matematica financeira para administraÇÃo

7/29/2019 MATEMATICA FINANCEIRA PARA ADMINISTRAO

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAO

ADMINISTRAO FINANCEIRA I

PROF: EDUARDO PICANO, D.Sc.

MATEMATICA FINANCEIRA

PARA ADMINISTRAO

Autores:

Eduardo Picano

Guilherme Guimaraes

Haroldo Belo

Luiz coelho

NITERI


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Aula 1 - PORCENTAGEM

Objetivos: Ao final desta aula, voc dever ser capaz de:

- Relembrar os conceitos de razo centesimal, porcentual, unitria.

- Rever os conceitos envolvidos no clculo da porcentagem.- Entender e resolver os problemas propostos.

Introduo

Ao entrar em um shopping center somos bombardeados com informaes do tipo:

Alm disso, nos telejornais dirios tambm escutamos informaes do tipo:

- As mulheres constituem cerca de 53% da populao brasileira;

- A alta dos preos no ms de Janeiro foi de 2,5%;

- O dlar baixou no ms de Janeiro cerca de 1,5%.

Essas expresses envolvem uma razo especial chamada PORCENTAGEM, assuntoque passaremos a estudar agora. Esse tema usualmente encontrado nas questes deconcurso pblico brasileiro pois envolve frmulas de simples resoluo com questesque, quando bem elaboradas, do trabalho ao candidato. POR ISSO, SE ESFORCENESSA ETAPA.

Razo centesimal

Chamamos de razo centesimal a toda razo cujo conseqente (denominador) seja iguala 100.

Exemplos:

37 em cada 100


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3

19 em cada 100

Diversas outras razes no-centesimais podem ser facilmente reescritas na forma

centesimal.

Exemplos:

3 em cada 10

=

30 em cada 100

2 em cada 5

=

40 em cada 100

1 em cada 4

=

25 em cada 100

Voc certamente j deve ter ouvido falar dos outros nomes usados para uma razocentesimal, tais como: razo porcentual, ndice ou taxa porcentual e percentil.

Forma percentual

Uma razo centesimal pode ser indicada na forma percentual, anotando-se oantecedente (numerador) da razo centesimal seguido do smbolo % (l-sepor cento).

Exemplos:

12% doze por cento

3% trs por cento

Forma unitriaUma razo centesimal pode ser indicada na forma percentual, anotando-se oantecedente

(numerador) da razo centesimal seguido do smbolo % (l-sepor cento).

23%

0,23 ,

6%

0,06 ,


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4

133%

1,33 ,

0,5% ,

0,005 ,

PorcentagemDados dois nmeros quaisquer, A e B , dizemos que A igual a p % de B quando ovalor A for igual a

do valor B , ou seja, A p % de B A =

x B. B a

referncia do clculo percentual. Dizemos, ento, que A uma porcentagem do nmeroB.

Obs.: Todo problema de porcentagem depende, basicamente, de determinarmos um dosvalores dados na expresso acima,A,B, ou p em funo dos outros dois.

comum encontrarmos as expresses: lucro, rendimento, desconto, abatimento,prejuzo, etc. indicando uma porcentagem em situaes especficas e a expressoprincipal indicando o valor de referncia que corresponde a 100 %.

Exemplos:

1) Calcular 20 % de 250.

Soluo:

x 250 = 50 ou 0,20 x 250 = 50

Resposta: 20 % de 250 50

2) 30 igual a 20 % de quanto?

Soluo: 15020,0

3020,030 pp ===

Resposta: 150

3) 21 representam quanto por cento de 15?

Soluo: Da definio de porcentagem temos que:

21 x % de 15 14015

1002115

10021 =

== x

x

Resposta: 140 %


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Aumentos e redues porcentuais

Quando queremos calcular um aumento ou uma reduo de p % sobre determinadovalor, normalmente somos levados a calcular o resultado em duas etapas:

l - calculamos a porcentagemp % do valor dado:

2 - adicionamos ou subtrairmos do valor original a porcentagem encontrada, para

obter, respectivamente, o valor aumentado ou reduzida emp % do valor dado, conformeo caso desejado.

Usando a forma unitria, poderemos calcular aumentos e redues porcentuais de modomais rpido, da seguinte forma:

I - Para calcular um aumento de p % :

Quando aumentamos em p % um valor V, ficamos com ( )%100 p+ de V.

Ento, basta multiplicar o valor V pela forma unitria de ( )%100 p+ para termos oresultado desejado. A forma unitria de ( )%100 p+ chamada defator de correo.

Exemplos:

1) Aumentar o valor 230 em 30 %.

Soluo:

( ) 1,30100

130%130%30100 ===+ (fator de correo)

230 x 1,30 = 299Resposta: 299

2) Aumentar o valor 400 em 3,4 %.

Soluo: ( ) 1,034100

4,103%4,103%4,3100 ===+ portanto, 413,601,034x400 = .

Resposta: 413,60

II Para calcular uma reduo de p%

Quando reduzimos em p % um valor V, ficamos com ( )%100 p de V .

Ento. basta multiplicar o valor V pela forma unitria de ( )p100 % para termos oresultado desejado.


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Exemplos:

1) Reduzir o valor 300 em 30 %.

Soluo:

( ) 0,70100

70%70%30100 === 300 x 0,70 = 210

Resposta: 210

2) Reduzir o valor 400 em 2,5 %.

Soluo:

( ) 975,0100

97,55,97%5,2100 === 400 x 0,975 = 390

Resposta: 390

Aumentos e redues porcentuais sucessivos

I Aumentos sucessivos:

Para aumentarmos um valor V sucessivamente em 1p %, 2p %, ....., np %, de talforma que cada um dos aumentos, a partir do segundo, incida sobre o resultado doaumento anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitrias de( )p1+100 % , ( )p2+100 %,..., ( )pn+100 %.

Exemplos:

1) Aumentar o valor 2.000 sucessivamente em 10 %, 20 % e 30 %

Soluo:

3.4321,30x1,20x1,10x2.000 =

Resposta: 3.432

2) Se o valor 4.000 sofrer trs aumentos sucessivos de 5%, qual o valor resultante?

Soluo:

4.000 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 4.630,50

Resposta: R$ 4.630,50

II Redues sucessivas

Para reduzirmos um valor V sucessivamente em 1p %, 2p %, ....., np %, de tal formaque cada uma das redues, a partir do segunda, incida sobre o resultado da reduoanterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitrias de ( )p1100 % ,( )p2100 %,..., ( )pn100 %.


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Exemplos:

1) Reduzir o valor 2.000 sucessivamente em 10%, 20% e 30%.

Soluo:

1.0080,70x0,80x0,90x2.000 =

Resposta: 1.008

2) Se o valor 4.000 sofrer trs redues sucessivas de 5%, qual ser o valor resultante?

Soluo:

3.429,500,95x0,95x0,95x4.000 =

Resposta: 3.429,50

Outros Exemplos:1) Multiplicar o preo de uma mercadoria por 1,0428 equivale a dar-lhe um aumento dequantos por cento?

Soluo:

( ) %4,28100%104,28100

104,281,0428 +===

Resposta: 4,28 %

2) A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$ 26,00 e trazia a seguinteobservao: No inclumos os 10 % de servio. Quanto representa, em dinheiro,os 10 % de servio e quanto fica o total da despesa se nela incluirmos a porcentagemreferente ao servio?

Soluo:

Servio: 2,6026,00x0,10,isto26,00,de%10 = .Total da despesa: 26,00 + 2,60 =28,60 ou 26,00 x 1,1 = 28,60.

Resposta: R$ 28,60

3) Numa pequena agncia bancria, 32 % dos clientes so pessoas jurdicas e os outros2.040 so pessoas fsicas. Quantos clientes, ao todo, tm esta agncia?

Soluo:

O total de clientes corresponde a 100 %.


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( ) %68%32100 = corresponde ento ao porcentual de pessoas fsicas, portanto 2.040corresponde ento a 68 % do total, logo o total de clientes ser dado por:

000.368

100x2.040= .

Resposta: 3.000 clientes.

4) O preo de um produto A 30 % maior que o de B e o preo deste 20 % menorque o de C. Sabe-se que A , B e C custaram juntos, R$ 28,40. Qual o preo decada um deles?

Soluo:

Representaremos os preos de A , B e C por cb,a e respectivamente, portanto tem-seque:

a = 1,3b e b = 0,8c e da ento, a = 1,3 x 0,8c , ou seja a = 1,04c.

Como 28,40cba =++ , temos que: 1,04c + 0,8c + c = 28,40 2,84c = 28,40 e,portanto,

c = 84,2

40,28c = 10,00 e da, a = 1,04 x 10,00 = 10,40 e b = 0,8 x 10,00 = 8,00

Resposta: A custa R$ 10,40, B custa R$ 8,00 e C custa R$ 10,00.

5) Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20 % sobre a venda. Qual o preo devenda desta mercadoria se o seu preo de custo foi de R$ 160,00?

Soluo:

O termo sobre a venda, indica que o valor de referncia (principal) dever ser o preode venda, portanto devemos fazer este preo corresponder a 100 %. Temos ento que opreo de custo corresponde a ( ) %0,80%20100 = do preo de venda, ou seja, 0,80

correspondem a 160,00 e da o preo de venda ser dado por 200,0080

100x00,160= .

Resposta: R$ 200,00

Resumo

Voc reviu os conceitos de razo centesimal, razo porcentual e razo unitria;os conceitos envolvendo o clculo de porcentagem.


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EXERCCIOS

l) Expresse a frao125

31, em porcentagem.

Resp. : 24,8 %

2) Vidal investiu 30 % do seu capital em um fundo de aes e o restante em um fundode renda fixa. Aps um ms, as quotas dos fundos de aes e de renda fixa haviam sevalorizado 8 % e 2,40 %, respectivamente. Qual foi a rentabilidade do capital deVidal nesse ms? Resp. : 4,08 %

3) Um lucro de 25 % sobre o preo de custo de uma mercadoria corresponde a quantopor cento se for calculado sobre o preo de venda?

Resp. : 20 %

4) Um prejuzo de 50 % sobre o preo de custo de uma mercadoria corresponde aquantos por cento se for calculado sobre o preo de venda?

Resp. : 100 %

5) Se um produto que custa R$ 40,00 tiver seu preo reajustado sucessivamente em 5 %e 10 %, qual ser o seu preo final?Resp. : R$ 46,20

6) Se dermos dois descontos sucessivos, um de 5 % e outro de 10 %, a uma mercadoriaque tem preo inicial de 40,00R$ , qual ser o seu preo final?Resp. : R$ 34,20

7) Antonio ganha 30 % as mais que Beatriz e Carlos 20 % a menos que Antonio. Se adiferena entre os salrios de Antonio e de Carlos de 130,00R$ , qual o salrio deBeatriz?

Resp. : R$ 500,00

8) O salrio de um vendedor constitudo de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e maisuma comisso de 3 % sobre o total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Estima-seem 10 % o porcentual de descontos diversos que incidem sobre o salrio bruto. Emdeterminado ms o vendedor recebeu lquido, o valor de R$ 4.500,00. Quanto elevendeu nesse ms?

Resp. : R$ 100.000,00


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9) Comprei numa promoo uma cala e uma camisa. Aps o trmino da promoo, acala ficou 20 % mais cara e a camisa, 10 % mais cara. Se comprasse as mesmasduas peas pagando esses novos preos, eu gastaria 16 % a mais. Quanto me custou amais a cala em relao camisa?

Resp. : 50 %

10) Um certo produto podia ser comprado h alguns meses por 20 % do seu valoratual. Qual a porcentagem de aumento sofrido pelo produto neste mesmo perodo?Resp. : 400 %

11) Se os preos sobem 25 % ao ms e o seu salrio no se altera, em quanto diminuipor ms o seu poder de compra?Resp. :20 %

12) Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50 %

sobre os salrios de abril, descontadas as antecipaes. Sabendo-se que ela haviarecebido em maio uma antecipao de 20 %, qual do aumento obtido emjunho, sobre os salrios de maio?

Resp. : 25 %

13) Suponha que em certo bimestre a inflao foi de 5 % e 4 % ao ms,respectivamente. Qual a inflao acumulada nesse bimestre?

Resp. : 9,2 %

14) Humberto, dispondo de certo capital, fez as seguintes aplicaes em um trimestre:

I - aplicou 20 % do capital em letra de cmbio; nesta aplicao lucrou 30 %;

II - aplicou5

2do capital em fundo de investimento; nesta aplicao perdeu 25 %;

III - aplicou o restante do capital em caderneta de poupana e seu lucro nessaaplicao foi de 10%.

O que se pode dizer relativamente ao total aplicado. Houve lucro ? Houve prejuzo? De quanto?

Resp. : no houve lucro e nem prejuzo

15) O preo de um produto sofreu uma reduo de 20 %. Algum tempo depois, elesofreu um aumento de 20 % e, mais tarde, um novo aumento de 50 % .Se ocomerciante deseja retornar ao preo inicial, qual o percentual de desconto a seraplicado sobre este ltimo preo?

Resp. : 30,55 %


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Auto-avaliao

Voc resolveu todos os exerccios propostos sem dificuldade? Se a resposta foisim, ento voc entendeu os conceitos envolvendo a porcentagem. Se no conseguiu,no desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos antes de comear a aula 2,procure dirimir suas dvidas com os colegas do plo e tambm com os tutores.


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Aula 2 JUROS SIMPLES

Objetivos

Ao final desse captulo, voc ser capaz de:

- Conhecer e entender o valor do dinheiro no tempo;- Conhecer e entender os termos utilizados na administrao financeira;

- Saber calcular as variveis que envolvem as questes de juros simples.

Introduo

Imagine voc estar vivendo em tempos antigos e ser o melhor arteso da cidade a fazerblusas, imagine que seus vizinhos, tambm artesos, so os melhores em produziroutros bens tais como bolos, mas, etc. Ao se propor uma festa na cidade, certamente

que cada um se aprontaria para oferecer de si o que tem de melhor. E qual o fato geradonesses encontros que interessa ao nosso estudo? A DEMANDA. ela que movimenta ocomrcio at hoje.

Vamos pensar que essa demanda leva as pessoas a um espao comum para trocar suasmercadorias. Como colocar preo entre elas? Como criar uma tabela com todas aspossveis trocas?

Produto A Por Produto B

Troca 1 3 maas 1 blusaTroca 2 2 maas 1 bolo... ... ...Troca n 1 vaca 50 calas

Quantas linhas teria essa tabela de PREOS.

fcil perceber que seria mais produtivo criar um meio de converso, um fator, ou umareferncia que pudesse ser ponte entre todos os produtos ... A MOEDA!

Vejamos como ficaria a tabela de preos agora:


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Certamente muito mais fcuma cidade com 5 produtosAE, BC, BD, BE, CD, CE,proposta seria necessria a m

Sem aprofundar em conceitomoeda exerceu sua supremactodos os produtos). Isso se

trocar pelo B (eu tenho bolproduziu a camisa pode quermais fcil agilizar o sistema.

Dessa forma, pode ser estacapacidade do bem em se torn

Vocs j devem ter experimemais a direita na curva, maisele tem menos liquidez.

Como a moeda tem a maiorDEMANDADO! E no foi tr

Pois , a demanda por moedaabaixo:

Produto ValorMaa 1 moedaBlusa 10 moedasBolo 5 moedas... ...Vaca 100 moedas

il de se estabelecer ordem entre as trocas. Poeria uma tabela de preos com 10 linhas (ABDE) se fosse feita da 1 maneira, porm, n

tade das linhas (apenas uma para cada produto)

s econmicos, o fato que em determinadoia de ser o nico bem que tem troca universal porque nem sempre algum que tem um b

o mas, por exemplo, no quero camisa. Por o bolo), assim, se convertermos tudo para a

elecida uma curva de liquidez (termo quear moeda):

ntado essa situao mas tambm podem notarifcil de se vender o produto, logo, costuma-s

liquidez de qualquer mercado ela acabe por stando dessa palavra que comeamos esse texto

faz ela ter valor tal qual os outros bens. Note

13

r exemplo:, AC, AD,a segunda.

omento a(troca porm A quer

m, quemoeda fica

significa a

ue quantoe dizer que

r um bem

o esquema


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Onde:

- M a mercadoria original

- M a mercadoria que se pr

- $ a moeda

- $ significa mais moeda que

Interessante perceber comomerece ser premiadas por dua

- Dinheiro como poupana: Pr

- Dinheiro como investimento

O prmio a que nos referimos

Estamos acostumados com asempre ouvimos alguma coisatempo, a quantidade de bencomprar diminui. Outro exemomentos elas esto mais bar

que ao pedir algum dinheiroquantia integral acrescida de

Mas se no houvesse inflacoisa. Quem empresta dinheiruma renda aplicando o reccompensao. Chamaremos

tende obter

a $

a moeda substitui os meios de produo. Desss vias:

mio pela economia

: Prmio pelo risco

o JURO.

idia de que o valor do dinheiro muda no tema respeito da inflao. Isso significa que, depois e servios que determinada soma em dinmplo o caso das viagens internacionais.atas, em outras, mais caras. Dessa forma, acha

mprestado teremos que, em algum momento,m determinado valor.

o ou variao cambial? Ainda assim ocorrerio abre mo de algo: poderia consumir no presenrso em algum investimento. Por isso, fazapital o valor que foi emprestado ou aplicado

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forma ela

po. Afinal,s de algumeiro podem algunsos natural

devolver a

a mesmate ou obterus a uma, e juros a


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remunerao devida pela utilizao do capital. Finalmente, a taxa de juros a proporoentre os juros pagos e o capital.

Regimes de capitalizao

O comportamento do capital no tempo depende do modo como foi aplicado, ou seja, doregime de capitalizao. Podemos classificar os regimes de capitalizao da seguinteforma:

As modalidades de capitalizao mais comuns so as descontnuas simples e composta.Na primeira, apenas o capital inicial, tambm chamado principal, rende juros,independentemente do nmero de perodos da aplicao. Na segunda, os juros socapitalizados a cada perodo e passam a render juros nos perodos posteriores. Como sediz: juros sobre juros.

Regime de capitalizao simples

o processo de capitalizao no qual ao final de cada perodo o juro sempredeterminado sobre o capital inicial, ou seja, em cada perodo o juro obtido pelo

produto do capital inicial pela taxa unitria.

A tabela abaixo mostra a evoluo de uma aplicao de $1.000,00 por cinco anos, a umataxa de juro simples de 10% ao ano.

O grfico abaixo mostra com mais clareza essa evoluo.

Juros SimplesPerodo Juros Montante

0 1000,001 100,00 1100,00

2 100,00 1200,003 100,00 1300,004 100,00 1400,00

CapitalizaoContnua

DescontnuaSimples

Composta


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Conforme podemos observar na tabela e no grfico, o montante em juros simples crescelinearmente, de acordo com uma progresso aritmtica cuja razo igual ao valor dosjuros, isto , $ 100,00.

Notaes teis

A seguir veremos uma srie de letras e smbolos comuns na matemtica financeira, taiscomo:

J - JurosC Capital, Principal ou Capital inicial (na calculadora HP12c PV)

S - Montante (na calculadora HP12c FV)

n - Nmero de perodos

i-Taxa de juros no formato unitrio ( 10% 0,1)

R Prestao, Parcela ou Renda

O perodo de capitalizao o prazo ao fim do qual os juros so calculados. No que serefere periodizao, representamos:

a.a - ao ano;a.t - ao trimestre;

a.d - ao dia;

a.s - ao semestre;

a.b - ao bimestre;

a.q - ao quadrimestre;

900

1000

1100

1200

1300

1400

0 1 2 3 4

Montante


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a.m - ao ms.

O diagrama de fluxo de caixade elementos da m atemtic

representadas por diagramas,

Utilizando um diagrama deseguinte maneira a operaocom juros e sem entrada, em

Frmula geral para juros si

Voltando a tabela anterior:

Perodo Monta0 1000,1 1100,2 1200,3 1300,4 1400,

TOTAL 1400,

uma ferramenta importante para facilitar a coa financeira. Usualmente, as transaes fina

onforme o seguinte grfico:

fluxo de caixa, podemos, por exemplo, repre compra de um bem no valor de $1000, parauatro prestaes mensais de $ 300:

ples

Juros Simples

nte Juros Frmula00 100,00 C.i 1000 x 0,1 = 1000 100,00 C.i 1000 x 0,1 = 1000 100,00 C.i 1000 x 0,1 = 1000 100,00 C.i 1000 x 0,1 = 1000 400,00 C.i.n 1000 x 0,1 x 4 = 4

17

mpreensoceiras so

esentar daagamento,

0


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Obs: no esquecer das convenes apresentadas!

Dessa forma, pode-se extrair a 1 frmula importante, a do juro total:

J = Cx ix n (tal qual a ltima linha da tabela)Ou somente J = Cin

Vejamos o seguinte exemplo:

- $100,00 aplicados por 5 meses a uma taxa de 10% am:

Juro totalJ = Cin J = 100x 0,1x 5 = 50

Chegando ao Montante (S)S = C + J S = 100 + 50 = 150

Chegando ao Montante (S), substituindo a 2 parcelaS = C + Cin S = 100 + (100x 0,1x 5) = 100 + 50 = 150

Frmula Geral Colocando C em evidncia na frmula anteriorS = C (1 + in) S = 100 (1 + 0,1x 5) = 100x 1,5 = 150

Nos textos especficos de finanas, bem como na calculadora financeira HP12c, asvariveis S e C so descritas como FV (future value valor futuro) e PV (present value

valor presente), respectivamente. Assim, a frmula geral seria:

FV = PV (1 + in)

Exerccios clssicos:

Existem basicamente quatro tipos de exerccios de juros simples:

1) QUERO O MONTANTE (VALOR FUTURO): Qual o montante gerado por umcapital de $2000 que rende 3%am por 4 meses?

Soluo:

S = 2000 (1 + 0,03x 4) = 2240

2) QUERO O CAPITAL (VALOR PRESENTE): Qual o capital que gera $2240 seaplicado a 3%am por 4 meses?

Soluo:

2240 = C (1 + 0,03x 4)


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C =

, = 2000

3) QUERO O PRAZO: Em quanto tempo um capital de $2000 gera um montante de$2240 se ele rende 3%am?

Soluo:2240 = 2000 (1 + 0,03x n)

= 1 + 0,03n

1,12 1 = 0,03n

n =,,

= 4

4) QUERO A TAXA: Qual a rentabilidade de um capital de $2000 que gera ummontante de $2240 em 4 meses?

Soluo:2240 = 2000 (1 + ix 4)

= 1 + 4i

1,12 1 = 4i

i =,

= 0,03

DICA IMPORTANTE: como esses exerccios so razoavelmente simples, as bancas deconcurso pblico optam por tentar esconder alguma informao e fazer com que voc

no saiba quais as variveis que eles deram e/ou quais eles pedem. VEJAMOS!

Exemplo

Trs capitais so colocados a juro simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos; osegundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceira a 20% a.a., durante 2 anos e 4meses. Juntos renderam um juro de Cr$ 27.491,80. Sabendo que o segundo capital odobro do primeiro e que o terceiro o triplo do segundo, o valor do terceiro capital de:

Soluo:

J1+J2+J3 = C1 i n + C2 i n + C3 i n = 27591,80

Sabendo que C2 = 2C1 e que C3 = 3C2 Logo C3 = 6C1

Passando i p/ ms 1 (0,25/12) = 0,02083 2 (0,24/12) = 0,02

3 (0,20/12) = 0,0167

C1 x 0,02083 x 48 + C2 x 0,02 x 42 + C3 x 0,0167 x 28 = 27591,80


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20

C1 x 0,02083 x 48 + 2C1 x 0,02 x 42 + 6C1 x 0,0167 x 28 = 27591,80

C1 + 1,68C1 + 2,8C1 = 27591,80 Logo C1 = 5035 e C3 = 5035 x 6 = 30210

Exerccios resolvidos:

l) Um artigo de preo vista igual a R$ 700,00 pode ser adquirido com entrada de 20 %mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8 % ao ms,qual o valor do pagamento devido?

Soluo:

valor a vista = 700,00; entrada : 20 % de 700,00 = 140,00;

valor a financiar : 700,00 140,00 = 560,00. Logo, temos que:

C = 560, 00, n = 45 dias = 1,5 meses e 8 %i = ao ms.Portanto , ( ) 627,201,580,01560,00 =+= SS .

Resposta: 627,20

OBSERVAAO: O valor a financiar, sempre a diferena entre o valor vista e aentrada.

2) Qual o juro de um capital de R$ 10.000,00 que aplicado por 8 dias taxa de 3% aomes?

Soluo:

10.000,00C = , a.m.%3i = e mesesn 8= 2400,0080,0310.000,00 ==J

Resposta: 2400,00

3) Um ttulo de 600,00R$ , vencido em 10/04/1999, somente foi pago em 22/06/1999.Admitindo-se que o banco cobre juros simples de 1 % ao dia, calcule o montante

desembolsado pelo devedor.Soluo:

C = 600,00; i = 1% a.d. ; n = 10/04 a 22/06 = 73 dias.

Portanto, ( ) 1038,001,7360073x0,011600 ==+=S

Resposta: 1038,00


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21

4) Uma loja vende um gravador por R$ 1.500,00 a vista. A prazo vende por R$1.800,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante aps um ano. Qual a taxa anualde juros cobrada?

Soluo:O valor a ser financiado o valor vista menos o que dado de entrada, ou seja,

1.300,00200,00-1.500,00 = . O cliente se compromete a devolver em um ano 1.600,00,logo o montante de 1.600,00, isto , os juros so de 300,00 e o perodo de um ano,temos ento que:

ao ano,.

ii. 2307000,3001

00,300100,3001300 === ou 23,07 % ao ano

Resposta: 23,07 % a.a. ou 0,2307 ao ano.

Exerccios para se testar:

1. Qual o valor do juro correspondente a um emprstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de18 meses, sabendo que a taxa cobrada de 3% ao ms?

R: 1728,00

2. Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado taxa de 30% ao ano, de2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.

R: 4380,00

3. Qual a taxa de juro cobrada em um emprstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado porR$ 2.700,00 no final de 2 anos?

R: 40% aa

4. A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?

RespostasR: 0,75%am

5. Um vestido vendido por R$ 250,00 ou ento por R$ 80,00 de entrada, mais umaparcela de R$ 178,50 aps 40 dias. Qual a taxa mensal de juros simples dofinanciamento?

R: 3,75% a.m.


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22

6. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital de R$ 1.500,00 a uma taxasimples de 1,4 % ao dia para produzir um montante de R$ 1.710,00?

R: 10 dias

7. Um certo tipo de aplicao a juros simples duplica em dois meses. Em quanto tempoessa aplicao render 700 % de juros?

R: 14 meses

8. Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicaes nomercado financeiro. Para tanto, aplica 60 % do capital numa alternativa deinvestimento que paga 34,2 % ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias. Aoutra parte aplicada em uma conta de poupana por 30 dias, sendo remunerada

pela taxa de 3,1 % ao ms. O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atingeR$ 1.562,40. Pede-se calcular o valor de todo o capital investido.Resp. : 33.527,90

9. Um emprstimo de R$ 42.000,00 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linearde 7 % ao ms. Em determinado momento o devedor resgata este emprstimo econtrai outro no valor de R$ 200.000,00 pagando 5 % de juros simples ao ms porcerto prazo. Aps dois anos de ter contrado o primeiro emprstimo, o devedorliquida sua divida remanescente. O total dos juros pagos nos dois emprstimostomados atinge R$ 180.000,00. Pede-se calcular os prazos referentes a cada um dosemprstimos.

Resp. : 8,5 meses e 15,5 meses respectivamente.

Auto-avaliao

1. Um investidor aplicou $1000,00 numa instituio financeira que remunera seusdepsitos a uma taxa de 5% ao ms, no regime de juros simples. Mostrar o crescimentodesse capital no final de cada ms, a contar da data da aplicao dos recursos, einformar o montante que poder ser retirado pelo investidor no final do 6 ms, aps aefetivao do ltimo depsito.

R:

Ms 0 Ms 1 Ms 2 Ms 3 Ms 4 Ms 5 Ms 61000 1050 1100 1150 1200 1250 1300


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23

Aula 3 JUROS COMPOSTOS

Objetivos


- Saber calcular as variveis que envolvem as questes de juros compostos;- Conhecer e saber utilizar a calculadora financeira HP12c.

Introduo

Agora que j avanamos no regime de capitalizao simples, temos que apresentar osistema composto. Cabe aqui ressaltar uma contradio interessante:

Regime simples Regime compostoVantagem Desvantagem Vantagem DesvantagemMais fcilresoluo

Presena certa emconcurso pblico

Normalmente noaparece emconcursos

Mais difcilresoluo

Podemos notar que a vantagem de um regime a desvantagem do outro. Como noBrasil usado o regime composto, muitas vezes os alunos questionam: mas porqueestudar o regime simples? Resposta: Porque voc vai querer passa em uma prova deconcurso pblico!

Regime composto o regime no qual ao final de cada perodo de capitalizao, os juros calculados soincorporados ao montante do incio do perodo e essa soma passa a render juros noperodo seguinte.

Vejamos como ficaria a tabela da aula anterior:

Juros CompostosPerodo Juros Montante

0 1000,001 100,00 1100,002 110,00 1210,003 121,00 1331,004 133,10 1464,10


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O grfico abaixo mostra com

Vamos agora comparar as du

O grfico comparativo seria a

Conforme podemos observarlinearmente, de acordo com

juros, isto , $ 100,00. J em j

1000

1100

1200

1300

1400

1500

0

JuPerodo Juros

01 100,002 100,003 100,004 100,00

mais clareza essa evoluo.

s tabelas?

guma coisa dessa forma:

a tabela e no grfico, o montante em juros simma progresso aritmtica cuja razo igual auros compostos, o crescimento exponencial,

1 2 3 4

ros Simples Juros CompostosMontante Juros Mont1000,00 10001100,00 100,00 11001200,00 110,00 12101300,00 121,00 13311400,00 133,10 1464

24

ples crescevalor dos

bedecendo

nte,00,00,00,00,10


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25

a uma progresso geomtrica de razo igual a 1 (um) mais a taxa da operao (Comosabemos, 10% igual a 0,1. Logo, a razo igual a 1,1).

Frmula geral para juros compostos

Vejamos o seguinte exemplo:

- $100,00 aplicados por 5 meses a uma taxa de 10% am:

A frmula usada para o calculo do juro mensal a conhecida J = Cin. Porm, como o n= 1, logoJ = Ci.

Montante no 1 msS1 = C + J S1 = 100 + 10 = 110

S1 = C + Ci S1 = 100 + (100x 0,1) = 100 + 10 = 110S1 = C (1+ i) S1 = 100 (1 + 0,1) = 100x 1,1 = 110

Montante no 2 msS2 = S1 + J2 S2 = 110 + (110x 0,1) = 110 + 11 = 121

Note que o valor utilizado para calcular o prximo juro no foi o capital inicial e sim omontante gerado aps o 1 ms. ISSO O JUROS SOBRE JUROS.

ComoJ2 = S1 x i, logo:

S2

= S1

+ (S1x i)

colocando S

1em evidncia, logo

S2 = S1x (1 + i) como S1 = C (1+ i)

S2 = C (1+ i)x (1 + i), ou seja, S2 = C (1+ i)2

Montante no 3 msS3 = S2 + J3 S3 = 121 + (121x 0,1) = 121 + 12 = 133

ComoJ3 = S2 x i, logo:

S3 = S2 + (S2x i) colocando S2 em evidncia, logo

S3 = S2x (1 + i) como S3 = C (1+ i)2


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26

S3 = C (1+ i)2x (1 + i), ou seja, S3 = C (1+ i)

3

ALTO L! Estou percebendo algo!Se para o montante 1 S = C (1+ i)Se para o montante 2 S = C (1+ i)2Se para o montante 3 S = C (1+ i)3

... ...Para o montante n S = C (1+ i)n

Estou certo?

R: SIM!

Dessa forma, para calcularmos o montante aps 5 meses?

S = C (1+ i)5

S = 100 (1+ 0,1)5

S = 100x 1,61051 = 161,051

Exerccios clssicos:

Existem basicamente quatro tipos de exerccios de juros compostos:

1) QUERO O MONTANTE (VALOR FUTURO): Qual o montante gerado por umcapital de $2000 que rende 3%am por 4 meses?

Soluo:

S = 2000 (1 + 0,03)4 = 2251,017

2) QUERO O CAPITAL (VALOR PRESENTE): Qual o capital que gera $2251,017 seaplicado a 3%am por 4 meses?

Soluo:2251,017 = C (1 + 0,03)4

C =,

,= 2000

3) QUERO O PRAZO: Em quanto tempo um capital de $2000 gera um montante de$2251,017 se ele rende 3%am?


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27

Soluo:

2251,017 = 2000 (1 + 0,03)n,

= 1 + 0,03n

1,125509 = 1,03n

1,03n = 1,125509

Uma das opes para sair dessa expresso partir para uma calculadora cientfica quetenha a funo LOG. Isso porque log AB = B log A. Assim:

log 1,03n = log 1,125509 (essa resposta a mquina d)

n log 1,03 (essa 2 resposta a mquina d) = 0,0514388

nx 0,012837 = 0,0514388

n =

,

, = 4Obs: achou essa sada ruim? Prepare-se para a prxima!

4) QUERO A TAXA: Qual a rentabilidade de um capital de $2000 que gera ummontante de $2251,017 em 4 meses?

Soluo:

2251,017 = 2000 (1 + i)4,

= (1 + i) 4

1,125509 = (1 + i) 4

1,125509 = 1 + i

1,03 = 1 + i

i = 0,03 ou 3%

Como nem toda mquina tem a funo voc s tem 2 opes:

1) Lembrar que

= y1/x

2) Ter uma calculadora financeira do tipo HP12c


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28

Calma! No precisa fuar os sites de cotao de preos para buscar a mais barata, vocpode baixar um simulador na internet que tem em torno de 200Kb! S isso mesmo!

Na pgina http://superdownloads.uol.com.br/download/160/hp-12c-emulator/ vocpoder baixar esse simulador.

ALGUMAS INFORMAES SOBRE O MANUSEIO DA MQUINA!

Para comear no se assuste com o fato de que a mquina tem sinal de = (igual), isso fazparte do processo de clculo dela. O importante decorar as funes e utilizar damelhor maneira.

1) Ligando e desligando:

Na tecla ON.

Muitos se perguntam por que a mquina tem . (ponto) para separar o inteiro do decimale , (virgula) para separar os milhares? Porque assim que se escreve formata nosEstados Unidos da Amrica. Para mudar ao modelo brasileiro basta manter apertada atecla . quando voc ligar a mquina.

2) Acionando as funes coloridas:

A calculadora possui funes escritas em amarelo e azul, para acion-los basta apertarantes as teclas f e g , respectivamente.

3) Alterando as casas decimais:Basta apertar a tecla f e em seguida o nmero de casas desejada. Exemplo: para 2casas digite f e 2.

4) Para limpar o que est no visor:

Basta apertar a tecla clx .


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30

Abaixo do visor voc ver as teclas correspondentes as variveis financeiras, pararesolver os exerccios voc deve inserir as variveis que tem, digitando sempre emseguida a tecla que elas correspondem e deixar para ltima a que voc quer saber. Dessaforma, ao clicar sobre a ultima aparecer no visor a resposta. VEJAMOS:

Repetindo os exercicios1) QUERO O MONTANTE (VALOR FUTURO): Qual o montante gerado por umcapital de $2000 que rende 3%am por 4 meses?

Soluo:

Digite:

2000 PV

3 i

4 n

E, por fim, digite FV aparecer no visor: -2251,017

Obs1: como a calculadora trabalha com fluxo de caixa, se o PV foi informado comopositivo o FV tem que ser negativo. Por isso a resposta -2251,017. Trocando emmidos: Se voc recebeu $2000 ter que pagar $2251,017 (por isso negativo).

Obs2: NO SE ESQUEA DE APERTAR f e depois clx AO FINAL, PARALIMPAR TODO O REGISTRO E NO ATRAPALHAR A PROXIMA OPERAO.FAA ISSO SEMPRE!

2) QUERO O CAPITAL (VALOR PRESENTE): Qual o capital que gera $2251,017 seaplicado a 3%am por 4 meses?

Soluo:

Digite:

2251,017 FV

3 i

4 n

E, por fim, digite PV aparecer no visor: -2000

3) QUERO O PRAZO: Em quanto tempo um capital de $2000 gera um montante de$2251,017 se ele rende 3%am?

Soluo:

Digite:

2251,017 FV

3 i


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E, por f

Mais uma vez: Se FV foi posi

REPARA

4) QUERO A TAXA: Qualmontante de $2251,017 em 4

Soluo:

Digite:

E, por

O Fluxo de Caixa

O diagrama de fluxo de caixade elementos da matemticrepresentadas por diagramas,

Utilizando um diagrama deseguinte maneira a operaocom juros e sem entrada, em

2000 CHS PV

im, digite n aparecer no visor: 4

ivo o PV negativo, por isso CHS e PV.

AM QUE NO TEM MAIS LOG!!!!

a rentabilidade de um capital de $2000 queses?

2251,017 FV

4 n

2000 CHS PV

im, digite i aparecer no visor: 3

uma ferramenta importante para facilitar a cofinanceira. Usualmente as transaes finan

onforme o seguinte grfico:

fluxo de caixa, podemos, por exemplo, repre compra de um bem no valor de $1000, parauatro prestaes mensais de $ 300:

31

gera um

mpreensoceiras so

esentar daagamento,


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Exerccios

1) Uma pessoa toma R$ 1.00meses com capitalizao co

Soluo:

C = 1.000,00; i = 2 % ao m

( ) 1000100,0211000 =+=S

E, por fim,

6) Qual o capital que aplicadomontante igual a R$ 225.23

Soluo:

S = 225.232,40; i = 2 % a;m.

( ) 60,02140,232.225 += C

E, por fim, di

,00 emprestado a juros de 2 % ao ms pelo pmposta. Qual o montante a ser devolvido?

s e n = 10 m

1.218,99S1,218994 = .


Ou, na HP12c

1000 PV

2 i

10 n

igite FV aparecer no visor: -1218,99

taxa composta de 2 % ao ms durante um se2,40?

; n= 1 semestre = 6 meses; C = ?

( )200.00C

12162419,1

225.232,40

602,1

225.232,40 ==C

Resposta: R$ 200.000,00

Ou, na HP12c

225323,40 FV

2 i

6 n

gite PV aparecer no visor: -200000

32

razo de 10

estre gera

,00


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33

7) Determinar o tempo necessrio para o capital de R$ 20.000,00 gerar um montante de28.142,00R$ quando aplicado taxa composta de 5 % ao ms?

Soluo:

C = 20.000,00; S= 28.142,00; i = 5 % ao ms; n = ?

( ) ( ) ( ) 4071,11,0520.000,00

28.142,001,050,051,0020.00000,142.28 ==+= nnn

( ) ( )( )

( )7

1,05log

1,4071log1,4071log1,05log == nnn .

Resposta: 7 meses

Ou, na HP12c

28142 CHS FV

5 i

20000 PV

E, por fim, digite n aparecer no visor: 7

8) A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar R$ 40.000,00 para obtermosmontante igual a R$ 56.197,12 ao fim de um trimestre?

Soluo:

C = 40.000,00: S= 56.197,12; n = l trimestre = 3 meses; i = ?

( ) ( ) ( )

msao%12oum.a.0,121-1,12i1,12i1

3 404928,1i11,4049283i1000.40

56.197,123i13i140.00012,197.56

===+

=+=+=++=

Resposta: 12 % ao ms

Ou, na HP12c

56197,12 FV

40000 CHS PV

3 n

E, por fim, digite i aparecer no visor: 12

Exerccio com fluxo de caixa:

Tambm podem aparecer questes do tipo:


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34

1) Resolva:

2880

a) 0 n perodosi = 5 % a.

2400

Na HP12c

2880 CHS FV

5 i

2400 PV

E, por fim, digite n aparecer no visor: 4

Exerccios para voc fazer:

1. Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 taxa efetiva de 15% am?

Resposta: 11 meses

2. A rentabilidade efetiva de um investimento de 10% aa. Se os juros ganhos foremde R$27.473,00, sobre um capital investido de R$ 83.000,00, quanto tempo o capitalficar aplicado?

Resposta: 3 anos

3. Um investidor aplica um capital e obtm um montante aps n perodos segundo oregime de capitalizao composta. Calcule o valor de n em cada operao:

2,25C

a) 0 n perodosC i = 50 % a.p Resp.: 2 perodos


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35

2778,30i = 5 % a.p.

b) 0 n perodos2400

Resp.: 3 perodos5856,40

i = 10 % a.p.c) 0 n perodos

4000 Resp.: 4 perodos2C

i = 2 % a.p.d) 0 n perodos

C Resp.: 35 perodos

4. Vera comprou um aparelho e vai pag-lo em duas prestaes; a l , de R$ 180,00, umms aps a compra e a 2 , de R$ 200,00, de dois meses aps a compra Sabendo-seque esto sendo cobrados juros compostos de 25 % ao ms, qual era o preo vistado aparelho ?

Resp. : R$ 272,00

5. Dois capitais C1 e C2 que esto na razo de trs para cinco foram aplicados a juros

compostos e a juros simples, respectivamente. Se a aplicao foi de cinco meses taxa de 4 % ao ms. Determine a razo entre os montantes S1 e S2.

Resp. : 0,6083

6. Um capital de R$ 1.500,00 esteve aplicado durante 2 meses, produzindo R$ 315,00de juros compostos. Qual foi a taxa efetiva mensal aplicada?Resp. : 10 %

7. Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 e aps um ano recebeu 18.782,87 de juros. Qualfoi a taxa de juros mensal (capitalizao composta) paga pela financeira onde o

dinheiro foi aplicado?Resp.: 7 % a.m.

8. Se eu quiser comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, quando devo aplicar hojepara daqui a dois anos possua tal valor ? Considerar as seguintes taxas de aplicao(capitalizao composta):

a) 2,5 % a.m. R: R$ 33.172,52


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36

b) 10 % a.s. R: R$ 40.980,81

c) 20 % a.a. R: R$ 41.666,67

Auto-avaliao1) Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituio financeira que remunera seusdepsitos a uma taxa de 5% ao ms, no regime de juros compostos. Mostrar ocrescimento desse capital no final de cada ms, a contar da data da aplicao dosrecursos, e informar o montante que poder ser retirado pelo investidor no final do 6ms, aps a efetivao do ltimo depsito.

Resposta

Ms 0 Ms 1 Ms 2 Ms 3 Ms 4 Ms 5 Ms 61000 1050 1102,5 1157,62 1215,51 1276,28 1340,09

2) O conceito de juros e suas propriedades desempenham um papel fundamental noestudo da Matemtica Financeira. Antes de prosseguir esclarea todas as suas duvidas.Procure os seus colegas no plo, troque solues com eles e converse sobre o que voc

j aprendeu.


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Aula 4 ESTUDO DAS TAXAS

Objetivos


- Entender o conceito de taxa proporcional e taxa equivalente.- Entender o conceito de taxa nominal e taxa efetiva.

- Interpretar e resolver os problemas propostos.

Introduo

Apesar da dificuldade apresentada por alguns dos exerccios anteriores, at agora, arelao entre o perodo n e a taxa i sempre estava sendo mantida, ou seja, se a taxa eraapresentada ao ms (por exemplo) a resposta do perodo era em mesas e assim aoinverso.

Porm, agora vamos complicar um pouco. Apresentaremos uma srie de relaes ondeperodo e taxa estaro desalinhados, precisando assim de um ajuste prvio.CHAMAMOS ISSO DE RELAES PROPORCIONAIS OU EQUIVALENTES.

Taxas proporcionais

Chamamos proporcionais aquelas que se equivalem no regime de capitalizao simples.Como vimos anteriormente, em juros simples temos o crescimento linear do capital

(progresso aritmtica). A converso de taxas em juros simples muito fcil, norequerendo mais do que uma diviso ou multiplicao.

Tomando os valores da tabela abaixo como exemplo, percebemos facilmente que, emuma aplicao trimestral, 10% a.m. igual a 30% a.t. Para determinarmos a taxatrimestral correspondente a uma taxa mensal em juros simples basta multiplic-la por 3.

A taxa de 30% a.t. aplicada por um trimestre, possui, portanto, no regime decapitalizao simples, o mesmo efeito de uma aplicao taxa de 10% a.m. durante trsmeses.

Juros SimplesPerodo Juros Montante

0 1000,00

1 100,00 1100,002 100,00 1200,003 100,00 1300,004 100,00 1400,00


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38

Se quisermos, por exemplo, determinarmos a taxa mensal correspondente a uma taxaanual de 24%, basta dividi-la por 12. Assim, 2% a.m. (=24% 12) corresponde a 24%a.a.

ATENO

Quando desejamos transformar uma taxa anual em taxa diria, devemos estar atentos aouso do ano civil ou do ano comercial. No primeiro caso, devemos dividir a taxa anualpor 365 (ou 366 em anos bissextos), no segundo caso, dividimos por 360.

CURIOSIDADE

Exemplo:

As taxas 72 % a.a., 36 % a.s., 18 % a.t so proporcionais, pois se tomarmos meses como

unidade de tempo, teremos1

%6

3

%18

6

%36

12

%72===

Taxas equivalentes

Denominamos taxas equivalentes quelas que so fornecidas em tempos diferentes eproduzem um mesmo montante ao final de um determinado prazo. Tomemos, oexemplo da tabela abaixo:

Observe que a aplicao por trs meses, taxa de 10% a.m., proporciona umrendimento igual a 33,1% a.t. aplicada por um trimestre.

Juros CompostosPerodo Juros Montante

0 1000,00

1 100,00 1100,002 110,00 1210,003 121,00 1331,004 133,10 1464,10

O ano comercial uma conveno para contornar o problema da variao do nmerode dias que ocorre no ano civil.


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39

Podemos perceber que no h proporcionalidade no regime de juros compostos, pois,sendo exponencial seu crescimento, a relao entre as taxas obedece a uma operao depotncia:

(1 + 10%) elevado a 3, que igual a (1 + 33,1%);

em juros simples seria [1+(10% vezes 3)], que igual a (1+30%)

Podemos calcular as taxas equivalentes utilizando a seguinte regra:

1) Igualando os fatores das taxas;

2) Igualando as relaes exponenciais.

Vejamos o exemplo:SAINDO DE UM PERODO MENOR PARA OUTRO MAIOR: Uma taxa de 10% aoms equivale a quantos % ao quadrimestre?

1 passo: igualar os fatores das taxas. Logo (1 + i) o fator que quero descobrir e (1 +0,1), ou melhor, (1,1) o fator para 10% que eu tenho;

2 passo: igualar os expoentes. Eu sei que a relao entre quadrimestre e ms de 4 para1, respectivamente. Assim, em cima de (1 + i) devo escrever 1 relativo a apenas umperodo. Em cima de (1,1) devo escrever 4, pois 1 quadrimestre tem quatro meses.

Quero descobrir TenhoRelao 1 quadrimestre = 4 meses

Fator (1 + i) = (1 + 0,1)

Dessa forma, a expresso algbrica fica:

Quadrimestre = Ms

(1 + i)1 = (1,1)4

(1 + i) = 1,4641

i = 1,4641 - 1

i = 0,4641 ou 46,41% ao quadrimestre

PARA QUEM quer calcular direto na HP12c:

Digite:

1,1 ENTER


40/127

40

4 Yx

1 -

100 x

Resposta: 46,41

Exemplo 2:

SAINDO DE UM PERODO MAIOR PARA OUTRO MENOR: Uma taxa de 50% aosemestre equivale a quantos % ao ms?

A expresso algbrica fica:

QUERO TENHO

Ms = Semestre

(1 + i) = (1,5)1 *

(1 + i) = 1,5

i = 1,069913 - 1

i = 0,069913 ou 6,99% ao ms

* Pois 6 meses equivalem a 1 semestre.


Digite:

1,5 ENTER

6 1/x Yx

1 -

100 x

Resposta: 6,99

Exemplos:

1) Calcular a taxa anual ai de juros compostos equivalente as seguintes taxas:

a) 1 % a.m. b) 2 % a.t.

c) 5 % a.q. d) 10 % a.s.

Soluo:

a) Seja: =mi 1 % ao ms (taxa mensal) e ai a taxa anual equivalente;

Como 1 ano = 12 meses, devemos ter ( ) ( )12111 miai +=+ ( ) ( )1201,111 =+ ai


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41

126825,01126825,1 ==ai ao ano ou 6825,12=ai % ao ano.

Resposta: 12,6824 % ao ano

b) Seja: =ti 2 % ao trimestre (taxa trimestral) e ai a taxa anual equivalente;

Como 1 ano = 4 trimestres, devemos ter ( ) ( )4111 tiai +=+ ( ) ( )402,111 =+ ai



c) Seja: =qi 5 % ao quadrimestre (taxa quadrimestral) e ai a taxa anual equivalente;

Como 1 ano = 3 meses, devemos ter ( ) ( )3111 qiai +=+ ( ) ( ) 305,111 =+ ai



d) Seja: =si 10 % ao semestre (taxa semestral) e ai a taxa anual equivalente;

Como 1 ano = 2 semestres, devemos ter ( ) ( ) 2111 siai +=+ ( ) ( )121,111 =+ ai

21,0121,1 ==ai ao ano ou 21=ai % ao ano.

Resposta: 21 % ao ano

2) Calcular as taxas equivalentes a 20 % a.a., conforme solicitado abaixo:

a) taxa semestral

b) taxa quadrimestral

c) taxa trimestral

d) taxa mensal

Soluo:

a) Seja: 20=ai % o ano (taxa anual) e si a taxa semestral equivalente;

Como 1 ano = 2 semestres, tem-se ento que ( ) ( ) 1121 1aisi +=+

( ) ( )12,0121 1 +=+ si


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42

( ) 2,11 =+ si 1095445,1 =si 095445,0=si a.s ou 5445,9=si % ao semestre

Resposta: 9,5445 % ao semestre

b) Seja: 20=ai % ao ano (taxa anual) e qi a taxa quadrimestral equivalente;

Como 1 ano = 3 quadrimestres, tem-se ento que ( ) ( ) 1131 1aiqi +=+

( ) ( )12,0131 1 +=+ qi ( ) 3 2,11 =+ qi 1062659,1 =qi 062659,0=si a.q ou2659,6=qi % quadrimestre.

Resposta: 6,2659 % ao quadrimestre

c) Seja: 20=ai % ao ano (taxa anual) e ti a taxa trimestral equivalente;

Como 1 ano = 4 trimestres, tem-se ento que ( ) ( ) 1141 1aiti +=+

( ) ( )120141 1 ,ti +=+ ( )4 211 ,ti =+ 10466351 = ,ti 0466350,i = a.t ou

66354,ti = % ao trimestre.

Resposta: 4,6635 % ao trimestre

d) Seja: 20=ai % ao ano (taxa anual) e mi a taxa mensal equivalente;

Como 1 ano = 12 meses, tem-se ento que ( ) ( ) 11121 1aimi +=+

( ) ( )1201121 1 ,mi +=+ ( )12 211 ,mi =+ 10153091 = ,mi 0153090,mi = a.m.

ou 53091,mi = % ao ms.

Resposta: 1,5309 % ao ms

3) Um corretor de ttulos prope a seu cliente uma aplicao cuja rentabilidade de 40

% ao ano. O investidor soube de um outro investimento, onde pode ganhar 9 % aotrimestre. Qual ser sua escolha?

Soluo:

Podemos comparar as duas alternativas, verificando se suas taxas so equivalentes.Pode-se calcular, por exemplo, a taxa anual equivalente a 9 % a.t., neste caso, como 1ano = 4 trimestres tem-se que:

( ) ( ) a.a.%1641oua.a.411582041158214090111 ,ai,ai,,ai ==+=+


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43

Resposta: Portanto, aplicar a 9 % a.t. melhor do que aplicar a 40 % a.a.

4) O preo de uma mercadoria de R$ 2.000,00, sendo financiada at 3 meses. Casoopte por pagar a vista, a loja oferece um desconto de 10 %. Sabendo-se que a taxade mercado de 40 % a..a., vale a pena comprar a prazo?

Soluo:O preo da mercadoria a vista de R$ 1.800,00, isto , 90 % de R$ 2.000,00. Devemos

calcular a taxa a que est sendo cobrada na operao. Tem-se ento que:

( ) a.m.%57,3iou0,035744i035744,13 111111,131800

2000i13i118002000 ====++=

Como 1 ano = 12 meses, taxa anual ai equivalente a esta taxa mensal de 3,57 % serdada por:

( ) ( ) 52338015233811203570111 ,,ai,

ai ==+=+ ao ano ou 33852,

ai = % ao

ano, logo a taxa de financiamento da loja maior do que a taxa de juros do mercado.

Resposta: melhor comprar a vista.

Taxas nominais

Chamamos taxa nominal, a taxa de juros cuja unidade de referncia dos perodos nocoincide com o perodo de capitalizao, como, por exemplo, 12% a.a. capitalizadosmensalmente. Observe que a taxa anual, mas informado que a capitalizao mensal.

Este o dos rendimentos da caderneta de poupana. Voc j deve ter ouvido que apoupana rende 6% a.a., mas tambm deve ter ouvido que rende 0,5% a.m. Devemosexpressar a taxa da caderneta de poupana em termos anuais da seguinte forma: 6% a.a.com capitalizao mensal.

Ainda utilizando o exemplo da poupana, as taxas nominais devem ser divididas pelonmero de perodos de capitalizao (6% 12 = 0,5%), como se fosse uma taxaproporcional de juros simples, mas na verdade ela capitalizada por juros compostos.

Para chegar a taxa anual equivalente devemos agir conforme foi explicado emequivalncia de taxas em juros compostos.

QUERO TENHO

Ano = Ms

(1 + i)1 = (1,005)12


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44

(1 + i) = 1,061678

i = 1,061678 1

i = 0,061678 ou 6,1678% ao ano

PARA QUEM quer calcular direto na HP12c:Digite:

1,005 ENTER

12 Yx

1 -

100 x

Resposta: 6,1678

A resposta de 6,1678% na realidade a taxa efetiva anual da caderneta de poupana.Mas o que TAXA EFETIVA?

Taxas efetivas

So muitos os fatores que mascaram o valor efetivo das transaes financeiras. Umdeles, como acabamos de ver, expressar a taxa praticada no formato nominal. Nessecaso, o custo efetivo ser maior do que o expresso nominalmente.

Por exemplo, qual o custo efetivo anual de uma taxa de 36% a.a. com capitalizaomensal? Primeiro, dividimos por 12 para calcular quanto ela representa em termos

mensais.36% / 12 = 3% ao ms

Depois, com o artifcio utilizado para a determinao de taxas equivalentes, lanamosna seguinte conta:

QUERO TENHO

Ano = Ms

(1 + i)1 = (1,03)12

(1 + i) = 1,425761

i = 1,425761 1

i = 0,425761 ou 42,5761% ao ano


Digite:

1,03 ENTER


45/127

45

12 Yx

1 -

100 x

Resposta: 42,5761

ATENO

Voc pode estar se perguntando se alguma instituiopoderia cobrar de um consumidor uma taxa nominal.Sendo ela dividida pelo nmero de perodos decapitalizao, mas computada em regime de juroscompostos, resultar numa taxa maior do que sugerido.

Como consumidor, no se preocupe, pois o Cdigo de Defesa do Consumidor (Lei n8078/1990) obriga, em seu art.52, que o fornecedor informe a taxa efetiva datransao.

Exerccios:

1) taxa nominal de 60 % ao ano com capitalizao mensal.

Como 1 ano = 12 meses ento, a taxa efetiva mensal ser de msao%512

60= .

2) taxa nominal de 60 % ao ano com capitalizao bimestral.

Como 1 ano = 6 bimestres ento, a taxa efetiva ser de bimestreao%106

60= .

3) taxa nominal de 60 % ao ano com capitalizao trimestral.

Como 1 ano = 4 trimestres ento, a taxa efetiva ser de trimestreao%154

60=

4) Se aplicarmos R$ 10.000,00 taxa de 36 % ao ano, capitalizada mensalmente, qual omontante obtido ano final do ano?

Soluo:

A taxa de anoao%36 nominal, pois seu perodo que anual diferente doperodo de capitalizao que mensal; logo, considerando a relao entre as unidades

de tempo dessas taxas, a taxa efetiva da operao proporcional a taxa dada, ou seja,como meses12ano1 = , ento a taxa efetiva i ser dada por msao%3

12

36==i .

Portanto o montante Sser obtido por:

( ) 60,257.1442576,1000.101203,01000.10 ==+= SS .



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Exerccios para voc fazer

1) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente taxa de 9 % ao quadrimestre?

R: 6,75 %

2) Qual a taxa anual equivalente a taxa nominal anual de 20 % capitalizadossemestralmente?

R: 21 %

3) Uma empresa aplica R$ 20.000,00 taxa de juros compostos de 20 % a.a., por 36meses. Qual a taxa que mais se aproxima da taxa proporcional bimestral dessaoperao?

R: 4,04 %

4) Calcule a taxa equivalente, mensal, de 41,3% aa.

R: 2,9228602% am

5) Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano,com capitalizao mensal.

R: 12,6162419% as

6) Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao

ano, com capitalizao bimestral.R: 4,5335831% at

7) Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, comcapitalizao mensal?

R: 6,1677812% aa

8) Que taxa efetiva bimestral corresponde taxa nominal de 9% ao trimestre, comcapitalizao mensal?

R: 6,09% ab

Auto-avaliao

Se voc conseguiu resolver os exerccios propostos, parabns, caso contrrio nodesanime. Reveja os conceitos e os exemplos e procure sanar as dvidas com os tutores.No acumule dvidas, pois muitos desse conceitos aparecero novamente em outrocontexto.


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Aula 5 OPERAES DE DESCONTO NA CAPITALIZAO SIMPLES

Objetivos: Ao final da aula voc ser capaz de:- Entender o conceito de desconto;- Entender de valor nominal, valor atual e prazo de antecipao de um ttulo;- Entender os conceitos envolvendo o desconto por dentro ou racional e o

desconto por fora ou comercial na capitalizao simples;- Interpretar e resolver os problemas propostos.

IntroduoQuando uma pessoa fsica ou jurdica toma uma quantia emprestada, assume uma dvidaque dever ser paga no futuro. Para que esse compromisso seja firmado, o credor recebeum documento chamado ttulo, com o qual pode provar publicamente que a pessoaque deve receber quela quantia em determinada data. Os ttulos mais usados ememprstimos so: a nota promissria e a duplicata.

A nota promissria um ttulo de crdito que corresponde a uma promessa de

pagamento futuro. Ela e muito usada entre pessoas fsicas. A duplicata um ttuloemitido por uma pessoa jurdica contra o seu cliente (pessoa fsica ou jurdica) para qualvende mercadoria a prazo ou prestou servios que sero pagos no futuro.

No dia a dia tambm costumamos usar um ttulo nas compras, principalmente as devalores mais elevados, que so os cheques pr-datados. Muitas vezes, as empresas querecebem estes cheques optam por troc-loscom alguma instituio financeira parasaldar alguma dvida momentnea.

NOTA:Algumas instituies financeiras apenas pegam o cheque pr-datado como garantia de

pagamento futuro. Isso quer dizer que, se o cheque no compensar, a conta da empresaque o descontou ser debitada pelo banco e caber a ela tentar receber o dinheiro dodono do cheque. Por outro lado, algumas instituies COMPRAM o cheque, assumindopara si o risco do no pagamento. Nesse caso, caber a essa instituio tentar receber odinheiro.

CABER A VOC, ADMINISTRADOR, DECIDIR ENTRE AS OPES DETROCAR OU VENDER O CHEQUE. MAS LEMBRE-SE: NA SEGUNDA OPO,

O VALOR DO DESCONTO SER MAIOR DO QUE A PRIMEIRA.ENTRETANTO, PARA OS CHAMADOS CHEQUES INCOBRVEIS, UMA BOA

OPO.

Valor nominal, valor atual e prazo de antecipao:O valor nominal (valor de face) de um compromisso quanto ele vale na data do seuvencimento, enquanto que valor atual (valor descontado ou valor lquido ou aindavalor pago) um valor que ele adquire numa data que antecede ao seu vencimento. Ointervalo de tempo entre a data em que o ttulo negociado e a data de vencimento domesmo e oprazo de antecipao.

Desconto


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a diferena entre o valor nominal de um ttulo e seu valor atual. Desconto, tambm,pode ser definido como o abatimento a que o devedor faz jus quando antecipa opagamento de um ttulo.

N (valor nominal)

V (valor atual)

i 0 n (perodo)

Desconto por dentro (racional ou real) o desconto rd que determina um valor atual V que, corrigido nas condies demercado (taxa, prazo de antecipao e capitalizao), tem para montante o valornominal N. Ou seja, rd so os juros que so incorporados ao capital V para reproduzir

N. No Desconto por dentro, ou desconto racional ou desconto real, o valor dereferencia para o clculo porcentual do desconto o valor atual ou lquido.

Dessa forma, o valor do desconto ser determinado pela frmula:

DESCONTO = Vx dx n, onde:

V = valor atual (ou PV);d = taxa utilizada (tal qual i);n = nmero de perodos.

Desconto por fora ou comercial

O desconto por fora ou comercial cd o juro calculado sobre o valor nominal V, uma taxa chamada taxa de desconto, durante o tempo que decorre da data da transaoat a data de vencimento do ttulo. No desconto por fora ou comercial, a refernciapara o clculo porcentual do desconto, o valor nominal N.

DESCONTO = Nx dx n, onde:

N = valor nominal (ou FV);d = taxa utilizada (tal qual i);n = nmero de perodos.

Desconto nacapitalizao simples:a) Desconto por dentro racional ou real:Nesse caso sabe-se que a base do desconto valor atual racional rV considerando a

taxa i e o prazo de antecipao n , temos ento que o desconto rd ser dado pordr= Vrx i x n, e como


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49

( )ni

NrVnirVNnirVrVNnirVNrVrdNrV

+=+=+===

11

Repare que a frmula apresentada a mesma do juro simples (apenas substituindo asletras V e N por PV e FV, respectivamente).

Em muitos exerccios, e principalmente no dia a dia, o que queremos descobrir o valorde V. Dessa forma, devemos desenvolver outra equao que elimine a incgnita V dafrmula.

Nesse caso, seria:

ComoDr= Vx dx n, eDr= NV,e

nd

NV

+=

1 , ento, substituindo a 2 sentena na terceira:

ndNNDr

+=

1

Simplificando:

nd

NdnDr

+=

1

NOTA:

Os livros de Matemtica Financeira usam para simbolizar a taxa de desconto tanto aletra i quanto a letra d. Eles tambm usam para se referir ao valor do desconto tanto aletraD quanto a combinaoDr (referncia ao desconto racional). A mesma diferenade simbologia tambm encontrada no valor atual, que pode ser representado por VouVr.

NESSE LIVRO, VOC DEVER SE ACOSTUMAR COM TODAS ESSASNOTAES.

b) Desconto por fora comercial ou bancrio:Nesse caso sabe-se que a base do desconto valor nominal N considerando a taxa i e

o prazo de antecipao n , temos ento que o desconto cd ser dado por niNcd = .O valor comercial cV pode ser obtido atravs da equao c

dNcV = , isto , temos

ento que:

( )ni

cVNniNcVniNNcV

===1

1 .


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OBSERVAO:Se consideradas as mesmas condies, isto , o mesmo valor nominal N o mesmoprazo de antecipao n e a mesma taxa de desconto i , o desconto comercial cd

sempre maior do que o desconto racional rd , ou seja, o valor atual racional rA

sempre maior do que o valor atual comercial cV

Exemplos1) Um ttulo com valor nominal de R$ 8.800,00 foi resgatado dois meses antes do seu

vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples taxa 60 %a.m. Nesse caso, qual foi o valor pago pelo ttulo?

Soluo: Temos que:

=

=

=

)60

min00,800.8

simplesracionaldescontode( taxa% ao msi

o)e antecipa( prazo ddois mesesn

lo )al do ttuo( valor nN

Como no desconto racional simples a relao entre o valor nominal N e o valor atualcV dada por ( )nirVN += 1 , tem-se que

( )26,018800,00 += rV 00,000.42,200,800.8

== rVrV


2) Um ttulo, ao ser descontado racionalmente 45 dias antes do vencimento, taxa linearde msao%6 , teve valor atual igual a R$ 2.500,00. Qual o valor de face dessettulo?

Soluo: Temos que:

=

==

=

)6

5,145

00,500.2

simplesracionaldescontode( taxa% ao msi

ipao)o de antecms ( prazdiasn

)do ttuloracionaltual( valor arV

Como ( )nirVN += 1 , temos que:

( ) 09,1500.245002,0100,500.2 =+=N 007252 ,.N = Resposta: R$ 2.725,00

3) Qual o desconto racional simples sofrido por um ttulo de R$ 6.715,60 descontado a24 % ao ano em um ms e quinze dias?

Soluo:

Temos que:

=

==

=

)24

ms1,5diasquinzeems1

min60,715.6

simplesracionaldescontode( taxa% ao anoi

o)e antecipa( prazo dn



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No desconto racional simples, a relao entre o valor nominal N e o valor atual V

dada atravs da equao ( )( )ni

NrVnirVN

+=+=

11 .

00,520.65,102,01

60,715.6=

+= rVrV . Como rVNr

d = , temos ento que:

= 005206607156 ,.,.rd 60195,rd = Resposta: 195,20

4) Uma letra de valor nominal igual a R$ 2.400,00 sofre um desconto comercial simples taxa de 6% ao ms, cem dias antes do seu vencimento. Obter o desconto e o valordescontado.

Soluo: Temos que:

==

=

=

)%2,06

dias001

min00,400.2

simplescomercialdescontodedia ( taxaao% ao msi



Como niNcd = , tem-se ento que 100002,000,400.2 =cd 00480,cd = . Por

outro lado, sabe-se que cdNcV = , logo 00,48000,400.2 =cV 00,920.1=cV .

Resposta: R$ 480,00 e R$ 1920,00

OBSERVAO:Do ponto de vista da instituio financeira, na operao de desconto comercial simples,foi feito um investimento. Ela antecipa o pagamento do ttulo mediante um desconto,para receb-lo no vencimento o seu valor de face ou valor nominal. Ou seja, o descontodado, o juro recebido pela instituio financeira na operao. Portanto, a taxa de juros

efetiva da operao ser dada porcVc

d

. Esta taxa sempre maior do que a taxa de

desconto.

No exemplo anterior, a taxa linear efetiva de ganho dada por 2501920

480,= em 100

dias ou 0,075 ao ms, ou ainda 7,5 % ao ms.

Pode tambm determinar essa taxa, lembrando que a instituio financeira aplicou1.920,00 em 100 dias e recebeu um montante de 2.400,00 , portanto a taxa linear i dessa operao ser dada por

( ) 0025,025,0100100100,192000,400.2 ==+= iii ao dia ou 250,i = % aodia ou ainda 57,i = % ao ms.

5) Determinar o valor nominal de um ttulo que, descontado comercialmente sessentadias antes do vencimento taxa linear de 12 % ao ms, resultou um valor descontadode R$ 608,00.


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52

Soluo:

=

==

=

)12

ms2dias60

00,608

simplescomercialdescontode( taxa% ao msi


)do ttulocomercialtual( valor acV

Sabemos que no desconto comercial simples ( ) nicV

NniNcV == 11 , temosento que :

( ) 00,80076,0

00,60812,02100,608 === NNN

Resposta: R$ 800,00

6) Uma duplicata de valor nominal de R$ 60.000,00 foi descontada num banco doismeses antes do vencimento. A taxa de desconto comercial simples usada naoperao, foi de 2,8 % ao ms. Sabe-se ainda que o banco cobra um taxa de 1,5 %sobre o valor nominal do ttulo, para cobrir despesas administrativas, descontados epagos integralmente no momento da liberao dos recursos. Determinar o desconto e

o valor descontado e a taxa efetiva da operao.

Soluo:

=

=

=

)8,2

2

min00,000.60

simplescomercialdescontode( taxa% ao msi

ecipao)azo de antmeses ( prn


Como niNcd = , ento nesse caso temos que 2028,000,000.60 =cd

00,360.3=cd .Portanto, o valor atual comercial Vc ser dado por

00,640.5600,360.300,000.60 ==cV .

Por outro lado, sabe-se que o banco cobra uma comisso de %5,1 sobre o valornominal do ttulo, ou seja, 900,000,01500,000.60 = .

Logo o valor lquido recebido pelo portador da duplicata ser dado por55.740,00900,0000,640.56 = .

Do ponto de vista do banco, esta foi uma operao de um emprstimo de 00,740.55R$ que render os juros simples em dois meses um montante de 60.000,00R$ , isto , um

juros de 4.260,00R$ . Logo a taxa de juros simples mensal i dessa operao serobtida por:

msao038213,000,480.111

00,260.4200,740.554.260,00 === iii , isto ,

%82,3=i ao ms.

Resposta: R$ 4.260,00 R$ 55.740,00 e 3,82 % ao ms.


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7) Uma nota promissria foi descontada comercialmente a uma taxa linear de 5 % aoms, quinze meses antes do seu vencimento. Se o desconto fosse racional simples,qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual valor?

Soluo:

=

=

ecipao)azo de antmeses ( prn

simplescomercialdescontodetaxaao ms (%i

15

)5

Podemos supor sem perda de generalidade que 00,100=N e como niNcd = , tem-

se ento que nesse caso, 00,751505,000,100 == cdcd .

Por outro lado, sabendo-se que no o desconto racional simples rd pode ser obtido

atravs da relao nirVrd = e como ( )niN

rV+

=1

, ento temos que

( )

+= ni

ni

Nrd 1

( )niniNrd

+

= 1 . Logo, supondo que r

dcd = , tem-se que:

.msao%ou,i

iiii

i

.202037575

1500112500,75151

1510000,75

=

==++

=

Resposta: 20 % ao ms.

OBSERVAAO:Sabemos que considerando as mesmas condies, isto , taxa desconto e prazo deantecipao, o desconto comercial simples

cd maior que desconto racional simples

rd , e tem-se que, ( )n.irdcd += 1 , onde i a taxa de desconto e n o prazo de

antecipao.

De fato: Sabe-se que niNc

d = , por outro lado

+

=

+==

ni

niNrd

ni

NNVNrd 11

( ) ( )nirdcdnirdniN +=+= 11 .

Exemplo:

O desconto comercial simples de um ttulo descontado trs meses antes de seuvencimento taxa de 40 % ao ano de R$ 550,00. Qual o desconto racional?

Soluo: ( ) ( ) 00,5001,1

00,55025,04,0100,5501 ==+=+=

rd

rdni

rd

cd

Resposta: R$ 500,00

Exerccios


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1) Calcular o desconto por dentro sofrido por uma letra de R$ 8.320,00, descontada taxa linear de 6 % ao ano, 8 meses antes do seu vencimento?Resp. : R$ 320,00

2) Determinar o valor nominal de uma letra, descontada por dentro taxa linear de 8%ao ms, um ms e quinze dias antes de seu vencimento, e que apresentou o desconto

de R$ 400,00. Resp.: R$ 3.733,33

3) Uma titulo sofreu desconto racional simples 15 dias antes do vencimento. O valornominal e o valor atual so inversamente proporcionais a 40 e 44, respectivamente.Qual foi a taxa anual de desconto?

Resp.: 2,4 ao ano.

4) Aceitei um ttulo vencvel a 1 ano, 1 ms e 10 dias. Tendo sido descontado por dentroa anoao%9 deu R$ 1.000,00 de desconto. Qual era o valor nominal do ttulo?

Resp.: R$ 11.000,00

5) Numa operao de desconto por dentro, a razo entre o valor nominal e o valor atual igual a 1,08. Se a taxa de juros simples de 6 % ao ms, qual o prazo deantecipao?

Resp.: 40 dias6) O valor nominal de um compromisso de cinco vezes o desconto racional simples,

caso a antecipao seja de oito meses. Qual o seu valor nominal se o valor deresgate de R$ 1.740,00?Resp. : R$ 2.175,00

7) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 1.200,00 descontada em um banco 60dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto de 10 % ao ms,pede-se:a) o desconto comercial simples; Resp. : R$ 240,00b) o desconto racional simples; Resp. : R$ 200,00c) o valor descontado racionalmente; Resp. : R$ 1.000,00d) a taxa efetiva desta operao, considerando, o desconto comercial simples.

Resp: 25 %

8) Um ttulo foi descontado cinco dias antes do seu vencimento, sofrendo um descontopor fora taxa linear de 36 % a.m.. Sabendo-se que o devedor pagou R$ 2.820,00,qual o seu valor nominal?Resp. : R$ 3.000,00

9) Qual o valor nominal de uma nota promissria, a vencer em 30 de maio, quedescontada por fora no dia 3 de abril do mesmo ano taxa de 6 % a.m., produziu umdesconto de R$ 1.881,00?Resp. : R$ 16.500,00

10) Um ttulo, descontado por fora, taxa linear de 0,5 % ao dia, produziu o desconto

equivalente a81

de si mesmo. Determinar o prazo de antecipao. Resp: 25 dias.


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11) O valor atual de um ttulo duas vezes o valor de seu desconto comercial simples.Qual o vencimento do ttulo expresso em dias, sabendo-se que a taxa de descontocomercial adotada de 60 % ao ano?

Resp. : 200 dias

12) Um banco oferece emprstimos pessoais, cobrando 5 % ao ms de taxa de desconto

comercial simples, mais uma comisso de 2 %. Se uma pessoa necessita de R$4.150,00, para pagar daqui a trs meses. Qual deve ser o compromisso assumido?Resp. : R$ 5.000,00

13) Um ttulo de valor nominal de R$ 111,11 foi descontado em um banco, taxa demsao%4 cinco meses antes do vencimento (desconto comercial simples). Qual a

taxa mensal que representou para o banco esse investimento?Resp.: 5 %

14) Qual a taxa efetiva mensal de uma operao de desconto comercial simples de umttulo realizada taxa de 18,4 % a.a., trs meses antes do seu vencimento?Resp: 1,61 % a.m.

15) Achar a diferena entre o desconto comercial simples e o racional simples de umttulo de 2.100,00R$ descontada a 3% ao ms, 50 dias antes de seu vencimento.Resp. : R$ 5,00

16) O desconto comercial simples de um ttulo igual a5

6do desconto racional

simples. Calcular o prazo de antecipao do pagamento, sabendo-se que a taxa dedesconto de msao%10 .Resp. : 2 meses

17) Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 84 %a.a. e o desconto comercial simples. O valor do desconto foi de R$ 10.164,00. Se naoperao fosse adotado o desconto racional simples, o desconto seria reduzido em R$1.764,00. Nessas condies, qual o valor nominal da duplicata?Resp.: R$ 48.400,00

18) Sabe-se que o valor do desconto racional de um ttulo taxa linear de 66 % ao ano eprazo de desconto de 50 dias, atinge R$ 28.963,00. Para estas mesmas condies,determine o valor do desconto deste ttulo, nas mesmas condies, se fosse adotadoo critrio de desconto comercial simples.Resp. : R$ 31.617,94

19) O desconto de uma duplicata de valor nominal de R$ 77.000,00 e com prazo devencimento de 141 dias produz um valor atual de R$ 65.000,00. Determinar a taxalinear de desconto por dentro e por fora desta operao.Resp.: 3,93 % a.m. e 3,32 % a.m.

20) Uma pessoa descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de desconto comercial, uma taxa de juros simples de 15 % ao ano. O primeiro ttulo vencia em 270 dias e osegundo em 160 dias, sendo que o ltimo era de valor nominal 50 % superior aoprimeiro. Sabendo-se que os dois descontos somaram o valor de 382,50R$ , determine


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o valor nominal do ttulo que produziu o maior desconto.Resp. : R$ 1.800,00

Auto-avaliaoVoc entendeu os conceitos de desconto, valor nominal, valor atual e prazo de

antecipao de um ttulo? Esses conceitos sero necessrios na prxima aula. Conseguiuresolver todos os exerccios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, entovoc entendeu os conceitos envolvendo o desconto por dentro ou racional e odesconto por fora ou comercial, em particular na capitalizao simples. Se noconseguiu, no desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos antes de comear aprxima aula, discuta com seus colegas do plo a soluo desses problemas.


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Aula 6 OPERAES DE DESCONTO NA CAPITALIZAO COMPOSTA

Objetivos: Ao final da aula voc ser capaz de:

- Entender o conceito de desconto composto;

- Entender os conceitos envolvendo o desconto por dentro ou racional e odesconto por fora ou comercial na capitalizao composta;

- Interpretar e resolver os problemas propostos.

Desconto na capitalizao composta

a) Desconto por dentro" ou racional

Nesse caso temos que

( ) ento,comoe1 rVNrdn

irVN =+= ( ) += rVn

irVrd 1

( ) 11 += nirVrd .

Ou, em funo de N:

= rVNrd

dr = N -

dr =

dr =

.

Essas so as duas frmulas mais conhecidas sobre desconto racional composto.

b) Desconto por fora ou comercial

Nesse caso temos que ( ) cVNcdn

iNcV == comoe1 , ento

( )niNNcd = 1 ( )n

iNcd = 11 .

Exemplos:

1) Antecipando em dois meses o pagamento de um ttulo, obtive um desconto racionalcomposto que foi calculado com base na taxa de 4 % ao ms. Sendo 5.408,00R$ ovalor nominal do ttulo, quanto pagarei por ele?


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Soluo:

=

=

=

)4

meses2

min00,408.5

compostoracionaldescontode( taxa% ao msi



No desconto racional composto, a relao entre o valor nominal N e o valor atual rA


NrVnirVN+

=+=1

1 .

Logo, temos que( )

00,500008261

00,5408

0401

00,408.52

==+

=,,

rV


2) Um ttulo de valor nominal 25.000,00R$ resgatado trs meses antes do vencimentopelo critrio do desconto racional composto a uma taxa de %24 ao ano,capitalizada mensalmente. Calcule o valor descontado e o desconto.

Soluo: A taxa de %24 ao ano nominal, pois seu perodo que anual diferente doperodo de capitalizao que semestral. Logo, considerando a relao entre asunidades dessas taxas, a taxa efetiva mensal proporcional a taxa dada, ou seja, como

semestres2ano1 = , tem-se ento que a taxa efetiva semestral i ser dada por

msao%212

24==i .

=

=

=

)2

meses3

min00,000.25

compostoracionaldescontode( taxa% ao msi



No desconto racional composto, a relao entre o valor nominal N e o valor atual rV


NrV

nirVN

+=+=

11 .

Nesse caso ento, temos que:( )

06,558.23061208,1

00,000.25302,01

00,000.25=

+

= rVrVrV .

Lembrando que o valor do desconto a diferena entre o valor de face do ttulo ou valornominal e o valor descontado ou valor atual, isto , rVNrd = , nesse caso ento,temos que:

94,441.106,558.2300,000.25 == rdrd

Resposta: R$ 23.558,06 e R$ 1.441,94

3) Um ttulo de R$ 1.000,00 deve ser resgatado trs meses antes do seu vencimento,pelo critrio do desconto comercial composto a uma taxa de 10 % ao ms. Qual ovalor lquido?


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Soluo:

=

=

=

)10

meses3

min00,000.1

compostocomercialdescontode( taxa% ao msi



No desconto comercial composto, a relao entre o valor atual cV e o valor nominal N

dada por ( )n

iNcV = 1 , logo nesse caso temos que( ) 007293100100,0001 ,cV,-.cV = .

Resp.: R$ 729,00

4) Um ttulo de R$ 2.000,00 ser resgatado trs anos antes do vencimento pelo critriodo desconto comercial composto taxa de 20 % a.a. com capitalizaes semestrais.Qual ser o valor liquido?

Soluo:

A taxa de %20 ao ano nominal, pois seu perodo que anual diferente do perodo

de capitalizao que semestral. Logo, considerando a relao entre as unidades dessastaxas, a taxa efetiva mensal proporcional a taxa dada, ou seja, como

semestres2ano1 = , tem-se ento que a taxa efetiva semestral i ser dada por

semestreao%102

20==i .

=

==

=

)10

meses6anos3

min00,000.2

compostocomercialdescontodere ( taxaao semest%i



No desconto comercial composto, a relao entre o valor atual cV e o valor nominal N

dada por ( )niNcV = 1 , logo nesse caso temos que

( ) 8806216100100,0001 ,.cV,-.cV = .


5) Um ttulo de valor R$ 10.000,00 foi descontado cinco meses antes do vencimento taxa de desconto comercial composto de 10 % ao ms. Qual a taxa de jurosefetivamente cobrada nessa transao?

Soluo:

=

=

=

)105

min00,000.10

compostocomercialdescontodetaxaao ms (%iecipao)azo de antmeses ( prn


No desconto comercial composto, a relao entre o valor atual Vc e o valor nominal N

dada por ( )niNcV = 1 , logo nesse caso temos que:

( ) 90,904.5590490,000,000.105100100,00010 == cVcV,-.cV .


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Lembrando que o valor do desconto a diferena entre o valor nominal de face ou valornominal e o valor descontado ou valor atual, isto , cVNcd = , temos ento que nessecaso,

10,095.490,904.500,000.10 == cdcd .

Do ponto de vista do banco, esta foi uma operao de um emprstimo de 90,904.5R$ que render em dois meses um montante de 10.000,00R$ , isto , um juros de

4.095,10R$ . Logo a taxa de juros composto mensal i dessa operao ser obtida por:

( ) ( ) ( ) =+=+=++= 5 693509,11693509,15190,904.5

00,000.10515190,904.500,000.10 iiii

.msao%11,11oumsao111111,011111111,1 == iii

Resposta: a taxa efetiva de 11,11 % ao ms.

Definio 5: Dizemos que duas taxas de desconto racional e comercial composto soequivalentes se, e somente, se produzirem descontos iguais quando aplicadas a ummesmo ttulo e por um mesmo prazo de antecipao.

Nesse caso, como os descontos so iguais, ento os valores atuais tambm so iguais eportanto:

( )( )

1

1 +

= nri

N

nc- iN ( ) ( ) 111

nri

nc- i =+ ( ) ( ) 111 ric- i =+

Exemplo:

Determinar a taxa mensal de desconto racional equivalente taxa de desconto comercialde 20 % ao ms.

Soluo:

( ) ( ) % a.m.ia. m. ou,i,

i,. i?i

irrrr

r

C 2525080

11120011

20===+=+

=

=

Resposta: 25 % ao ms.

EXERCCIOS

1) Uma empresa tomou emprestada de um banco, por seis meses, a quantia de R$

10.000,00 taxa de juros compostos de 19,9 % ao ms. No entanto, 1 ms antes dovencimento a empresa decidiu liquidar a dvida. Qual o valor a ser pago, se o bancoopera com uma taxa de desconto racional composto de 10 % a.m. ?Resp. : Aproximadamente R$ 27.000,00

2) Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 44.276,00, dois meses antes dovencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o bancoadote a taxa de juros efetiva de 84 % a.a., qual ser o lquido recebido pela empresa?


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Resp. : Aproximadamente R$ 40.000,00

3) Joo ir receber R$ 6.600,00 dentro de um ano, como parte de seus direitos na vendade um barco. Contudo, necessitando de dinheiro, transfere seus direitos a um amigoque os compra, entregando-lhe uma nota promissria no valor de R$ 6.000,00 com

vencimento para seis meses. Joo fez bom negcio, se a taxa de juros compostos domercado for de 20 % ao ano?

Resp. : No

4) Numa operao de desconto, o possuidor do ttulo recebeu R$ 10.000,00 como valorde resgate. Sabendo-se que a antecipao fora de 6 meses e o desconto de R$1.401,75; qual foi a taxa de juros composta anual adotada?

Resp. 30 %.

5) Guilherme tem um compromisso representado por duas promissrias: uma de R$

100.000,00 e outra de R$ 200.000,00 vencveis em quatro e seis meses,respectivamente. Prevendo que no dispor desses valores nas datas estipuladas,solicita ao banco credor substituio dos dois ttulos por um nico a vencer em dezmeses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 8 % ao ms.. Qual o valorda nova nota promissria? Resp.: R$ 430.785,00

6) Qual o valor do desconto racional composto de um ttulo de um valor nominal deR$ 20.000,00, com prazo para trinta dias para vencimento e taxa cobrada de 4 % aoms?

Resp. : R$ 769,00

7) Uma duplicata no valor de R$ 800.000,00, com vencimento daqui a trs anos, deveser substituda por duas letras de cmbio, de mesmo valor nominal cada, comvencimentos daqui a dois anos e cinco anos respectivamente. Calcular os valoresnominais das novas duplicatas, sabendo-se que taxa de juro composto utilizada de8 % ao semestre e a taxa de juro composto do desconto racional de 10 % aosemestre. Resp. R$ 432.569,58

9) Um ttulo de R$ 5.000,00 ser descontado 2 meses antes do vencimento pelo critriode desconto comercial composto taxa de 60 % a.a. com capitalizao mensal. Qual

o valor do desconto?Resp. : R$ 487,50

10) Uma duplicata de R$ 3.000,00 dever ser descontada 3 anos do seu vencimento auma taxa de 25 % ao ano pelo critrio do desconto racional composto. Qual seriataxa anual a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critrio de descontocomercial composto?

Resp. : 20 % ao ano


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11) Uma duplicata no valor de R$ 2.000,00 resgatada dois meses antes do vencimento,obedecendo ao critrio de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa dedesconto de 10% ao ms, qual o valor do desconto e o valor descontado?

Resp. : R$ 380,00 e R$ 1.620,00

12) Que taxa mensal de desconto comercial composto equivalente a taxa mensal de 20% de desconto racional composto?Resp.: 16,67 %

13) Um ttulo foi descontado taxa de. 3 % a.m. cinco meses de seu vencimento. Sabe-se que essa operao produziu um desconto de R$ 39.000,00. Admitindo o conceitode desconto composto por fora , determinar o valor nominal do ttulo.Resp. : R$ 276.074,92

14) A taxa de desconto composto por fora do banco A de 3,1 % ao ms paraoperaes com prazo de 90 dias. O banco B oferece uma taxa de desconto de 2,9 %ao ms com o prazo de 120 dias. Determinar qual banco est cobrando a maior taxaefetiva mensal de juros.

Resp. : Banco A = 3,19 % ao m s; Banco B = 2,98 % ao ms

15) Uma instituio financeira deseja cobrar uma taxa efetiva de 3,1 % ao ms em suasoperaes de desconto composto por fora. Determinar a taxa de desconto que deveser considerada para um prazo de antecipao de trs meses.Resp. : 3,01 % ao ms.

16) Qual a taxa de juros composto efetiva anual de um ttulo descontado taxa porfora de 4,5 % ao ms 3 meses antes do vencimento?Resp. : 4,71 % ao ms.

17) Uma pessoa quer descontar hoje um ttulo de valor nominal de R$ 11.245,54, comvencimento para daqui a 60 dias e tem as seguintes opes:

a) desconto simples racional com taxa de 3 % ao ms; Resp. :

10.609,00R$e636,54R$ b) desconto simples comercial, com taxa de 2,5 % ao ms; Resp. :

10.683,26R$e562,28R$

c) desconto composto racional, com taxa de 3 % ao ms; Resp. :10.600,00R$e645,54R$

d) desconto composto comercial, com taxa de 2,5 % ao ms. Resp. :10.690,29R$e555,25R$


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Determine em cada caso, o valor do desconto e do valor descontado.

Auto-avaliaoVoc conseguiu resolver todos os exerccios propostos sem dificuldade? Se a resposta

foi sim, ento voc entendeu os conceitos expostos nesta aula. Se no conseguiu, no

desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos, no deixe que suas dvidas seacumulem.


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Aula 7 SRIES DE PAGAMENTOS (ANUIDADES OU RENDAS CERTAS)

Objetivos: Ao final da aula voc ser capaz de:

- Classificar as diversas sries de pagamento;

- Descrever o comportamento das diversas sries de pagamento;- Ensinar a calcular anuidades atravs da HP12C.

Classificao das Anuidades

As anuidades, tambm chamadas rendas certas, so sries de pagamentos ourecebimentos que objetivam a liquidao de uma dvida ou a constituio de um capital.Como veremos neste captulo, existem vrios tipos de anuidades.

Elas diferem entre si quanto ao incio do primeiro pagamento ou recebimento, periodicidade, durao e aos valores das sries.

Quanto ao incio do primeiro pagamento ou recebimento elas podem ser:

postecipadas - os fluxos de pagamentos ou recebimentos comeam aocorrer ao final do primeiro perodo;

antecipadas - os fluxos comeam no incio do primeiro perodo; e

diferidas - h prazo de carncia antes do incio do fluxo de pagamentosou recebimentos.

No nosso dia-a-dia h vrios exemp

matematica financeira para administraÇÃo

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