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MATEMÁTICA I

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

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HORÁRIO DA DISCIPLINA

Quinta-Feira: 9h (Turma 1) – sala 38

Quinta-Feira: 14h (Turma 2) – sala 38

DISPENSA DE AULA NA DISCIPLINA MAT I

05/04 – XLIII SECITAP (AULA SUSPENSA)

24/05 – Rbras (material on-line)

31/05 – Corpus Christi (AULA SUSPENSA)

Provas

1ª. Prova (P1): 29/03/2018

2ª. Prova (P2): 10/05/2018

3ª. Prova (P3): 14/06/2018

Prova substitutiva: 21/06/2018 (para quem perdeu prova)

Recuperação: 28/06/2018

Trabalhos (T)

Lista de exercícios, atividades em sala, ...

Cálculo da Média Final: 𝑀𝐹 = 0,2 ∙ 𝑃1 + 0,3 ∙ 𝑃2 + 0,3 ∙ 𝑃3 + 0,2 ∙ 𝑇

se 𝑴𝑭 ≥ 𝟓, 𝟎 e frequência ≥ 𝟕𝟎%: APROVADO

se 𝑴𝑭 < 𝟓, 𝟎 e frequência ≥ 𝟕𝟎%: RECUPERAÇÃO

AVALIAÇÕES

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Volume 1. 6ª ed. São

Paulo: Bookman, 2000.

ANTON, H., BIVENS, I. C., DAVIS, S. L. Cálculo. Volume I. 8ª ed.

São Paulo: Bookman, 2007.

BOULOS, P. Pré-cálculo. São Paulo: Makron Books Ltda, 1999.

FERREIRA, R. S. Matemática aplicada às ciências agrárias. Minas

Gerais: Editora UFV, 1999.

MORETTIN, P. A., HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: funções

de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.

STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 7ª ed. Cengage Learning, 2016.

SWOKOWSKI, E.D. Cálculo com geometria analítica. Volume I. 2ª

ed. São Paulo: Makron Books, 1995.

Manter silêncio durante as aulas.

Manter os celulares desligados, ou no modo

silencioso, e não utilizar fones de ouvido.

Manter a sala limpa.

Não trazer alimento nem bebidas (somente água).

Respeitar a professora e os colegas de sala.

Utilizar notebook ou tablet somente com a

autorização da professora

REGRAS

MATEMÁTICA I

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

Parte 1

• Conjuntos numéricos

• Axiomas para o sistema dos números reais

• Operações fundamentais: adição e multiplicação

• Operações fundamentais: subtração e divisão

Parte 2

•A reta real

•Números complexos

•Valor absoluto de um número

•Ordem de operações

•Potência

•Produtos notáveis e binômio de Newton

•Erros a serem evitados

CONJUNTOS NUMÉRICOS

São, em geral, subconjuntos de ℝ, o conjunto dos números reais.

Números naturais ℕ: São os números empregados em processos de contagem.

Exemplos: 0,1, 2, 3, 4,...

Números Inteiros ℤ : São os números empregados em processos de contagem,

acrescidos de seus opostos.

Exemplos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

Números racionais ℚ : É o conjunto de todos os números que podem ser

escritos como quocientes 𝑎

𝑏, 𝒃 ≠ 𝟎.

Exemplos:−1

4, −

1

18,1

2,

7

10, 10

50, 20

20, ...

Números irracionais ℚ′ ou I : Todos os números reais que não são racionais

Exemplos: 𝜋 = 3,141592653589793…, 2 = 1,414213562373095… ,

Nem todos os números são reais.

O conjunto ℂ dos números da forma

𝑎 + 𝑏𝑖

onde 𝑎 e 𝑏 são reais e 𝑖2 = −1 , é chamado de

conjunto dos números complexos.

Como todo número real x pode ser representado na forma

𝑥 + 0𝑖, segue que todo número real também é complexo.

Exemplo de números complexos:

NÚMEROS COMPLEXOS

ℂ

ℝ ℚ

I

ℤ ℕ

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Exemplo 1.1 Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os números abaixo

pertencem

a) −7 b) 0,7 c) 7 d) 𝟕

𝟎 e) −7 f)

0

7

OBS.: 7 = 2,645751311064591

Números reais podem ser representados por

pontos em uma reta 𝑟, tal que

a cada número real 𝑎 corresponda exatamente a um

ponto sobre a reta 𝑟, e reciprocamente.

Exemplo 2. Represente o conjunto 3; −5; 2

3 ; 5; −1,5; −𝜋 sobre

uma reta real.

ℝ

A RETA REAL

AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS

I) Operações fundamentais: adição e

multiplicação

Propriedades (considere a, b e c números reais arbitrários)

Leis de fechamento: a soma 𝑎 + 𝑏 e o produto

𝑎 ∙ 𝑏 (ou 𝑎𝑏) são números reais únicos.

Leis de comutatividade

𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 : a ordem é irrelevante na adição.

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 : a ordem é irrelevante na multiplicação.

Leis associativas

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 : o agrupamento é

irrelevante em adições repetidas.

𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄: o agrupamento é irrelevante

em multiplicações repetidas.

Leis distributivas: a multiplicação é

distributiva em relação à adição

𝒂 𝒃 + 𝒄 = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 e 𝒂 + 𝒃 𝒄 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄


Leis de identidade (elemento neutro)

Existe um único número 0 com a propriedade de que

0 + 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 + 0

Existe um único número 1 com a propriedade de que

1 ∙ 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 ∙ 1

Leis de inverso (elemento inverso)

Para qualquer número real 𝑎, existe um real −𝑎, tal que

𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0

−𝑎 é chamado de inverso aditivo ou oposto de 𝑎.

Para qualquer real a diferente de zero, existe um número real 𝑎;1, tal que

𝑎 ∙ 𝑎;1 = 𝑎;1 ∙ 𝑎 = 1

𝑎;1 é chamado de inverso (multiplicativo) ou recíproco de 𝑎.


Exemplo 3. Simplifique a expressão 3 + 𝑥 + 5 utilizando as

leis associativa e comutativa.

3 + 𝑥 + 5 = 𝑥 + 3 + 5 lei comutativa

= 𝑥 + 3 + 5 lei associativa

= 𝑥 + 8

Exemplo 4. Mostre que 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑

utilizando a lei distributiva.

𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 = 𝒂 𝒄 + 𝒅 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 lei distributiva

= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 lei distributiva


Leis de fator zero

1. para cada número real a, 𝑎 ∙ 0 = 0

2. se 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, então 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0.

Leis para os negativos

1. − −𝑎 = 𝑎

2. −𝑎 −𝑏 = 𝑎𝑏

3. −𝑎𝑏 = −𝑎 𝑏 = 𝑎 −𝑏 = − −𝑎 −𝑏

4. −1 𝑎 = −𝑎


II) Operações fundamentais: subtração e divisão

Definição de subtração:

𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + −𝒃

Definição de divisão:

𝒂

𝒃= 𝒂 ÷ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃;𝟏

Desse modo, 𝒃;𝟏 = 𝟏 ∙ 𝒃;𝟏 = 𝟏 ÷ 𝒃 =𝟏

𝒃

Nota: Uma vez que 0 não admite inverso multiplicativo,

𝑎 ÷ 0 não é definido.



Leis para quocientes

1. −𝑎

𝑏=

;𝑎

𝑏=

𝑎

;𝑏= −

;𝑎

;𝑏

2. ;𝑎

;𝑏=

𝑎

𝑏

3. 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 se, e somente se 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

4. 𝑎

𝑏=

𝑘𝑎

𝑘𝑏 para todo 𝑘 ∈ ℝ não nulo (Princípio fundamental de frações)



Propriedades de ordem

Os números reais positivos, denotados por ℝ:, são um

subconjunto dos números reais e apresentam as

seguintes propriedades:

1. Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ:, então 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ: e 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℝ:.

2. Para cada número real 𝑎,

ou 𝑎 ∈ ℝ: e 𝑎 é dito positivo;

ou 𝑎 = 0

ou 𝑎 ∈ ℝ; e 𝑎 é dito negativo.



Propriedades de ordem

Considere números 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

se 𝑏 − 𝑎 é positivo, 𝑎 é menor que b, ou seja, 𝑎 < 𝑏

se 𝑏 − 𝑎 é negativo, 𝑎 é maior que b, ou seja, 𝑎 > 𝑏

se 𝑏 − 𝑎 é zero, 𝑎 é igual que b, ou seja, 𝑎 = 𝑏

se 𝑎 é menor ou igual a b, isso é representado por 𝑎 ≤ 𝑏.

se 𝑎 é maior ou igual a 𝑏, e escrevemos isso como 𝑎 ≥ 𝑏.



Considere números 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ,

𝑎 > 0 se, e somente se, 𝑎 é positivo.

se 𝑎 ≠ 0, então 𝑎2 > 0.

se 𝑎 < 𝑏, então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 para todo 𝑐 ∈ ℝ.

se 𝑎 < 𝑏, então 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐, se 𝑐 > 0𝑎𝑐 > 𝑏𝑐, se 𝑐 < 0

se 𝑎 < 𝑏 e 𝑏 < 𝑐 então 𝑎 < 𝑐.


VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO

O valor absoluto de um número real 𝑥, denotado por 𝑥 ,

é definido por:

𝒙 = 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐦 = 𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 < 𝟎

Representação

Distância entre dois números reais

A distância entre dois números reais 𝑎 e b é |b − 𝑎 |,

que é o comprimento do segmento de reta que liga 𝑎 a b

|𝑥|

𝑥

Observação. 𝑎 + 𝑏 não é igual a 𝑎 + 𝑏

A menos que 𝑎 e 𝑏 tenham o mesmo sinal ou pelo menos

um dos dois for zero.

Se a e b tiverem sinais opostos, então

𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏

• Por exemplo,

|2 + 5| = |2| + |5|

|−2 + 5| = 3 < 7 =|−2| + |5| .

• Em todo caso, |a + b| nunca é maior do que |a| + |b| e

assim temos a importante desigualdade triangular:

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO

O intervalo fechado 𝑎, 𝑏 é o conjunto de todos números

reais 𝑥 tais que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

𝑎 𝑏

Costumamos simplificar a notação acima como {x : a ≤ x ≤ b},

𝑎, 𝑏 = 𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

ficando entendido que 𝑥 ∈ ℝ.

INTERVALOS NUMÉRICOS

O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos:

O intervalo infinito −∞,∞ é toda a reta real ℝ.

Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado.


Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades.

Representação:

Generalizando, para todo 𝑐 ∈ ℝ,

Representação:

Nesse caso o intervalo 𝑎, 𝑏 = 𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟 , onde 𝑐 =𝑎:𝑏

2 e 𝑟 =

𝑏;𝑎

2


Exemplo 5 (Descrevendo intervalos com desigualdades)

Descreva os intervalos (−4, 4) e [7, 13] usando

desigualdades.

Solução:

−4,4 = 𝑥: 𝑥 < 4

Considere o intervalo 7, 13

Ponto médio: 𝑐 =1

2 7 + 13 = 10

Raio: 𝑟 =1

2 13 − 7 = 3

Portanto 7, 13 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 − 10 ≤ 3

Representação:


Exemplo (Descrevendo desigualdade com intervalo)

Descreva o conjunto 𝑆 = 𝑥:1

2𝑥 − 3 > 4 em termos de intervalos.

Solução. É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta

1

2𝑥 − 3 ≤ 4, assim

1

2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 ≤

1

2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 + 3 ≤

1

2𝑥 − 3 + 3 ≤ 4 + 3

−1 ≤1

2𝑥 ≤ 7 ⇒ −1 ∙ 2 ≤

1

2𝑥 ∙ 2 ≤ 7 ∙ 2 ⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 14

Note que 1

2𝑥 − 3 ≤ 4 está satisfeito quando 𝑥 ∈ −2, 14 .

O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números x que não

estão em −2, 14 , ou seja, 𝑺 = −∞,−𝟐 ∪ 𝟏𝟒,∞

Representação.


ORDEM DE OPERAÇÕES

Em expressões envolvendo combinações de operações, a seguinte

ordem é observada:

1. Primeiramente, execute operações entre símbolos agrupados.

Se os símbolos agrupados estão dentro de outro agrupamento de

símbolos, proceda a partir dos agrupamentos mais internos para os

mais externos.

Exemplo 6. Calcule 3 3;8∙5; ;1;2∙3

2

3 3;8∙5; ;1;2∙3

2=

3 3;8∙5; ;1;6

2=

3 3;8∙5; ;7

2

3 3;8∙5; ;1;2∙3

2=

3 3;8∙5; ;7

2=

3 3;40; ;7

2=

3 10;40

2=

3 ;30

2

3 3;8∙5; ;1;2∙3

2=

3 ;30

2= −

90

2= −45

2. Calcule expoentes antes de multiplicações e divisões,

a não ser que o agrupamento de símbolos indique o contrário.

Exemplo 7. Calcule 2 + 32 2

2 + 32 2 = 2 + 9 2 = 11 2 = 121

3. Calcule multiplicações e divisões, da esquerda para a

direita, antes de calcular adições e subtrações (também

da esquerda para direita)

a não ser que os símbolos de operações indiquem o contrário.


Calcule

a) −5 − 3 2

b) 3 − 4 5 − 6 2 − 8

c) 3 − 8 ∙ 5 − −1 − 2 ∙ 3 ∙ 32 − 52 2

Solução.


Definição. Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então a expressão 𝑎𝑛 é

chamada de potência na base 𝑎 e expoente 𝑛.

Note que: 𝒂𝟎 = 𝟏

𝒂𝒏:𝟏 = 𝒂 ∙ 𝒂𝒏

Exemplo:

100 = 1

101 = 10 ∙ 100 = 10

102 = 10 ∙ 101 = 100

103 = 10 ∙ 102 = 1.000

104 = 10 ∙ 103 = 10.000

POTÊNCIAS

Propriedades: Se 𝑎 ≠ 0

e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ então:

i) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚:𝑛

ii)𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚;𝑛

iii) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛

iv) 𝑎 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

POTÊNCIAS

Potência com expoente negativo

Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎;𝑛 =1

𝑎𝑛

Exemplo: 10;1 =1

10= 0,1; 10;2 =

1

10∙101 =1

100= 0,01

10;3 =1

10∙102 =1

1.000= 0,001; ...

Potência fracionária

Se 𝑎 > 0 e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎𝑛

𝑚 = 𝑎𝑛𝑚

Exemplo: 102 3 = 1023

𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2

𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2

𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3

𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3

𝑥 + 𝑎 𝑛 = 𝑥𝑛 +𝑛

1!𝑎𝑥𝑛;1 +

𝑛 𝑛 − 1

2!𝑎2𝑥𝑛;2 +

𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2

3!𝑎3𝑥𝑛;3 + ⋯

+𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …2

𝑛 − 1 !𝑎 𝑛;1 𝑥1 + 𝑎𝑛, 𝑛 > 1 inteiro.

PRODUTOS NOTÁVEIS

BINÔMIO DE NEWTON

ERROS A SEREM EVITADOS

ERRO 1. Em uma fração, cancelar uma parcela do

numerador com uma do denominador

3𝑥:5

𝑥=

3𝑥:5

𝑥= 3 + 5 = 8 (ERRADO !!!!)

ERRO 2. Concluir que se 𝑥 < 𝑎 então 𝑐𝑥 < 𝑐𝑎, a

não ser que 𝑐 > 0.

ERRO 3. Escrever 2 > 𝑥 > 6 ao invés de 𝑥 < 2 ou

𝑥 > 6.

ERROS A SEREM EVITADOS

Não confundir

1. − −𝑥 com − −𝑥

Exemplo: − −3 = −3 enquanto que − −3 = 3

2. −𝑥 2 com −𝑥2

Exemplo: −4 2 = 16 enquanto que −42= −16

3. − 𝑎 + 𝑏 com −𝑎 + 𝑏

Exemplo: − 2 + 1 = −3 enquanto que −2 + 1 = −1

4. 𝑥 + 𝑎 2 com 𝑥2 + 𝑎2

Exemplo: 5 + 2 2= 49 enquanto que 52 + 22 = 25 + 4 = 29

5. 𝑥 + 𝑎 com 𝑥 + 𝑎

Exemplo: 4 + 9 = 13 enquanto que 4 + 9 = 2 + 3 = 5

1ª. LISTA DE EXERCÍCIOS

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