lista de problemas de fis403 | f sica geral iii | ifq...

4
4 a Lista de Problemas de Fis403 — F´ ısica Geral III — IFQ/UNIFEI 2 o Semestre de 2015 Quest˜ oes 1) Quais s˜ao os vetores que comparecem na equa¸ c˜ao F = qv×B que formam sempre pares ortogonais entre si? Quais s˜ ao os que n˜ ao precisam ser sempre ortogonais? 2) Imagine que vocˆ e est´ a sentado numa sala com as costas voltadas para uma parede da qual merge um feixe de el´ etrons que se move horizontalmente na dire¸ c˜ao da parede em frente. Se o feixe de el´ etrons for desviado para sua direita, qual ser´a a dire¸ c˜ao e o sentido do campo magn´ etico existente na sala? 3) Se um el´ etron n˜ ao sofre desvio algum ao atravessar uma certa regi˜ao do espa¸ co, podemos afirmar que n˜ao existe campo magn´ etico nessa regi˜ ao? 4)Aequa¸c˜ ao τ = m×B mostra que n˜ao existe torque atuando sobre uma espira de corrente quando seu eixo faz um ˆ angulo de a)0 ou b) 180 com o campo magn´ etico externo. Discuta a natureza do equil´ ıbrio (se ´ e est´ avel, indiferente ou inst´avel) para cada uma dessas posi¸c˜oes. Problemas 1) Mostre como as leis de Kirchhoff das malhas e dos n´ os (das tens˜oes e correntes) tˆ em suas origens na teoria eletromagn´ etica. Explique as condi¸ c˜oes a que elas se aplicam e quais as aproxima¸ c˜oesusual- mente adotadas nas suas aplica¸c˜ oes pr´ aticas, bem como os limites de validade dessas aproxima¸c˜ oes. 2) A corrente que flui atrav´ es da se¸c˜ ao reta de um condutor ´ e dada por I = I 0 + at. Determine: a) a express˜ ao da carga que atravessa a se¸ c˜aoreta. b) O valor da carga para t =1s e para t = 10s, sabendo-se que I 0 =2A, a =0, 04s -1 e t ´ e dado em segundos. Resp: a) q = I 0 t +0, 5at 2 , b)2, 02C e 22C 3) Um cilindro muito longo de raio R carregado gira com velocidade angular ω constante ao redor de seu eixo, que coincide com o eixo z . Determine a corrente que ele produz sobre uma regi˜ ao retangular definida por R/2 <y< 2R e0 <z<‘ quando estiver carregado com a) uma carga superficial uniforme de densidade σ; b) uma carga volum´ etrica de densidade ρ v = ρ 0 ρ/R. Resp: a) I = σωR‘, b) I =7ρ 0 ωR 2 ‘/24. 4) Considere uma distribui¸c˜ ao uniforme de cargas el´ etricas de densidade volum´ etrica constante ρ. Determine a intensidade da corrente el´ etrica que flui atrav´ es da superf´ ıcie de uma esfera imagin´ aria de raio a, quando o raio da esfera varia de acordo com: a) a(t)= αt b) a(t)= α(t 0 - t) c) a(t)= a 0 (1 - cos ωt). Resp: a) I = -4πρα 3 t 2 b) I =4πρα 3 (t 0 - t) 2 c) I = -4πρa 0 3 ω sen ωt(1 - cos ωt) 2 . 5) Numa regi˜ao do espa¸co existe uma corrente cuja densidade ´ e dada por J = αz ˆ z, onde α ´ e uma constante. Sendo Q a carga total contida na esfera r = R, determine dQ/dt. Resp: -4παR 3 /3 6) Um capacitor cil´ ındrico de comprimento L muito grande, cujos cabos coaxiais possuem raios a e b (b>a), ´ e preenchido por um diel´ etrico imperfeito de permissividade e condutividade g. Quando se aplica ao capacitor uma ddp, existir´a assim uma corrente I fluindo radialmente entre as placas. Determine a rela¸c˜ao entre a condutˆancia G e a capacitˆ ancia C deste dispositivo. (Acondutˆancia ´ e definida como sendo o inverso da resistˆ encia, ou seja, a raz˜ ao entre a corrente que flui entre dois pontos pela ddp aplicada entre os mesmos). Resp: G = g C = 2πgL ln b a . 7) Arela¸c˜ ao que vocˆ e determinou no exerc´ ıcio anterior ´ e v´alida em geral para condensadores de qualquer formato com diel´ etricos imperfeitos. Prove esta afirmativa e utilize a rela¸c˜ ao para determinar

Upload: hatu

Post on 08-Feb-2019

220 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Lista de Problemas de Fis403 | F sica Geral III | IFQ ...elt2014.com.br/materiais/2-2015/FIS403-11/Listas/Lista4.pdf · Suponha conhecidas as respectivas dimens~oes. Resp: a) I= gA

4a Lista de Problemas de Fis403— Fısica Geral III —

IFQ/UNIFEI 2o Semestre de 2015

Questoes1) Quais sao os vetores que comparecem na equacao F = qv×B que formam sempre pares ortogonaisentre si? Quais sao os que nao precisam ser sempre ortogonais?2) Imagine que voce esta sentado numa sala com as costas voltadas para uma parede da qual mergeum feixe de eletrons que se move horizontalmente na direcao da parede em frente. Se o feixe deeletrons for desviado para sua direita, qual sera a direcao e o sentido do campo magnetico existentena sala?3) Se um eletron nao sofre desvio algum ao atravessar uma certa regiao do espaco, podemos afirmarque nao existe campo magnetico nessa regiao?4) A equacao τ = m×B mostra que nao existe torque atuando sobre uma espira de corrente quandoseu eixo faz um angulo de a) 0◦ ou b) 180◦ com o campo magnetico externo. Discuta a natureza doequilıbrio (se e estavel, indiferente ou instavel) para cada uma dessas posicoes.

Problemas1) Mostre como as leis de Kirchhoff das malhas e dos nos (das tensoes e correntes) tem suas origensna teoria eletromagnetica. Explique as condicoes a que elas se aplicam e quais as aproximacoes usual-mente adotadas nas suas aplicacoes praticas, bem como os limites de validade dessas aproximacoes.

2) A corrente que flui atraves da secao reta de um condutor e dada por I = I0 + at. Determine:a) a expressao da carga que atravessa a secao reta.b) O valor da carga para t = 1s e para t = 10s, sabendo-se que I0 = 2A, a = 0, 04s−1 e t e dado emsegundos. Resp: a) q = I0t+ 0, 5at2, b) 2, 02C e 22C

3) Um cilindro muito longo de raio R carregado gira com velocidade angular ω constante ao redorde seu eixo, que coincide com o eixo z. Determine a corrente que ele produz sobre uma regiaoretangular definida por R/2 < y < 2R e 0 < z < ` quando estiver carregado com a) uma cargasuperficial uniforme de densidade σ; b) uma carga volumetrica de densidade ρv = ρ0ρ/R.Resp: a) I = σωR`, b) I = 7ρ0ωR

2`/24.

4) Considere uma distribuicao uniforme de cargas eletricas de densidade volumetrica constante ρ.Determine a intensidade da corrente eletrica que flui atraves da superfıcie de uma esfera imaginariade raio a, quando o raio da esfera varia de acordo com:a) a(t) = αt b) a(t) = α(t0− t) c) a(t) = a0(1− cosωt). Resp: a) I = −4πρα3t2 b)

I = 4πρα3(t0 − t)2 c) I = −4πρa03ω senωt(1− cosωt)2.

5) Numa regiao do espaco existe uma corrente cuja densidade e dada por J = αz z, onde α e umaconstante. Sendo Q a carga total contida na esfera r = R, determine dQ/dt. Resp: −4παR3/3

6) Um capacitor cilındrico de comprimento L muito grande, cujos cabos coaxiais possuem raios a eb (b > a), e preenchido por um dieletrico imperfeito de permissividade ε e condutividade g. Quandose aplica ao capacitor uma ddp, existira assim uma corrente I fluindo radialmente entre as placas.Determine a relacao entre a condutancia G e a capacitancia C deste dispositivo. (A condutanciae definida como sendo o inverso da resistencia, ou seja, a razao entre a corrente que flui entre doispontos pela ddp aplicada entre os mesmos). Resp: G =

g

εC =

2πgL

ln ba

.

7) A relacao que voce determinou no exercıcio anterior e valida em geral para condensadores dequalquer formato com dieletricos imperfeitos. Prove esta afirmativa e utilize a relacao para determinar

Page 2: Lista de Problemas de Fis403 | F sica Geral III | IFQ ...elt2014.com.br/materiais/2-2015/FIS403-11/Listas/Lista4.pdf · Suponha conhecidas as respectivas dimens~oes. Resp: a) I= gA

a corrente de fuga, em funcao da ddp aplicada, nos seguintes dispositivos:a) capacitor de placas planas paralelas; b) capacitor esferico.Suponha conhecidas as respectivas dimensoes. Resp: a) I =

gA

dV b)I =

4πgbaV

b− a

8) Um material condutor de espessura h e condutividade g possui a forma de um quarto de umaarruela de raios interno e externo respectivamente a e b. Determine a resistencia entre as suas facesretangulares. Resp: R =

π

2gh ln(b/a)

9) Determine a resistencia de um tronco de cunha conica definida por R1 ≤ r ≤ R2 e 0 ≤ θ ≤ θ0,entre as faces r = R1 e r = R2. O material possui condutividade g uniforme. Resp:

R2 −R1

4πgR1R2 sen2 θ02

10) Um feixe de eletrons de energia K e produzido por um acelerador. A uma distancia d da janelade saıda do acelerador e perpendicular a direcao do feixe, coloca-se uma placa metalica. Determineo valor mınimo do campo magnetico que devemos aplicar na regiao para impedir que os eletronsatinjam a placa. Como deve estar orientado o vetor B? Considere conhecidas a massa m e a carga

e do eletron. Resp: Bmin =

(2mK

e2d2

)1/2

11) Uma partıcula neutra instavel encontra-se em repouso num laboratorio onde existe um campomagnetico uniforme de modulo B. No instante t = 0 a partıcula decai em duas de mesma massa m.Uma delas tem carga +q e se desloca num plano ortogonal ao de B.a) Qual a carga da outra partıcula?b) Qual a direcao e o sentido da velocidade da segunda partıcula relativamente a primeira?c) Depois de quanto tempo elas colidem? Resp: a) −q b) −v c)

πm

qB

12) Um positron de 4,5 keV penetra num regiao de campo magnetico uniforme de 0,10 T fazendo umangulo de 80◦ com o vetor B.a) Mostre que a trajetoria sera uma helice com eixo na direcao de B.b) Determine o perıodo de rotacao do positron, o passo p e o raio r da helice.Resp: b) T = 3,6.10−10 s, p = 2,5 mm, r = 2,3 mm

13) Um quadrado de lado a delimita uma regiao de campo magnetico de intensidade B, perpendicularao plano do papel. Nela penetram tres partıculas de mesma massa m coma mesma energia cinetica, descrevendo as trajetorias mostradas na figuraao lado, sendo que duas delas sao arcos de circunferencia. A partıcula quedescreve a trajetoria de raio a/2 possui carga q = +e, onde e e a cargaelementar. Determine:a) O sentido do campo magnetico.b) O valor das outras duas cargas em funcao de e, explicitando o sinal. Resp:

a) B entrando no plano do papel. b) q2 = 0, q3 = −2e.

2

a/2

a/41

3

14) Sao dados um plano infinito carregado com uma densidade superficial de cargas uniforme σe um fio retilıneo infinito percorrido por uma corrente estacionaria I, paralelo ao plano e a umadistancia d deste. Um eletron percorre uma trajetoria retilınea paralelamente ao fio, contida numplano perpendicular ao plano eletrizado e que contem o fio, a meio caminho entre o condutor e o planoeletrizado. Desprezando qualquer efeito gravitacional, determine a velocidade do eletron (modulo esentido relativamente a corrente I). Dica: utilize o resultado obtido em sala para o campo de um fioretilıneo infinito. Resp: v =

πσd

2ε0µ0I, sentido oposto ao da corrente no fio.

15) Uma calha semicircular muito longa possui secao reta em forma de um anel semicircular deraio R e espessura desprezıvel. Ela e percorrida longitudinalmente por uma corrente I distribuıdauniformemente, que retorna por um fio retilıneo igualmente longo que coincide com o eixo da calha.

Determine a forca de interacao por unidade de comprimento entre a calha e o fio. Resp: Repulsao deµ0I2

π2Rao longo do eixo de simetria da calha.

Page 3: Lista de Problemas de Fis403 | F sica Geral III | IFQ ...elt2014.com.br/materiais/2-2015/FIS403-11/Listas/Lista4.pdf · Suponha conhecidas as respectivas dimens~oes. Resp: a) I= gA

16) A um fio condutor de comprimento L = 10 m e dada a forma de uma espiral logarıtmica edisposto de tal forma que, num determinado sistema de coordenadas, sua equacao e descrita porρ = e2ϕ, em coordenadas cilındricas, no plano z = 0. O condutor e percorrido por uma corrente de5,0 A.a) Determine a forca que atua sobre o fio, se na regiao existir um campo magnetico externo B =z 2,5 G.b) Determine o campo magnetico produzido pelo fio na origem do sistema de coordenadas. Resp: a)

F = (1,13 x− 0,38 y)10−2 N

17) A figura ao lado mostra um fio condutor formado por dois segmentos retilıneos e um arco

de circunferencia de 90◦. Ele e percorrido por uma corrente I e se encontraimerso numa regiao de campo magnetico uniforme cuja inducao magneticatem modulo B0 , direcao perpendicular ao plano do papel e sentido saindodeste (�).a) Calcule a forca resultante F sobre o fio;b) O campo magnetico produzido por I em C.Resp: a)F = 2IRB0(x − y), b)BC = −

µ0I

8Rz

x

y

I

R

R

R

C

�B

18) Um fio infinito disposto na horizontal (adote como sendo o eixo y do seu sistema de coordenadas)e percorrido por uma corrente I no sentido positivo do eixo y. Uma espira quadrada de lado a, feitapor um fio cuja massa por unidade de comprimento e λ e disposto no plano vertical yz paralelamenteao fio, com seu lado mais proximo do fio a uma distancia a do fio infinito. Qual deve ser a correntena espira para que ela permaneca em repouso? (Considerar a acao da gravidade). Resp: I′ =

16πaλg

µ0I

19) A figura mostra um cilindro de madeira de massa m, raio R e comprimento L, ao longo do qualforam dadas N voltas de um condutor, de modo a fazer uma bobina retangular cujo plano contemo eixo do cilindro. O cilindro e colocado sobre um plano inclinado de um angulo θ com relacao ahorizontal, de modo que o plano da bobina seja paralelo a esse plano. Calcule o menor valor dacorrente i capaz de impedir o cilindro de rolar, na presenca de um campo magnetico B vertical. Resp:

i =mg

2NlB.

20) Um fio de cobre de massa m, dobrado em forma de uma letra U de largura l, tem seus extremosmergulhados em dois vasos contendo mercurio, como mostra a figura. O fio esta submetido a acao de

um campo magnetico B. Se um impulso de corrente, que transporta uma carga q =

∫i dt, percorre

o fio, este salta bruscamente para cima, atingindo uma altura maxima h. Determine o valor da cargaq, supondo que o tempo de duracao da corrente e muito menor do que o tempo que o fio leva parasubir e descer. Resp: q =

m

lB

√2gh.

21) Um circuito plano e definido, em coordenadas polares, por:

ρ = a, 0 ≤ ϕ ≤ π; ρ cosϕ = −a, π ≤ ϕ ≤ 3π/2; ρ cosϕ = a, 3π/2 ≤ ϕ ≤ 2π.

Page 4: Lista de Problemas de Fis403 | F sica Geral III | IFQ ...elt2014.com.br/materiais/2-2015/FIS403-11/Listas/Lista4.pdf · Suponha conhecidas as respectivas dimens~oes. Resp: a) I= gA

Ele e percorrido por uma corrente I no sentido de ϕ crescente. Determine B na origem. Resp:

B = zµ0I(π + 4)

4πa

22) Uma bussola tende a oscilar antes de alinhar-se com o campo magnetico da Terra. Considereuma agulha imantada de momento de dipolo magnetico m e momento de inercia I, suspensa de formaa poder oscilar livremente em torno de um eixo vertical, situada num campo magnetico horizontaluniforme B0. As direcoes de m e B0 formam inicialmente um pequeno angulo θ0. Calcule a frequenciaangular de oscilacao (desprezando o amortecimento) e mostre que sua determinacao permite medir

|m||B0|. Resp: ν =1

√|m||B0|

I

23) A Terra se comporta aproximadamente como um dipolo magnetico. Determine o seu momentode dipolo sabendo que a uma latitude de 40◦ seu campo magnetico vale 0,23 G. Se esse dipolo fosseproduzido por uma espira circular com raio um terco do da Terra, qual seria a corrente necessariapara tal? Resp: 2,8.109 A

24) A corrente num fio metalico de 10 cm e de 2,0 A na direcao dos x positivos. A forca no fio, devidaa um campo magnetico B, e F = (3,0 y+ 2,0 z) N. Se o fio fizer uma rotacao de modo que a correntepasse a fluir na direcao dos y positivos, a forca sobre ele e F = (−3,0 x − 2,0 z) N. Determinar ocampo magnetico B. Resp: B = (10 x + 10 y − 15 z) T

25) Dois pequenos circuitos, um circular de raio b e o outro quadrado de aresta tambem b, saocolocados com seus centro a uma distancia a um do outro, a >> b,dispostos como mostra a figura ao lado. Determine o torque que umexerce sobre o outro se ambos forem percorridos pela mesma correnteI. Resp: Adotando o eixo da espira circular como z e o eixo que contem os centros das espiras

como y, o torque sobre a espira retangular sera −xµ0Ib3

4a3

I

m1I

a

m2

26) Um dipolo magnetico de momento m e dimensoes desprezıveis esta situado a uma distancia zacima do plano de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I. O vetor m fazum angulo θ com o eixo da espira. Determine a forca e o torque atuantes sobre o dipolo. Resp:

F = −3µ0ImR2 cos θz

2(R2 + z2)5/2z, τ =

µ0ImR2 sen θ

2(R2 + z2)3/2, perpendicular ao plano que contem o eixo z e a direcao do dipolo magnetico.

27) Considere um circuito fechado de raios a e b (ver figura), percorrido por uma corrente I. Deter-mine:

a) B no ponto P .b) O momento de dipolo magnetico do circuito.Resp: a)BP = −

µ0I

4ab(a+ b)z, b)m = −

πI

2(a2 + b2)z. P

b

a

I

I

28) Um disco de plastico de raio R possui uma carga total q distribuıda uniformemente em suasuperfıcie. Se o disco gira a uma velocidade angular ω constante em torno de seu eixo, determinar:

a) O campo magnetico num ponto de seu eixo; Resp: B = zµ0ωq

2πa2

(2z2 + a2√z2 + a2

− 2|z|)

b) seu momento magnetico. Resp: m =ωqR2

4z

29) Seja uma esfera de raio R e carga total Q girando com velocidade angular ω constante emtorno de um de seus diametros. Determine o campo magnetico B no seu centro e os seus momentosmagneticos quando:a) a carga estiver distribuıda uniformemente em seu volume; Resp: B = z

µ0ωQ

4πR, m = z

1

5ωQR2

b) a carga estiver distribuıda uniformemente em sua superfıcie. Resp: B = zµ0ωQ

6πR, m = z

ωQR2

3

30) Um cone carregado superficialmente com densidade de cargas σ uniforme gira com velocidadeangular ω constante ao redor de seu eixo de simetria. O cone possui raio R e geratriz L. Determine

o campo magnetico no seu vertice. Resp: B =µ0σωR2

(R2 + L2)1/2, na direcao do eixo.