAP.7 -Deflexão de Vigas por Integração; CAP.8 -Flambagem de Colunas.

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Terceira Edição

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston Jr.

CAPÍTULO

Conceito de Tensão

Resistência

dos Materiais

Capítulo 1 – Conceito de Tensão

1.1 – Introdução

1.2 – Forças e Tensões;

1.3 – Forças Axiais: Tensões Normais;

1.4 – Tensões de Cisalhamento;

1.5 – Tensões de Esmagamento;1.5 – Tensões de Esmagamento;

1.6 – Tensões em um plano Oblíquo;

1.7 – Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer;

1.8 – Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de segurança.

1 - 5

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1.1 - Introdução

• O principal motivo do estudo da mecânica dosmateriais é proporcionar ao engenheiro os meios quehabilitem para a análise e projeto de várias estruturase elementos de máquinas, sujeitos a diferentescarregamentos.carregamentos.

• A análise da estática e o projeto de uma dada estruturaimplicam na determinação das tensões e dasdeformações. Neste primeiro capítulo seráapresentado oconceito de tensão.

1 - 6

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dos Materiais

1.2 – Forças e Tensões

Seja a estrutura da figura, formada pelas barras ABe BC.

1 - 7

Resistência

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1.2 – Forças e Tensões

( ) ( )( )

0

kN40

m8.0kN30m6.00

+==

=

−==

∑

∑

xxx

x

xC

CAF

A

AM

Diagrama de Corpo Livre

• Condições para o equilíbrio estático:

• Ay e Cy não podem ser determinados

destas equações.

kN30

0kN300

kN40

0

=+

=−+==

−=−=

+==

∑

∑

yy

yyy

xx

xxx

CA

CAF

AC

CAF

1 - 8

Resistência

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1.2 – Forças e Tensões

• Para uma estrutura em equilíbrio, cadacomponente também deve satisfazer ascondições de equilíbrio estático.

( )0

m8.00

=

−==∑

y

yB

A

AM

• Do diagrama de corpo livre da barraAB:

• Logo: 40 kN

40 kN

30 kN

x

x

y

A

C

C

= →= ←

= ↑

kN30=yC

Substituindo na equação de equilíbrio daestrutura

1 - 9

30kNy yA C+ = ⇒

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1.2 – Forças e Tensões

• As barrasAB e BC estão sujeitas a duas forçasque são aplicadas nas extremidades das barras.

• Para o equilíbrio, as forças dever ser paralelas aum eixo entre os pontos de aplicação de força,de igual intensidade, porém de sentidosopostos.

kN50kN40

3kN30

54

0

==

==

=∑

BCAB

BCAB

B

FF

FF

F�

Método dos nós:no nó B:

1 - 10

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1.2 – Forças e TensõesA estrutura pode suportar com segurança a

carga de 30 kN?

• Essesresultadosrepresentamum primeiro

• Da análise da estática:

FAB= 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tração)

• Essesresultadosrepresentamum primeiropasso na análise da estrutura, mas não noslevam á conclusão de que as barras vãosuportar as cargas com segurança.

• Além do valor encontrado para o esforçointerno, aárea da seção transversalda barra eo materialcom que ela foi construída devemser considerados.

dBC = 20 mm

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1.2 – Forças e Tensões

• Em qualquer seção da barraBC, a forçainterna é 50 kN.

• Esta força representa a resultante de forçaselementares que se encontram distribuídasem toda a área da seção transversal da barraBC.BC.

• A intensidade dessas forças distribuídas éigual à força por unidade de área.

• A força por unidade de área ou a intensidadedas forças distribuídas numa certa seçãotransversal é chamada detensão.

dBC = 20 mm

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1.2 – Forças e Tensões

• Em qualquer seção da barraBC, a forçainternaé50kN comumatensãode

A estrutura pode suportar com segurança acarga de 30 kN?

• Da análise da estática:

FAB= 40 kN (compressão)FBC = 50 kN (tração)

• Conclusão: a resistência da barraBC éadequada.

adm 165 MPaσ =

• Supondo que abarraBC é de aço, com umatensão admissível à tração de

MPa159m10314

N105026-

3=

××==

A

PBCσ

internaé50kN comumatensãode

dBC = 20 mm

1 - 13

admBCσ σ<

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1.2 – Forças e Tensões• O projeto de novas estruturas requer a seleção de

materiais apropriados e a seleção da dimensãodos componentes necessários.

• Por razões baseados em custo, peso,disponibilidade, etc., optou-se em construir abarraBC de alumínio(σadm= 100 MPa).

Qual é uma escolha apropriada para o diâmetro da barra?da barra?

( )

36 2

6

2

6 2

2

50 10 N500 10 m

100 10 Pa

4

4 500 10 m42,52 10 m 25,2mm

admadm

P PA

A

dA

Ad

σσ

π

π π

−

−−

×= = = = ××

=

×= = = × =

• Uma barra de alumínio de 26 mm ou mais nodiâmetro é adequado.

1 - 14

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1.2 – Forças e Tensões

Observações:

• Tensão de tração (barras tracionadas) – SINAL POSITIVO

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• Tensão de compressão (barras comprimidas) –SINAL NEGATIVO

• No Sistema Internacional de unidades:força em N (Newton)áreaem m2

tensãoem N/m2 ou Pa (Pascal)

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1.2 – Forças e Tensões

Observações:

• Em unidades inglesas:força em lb (libras) ou quilolibras

(kip)

1 - 16

áreaem pol2 (in2)tensãoem libras por polegada

quadrada (psi) ou quilolibras por polegada quadrada (ksi)

1 kip = 103 lb = 4,448 kN1 ksi = 103 psi = 6,895 MPa

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1.3 – Forças Axiais: Tensões Normais

• A resultante das forças internas para um membrocarregado axialmente énormal a uma seçãocortada perpendicularmente em relação ao eixo domembro.

• A intensidade da força na seção transversal édefinida como atensão normale representa ovalormédiodastensões

• A tensão normal em um ponto particular pode nãoser igual à tensão média, mas a resultante dadistribuição de tensão deve ser satisfeita.

med

A

P A dF dAσ σ= = =∫ ∫

0lim medA

F P

A Aσ σ

∆ →

∆= =∆

valormédiodastensões

1 - 17

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• Se um membro sob duas forças écarregadoexcentricamente, então a resultante da

1.3 – Forças Axiais: Tensões Normais

• Uma distribuição uniforme de tensão em umaseção só é possível se a linha de ação daresultante das forças internas passar pelocentróide da seção (carga centrada).

excentricamente, então a resultante dadistribuição de tensões em uma seção deveproduzir uma força axial e um momento.

• A distribuição de tensões em membroscarregados excentricamente não pode ser nemuniforme nem simétrica (Cap. 4).

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1.4 – Tensões de Cisalhamento• Duas forçasP e P’ são aplicadas transversalmente

ao membroAB.

• A resultante da distribuição de forças internas decisalhamento é definida comocisalhamentodaseção e é igual à cargaP.

• Correspondentes forças internas agem no plano daseçãoC e são chamadas forças decisalhamento.

med

P

Aτ =

• A correspondente tensão de cisalhamento médiaé,

• A tensão de cisalhamento ocorre comumente emparafusos, rebites e pinos que unem diversaspartes de máquinas e estruturas.

• A distribuição de tensões de cisalhamento não podeser assumida como uniforme (Cap. 5).

1 - 19

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1.4 – Tensões de Cisalhamento

Cisalhamento simples Cisalhamento duplo

med

P F

A Aτ = =

med 2

P F

A Aτ = =

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1.5 – Tensões de Esmagamento

• Parafusos, rebites e pinos criamtensões nos pontos de contatoou superfícies de esmagamentodas barras.

• A resultante da distribuição dasforças na superfície é igual e

esmag.

P P

A t dσ = =

• A intensidade média da tensãode esmagamento é,

forças na superfície é igual eoposta à força exercida no pino.

1 - 21

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Determinar as tensões nos elementos (barras e conexões) da estrutura mostrada.

Exemplo 1.1

• Da análise da estática:FAB= 40 kN (compressão) FBC = 50 kN (tração)

• Deve-se considerar a máxima tensão normal em ABe BC, e a tensão de cisalhamento e a tensão de esmagamento em cada conexão de pinos.

1 - 22

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• Estrutura detalhada:

Barra circular BC;

Barra AB;

Exemplo 1.1

Extremidade A;

Extremidade B;

Extremidade C.

1 - 23

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Exemplo 1.1 – tensões normais nas barrasBarra BC

• sobTRAÇÃO com uma força axial de 50 kN.

( )( ) 6 220mm 40mm 25mm 300 10 mA −= − = ×

• nas partes achatadas, a menor área da seção transversalocorre na linha central do pino,

• na parte circular(A = 314x10-6m2), a tensão normalmédia é isσBC = + 159 MPa (tração).

Barra AB

• sobCOMPRESSÃOcom uma força axial de 40 kN

• área (A = 1,5x10-3m2), a tensão normal média éσAB = –26,7 MPa.

• Como a barra AB está comprimida, as seções transversais da barra demenor área não estão sujeitas a nenhuma tensão de tração.

( )( )3

6 2

20mm 40mm 25mm 300 10 m

50 10167MPa

300 10 mBC

A

P N

Aσ −

= − = ×

×= = =×

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Exemplo 1.1 – tensões de cisalhamento nos pinos

• Área da seção transversal para os pinos emA,B eC,

262

2 m104912

mm25 −×=

== ππ rA

• A força no pino C é igual à força exercidapelabarraBC (cortesimples),

3

, 6 2

50 10 N102MPa

491 10 mC med

P

Aτ −

×= = =×

pelabarraBC (cortesimples),

• O pino A está emcorte duplo,

, 6 2

20kN40,7MPa

491 10 mA med

P

Aτ −= = =

×

1 - 25

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• Divida o pino B em seções para determinara seção com a maior força de cisalhamento,

15kN

25kN (maior)E

G

P

P

==

Exemplo 1.1 – tensões de cisalhamento nos pinos

, 6 2

25kN50,9MPa

491 10 mG

B med

P

Aτ −= = =

×

• Tensão de cisalhamento média,

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Exemplo 1.1 – tensões normais de esmagamento

• Para determinar a tensão de esmagamento noponto Ada barra AB, nós temos quet = 30 mm ed = 25 mm,

( )( ).

40kN53,3MPa

30mm 25mmesmag

P

tdσ = = =

• Para determinar a tensão de esmagamentonas chapasde ligação emA, nós temos quet = 2(25 mm) = 50 mmed = 25mm,ed = 25mm,

• ou t = 25 mm,d = 25 mm eP = (40kN / 2)

( )( ).

40kN32,0MPa

50mm 25mmesmag

P

tdσ = = =

1 - 27

( )( )( ).

40kN2

32,0MPa25mm 25mmesmag

P

tdσ = = =

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1.6 – Tensões em um plano Oblíquo

• Forças axiais em membros sob a açãode duas forças resulta somente emtensões normais em um plano de corteperpendicular ao eixo do membro.

• Forças transversais em parafusos epinos resulta em tensões decisalhamentono plano perpendicular

• Mostraremos que forças axiais ouforças transversais podem produzir aomesmo tempo tensões normais e decisalhamento em um plano que não éperpendicular ao eixo do membro.

cisalhamentono plano perpendicularao eixo do parafuso ou ao eixo dopino.

1 - 28

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• Seja passar uma seção na peça que forma umânguloθ com o plano normal.

1.6 – Tensões em um plano Oblíquo

• DecompondoP nas componentes normal (F)e tangencial(V) para a seção oblíqua,

• Das condições de equilíbrio, as forçasdistribuídas (tensões) no plano devem serequivalentes à forçaP.

2

0 0

0 0

coscos

cossen

sen cos

cos

F P PAA A

V P PAA A

θ

θ

θσ θθ

θτ θ θθ

= = =

= = =

• As tensões médias normal e de cisalhamentono plano oblíquo são

cos senF P V Pθ θ= =

1 - 29

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• A tensão normal máximaocorre quando o plano dereferência é perpendicular ao eixo da peça (θ = 0o),

1.6 – Tensões em um plano Oblíquo

2

0 0

cos sen cosP P

A Aσ θ τ θ θ= =

• Tensões normal e de cisalhamento em um planooblíquo

00

m =′= τσA

P

• A tensão de cisalhamento máximaocorre para umplano em +45o em relação os eixo,

0 0

sen45 cos 452

o om

P P

A Aτ σ ′= = =

1 - 30

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1.7 – Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer

• Vamos analisar as tensões em um certo ponto Q no interior do corpo.

• Um membro sujeito a uma combinação geral de cargas é cortado em dois seguimentos por um plano que passa por Q

A

V

A

V

A

F

xz

Axz

xy

Axy

x

Ax

∆∆=

∆∆

=

∆∆=

→∆→∆

→∆

limlim

lim

00

0

ττ

σ

• As componentes de tensões internas podem ser definidas como,

1 - 31

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Estado de tensões

• Os componentes de tensões são definidospara os planos de cortes paralelos aos eixosx, y e z. Pelo equilíbrio, tensões iguais eopostas são exercidas nos planos ocultos.

• As forças geradas pelas tensões devesatisfazer as condições de equilíbrio:

1.7 – Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer

0

0

===

===

∑∑∑

∑∑∑

zyx

zyx

MMM

FFF

( ) ( )' 0 2 22 2z xy yx

xy yx

a aM A Aτ τ

τ τ

= = ∆ − ∆

=

∑

similarmente, exz zx yz zyτ τ τ τ= =

• Considere o momento em torno do eixoz’:

1 - 32

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Estado de tensões

• Segue que somente 6 componentes de tensãosão necessárias para definir o estado detensões completo no pontoQ.

1.7 – Tensões para o Caso de Carregamento Qualquer

, , , ,x y z xy xz yzeσ σ σ τ τ τ

• Onde:

1 - 33

, , , ,x y z xy xz yzeσ σ σ τ τ τ

xy yx

xz zx

yz zy

τ ττ ττ τ

=

==

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1.8 – Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de segurança

• A máxima força necessária que fazromper ou quebrar um corpo deprova é chamada de carga última oucarregamento último Fatores para a escolha do CS:

• Incertezas nas propriedades dos materiais;

• Incertezas no carregamento;• Incertezas de análises;

• Membros estruturais ou máquinasdevem ser projetados comsegurança para receber um

u

adm

Coeficiente de segurança

tensão última

tensão admissível

CS

CSσ

σ

=

= =

• Incertezas de análises;• Número de ciclos do carregamento;• Tipos de falhas;• Necessidades de manutenção e efeitos

de deterioração;• Etc.

1 - 34

segurança para receber umcarregamento (carregamentoadmissível ou carga de utilizaçãoou carga de projeto)menor que acarga última.

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Exemplo 1.2Para a estrutura mostrada na figura, determinar:

a)O diâmetrodAB da barra de controleAB que é de aço com tensão deescoamento , usando um coeficiente de segurançaCSAB = 3,3;

b)O diâmetrodC do pino C que é de aço com uma tensão última de cisalha-mento , usando umCSao cisalhamento igual a 2,5;

c)A espessurat das chapas de apoio emC que são de aço sabendo que a tensãoparaesmagamentodoaçoé .

u 600 MPaσ =

u 350 MPaτ =

adm 300 MPaσ =paraesmagamentodoaçoé .

1 - 35

adm 300 MPaσ =

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Exemplo 1.3

Os parafusosB, C eD são de aço com tensão última de cisalhamento

e têm diâmetrosdB = 8 mm,dC = 12 mm edD = 8 mm. A barra de controleAB

tem diâmetrodAB = 9 mm, é de aço, com tensão última de tração .

Usando umCS igual a 3, calcular a maior força que o cilindro hidráulico pode

aplicar, de baixo para cima, no pontoC.

u 450 MPaσ =

u 300 MPaτ =

1 - 36

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dos Materiais

O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão de3kN. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contatolisas definidas porAB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do planohorizontal definido porEDB.

Exemplo 1.4

1 - 37

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Exemplo 1.4

1 - 38

Resistência

dos Materiais

A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 kN deuma placa a outra. Determine as componentes da tensão de cisalhamento média eda tensão normal média que essa carga cria na face da solda, daseçãoAB.

Proposto 1.2

1 - 39

Resistência

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A junta está submetida a uma força axial de 5 kN. Determine a tensão normalmédia que age na seçãoAB e BC. Considere que o elemento é liso e tem 50 mmde espessura.

Proposto 1.3

1 - 40

Resistência

dos Materiais

Tipos de apoios mais encontrados em problemas bidimensionais

Observações

1 - 41

Resistência

dos Materiais

1 - 42