matematica financeira

7/21/2019 Matematica Financeira

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Matemtica FinanceiraCom Francisco Cavalcante e Afonso TobiasMdulo 1 - Conceitos Bsicos

1.1 O Valor do Dinheiro no Tempo

A Matemtica Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro notempo.Mas o que o "valor do dinheiro no tempo"?Intuitivamente, sabemos que ! #$$$,$$ %o&e "valem" mais que esses mesmos ! #$$$,$$daqui a um ano, 'or e(em'lo# A 'rinc)'io, isso nos 'arece muito sim'les, 'orm, 'oucas 'essoasconseguem e('licar 'orque isso ocorre#

* a) que entram os &uros# +s ! #$$$,$$, %o&e, valem mais do que os ! #$$$,$$ daqui a um ano'orque esse ca'ital 'oderia car a'licado em um banco, 'or e(em'lo, e me render &uros queseriam somados aos ! #$$$,$$, resultando numa quantia, obviamente,maiorque esse ca'ital#

or e(em'lo. su'on%a que um banco me 'ague ! $$,$$ de &uros ao ano caso eu a'lique esses! #$$$,$$ %o&e# Isso quer di/er que, daqui a um ano, quando esse ca'ital 0or resgatado, o valorrecebido ser de ! #$$,$$, e no somente os ! #$$$,$$ iniciais#

Isso mostra que receber os ! #$$$,$$ %o&e seria equivalente a receber ! #$$,$$ daqui a umano, e no os mesmos ! #$$$,$$, & que esses, daqui a um ano, & tero 'erdido 'arte de seuvalor# +s &uros de ! $$,$$ re0erentes ao 'ra/o de um ano 0uncionariam como uma recom'ensa'or termos de es'erar todo esse tem'o 'ara ter o din%eiro em ve/ de t2-lo %o&e#* esse o valor do din%eiro no tem'o# +s &uros 0a/em com que uma determinada quantia, %o&e, se&aequivalente a outra no 0uturo# A'esar de di0erentes nos n3meros, os valores ! #$$$,$$ %o&e e !#$$,$$ daqui a um ano seriam equivalentes 'ara &uros de ! $$,$$#

4m ca'ital de ! #$$$,$$ s ser equivalente a ! #$$$,$$ daqui a um ano na %i'tese absurdade a ta(a de &uros ser considerada igual a $#A Matemtica Financeira, 'ortanto, est diretamente ligada ao valor do din%eiro no tem'o, que 'orsua ve/ est ligado 5 e(ist2ncia da ta(a de &uros#

1. ! rincipais ConceitosCA#TA$ o% VA$O& &'(')T' *V+

Ca'ital ou 6alor resente 768 o Capital #nicial *rincipal+ em uma transa9o nanceira,re0erenciado, geralmente, na escala %ori/ontal do tem'o, na data inicial 7n:$8# *, ainda, o valor a

vista quando nos re0erimos, nos termos comerciais, 5quele valor "com desconto" dado comoo'9o 5s com'ras a 'ra/o#

* considerado tambm como o investimento inicial0eito em um 'ro&eto de investimento#

;o


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;a ? 1@C 'ela tecla V7resent 6alue8#

,-&O( *,+

+s &uros 78 re'resentam a rem%nera/o pela %tili0a/o de capitais de terceiros, ou 'or'ra/os concedidos# odem ser, tambm, a rem%nera/o por capital aplicadonas institui9es

nanceiras# o considerados rendimento se voc2 os recebe, e so considerados des'esa se voc2os 'aga#

TAA D' ,-&O( *i+

Da(a de &uros 7i8 o valor do &uro em determinado tem'o, e('resso como 'orcentagem do ca'italinicial# ode ser e('resso da 0orma unitria ou 'ercentual 7$,1E ou 1E, res'ectivamente8# 6e&a.

e um banco me 'aga ! $$,$$ de &uros sobre um ca'ital de ! #$$$,$$ a'licado durante umano, a ta(a de &uros nada mais do que.

Isso signica que esse banco est 'agando uma ta(a de &uros de 1$ ao ano#

ara tratar de ta(a de &uros, o


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;o caso de seq2ncia de ca'itais ou srie de 'agamentos, o GnH e('ressa o n3mero de'agamentos ou recebimentos e0etuados do come9o ao m da o'era9o# Dodos ns, obviamente, &nos de'aramos com uma situa9o como, 'or e(em'lo, com'rar um televisor em E 'resta9esmensais#


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''M$O8

4m ca'ital de ! 1#$$$,$$ a'licado a uma ta(a de 1@ a#m# Acom'an%e como reali/ado oclculo dos &uros e do Montante ao nal do 'rimeiro m2s#

'7emplo8

u'on%amos que voc2 a'licou ! 1#E$$,$$ a uma ta(a de &uros de @E a#a# 6e&a como calculado, no


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e'ois inserido o 6alor Futuro,

acionada a 0un9o varia9o'ercentual e encontrada ata(a de &uros#

1.9 @ Diarama de Fl%7o de Cai7aMais um conceito 0undamental da matemtica nanceira o de %7o de cai7a#


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Vale lembrar %e8

As setas no so necessariamente 'ro'orcionais ao valor das entradas e sa)das# + Ru(o de cai(a muito 3til na anlise de 'roblemas com sries de ca'ital#

+s intervalos de tem'o entre os 'er)odos so todos iguais#

+s valores sero colocados no in)cio e nal de cada 'er)odo, de'endendo da conven9o

utili/ada, mas nunca durante o 'er)odo#

'7emplo8

ara e(em'licar o conceito de Ru(o de cai(a, su'on%a a seguinte situa9o.

4m investidor com'ra um t)tulo %o&e 'or ! 1#$$$,$$#


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A B C1 ados 6alores Memria de Clculo@ 6alor resente 7Ca'ital8 ! 1,$$$,$$J Da(a de uros 7ao 'er)odo8 1$ uros 7ao 'er)odo8 ! 1$$,$$ , : C ; iE 6alor Futuro 7Montante8 ! 1#E$$,$$ M : C =


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1 ados 6alores Memria de Clculo@ 6alor resente 7Ca'ital8 ! @,$$$,$$J Da(a de uros 1N uros 7ao 'er)odo8 , : C ; iE ;3mero de er)odos 7n8 JL 6alor Futuro 7Montante8 M : C = *, ; n+

A B C1 ados 6alores Memria de Clculo@ 6alor resente 7Ca'ital8 ! @,$$$,$$J Da(a de uros 1N uros 7ao 'er)odo8 : B@ V BJ , : C ; iE ;3mero de er)odos 7n8 JL 6alor Futuro 7Montante8 : B@ P 7B V BE8 M : C = *, ; n+

6e&amos a 'lanil%a resolvida.

A B C1 ados 6alores Memria de Clculo@ 6alor resente 7Ca'ital8 ! @,$$$,$$J Da(a de uros 1N uros 7ao 'er)odo8 ! J$,$$ , : C ; iE ;3mero de er)odos 7n8 JL 6alor Futuro 7Montante8 ! J#$@$,$$ M : C = *, ; n+

;a ? 1@C, os clculos 'odem ser e(ecutados da seguinte 0orma.

Valores de 'ntrada Tecla f%n/o (aEda@$$$


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A B C1 ados 6alores Memria de Clculo@ 6alor resente 7Ca'ital8 ! @,$$$,$$J Da(a de uros 7 i 8 1N uros 1 718 ! J$,$$ ,1 : C 7 iE Montante 1 7M18 ! @#J$,$$ M1 : C = ,

L uros @ 7@8 ! JWN,O$ , : M1 7 iN Montante @ 7M@8 ! @#NJN,O$ M : M1=,O uros J 7J8 ! LE,J ,4 : M 7 iW Montante J 7MJ8 ! J#@$J,@J M4 : M=,4

A B C1 ados 6alores Memria de Clculo@ 6alor resente 7Ca'ital8 ! @,$$$,$$J Da(a de uros 7 i 8 1N uros 1 718 : B@ V BJ ,1 : C 7 i

E Montante 1 7M18 : B@ P B M1 : C = ,1L uros @ 7@8 : BE V BJ , : M1 7 iN Montante @ 7M@8 : BE P BL M : M1=,O uros J 7J8 : BN V BJ ,4 : M 7 iW Montante J 7MJ8 : BNP BO M4 : M=,4

e'resentando essa a'lica9o no diagrama de Ru(o de cai(a, 'odemos ver mais 0acilmente#

#

;a ? 1@C, os clculos 'odem ser e(ecutados da seguinte 0orma.

Valores de Tecla (aEda


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'ntrada f%n/o@$$$ A;+ estar dis'on)vel no


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A B1 ados 6alores@ 6alor resente 7Ca'ital8 ! @#$$$,$$J Da(a de uros 1 1N Da(a de uros @ 1NE Da(a de uros J 1N

L Montante ! J#@$J,@J

:VF$A)O*6K 6486


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'7emplo8

6e&a como 0cil reali/ar o'era9es de clculos com &uros sim'les# u'on%amos que voc2 ten%a

uma a'lica9o de ! 1@$#$$$,$$, que rende, a &uros sim'les, 1E a#t# Uuanto es'eraria ter nonal do ano, se a'licou seu din%eiro no 'rimeiro dia do anoQ

ara resolver, basta a'licar a 0rmula a'resentada acima# 6e&a.

a).

M: C = , M: 1. = H. : 1L.

+u ento use a 0rmula direta.

M : 1. *1= I1< 7 9+ : 1LI

Ao invs de usar 0rmulas e 0a/er os clculos, voc2 'oderia e0etuar todas as o'era9es usando a'lanil%a do


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;a ? 1@C, o clculo 'oderia ser e(ecutado da seguinte 0orma.

Valores de 'ntrada Tecla f%n/o (aEda 1@$$$$ uros 'ara trimestres 71 ano8 P 1W@$$$ 88> Montante nal 7C P 8

e'are que a 0rmula inserida naclula do valor do montante nadamais do que a c'ia da 0rmulaa'resentada anteriormente, na qual.6: ca'ital

64: ta(a de &uros6


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'7emplo8

4ma outra a'lica9o muito 3til sobre &uros sim'les usando o


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Calculando os &uros de atraso no caso da 0atura do carto.

Valores'ntrada

Teclaf%n/o

(aEda

1NO Drans0ormando 'ara o 0ormato #M[

E,$@$$@ Clculo do n#X de dias entre datas

= [ @$ 88> Dotal a ser 'ago no @EK$K@$$@

. Ta7as '%ivalentes

6imos no e(em'lo anterior que tivemos que trans0ormar a ta(a de &uros ao m2s 'ara uma ta(a de

&uros diria#


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a) tiramos que a ta(a equivalente de J$ ao ano# 6e&a que isso e(atamente o que /emos noe(em'lo dado 'ara trans0ormar a ta(a mensal de &uros do carto de crdito, de 1$ a#m#, emuma ta(a diria de &uros de $,JJ a#d# 71$KJ$8#

.4 ,%ros '7atos e ,%ros Comerciais

+ clculo de ta(as equivalentes dirias muito comum no nosso dia-a-dia, como vistoanteriormente# orm, o clculo das ta(as equivalentes tem como 'ressu'osto o clculo dos diascorridos da o'era9o#


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A calculadora B 1Ctambm 'ermite estes clculos# Acom'an%e#Valores de 'ntrada Tecla f%n/o (aEda

F QC$ 88> >im'a toda a memria nanceira da

calculadoraf

L $,$$$$$$$$$ 88> 6alor dos &uros comerciais no 'er)odo7EJ dias8

As a'lica9es 'ara cada um dos casos de'endem dos 'ar\metros adotados no mercado 'ara cadacaso# 4m e(em'lo t)'ico de a'lica9es de curt)ssimo 'ra/o, onde as ta(as equivalentes dirias

'recisam ser calculadas, so as o'era9es com ?+D M+;Da(a equivalente diria da ta(a mensal do ?ot Mone] - 1Xdia

uros 1X dia ! @EO,JJH Montante 1X dia ! @E#@EO,JJJ D(# uros @X dia

7m2s8 JJ 88>

Da(a dis'on)vel no mercado 'ara em'rstimos de ?otMone] - @X dia

LD(# iria @X dia 1,1$

88>Da(a equivalente diria da ta(a mensal do ?ot Mone] - @Xdia


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1uros @X dia ! @NN,O 88> ;ote que os &uros incidem sobre o montante resultante do1X dia, quando da renova9o do em'rstimo 'or mais umdia 7total : @8

11Montante @X dia ! @E#EJL,1O

6isuali/e as 0rmulas#

A 61 Dados Valores Ca'ital em'restado ! @E#$$$,$$4 er)odo 7dias8 @9 D(# &uros 1X dia

7m2s8 J1 < D(# diria 1X dia :694 uros 1X dia :6;1;6 6alor de &uros comerciais - 1X dia

@E$$$ P


19/78

JJJJ P ca'ital8@NO P


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;a B 1Ca solu9o tambm sim'les# 6e&a.

6alores


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J = J1+ J2+ J3+........+Jp

Ck . nkJ = i [C1n1+ C2n2+ C3n3+.....+Cpnp]

A a'lica9o mais 'rtica e clara 'ara esse mtodo a 'ossibilidade de clculo dos &uros sobre ossaldos devedores de c%eques es'eciais# 6e&a que, nesse caso, os &uros incorrem sobre os saldosdevedores na conta corrente, que 'odem variar muito durante o m2s#

Assim, o saldo devedor agora nosso ca'ital e sobre ele que iro incidir os &uros emdeterminado 'er)odo# e somarmos cada saldo devedor multi'licado 'elo 'er)odo que o saldo'ermaneceu em conta e multi'licarmos tudo isso 'ela ta(a mensal, saberemos de quanto 0oi ades'esa com &uros#

+ 'er)odo de 'erman2ncia de cada saldo em conta 'ode ser obtido no


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;a B 1Ca solu9o tambm sim'les# 6e&a

Valores de

'ntrada

Tecla

f%n/o

(aEda

F Q

C$ I88> >im'a toda a memria

nanceira da calculadora

F $,$$ 88> Acumulado de saldodevedores anteriores

1@$


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6e&a como a 0rmula anterior 'ode ser a'licada no


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;a B 1Co clculo 'ode ser 0eito da seguinte maneira.

Valores de'ntrada

Tecla f%n/o (aEda

f QC$ I 88> >im'a toda a memria nanceira da calculad

f $,$$ 88> Acumulado de saldos devedoresanteriores

@E$ C? Acumulado do valor de saldos

devedores1@$ C? Acumulado do valor de saldos

devedores1L$


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7denominado ta(a de &uros8 trans0ormando-o em um 6alor ;ominal 70uturo8 no nal da o'era9o, odesconto 0a/ o camin%o inverso#


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;o 'C'$, os clculos 'odem ser 0eitos, sim'licadamente, da seguinte 0orma.

A 6 C1

Dados ValoresMem5ria de

Clc%lo

6alor nominal ! N#$$$,$$4 Da(a de &uros N 9 er)odo

anteci'ado J< 6alor atual ! E#NOE,1@ 6 : ; K 1 P iVn esconto ! 1#@1,OO : ; - 6

6erique as 0rmulas.

BE :6*1=*64;69++

BL :6@6 DC: ! 1#N$,$$d: N a#m# DC: N$$$ V $,$N V J

n: J meses88>

VC: N$$$ _ 1N$ VC: ! E#EJ$,$$

A di0eren9a dos dois mtodos clara agora#

)o primeiro e7emploI o %e incidi% sobre o Valor )ominal foi a ta7a de P%ros. , nose%ndo casoI foi a ta7a de desconto. )ote %e essas ta7as incidem de maneirasdiferentes.

or isso %e a ta7a de P%ros e a ta7a de descontoI apesar de i%ais em valor noe7emplo acimaI n/o s/o e%ivalentes.

6erique no 'C'$ como isso ca ainda mais claro e 0cil de resolver.

A 6 C

1 Dados Valores Mem5ria 6alor nominal ! N#$$$,$$4 Da(a de desconto N 9 er)odo

anteci'ado J< esconto

comercial ! 1#N$,$$ C: ; V d V n 6alor atual ! E#EJ$,$$ 6C: ; - C

6isuali/e as 0rmulas#BE :6;64;69

BL :6@6)quido Dotal direto 7com a mesma ta(a, claro8#

+ 'ra/o mdio calculado levando-se em conta os 'esos de cada t)tulo no con&unto, e 'or issobaseia-se no conceito de mdia 'onderada# 6e&a na 0rmula a seguir.


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;esse caso, e0etuando o clculo do 'ra/o mdio do e(em'lo anterior em uma tabela do


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A resolu9o do clculo do 'ra/o mdio tambm 'ode ser 0eita na calculadora ?1@C, 'ela 0un9ode somatria e mdia 'onderada que esse ti'o de calculadora a'resenta# Clique aqui 'ara vercomo 'roceder#

'ntrada

Teclaf%n/o

)ova'ntrada

Tecla (aEda

7 0 8 88>

>im'a qualquer in0orma9oarma/enada na 0un9o#

J$


38/78


39/78

;a ?1@C o clculo seria desta 0orma# 6erique como 0a/e-lo.

'ntrada

Teclaf%n/o

(aEda

0= [ 88> >im'a toda a memria nanceira da calculadora

0C>= $,$$ 88> >im'a toda a memria da calculadora

N$$$ Calcula o valor do I+F dirioW$ ( @E,OJ 88> Calcula o valor do I+F trimestral

1N$ oma ao item anterior o valor do I+FN$$$ - -

E#JWW,1N88> Calcula o valor l)quido da o'era9o

C? Inverte o sinal

Areando ta7as de periodicidades diferentes

Imagine agora o seguinte 'roblema.

6oc2 sabe que um banco cobra uma ta(a de desconto de W e ta(a administrativa de @# 6oc2quer saber os &uros sim'les e0etivos cobrados 'elo banco em uma o'era9o de resgate de t)tulocom dois meses de anteced2ncia#

+ 'roblema aqui somente denir a ta(a de desconto que voc2 inserir na 0rmula 'ara aequival2ncia de ta(as de modo que consiga a ta(a de &uros e0etiva, & que e(iste, no nal dodesconto, a cobran9a da ta(a administrativa 'elo banco# Como voc2 no tem o valor nominal, a'rinc)'io, como arear as d%as ta7as cobradas em %ma s5, 'ara e0eito de clculo dodesconto real 7desconto comercial mais a ta(a administrativa8 que ser abatido do 6alor;ominal, qualquer que se&a eleQ

ara 'roblemas de anteci'a9es de um 'er)odo unitrio 7'or e(em'lo. um m2s 'ara ta(a dedesconto contabili/ada mensalmenteY um ano 'ara ta(as de desconto contabili/adas anualmenteetc#8 esse 'roblema invis)vel, 'orque a ta(a de desconto s incide uma 3nica ve/ sobre o 6alor;ominal, bem como a ta(a administrativa, que sem're cobrada uma 3nica ve/, no nal datransa9o#

orm, como as anteci'a9es unitrias no so maioria, quase sem're voc2 tem que agregar ata(a de desconto, que incide "n" ve/es sobre o 6alor ;ominal, e a ta(a administrativa, que sem're


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incide uma 3nica ve/# or esse motivo elas no 'odem ser somadas, 'ois isso signicaria incidir ata(a administrativa vrias ve/es, tantos 'er)odos quanto a 'r'ria anteci'a9o#

ara resolver esse 'roblema, temos que 0a/er o seguinte.

6oc2 sabe que um banco cobra uma ta(a de desconto de W e ta(a administrativa de @# 6oc2quer saber os &uros sim'les e0etivos cobrados 'elo banco em uma o'era9o de resgate de t)tulocom dois meses de anteced2ncia#

1R8 ividir a ta(a administrativa 'elo 'ra/o de anteci'a9o da o'era9o#

R8 a) ento somar a ta(a administrativa 0racionada 5 ta(a de desconto comercial#

4R8 4sar a nova ta(a de desconto real 7que embute a ta(a administrativa8 'ara descontar o 6alor;ominal 'elo 'ra/o esti'ulado#

6e&a como caria, na 'rtica 7vamos demonstrar tambm como seria se voc2 somente somasse asta(as - Valores 18# Com'are as duas 0ormas, o certo e o errado, 'ara sentir a di0eren9a dos doismtodos#

A 6 C1

DadosValores

1 Valores DCV W,$$ W,$$ 4 Da(a administrativa @,$$ @,$$ 9 ra/o de anteci'a9o @ @< DC _ 11,$$ 1$,$$

Ta7a de ,%ros 'fetiva 19I1 1I


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;a ? 1@C o clculo seria desta 0orma# 6e&amos como 0a/2-lo.'ntrada

Teclaf%n/o

(aEda

0= [ 88> >im'a toda a memria nanceira da calculadora

0C>= $,$$ 88> >im'a toda a memria da calculadora

$,$W Inverte-se o sinal1 P $,NO 88>Drans0orma-se em n3mero )ndice

$,11 = [ I191 88>ivide-se 'ela Da(a de esconto Comercial eal 'ara calcular aDa(a de uros Inverte-se o sinal1 P $,O$ 88>Drans0orma-se em n3mero )ndice

$,1 = [ I1 ivide-se 'ela Da(a de esconto Comercial eal 'ara calcular a

Da(a de uros


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6 : 6alor 'resente ou inicial6F : 6alor 0uturo 7Final8C : Ca'ital inicialMn: Montante na data "n"

9. A f5rm%la do montante

Como & 0oi dito, os &uros com'ostos incidem sobre o ca'ital de maneira e('onencial#emonstrando, sim'licadamente, o camin%o 'ara a 0rmula do montante, esse 0ato caevidente# artindo do que & sabemos a res'eito de ca'itali/a9o com'osta, temos.

M1: C P C V i 88> M1: C71 P i 8M@: M1 P M1 Vi M@: M171P i 8 M@: C71Pi8@ MJ: M@ P M@ Vi MJ: M@71 P i 8MJ : C71P i 8J

###e assim sucessivamente#


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;o 'C'$, o clculo, sem usar nen%um assistente de 0un9o, seria.

A 6 C1 Dados Valores Mem5ria de Clc%lo 6alor 'resente

7 C 8 !1@$#$$$,$$4

Da(a de &uros 7a#t#8 1E9 er)odo a'licado ,$$ 1 ano : trimestres< 6alor 0uturo 76F8 !@$W#OO$,NE M : C V 71 P i 8n

6e&a a 0rmula no embre-se disso sem're`

Assim, o clculo do valor 0uturo, ou montante, dessa o'era9o 0eito da seguinte0orma.

6 _ do ingl2s "resent 6alue" ou 6alorresente 7Ca'ital Inicial8

1E # 1E

)

FVL.JJIH

< 88> F6 _ do ingl2s "Future 6alue" ou 6alorFuturo 7 Montante Final8

9.4 Valor presente *capital+

A 0rmula de valor 'resente dedu/ida, como dito, da 0rmula do montante#Facilmente, 'odemos ver que.

4m em'rstimo deve ser 'ago em L$ dias# + valor a ser 'ago de ! 1E#$$$,$$# +s &uros7com'ostos8 do em'rstimo so de 1@ a#m# Uual o valor desse em'rstimo se ele 0osse 'ago%o&eQ

@apital ou /alor*resente

)

n

( in

=M

VP

+3


44/78


6e&a a

0rmula

BE:B@K71PBJ8B

;a ? 1@C, o clculo 0eito assim.

F6 - do ingl2s "Future 6alue" ou

6alor Futuro 7 Montante Final81@ i 1@@ ) @

V @11.L

6 - do ingl2s "resent 6alue" ou6alor resente 7Ca'ital Inicial8

9.9 Ta7a de P%ros compostos *i+

A 0rmula da ta(a de &uros de uma o'era9o nanceira tambm dedu/ida da 0rmula domontante# Isolando o "i" da 0rmula inicial, temos o seguinte.

A 6 C1

Dados Valores Mem5ria de Clc%lo 6alor Futuro 76F8 1E#$$$,$$4Da(a de uros

7a#m#8 1@9 er)odo A'licado @,$$ L$ dias : @ meses< 6alor resente 768 11#WEN,W1 C : M K 71P i 8n

Aaxa de Buros @ompostos 3

3

= n

C

Mi


45/78

Uual a ta(a de &uros com'ostos que est embutida em um 'roduto que tem 're9o 5 vista de !1#E$$,$$ e a 'ra/o, 'ara 'agamento daqui a W$ dias, de ! 1#W$$,$$Q


A 6 C1

Dados ValoresMem5ria de

clc%lo

6alor Futuro 76F8!1#W$$,$

$4 6alor resente

768!1#E$$,$

$9 er)odo A'licado J,$$ em meses6alor resente 7681E i 1E 88>Da(a de 1E a#t# 7i8 n 88>er)odo de trimestres 7n8

FV @L.JJIHCalculo o 6alor Futuro 7F68

4m em'rstimo deve ser 'ago em L$ dias# + valor a ser 'ago de ! 1E#$$$,$$# +s &uros7com'ostos8 do em'rstimo so de 1@ a#m# Uual o valor desse em'rstimo se ele 0osse 'ago%o&e#

;o 'C'$, o clculo, usando o assistente de 0un9o, seria.

A 6 C1 Dados Valores $embrete 6alor Futuro 76F8 !1E#$$$,$$ inserir em 6F4Da(a de uros 7a#t#8 1@ inserir em ta(a9 er)odo A'licado @,$$ inserir em n'er< 6alor resente

768-

!11#WEN,W1nome da 0un9o.

V

6. : V*64K69KK6+

;a ? 1@C, este clculo 'ode ser resolvido da seguinte 0orma.

= $,$$$$1E$$$ FV 1E#$$$,$$ 88>6alor resente 768

1@ i [email protected]>Da(a de 1@ a#m# 7i8@ n @ 88>er)odo de @ meses 7n8V @

11.LCalculo o 6alor Futuro 7F68

Uual a ta(a de &uros com'ostos que est embutida em um 'roduto que tem 're9o 5 vista de !1#$$,$$ e a 'ra/o, 'ara 'agamento daqui a W$ dias, de ! 1#EE$,$$Q


51/78


A 6 C1 Dados Valores $embrete

6alor Futuro 76F8 ! 1#EE$,$$ inserir em 6F4 6alor resente768 -! 1#$$,$$ inserir em 6

9 er)odo A'licado J,$$ inserir em n'er6alor Futuro 7F681#$$ CB( V -1#$$,$$ 88>6alor resente 768

J ) J 88>er)odo de J meses 7n8i 4I9< 88>Calculo a ta(a 7i8

6e&a agora quanto tem'o voc2 'recisaria 'ara du'licar um ca'ital de ! #$$$,$$ 5 ta(a de &uroscom'ostos de 1$ a#m#


A 6 C1 Dados Valores Mem5ria de Clc%lo 6alor Futuro 76F8 ! O#$$$,$$ insira em 6F4 6alor resente

768 -! #$$$,$$ insira em 69 Da(a de uros 7 i 8 1$ insira em ta(a< ra/o de

A'lica9o N,@N nome da 0un9o.)per ra/o 7dias8 @1O,1O i dirio : i V J$

6e&amos agora a 0rmula.

BE:;


52/78

;a ? 1@C, este clculo 0eito da seguinte 0orma.

= $,$$$$

J$ ra/o da a'lica9o em dias

9.H Ta7as e%ivalentes

+ conceito de ta(as equivalentes a &uros com'ostos igual ao mdulo de &uros sim'les. duasta(as so consideradas equivalentes quando, a'licadas a um mesmo ca'ital, 'or um 'er)odoequivalente de tem'o, 'ara 'rodu/irem o mesmo montante#

Como os montantes so iguais, 'odemos sim'lesmente igualar as 0rmulas de clculo domontante# 6isualmente, temos que.

Uual seria a ta(a mensal de &uros com'ostos de uma a'lica9o que remunera o ca'ital 5 ta(a de@ a#a#Q

@omo na f&rmula de c-lculodo montante as taxas soaplicadas so%re um mesmocapital, podemos eliminar o

ca ital @ da f&rmula.

sta, portanto, af&rmula dec-lculo de taxas

equivalentes.

( ) ( ) =3 =3 33 nn

iCiC +=+ ( ) ( ) =3 =3 33 nn

ii +=+

1 21

21

n

n

ii


53/78

;o 'C'$, sem usar o Assistente de 0un9o, 'ode-se resolver o 'roblema inserindo-se a 0rmuladada.

A 6 C1

DadosValore

sMem5ria de

Clc%loDa(a de &uros 7 ano

8 @,$$ 4

ra/o requerido 1 Arma/enado na memria /ero1 ')T'& 1,$$$$ 88> ara trans0ormar em n3mero )ndice

$,@ = 1,@$$ 88> Adiciona-se a ta(a do 'er)odo&C$ YX 1,$@WN 88>Dira a rai/ 1@

1 @ $,$@WN1$$ 7 @,WLEJ 88> Finali/a o clculo da Da(a 1,=3=i


54/78

9.J Capitali0a/o a P%ros compostos com ta7a de P%ros varivel

At agora, vimos somente a a'lica9o da 0rmula do Montante em casos em que a ta(a de &urosera constante no 'er)odo todo da a'lica9o# orm, 'ode acontecer de voc2 vir a ter vrias ta(asdi0erentes em uma mesma a'lica9o nanceira# Como, ento, calcular o Montante e a ta(a de

&uros resultante de todas as di0erentes ta(as que remuneraram o Ca'italQ

ara esses casos, a 0rmula do Montante, como a con%ecemos, 'ode ser 0acilmente a&ustada 'araagregar vrias ta(as# 6e&a.

A 0rmula, ento, 'ode ser re'resentada da seguinte 0orma.

e, como sabemos, a ta(a 'ode ser calculada 'or.

e ainda temos, se 0or o caso, a 0rmula da ta(a mdia 7mdia geomtrica8 em dado 'er)odo.

6oc2 tem ! J#$$$,$$ a'licados em um 0undo de renda (a# ;os 3ltimos meses as ta(as derendimento 0oram, res'ectivamente, de N, L, L,O e N,1#

Uual o seu Montante a'licado %o&e, qual a ta(a acumulada de &uros nesse meses e qual a ta(amdia mensalQ 6e&a como esse clculo 'ode ser 0eito.

( ) ( ) ( ) ( )n

iiiiCM ++++= 3333 C=3

3=C

Miac!m!lada ( ) ( ) ( ) ( ) 33333 C=3 ++++= nac!m!lada iiiii

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 33333 3

C=3 ++++= n

niiiii

4,4D 4,413

( )( )( )( ):C=3 3333 iiiiCM ++++=

C.444

4,41 4,4D>,C3=M


55/78

4tili/ando o 'C'$, os clculos 'odem ser 0eitos assim.


Ca'ital ou 6 !J#$$$,$$4 Da(a do 1X m2s N,$$ i19 Da(a do @X m2s L,$$ i@< Da(a do JX m2s L,O$ iJ Da(a do X m2s N,1$ iH Montante 7 X

m2s8 !J#OW1,WWMn : CV71P i18V71P

i@8V####V71P in8J

Da(a acumulada @W,NJiac :

71Pi18V71Pi@8V71PiJ8V71Pi8 -1L Da(a Mdia L,N@ i med : 77iacP1871K88 -1

ara 0acilitar a inser9o da 0rmula de clculo da ta(a mdia, ao invs de digitarmos todo o'roduto de 71P in8, somamos "1" ao resultado da ta(a acumulada 'ara obter esse valor que &tin%a sido digitado# Fa/endo isso, economi/a-se tem'o e 0acilita-se a 0rmula a ser inserida`

/eja como ficam as f&rmulasF

6H

:6;**1=64+;*1=69+;*1=6


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;a ? 1@C, este clculo 0eito da seguinte 0orma.

= $,$$$$

$,$N ')T'& $,$N$$1 = 1,$N$$

$,$L ')T'& $,$L$$1 = 7 1,1J@

$,$LO ')T'& $,$LO$1 = 7 1,@11J

$,$N1 ')T'& $,$N1$1 = 7 1,@WNJ

(TO 1,@WNJJ$$$ 7 4.JL1ILJLL 88> Calcula o Montante em quatro meses

&C$ 1,@WNJ1 @ $,@WNJ

1$$ 7 LIH44 88> Calcula a ta(a quadrimestral1 ')T'& 1,$$$$ $,@E$$

&C$ 1,@WNJ= [ [= 1,$LN@

1 @ $,$LN@1$$ 7 IH91 88> Clculo da Da(a


57/78

Abrindo a segunda Cai(a de ilogo da 0un9o, clique nos res'ectivos valores na tabela de Ca'itale lano 7este denido 'elo intervalo de todas as ta(as incorridas no 'er)odo8# Clique em +`


58/78

4ma em'resa tomou em'rstimo de ?ot Mone] de ! 1$$#$$$,$$ dirio e renovou esseem'rstimo 'or tr2s ve/es# As ta(as 'raticadas, ou cobradas 'elo banco, 0oram as seguintes.

1X dia J$@X dia JJJX dia J@X dia @W

;esse caso, ve&a qual a ta(a acumulada incorrida 'ela em'resa, qual a ta(a acumulada de &uros e

qual o Montante 'ago#


Ca'ital&N1.I

4 Da(a do 1X m2s J$,$9 Da(a do @X m2s JJ,$< Da(a do JX m2s J@,$ Da(a do X m2s @W,$H Da(a diria 1X dia 1,$$J Da(a diria @X dia 1,1$ lano

L Da(a diria JX dia 1,$N1Da(a diria X dia $,WN11

Da(a Acumulada ,@$iac : 71Pi1871Pi@871PiJ8

71Pi8 -11

Da(a Mdia 1,$Ji med : 77iacP1871K88

-114 Montante !1$#1WN,NW 6F>A;+7Ca'italY lano8

6e&a como caram as 0rmulas.

611 :**1=6H+;*1=6J+;*1=6L+;*1=61++@1

61 :**611=1+X*19++@1

614 :VF$A)O*6K6H861+

a!as m#nsais dispon>'#is no m#r"ado no dia da op#rao

No 3G diaNo =G diaNo CG dia

No n7simo dia

3C4

3C4

3C4

3C4

3 C=3

+

+

+

+= n

ac!m!lada

iiiii


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;a ? 1@C, o e(em'lo resolvido da seguinte 0orma.

= $,$$$$

J$ ')T'& J$,$$$$J$ 1I 88> Calcula a Da(a ;ominal do 1X m2s1$$ $,$1$$

1 = 1,$1$$(TO 1 1,$1$$

JJ ')T'& JJ,$$$$J$ 1I1 88> Calcula a Da(a ;ominal do @X m2s1$$ $,$11$

1 = 1,$11$

(TO 1,$11$J@ ')T'& J@,$$$$J$ 1IH 88> Calcula a Da(a ;ominal do JX m2s1$$ $,$1$N

1 = 1,$1$N(TO 4 1,$1$N

@W ')T'& @W,$$$$J$ ILH 88> Calcula a Da(a ;ominal do X m2s1$$ $,$$WN

1 = 1,$$WN(TO 9 1,$$WN

&C$ 1 7 1,$1WO

&C$ 7 1,$J1$&C$ 4 7 1I9 88> Calcula a Da(a Acumulada

(TO < 1,$@$ ')T'& ,$$$$

17 $,@E$$1,$@$ Q Y7 1,$1$J

1 @ $,$1$J1$$ 7 1I44L 88> Calcula a Da(a Calcula o Montante em quatro meses

&C$ < 1,$@$1 @ $,$@$

1$$ 7 9I1LHJ 88> Calcula a Da(a ;ominal do 1X m2s

#MO&TA)T'


60/78

;ormalmente, os em'rstimos de ?ot Mone] so ca'tados em o'era9es de CI e, 'ortanto, suasta(as reRetem a ta(a do CI mais uma outra ta(a adicional, o c%amado "s'read" no mercadonanceiro, que de onde os bancos tiram sua remunera9o nas transa9es#

ode-se di/er, ento, que a ta(a %ot com'osta da seguinte 0orma.

9.1 Ta7a over

Ata7a overnada mais do que a ta(a ao m2s 'or dia 3til# Muito utili/ada como e('resso deta(a de &uros no mercado nanceiro, convencionada 'ara ser a ta(a diria 3til multi'licada 'orJ$ 7mesmo sabendo que um m2s s 'ode ter @J dias 3teis8#

ua im'ort\ncia derivada do 0ato de muitos )ndices de 'rodutos do mercado nanceiro usaremsua linguagem 'ara e('ressar suas ta(as de rentabilidade 7ou custo, de'endendo do caso8# 4me(em'lo im'ortante o CD#7certicado de de'sito interbancrio8 de curto-'ra/o, o CD# Over#


61/78

1X- Drans0orma-se a ta(a anualem ta(a do 'er)odo de dias corridosdados na a'lica9o#@X- Ac%a-se ento a ta(a 'or dia 3til, 'artindo da ta(a do 'er)odo#JX- Multi'lica 'or J$'ara ter a ta(a +ver, ou se&a, a ta(a mensal 'or dia 3til do 'er)odo daa'lica9o#

Uual das a'lica9es mais rentvel. a'licar em CB do banco A, que 'aga 1E$ a#a 'or J$ diascorridos, corres'ondentes a @@ dias 3teis, ou o CB do banco B, que 'aga 1L$ a#a, 'or JJ dias

corridos, corres'ondentes a @J dias 3teis#esolvendo, temos.

;o 'C'$, temos.

A 6 C D1 Dados Valores A Valores 6 $embrete Da(a Anual do CB 1E$,$$ 1L$,$$ 4 ias corridos J$ JJ9

Da(a do er)odo N,WJ W,1E 771PD(#

Anual87JJKJL$88-1< ias 3teis no

'er)odo @@ @J

Da(a 'or dia til $,JE $,JO 771Pt(#'er#871Kd#3teis88-

1H Da(a +ver 1$,J 11,E D(# dia 3til VJ$

6e&a as 0rmulas deste 'roblema.

69:**1=6+X*644++@1 )as demais f5rm%lasI s5 deve

m%dar a referSncia da col%napara C ao invGs de 66:**1=69+X*16


62/78

6H

es'osta.

Como visto, o investimento no Banco B mel%or negcio 'ois o retorno maior na ta(a +ver#ode-se & ver isso no maior retorno 'or dia 3til, tambm#

;a ? 1@C, o clculo da ta(a over dos 6alores A d-se da seguinte 0orma.


63/78

elecione ento a 0un9o IADABA>?+D+DA> e clique em +.

Insira as re0er2ncias corres'ondentes clicando com o mouse na 'lanil%a de origem dos dados# ;ocaso dos 0eriados, eles devem ser inseridos como intervalo, selecionando todas as clulas com asdatas na 'lanil%a de origem dos dados# Clique em +#

+ n3mero resultante deve ento ter seu valor redu/ido em uma unidade, 'ara que ambos os

e(tremos no se&am contabili/ados no resultado nal#

;o e(em'lo a seguir voc2 ver como 0cil# egaremos como re0er2ncia o m2s de maio, 'ois eletem um 0eriado consagrado em nosso calendrio, o ia do Drabal%o#

Calcule o n3mero de dias corridos e dias 3teis no m2s de maio de @$$$, e imagine que %aver um0eriado regional no dia @$ de maio#

A 6 C1 Dados Valores $embrete ata Inicial 1-Mai4 ata Final J1-Mai9 Feriados 1-Mai< @$-Mai

ias Corridos J$,$$a'enas subtrai duas

datasH ias teis-Fun9o @@,$$ resultado da 0un9oJ ias teis Dotal @1,$$ esultado da 0un9o -1

6J:D#AT&A6A$BOTOTA$*6K64K6986


64/78

>embre-se que, naqueles casos, as ta(as cobradas redu/iam o valor a ser resgatado, aumentandoa ta(a de desconto e0etiva, enquanto a ta(a de desconto nominal 'ermanecia inalterada#

9.1 Ta7a nominal e efetiva %ando o perEodo da ta7a n/o coincide com o perEodo dacapitali0a/o

vimos no 'rimeiro mdulo deste curso que "ca'itali/a9o o ato de incluir os &uros incorridosdurante um 'er)odo no ca'ital inicial, resultando em um montante "ca'itali/ado"#


65/78

Taxa Nominal para Taxa Efetiva

;o 'C'$, os clculos 'odem ser 0eitos assim.

A 6 C1 Dados Valores $embrete Da(a nominal anual 1W DADA4 Da(a e0etiva 7'er)odo8 1,EO Da(a ;ominal anualK1@9

Da(a e0etiva anual @$,NE 77D(#


66/78

9.14 Valor at%al e valor nominal

+s conceitos de valor atual ou 'resente e valor nominal, 0uturo ou nal so os mesmos que osvistos em &uros sim'les, s que o clculo di0erenciado, 'elo regime de ca'itali/a9o com'osta#;esse caso, o diagrama seria.

neste caso, temos.

+ clculo 'ara esse ti'o de 'roblema 'ode ser encontrado de diversas maneiras# ;esse momento,no entanto, nos interessa saber somente alguns#

6e&amos um e(em'lo.

4m t)tulo tem valor nominal de ! J#$$$,$$# abe-se que a ta(a de &uros ao m2s de E# Uualseria o valor atual se 0osse liquidado dois meses antes do vencimentoQ

Pela frmula

elo


67/78

BE:B@K771PBJ8B8

elo


68/78

4m t)tulo 0oi 'ago com @$ dias de atraso# +s &uros de mora cobrados so de 1$ a#m# e voc2'udesse escol%er segundo qual regime os &uros seriam calculados, qual escol%eriaQ 7u'on%a ovalor nominal de ! 1#$$$,$$8

Dica8calcule os &uros sob o regime de ca'itali/a9o sim'les e com'osta# uros im'les 7a#d#81$$ I44

(TO 1 I44

1$ ')T'& 1$,$$$$

1$$ $,1$$$1 = 1,1$$$J$ 17 $,$JJJ

Y7 1,$$J@1 @ $,$$J@

(TO I41$$ 7 I41J 88>uros Com'ostos

7a#d#8@$ ')T'& @$,$$$$

&C$ 1 7 $,$LLN


69/78

1 = 1,$LLN1$$$ 7 1.IH 88> Montante. uros im'les

&C$ $,$$J@1 = 1,$$J@

@$ Y7 1,$LEL1$$$ 1. Montante. uros Com'ostos

M5d%lo < @ Desconto Composto


70/78


71/78

;o clculo 'or 0ora, utili/a-se a ta(a de desconto 'ara o clculo do desconto comercial# ;essametodologia a ta(a de desconto incide sobre o valor nal#

6e&a a di0eren9a na metodologia.


72/78

'ntrada Teclaf%n/o

(aEda

0 $,$$$$= [ $,$$$$

0 $,$$$$C>= $,$$$$

E#$$$ CB( FV E#$$$,$$$$@,E i @,E$$$$J n J,$$$$

V 9.9ILLH1 ..T 6alor Atual 'elo esconto acional

$,$@ CB(')T'&

-$,$@

1 = $,WNELJ Q7 $,W@OL

E#$$$ 7 9.9IJ


73/78

As 0rmulas 'ara a converso das ta(as equivalentes 'odem ser vistas abai(o.

'7emplo8

'%ivalSncia de Ta7as de Desconto e Ta7as de ,%ros )ominais e 'fetivas

A 6 C D1

Dados T7. Dada &es%ltadosT7.

'%ivalente

Da(a de uros mensal J,$$ D(# esconto


74/78

;estes 'rimeiros dois casos, o 'rocedimento sim'les# Como se trata de um clculo deequival2ncia de ta(as comperEodos %nitrios, ignoram-se os e('oentes de ambas as 0rmulas e0a/-se, ento, a converso.

:1@1*1=6+:*1*1@69++ @1

i : 9 por trSs meses

;o terceiro caso, o perEodo de antecipa/ono desconto do t)tulo de tr2s meses# Assim, temosduas ta(as de desconto equivalentes# ela ordem, a 'rimeira a ta(a de desconto equivalente 5a'lica9o de uma ta(a de &uros 'or tr2s meses, iguais aos da anteci'a9o#


75/78

:**1=D14+X619+@1:D14;619

'7emplo8

Compra a vista e Compra a pra0o

assando na rua, voc2 v2 uma 0ai(a na 0rente de uma lo&a que di/.

6oc2 ento entra na lo&a querendo com'rar um com'utador# + 're9o na etiqueta de !1#E$$,$$# ;o momento, 'orm, voc2 s tem ! 1#J$$,$$#

Conversando com o vendedor, voc2 descobre que os &uros cobrados no credirio so de N,J a#m#A'licando os conceitos da Matemtica Financeira, qual o desconto que voc2 'ode 'edir aovendedor 'ara 'agar a vistaQ

A 61 Dados &esol%/o re9o a ra/o ! 1#E$$,$$

4Da(a de uros7a#m#8 N,J

9 er)odo @< Da(a de esconto


76/78

= $,$$$

$,$NJ ')T'& $,$NJ$1 = 1,$NJ$@ Q7 17 CB( -$,OLOL1 = $,1J1

(TO 1 $,1J11$$ 7 14I194L Da(a de esconto )quido escontado

1#E$$ @ CB( 1LHI1


77/78

'rimeira vista 'arece mais um caso no qual se 'ode, 0acilmente, ac%ar a ta(a equivalente dedesconto da ta(a dada de &uros, ou a ta(a equivalente de &uros da ta(a dada de desconto ecom'arar#

A 61 Dados &esol%/o Da(a de uros

7a#m#8 ,E$ 4 er)odo J,$9 D(# esconto


78/78

:1-B1JKB@

escontando cada um dos desembolsos que sero 0eitos em J$, L$ e W$ dias, re0erentes a umter9o do 'agamento total, vemos que o valor 'resente total desses desembolsos resulta em umvalor menor do que se /ssemos a com'osi9o dos ,E 'elos tr2s meses#

esta 0orma, o desconto equivalente tambm ser menor, como demonstrado na tabela#

esta 0orma, 'ercebe-se que o desconto de 1@ muito mais vanta&oso 'ara o com'rador#

;a ? 1@C, o clculo 0eito desta 0orma.

= $,$

$,$E ')T'& $,$E$

1 = 1,$E$1 Q7 17 $,WELWJ 7 @,ON$O

(TO 1 IJHJ ..T 1X agto# escontado

$,$E ')T'& $,$E$1 = 1,$E$@ Q7 17 $,W1ENJ 7 @,NN@

(TO IH9H ..T @X agto# escontado

$,$E ')T'& $,$E$1 = 1,$E$J Q7 17 $,ONLJJ 7 @,L@OW

(TO 4 IJL ..T JX agto# escontado

&C$ 1 @,ON$O&C$ = E,L1O$&$C 4 = JI9L ..T 6alor resente da rie

W,$$ C? -$,W1LJ1 = $,$OJN

1$$ 7 JI4HH ..T Da(a de esconto

matematica financeira

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