FraçõesFrações

Oficina apresentada na Faculdade Evangélica de Brasília.

Em: 29 de Fevereiro de 2008

Elaborada por: Nilza E. Bertoni*

Por:

Eliene Dias e

Milene Soares

* Professora aposentada do Departamento de Matemática da Universidade de Brasília. Consultora de Educação Matemática. Consultora desta série.

É possível ensinar frações para a vida? Nilza Eigenheer Bertoni

Em nossa cultura, o uso de cálculos na representação fracionária é bem reduzido. Nesse sentido, toda a ênfase de nossos livros didáticos e de nossas propostas curriculares em desenvolver, de modo mecânico, esses cálculos, resulta em quase nenhum uso funcional autêntico.

Oficina realizada por:Milene Soares eEliene Dias

O Sentido de uma FraçãoRepresentações fracionárias e representações decimais são facetas de um mesmo número, o número racional, ainda que representações decimais, de tipos especiais, também possam servir para representar números não racionais. Um conhecimento mais global do número racional positivo, que é o estudado até o 5ª ano, compreende uma interpretação correta de suas duas representações. O aluno precisa saber transitar com desenvoltura da representação 1/2 de kg para a representação 0,5 kg ou para a expressão 500 gramas.

O Problema

Pensemos em um problema de 3 meninas que comem igualmente um bolo, e de quatro meninos que comem igualmente um bolo de mesmo tamanho. Podemos perguntar às crianças, mesmo antes de conhecer frações, quem come mais – uma menina ou um menino? Nesse problema, a quantificação do pedaço resultante – um terço, um quarto – associa-se mais naturalmente a frações do que à representação decimal. Essa quantificação ficaria artificial se quiséssemos identificar o pedaço dos meninos como 25 centésimos do bolo, e o das meninas como 0,3333...do bolo.

Frações têm sido um dos temas mais difíceis no Ensino Fundamental. Avaliações e pesquisas atestam o baixo rendimento dos alunos no assunto. Ao contrário do que parecem pensar os autores de livros didáticos, a construção do sentido de número fracionário não é tarefa que possa ser resolvida em uma ou duas páginas. É preciso encontrar caminhos para levar o aluno a identificar essas quantidades em seu contexto cotidiano e a apropriar-se da idéia do número fracionário correspondente, usando-os de modo significativo.

Nos últimos anos, as pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem desse tema têm detectado inúmeros problemas e levantado hipóteses que, entretanto, não abrangem a totalidade da problemática, nem são conclusivas. Talvez devido a isso, propostas de ensino incorporando esses resultados são apenas incipientes. O mais comum de se encontrar são as mesmas propostas de sempre, que começam informando as crianças sobre nomes e símbolos de frações, apresentando quadrados, retângulos ou círculos divididos e parcialmente pintados.

Pontos importantes a considerar, no desenvolvimento desse tema, são: a constatação de que os símbolos são

obstáculos à compreensão inicial do significado desses números pela criança, o que sugere um tempo inicial de aprendizagem não simbólica das frações;

a constatação de que trabalhar com famílias de frações inter-relacionadas, como meio/quarto/oitavo; terço/sexto/nono, quinto/décimo/vinte avos, permite que a criança estabeleça relações e atribua significado a operações iniciais com esses números. Ela percebe, por exemplo, que 1 quarto é metade de 1 meio; que 1 quarto + 1 quarto é igual a 1 meio; que duas vezes 1 quarto dá 1 meio, que 1 meio dividido por 2 dá 1 quarto, etc. Um fato significativo foi o raciocínio demonstrado por uma criança, ao se deparar, em um jogo, com o desafio: quanto é 5 terços menos 1 sexto? Ela foi rápida: 4 terços e meio. Nitidamente, ela se apoiava na relação vivida e construída, de que o sexto era obtido dividindo-se o terço ao meio; o sexto valia, portanto, metade do terço. Assim, ao pensar em 5 terços menos 1 sexto, ela pensava em 5 terços menos a metade de um deles, o que daria, portanto, 4 terços e meio (terço);

a constatação de que as noções de mínimo múltiplo comum e de máximo divisor comum interrompem o caminho natural da construção da idéia de fração pela criança, e, além do mais, não são imprescindíveis aos cálculos, sendo possível desenvolver esses cálculos pelo menos nas séries iniciais, sem aqueles conceitos;

a constatação de que os algoritmos operatórios desenvolvidos na escola são de compreensão quase impossível para as crianças, e se afastam muito dos algoritmos para as mesmas operações nos números naturais. Comparem-se, por exemplo, os algoritmos tradicionais da soma e da divisão de frações, com os algoritmos da soma e da divisão entre os números naturais. São tão distintos que as crianças não chegam a identificar que os novos algoritmos possam estar efetivamente ligados a uma situação real de soma ou de divisão.

Enfim...É possível trabalhar uma variedade grande de problemas desafiantes para a criança, antes mesmo de ela começar a aprender frações. Eles servirão para a criança pensar nessas quantidades, de maneira significativa e real, e podem servir de ocasião para a introdução de nomes das partes que aparecem

Maria cortou uma laranja para dividi-la bem certinho entre ela e uma colega. Que parte da laranja cada uma recebeu?

Celina estava fazendo 9 anos. O pai dela lembrou que metade da vida ela havia morado com seus avós. Quanto tempo Celina ficou com os avós?

A mãe dividiu um doce em 8 partes iguais. Joelmir, Maria e Gláucia vieram e comeram tudo. Joelmir comeu metade do doce. Maria comeu uma das partes cortadas. Quantas partes do bolo Gláucia comeu?

Uma professora tinha 10 alunos. Ela dividiu uma goiabada em 10 pedaços, para dar um pedaço a cada aluno. Mas três alunos não quiseram. Dois deles eram irmãos e deram seus pedaços para um primo, da mesma sala; o outro deu seu pedaço para um colega de classe. No lanche, os colegas comeram os pedaços que ganharam.

Quantos alunos comeram goiabada? Quantos alunos comeram mais do que um

pedaço? Quantos pedaços eles comeram? Quantos alunos comeram só um pedaço?

Tia Lucy tinha 5 doces para dividir igualmente entre 4 sobrinhos. Como ela poderia fazer essa divisão?

Quatro crianças compraram 3 barras de chocolate e querem dividi-las igualmente entre elas. Como elas podem fazer isso?

Quantos meio litros cabem em um litro e meio? Metade de meio litro é chamada de 1 quarto de litro.

Quantos quartos de litro cabem em um litro e meio?

Não é necessário ensinar nada. Só deixar as crianças pensarem, elaborarem hipóteses, apresentarem respostas de um grupo a outro e repensarem, até se certificarem de uma solução a que possam chegar sozinhas. Essas soluções próprias, desenhadas, registradas em língua escrita ou faladas, servirão de ponto de partida para a introdução dos primeiros registros numéricos, que devem usar os números naturais e os nomes das partes, tendo uma forma que os associa fortemente com os registros correspondentes, feitos para os números naturais. Assim, eles se apresentam verticais para a soma e a subtração de frações, e em chave para a divisão. Ou seja, procura-se introduzir algoritmos, na aparência e na essência, mais de acordo com as concepções da criança.

Exemplificando:

Pelo que sabemos, essa abordagem não está incorporada aos livros e propostas atuais.

Além disso, constata-se que, na maioria dos livros didáticos, não aparecem problemas relacionados à multiplicação e à divisão de frações, ficando o desenvolvimento desses tópicos sem significado para o aluno.

Pode-se dizer que os alunos, mesmo quando sabem efetuar os cálculos, aprendidos de forma memorizada, não sabem para que usá-los. Desse modo, é comum encontrar alunos que ficam bloqueados frente a perguntas como:

quanto vale 3/2 de R$ 25,00? com 22 1/2 litros, quantos frascos de 1 1/2 litros poderemos

encher?Na resposta da primeira, há vários caminhos possíveis: calcular o valor de 3 metades de 25,00; multiplicar 3/2 por 25,00 ou, ainda, evitar cálculos com frações, se o aluno tiver uma noção real do número 3/2, entendendo-o também como uma vez e meia.

Para a segunda, o aluno deveria ter um reconhecimento imediato de que está associada a uma divisão, com o sentido de medida – quantas vezes 1 1/2 cabe em 22 1/2? O processo de divisão de frações pode ser usado ou, em seu lugar, um processo intuitivo:

Para encher 2 frascos gastamos 3 litros; Para encher 4, são 6 litros; Para 8 frascos, são 12 litros; Para 16 frascos, são 24 litros – passa do que temos; Para 12 frascos (8 + 4) são 12 + 6 = 18 litros; Para 14 frascos, preciso de mais 3 litros, e dará 21 litros; Como tenho 22 ½ litros, ainda dará para encher mais um frasco. A

resposta é 15 frascos.

A falta de desenvolvimento do significado e da lógica subjacente aos tópicos desse tema tem sido constante, na maioria das propostas atuais. Outras questões que os professores e alunos têm, em geral, dificuldade em responder são, por exemplo:

resolva mentalmente: quanto dá 1/2 dividido por 1/4? por que a divisão de frações se faz daquele jeito estranho? por que se usa o mmc? por que ele é usado na soma e na

subtração e não na divisão e na multiplicação? As respostas a essas perguntas, de modo breve, são:

1/2 dividido por 1/4 dá 2, porque 1/4 cabe duas vezes em 1/2, ou: 1/2 separado em pedaços de 1/4 dá 2 pedaços.

Existe uma propriedade válida na divisão: se multiplicarmos o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não se altera. Então, ao dividir uma fração por outra, podemos multiplicar ambas por um mesmo número. Escolho esse número como o inverso da segunda fração, porque isso vai facilitar os cálculos. Veja:

Frações com denominadores iguais referem-se a partes da unidade de mesmo tamanho, e é fácil somá-las. 2/6 e 3/6 referem-se a sextos da unidade: a primeira indica 2 sextos e a segunda 3 sextos. Juntando, teremos 5 sextos. Frações com denominadores diferentes referem-se a partes da unidade de tamanhos diferentes. Para somá-las, precisamos expressá-las de modo que se refiram a pedaços iguais da unidade. Ou seja, devemos conseguir frações equivalentes a ambas, com um mesmo denominador.

MMC...O processo escolar ensina que esse denominador igual deve ser o mínimo múltiplo comum. Por exemplo, para somar meios e sextos (com denominadores 2 e 6), mudamos ambas para sextos (denominador 6). O mínimo múltiplo comum, 6, serve como esse denominador igual. Mas qualquer múltiplo dos denominadores iniciais também serve. Como o produto dos dois é um múltiplo deles, ele serve. Usar o produto já evitaria o trabalho de se calcular o mmc.

1/2+ 4/6 ® pode-se usar o novo denominador 12 (2 x 6 = 12) 1/4 + 2/6 ® pode-se usar o novo denominador 24 (4 x 6 = 24)

Além disso, nas séries iniciais deve-se, quando muito, trabalhar com somas envolvendo frações simples. As crianças devem conhecer as relações entre elas: cada meio vale 2 quartos ou 3 sextos; cada terço vale 2 sextos etc. Então, para somar 1/2 e 4/6 , escrevem 1/2 como 3/6 e somam com 4/6, dando 7/6. Isso dispensa o uso do mmc ou do produto dos denominadores.

O mmc é usado na soma e na subtração porque é preciso que as frações se refiram a pedaços do mesmo tamanho. Na divisão, expressar o dividendo e o divisor com um mesmo denominador também pode ser útil. Por exemplo, para dividir 6/3 por 1/4 , podemos mudar ambas para doze avos, e teremos 24/12 : 3/12. O significado dessa divisão é: quantas vezes 3/12 está contido em 24/12? Ou, quantos grupos de 3 doze avos precisamos para formar 24 doze avos? A resposta é 8: com 24 pedaços de doze avos conseguimos formar 8 grupos de 3 doze avos. A resposta é o resultado da divisão dos numeradores: 24 : 3 = 8.

1ª. Atividade Com tiras de papel ofício, dividimos a

primeira em 2 partes, a segunda em 4 partes e assim segue até dividirmos em 10 partes.Observação:Avos = Parte em

Quem é maior? 2/3 ou ¾? Quanto maior? Qual o nome do pedacinho? Quantos 12 avos dá cada um?

2ª. Atividade Rizoane comeu ½ chocolate e Cecília comeu

2/3, quanto comeram juntas? Quantos pedaços cada uma comeu? Quem comeu mais?

A equivalência aparece em situação de ação, assim como o seu conceito.

3ª. Atividade 2/3 = 4/6 xx xx xx 2/3 = 16/24 2/3 = 6/ ? ? Se eu quero 2/3 9 Se eu quero 2/3 10? Se eu quero 4/3 de ?/21 ? 2/3 de 10/15? 5/2 de 25/10? 4/3 de 20/15

4ª. Atividade Soma e subtração de Frações:

1/3

+ 3/4

8 1/3 – 5 1/3 = 24 ¾ - 23 1/3 =

Resolução de Problemas1 Numa festa da escola havia uma lata de sorvete com 3 kg e meio de

sorvete. Na primeira hora o pessoal já havia consumido 2 kg e três quartos de quilograma. Quanto ainda restava?

2 Uma professora tinha 10 alunos. Ela dividiu uma goiabada em 10 pedaços, para dar um pedaço a cada aluno. Mas três alunos não quiseram. Dois desses eram irmãos e deram seus pedaços para um primo, da mesma sala. O outro menino deu seu pedaço para um outro colega da classe. No lanche, os colegas comeram os pedaços que ganharam.

Quantos meninos comeram goiabada? Quantos alunos comeram mais do que um pedaço? Quantos pedaços eles

comeram? Quantos alunos comeram só um pedaço?

3 O seguinte problema foi proposto em uma 5a série: três colegas foram a uma pizzaria e pediram uma pizza, que veio dividida em quatro partes iguais. O garçom serviu um pedaço para cada um. Ao terminarem de comer, pediram ao garçom que dividisse o pedaço restante entre os três. Quanto de pizza cada um comeu?

Ao resolverem os alunos apresentaram 5 tipos de respostas. Verifique se todas estão certas e explique como eles resolveram o problema.

1 quarto mais um terço de 1 quarto 4 terços de ¼ 1 quarto mais 1 doze avo 4 doze avos 1 terço

Multiplicação de Frações

2 x 1/3 =

½ x 1/3 =

Metade de 1/3 = 1/6

5ª. Atividade 2/3 x 1/3 =

4/3 x ½ =

3/2 x 3/5 =

Divisão de Frações

6:2 = xxx xxx

6:2 = xx xx xx

Quantas vezes um cabe no outro.

6ª. Atividade 5:2 = 5-2 1

3-2 1

1- ½ ½

= 2 ½ 6:4 = ½ : 2 = 2 : 1/3 =