matematica financeira

7/18/2019 Matematica Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA | Módulo Completo Prof. Valdenilson

Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2222 – www.masterconcurso.com.br 1

OS: 0062/10/12-Gil

MATEMÁTICA

FINANCEIRA MÓDULO COMPLETO

Prof. Valdenilson

CEF

OS: 0062/10/13-Gil





OS: 0062/10/12-Gil

CONCURSO: CEF – CAIXA ECONÔMICA FEDERAL

ASSUNTO:

1 – JUROS SIMPLES2 – DESCONTOS SIMPLES3 – JUROS COMPOSTOS4 – TAXAS DE JUROS5 – DESCONTOS COMPOSTOS6 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS7 – RENDAS UNIFORMES8 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO9 – NOÇÕES DE INVESTIMENTOS

1 – JUROS SIMPLES

Os elementos básicos de uma operaçãofinanceira são: Juros, Capital, Prazo e Taxa e Juros!

Vejamos as definições destes elementosbásicos da matemática financeira.

De"i#i$%o& Juros é a remuneração atribuída aum capital aplicado durante um período de tempo. O

valor dos juros será indicado pela letra J .

De"i#i$%o& O Prao de aplicação de umaoperação financeira é o período de tempo em !ue o

capital foi aplicado e pode ser medido em váriasunidades de tempo tais como: dia" m#s" bimestre"trimestre" semestre" ano" bi#nio" etc...

$ma ve !ue podemos utiliar unidades detempo distintas" é importante entender as re%ras deconversão entre elas.

&om" neste caso" 'á dois tipos de calendáriosa destacar: o (alendário (ivil e o (alendário(omercial.

Cale#'rio Ci(il& O calendário civil se%ue )risca os dias do calendário %re%oriano" ou seja" nestecalendário cada ano tem *+, dias e *++ dias para ocaso de ano bisse-to" onde o m#s de fevereiro teme-atamente / dias. 0sto pode ser visualiado nastabelas se%uintes.

A#o N%o)*issexto + -. ias

JAN FE/ MAR A*R MAI JUN

*1 2 *1 *3 *1 *3

JUL A0O 1ET OUT NO/ DE2

*1 *1 *3 *1 *3 *1

A#o *issexto + -- ias

JAN FE/ MAR A*R MAI JUN

*1 / *1 *3 *1 *3

JUL A0O 1ET OUT NO/ DE2

*1 *1 *3 *1 *3 *1

Co3o sa4er se o a#o 5 4issexto6

$m ano é bisse-to somente !uando on4mero !ue o representa é divisível por 5 e setermina em 6337deve ser divisível por 533.

Exe3plo 7& (lassifi!ue os anos 1/33" 1//+"1//2 e 333 em bisse-to ou não.

1olu$%o&

O ano 1/33 não foi bisse-to" pois 1/33termina em 733" mas não é divisível por 533.

O ano 1//+ foi bisse-to" pois 1//+ é divisívelpor 5 e não termina em 6337.

O ano 1//2 não foi bisse-to" pois 1//2" apesarde não terminar em 6337" não é divisível por 5.

O ano 333 foi bisse-to" pois termina em 6337e é divisível por 533.

O4ser(a$%o& é muito incomum uma banca cobrar ocalendário civil em provas" mas pode ser cobrado emal%uns problemas e" !uando isso ocorrer" terá umadata início e data final definida para !ue se possafaer a conta%em do n4mero de dias da operaçãofinanceira. 8ão se preocupe" se isso acontecer voc#será e-pressamente avisado no enunciado !ue ocalendário a ser utiliado é o civil.





OS: 0062/10/12-Gil

Cale#'rio Co3er8ial& O calendário comercialadmite todos os meses do ano com e-atamente *3dias" ou seja" o ano comercial tem e-atamente *+3dias.

Co#(ers%o e Te3po #o Cale#'rio Co3er8ial

9eja D

o n4mero de dias" M

o n4mero demeses e A

o n4mero de anos para conversão destasunidades entre si" se%ue o dia%rama abai-o.

30 12

30 12

360

360

D M A

÷ ÷

× ×

÷

→ →

← ←

×

Exe3plo 9& ;ransforme <3 dias em m#s eanos" respectivamente.

1olu$%o& $tiliando o dia%rama de conversão e-postoanteriormente temos:

30 12720

24

72

M A

M

÷ ÷ → →

⇒ = 03 0

24

1

242

12 12

M

M A A

⇒ =

= = ⇒ =

Portanto <3 dias corresponde a 5 meses e"também corresponde a anos.

9e !uiséssemos transformar diretamente dedias pra ano" poderíamos simplesmente dividir a!uantidade de dias por *+3.

=ssim teríamos:

2

72

360

D A A= ⇒ =

0

36 02

1

A⇒ =

>o%o" <3 dias corresponde a anos comerciais.

9alvo e-pressamente informado do contrário"sempre será utiliado" para efeito de provas" ocalendário comercial.

O n4mero de período de aplicação de capital

C " será indicado por n .

De"i#i$%o& O n4mero !ue determina o juroproduido por um capital em um período é uma ta-apercentual do capital c'amada taxa e :uro. = ta-a de

juros será indicada pela letra i .

De"i#i$%o& ?ontante é a soma do capitalaplicado com o juro produido no período.@epresentaremos o montante pela letra M .

Antão" uma operação financeira apresentaas se%uintes variáveis:

J → Juros.

C → (apital.

M → ?ontante.

i → ta-a de juro em um período.

n → n4mero de períodos de aplicação.

De"i#i$%o& BO Juro 9imples é o juro calculadounicamente sobre o capital inicial" em !ual!uerperíodo de tempoC.

O Juro simples é diretamente proporcionalao capital aplicado e ao tempo de aplicação" e aconstante proporcional é a ta-a de juro. = relaçãoentre eles se dá através da e-pressão abai-o:

s J C i n= ⋅ ⋅

D 0 E

" onde o período de aplicação n deve ser e-presso na

mesma unidade de tempo a !ue se refere a ta-a de juro i

considerada.

Exe3plo & $ma pessoa tomou emprestada" a juros

simples" a importFncia de @G 1333"33 " pelo prao de anos" ) ta-a de ",H ao m#s. Iual será o valor do

juro a ser pa%o





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1olu$%o& 8ote !ue o período está em ano e a ta-a de juro está em m#s" portanto devemos dei-áKlas namesma unidade de tempo. = escol'a é arbitrária" masvamos transformar tudo pra meses neste caso.

(onvertendo os tempos para mesmaunidade de tempo da ta-a:

anos meses

1 121 2 12 24

2 x x

x↑ ↑ ⇒ × = × ⇒ =

8ote !ue a ta-a é percentual" então devemostransformar para ta-a unitária" ou seja:

2,5 5

2,5% 100 200i i= = ⇒ =

=%ora temos os se%uintes dados:

12000C = "5

200i = e 24n = . $tiliando a relação

de juros simples temos:

120 00 J C i n= ⋅ ⋅ = 5

2 00

×

12

120 5 2424

× ×× =

21

120 5 12 7200 J J ⇒ = × × ⇒ =

>o%o" o juro a ser pa%o é de @G <33"33.

O montante simples Dou valor nominalE deum capital aplicado a juros simples é dado pelae-pressão:

S S M C J = + ou

(1 )S M C i n= ⋅ + ⋅

D 00 E

Exe3plo ;& Iue montante receberá umaplicador !ue investiu @G 23333"33" durante 1,meses" ) ta-a de * H ao m#s" no re%ime simples

1olu$%o 7&

;emos as se%uintes informações:

3280000 , 3% , 15 , ?

100 S

C i n M = = = = =

3(1 ) 280000 1 15

100

3

3 15280000 1

S M C i n

= ⋅ + ⋅ = × + ×

×

= × + 10

9280000 1 200

2

20 9280000 28000 0

20

= × +

+ = × =

29

2 0×

14

28=

000 29

2

×

1

14000 29 406000S S M M ⇒ = × ⇒ =

>o%o" o montante a res%atar no final do período éi%ual a @G 53+333"33.

1olu$%o 9&


3280000 , 3% , 15 , ?

100 S

C i n M = = = = =

Vamos calcular inicialmente o juro simples do

período e depois o montante simples.

) 2800 00S

J C i n= ⋅ ⋅ = 3

100× 15

2800 3 15 126000

280000 126000

406000

S S

S S S

S

J J

M C J M

M

×

⇒ = × × ⇒ =

= + ⇒ = +

⇒ =


8a relação D 00 E temos (1 )S M C i n= ⋅ + ⋅ .

Podemos substituir o resultado dentro do par#nteses

por C f . 0sso tornaria a i%ualdade mencionada acima

na se%uinte:

S C M C f = ⋅

" onde1C f i n= + ⋅

D 000 E

" da maneira acima definida c'amaremos de "ator e8orre$%o e 8apital D"ator e atualiza$%o e 8apital ou ainda "ator e a8u3ula$%o e 8apitalE.





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Vamos resolver o e-emplo 5 novamente"a%ora utiliando o fator de correção.


3280000 , 3% , 15 , ?100

S C i n M = = = = =

Vamos calcular o fator de correção e depois o

montante.

3 45 100 45 1451 1 15 1

100 100 100 100

2800 00

C

S C

f i n

M C f

+= + ⋅ = + × = + = =

= ⋅ = 145

100× 2800 145 406000= × =


Taxa M5ia

(onsidere os capitais 1 2, , ,k C C C … " aplicados"

respectivamente" durante os praos 1 2, , , k n n n… " )s

ta-as 1 2, , , k i i i… " no re%ime de capitaliação simples.

= ta-a 4nica a !ual se devem aplicar todos os capitais

1 2, , , k C C C … " nos respectivos praos 1 2, , , k n n n… "

para obter o mesmo rendimento" no mesmo re%imede capitaliação simples" é c'amada de taxa 35ia"

indicada por M i " e será calculada através da relação:

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

k k k M

k k

C i n C i n C i ni

C n C n C n

× × + × × + + × ×=

× + × + + ×

⋯

⋯

D0VE

ou ainda" em notação si%maDsomatLrioE:

1

1

p

p p p

p

M p

p p

p

C i n

i

C n

=

=

× ×

=

×

∑

∑ DVE

Taxa M5ia a Prazo Co#sta#te

Iuando os praos das aplicações são i%uais"ou seja" o período é constante" a ta-a média reduKsea e-pressão:

1 1 2 2

1 2

k k M

k

C i C i C ii

C C C

× + × + + ×=

+ + +

⋯

⋯

DV0E


1

1

p

p p

p

M p

p p

C i

i

C

=

=

×

=

∑

∑

DV00E

Exe3plo .& Iual a ta-a mensal 4nica necessária paraobter o mesmo rendimento !ue as aplicações de @G1333"33 e @G 333"33" com os praos respectivos de 5meses e meses e ta-as mensais respectivas de 1,He 1H " no re%ime de capitaliação simples

1olu$%o& Mevemos calcular a ta-a média. Podemos

e-trair do enunciado os se%uintes dados:

1 1 1

2 2 2

1000, 15% , 4

2000, 12% , 2

C i n

C i n

= = =

= = =

$tiliando a e-pressão D 0V E temos:

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1000

M

M

C i n C i ni

C n C n

i

× × + × ×=

× + ×

⇒ = 15 4 2000× × + 12 2

1000

× ×

4 2000× + 2

15 4 2 12 2 60 48 10813,5

4 2 2 8 8

13,5%

M

M

i

i

×× + × × +

⇒ = = = =+ ×

⇒ =

Portanto" a ta-a 4nica necessária para i%ualar osrendimentos das aplicações distintas com as mesmascondições de valores e praos é 1*",H.

Exe3plo -& Iual a ta-a mensal 4nica necessária para

obter o mesmo rendimento !ue as aplicações de @G2333"33 e @G 1333"33" com as respectivas ta-asmensais de 12H e 1*H" ambas com o mesmo prao deaplicação" no re%ime de capitaliação simples





OS: 0062/10/12-Gil

1olu$%o& Mevemos calcular a ta-a média a praoconstante. =s informações do enunciado são:

1 1

2 2

8000, 18%

12000, 13%

C i

C i

= =

= =

$tiliando a e-pressão D V0 E temos:

1 1 2 2

1 2

8000

M

M

C i C ii

C C

i

× + ×=

+

⇒ = 18 12 000× + 13

8000

×

12000+

8 18 12 13 144 156 30 0

8 12 20 M i

× + × +⇒ = = =

+ 2 015

15% M i

=

⇒ =

Portanto" a ta-a média a prao constante destaoperação é 1,H ao m#s.

Prazo M5io

(onsidere os capitais 1 2, , ,k C C C … " aplicados"

respectivamente" durante os praos 1 2, , , k n n n… " )s

ta-as 1 2, , , k i i i… " no re%ime de capitaliação simples.

O prao 4nico ao !ual se devem aplicar todos os

capitais 1 2, , , k C C C … " nas respectivas ta-as

1 2, , , k i i i… " para obter o mesmo rendimento" no

mesmo re%ime de capitaliação simples" é c'amado

de prazo 35io" indicada por M n " e será calculado

através da relação:

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

k k k

M k k

C i n C i n C i nn

C i C i C i

× × + × × + + × ×=

× + × + + ×

⋯

⋯

DV000E


1

1

p

p p p

p

M p

p p

p

C i n

n

C i

=

=

× ×

=

×

∑

∑ D0NE

Prazo M5io a Taxa Co#sta#te

Iuando as ta-as das aplicações são i%uais" ouseja" ta-a constante" o prao médio é dado por:

1 1 2 2

1 2

k k M

k

C n C n C nn

C C C × + × + + ×=

+ + +

⋯

⋯

DNE


1

1

p

p p

p

M p

p

p

C n

n

C

=

=

×

=

∑

∑ DN0E

Exe3plo <& Aste ano fi duas aplicações em re%ime decapitaliação simples: = primeira de @G 1333"33"durante 2 meses" a uma ta-a mensal de +H. =se%unda de @G 1,33"33" durante / meses" a uma ta-amensal de 2H. 9e !uisesse faer as duas aplicações

juntas" durante um mesmo prao" para obter omesmo rendimento" respeitadas as ta-as deremuneração" !ual seria este prao

1olu$%o& Mevemos calcular o prao médio. Podemose-trair do enunciado os se%uintes dados:

1 1 1

2 2 2

1000, 6% , 8

1500, 8% , 9

C i n

C i n

= = =

= = =

$tiliando a e-pressão D V000 E temos:

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

M

C i n C i nn

C i C i

× × + × ×=

× + ×

10 00 M n⇒ =

6 8 15 00× × + 8 9

1000

× ×

6 1500× + 8

10 6 8 15 8 9 480 1080

10 6 15 8 60 120

1560

M

M

n

n

×

× × + × × +⇒ = =

× + × +

⇒ =18 0

26 28 8m 20d

3 3 M

n e= = + ⇒ =

Portanto" deverei aplicar os dois capitaisdurante 2 meses e 3 dias para obter i%ualrendimento" considerando o calendário comercial.





OS: 0062/10/12-Gil

Exe3plo =& Aste ano fi duas aplicações em re%ime decapitaliação simples: = primeira de @G 1333"33"durante 2 meses. = se%unda de @G 1,33"33" durante *meses" ambas a uma mesma ta-a de juro. 9e !uisessefaer as duas aplicações juntas" durante um mesmo

prao" para obter o mesmo rendimento" ) mesmata-a de remuneração" !ual seria este prao

1olu$%o& Mevemos calcular a ta-a média a praoconstante. =s informações do enunciado são:

1 1

2 2

1000, 8

1500, 3

C n

C n

= =

= =

$tiliando a e-pressão D N0 E temos:

1 1 2 2

1 2

10 00

M

M

C n C nnC C

n

× + ×=+

⇒ = 8 1500× + 3

10 00

×

1500+

10 8 15 3 80 45 1255

10 15 25 25 M M n n

× + × +⇒ = = = ⇒ =

+

>o%o" o prao médio a ta-a constante desta operaçãoé de , meses.

Taxas Propor8io#ais

De"i#i$%o& BMuas ta-as são proporcionais !uandoseus valores formam uma proporção com os tempos aelas referidos" reduidos ) mesma unidadeC.

9ejam 1i e 2i

duas ta-as relativas" respectivamente"

aos tempos 1n

e 2n " =s ta-as 1i

e 2i são ditas

proporcionais se e somente se a relação abai-o for

satisfeita:

1 1

2 2

i n

i n=

DN00E

Exe3plo >& Iual a ta-a mensal proporcional a ta-aanual de *3 H

8este caso temos:

1 30%i =

Dao anoE

2 ?i =

Dao m#sE

1 1n =

ano 1 12n⇒ =

meses

2 1n =

m#s

$tiliando a relação anterior temos:

1 12 2

2 2 2

5

30 12 3012 30

1

i ni i

i n i= ⇒ = ⇒ × = ⇒ =

12

2 2

2

52,5% ao mês.

2i i⇒ = ⇒ =

Taxas E?ui(ale#tes #a Capitaliza$%o 1i3ples

De"i#i$%o& B8a capitaliação simples" duas ta-as emunidades de tempo distintas são e!uivalentes se" esomente se" são proporcionaisC.

8o e-emplo / vimos !ue as ta-as *3H ao ano e ",Hao m#s são proporcionais" lo%o são e!uivalentes. 0sto!uer dier !ue ao aplicar determinado capital durante1 meses ) ta-a mensal de ",H" o montanteproduido no final desta operação é e!uivalente ao

montante da aplicação deste mesmo capital" duranteum ano" ) ta-a anual de *3H.

Co3porta3e#to o Mo#ta#te 1i3ples

= se!u#ncia de montantes simples de uma operaçãofinanceira se comporta se%undo uma Pro%ressão=ritmética" onde o primeiro termo é o (apitalcorri%ido em um período e a raão é o juro de umperíodo.

Exe3plo 7@& (alcule os montantes resultantes daaplicação de @G 133"33 a uma ta-a mensal de 13Hpara os praos de: um m#s" dois meses e tr#s meses.

1olu$%o& temos as se%uintes informações:

100 , 10%C i= = ao m#s





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Para 1n = m#s temos:

1

10(1 ) 100 1 M C i n= ⋅ + ⋅ = × +

10 0

1

1

1

1 10 1100 1 10010 10

10 0

M

M

×

+ ⇒ = × + = ×

⇒ = 11

10× 10 11 110= × =

Para 2n = meses temos:

2

10(1 ) 100 1 M C i n= ⋅ + ⋅ = × +

10 0

2

2

2

2 10 2100 1 10010 10

10 0

M

M

×

+ ⇒ = × + = ×

⇒ = 12

10× 10 12 120= × =

Para 3n = meses temos:

3

10(1 ) 100 1 M C i n= ⋅ + ⋅ = × +

10 0

3

3

3

3 10 3100 1 10010 10

10 0

M

M

×

+ ⇒ = × + = ×

⇒ = 13

10× 10 13 130= × =

= se!u#ncia de montantes é uma P=" veja:

1 2 3

1

110 120 130

1º termo 110

Razão 10% de100 10

M M M

C i C M

i C

= + × = =⇒

= × = =

Cres8i3e#to o Mo#ta#te 1i3ples

O crescimento do ?ontante 9imples é linear"ou seja" o montante aumenta i%ualmente a cadaperíodo de tempo. A este aumento é o juro de umperíodo.

Represe#ta$%o 0r'"i8a&

Mo#ta#te 1i3ples perBoo

= representação %ráfica do ?ontante 9imples

no plano cartesiano" considerandoKse o período comoa abscissa e o montante como a ordenada" é umconjunto de pontos !ue estão alin'ados por uma reta.9e adotarmos o tempo como contínuo" o %ráfico do?ontante 9imples em relação ao período é uma reta!ue tem as se%uintes características:

• 0ntersecta o ei-o das ordenadas na ordenada i%ualao (apital.

• O coeficiente an%ular da reta é dado pelo juro deum período.

Me forma %enérica" temos a se%uinterepresentação %ráfica:

Exe3plo 77& Vamos representar %raficamente aoperação financeira do e-emplo 13.

1olu$%o& Para esta operação temos o se%uinteconjunto de pontos:

0 1

2 3

(0,100), (1,110),

(2,120), (3,130)

P P

P P

= =

= =





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@epresentando no %ráfico temos a se%uinte fi%ura:

QUESTÕES DE CONCURSOS

7! CE10RANRIOANP 9@@= = Ampresa Mias 8oites >tda. obteve um empréstimo [email protected]"33 pelo prao de + meses a jurossimples de *H ao m#s. 8o final do prao deempréstimo" a empresa vai pa%ar ao &anco omontante de

=E 11.233"33&E 11.+//"//(E 11.,33"33

ME 11.***"**AE 13./23"33

9! CE10RANRIOTERMOCEARÁ 9@@> Me !uanto é"em reais" o capital aplicado por + meses a umata-a de juros simples de *H ao m#s" e !uerendeu @G 1.+33"33

=E ,,.<33"33&E +.+33"33(E +2.222"2/

ME +/.+++"+<AE <3.333"33

! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@= $ma aplicação!ue rendeu juros simples de ",H ao m#s"durante 5 meses" %erou um montante de @G+3.333"33. O valor aplicado !ue permitiu c'e%ara esse valor de res%ate" em reais" foi

=E ,,.,,,",,&E ,,.5,,",5

(E ,,.333"33ME ,5.,5,"5,AE ,3.333"33

;! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@> $m capital C será aplicado a juros simples de 1",H ao m#s"durante 2 meses. =o final desse período" omontante será res%atado. Antretanto" o %erentedo fundo reterá 5H desse montante como ta-a

de administração. MesejaKse !ue o res%ate finalseja de e-atamente @G 1.*55"33. O valor C " emreais" a ser aplicado" será uma !uantia

=E menor do !ue 233"33.&E entre 233"33 e 1.333"33.(E entre 1.333"33 e 1.33"33.ME entre 1.33"33 e 1.533"33.AE maior do !ue 1.533"33.

.! CE10RANRIO*NDE1 9@@; $ma loja vende um

arti%o e oferece duas opções de pa%amento: )vista" por @G 123"33" ou em dois pa%amentosi%uais de @G 133"33 cada" sendo o primeiro noato da compra e o se%undo" um m#s depois dacompra. Iual é a ta-a mensal dos juros cobradosde !uem compra a prao=E ,H&E 3H(E 1",HME 11"1HAE 13H

-! CE10RANRIO*NDE1 9@@> $ma loja ofereceduas opções de pa%amento na compra de umabicicleta: @G 33"33 ) vista" ou a prao" em duasprestações mensais i%uais de @G 13"33" sendo aprimeira delas pa%a no ato da compra. ;omandoKse a opção de pa%amento ) vista comorefer#ncia" a ta-a mensal de juros cobrada pelaloja na venda a prao é=E 3H&E ,H

(E 53HME ,3HAE +3H

<! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@77 ?aria !uercomprar uma bolsa !ue custa @G 2,"33 ) vista.(omo não tin'a essa !uantia no momento e não!ueria perder a oportunidade" aceitou a ofertada loja de pa%ar duas prestações de @G 5,"33"uma no ato da compra e outra um m#s depois. =ta-a de juros mensal !ue a loja estava cobrando

nessa operação era de=E ,"3H&E ,"/H(E <",H





OS: 0062/10/12-Gil

ME 13"3HAE 1",H

=! FCC** 9@@- $m televisor é vendido em umaloja onde o comprador pode escol'er uma das

se%uintes opções:

0. @G ,333"33" ) vista sem desconto.00. @G 1333"33 de entrada e um pa%amento no

valor de @G 5,33"33 em 1 DumE m#s apLs adata da compra.

= ta-a de juros mensal cobrada pela loja nopa%amento da se%unda opção" !ue vence em1DumE m#s apLs a data da compra" é de:=E *3H

&E ,H(E 3HME 1,HAE 1",H

>! FCCCEF 9@@; N)NE 8uma aplicação a jurosimples um capital produ em meses omontante de @G ,5+3"33. 9e aplicado ) mesmata-a mensal de ",H" o mesmo capital produiria"ao final de , meses" o montante de @G ,2,3"33. Ovalor desse capital é:

=E @G ,23"33&E @G ,33"33(E @G ,123"33ME @G ,133"33AE @G ,332"33

7@! FCCCEF 9@@@ $m capital foi aplicado a jurosimples e" ao completar um período de 1 ano e 5meses" produiu um montante e!uivalente a <,de seu valor. = ta-a mensal dessa aplicação foi

de:=E H&E "H(E ",HME "+HAE "2H

77! FCCCEF 9@@@ $m capital de @G 1,333"33 foiaplicado a juro simples ) ta-a bimestral de *H.Para !ue seja obtido um montante de@G 1/3,3"33" o prao dessa aplicação deverá ser

de:

=E 1 ano e 13 meses.&E 1 ano e / meses.

(E 1 ano e 2 meses.ME 1 ano e + meses.AE 1 ano e 5 meses.

79! *ACEN 8a capitaliação simples" os juros

correspondentes ) aplicação de @G 333"33 pordois meses" ) ta-a de 5H ao m#s" é:

=E @G *3"33&E @G 1+3"33(E @G 1+3"33ME @G 1*3"33AE @G *3"33

7! CE10RANRIOPETRO*RÁ1 (erto capitalaplicado durante 13 meses rendeu @G <33"33 de

juros" ) ta-a de 1"H ao m#s" em re%ime de jurossimples. O montante resultante desta operação"em reais" é:

=E 5233&E ,233(E +3333ME +33AE +<33

7;! 1EFA2)R1 Iual é o rendimento obtido por @G

333"33 aplicados por 123 dias ) ta-a de jurossimples de *H ao m#s

=E @G *+3"33&E @G *22"3(E @G *+3"33ME @G *22"3AE @G 13233"33

7.! 1EFA2)PI Murante o m#s de maio" um capital de@G 333"33 foi aplicado no open market Dsistema

de juros simplesE a uma ta-a de *3H ao m#s"tendo produido um montante de @G 53"33. On4mero de dias a !ue esse capital esteveempre%ado foi de:

=E 2&E 13(E 1ME *AE 1,

7-! TRT)E1 ObtendoKse em de meses" @G 13333"33 de juros simples pelo empréstimo de umcapital de @G 33333"33" ) ta-a de +H a.m."





OS: 0062/10/12-Gil

determine o tempo necessário para se %an'ar osmesmos juros" caso a ta-a seja de +3H ao ano.

=E 2 meses&E 1, meses

(E 1 anoME 13 mesesAE 1* meses

7<! *! *RA1IL $ma %eladeira é vendida ) vista por@G 1333"33 ou em duas parcelas" sendo aprimeira com uma entrada de @G 33"33 e ase%unda" dois meses apLs" no valor de @G 223"33.Iual a ta-a mensal de juros simples utiliada

=E +H

&E 5H(E HME ,HAE *H

7=! TRT O n4mero de bimestres necessários paratriplicar um capital aplicado a uma ta-a de 1,3Hao semestre" em re%ime de juros simples" é:

=E +&E ,

(E 5ME *AE

7>! 1EFA2)AM (arla aplicou3

5

de um certo capital

C

a uma ta-a de 13H ao ano e aplicou o restantea uma ta-a de 1,H ao ano. =o final de um ano(arla recebeu @G 533"33 de juros. O valor de C

é:=E @G +533"33&E @G 15533"33

(E @G 1+333"33ME @G 12533"33AE @G 3333"33

9@! TRT)E1 $ma pessoa empre%a seu capital nasse%uintes condições: a terça parte a 1,H ao ano"a !uinta parte a 12H ao ano e o restante a 1Hao ano. Iual a ta-a 4nica" a !ue a mesma poderiaempre%ar todo o capital" a fim de obter o mesmorendimento anual=E 13H

&E 1"+H(E 1+"2HME 12"5HAE 1/"2H

97! FTE)PA ;r#s capitais nos valores de @G 1333"33 "@G 333"33 e @G 5333"33 são aplicados"respectivamente" )s ta-as de ,",H " 5H e 5",H aom#s" durante o mesmo n4mero de meses.Obten'a a ta-a média mensal de aplicação

destes capitais.

=E *",H&E 5H(E 5",HME 5",HAE ,H

99! C/M Os capitais de @G 1333"33" @G 3333"33 e@G 1+333"33 foram aplicados ) mesma ta-a de

juros simples" durante nove" cinco e oito meses"

respectivamente. = soma desses capitais" isto é"@G 52333"33" para produir um juro simples i%ual) soma dos juros produidos por a!ueles capitaisnos praos respectivos" deveria ser aplicadadurante !uantos meses

=E +&E <(E 2ME /AE 13

9! 1EFA2)AM $m pe!ueno investidor emprestou

2

3do seu capital a um comerciante ) ta-a de *3H

ao ano e a outro" o restante desse capital" ) ta-ade *H ao m#s. 8o final de 1 ano" ele recebeu a!uantia de @G 1/3"33 de juros. 9abendo !ueesses empréstimos foram em re%ime de jurossimples" o capital desse intervalo era de:

=E @G 3333"33

&E @G 2333"33(E @G +333"33ME @G 5333"33AE @G 333"33

9;! FR+M1 $m banco oferece a seus clientes umtipo de aplicação com as se%uintes condições:

Q Prao: 5 meses.Q @emuneração: Juros simples ) ta-a de 1",H

a.m.

Q 0mposto de @enda: 3H do juro pa%o no finalda aplicação.





OS: 0062/10/12-Gil

$m cliente pa%ou @G *+"33 de imposto de renda.Antão" seu montante lí!uido Dmontante totalmenos o imposto cobradoE foi de:

=E @G *1+2"33

&E @G *1,+"33(E @G *155"33ME @G *1*"33AE @G *112"33

GABARITO

7 9 ; . - < = > 7@

= A M M = M A A & (

77 79 7 7; 7. 7- 7< 7= 7> 9@

M ( A = ( ( M ( A M

97 99 9 9;

M & ( (

2 – DESCONTOS SIMPLES

$ma operação de desconto caracteriaKse?ua#o a opera$%o "i#a#8eira e#(ol(ia 5

a#te8ipaa em relação ao seu prao inicialmentecontratado.

Renericamente" uma operação dedesconto possui as se%uintes variáveis:

/alor No3i#al /alor e Fa8e: S o valor do

débito na da data do seu vencimento.

O valor nominal será indicado por N .

Taxa e Des8o#to: S a ta-a !ue seráutiliada para calcular o valor do desconto.

= ta-a de desconto será indicada por i .

PerBoo e A#te8ipa$%o: S o n4mero deperíodos de antecipação da operação.

O n4mero de períodos de antecipação seráindicado por n .

Des8o#to& S o valor !ue será subtraído dovalor nominal.

/alor Atual /alor Des8o#tao: S o valorrestante da dívida na data do desconto" ou seja"

apLs o desconto.

O valor atual será indicado por A .

Tá dois tipos de desconto a destacar:

Des8o#to Co3er8ial *a#8'rio ou por Fora

Des8o#to Ra8io#al por De#tro

Vamos estudar primeiramente o descontocomercial simples.

Des8o#to Co3er8ial 1i3ples

De"i#i$%o& BO desconto comercial é um juro calculado sobre o valor nominal.C

Nota$%o& 0ndicaremos o desconto comercial por

D .

Madas as variáveis do desconto comercial simples"são válidas as se%uintes relações:

D D N i n= ⋅ ⋅

D 0 E

D A N D= −

D00E

( )1 D D A N i n= ⋅ − ⋅

D000E

Exe3plo 7& Iual o valor 'oje de um título com valornominal @G +33"33" vencendo da!ui a meses"considerando uma ta-a de desconto comercialsimples de 13H ao m#s

1olu$%o& ;emos as se%uintes informações:

600 , 10% , 2 , ? D D N i n A= = = =

Vamos calcular inicialmente o desconto

comercial simples através da relação D 0 E.

6 00 D D N i n= ⋅ ⋅ = 10

100× 2 6 10 2

120 D

× = × ×

⇒ =





OS: 0062/10/12-Gil

=%ora vamos calcular o valor atual através da

relação D 00 E.

600 120 480 D D A N D A= − = − ⇒ =

>o%o" o valor atual deste título é @G 523"33"considerando o desconto comercial simples.

Taxa e Juro e Taxa e Des8o#to Co3er8ial!

De"i#i$%o& ('amamos ta-a de juro de umaoperação de desconto comercial ) ta-a !ue aplicadaao valor atual do título" no mesmo prao de desconto"produ um juro i%ual ao desconto comercial" ou seja" ata-a !ue capitaliada sobre o valor atual" no mesmoperíodo de antecipação do desconto" produ omontante i%ual ao valor nominal. Assa ta-a de juro

será indicada poref i .

O4ser(a$%o& Asta ta-a pode receber osse%uintes nomes:

Taxa e"eti(a e :uros, Taxa I3plB8ita aopera$%o, Taxa e Re#ta4iliae para o 4a#8o, CustoReal ou Custo E"eti(o a opera$%o!

Exe3plo 9& Iual a ta-a de juros implícita naoperação de desconto do e-emplo 1

1olu$%o 7& Observando o e-emplo 1 temos asse%uintes informações:

480 , 120 , 2 , ? D ef A D n i= = = =

$tiliando a e-pressão de cálculo do Juro 9implestemos:

120 480 21

12

ef

ef

J C i n i

i

= ⋅ ⋅ ⇒ = × ×

⇒ = 0

48 0

1 10,125

4 2 82

4

12,5%ef i

= = =××

⇒ =

>o%o" a ta-a efetiva de juros nesta operação dedesconto é de 1", H ao m#s.

S válida a se%uinte relação entre a ) ta-aefetiva de juros e a ta-a de desconto comercial:

1

Def

D

ii

i n=

− ⋅ D0VE

Vamos encontrar novamente a ta-a efetiva de juros do e-emplo 1:


10% , 2 , ? D ef i n i= = =

$tiliando a e-pressão D0VE temos:

1010% Di = =

10 01 0,1

10

0,1 0,1 0,1

1 1 0,1 2 1 0,2 0,8

10,125 12,5%

8

D

Def

D

ef ef ef

i

ii

i n

i i i

= ⇒ =

= = = =− ⋅ − × −

⇒ = ⇒ = ⇒ =

>o%o" a ta-a efetiva de juros nesta operação

de desconto é de 1", H ao m#s.

Des8o#to Ra8io#al 1i3ples

De"i#i$%o& BO desconto racional é um jurocalculado sobre o valor atual !ue tem comomontante o valor nominal.C

Nota$%o& 0ndicaremos o desconto racional por d .

Madas as variáveis do desconto racionalsimples" são válidas as se%uintes relações:

d d d A i n= ⋅ ⋅

DVE

ou

1

d

d

N i nd

i n

⋅ ⋅=

+ ⋅ DV0E





OS: 0062/10/12-Gil

d A N d = −

DV00E

( )1d d N A i n= ⋅ + ⋅

DV000E

Exe3plo & Iual o valor 'oje de um título com valornominal @G +33"33" vencendo da!ui a meses"considerando uma ta-a de desconto racional simplesde 13H ao m#s


600 , 10% , 2 , ?d d N i n A= = = =

Vamos calcular inicialmente o desconto

racional simples através da relação D V0 E.

1010%

d i = =10 0

10,1

10

600 0,1 2 120100

1 1 0,1 2 1, 2

d

d

d

i

N i nd

i n

= ⇒ =

⋅ ⋅ × ×= = = =

+ ⋅ + ×

=%ora vamos calcular o valor atual através da relação D

V00 E.

600 100 500d d A N D A= − = − ⇒ =

>o%o" o valor atual deste título é @G ,33"33"considerando o desconto racional simples.

Para um mesmo título" com o mesmoprao de antecipação na cap. simples temos:

D d >

D0NE

D d A A<

DNE

D d N

D d

×=

−

DN0E

QUESTÕES DE CONCURSO

Co#siere a i#"or3a$%o a seGuir, pararespo#er Hs ?uestes e #3eros 7 e 9!

O valor de face de um título é @G .+33"33. Asse títulosofre desconto ) ta-a simples.

7! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@> 8esseconte-to" supondoKse !ue o valor do descontoseja @G <23"33 e !ue o desconto seja comercial"se o título for descontado * meses antes de seuvencimento" a ta-a de juros mensal utiliada será

=E ,H&E 13H

(E 1,HME 3HAE *3H

9! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@> 9e a ta-autiliada no desconto for ,H ao m#s e o descontofor racional" o valor descontado" em reais" +meses antes do vencimento" será

=E +33"33&E <3"33

(E /+3"33ME 1.553"33AE .333"33

! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@79 $ma pessoafe uma compra em tr#s prestações mensais de*33 reais. Iuando ela foi pa%ar a primeiraprestação" resolveu" também" antecipar ase%unda e per%untou !ual era a ta-a de descontosimples usada pela loja. O cai-a disse !ue a ta-aera de H ao m#s e su%eriu !ue" em ve de

antecipar a se%unda prestação" ele antecipasse aterceira prestação. Iuantos reais essa pessoapa%aria se%uindo a su%estão do cai-a

=E +33&E ,/2(E ,/<ME ,/5AE ,22

;! CE10RANRIO1EAD)AM 9@@. $m investidor

está considerando a compra de uma >;8 de valornominal i%ual a @G 1.333"33 e prao devencimento de <3 dias. (onsiderandoKse odesconto racional simples" !ue preço Dem @GE





OS: 0062/10/12-Gil

deve pa%ar por este título para obter uma ta-ade juros anual de 3H

=E @G 2**"**&E @G 2+/",<

(E @G 2<"3ME @G /2*"+1AE @G ///"55

.! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@= = Ampresa ;rásos ?ontes >tda. obteve do &anco U" numaoperação de desconto de duplicatas" um valorlí!uido de @G <.333"33. 9abendoKse !ue aduplicata tin'a vencimento para , dias" a contarda data do desconto" e !ue o &anco cobra umata-a de desconto simples de H ao m#s" o valor

da duplicata descontada" em reais" é

=E <,.333"33&E <5.***"**(E <*.3"*+ME <.///"**AE <1.111",5

-! CE10RANRIOTERMOCEARÁ 9@@> $m título novalor de @G 3.333"33" com vencimento para /3dias" foi descontado a uma ta-a de 5H ao m#s

Ddesconto simplesE. O valor do desconto monta"em reais" a

=E 223"33&E /+3"33(E 1.53"33ME 1./23"33AE .533"33

<! CE10RANRIOANP 9@@= = Ampresa 9erra Verde>tda. levou ao &anco !uatro duplicatas no valor

de @G*.,33"33 cada uma" com vencimento para/3" 13" 1,3 e 123 dias" respectivamente" paradescontáKlas. O &anco ofereceu ) empresa umata-a de desconto simples de *"5,H ao m#s. (ombase nos dados acima e considerando o anocomercial" o valor do desconto pa%o pelaempresa no ato do empréstimo" em reais" foi

=E 3.12",3&E ,.<,3"33(E +./13"33

ME *.12<",3AE **.+*<",3

=! CEF 9@7@ 9e" ao descontar uma promissLriacom valor de face de @G ,.333"33" seu detentorreceber o valor de @G 5.33"33" e se o praodessa operação for de meses" então a ta-amensal de desconto simples por fora será i%ual a:

=E ,H.&E +H.(E <H.ME 2H.AE /H.

>! ** 9@@- $m título de valor nominal i%ual a @G,333"33 foi descontado por uma empresa 53dias antes de seu vencimento" se%undo aoperação de desconto comercial simples" ) ta-a

de desconto de *H ao m#s. (onsiderando aconvenção do ano comercial" a empresa recebeu"no ato da operação:

=E @G 5333"33&E @G *2,3"33(E @G *<,3"33ME @G *,33"33AE @G ,33"33

7@! CEF 9@@; N)NE Am suas operações de desconto

de duplicatas" um banco cobra uma ta-a mensalde ",H de desconto simples comercial. 9e oprao de vencimento for de meses" a ta-amensal efetiva nessa operação" cobrada pelobanco" será de" apro-imadamente:

=E ,"+H&E *"<+H(E *"1HME "<,HAE "+*H

77! ** 9@7@ $m título descontado meses antesde seu vencimento" se%undo uma operação dedesconto racional simples e com a utiliação deuma ta-a de desconto de 12H ao ano" apresentaum valor atual i%ual a @G 1.333"33. $m outrotítulo de valor nominal i%ual ao dobro do valornominal do primeiro título é descontado , mesesantes de seu vencimento" se%undo uma operaçãode desconto comercial simples e com a utiliaçãode uma ta-a de desconto de H ao m#s. O valor

atual deste se%undo título é de:

=E @G 5.1+3"23.&E @G 51.,/"+3.





OS: 0062/10/12-Gil

(E @G 53.++5"53.ME @G */.<//"3.AE @G *2./*5"33.

79! FT)CE Iual o valor 'oje de um título de valor

nominal de @G 5.333"33" vencível ao fim de seismeses" a uma ta-a de 53H ao ano" considerandoum desconto simples comercial

=E @G 1/.33"33&E @G 3.333"33(E @G 3.533"33ME @G 1.333"33AE @G 1.+33"33

7! I11)1P $ma nota promissLria foi res%atada de

meses antes do vencimento. 9e o valor lí!uido

recebido correspondeu a11

20 de seu valor

nominal" a ta-a anual de desconto comercialsimples foi de:

=E ,+H&E ,5H(E ,HME ,1HAE ,3H

7;! *ANCO DO *RA1IL =o descontarKse um títulopor dentro e por fora" no re%ime de capitaliaçãosimples" certificouKse !ue a diferença entre osatuais era de @G *,3"33. = ta-a é de ,H a.a. e oprao de 5 meses. O valor nominal" osdescontos racional e bancário são"respectivamente:

=E @G *.,33"33 " @G *.2,3"33 " @G *.2,3"33&E @G *2.,33"33 " @G *.,33"33 " @G *.2,3"33

(E @G *2.,33"33 " @G *.2,3"33 " @G *.,33"33ME @G *.2,3"33 " @G *2.,33"33 " @G *.,33"33AE @G *,.333"33 " @G *.2,3"33 " @G *.,33"33

7.! ** $m título vale @G 3.333"33 no vencimento.Antretanto" poderá ser res%atadoantecipadamente" com um desconto racionalDpor dentroE simples de ta-a de 1",H aotrimestre. Iuanto tempo antes do vencimento ovalor do res%ate seria de @G 1+.333"33=E 1"+ trimestre

&E 5 meses(E , mesesME + mesesAE 1+3 dias

7-! TTN $m título de @G 2.333"33 sofreu umdesconto racional simples de @G .333"33" oitomeses antes do vencimento. Iual a ta-a anualempre%ada

=E 2H&E *<",3H(E 5,HME ,3HAE ,",3H

7<! TTN O valor atual de uma duplicata é cincovees o valor de seu desconto comercial simples.9abendoKse !ue a ta-a de juros adotada é de +3Hao ano" o vencimento do título e-presso em diasé:

=E 133&E 13(E 1*3ME 153AE 1,3

7=! C/M (erta empresa desconta em um bancotr#s duplicatas na mesma data" ) ta-a dedesconto comercial simples de +H a.m."conforme tabela abai-o:

Muplicata Valor 8ominal Prao até o vencimento

1 @G 13.333"33 *3 dias

@G 1.333"33 <, dias

* @G 3.333"33 /3 dias

O valor lí!uido recebido por essa empresa foi de:

=E @G 5.333"33&E @G */.333"33(E @G *+.<3"33

ME @G *+.333"33AE @G ,.+3"33

7>! ** 9@@- $ma empresa desconta em um bancoum título com vencimento da!ui a 5 meses"recebendo no ato o valor de @G 1/233"33. 9abeKse !ue a operação utiliada foi a de descontocomercial simples. (aso tivesse sido aplicada a dedesconto racional simples" com a mesma ta-a de

desconto anterior i D 0i > E" o valor !ue aempresa receberia seria de @G 3333"33. O valor

nominal deste título é de:

=E @G 1233"33&E @G 333"33





OS: 0062/10/12-Gil

(E @G 533"33ME @G 233"33AE @G 5333"33

GABARITO

7 9 ; . - < = > 7@

& A A & ( A M = = A

77 79 7 7; 7. 7- 7< 7= 7> 9@

A A = & M M = M &

3 – JUROS COMPOSTOS

ProGresses 0eo35tri8as

De"i#i$%o& $ma ProGress%o 0eo35tri8a éuma se!#ncia de n4meros reais" onde o !uocienteentre !uais!uer dois termos consecutivos é sempreconstante.

Exe3plo 7& " +" 12" ,5" 1+

6 18 54 1623

2 6 18 54= = = =

Os elementos de uma P. R. são c'amadostermos e enumerados pela ordem em !ue aparecem.

8o e-emplo anterior temos:

é o primeiro termo" + o se%undo" 12 o terceiro etc.

O4ser(a$%o& = constante do !uociente entre!uais!uer dois termos consecutivos de uma P. R. éc'amado raz%o da P. R. e será indicada pela letra q .

8a P. R. 2, 6, 18, 54, 162, … temos 3q = .

Ter3o 0eral e u3a P! 0!

O n-ésimo termo de uma P. R. será denotado por na .

8a P. R. 2, 6, 18, 54, 162, … temos:

1 2 3 42, 6, 18, 54a a a a= = = = e 5 162a = .

9eja 1 2 3 4, , , , , na a a a a…

uma P. R. de

raão q " então:

1

1

n

na a q −= ⋅

D 0 E

" onde n é a ordem do elemento na na P. R.

Exe3plo 9& (alcule o +W termo da se!u#ncia doe-emplo 1.

1olu$%o&

5 5

6 1 6

2 3 2 243 486a a q a= ⋅ = × = × ⇒ =

1o3a os n pri3eiros ter3os e u3a P! 0!

Nota$%o& = soma dos n primeiros termos de

uma P. R." denotada por nS " é dada pela e-pressão:

1

( 1) , com 11

n

n

a qS qq

⋅ −

= ≠−

D 00 E

Exe3plo & (alcule a soma dos seis primeiros termosda se!u#ncia do e-emplo 1.

1olu$%o&

6 6

16

6

( 1) 2 (3 1)

1 3 12

a qS

q

S

⋅ − × −= =

− −

⇒ = (729 1)

2

× −728=

>o%o" a soma de " +" 12" ,5" 1+ e 52+ é <2.

Pote#8ia$%o

De"i#i$%o&9eja x um n4mero real e n

um n4mero

inteiro. Pot#ncia de base x e e-poente n

é o n4mero

n x

tal !ue:





OS: 0062/10/12-Gil

1

1 0

01

0

n n

n

se n

x x x se n

se n x

−

−

=

= ⋅ > <

Proprieaes a PotK#8ia

Ma prLpria definição de pot#ncia decorrem asse%uintes propriedades:

iE

m n m n x x x

+⋅ = iiEm

m n

n

x x

x

−=

iiiE ( )n n n

x y x y⋅ = ⋅ ivE

n n

n

x x

y y

=

vE ( )

m n m n x x

⋅=

viE1n

n x

x

− =

viiE

m

n mn

x x=

LoGarit3os

De"i#i$%o& 9endo a e b

n4meros reais positivos"

com 0a ≠ " c'amaKse lo%aritmo de b na base a " o

e-poente !ue se deve dar ) base a de modo !ue a

pot#ncia obtida seja i%ual a b . Ou seja" temos:

log x

a b x a b= ⇔ =

D 000 E

(om a i%ualdade representada pelo símbolo

loga b x= " diemos !ue a

é a base do lo%aritmo" b

é o lo%aritmando e x é o lo%aritmo.

Exe3plo ;& (alcule o lo%aritmo de 2 na base .

1olu$%o& $sando a definição de lo%aritmo temos:

2log 8 2 8

2 8 2

x

x

x= ⇔ =

⇒ = ⇒ 2 x

= 3

23 log 8 3 x⇒ = ⇒ =

>o%o" o lo%aritmo de 2 na base é *.

O4ser(a$%o& Iuando a base do lo%aritmo é 13"diemos !ue o lo%aritmo é decimal e podemos omitira base no símbolo.

Exe3plo .& (alcule o lo%aritmo decimal de 133.

1olu$%o& $sando a definição de lo%aritmo temos:

log100 10 100 10 100

10

x x x= ⇔ = ⇒ =

⇒ 10 x

= 2

2 log100 2 x⇒ = ⇒ =

>o%o" o lo%aritmo decimal de 133 é .

Proprieaes os LoGarit3os

Ma prLpria definição de pot#ncia decorrem asse%uintes propriedades:

iE

log 1 0a =

iiE log 1a a =

iiiE ( )log log loga a a

b c b c⋅ = +

ivE log log loga a a

bb c

c

= −

vE log logn

a ab n b= ⋅

viElog

loglog

ca

c

bb

a=

viiE1

loglog

a

b

ba

=

Capitaliza$%o Co3posta

De"i#i$%o& BO Juro (omposto é calculado" emcada período financeiro" sobre o montante relativo aoperíodo anteriorC.

O montante composto Dou valor nominalEde um capital aplicado a juros compostos é dado por:

(1 )n

C M C i= ⋅ +

D 0VE





OS: 0062/10/12-Gil

A o juro composto é dado por:

C C J M C = − ou

(1 ) 1n

C J C i = + −

D V E

" o#e o perBoo e apli8a$%o n e(e ser expresso

#a 3es3a u#iae e te3po a ?ue se re"ere a taxae :uro i

8o#sieraa.

Exe3plo -& (alcule o juro e montante produido por@G 3333"33" aplicado a juros compostos" durante meses" ) ta-a de , H ao m#s.


20000

55% 0,05

100

2

?

?

C

C

C

i

n

M

J

=

= = =

=

=

=

I3porta#te& Para o cálculo de juros compostos

sempre utiliaremos a ta-a de juros na forma decimal"

vamos nos 'abituar a faer isso automaticamente

para facilitar os cálculos.

( )

( )

2

2

(1 ) 20000 1 0, 05

20000 1,05 20000 1,1025

2 11025 22050

n

C

C

C C

M C i

M

M M

= ⋅ + = × +

⇒ = × = ×

⇒ = × ⇒ =

9endo assim" o juro composto é dado por:

22050 20000 2050C C C J M C J = − = − ⇒ =

>o%o" o montante a res%atar apLs meses é i%ual a @G3,3"33 e o juro correspondente é @G 3,3"33.

Fator e A8u3ula$%o e Capital

O fator de acumulação de capital para a

capitaliação composta" indicado por AC f " é dado

por:

(1 )n

AC f i= +

DV00E

=ssim" temos as se%uintes i%ualdades:

C AC M C f = ⋅

DV00E

[ ]1C AC J C f = ⋅ −

DV000E

Exe3plo <& (alcule o juro e montante produido por@G 3333"33" aplicado a juros compostos" durante meses" ) ta-a de , H ao m#s" utiliando o fator deacumulação de capital.


20000

55% 0,05

100

2

?

?

C

C

C

i

n

M

J

=

= = =

=

=

=

(alculando o fator de acumulação temos:

2 2

(1 ) (1 0,05) (1,05) 1,1025n

AC f i= + = + = =

9endo assim" o montante composto é dado por:

20000 1,1025 22050C AC C M C f M = ⋅ = × ⇒ =

A o juro composto é dado por:

[ ] [ ]1 20000 1,1025 1

20000 0,1025 2050

C AC

C C

J C f

J J

= ⋅ − = × −

⇒ = × ⇒ =

>o%o" o montante a res%atar apLs meses é i%ual a @G3,3"33 e o juro correspondente é @G 3,3"33.

E#8o#tra#o o prazo #a 8apitaliza$%o 8o3posta

Para calcular o n4mero de períodos de umacapitaliação composta temos a se%uinte i%ualdade:

log

log(1 )

C M

C ni

=+

D0NE





OS: 0062/10/12-Gil

I3porta#te& 8ão se preocupe com a comple-idadedesta fLrmula" voc# não terá !ue calcular estesresultados com re%ras aritméticas Dna mãoE oenunciado da !uestão trará os cálculos dos lo%aritmos!ue voc# necessitará" seu trabal'o se resume em

saber aplicáKlos na !uestão.

Exe3plo =& João aplicou @G 3333"33 a juroscompostos a uma ta-a de ,H ao m#s e retirou o totalde @G 3,3"33 al%uns meses apLs. Iuanto tempodurou esta aplicação de João

O4ser(a$%o& (onsidere as se%uintes i%ualdades parafins de cálculo.

log1,1025 0,042= e log1,05 0,021=


20000

22050

55% 0,05

100

?

C

C

M

i

n

=

=

= = =

=

$tiliando a relação do montante composto temos:

(1 ) 22050 20000 (1 0,05)

22050(1,05)

n n

C

n

M C i= ⋅ + ⇒ = × +

⇒ =20000

1,1025

log(1,05) log1,1025

log1,05 log1,1025

log1,1025 0,0422

log1,05 0,021

n

n

n n

=

⇒ =

⇒ ⋅ =

⇒ = = ⇒ =

>o%o" o prao da aplicação de João foi de meses.

I3porta#te& O enunciado sempre vai te dar al%umainformação sobre as i%ualdades dos lo%aritmos )svees esta i%ualdade não é e-plicita e para encontráKlaé necessário utiliar al%uma propriedade da pot#nciaou dos lo%aritmos.

E#8o#tra#o a taxa #a 8apitaliza$%o 8o3posta

Para calcular a ta-a unitária de umacapitaliação composta temos a se%uinte i%ualdade:

1

1n

C M i

C

= −

ou

1C n M

iC

= − DNE

I3porta#te& ?ais uma ve não se preocupe com acomple-idade desta fLrmula" o enunciado da !uestãotrará os cálculos da pot#ncia !ue voc# necessitará"seu trabal'o se resume em saber aplicáKlos na!uestão.

Exe3plo >& João aplicou @G 3333"33 a juroscompostos e retirou o total de @G 3,3"33 doismeses apLs o depLsito. Iual a ta-a mensal deremuneração da aplicação de João

O4ser(a$%o& (onsidere a se%uinte i%ualdade:

1,1025 1,05=


20000

22050

2

?

C

C

M

n

i

=

=

=

=


2

2

(1 ) 22050 20000 (1 )

22050(1 )

n

C M C i i

i

= ⋅ + ⇒ = × +

⇒ + =20000

1,1025

1 1,1025 1,05 1,05 1 0,05

5%

i i

i

=

⇒ + = = ⇒ = − =

⇒ =

>o%o" o a ta-a mensal desta aplicação foi de ,H.

I3porta#te& = i%ualdade 1,1025 1,05= virá

e-pressa no enunciado.

E#8o#tra#o o 3o#ta#te 8o3posto

Iuando o prao de aplicação é %rande emrelação ) unidade de tempo da ta-a efetiva de juroscompostos também fica difícil calcular o fator deacumulação de capital" nesses casos a banca também

o informará.





OS: 0062/10/12-Gil

Exe3plo 7@& (alcule o montante de uma aplicação de@G 2,33"33" durante 1 ano e * meses" ) ta-acomposta de *H ao m#s.

O4ser(a$%o& (onsidere ( )15

1,03 1,558= .


8500

1 ano e 3 meses 15 meses

33% a.m. 0,03 a.m.

100

?C

C

n

i i

M

=

= =

= ⇒ = =

=


15

15

(1 ) 8500 (1 0,03)

8500 (1,03) 8500 1,558

13243

n

C

C

C

M C i

M

M

= ⋅ + = × +

⇒ = × = ×

⇒ =

>o%o" o montante composto desta operação é@G 1*5*"33.

I3porta#te& = i%ualdade ( )15

1,03 1,558=

virá

e-pressa no enunciado ou implícita em uma tabela

financeira !ue con'eceremos mais adiante.

Ta4ela Fi#a#8eira&

Ta4ela o "ator e a8u3ula$%o e 8apital

=s tabelas financeiras são formadas por duascolunas classificadoras" uma 'oriontal com os valoresdas ta-as em percentual e outra vertical com osvalores dos n4meros de períodos. Para encontrar o

valor de um fator desta tabela se%uimos os se%uintespassos:

Passo 7& selecionamos a lin'a do períodocorrespondente ao período da aplicação do problema

Passo 9& selecionamos a coluna da ta-acorrespondente ) ta-a da aplicação do problema

Passo & =dotamos o valor do fator de acumulação decapital i%ual ao valor encontrado na intersecção dalin'a selecionada no passo 1 e da coluna selecionada

no passo .

Exe3plo 77& Vamos construir uma pe!uena tabelapara o fator de acumulação de capital no re%imecomposto.

Fator e A8u3ula$%o e Capital (1 )n

i+ !

in 1H H *H 5H ,H +H

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600

1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236

* 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910

5 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625

, 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382

+ 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185

< 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036

2 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938

/ 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895

13 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908

11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983

1 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122

Exe3plo 79& Utiliando a tabela acima" calcule o

rendimento resultante de uma aplicação de @G <*3"33

durante 11 meses ) ta-a mensal de 5H.


730, 11 meses, 4% a.m., ?C C n i J = = = =


11

11

(1 ) 730 (1 0,04)

730 (1,04)

n

C

C

M C i

M

= ⋅ + = × +

⇒ = ×

Mevemos encontrar11

(1,04) na tabela acima"

para isso basta ol'ar o valor na intersecção da lin'a

do período 11 com a coluna d a ta-a 5H.





OS: 0062/10/12-Gil

Veja:

in 1H H *H 5H ,H +H

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600

1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236

* 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910

5 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625

, 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382

+ 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185

< 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036

2 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938

/ 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895

13 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908

11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983

1 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122

Pela tabela vemos !ue:11

(1,04) 1,5395= .

(ontinuando a nossa solução temos:

11730 (1,04) 730 1,5395 1123,83

1123, 83 730 393, 83

C

C C C

M

J M C J

= × = × =

= − = − ⇒ =

>o%o" o rendimento desta operação é @G */*"2*.

Exe3plo 7& Pedro aplicou @G *,33"33 em um fundo

de investimento com ta-a mensal fi-a e res%atou apLs

seis meses do depLsito a !uantia de @G 5+/3"*,.

$tiliando a tabela de fator de acumulação de capital"determine !ual a ta-a mensal de remuneração desta

aplicação.


3500, 6 meses, 4690,35 , ?C C n M i= = = =


6

6

(1 ) 4690, 35 3500 (1 )

4690,35(1 ) 1,3401

3500

n

C M C i i

i

= ⋅ + ⇒ = × +

⇒ + = =

Mevemos encontrar6

(1 ) 1,3401i+ = na tabela

acima" para isso basta procurar o valor 1"*531 na lin'a

do período +. =o encontrar este resultado" ol'amos a

coluna e encontramos a ta-a. Veja:

in 1H H *H 5H ,H +H

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600

1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236

* 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910

5 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625

, 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382

+ 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185

< 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036

2 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938

/ 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895

13 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908

11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983

1 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122

Pela tabela vemos !ue:6

(1 5%) 1,3401+ = . 0sto !uer

dier !ue a ta-a mensal procurada é de ,H. Me

maneira análo%a" encontraKse também o período de

uma aplicação !uando temos a ta-a.

Cres8i3e#to o Mo#ta#te Co3posto

O crescimento do ?ontante (omposto é

e-ponencial" ou seja" o montante é sempremultiplicado por uma mesma constante para %erar o

montante do prL-imo período.

Represe#ta$%o 0r'"i8a&

Mo#ta#te Co3posto perBoo

= representação %ráfica do ?ontante 9imples

no plano cartesiano" considerandoKse o período comoa abscissa e o montante como a ordenada" é um

conjunto de pontos !ue estão dispostos em uma

curva suave c'amada curva e-ponencial. 9e





OS: 0062/10/12-Gil

adotarmos o tempo como contínuo" o %ráfico do

?ontante (omposto em relação ao período é uma

curva e-ponencial !ue tem as se%uintes

características:

•

0ntersecta o ei-o das ordenadas na ordenada

i%ual ao (apital.

Me forma %enérica" temos a se%uinte

representação %ráfica:

Exe3plo 77& @epresente %raficamente a operação

financeira da aplicação de @G 1333"33 durante *meses ) ta-a composta de 13H ao m#s.

1olu$%o& Para esta operação temos o se%uinte

conjunto de pontos:

0 1

2 3

(0,1000), (1,1100),

(2,1210), (3,1331)

P P

P P

= =

= =

@epresentando no %ráfico temos a se%uinte fi%ura:


7! CE10RANRIOEPE 9@7@ $m investidor aplicou a!uantia de @G 3.333"33" ) ta-a de juros

compostos de 13H a.m. =o final de tr#s meses"esse capital terá %erado o montante" em reais" de

=E 5.,3"33&E ,.53"33(E +.+3"33ME <.23"33AE 2.<3"33

9! CE10RANRIOTERMOCEARÁ 9@@> $m capitalde @G 1,.333"33" aplicado por * meses" com juros

compostos de ",H ao m#s" vai %erar" em reais"um montante de

=E 1,.///"2<&E 1+.111"11(E 1+.11+"+<ME 1+.1,"33AE 1+.1,*"*+

! CE10RANRIOANP 9@@= = Ampresa ?ar =berto>tda. realiou uma aplicação de @G 13.333"33

pelo prao de * meses" obtendo uma ta-a de juros compostos de H ao m#s. O valor !ue aempresa vai res%atar no vencimento daaplicação" em reais" será

=E 13.+1"32&E 13.+3"33(E 13.2"*5ME 13.222"*5AE 13./1*",+

;! CE10RANRIOCasa a Moea 9@@. Omontante acumulado em 1* meses" a partir deum capital de @G1.333"33 aplicado a uma ta-ade ,H ao m#s" no re%ime de juros compostos" emreais" será:

=E 1/.233"33&E 3.,5"3<(E 1.,,3"2ME .+<"</AE *.<,/"12





OS: 0062/10/12-Gil

.! CE10RANRIO*NDE1 9@@= = metade de umcapital C foi aplicada a juros compostos comta-a de 3H ao m#s. 9imultaneamente" a outrametade foi aplicada a juros simples com ta-amensal de i % . =o final de dois meses" os

montantes a juros simples e a juros compostosforam somados e seu valor correspondia aocapital total C " acrescido de ,3H. Iuantos sãoos divisores inteiros positivos de i

=E +&E ,(E 5ME AE 1

-! CE10RANRIOCasa a Moea 9@@. =caderneta de poupança pa%a juros de 3",H aom#s. Os juros anuais pa%os pela caderneta sãoi%uais a:

=E 3"+H&E +"3H(E +"1<HME 1"3HAE 1"1<H

<! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@79 $ma pessoatin'a @G 1.333"33 e investiu @G 5.333"33 a ,"Hde juros ao ano. =lém disso" investiu @G+.333"33a +"H ao ano. = !uantos por cento ao ano essapessoa deve investir o restante do din'eiro paraobter" no total dos investimentos de um ano"

juros de @G <33"33

=E +&E ,"2(E 5"2

ME *AE

As i#"or3a$es a4aixo e(e3 ser utilizaas pararespo#er Hs ?uestes = e >!

BA-istem no País / áreas concedidas paraminério de ferro. (erca de * destas áreasencontramKse paralisadas por motivos diversos"como dificuldade de escoamento" falta demercado localiado" áreas com pes!uisa

insuficiente" minério de bai-a !ualidade"pend#ncias judiciais" restrições ambientais" etc.D...E ?as a evolução da produção comercial" no

período de 1/22 a 333" mostra um crescimentoa uma ta-a anual de *H.C

&alanço mineral brasileiro X 331" disponível em'ttp:YYY.dnpm.%ov.br

=! CE10RANRIODNPM 9@@- (onsiderandoKse

!ue" em 1/22" a produção comercial foi de P toneladasano" a produção de 333" emtoneladasano" correspondeu a:

=E13

(1,3)P +

&E12

(3,0)P +

(E 12(1,3)P ⋅

ME13

(3,0)P ⋅

AE 12(1,03)P ⋅

>! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@> $m capital de@G 1.+33"33 é aplicado ) ta-a mensal de ,H" emre%ime de juros compostos. =pLs um período de meses" a !uantia correspondente aos jurosresultantes dessa aplicação será" em reais" i%ual a

=E 1+3"33&E 1+"33(E 1+5"33ME 1++"33AE 1+2"33

7@! CE10RANRIO*NDE1 9@77 ?aria aplicou certa!uantia em um banco !ue ofereceu uma ta-a de

juros compostos de 13H ao m#s. =pLs a se%undacapitaliação" uma ami%a pediu todo seu din'eiroinvestido emprestado" prometendo pa%ar jurosde 13H ao m#s" mas no re%ime de juros simples.?aria prontamente atendeu ao pedido da ami%ae" apLs , meses" a ami%a !uitou a dívida com?aria pa%ando um total de @G 1.32/"33. Iual a!uantia" em reais" !ue ?aria aplicou no banco

=E +33"33&E +3,"33(E +*+"2ME <+"33AE /33"33

77! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@> $m capital 0C

é submetido ao re%ime de juros compostos" comta-a de juros de 13H ao m#s. $m m#s apLs o

início da aplicação" todo o montante 1C dessa

aplicação é reinvestido ) ta-a simples de ,H ao





OS: 0062/10/12-Gil

m#s" durante um período de 5 meses" de modo!ue o montante" ao final desse novo período" é

2C . 9e o valor de 1C é @G ,,3"33" a diferença

2 0C C− vale" em reais"

=E ,3"33&E +3"33(E 133"33ME 113"33AE 1+3"33

79! CE10RANRIOCEF 9@@= O %ráfico a se%uirrepresenta as evoluções no tempo do ?ontantea Juros 9imples e do ?ontante a Juros

(ompostos" ambos ) mesma ta-a de juros. M é

dado em unidades monetárias e t " na mesmaunidade de tempo a !ue se refere a ta-a de jurosutiliada.

=nalisandoKse o %ráfico" concluiKse !ue para ocredor é mais vantajoso emprestar a juros

=E compostos" sempre.&E compostos" se o período do empréstimo for

menor do !ue a unidade de tempo.

(E simples" sempre.ME simples" se o período do empréstimo formaior do !ue a unidade de tempo.

AE simples" se o período do empréstimo formenor do !ue a unidade de tempo.

7! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@7@ O %overnofederal vai usar recursos do ZR;9 para financiarprojetos na área de transporte urbano" visando )(opa do ?undo em 315. Ampresas !uepe%arem empréstimos para projetos de

transporte sobre tril'os pa%arão ,",H de juros aoano. $ma empresa receberá um empréstimo de x reais" a serem pa%os em t anos. O valor total

M pa%o por esse empréstimo é calculado pelafLrmula

=E (0,055)t

M x= ⋅

&E (0,55)

t

M x= ⋅ (E (1,055)

t M x= ⋅

ME (1,55)t

M x= ⋅

AE (5,5)t

M x= ⋅

7;! CE10RANRIOANP 9@@= O %overno de certopaís fe um estudo populacional e concluiu !ue"desde o ano 333" sua população vemaumentando" em média" 1H ao ano" em relaçãoao ano anterior. 9e" no final do ano 333" a

população de tal país era de P 'abitantes" nofinal de 332 o n4mero de 'abitantes será i%ual a

=E 8P

&E 1,08 P⋅

(E 8(1, 01) P⋅

ME 8(1,1) P⋅

AE 8,08 P⋅

7.! CE10RANRIOEPE 9@7@ O %estor financeiro da

(ia. Ordem e Pro%resso 9.=." ao analisardeterminado investimento" considerou

1 M como

o montante produido pela aplicação de @G13.333"33" por * meses" ) ta-a de *H no re%ime

de juros compostos e 2 M como o montante

produido pelo mesmo valor" no mesmo prao" )ta-a de *"3/3/H ao m#s no re%ime de juros

simples. (oncluiu" então" !ue1 M e

2 M " em

reais" correspondem" respectivamente" a

=E 13./<"< e 13./<"<&E 13./<"< e 13.+33"++(E 11./3"< e 11./<"<ME 13.+33"++ e 13.+33"++AE 13.,33"+3 e 13./<"<

7-! CE10RANRIOCEF 9@@= =pLs a data de seuvencimento" uma dívida é submetida a juroscompostos com ta-a mensal de 2H" além de seracrescida de uma multa contratualcorrespondente a H da dívida ori%inal. 9abendoK

se !ue 10log 2 0,30= e 10log 3 0,48= eutiliandoKse para todo o período o sistema decapitaliação composta" determine o tempomínimo necessário" em meses" para !ue o valor a





OS: 0062/10/12-Gil

ser !uitado seja 1/3H maior do !ue a dívidaori%inal.

=E 5&E *",

(E 1*ME 11",AE 13

7<! ** 9@7@ $m capital é aplicado" durante 2meses" a uma ta-a de juros simples de 1,H aoano" apresentando um montante i%ual a @G1*.33"33 no final do prao. 9e este mesmocapital tivesse sido aplicado" durante anos" auma ta-a de juros compostos de 1,H ao ano"então o montante no final deste prao seria i%ual

a:

=E @G 1<.2,*"<,.&E @G 1<.1/",3.(E @G 1+.,*1",.ME @G 1,.2<3"33.AE @G 1,.+3+",3.

7=! CEF 9@7@ 1P)RJ =nt[nio fe os doisinvestimentos se%uintes" em !ue ambos pa%am

juros compostos de *H ao m#s.

0. ;r#s depLsitos mensais" consecutivos ei%uais a @G .333"33 o primeiro foi feito nodia 1.W*33/.

00. Mois depLsitos mensais" consecutivos ei%uais a @G *.333"33 o primeiro foi feito nodia 1.W*33/.

(onsiderando !ue ?1 e ? sejam"respectivamente" os montantes das aplicações 0 e00 na data do terceiro depLsito correspondente

ao investimento 0" assinale a opção correta.

=E ? X ?1 \ @G /3"/3.&E ? X ?1 \ @G 5,"5,.(E ? \ ?1.ME ?1 X ? \ @G 5,"5,.AE ?1 X ? \ @G /3"/3.

7>! *ANRI1UL Murante /3 dias" o capital de @G1,3333"33 rendeu juros de @G *+5*"<, em umfundo de aplicação de um determinado banco. =

ta-a mensal de juros compostos utiliada poreste banco foi de:

(onsidere: 3 1,157625 1,05= .

=E 1H&E H(E *HME 5HAE ,H

9@! FT + Niteri =pLs manter" durante de meses"seu capital de @G ,3.333"33 aplicado a uma ta-ade H a.m." um investidor resolve movimentar omontante acumulado neste período para outrofundo" cuja rentabilidade é de "*H a.m.(onsiderando !ue toda a operação ocorreudentro do re%ime de capitaliação composta" osaldo do referido investidor" apLs seis meses dase%unda aplicação" será de:(onsidere as i%ualdades abai-o:D1"3E13 \1"1/ D1"3*E+ \1"15+ D1"35*E1+ \1"/+1

=E @G /2.3,3"33&E @G <3.3/+"3,(E @G +/.252"<3ME @G +/.+33"33AE @G +2.3<,"3

97! I11)1P Iue !uantia mínima devo aplicar a juros

compostos" ) ta-a anual de 3H" para !ue aocompletarKse um período de tr#s anos euconsi%a" com o montante" comprar um carro novalor de @G 13.233"33

=E @G +.333"33&E @G +.,3"33(E @G +.,33"33ME @G +.<,3"33AE @G +.233"33

99! Co#taor)RJ O tempo necessário para !ue @G33"33 empre%ados ) ta-a de 3H ao m#s" com

juros capitaliados mensalmente" !uadrupli!ueseu valor" está compreendido entre:

(onsidere: log 2 0,30= e log3 0,47= .

=E < e 2 meses&E 2 e / meses(E / e 13 mesesME 13 e 11 mesesAE 11 e 1 meses





OS: 0062/10/12-Gil

0A*ARITO

7 9 ; . - < = > 7@

( A = M = ( = A ( =

77 79 7 7; 7. 7- 7< 7= 7> 9@

A A ( ( = M M = A (

97 99 9 9; 9. 9- 9< 9= 9> @

& &

4 – T!S DE JUROS

De"i#i$%o& Taxa E"eti(a é a ta-a de juros cuja unidadede tempo é a mesma a unidade de tempo dacapitaliação.

De"i#i$%o& Taxa No3i#al é !ual!uer ta-a proporcional) efetiva com unidade de tempo diferente da unidadede tempo da capitaliação.

8o e-emplo anterior a ta-a anual de *3H emre%ime de capitaliação mensal é uma ta-a nominal"pois seu período de tempo é ano en!uanto o períodode tempo da capitação é mensal.

I3porta#te& 8unca utilie a ta-a nominal para fins decálculo na capitaliação composta" pois isso incorreráem erro. Para calcular as variáveis da operaçãofinanceira é necessário transformar a ta-a nominal emefetiva.

Co#(erte#o Taxa No3i#al e3 Taxa E"eti(a

Para converter uma ta-a nominal em ta-aefetiva basta encontrar a ta-a proporcional )!uela naunidade de tempo da capitaliação mensal.

Exe3plo 7& 8o re%ime de capitaliação simples comcapitaliação mensal" !ual a ta-a efetiva mensal data-a anual de *+H

1olu$%o& 8o re%ime simples" basta tomar a ta-amensal proporcional ) ta-a nominal de *+H ao ano"ou seja:

1 1 36

12 36 12 12

3% a.m.

M M M

ANUAL

M

i ii

i

i

= ⇒ = ⇒ =

⇒ =

lo%o" a ta-a efetiva mensal desta operação é *H.

Taxas E?ui(ale#tes

De"i#i$%o& BMuas ta-as são e!uivalentes!uando" aplicadas a um mesmo capital" em unidadesde tempo distintas ou não" durante o mesmo períodode tempo" produem o mesmo juroC.

8o re%ime de capitaliação composta" dadas

duas ta-as I e i " diemos !ue elas são e!uivalentesse" e somente se" satisfaem a se%uinte relação:

( )1 1 n

I i+ = +

D 0 E

" onde n é o n4mero de períodos da unidade

de tempo da ta-a i e!uivalentes a um período de

tempo da ta-a I .

Exe3plo 9& 8o re%ime de capitaliação composta com

capitaliação mensal" !ual a ta-a efetiva anuale!uivalente a nominal anual de *+H

1olu$%o& 0dentificaKse a unidade do período decapitaliação e tomaKse a ta-a efetiva com mesmaunidade de tempo" ou seja:

1 1 36

12 36 12 12

3% a.m.

M M M

ANUAL

M

i ii

i

i

= ⇒ = ⇒ =

⇒ =

= ta-a 3% a.m. M i =

é a ta-a efetiva mensal daoperação e para encontrar sua ta-a efetiva anualoperamos a relação de e!uival#ncia:

=%ora !ue temos a efetiva vamos encontrar oe-poente:

Iueremos a efetiva anual" e temos a efetiva mensal"lo%o o e-poente da relação de e!uival#ncia é 1" poisum ano tem e-atamente 1 meses" lo%o:





OS: 0062/10/12-Gil

( ) ( )

( )

1212 12

12

31 1 1 1 0,03

100

1 1,03 1, 4258

1,4258 1 0, 425842,58% a.a.

ANUAL M

ANUAL

ANUAL

ANUAL

I i

I

I I

+ = + = + = +

⇒ + =

⇒ = − =⇒ =

≃

=ssim" na capitaliação composta" temos:

*H a.m. e *+Ha.a. Dta-as proporcionaisE.

*H a.m. e 5",2H Dta-as e!uivalentesE.

*+H a.a. Dta-a nominalE e 5",2H Dta-a efetiva anualE.

Taxas e3 a34ie#te i#"la8io#'rio

De"i#i$%o& Taxa e I#"la$%o é um índice econ[mico!ue representa a desvaloriação da moeda emdetrimento ao aumento médio dos produtos.

Nota$%o& = ta-a de inflação será indicada por INF i .

De"i#i$%o& Taxa Apare#te é a ta-a bruta" a!uela

!ue inclui a variação inf lacionária.

Nota$%o& = ta-a aparente será indicada por APi .

I3porta#te& = ta-a aparente também pode receber osse%uintes nomes: taxa #o3i#al" Ga#o #o3i#al e8usto e"eti(o.

De"i#i$%o& Taxa Real é a ta-a calculada e-cluindoKse a variação inf lacionária.

Nota$%o& = ta-a real será indicada por RE i .

Madas as ta-as acima definidas" é válida ase%uinte relação entre as ta-as aparente e real:

( ) ( )1 1 1 AP RE INF i i i+ = + ⋅ +

D 00 E

= partir da e-pressão 00 acima podemosdefinir as se%uintes variáveis:

Zator de %an'o nominal: 1 APi+

Zator de %an'o real: 1 RE i+

Zator de inflação: 1

INF i+

(om estes fatores" a e-pressão 00 pode ser escritada se%uinte maneira:

fator de ganhonominalfator deganhoreal=

fator deinflação

fator de ganhonominalfatordeinflação=

fator deganhoreal

fator de ganho nominal=fatordeganho real fator deinflação×

Exe3plo ,: $m empréstimo foi concedido por doismeses" a uma ta-a de 13H ao bimestre. 9abendo!ue a ta-a inflacionária no período foi de ,H aobimestre" !ual a ta-a pa%a neste empréstimoJ


10% 0,1 , 5% 0,05 , ? RE INF APi i i= = = = =

$tiliando a relação anterior temos:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

1 1 0,1 1 0,05

1 1,1 1, 05 1,155 1 0,155

15,5%

AP RE INF

AP

AP

AP

i i i

i

i

i

+ = + ⋅ +

⇒ + = + ⋅ +

⇒ + = × = − =

⇒ =

Portanto a ta-a pa%a no empréstimo foi de1,",H ao bimestre.





OS: 0062/10/12-Gil


7! CE10RANRIO*NDE1 9@@; Iual é a ta-a efetivatrimestral correspondente a juros de *3H aotrimestre com capitaliação mensal

=E *3H&E *1H(E *",HME *"2HAE **"1H

9! CE10RANRIO*NDE1 9@@= =plicandoKse@G,.333"33 a juros compostos" ) ta-a nominal de5H ao ano" com capitaliação bimestral" omontante" em reais" ao fim de 5 meses" será

=E ,.533"33&E ,.53,"33(E ,.532"33ME +.<"33AE +.<,"33

! CE10RANRIO*NDE1 9@@> $ma aplicaçãofinanceira remunera o capital investido ) ta-acomposta anual de 1H com capitaliaçõestrimestrais. =plicandoKse @G .333"33 nessascondições durante 1 meses" o montante" emreais" ao final do período" será de

=E .123"33&E .53"33(E .+3"33ME .*3"33AE .*,3"33

;! CE10RANRIO*NDE1 9@7@ $ma pessoa fe"

com o capital de !ue dispun'a" uma aplicaçãodiversificada: na Zinanceira =lfa" aplicou @G*.333"33 a 5H ao ano" com capitaliaçãobimestral na Zinanceira &eta" aplicou" no mesmodia" o restante desse capital a 5H ao semestre"com capitaliação mensal. =o final de 1 semestre"os montantes das duas aplicações somavam @G+.333"33. = ta-a efetiva de juros da aplicaçãodiversificada no período foi de

=E +3H

&E ,5H(E 5+HME *5HAE +H

.! CE10RANRIOCEF 9@@= = ta-a efetiva anual de,3H" no sistema de juros compostos" e!uivale auma ta-a nominal de i % ao semestre"

capitaliada bimestralmente. O n4mero de

divisores inteiros positivos de i é

=E 5&E ,(E +ME <AE 2

-! CE10RANRIOCEF 9@@= Iual a ta-a efetivasemestral" no sistema de juros compostos"e!uivalente a uma ta-a nominal de 53H ao!uadrimestre" capitaliada bimestralmente

=E <,"3H&E <"2H(E +<",HME +5"5HAE +3"3H

<! CE10RANRIO1EAD)AM 9@@. = ta-a de juroscomposta mensal e!uivalente a 12",H ao ano é

=E 5",+H

&E 5"2H(E *"33HME 1",HAE 1"51H

=! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@= Iue ta-a de juros compostos mensais permite !ue um capitalde @G <,.333"33 possa dobrar em um período de+ meses

=E 1"5+H

&E 1",3H(E 15",HME 15"****HAE 1,",,H

>! CEF 9@7@ $m cliente tomou @G 3.333"33emprestados de um banco !ue pratica juroscompostos mensais" e" apLs 1 meses" pa%ou @G<.3"33. 8esse caso" considerando 1"3+ como

valor apro-imado para ( )1

121,361 " é correto

afirmar !ue a ta-a de juros nominal" anual"praticada pelo banco foi i%ual a:

=E *3"H





OS: 0062/10/12-Gil

&E *1"H(E *"HME **"*HAE *5"H

7@! ** 9@@- = ta-a efetiva trimestral referente auma aplicação foi i%ual a 1H. = correspondenteta-a de juros nominal i ao ano" comcapitaliação mensal" poderá ser encontradacalculando:

=E ( )1

34 1,12 1i

= × −

&E ( )1

412 1,12 1i

= × −

(E ( )1

312 1,12 1i

= × −

ME ( )12

1,04 1i = −

AE ( )12 0, 04 3i = × ÷

77! AFC $m banco pa%a juros compostos de *3H aoano" com capitaliação semestral. Iual a ta-aanual efetiva

=E <"<,H&E /",3H(E *3HME *",HAE *,"33H

79! AF)PA = ta-a de juros compostos de *H ao m#scapitaliada mensalmente acarreta uma ta-anominal anual e uma ta-a efetiva anual" cujosvalores apro-imadamente" respectivamente são:

=E *+H e 5",3H&E 5",3H e *+H(E *H e *+HME *+H e *+HAE 5",3H e 5",3H

7! CE10RANRIO1EAD)AM 9@@. 8o ano de 335"a ta-a 9elic média apurada foi 12",H" e ainflação" medida pelo 0P(=" foi 2"H. = 9elic realDem H ao anoE em 335 foi=E 3"5,

&E 1",3(E "ME /"+AE 13"3*

7;! CEF 9@7@ 9e a !uantia de @G ,.333"33" investidapelo período de + meses" produir o montante de@G ,.*2"33" sem se descontar a inflaçãoverificada no período" e se a ta-a de inflação noperíodo for de *",H" então a ta-a real de juros

desse investimento no período será de:

=E 5",H.&E 5H.(E *",H.ME *H.AE ",H.

7.! ** 9@@- $m empréstimo foi li!uidado atravésde pa%amentos de prestações" a uma ta-a de

juros positiva" corri%idas pela ta-a de inflação

desde a data da realiação do referidoempréstimo. VerificouKse !ue o custo efetivo daoperação foi de 55H e a ta-a de inflaçãoacumulada no período foi de ,H. O custo realefetivo referente a este empréstimo foi de:

=E 15"5H&E 1,"H(E 12"5HME 1/HAE 3H

7-! ** 9@@- = ta-a de inflação em um determinadopaís no ano de 33, foi de 13H. $m investimentorealiado neste mesmo período" neste país" !ueapresentou uma ta-a real de juros ne%ativa i%uala X,H" foi efetuado a uma ta-a de juros nominali%ual a:

=E 5H&E 5",H(E ,H

ME ,",HAE +H

7<! ** 9@@- $m financiamento foi contratado" emuma determinada data" consistindo depa%amentos a uma ta-a de juros positiva e aindacorri%idos pela ta-a de inflação desde a data darealiação do compromisso. O custo efetivo destaoperação foi de 55H e o custo real efetivo de1",H. ;emKse" então" !ue a ta-a de inflaçãoacumulada no período foi de:

=E 1+H&E 3H(E 5H





OS: 0062/10/12-Gil

ME 2HAE *3H

7=! Co#taor)MT Am um banco" a ta-a de jurospara determinado tipo de aplicação é de *H ao

ano. 9e a inflação for de 13H ao ano" aremuneração para um cliente !ue optou por essetipo de aplicação" em termos da ta-a real de

juros ao ano" será de:

=E 13H.&E 11H.(E 1,H.ME 3H.AE H.

7>! 1EFA2)AC Am certo período" um capital de @G2333"33 teve um rendimento aparente de @G533"33. 9abendo !ue a ta-a real de juros noperíodo foi de 5H" então a ta-a de inflação noperíodo foi de:

=E +H.&E ,H.(E 5H.ME *H.AE H.

0A*ARITO

7 9 ; . - < = > 7@

A ( ( A = & A = & (

77 79 7 7; 7. 7- 7< 7= 7> 9@

M = M & & & M M &

" – DESCONTOS COMPOSTOS

$ma operação de desconto caracteriaKse!uando a operação financeira envolvida éantecipada em relação ao seu prao inicialmentecontratado.

=s variáveis do desconto composto são as

mesmas do desconto simples:

/alor No3i#al /alor e Fa8e: S o valor dodébito na da data do seu vencimento.

O valor nominal será indicado por N .

Taxa e Des8o#to: S a ta-a !ue seráutiliada para calcular o valor do desconto.

= ta-a de desconto será indicada por i .

PerBoo e A#te8ipa$%o: S o n4mero deperíodos de antecipação da operação.

O n4mero de períodos de antecipação seráindicado por n .

Des8o#to& S o valor !ue será subtraído dovalor nominal.

/alor Atual /alor Des8o#tao: S o valor

restante da dívida na data do desconto" ou seja"apLs o desconto.

O valor atual será indicado por A .

8a capitaliação composta também 'á doistipos de desconto a destacar:

Des8o#to Co3er8ial *a#8'rio ou por Fora

Des8o#to Ra8io#al por De#tro

Vamos estudar primeiramente o desconto

comercial simples.

Des8o#to Co3er8ial Co3posto

=ssim como o desconto comercial simples"o desconto comercial composto é calculado sobreo valor nominal.

Nota$%o& 0ndicaremos o desconto comercial

composto também por D .

Madas as variáveis do desconto comercialcomposto" são válidas as se%uintes relações:

( )1 1 n

D D N i = ⋅ − −

D 0 E

D A N D= −

D00E

( )1 n D D

A N i= ⋅ −

D000E





OS: 0062/10/12-Gil

Exe3plo 7& Iual o valor 'oje de um título com valornominal @G 15533"33" vencendo da!ui a anos"considerando uma ta-a de desconto comercialcomposta de 3H ao ano


2 014400 , 20% D

N i= = =10 0

0, 2 , 2 , ? Dn A= = =

Vamos calcular inicialmente o desconto comercial

composto através da relação D 0 E.

( ) ( )

( ) [ ]

2

2

1 1 14400 1 1 0, 2

14400 1 0, 8 14400 1 0, 64

14400 0,36 5184

n

D D N i

D

D D

= ⋅ − − = × − −

⇒ = × − = × −

⇒ = × ⇒ =

=%ora vamos calcular o valor atual através da relação D

00 E.

14400 5184 9216 D D A N D A= − = − ⇒ =

>o%o" o valor atual deste título é @G /1+"33.

Taxa e Juro e Taxa e Des8o#to Co3er8ial!

De"i#i$%o& ('amamos ta-a de juro de umaoperação de desconto comercial ) ta-a !ue aplicadaao valor atual do título" no mesmo prao de desconto"produ um juro i%ual ao desconto comercial" ou seja" ata-a !ue capitaliada sobre o valor atual" no mesmoperíodo de antecipação do desconto" produ omontante i%ual ao valor nominal. Assa ta-a de juro

será indicada poref

i .

O4ser(a$%o& Asta ta-a pode receber osse%uintes nomes:

Taxa e"eti(a e :uros, Taxa I3plB8ita aopera$%o, Taxa e Re#ta4iliae para o 4a#8o, CustoReal ou Custo E"eti(o a opera$%o!

Exe3plo 9& Iual a ta-a efetiva de juros daoperação de desconto do e-emplo 1


9216 , 5184 , 2 , ? D ef

A D n i= = = =

$tiliando a e-pressão de cálculo do Juro 9implestemos:

( ) 2

2

2

1 1 5184 9216 (1 ) 1

5184 9216 (1 ) 9216

5184 9216 9216 (1 )

n

ef

ef

ef

J C i i

i

i

= ⋅ + − ⇒ = × + −

⇒ = × + −

⇒ + = × +

2 2

1

1449216 (1 ) 14400 (1 )

ef ef i i⇒ × + = ⇒ + = 00

9216

2

64

100 100 10(1 ) 1

64 864

10 10 8 2 11 0,25 25%

8 8 8 4

ef ef

ef ef

i i

i i

⇒ + = ⇒ + = =

−⇒ = − = = = = ⇒ =

>o%o" a ta-a efetiva de juros nesta operação dedesconto é de , H ao ano.

S válida a se%uinte relação entre a ) ta-aefetiva de juros e a ta-a de desconto comercial" no

re%ime composto:

(1 ) (1 ) 1ef Di i+ ⋅ − =

D0VE

Vamos encontrar novamente a ta-a efetiva de juros do e-emplo 1:


20%, ? D ef i i= =

$tiliando a e-pressão D0VE temos:

2 020%

Di = =

10 0

20,2

10

(1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 0,2) 1

1(1 ) 0,8 1 1 1,25

0,8

1,25 1 0,25 25%

D

ef D ef

ef ef

ef ef

i

i i i

i i

i i

= ⇒ =

+ ⋅ − = ⇒ + × − =

⇒ + × = ⇒ + = =

⇒ = − = ⇒ =





OS: 0062/10/12-Gil

>o%o" a ta-a efetiva de juros nesta operaçãode desconto é de , H ao m#s.

Des8o#to Ra8io#al Co3posto

=ssim como o desconto racional simples" odesconto racional composto é calculado sobre ovalor atual !ue tem como montante o valornominal.

Nota$%o& 0ndicaremos o desconto racional por d .

Madas as variáveis do desconto racionalcomposto" são válidas as se%uintes relações:

11

(1 )n

d

d N i

= ⋅ −

+ DVE

d A N d = −

DV0E

( )1 n

d d N A i= ⋅ +

DV00E

Exe3plo & Iual o valor 'oje de um título com valornominal @G 15533"33" vencendo da!ui a anos"considerando uma ta-a de desconto racionalcomposta de 3H ao ano


2 014400 , 20%d

N i= = =10 0

0,2 , 2 , ?d n A= = =

Vamos calcular inicialmente o desconto racionalcomposto através da relação D 0 E.

2

1 11 14400 1

(1 ) (1 0, 2)

1 1, 44 114400 1 14400

1,44 1, 44

0,44 14400 0,44

14400 44001,44 1, 44

n

d

d N i

d

d d

= ⋅ − = × −

+ +

− ⇒ = × − = ×

×⇒ = × = ⇒ =

=%ora vamos calcular o valor atual através da

relação D 00 E.

14400 4400 10000d d A N d A= − = − ⇒ =

>o%o" o valor atual deste título é @G 13333"33.

O4ser(a$%o& 8ote !ue os e-emplos 1 e *tratam de um mesmo título" no mesmo prao deantecipação" descontado ) mesma ta-a.

Ancontramos respectivamente para ose-emplos 1 e * os se%uintes resultados:

5184 , 9216

4400 , 10000

D

d

D A

d A

= =

= =

8ote !ue o desconto comercial compostofoi maior !ue o desconto racional composto paraeste título. (onse!entemente o valor atualobtido no desconto comercial composto foi menor!ue o valor atual obtido no desconto racionalcomposto. 0sso não é uma coincid#ncia.

Para um mesmo título" com o mesmoprao de antecipação e mesma ta-a de descontona capitaliação composta temos:

D d >

DV000E

D d A A<

D0NE


7! CE10RANRIO*NDE1 9@@= Mois meses antes do

seu vencimento" um título de valor nominal N

sofrerá desconto. 9e o desconto for racionalcomposto e a ta-a utiliada for de 3H ao m#s" o

valor do desconto será i%ual a d . 9e o desconto

for comercial composto" !ual deverá ser a ta-amensal de desconto para !ue o valor dodesconto seja o mesmo

=E 2*"*H&E +/"1H(E 5"2H

ME 3"3HAE 1+"<H





OS: 0062/10/12-Gil

9! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@@> $m título temo valor de face de @G 2.3/3"33 e sofre descontoracional ) ta-a composta de +H ao bimestre"!uatro meses antes do seu vencimento. Iual ovalor atual desse título" em reais

=E ,.333"33&E ,.,33"33(E +.333"33ME +.,33"33AE <.333"33

! CE10RANRIOPETRO*RA1 9@79 Pedro pe%ou@G *+.333"33 emprestados" a uma ta-a de H aom#s" em um banco. Assa dívida deveria ser pa%ano final de 1 ano" mas" ao fim de , meses" ele já

tin'a o din'eiro para saldar o empréstimo.Antretanto" para não ficar descapitaliado" Pedroefetuou o pa%amento apenas no fim do m#sse%uinte.Iual a !uantia" em reais" pa%a por Pedro aosaldar a dívidaMados:

5 7 12(1,02) 1,10 , (1,02) 1,15 e (1,02) 1,27≃ ≃ ≃

=E 5,.<3"33&E 51.533"33

(E 53.*/"33ME 53.*3"33AE */.+33"33

;! CE10RANRIOCEF 9@@= $m título de valornominal @G 5.33"33 será descontado doismeses antes do vencimento" com ta-a composta

de desconto de 13H ao m#s. 9ejam D o valor dodesconto comercial composto e d o valor dodesconto racional composto. = diferença D d− "em reais" vale

=E *//"33&E */2"33(E */<"33ME */+"33AE */,"33

.! CE10RANRIOTERMOCEARÁ 9@@> = AmpresaMeltamática >tda. descontou no banco um títulono valor de @G 12.333"33" com prao devencimento de * meses" a uma ta-a de desconto

composto de H ao m#s. O valor lí!uido liberadopelo banco" em reais" foi de

=E 1+.2+1"53

&E 1+./51"5,(E 1+./51"<<ME 1<.1*",+AE 1<.2//"//

-! CE10RANRIOANP 9@@= = Ampresa Vista >inda>tda. descontou no &anco da Praça 9= umaduplicata no valor de @G 2.233"33 com 13 diasde prao" a uma ta-a de desconto composto de",H ao m#s. (om base nos dados acima econsiderando o ano comercial" nos cálculos" ovalor lí!uido creditado pelo &anco na contacorrente da empresa" em reais" foi

=E 2 222"32&E 2.232"22

(E <.3+"+1ME +.3+"1AE +.3+"1

<! TCDF $ma duplicata no valor de @G 333"33 éres%atada dois meses antes do vencimento"obedecendo ao critério de desconto comercialcomposto. 9abendoKse !ue a ta-a de desconto éde 13H ao m#s" o valor descontado e o valor dodesconto são" respectivamente" de:

=E @G 1+33"33 e @G 533"33&E @G 1+3"33 e @G *23"33(E @G 1+53"33 e @G *+3"33ME @G 1+,*"33 e @G *+3"33AE @G 1+++"+< e @G ***"**

=! *ACEN Mesconto composto por fora a uma ta-ade 3H ao m#s é e!uivalente a um descontocomposto por dentro a uma ta-a mensal de:

=E 13H

&E 1,H(E 1<HME 3HAE ,H

>! TJ)PR $ma determinada compan'ia possui umanota promissLria de valor nominal i%ual a @G+2.333"33 com vencimento para /3 dias. =empresa deseja descontar esse título a uma ta-ade juros compostos de ,H a m#s. Iual será ovalor lí!uido a ser recebido considerando o

desconto racional

=E @G ,2.53<"/+&E @G ,2.,3<"/+





OS: 0062/10/12-Gil

(E @G ,/.53<"/+ME @G ,/.<53"/+AE @G ,2.<53"/+

7@! ACE $m título deveria sofrer um desconto

comercial simples de @G +<"33 !uatro mesesantes do seu vencimento. ;odavia umane%ociação levou a troca do desconto comercialsimples por um desconto racional composto.(alcule o novo desconto" considerando ) mesmata-a de *H ao m#s.

=E @G +33"33&E @G +3"1,(E @G +5"5<ME @G +5*"*

AE @G +<"33

7 9 ; . - < = > 7@

A = ( & & A & A A (

# – EQUI$L%NCI DE CPITIS

Para entendermos o conceito de e!uival#nciade capitais" é importantíssimo entender antes o !uesi%nifica o termo data refer#ncia em matemáticafinanceira.

Data Re"erK#8ia

De"i#i$%o& Mata @efer#ncia é a data !ue seconsidera como base de comparação dos valoresnominais de dois capitais vencíveis em datasdiferentes.

S muito comum c'amar a data refer#ncia deata "o8al ou ata e a(alia$%o.

Mo(i3e#to e Capital #o Te3po

Para movimentar um capital no tempo demaneira a determinar seu valor em !ual!uer datanecessitamos de uma taxa e :uro e"i#ia porperBoo" uma ata "o8al estabelecida para a análise"

um reGi3e 8apitaliza$%o !ue pode ser simples oucomposto e o valor deste capital em uma data préKdefinida c'amado (alor #o3i#al.

(om base nas informações" prosse%uimos da

se%uinte maneira:

1E 9e a data focal é anterior a data préKdefinida dovalor nominal" o valor do capital será dado pelo valoratual apLs o desconto racional no período deantecipação da data préKdefinida até a data focal.

Veja a ilustração abai-o:

Descapitalização

data focal datapré-definida

A N A N ← ⇒ <

↑ ↑>

E 9e a data focal coincide com a data préKdefinida dovalor nominal" o valor do capital será dado peloprLprio valor nominal.


Valor Constante

data focal data pré-definida

A N

A N

=

↑↑ ⇒ =

=

*E 9e a data focal é posterior a data préKdefinida dovalor nominal" o valor do capital será dado pelomontante apLs a capitaliação no período deaplicação da data focal até a data préKdefinida.


Capitalização

data pré-definida data focal

N A A N → ⇒ >

↑ ↑

<

E?ui(alK#8ia #a 8apitaliza$%o 8o3posta

Para movimentar um capital N " um n4mero n deperíodos para a direita DcapitaliaçãoE" aplicado a umata-a i por período" no re%ime de capitaliação

composta" multiplicamos o capital N por (1 )n

i+ .





OS: 0062/10/12-Gil


(1 )

Capitalização

(1 )

datafocal

ni n N A

A N i

n

× + → ⇒ = ⋅ +

↑ ↑−

Para movimentar um capital N " um n4meron de períodos para a es!uerda DdescapitaliaçãoE"aplicado a uma ta-a i por período" no re%ime de

capitaliação composta" dividimos o capital N por

(1 )n

i+ .


(1 )

Descapitalização

(1 )

data focal

n ni

A N N A

i

n

÷ +← ⇒ =

↑ ↑ +

Exe3plo 9& Toje um capital tem valor nominal i%ual a@G 1133"33" considerando uma ta-a de 13H aoperíodo" no re%ime simples. Iual o valor atual:

=E da!ui a 1 período

&E períodos antes

=E 1olu$%o& Mevemos capitaliar o valor @G 1133"33em um período" lo%o temos:

1010%i = =

10 01

1,1

0,1 , 1

(1+ ) (1 0,1) 1,1

12100 ?

0 1

12100 1,1 13310

n

n

i

A

A A

×

= =

⇒ = + =

= →

↑ ↑

⇒ = × ⇒ =

Valor em um período futuro i%ual a @G 1**13"33.

&E 1olu$%o& Mevemos descapitaliar o @G 1133"33 emdois períodos" lo%o temos:

1010%i = =

1002 2

1,21

0,1 , 2

(1+ ) (1 0,1) (1,1) 1,21

? 12100 12100 10000

1,21

2 0

n

n

i

A A÷

= =

⇒ = + = =

=← ⇒ = =↑ ↑

−

Valor dois períodos atrasados i%ual a @G 13333"33.

(olocando as duas situações num mesmo ei-ode tempo temos:

1,1

1,21

10000 12100 13310

2 0 1

×

÷← →

↑ ↑ ↑

−

I3porta#te& 8ote !ue se capitaliarmos @G 13333"33em * períodos com ta-a mensal de 13H no re%imecomposto c'e%amos ao resultado @G 1**13"33" ouseja" os capitais @G 13333"33 e 1**13"33 sãoe!uivalentes em !ual!uer data.

O4ser(a$%o& 9e dois capitais são e!uivalentes em umadata préKdefinida" a uma mesma ta-a" na capitaliaçãocomposta" eles serão e!uivalentes em !ual!uer data.


7! I11)1P 8o re%ime de capitaliação composta"

!ual a ta-a anual de juros para a !ual um títulode valor nominal @G ,.333"33" vencível da!ui aum ano" e!uivale a um título de valor nominal @G,.<,3"33" vencível da!ui a dois anos

=E ,H&E 3H(E 12HME 1,HAE 1H

9! ATM)Fortaleza Iual o capital 'oje !ue ée!uivalente" a uma ta-a de juros compostos de13H ao semestre" a um capital de @G 133.333"33





OS: 0062/10/12-Gil

!ue venceu 'á um ano mais um capital de @G113.333"33 !ue vai vencer da!ui a seis meses=E @G 13333"33&E @G 3333"33(E @G 1333"33

ME @G *3333"33AE @G *1333"33

! AFR)P* Mois títulos cujos valores nominais são@G 1+,33"33 e @G ++3"33" vencíveis no fim deum ano e tr#s anos" respectivamente" serãosubstituídos por um 4nico título e!uivalente"vencendo no final de dois anos. =dotando aoperação de desconto racional composto ) ta-ade juros compostos de 13H ao ano" o valornominal deste 4nico título é:

=E @G 5/,<<"33&E @G 55<<3"33(E @G 551+,"33ME @G 5*,3"33AE @G */33"33

;! CE10RANRIOCEF 9@@= J4lio fe uma compra de@G +33"33" sujeita ) ta-a de juros de H ao m#ssobre o saldo devedor. 8o ato da compra" fe opa%amento de um sinal no valor de @G 1,3"33.Ze ainda pa%amentos de @G 1,/"33 e @G 3+"33"

respectivamente" *3 e +3 dias depois decontraída a dívida. 9e !uiser !uitar a dívida /3dias depois da compra" !uanto deverá pa%ar" emreais=E 113"33&E 132"33(E 13+"33ME 135"33AE 13"33

.! CE10RANRIO*NDE1 $ma dívida no valor de @G

3333"33 e outra no valor de @G *3333"33" comvencimentos em dois e !uatros mesesrespectivamente" serão li!uidadas por meio deum 4nico pa%amento" a ser efetuado em tr#smeses. (onsiderandoKse juros efetivos de ,H aom#s" o valor desse pa%amento será de:=E @G *,+,"+&E @G 52,+"*3(E @G 5/,<1"5*ME @G ,3333"15AE @G ,**5",1

0A*ARITO

7 9 ; .

M ( M A (

& – RENDS UNI'ORMES

$ma série ou uma anuidade corresponde a

toda e !ual!uer se!u#ncia de pa%amentos ou

recebimentos corri%idos a uma ta-a de juros em cadaperíodo de capitaliação.

Iuando os valores das entradas Dou saídasE de

cai-a são 8o#sta#tes Dmesmo valorE" diemos !ue esta

série é u#i"or3e:

Prazo e 8arK#8ia& ('amamos prao de

car#ncia de uma anuidade ao intervalo de tempo

entre a data da operação financeira e a data do

primeiro pa%amento.

$ma série uniforme pode ser classificada

se%undo o seu prao de car#ncia em: Re#a U#i"or3eA#te8ipaa" Re#a U#i"or3e Poste8ipaa e Re#a

U#i"or3e Di"eria.

7)Re#a U#i"or3e A#te8ipaa: !uando não 'á prao

de car#ncia" ou seja" o primeiro pa%amento ou

recebimento ocorre na data da operação financeira

Dprao de car#ncia eroE.

9)Re#a U#i"or3e Poste8ipaa: !uando o prao de

car#ncia é e-atamente um período de capitaliação da

renda" ou seja" o primeiro pa%amento ocorre

e-atamente um período apLs a data da operação

financeira.

)Re#a U#i"or3e Di"eria: !uando o prao de

car#ncia é maior !ue um período de capitaliação da

renda" ou seja" o primeiro pa%amento ocorre 'á mais

de um período apLs a data da operação financeira.

Renericamente" uma anuidade Drendacerta ou renda uniformeE possui as se%uintes

variáveis:





OS: 0062/10/12-Gil

/alor a Presta$%o& S o valor do pa%amento ou

recebimento por período de capitaliação !ue" nesse

caso" é constante.

0ndicaremos o valor da prestação pela letra P .

Taxa e Juros& S a ta-a de juros !ue re%e a série

uniforme pa%amentos.

0ndicaremos a ta-a de juros pela letra i .

N3ero e Presta$es& S o n4mero de pa%amentos

da série uniforme.

0ndicaremos o n4mero de pa%amentos pela letra n .

/alor Atual& S o valor e!uivalente ) soma de todos os

pa%amentos ou recebimentos de uma anuidadetransportados para a data da operação financeira

Ddata inícioE.

0ndicaremos o valor atual pela letra A .

O valor atual também é comumente c'amado de

/alor Prese#te.

/alor Futuro& S o valor e!uivalente ) soma de todos

os pa%amentos ou recebimentos de uma anuidade

transportados para a data do 4ltimo pa%amento Ddata

finalE.

O valor futuro é o montante resultante da correção de

todos os pa%amentos de uma anuidade na data do

4ltimo pa%amento. S muito comum c'amáKlo também

de saldo da anuidade.

0ndicaremos o valor futuro por F .

C'l8ulo #a Re#a U#i"or3e Poste8ipaa

Para a renda postecipada temos a se%uinte

relação al%ébrica:

( )

( )

1 1

1

n

n

i A P

i i

+ −= ⋅

⋅ +

D 0 E

@ealiando uma simples manipulação

al%ébrica podemos perceber a i%ualdade abai-o:

( )

( )

( )1 1 1 1

1

n n

n

i i

ii i

−+ − − +

=⋅ +

Mesta 4ltima i%ualdade se%ue a relação:

( )1 1 ni

A P

i

− − += ⋅

D 00 E

Para facilitar a escrita" introduimos o se%uinte

símbolo]n i

a

e su%erimos a se%uinte i%ualdade:

]

( )1 1 n

n i

ia

i

−− +

=

('amamos]n i

a

de "ator e (alor atual.

9endo assim" para uma renda uniforme postecipada

temos:

]n i A P a= ⋅

I3porta#te& S fácil ver !ue será !uase impossível

calcular o fator de valor atual para ta-as pe!uenas emum n4mero %rande de pa%amentos. 8esses casos a

banca sempre trará al%uma i%ualdade e-pressa para

tornar possível este cálculo por meios aritméticos.

Exe3plo 7& $m noteboo] será pa%o em tr#s parcelas

mensais postecipadas no valor de @G 1**1"33 cada.

9abendo !ue a ta-a do financiamento foi de 13H ao

m#s" !ual o valor do noteboo] ) vista

1olu$%o 7& Astamos diante de um problema de renda

uniforme postecipada" onde temos os se%uintes

elementos:

1331, 10% , 3, ?P i n A= = = =

$tiliando a definição temos:

parcela 1 parcela 2 parcela 3

1 2 3

0

1331 1331 1331

A

↑

↓ ↓ ↓





OS: 0062/10/12-Gil

9e%undo a e!uival#ncia de capitais" paratransportar os pa%amentos para a data inícioprosse%uimos da se%uinte maneira:


2 3


1 1 10% 1 0,1 1,1

1331 1331 1331

0 1,1 1,21 1,331

1331 1331 1331

1,1 (1,1) (1,1)

1210 1100 1000 3310

i

A

A

A A

+ = + = + =

↑⇒ ⇒ = + +

↓

+ +

⇒ = + + ⇒ =

>o%o o valor ) vista do noteboo] é @G **13"33.1olu$%o 9& Astamos diante de um problema de renda


elementos:

1331, 10% , 3, ?P i n A= = = =

Vamos calcular o fator de valor atual:

]

] ]

]

3

3

10% 0,1 e 1 1,1

(1 ) 1 (1,1) 1 1,331 1

(1 ) 0,1 (1,1) 0,1 1,331

0,331 3310

0,1331 1331

1331

n

n i n

n i n i

n i

i i i

ia

i i

a a

A P a

= ⇒ = + =

+ − − −= = =

⋅ + × ×

⇒ = ⇒ =

= ⋅ = 3310

1331× 3310 A⇒ =

>o%o o valor ) vista do noteboo] é @G **13"33.

Fator e Re8upera$%o e Capital FRC

('amamos fator de recuperação de capital ao inversodo valor do fator de valor atual. Ou seja:

]

1

n i

FRC a

=

D 000 E

O fator de recuperação de capital é

importante !uando !ueremos determinar o valor da

parcela. 8a renda postecipada" utiliando o fator de

recuperação" temos a se%uinte i%ualdade:

]n i

AP

a=

ouP A FRC = ⋅

Exe3plo 9& $m noteboo] cujo valor é @G **13"33 serápa%o em tr#s parcelas mensais postecipadas. 9abendo

!ue a ta-a do financiamento foi de 13H ao m#s" !ual

o valor da parcela



elementos:

3310, 10% , 3, ? A i n P= = = =



3310

1 2 3

0P PP

↑

↓ ↓↓

9e%undo a e!uival#ncia de capitais" para

transportar os pa%amentos para a data início

prosse%uimos da se%uinte maneira:


2 3


1 1 10% 1 0,1 1,1

3310

33100 1,1 1,21 1,331

1,1 (1,1) (1,1)

1, 21 1,1 3,313310

1,331 1,331

1,331 33103,31 1,331 3310

3,31

1331

i

P P P

P P P

P P P P

P P

P

+ = + = + =

↑⇒ = + +

↓

+ +

⋅ + ⋅ +⇒ = =

×⇒ = × ⇒ =

⇒ = 3310×

33101331P⇒ =

>o%o o valor da parcela do noteboo] é @G 1**1"33.





OS: 0062/10/12-Gil



elementos:

3310, 10% , 3, ? A i n P= = = =

Vamos calcular o fator de recuperação de capital:

]

] ]

]

3

3

10% 0,1 e 1 1,1

(1 ) 1 (1,1) 1 1,331 1

(1 ) 0,1 (1,1) 0,1 1,331

0,331 3310

0,1331 1331

1 1 1331

3310 3310

1331

3310

n

n i n

n i n i

n i

i i i

ia

i i

a a

FRC FRC a

P A FRC

= ⇒ = + =

+ − − −= = =

⋅ + × ×

⇒ = ⇒ =

= = ⇒ =

= ⋅ = 1331

3310× 1331P⇒ =


C'l8ulo o /alor Futuro #a Re#a Poste8ipaa

Para a renda postecipada temos a se%uinte

relação al%ébrica:

( )1 1n

iF P

i

+ −= ⋅

D V000 E

Para facilitar a escrita" introduimos o se%uinte

símbolo]n i

f

e su%erimos a se%uinte i%ualdade:

]

( )1 1n

n i

i f

i

+ −=

('amamos]n i

f

de "ator e (alor "uturo ou

"ator e a8u3ula$%o e 8apital e s5rie e

paGa3e#tos iGuais. 9endo assim" para uma renda

uniforme postecipada temos:

]n iF P f = ⋅

I3porta#te& S fácil ver !ue será !uase impossível

calcular o fator de valor futuro para ta-as pe!uenas

em um n4mero %rande de pa%amentos. 8esses casos

a banca sempre trará al%uma i%ualdade e-pressa para

tornar possível este cálculo por meios aritméticos.

Exe3plo .& $m noteboo] custa 'oje @G 553,"+1.

Paulo deseja compráKlo ) vista" mas ainda não possui

o din'eiro suficiente. Paulo não %osta de faer dívida"portanto vai efetuar * depLsitos mensais fi-os em

fundo de investimento cuja rentabilidade é de 13H ao

m#s. O primeiro depLsito será realiado da!ui a um

m#s. Iual a !uantia !ue Paulo deve %uardar

mensalmente para satisfaer o desejo de comprar o

referido noteboo]" supondo !ue o mesmo não

aumente o preço no período


uniforme postecipada" onde temos os se%uinteselementos:

4405,61 , 10% , 3, ?F i n P= = = =


parcela 1 parcpa ela 2 parrcela a 31 cel

0 1 2 3

4405,61

P P PP

↑ ↑ ↑

↓

9e%undo a e!uival#ncia de capitais" para

transportar os pa%amentos para a data futura

prosse%uimos da se%uinte maneira:


2

1 1 10% 1 0,1 1,1

(1,1) 1,1

3

4405,61

4405,61 1,21 1,1

4405,613,31 3641 1331

3,31

i

P P P

P P P

P P P

+ = + = + =

× + × +

↑

⇒↓

⇒ = + +

⇒ = ⇒ = ⇒ =

>o%o" Paulo tem !ue %uardar a !uantia mensal de @G

1**1"33.





OS: 0062/10/12-Gil



elementos:

4405,61 , 10% , 3, ?F i n P= = = =

Vamos calcular o fator de valor futuro:

]

] ]

]

3

10% 0,1 e 1 1,1

(1 ) 1 (1,1) 1 1, 331 1

0,1 0,1

0,3313,31

0,1

4405, 61 3, 31

4405,61

13313,31

n

n i

n i n i

n i

i i i

i f

i

f f

F P f P

P P

= ⇒ = + =

+ − − −= = =

⇒ = ⇒ =

= ⋅ ⇒ = ×

⇒ = ⇒ =

>o%o" Paulo tem !ue poupar @G 1**1"33 por m#s.


7! CE10RANRIO*NDE1 9@7@ $ma aplicaçãoconsiste em + depLsitos consecutivos" mensais e

i%uais no valor de @G *33"33 Dtreentos reaisEcada um. 9e a ta-a de juros compostos utiliada éde ,H ao m#s" o montante" em reais" um m#sapLs o 4ltimo dos + depLsitos" é

=E .353"33&E .15"33(E .53"33ME .*35"33AE .55"33

9! CE10RANRIOCEF 9@@= $m investimentoconsiste na realiação de 1 depLsitos mensaisde @G 133"33" sendo o primeiro deles feito umm#s apLs o início da transação. O montante seráres%atado um m#s depois do 4ltimo depLsito. 9ea ta-a de remuneração do investimento é de Hao m#s" no re%ime de juros compostos" o valordo res%ate" em reais" será

=E 133"33&E 15"33

(E 151"1ME 1*+2"3*AE 12"21

! CE10RANRIO1EAD)AM 9@@. O valor presenteDem @GE de uma série de 5 pa%amentos mensaisuniformes de @G ,33"33" descontados ) ta-aanual de +"2H" é i%ual a

=E 115*",<&E 1,<<"35(E 12/*"3+ME 1/3*"2+AE 1/*,"/

;! CE10RANRIOCasa a Moea 9@@> 8a comprade um eletrodoméstico" com preço na eti!uetade @G 1.333"33" 'á duas opções de pa%amento: )vista" com ,H de desconto ou a prao" com umaentrada imediata de @G 533"33 e" depois" duas

prestações mensais" consecutivas" de @G *33"33"vencendo a primeira no m#s se%uinte. 9e ocomprador tiver os recursos para comprar ) vistae puder aplicar seu din'eiro a H a. m." ta-a de

juros compostos" para decidir entre as duasopções" ele deverá comparar

=E ,3 com D*33 ^ 1.3 _ *33 ^ D1. 3EE&E ,,3 com D*33 ^ 1.3 _ *33 ^ D1. 3EE(E /,3 - D1. 3E com D*33 - 1.3 _ *33EME /,3 com D*33 ^ 1.3 _ *33 ^ D1. 3EE

AE 1.333 com D533 _ *33 ^ 1.3 _ *33 ^ D1. 3E

E

.! CEF 9@@@ $m trator pode ser comprado ) vista

por um preço V " ou pa%o em * parcelas anuaisde @G *+333"33" a primeira dada no ato dacompra. 8esse caso" incidem juros compostos de

3H a.a. sobre o saldo devedor. 8essas V é i%uala:

=E @G <,333"33&E @G 22333"33

(E @G /1333"33ME @G /,333"33AE @G /<333"33

-! CEF 9@@; O preço ) vista de um computador é@G.33"33. Ale pode ser comprado a prao comuma entrada de @G *+2"1 e o restante pa%o em, parcelas mensais" i%uais e consecutivas" aprimeira delas vencendo ao completar *3 diasdata da compra. 9e" no financiamento" os jurossão compostos ) ta-a de *H ao m#s" o valor de

cada uma das prestações será:





OS: 0062/10/12-Gil

Observação: (onsidere( )

51 1,03

4,57970,03

−−

= .

=E @G *23"33

&E @G */3"33(E @G 533"33ME @G 513"33AE @G 53"33

<! CEF 9@7@ $m computador é vendido em 2prestações mensais" consecutivas e i%uais a @G*,3"33. Os juros cobrados no financiamentodesse computador correspondem a juroscompostos mensais de <H sobre o preço ) vista.8esse caso" considerandoKse 3",2 como valor

apro-imado para ( ) 81,07 −

" se a primeira

prestação for pa%a um m#s apLs a compra" opreço ) vista do computador será i%ual a:

=E @G .3,3"33&E @G .3+3"33(E @G .3<3"33ME @G .323"33AE @G .3/3"33

=! CEF 9@7@ $ma dívida no valor de @G 13.333"33"contraída pelo sistema franc#s de amortiaçãoDtabela PriceE" com juros de 1"/H ao m#s" serápa%a em 5 prestações mensais. 8esse caso"considerandoKse 3"/, como valor apro-imado de

( ) 4

1,0129 −

" cada prestação será i%ual a:

=E @G .+3"33&E @G .+13"33(E @G .+33"33ME @G .,/3"33

AE @G .,23"33

>! *ANRI1UL $ma sen'ora deseja comprar uma%eladeira no valor a vista de @G 1.,3"33" em oitoprestações i%uais" sendo a primeira comvencimento em um m#s apLs a compra.(onsiderando a ta-a de juros compostos de Hao m#s" o valor da prestação dessa compra seráde:

=E @G ,"33

&E @G 1,+",(E @G 1,/"*2ME @G 1<3"+5AE @G 12*"3<

7@! 1U1EP $m consumidor comprou um automLvelno valor de @G ,.333"33" pa%ou uma entrada )vista de @G ,.333"33 e financiou o restante emdoe prestações mensais de @G .33/"5"vencendo a primeira ao fim do primeiro m#s e

assim sucessivamente. 0ndi!ue a ta-a mensal de juros compostos do financiamento.

=E 1H&E H(E *HME 5HAE ,H

77! ** 9@@- $m investidor realia depLsitos noinício de cada m#s" durante 2 meses" em um

banco !ue remunera os depLsitos de seusclientes a uma ta-a de juros nominal de 5H aoano" com capitaliação mensal. Os valores dos 5primeiros depLsitos foram de @G 1333"33 cadaum e dos 5 4ltimos @G 1,3"33 cada um. 8omomento em !ue ele efetua o oitavo depLsito"verifica !ue o montante !ue possui no banco é

M " em reais.

Fator e A8u3ula$%o e Capital

taxa e :uros 8o3postos e 9 ao perBoo 84mero

de períodos

Pa%amento

4nico

9érie de

Pa%amentos i%uais

1 1"3 1"33

1"35 "3

* 1"3+ *"3+

5 1"32 5"1

, 1"13 ,"3

+ 1"1* +"*1

< 1"1, <"5*

2 1"1< 2",2

/ 1"3 /"<+

$tiliando os dados da tabela acima" temKse"então" !ue:

=E 10300 M <

&E 10100 10300 M < ≤ (E 9900 10100 M < ≤

ME 9700 9900 M < ≤

AE 9500 9700 M < ≤





OS: 0062/10/12-Gil

79! ** 9@@- $ma pessoa deposita no início de cadam#s @G ,333"33 em um banco !ue remunera osdepLsitos de seus clientes ) ta-a de jurosnominal de *+H ao ano" com capitaliaçãomensal. =pLs ter realiado o seu oitavo e 4ltimo

depLsito decide !ue" apLs um m#s" irá retirarmensalmente , parcelas i%uais" es%otandototalmente seu crédito.

Daos re"ere#tes H taxa e :uros 8o3postos

e ao perBoo para paGa3e#tos iGuais

84mero

de períodos

Zator de

=cumulação

de (apital

Zator de

@ecuperação

de (apital

5 5"12 3"<

, ,"*1 3"

+ +"5< 3"1/

< <"++ 3"1+

2 2"2/ 3"15

$tiliando os dados da tabela acima" o valor decada parcela a ser retirada é i%ual a:

=E @G /<</"33&E @G 255,"33(E @G <11"33ME @G +*"33AE @G +12"33

7 9 ; . - < = > 7@ 77 79

& M = & ( ( A A M ( A =

( – SISTEMS DE MORTI)*+O

8a devolução de um empréstimo" cada

prestação é composta de duas parcelas: umareferente ao pa%amento de juros e outra referente )cota de amortiação" ou seja" para a `Késima parcelatemos a relação abai-o:

K K K P J A= +

Tá diversas formas de faer a devolução deum empréstimo" al%umas são mais utiliadas naprática" em desta!ue o 9istema Zranc#s DTabela PriceE"

o 9istema de =mortiação (onstante D9=(E" 9istema=mericano e o 9istema ?isto.

Vejamos al%uns detal'es importantes de cadaum destes principais sistemas de amortiação.

• 1iste3a Fra#8KsTabela Price: O sistema Price nadamais é !ue uma série uniforme de pa%amentos !uepode ser antecipada" postecipada ou diferida" por issosua característica principal é a parcela fi-a.

Observações importantes do 9istema Price:

1 X prestações fi-as

X juros decrescentes

* X amortiação crescente

5 X a 4ltima cota de amortiação é i%ual ao saldodevedor apLs o pa%amento da pen4ltima prestação

, X o saldo devedor imediatamente apLs o

pa%amento da `Késima prestaçãoD K P E é i%ual ao valor

atual da série postecipada formada pelas prestações

restantesD 1K P + até nP E.

Reralmente construímos uma tabela para verificara evolução da dívida período a período. 8esta tabela

temos as se%uintes colunas Dn4mero da parcela D k E"

juro da parcela D K J E" amortiação da parcela D K A E"

valor da parcela D K P E" saldo devedor apLs o

pa%amento da parcela D K S

E.





OS: 0062/10/12-Gil

Ca4e$alo a Ta4ela

k K J K A K P K S

Pree#8e#o a Ta4ela e u3 E3pr5sti3o

Para preenc'er a tabela acima se%uimos osse%uintes passos:

iE calculaKse o juro da parcela aplicando a ta-a de jurosobre o saldo devedor apLs o pa%amento da parcelaanterior Dno caso da primeira parcela" o saldo é ovalor financiadoE.

iiE calculaKse o valor da amortiação da parcela

subtraindoKse do valor da parcela o juro calculado nopasso iE.

iiiE calculaKse o saldo devedor apLs o pa%amento daparcela subtraindoKse do saldo devedor anterior ovalor da cota de amortiação calculada no passo iiE.

ivE repetemKse os passos iE" iiE e iiiE até a 4ltimaparcela do empréstimo.

Exe3plo 7& $m noteboo] cujo valor é @G **13"33 serápa%o em tr#s parcelas mensais postecipadas. 9abendo

!ue a ta-a do financiamento foi de 13H ao m#s" !ualo valor do juro embutido na 4ltima parcela

1olu$%o& (alculando o valor da parcela para estarenda postecipada temos:

13313310, 10% , 3, , ?

3310 A i n FRC P= = = = =

(alculando o fator de recuperação para esta renda

encontramos1331

3310

FRC = .

3310P A FRC = ⋅ = 1331

3310× 1331P⇒ =


Preenc'endo a tabela de evolução do empréstimo:

Passo 1: calculando o juro da primeira parcela:

saldo devedor anterior

1 1 1010% de 3310 J J = ⇒ =

10 03310×

1 331 J ⇒ =

k K J K A K P K S

3 KKKK KKKK KKKK **13

1 **1 1**1

Passo : calculando a cota de amortiação da primeiraparcela:

1 1 1 1331 331 1000 A P J = − = − =

k K J K A K P K S


1 **1 1333 1**1

Passo *: calculando o saldo devedor apLs opa%amento da primeira parcela:

saldo anterior

1 0 1 3310 1000 2310S S A= − = − =

k K J K A K P K S


1 **1 1333 1**1 *13

@epetindo os passos 1" e * até o final doempréstimo temos a se%uinte tabela:

k K J K A K P K S


1 **1 1333 1**1 *13

*1 1133 1**1 113

* 11 113 1**1 3

Observando a tabela acima encontramos o juro

embutido na 4ltima parcela D 3 J E no valor de

@G 11"33.





OS: 0062/10/12-Gil

1iste3a e A3ortiza$%o Co#sta#te 1AC: 8estesistema as cotas de amortiação são constantes"dadas pelo valor do empréstimo dividido pelo n4merode prestações" com isso" todas as parcelas t#m valoresdiferentes.

Observações importantes do 9=(:

1 X a cota de amortiação é constante

X juros decrescentes em P.=.

* X prestações decrescentes em P.=.

5 X a 4ltima cota de amortiação é i%ual ao saldodevedor apLs o pa%amento da pen4ltima prestação

, X o saldo devedor decrescente em forma depro%ressão aritmética.

8o 9=( também construímos uma tabela paraverificar a evolução da dívida período a período. 8estatabela temos as se%uintes colunas Dn4mero da parcela

D k E" juro da parcela D K J E" amortiação da parcela

D K A E" valor da parcela D K P E" saldo devedor apLs o

pa%amento da parcela D K S E.

Ca4e$alo a Ta4ela

k K J K A K P K S




iiE calculaKse o valor da parcela somandoKse o valor daamortiação com o juro calculado no passo iE.

iiiE calculaKse o saldo devedor apLs o pa%amento daparcela subtraindoKse do saldo devedor anterior ovalor da cota de amortiação D!ue é constanteE.

ivE repetemKse os passos iE" iiE e iiiE até a 4ltimaparcela do empréstimo.

Exe3plo 9& $m telefone celular cujo valor é @G ,53"33será pa%o em tr#s parcelas mensais com a primeira aser pa%a um m#s apLs a compra. 9abendo !ue a ta-ado financiamento foi de 13H ao m#s no 9=(" !ual ovalor da 4ltima parcela

1olu$%o& (alculando o valor da amortiação para estefinanciamento temos:

ValorFinanciado 540180

número de parcelas 3 A A= ⇒ = =




1 11010% de 540 J J = ⇒ =

10 054 0×

1 54 J ⇒ =

k K J K A K P K S

3 KKKK KKKK KKKK ,53

1 ,5 123

Passo : calculando o valor da primeira parcela temos:

1 1 1 54 180 234P J A= + = + =

k K J K A K P K S


1 ,5 123 *5


saldo anterior

1 0 1 540 180 360S S A= − = − =

k K J K A K P K S


1 ,5 123 *5 *+3





OS: 0062/10/12-Gil


k K J K A K P K S


1 ,5 123

*5 *+3

*+ 123

1+ 123

* 12 123

1/2 3

Observando a tabela acima encontramos o valor da

4ltima parcela D 3P E i%ual a @G 1/2"33.

Observe na tabela !ue os juros" as parcelas eo saldo devedor são decrescentes em P.=. = partirdisso" para um financiamento com ta-a i

e n

pa%amentos no 9=(" temos as se%uintes i%ualdades:

Cota e A3ortiza$%o A

Valor Financiado

número de parcelas

VF A

n= =

1alo De(eor aps o paGa3e#to a )5si3a par8ela

k S

k S VF k A= − ⋅

ou

( )k S n k A= − ⋅

Juro a )5si3a par8ela k J

1k k J i S −= ⋅

ou

[ ]( ) 1k J i A n k = ⋅ ⋅ − +

/alor a )5si3a par8ela A

1k k P A i S −= + ⋅

• 1iste3a A3eri8a#o e A3ortiza$%o: 8este sistema ascotas de juros são constantes" dadas pelo valor totaldo empréstimo aplicado na ta-a de juros" e sL 'áamortiação no pa%amento da 4ltima parcela" ou seja"todas as parcelas são i%uais aos juros e-ceto a 4ltima!ue é composta dos juros somados ao valor total doempréstimo.

O sistema americano também é c'amado de 1iste3ae PaGa3e#to Perii8o e Juros.

Observações importantes do 9istema =mericano:

1 X a cota de juro é constante

X não 'á cotas de amortiação" e-ceto na 4ltimaparcela

* X a 4ltima cota de amortiação é i%ual ao valor doempréstimo

8o 9istema =mericano também construímos uma

tabela para verificar a evolução da dívida período aperíodo. 8esta tabela temos as se%uintes colunas

Dn4mero da parcela D k E" juro da parcela D K J E"

amortiação da parcela D K A E" valor da parcela D K P E"

saldo devedor apLs o pa%amento da parcela D K S E.

Ca4e$alo a Ta4ela

k K J K A K P K S




iiE calculaKse o valor da parcela somandoKse o valor daamortiação com o juro calculado no passo iE.





OS: 0062/10/12-Gil

iiiE calculaKse o saldo devedor apLs o pa%amento daparcela subtraindoKse do saldo devedor anterior ovalor da cota de amortiação D!ue é constanteE.

ivE repetemKse os passos iE" iiE e iiiE até a 4ltima

parcela do empréstimo.

Exe3plo & $ma ;V >AM cujo valor é @G 533"33 serápa%a em tr#s parcelas mensais com a primeira a serpa%a um m#s apLs a compra. 9abendo !ue a ta-a dofinanciamento foi de 13H ao m#s no 9istema=mericano" !ual o valor da 4ltima parcela

1olu$%o& Já sabemos !ue não 'á amortiação nas duas

primeiras parcelas" lo%o 1 2 0 A A= = .




1 1

1010% de 2400 J J = ⇒ =

10 02400×

1 240 J ⇒ =

k K J K A K P K S

3 KKKK KKKK KKKK 533

1 53 3

Passo : calculando o valor da primeira parcela temos:

1 1 1 240 0 240P J A= + = + =

k K J K A K P K S

3 KKKK KKKK KKKK 533

1 53 3 53


saldo anterior

1 0 1 2400 0 2400S S A= − = − =

k K J K A K P K S

3 KKKK KKKK KKKK 5331 53 3 53 533


k K J K A K P K S


1 53 3 53 533

53 3 53 533

* 53 533 +53 3

•

1iste3a e A3ortiza$%o Misto: 8este sistemametade do valor financiado é feito se%undo o 9istemaPrice e a outra metade se%undo o 9=(. = parcela finalé composta pela soma das parcelas de cada sistema.

Exe3plo ;& $ma trator cujo valor é @G 1/2+33"33 serápa%o em tr#s parcelas anuais postecipadas pelosistema misto de amortiação. 9abendo !ue a ta-a dofinanciamento foi de 13H ao ano" !ual o valor do juroembutido na 4ltima parcela

1olu$%o& (omo o sistema é misto" metade éfinanciada pelo Price e metade pelo 9=(.

198600198600 99300

2 2

VF VF = ⇒ = =

9endo assim temos @G //*33"33 parafinanciar pelo 9=( e esta mesma !uantidade parafinanciar pelo Price.

Faze#o a parte o Pri8e& (alculando o valor daparcela para esta renda postecipada temos:

1331

99300, 10% , 3, , ?3310 A i n FRC P= = = = =

(alculando o fator de recuperação para esta renda

encontramos1331

3310FRC = .

9930 0P A FRC = ⋅ = 1331

3310×

30

9930=

1331

331

×

1

39930P⇒ =





OS: 0062/10/12-Gil

Preenc'endo a tabela de evolução do empréstimo noPrice temos:

k K J K A K P K S

3 KKKK KKKK KKKK //*33

1 //*3 *3333 *//*3 +/*33

+/*3 **333 *//*3

*+*33

* *+*3 *+*33 *//*3

3

Faze#o a parte o 1AC& (alculando o valor daamortiação para este financiamento temos:

ValorFinanciado 99300

33100número de parcelas 3 A A= ⇒ = =

Preenc'endo a tabela de evolução do empréstimo no9=( temos:

k K J K A K P K S

3 KKKK KKKK KKKK //*33

1 //*3 **133

5*3*3 ++33

++3 **133

*/<3 **133

* **13 **133 *+513 3

= partir destas duas tabelas" construímos atabela do sistema misto com as mesmas colunas dasdemais lembrando !ue cada valor será o resultado dasoma dos respectivos valores encontrados nas duastabelas acima" veja:

k K J K A K P K S

3 KKKK KKKK KKKK 1/2+33

1 1/2+3 +*133

2/+3 1*,,33

1*,,3 ++133

</+,3 +/533

* +/53 +/533

<+*53 3

Observando a tabela acima encontramos o

valor dos juros embutidos na 4ltima parcela D 3 J E i%ual

a @G +/53"33. S claro !ue não era necessário %erar

toda esta tabela encontrar tal resultado" bastavatomar o resultado da soma dos juros embutidos nas

4ltimas parcelas do 9=( e do Price" ou seja"

3 3630 3310 6940

PRICE SAC

J = + = .


7! CE10RANRIOCEF 9@@= $m empréstimo de @G*33"33 será pa%o em + prestações mensais"sendo a primeira delas pa%a *3 dias apLs oempréstimo" com juros de 5H ao m#s sobre osaldo devedor" pelo 9istema de =mortiação(onstante D9=(E. O valor" em reais" da !uartaprestação será

=E ,3"33&E ,"33(E ,5"33ME ,+"33AE ,2"33

9! CE10RANRIOCEF 9@@= $m empréstimo de @G33"33 será pa%o em 5 prestações mensais"sendo a primeira delas pa%a *3 dias apLs oempréstimo" com juros de 13H ao m#s" pelo

9istema de =mortiação (onstante D9=(E. O valor"em reais" da terceira prestação será

=E ,3"33&E ,,"33(E +3"33ME +,"33AE <3"33

! CE10RANRIOCasa a Moea 9@@> $mapessoa deve pa%ar um financiamento de @G

1.333"33 em de prestações calculadas pelo9istema de =mortiação (onstante D9=(E" com aprimeira prestação sendo devida um m#s apLs ofinanciamento. = ta-a de juros compostos usadaé de 1H a.m. O valor" em reais" da primeiraprestação é de

=E /3"33&E 133"33(E 113"33ME 13"33

AE 1,"33





OS: 0062/10/12-Gil

;! CE10RANRIOCasa a Moea 9@@. 8o sistemafranc#s de amortiação" os juros são:

=E decrescentes.&E crescentes.

(E constantes.ME pa%os inte%ralmente ao final do período.AE pa%os inte%ralmente no início do período.

.! ** $m empréstimo no valor de @G 1.333"33será devolvido em tr#s prestações mensais i%uaise se%uidas de valor i%ual a @G 51+"*,. Ofinanciamento foi realiado com uma ta-a de1H ao m#s. =o analisar os valores de cadaprestação da operação de financiamento"calculando os valores dos juros" amortiação e

saldo devedor" vemos !ue" para a se%undaparcela" estes valores" em reais" sãorespectivamente:

=E +<",5 X +52"21 X *22",/&E <"22 X *5*"5< X *2*",(E <<"5 X **/"11 X *<2"2/ME 23"12 X **+"1< X *<1"<5AE 25"55 X **1"/1 X *<1"<5

-! *ANRI1UL $ma empresa financiou @G 2.,33"33"

em 5 anos" a uma ta-a de juros compostos de 5Hao ano pelo 9istema de =mortiação Zranc#s. Ovalor da se%unda parcela anual será de:

=E @G 133"33&E @G *53"33(E @G .*51"+<ME @G *.*+3"25AE @G .*23"33

<! ** $m empréstimo de @G 33.333"33 será pa%o

em tr#s prestações mensais i%uais e consecutivaspela ;abela Price. 9e a ta-a de juros nominal forde +3H ao ano" com capitaliação mensal" aparcela correspondente aos juros na 4ltimaprestação terá" em reais" um valor:

=E inferior a @G *.,33"33&E entre @G *.,33"33 e @G *.+33"33(E entre @G *.+33"33 e @G *.<33"33ME entre @G *.<33"33 e @G *.233"33AE superior a @G *.233"33

=! ** $ma pessoa assume" 'oje" o compromissode devolver um empréstimo no valor de @G1,333"33 em 13 prestações mensais i%uais"

vencendo a primeira da!ui a um m#s" ) ta-a de juros nominal de 5H ao ano" com capitaliaçãomensal. 9abeKse !ue foi utiliado o 9istemaZranc#s de =mortiação D9istema PriceE e !ue"para a ta-a de juros compostos de H ao

período" o Zator de @ecuperação de (apital D13períodosE é i%ual a 3"111. O respectivo valor dos

juros incluídos no pa%amento da se%undaprestação é:

=E @G <*"*3&E @G <"<3(E @G <3"33ME @G ++"<3AE @G ,+"+3

>! CEF 9@7@ 1P)RJ (onsiderando !ue uma dívida novalor de @G 1.333"33" contraída pelo sistema deamortiação constante D9=(E" ten'a sido pa%a em+ prestações mensais e !ue o valor dos jurospa%os na , prestação ten'a sido i%ual a @G23"33" assinale a opção correta.

=E = ta-a de juros cobrada nessa transação foide H ao m#s.

&E ;odas as prestações foram de mesmo valor.(E =pLs a , amortiação" o valor da dívida era

de @G 5.333"33.ME O valor dos juros pa%os na *.a prestação foi

de @G 33"33.AE = soma das * e + prestações foi i%ual a @G

5.333"33.

CEF 9@@@ Para responder )s duas !uestõesse%uintes considere o enunciado abai-o.B$m industrial" pretendendo ampliar asinstalações de sua empresa" solicita @G

33333"33 emprestados a um banco" !ue entre%aa !uantia no ato. 9abeKse !ue os juros serãopa%os anualmente" ) ta-a de 13H a.a." e !ue ocapital será amortiado em 5 parcelas anuais"pelo 9=(.C

7@! O valor da terceira prestação deverá ser:

=E @G +3333"33&E @G +,333"33(E @G +2333"33

ME @G <3333"33AE @G <,333"33





OS: 0062/10/12-Gil

77! Os juros pa%os por esse empréstimo deverãototaliar a !uantia de:=E @G 53333"33&E @G 5,333"33(E @G ,3333"33

ME @G ,,333"33AE @G +3333"33

79! 1EFA2)RJ (om relação aos diferentes sistemasde amortiação" analise as afirmativas a se%uir:

0. 9e%undo o 9istema de =mortiação(onstante" para um empréstimo de @G,3.333"33" a ser amortiado em , vees auma ta-a de juros de ,H ao m#s" o valoracumulado das tr#s primeiras prestações é

de @G 1.<33"33.00. 8o 9istema Zranc#s de =mortiação as

prestações são crescentes" com jurosdecrescentes.

000. 8o 9istema =mericano de =mortiação" paraum empréstimo de @G ,3.333"33" a seramortiado em , vees a uma ta-a de jurosde ,H ao m#s" o valor acumulado das tr#sprimeiras prestações é de @G <.,33"33.

=ssinale:

=E se somente as afirmativas 0 e 00 estiveremcorretas.

&E se somente as afirmativas 0 e 000 estiveremcorretas.

(E se somente a afirmativa 000 estiver correta.ME se somente as afirmativas 00 e 000 estiverem

corretas.AE se todas as afirmativas estiverem corretas.

7! TCE)MT $ma empresa obtém um empréstimode @G 1.333"33" num banco de desenvolvimento

o financiamento" cuja ta-a efetiva de juroscompostos é de H ao m#s. = empresa desejaamortiar a dívida em doe meses" sabendoKse!ue" em todos os planos o primeiro pa%amento éapLs trinta dias do financiamento. O banco dedesenvolvimento oferece os se%uintes planos deamortiação: Pa%amento PeriLdico de Juros"9istema Price e 9istema de =mortiações(onstantes D9=(E. Os 4ltimos pa%amentos decada plano" respectivamente" são=E @G 1.53"33 @G 1.1*,"3 @G 1.33"33.

&E @G 53"33 @G 1.+2"3 @G @G 1.1*,"3.(E @G 1.53"33 @G 1.1*,"3 @G 1.+2"33.ME @G 1.+2"3 @G 1.53"33 @G 1.33"33.AE @G 1.1*,"3 @G 1.33"33 @G 53"33.

7;! CEPEL Iuando se contrai uma dívida" seures%ate é feito pelo processo de amortiação. Osistema de amortiação utiliado na tabela ase%uir é o sistema:

;abela de Valores em reais D@GE

m#s saldo

devedor

amortiação juros prestação

3 133333 KKKKKKK 13333 13333

1 133333 KKKKKKK 13333 13333

133333 KKKKKKK 13333 13333

* 133333 KKKKKKK 13333 13333

5 133333 KKKKKKK 13333 13333

, 3 133333 13333 113333

;otais 133333 ,3333 1,3333

=E Price.&E de =mortiação =lemão.(E de =mortiação Zranc#s.ME de =mortiação (onstante.AE de =mortiação =mericano.

7.! AFR)1P $m plano de pa%amentos referente )a!uisição de um imLvel foi elaborado com baseno sistema de amortiação misto D9=?E ecorresponde a um empréstimo no valor de @G13.333"33" a uma ta-a de H ao m#s" a serli!uidado em +3 prestações mensais" a primeiravencendo um m#s apLs a data do empréstimo.

nW de

períodos 13 3 *3 53 ,3 +3Z@( 3"111 3"3+1 3"35, 3"3*< 3"3* 3"3/

Z@( : DZator de @ecuperação de (apital para ata-a de juros compostos de H ao períodoEO valor da *3 Dtri%ésimaE prestação é i%ual a:

=E @G *.*3"33&E @G *.*+3"33(E @G *.523"33

ME @G 5.153"33AE @G 5.23"33





OS: 0062/10/12-Gil

0A*ARITO

7 9 ; . - < = > 7@

M ( ( = A ( = & = =

77 79 7 7; 7. 7- 7< 7= 7> 9@

( ( = A &

, – NO*ÕES DE IN$ESTIMENTOS

Fluxo e Caixa

Zlu-o de (ai-a é uma se!u#ncia depa%amentos eou recebimentos todos com valoresprevistos para determinado período de tempo.

I3porta#te& Me maneira intuitiva tomamos aliberdade de c'amar cada elemento Dpa%amento ourecebimentoE de "luxo e 8aixa também.

Vejamos a se%uinte situação:

Pero te3 R ;!@@@,@@ para re8e4er o:e, R

9!@@@,@@ a re8e4er a?ui a u3 3Ks 3ais R 7!9@@,@@a re8e4er a?ui a ?uatro 3eses! Pero ta3453 te3as seGui#tes B(ias& R 7!<@@,@@ ?ue (e#8e a?ui aois 3eses e R 7!7@@,@@ a (e#8er a?ui a 3eses!

Asta situação é um e-emplo de flu-o de cai-a"pois 'á uma série de pa%amentos e recebimentos ecada um destes elementos tem seus respectivosvalores e praos predefinidos.

Reralmente representamos o flu-o de (ai-a

em uma tabela ou uma lin'a de evolução temporal.Represe#ta$%o o Fluxo e Caixa 8o3 Ta4elas

Para representar o flu-o de (ai-a com tabelas"colocamos na primeira coluna ) es!uerda os períodosde cada um dos pa%amentos eou recebimentos emordem cronolL%ica e na mesma unidade de tempo. 8ase%unda coluna colocamos os respectivos valoresDpa%amentos ou recebimentosE e 8o3 u3 si#al e3e#os ie#ti"i8a3os ?uais s%o os paGa3e#tos.

Exe3plo 7& @epresentar na tabela o flu-o decai-a da situação de Pedro ilustrada acima.

1olu$%o&

Prao Dm#sE Valor em @G

3 5333

1 333

K1<33

* K1133

5 133

Observe !ue em nosso flu-o de cai-acolocamos como B3C o prao do primeiro pa%amentoou recebimento e a partir desta ata re"erK#8ia colocamos os respectivos períodos de cada um dosoutros elementos. 0sso é muito comum em !uestõesenvolvendo flu-os de cai-a representados em tabela.

O4ser(a$%o& Asta tabela pode ser apresentadade maneira invertida" da se%uinte maneira.

Prao Dm#sE 3 1 * 5

Valor em @G 5333 333 K1<33 K1133 133

Represe#ta$%o o Fluxo e Caixa #a Li#a Te3poral

Para esboçar o flu-o de (ai-a em uma lin'atemporal" %eralmente escol'emos o primeiropa%amento ou recebimento como data refer#ncia e oposicionamos no instante B3C zero. Os demais valoresserão posicionados conforme seus praos em relação) ata zero es8olia! Taverá uma seta verticalli%ando cada valor a seu respectivo prao e a seta(erti8al para 4aixo i#i8ar' u3 paGa3e#to en!uantoa seta (erti8al para 8i3a i#i8ar' u3 re8e4i3e#to.

Exe3plo 9& @epresentar na lin'a de evoluçãotemporal o flu-o de cai-a da situação de Pedroapresentada anteriormente.

1olu$%o&

4000 2000 1200recebimentos

0 1 2 3 4 nº de meses

pagamentos

1700 1100

↑ ↑ ↑

→

↓ ↓





OS: 0062/10/12-Gil

Astas duas representações de flu-o de cai-aaparecem constantemente nas !uestões !ueenvolvem avaliações de alternativas de investimento"por isso devemos ter a capacidade de interpretarestes dados de maneira clara e objetiva.

15ries N%o U#i"or3es

Miemos !ue uma série de pa%amentos é nãouniforme ?ua#o os (alores #o3i#ais ao lo#Go oprazo s%o i"ere#tes.

$m pro:eto e i#(esti3e#to é nada mais !ueum flu-o de cai-a onde os paGa3e#tos s%o 8a3aose i#(esti3e#tos e os re8e4i3e#tos s%o 8a3aos

e retor#os.

=nalisar um projeto de investimento si%nificaverificar sua viabilidade em relação a lucros futuros"para isso 'á um conjunto de técnicas das !uaisveremos as principais.

Prazo e Re8upera$%o o I#(esti3e#to I#i8ial

O prao de recuperação do investimento

inicial" ou seja" o período de tempo necessário para!ue os retornos superem os investimentos é c'amadode paQ4a8.

PaQ4a8 si3ples& não leva em consideração acorreção dos investimentos ou retornos ao lon%o doprao.

Exe3plo & (alcule o pabac] simples" emanos" do projeto de investimento abai-o.

ano valor

0 4800−

1 1300

2 1700

3 1800

4 2000

1olu$%o& (omo o pabac] simples desconsidera acorreção dos flu-os" basta colocarmos ao lado dacoluna dos valores uma coluna com os valoresacumulados até o momento. Veja:

8o ano 1 o valor acumulado é:

1AC 4800 1300 3500= − + = −

(olocamos este resultado no valor acumulado

na lin'a do tempo ano 1.

ano valor acumulado

0 4800− 4800−

1 1300 3500−

2 1700

3 1800

4

2000

8o ano o valor acumulado é:

2AC 3500 1700 1800= − + = −


na lin'a do tempo ano .

ano valor acumulado

0 4800− 4800−

1 1300 3500−

2 1700 1800−

3 1800

4 2000

8o ano * o valor acumulado é:

3

AC 1800 1800 0= − + =


na lin'a do tempo ano *.

ano valor acumulado

0 4800− 4800−

1 1300 3500−

2 1700 1800−

3 1800 0

4 2000





OS: 0062/10/12-Gil


4AC 0 2000 2000= + =


na lin'a do tempo ano 5.

ano valor acumulado

0 4800− 4800−

1 1300 3500−

2 1700 1800−

3 1800 0

4

2000

2000

=ssim temos a coluna do valor acumuladototalmente preenc'ida" a%ora basta verificar para!ual prao o a8u3ulao 5 positi(o ou #ulo" pois istoindica o tempo mínimo para !ue os retornos superemos investimentos.

ano valor acumulado

0 4800− 4800−

1 1300 3500−

2 1700 1800−

3 1800 0

4 2000 2000

Vemos !ue isso ocorre na lin'a do ano *" cujoacumulado é e-atamente B3C DeroE" portanto o

pabac] simples deste projeto é e-atamente * anos.

PaQ4a8 es8o#tao& leva em consideração acorreção dos investimentos ou retornos ao lon%o doprao.

O4ser(a$%o& neste caso é necessária uma ta-ade juros definida para correção dos valores ao lon%odo prao.

Exe3plo ;& (alcule o pabac] descontado" emanos" do projeto de investimento abai-o considerandouma ta-a de juros de 13H ao ano.

ano valor

0 5000−

1 1870

2 2178

* 2662

1olu$%o& (omo o pabac] descontado considera acorreção dos flu-os ao lon%o do prao" vamos calcularo (alor atual e 8aa "luxo #a ata zero e apli8ar opro8ei3e#to o (alor a8u3ulao #a 8olu#a o(alor atual. Veja:

Para calcular o valor atual ) ta-a de 13H aoano em um prao de antecipação n " utiliamos a

se%uinte e-pressão( )1,1

n

N A = .

ano valor valor atual

0 5000−

( )0 0

5000 50005000

11,1 A

− −= = = −

1 1870 ( )

1 11870 1870 1700

1,11,1 A = = =

2 2178

( )2 2

2178 21781800

1,211,1 A = = =

* 2662

( )3 3

2662 26622000

1,3311,1 A = = =

=%ora vamos aplicar o procedimento de valor

acumulado na coluna do valor atual.

ano valor valor atual

0 5000− 5000−

1 1870 1700

2 2178 1800

* 2662 2000


1AC 5000 1700 3300= − + = −





OS: 0062/10/12-Gil

(olocamos este resultado no valor acumulado nalin'a do tempo ano 1.

ano valor valor atual acumulado

0 5000− 5000− 5000−

1 1870 1700 3300−

2 2178 1800

* 2662 2000

8o ano o valor acumulado é:

2AC 3300 1800 1500= − + = −

(olocamos este resultado no valor acumulado nalin'a do tempo ano .


0 5000− 5000− 5000−

1 1870 1700 3300−

2 2178 1800 1500−

* 2662 2000

8o ano * o valor acumulado é:

3AC 1500 2000 500= − + =

(olocamos este resultado no valor acumulado nalin'a do tempo ano *.


0 5000− 5000− 5000−

1 1870 1700 3300−

2 2178 1800 1500−

* 2662 2000 500

=ssim temos a coluna do valor acumuladopara o valor atual totalmente preenc'ida" a%ora basta

verificar para !ual prao o a8u3ulao 5 positi(o ou#ulo" pois isto indica o tempo mínimo para !ue osretornos superem os investimentos.


0 5000− 5000− 5000−

1 1870 1700 3300−

2 2178 1800 1500−

* 2662 2000 500

Vemos !ue isso ocorre na lin'a do ano *" cujoacumulado é maior !ue B3C DeroE" portanto opabac] descontado deste projeto é e-atamente *anos.

Cuiao& !uando encontramos um valoracumulado i%ual a ero" o pabac] é e-ato" tanto nosimples !uanto no descontado. Aste fato foiobservado no e-emplo *. Iuando não encontramosum valor acumulado i%ual a ero" devemos atentarpara o se%uinte:

1 X se o enunciado mencionar !ue os "luxos "ora3istri4uBos ao lo#Go o perBoo devemos faer umaproporção e calculáKlo do se%uinte modo:

Exe3plo .& (onsiderando !ue os flu-os doprojeto do e-emplo 5 foram distribuídos ao lon%o doperíodo !ual seria o pabac] descontado ) ta-a de13H ao ano

1olu$%o& ;odo o procedimento seria feitocomo para e-emplo anterior" ou seja" teríamos ase%uinte tabela.


0 5000−

5000−

5000−

1 1870 1700 3300−

2 2178 1800 1500−

* 2662 2000 500

= 4nica diferença é !ue não temos o valornulo na coluna de acumulados e a%ora foimencionado !ue os "luxos "ora3 istri4uBos ao

lo#Go o perBoo" nesse caso basta faer a se%uinteproporção para o cálculo da fração de ano:





OS: 0062/10/12-Gil

fluxo do ano 3 acumulado do ano 3dois períodos inteiros

fluxo do ano 3

fração proporcional do ano

2000 500PayBack 2

2000

3

15PayBack 2

−= +

⇒ = +

00

20 00

32 2,75

4

4

= + =

Portanto o pabac] descontado deste projetoé de "<, anos ou ainda anos e / meses.

X se o enunciado dei-ar de mencionar a respeito decomo os "luxos "ora3 istri4uBos ao lo#Go o

perBoo ou falar !ue os "luxos "ora3 8o#8e#traos #olti3o ia o a#o devemos desconsiderar a partefracionária e pe%ar o resultado como sendo oprimeiro inteiro para o !ual temos o a8u3ulaopositi(o" como fiemos nos e-emplos * e 5.

O 8'l8ulo e PaQ4a8 s%o 35toos e a#'lisee i#(esti3e#to seGu#o o prazo. Mado um projeto

de investimento !ual!uer" seja ACn o seu valor

acumulado na 4ltima lin'a do projeto" então:

iE 9e AC 0n > " então o projeto e(e ser a8eito

iiE 9e AC 0n = " então o projeto poe ser a8eito ou

re:eitao" é indiferente !ual!uer das decisões

iiiE 9e AC 0n < " então o projeto e(e ser re:eitao

0a#os ou Peras Fi#a#8eiras e3 /alores

Para analisar vanta%ens de um projeto deinvestimentos com base nos valores dos flu-os decai-a utiliamos o 35too o /alor Prese#te LB?uio/PL.

Nota$%o& utiliaremos a si%la VP> para indicarValor Presente >í!uido.

Primeiramente temos !ue entender !uem é oVP> de um projeto e como se calcula.

Mado um projeto !ual!uer cujos flu-os de

cai-a são 0FC " 1FC " 2FC " … " FCn e cuja taxa de

juros ou custo do capital é de %i ao período" seu

VP> é dado por:

0 1 2

0 1 2

FC FCFC FCVPL

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

n

ni i i i

= + + + ++ + + +

⋯

Am notação reduida temos:

0

FCVPL

(1 )

n j

j j i=

=+

∑

" ou seja" o VP> de um projeto é soma dos valoresatuais de todos os flu-os na data B3C DeroE.

Exe3plo -& (alcule o VP> do projeto deinvestimento abai-o considerando uma ta-a de jurosde 13H ao ano.

ano valor

0 5000−

1 1870

2 2178

* 2662

1olu$%o&

0 31 2

0 1 2 3

0 1 2 3

FC FCFC FCVPL

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

5000 1870 2178 2662VPL(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)

5000 1870 2178 2662VPL

1 1,1 1, 21 1,331

VPL 5000 1700 1800 2000

VPL 5000

i i i i= + + +

+ + + +

−⇒ = + + +

−⇒ = + + +

⇒ = − + + +

⇒ =

O VP> deste projeto é @G ,33"33.

O 8'l8ulo o /PL 5 u3 35too e a#'lise e

i#(esti3e#to seGu#o (alores a4solutos. Mado umprojeto de investimento !ual!uer podemos aceitáKloou rejeitáKlo de acordo com seu VP> da se%uintemaneira:





OS: 0062/10/12-Gil

iE 9e VPL 0> " então o projeto e(e ser a8eito

iiE 9e VPL 0= " então o projeto poe ser a8eito oure:eitao" é indiferente !ual!uer das decisões

iiiE 9e VPL 0< " então o projeto e(e ser re:eitao

#i8e e Lu8rati(iae

Iuando se analisa o VP> de mais de umprojeto c'e%aKse sempre a valores absolutos e muitasvees é difícil escol'er dentre um ou mais projetos!ual o mais vantajoso justamente por não se ter umaidéia de percentual de crescimento. O índice delucratividade aponta com se%urança !ual a mel'or

li!uide entre projetos distintos.

O índice de lucratividade" 0>" de um projeto édado por:

0

0

VPL FCIL

FC

−=

Am notação de somatLria temos:

1

0

FC

(1 )IL

FC

n j

j j i= +

=

∑

Exe3plo <& (alcule o índice de lucratividadedo projeto de investimento do e-emplo anterior )mesma ta-a de anual de 13H.

1olu$%o&

O projeto do e-emplo anterior é dado abai-o.

ano valor

0 5000−

1 1870

2 2178

* 2662

Já calculamos anteriormente o VP> no valor de @G

,33"33 e 0FC 5000= − . Antão temos:

0

0

VPL FC 500 ( 5000)IL

FC 5000

− − −= =

−

11

500+5000 5500 55IL

5000 5000⇒ = = =

− −

00

50 00

11

10

10

IL 1,1

=

⇒ =

O índice de lucratividade deste projeto é 1"1.

O 8'l8ulo o IL B#i8e e lu8rati(iae 5 u335too e a#'lise e i#(esti3e#to seGu#oper8e#tual e Ga#o. Mado um projeto deinvestimento !ual!uer podemos aceitáKlo ou rejeitáKlo de acordo com seu 0> da se%uinte maneira:

iE 9e IL 1> " então o projeto e(e ser a8eito

iiE 9e IL 1= " então o projeto poe ser a8eito oure:eitao" é indiferente !ual!uer das decisões

iiiE 9e IL 1< " então o projeto e(e ser re:eitao

I3porta#te& O índice de lucratividade também podeser c'amado de #i8e e Re#ta4iliae.

Taxa I#ter#a e Retor#o TIR

= ta-a interna de retorno D;0@E de um projeto

é ta-a necessária para tornar nulo o VP> D VPL 0= E

deste projeto" ou seja" a ta-a !ue satisfa a se%uintecondição:

0 1

0 1

FC FCFC0

(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)

n

n+ + + =

+ + +⋯

ou ainda" em notação reduida:

0

FC0

(1 TIR)

n j

j

j=

=

+

∑





OS: 0062/10/12-Gil

Exe3plo =& (alcule a ta-a interna de retornodo se%uinte projeto de investimento.

ano valor

0 510−

1 252

2 432

1olu$%o&

>embrando !ue a ;0@ é a ta-a necessária paratornar nulo o VP> do projeto" então temos a se%uintei%ualdade:

0 1

0 1

VPL

0 1 2

FC FCFC0

(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)

510 252 4320

(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)

n

n+ + + =

+ + +

−⇒ + + =

+ + +

⋯

Vamos tomar a se%uinte i%ualdade:

1 TIR X + =

apenas para facilitar a escrita do e-ercício.

0 1 2

0 1 2 2

2

2

2

2

2

510 252 432Como 0

(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)

510 252 432 510 252 4320 0

1

510 252 4320

510 252 432 0

510 252 432 0

170 84 144 0

X X X X X

X X

X

X X

X X

X X

−+ + =

+ + +

− −⇒ + + = ⇒ + + =

− + +⇒ =

⇒ − + + =

⇒ − − =

⇒ − − =

('e%amos ) se%uinte e!uação do W %rau:

2170 84 144 0 X X − − =

@esolvendo esta e!uação do W %rau em X temos a se%uinte solução:

6

5 X = ou

12

17 X = −

= possibilidade12

17 X = − é descartada pelo fato

de acarretar uma ;0@ ne%ativa" sendo !ue esta épositiva. Portanto a solução válida para o e-ercício é

6

5 X = .

(omo 1 TIR X + = e

6

5 X = " então:

6 6 6 51 TIR TIR 1

5 5 5

1TIR 0,2 TIR 20%

5

−+ = ⇒ = − =

⇒ == = ⇒ =

Antão a ;0@ deste projeto é 3H ao ano.

O 8'l8ulo a TIR taxa i#ter#a e retor#o 5u3 35too e a#'lise e i#(esti3e#to seGu#o ataxa. Mado um projeto de investimento !ual!uer cujata-a de juros é i

H ao período" podemos aceitáKlo ou

rejeitáKlo de acordo com seu TIR da se%uinte maneira:

iE 9e TIR i> " então o projeto e(e ser a8eito

iiE 9e TIR i= " então o projeto poe ser a8eito oure:eitao" é indiferente !ual!uer das decisões

iiiE 9e TIR i< " então o projeto e(e ser re:eitao


7! CE10RANRIOCEF 9@@= = tabela abai-oapresenta o flu-o de cai-a de um certo projeto.

Período DanosE 3 1

Valor Dmil'ares de reaisE 410− P P

Para !ue a ta-a interna de retorno anual seja ,H"

o valor de P " em mil'ares de reais" deve ser

=E 1+",&E 1<",(E 12",

ME 1/",AE 3",





OS: 0062/10/12-Gil

9! CE10RANRIOCEF 9@@= = tabela abai-oapresenta o flu-o de cai-a de um certo projeto.

Valor D?il'ares de reaisE 50− 35 22

Período DanosE 3 1

= ta-a interna de retorno anual é i%ual a

=E 13H&E 1H(E 1,HME 12HAE 3H

! CE10RANRIO1EAD)AM 9@@. $m projeto com

investimento inicial de @G ,3.333"33 e flu-os decai-a anuais e i%uais a @G 1.,33"33 possui umperíodo de payback Dem anosE i%ual a

=E ,&E 5(E *ME AE 1

Utilize as i#"or3a$es a seGuir para respo#er

Hs ?uestes ; e .!

9ejam dois projetos de investimento A e *" comos se%uintes flu-os de cai-a:

a#o Pro:eto A Pro:eto *

3 K ,333 K ,333

1 *,33 ,33

1,33 1+33

* 133 5333

;! CE10RANRIOCasa a Moea 9@@. 9upondo are%ra do payback simples" !ual o prao" em anos"de recuperação do investimento dos projetos A e*" respectivamente

=E * e *&E * e (E * e 1

ME e *AE 1 e *

.! CE10RANRIOCasa a Moea 9@@. $tiliando ométodo do Valor Presente >í!uido para osprojetos A e *" e supondo !ue a ta-a de descontofosse de 13H ao ano" seus respectivos VP> seriami%uais a:

=E *1*"< e 1.*33"/2&E *15", e 1.533"1(E *1/"5* e 1.*1,"<+ME **"3< e 1.+33"*3AE **"13 e 1.,<",/

-! FCC** 9@@- $ma empresa deverá escol'er umentre dois projetos N e " mutuamentee-cludentes" !ue apresentam os se%uintes flu-osde cai-a:

A#o Pro:eto R Pro:eto S R

3 D− − 53.333"33

1 13.233"33 1+.33"33

11.++5"33 1<.5/+"33

= ta-a mínima de atratividade é de 2H ao anoDcapitaliação anualE e verificaKse !ue os valoresatuais lí!uidos referentes aos dois projetos são

i%uais. Antão" o desembolso D referente aoprojeto N é i%ual a:

=E @G *3 333"33&E @G 53 333"33(E @G 5, 333"33ME @G ,3 333"33AE @G +3 333"33

<! FCC** 9@@- O %ráfico abai-o representa oflu-o de cai-a referente a um projeto deinvestimento com a escala 'oriontal em anos.

9e a ta-a interna de retorno correspondente éi%ual a 3H ao ano" então X é i%ual a:=E @G 1 +33"33

&E @G 3 333"33(E @G 12 333"33ME @G 1, 333"33AE @G 15 533"33





OS: 0062/10/12-Gil

=! FCCFTE)RO 9@7@ (onsidere o flu-o de cai-aabai-o referente a um projeto em !ue odesembolso inicial foi de @G ,.333"33. = umata-a de atratividade de 3H ao ano" o índice delucratividade do projeto apresenta um valor de

1"1<+.

Valor 25000− X 21600

Período DanosE 3 1

O valor de X é i%ual a

=E @G 1.333"33&E @G 1*.33"33(E @G 15.533"33

ME @G 1,.333"33AE @G 1<.23"33

0A*ARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

E A B D D A C E

ul- E.t/- CE' 2012 – Reo

7! TRT (erta !uantia foi depositada durante umm#s na caderneta de poupança. 8o fim doperíodo" o banco liberou para o aplicador aimportFncia de @G .+2"33. 9e a renda obtidacorresponde a *,H da aplicação" !uanto foidepositado pelo aplicadorD=E @G 1.*3"33

D&E @G 1.*23"33D(E @G 1.+23"33DME @G 1.2+3"33DAE @G 1./33"33

9! AF)Ca3pi#as (erta pessoa aplicou seu capital a juros. =o final de , meses sacou seu (apital e juros no montante de @G +.3<,"33. (alcular ocapital inicial aplicado" sabendoKse !ue a ta-a foi*H ao ano no re%ime simples.D=E @G +.333"33

D&E @G +.3,3"33D(E @G ,.,33"33DME @G ,.333"33DAE @G ,.233"33

! TRT $ma loja vende seus produtos compa%amento em duas prestações mensais i%uais"Bsem jurosC. = primeira prestação é pa%a no atoda compra e a se%unda" um m#s apLs. Antretantoum desconto de 13H é concedido se o cliente

pa%ar ) vista. 8a realidade" essa loja cobra" nasvendas a prao" juros mensais de:D=E 13HD&E 3HD(E ,HDME *3HDAE ,3H

;! TRE)1C $m certo capital" aplicado a jurossimples durante / meses" rendeu umdeterminado juro. 9e aplicarmos o triplo desse

capital ) mesma ta-a" em !ue prao o juro obtidoserá i%ual ao dobro do obtido na primeiraaplicaçãoD=E + mesesD&E 2 meses e meioD(E 13 mesesDME 1 mesesDAE 1, meses

.! ATE)M1 ;r#s capitais são aplicados a jurossimples pelo mesmo prao. O capital de @G

*.333"33 é aplicado ) ta-a de *H ao m#s" ocapital de @G .333"33 é aplicado ) ta-a de 5H aom#s e o capital de @G ,.333"33 é aplicado ) ta-ade H ao m#s. Obten'a a ta-a média mensal deaplicação desses capitais.D=E *HD&E "<HD(E ",HDME "5HDAE H

-! C/M Meterminado capital foi aplicado a praofi-o durante um período ) ta-a de juros simplesde *3H ao ano. Mecorrido o prao" o montanteno valor de @G *.533"33 foi aplicado por maisum período i%ual ao da aplicação inicial" ) ta-a de

juros simples de *+H ao ano. 9endo o montantefinal i%ual a @G +./13"33" o capital da primeiraaplicação corresponde a:D=E @G 12.333"33D&E @G 3.<33"33D(E @G 3.233"33

DME @G 1.333"33DAE @G .333"33





OS: 0062/10/12-Gil

<! TRE $m capitalista colocou metade de seucapital a juros simples pelo prao de dois anos eo restante" nas mesmas condições" pelo períodode !uatro anos. 9abendoKse !ue ao final dasaplicações" os montantes eram de @G 1.1+3"33 e

@G 1.53"33" respectivamente" o capital inicial docapitalista era de:

D=E @G ,.533"33D&E @G /33"33D(E @G 1.233"33DME @G .<33"33DAE @G 1.+33"33

=! I11)1P Mois capitais foram investidos a jurossimples em uma mesma data: um" no valor de @G

+.,3"33" foi aplicado ) ta-a de H a.m. e ooutro" no valor de @G +.333"33 ) ta-a de ",Ga.m. Os montantes produidos por esses capitaisserão i%uais" a partir da data de aplicação" aocompletarKse um período de:

D=E 1 ano e * mesesD&E 1 anoD(E 13 mesesDME 2 mesesDAE + meses

>! FT)1C O valor nominal de um título de créditodescontado !uatro meses e meio antes de seuvencimento" ) uma ta-a de desconto de +H aoano !ue sofreu um desconto simples por fora novalor de @G ,"33" vale:

D=E @G 133.333"33D&E @G 1.333"33D(E @G 13.333"33DME @G 53.333"33

DAE @G *3.333"33

7@! TRF O desconto comercial de um título foi de @G1,3"33" adotandoKse uma ta-a de juros simplesde *3H ao ano. Iuanto tempo faltaria para ovencimento do título" se o valor nominal doreferido título fosse de @G 5.333"33

D=E 5, diasD&E 53 diasD(E *, dias

DME *3 diasDAE , dias

77! TCM)RJ Mois títulos de crédito vencíveis em"respectivamente" oito e seis meses foramdescontados juntos pela modalidade do descontocomercial simples a uma ta-a de desconto de ,Hao m#s" sofrendo um desconto total de @G

+53"33. 9e a operação fosse realiada dois mesesdepois" o valor do desconto totaliaria @G 5,3"33.= soma dos valores nominais dos títulos é de:

D=E @G 1.3/3"33D&E @G 1.233"33D(E @G 1./33"33DME @G .333"33DAE @G .133"33

79! TTN O valor atual racional de um título é i%ual )

metade de seu valor nominal. (alcular a ta-a dedesconto" sabendoKse !ue esse título foiantecipado de cinco meses.

D=E 33H a.a.D&E 3H a.m.D(E ,H a.m.DME 2H a.m.DAE 3H a.a.

7! ACE O desconto simples racional de um título

descontado ) ta-a de 5H ao ano" tr#s mesesantes de seu vencimento" é de @G <3"33.(alcular o valor do desconto correspondentecaso fosse um desconto simples comercial.

D=E @G 5*"3D&E @G +<+"23D(E @G <3"33DME @G <+*"3DAE @G 1.333"33

7;! FTE)PA $ma nota promissLria sofre umdesconto comercial de @G /21"33" tr#s mesesantes de seu vencimento" a uma ta-a dedesconto simples de *H ao m#s. (alcule o valordo desconto racional correspondente ) mesmata-a.

D=E @G 1.333"33D&E @G /,3"33D(E @G /<"*3DME @G /3"33

DAE @G /33"33





OS: 0062/10/12-Gil

7.! TCI Mois títulos com o mesmo valor nominalforam descontados cinco meses antes dovencimento" aplicandoKse uma ta-a simples dedesconto de H ao m#s. O primeiro foidescontado pela modalidade de desconto

racional simples" e o se%undo pelo descontocomercial simples. 9e o desconto sofridototaliou @G *.133"33" o valor nominal de cadatítulo é de:

D=E @G 111.333"33D&E @G 11.333"33D(E @G 115.333"33DME @G 11<.333"33DAE @G 11.333"33

7-! 1EFA2)AM = diferença entre o descontocomercial simples e o desconto racional simplesdevido a uma promissLria" ) ta-a de ,H ao m#s"dois meses antes de seu vencimento é i%ual a @G53"33. O valor nominal dessa promissLria é:

D=E @G 533"33D&E @G 553"33D(E @G .533"33DME @G 5.333"33DAE @G 5.533"33

7<! TRE)1P $ma duplicata é descontada em umbanco 5, dias antes do seu vencimento com autiliação de uma ta-a de desconto i%ual a H aom#s para !ual!uer tipo de operação utiliada e

se%undo a convenção do ano comercial. 9eja DF o valor do desconto caso a operação seja o

desconto comercial simples" e DD o valor dodesconto" caso a operação seja o descontoracional simples. VerificouKse !ue a diferença

DF DD− é i%ual a @G 1/"23. Antão" o valor

nominal da duplicata é:

D=E @G .++3"33D&E @G *.*3"33D(E @G 5.*23"33DME @G 5.<3"33DAE @G ,.<,3"33

7=! TCM)RJ $ma pessoa tomou um empréstimo de@G 1,.333"33 a juros simples de 13H ao m#s. O

empréstimo deverá ser reembolsado por meio deduas parcelas i%uais: a primeira dois meses e ase%unda cinco meses depois de contratado o

empréstimo. O valor de cada parcela"considerandoKse o desconto racional" é i%ual a:D=E @G /.233"33D&E @G 13.333"33D(E @G 13.33"33

DME @G 11.333"33DAE @G 1.333"33

7>! ENAP $ma pessoa devia @G 11.333"33 doismeses atrás. (alcule o valor da dívida 'ojeconsiderando juros compostos a uma ta-a de 5Hao m#s" despreando os centavos.D=E @G 11.253"33D&E @G 11.2<1"33D(E @G 11.223"33DME @G 11.2/<"33

DAE @G 11./3"33

9@! 1ANEPAR Iuanto se deve aplicar 'oje" em reais") ta-a de H ao m#s no re%ime de juroscompostos para se ter @G 1.122"1+ da!ui a demeses Para efeito dos cálculos" usar 1"135como valor Dapro-imadoE de D1"3E,.D=E @G /.233"33D&E @G /./33"3D(E @G /./,3"33DME @G /.//3"33

DAE @G 13.333"33

97! *ACEN ;omar um empréstimo por dois meses"assinando uma promissLria com vencimento emdois meses e sendo feito o desconto da mesmapor um banco ) ta-a de desconto bancárioDdesconto simples por foraE de 13H ao m#s"e!uivale a pa%ar juros compostos de ta-abimestral de:D=E 3HD&E H

D(E ,HDME 2HDAE *3H

99! 1EFA2)AC ?arina fe um empréstimo a juroscompostos de 5H ao m#s e pa%ou sua dívida!uatro meses depois. 9abendo !ue ?arina pa%ou@G 1<3"33 de juros e !ue D1"35E5 \ 1"1<" a !uantia!ue ?arina tomou emprestada foi de:=E inferior a @G 2,3"33&E superior a @G 2,1"33 e inferior a @G /,3"33

(E superior a @G /,1"33 e inferior a @G 13,3"33ME superior a @G 13,1"33 e inferior a @G11,3"33AE superior a @G 11,3"33





OS: 0062/10/12-Gil

9! TRE)1C Para !ue se obten'a um rendimento de@G /5"3," ao final de seis meses" a uma ta-a de

juros compostos de *+H ao ano" capitaliadostrimestralmente" deveKse investir" 'oje" a !uantiade:

(onsidere: 2(1,09) 1,188100= .

D=E @G +33"33D&E @G ,33"33D(E @G </"1+DME @G 533"33DAE @G *33"33

9;! C/M $m capital aplicado a juros compostos" )ta-a nominal de *3H ao ano" com capitaliaçãotrimestral" durante dois anos e meio" ori%inando

um montante de @G 133.333"33. Iual o valor do

capital aplicado Mado:

10(1,075) 2,06103= .

D=E @G 5<.+<5"33D&E @G 52.13"33D(E @G 52.,1/"33DME @G <3.+2*"33DAE @G <+./*"33

9.! I11)1P $m banco fa empréstimos ) ta-a de

53H a.a." adotando a capitaliação semestral dos juros" com ta-as proporcionais. 8essascondições" por um empréstimo de @G 13.333"33"feito por dois anos" os juros a serem pa%oscorrespondem a:

D=E @G 13.1*2"33D&E @G 13.*+"33D(E @G 13.5*"33DME @G 13.+*2"33DAE @G 13.<*+"33

9-! AFC Am uma campan'a promocional" o &anco =anuncia uma ta-a de juros de +3H ao ano comcapitaliação semestral. O &anco &" por sua ve"anuncia uma ta-a de juros de *3H ao semestrecom capitaliação mensal. =ssim" os valores maisprL-imos das ta-as de juros efetivas anuais dos&ancos = e & são" respectivamente" i%uais a:

D=E +/H e +3HD&E +3H e +3HD(E +/H e </HDME +3H e +/HDAE 13H e +3H

9<! Eletro4r's $m certo tipo de aplicaçãofinanceira procura atrair investidores afirmandoconse%uir uma rentabilidade de 5H a.a."capitaliados mensalmente. 9e a projeção para ainflação acumulada nos prL-imos doe meses for

de 13H" a rentabilidade real do investimento seráde:

D=E 1"<HD&E 1*"1HD(E 15",HDME 1,"*HDAE 1+"5H

9=! Co#taor)RJ O valor de @G 33"33 ficouaplicado por um período de 1< meses e meio

!uando foi res%atado no valor de @G */"33.=pLs c'ecar a inflação acumulada neste períodopercebeuKse !ue o %an'o real foi de 53H.Portanto" a inflação acumulada neste período empercentual foi de:

D=E ,+HD&E ,HD(E 5+HDME 53HDAE *+H

9>! C/M = inflação acumulada no primeirosemestre de determinado ano foi de 3H. $mapessoa aplicou @G 1.333"33 no início desteperíodo e res%atou @G 12.333"33 no final. = ta-areal de retorno no período de aplicação foi de:

D=E ,HD&E <",HD(E *3HDME 5,H

DAE ,3H

@! INCA João fe uma compra de @G 1.333"33"sujeita a uma ta-a de juros de 13H ao m#s sobreo saldo devedor" com a se%uinte forma depa%amento: sinal de @G *33"33" @G 533"33 ao fimde um m#s e o restante um m#s depois. 8essecaso" a compra de João custará" no total" emreais:

D=E @G 1.3+3"33

D&E @G 1.133"33D(E @G 1.13<"33DME @G 1."33DAE @G 1.*3"33





OS: 0062/10/12-Gil

7! CEF $m empréstimo no valor de @G 13.333"33 écontratado na data de 'oje para ser pa%o atravésde dois pa%amentos. O primeiro pa%amento" novalor de @G ,.55,"33" vence de 'oje a um ano e ose%undo tem um vencimento de 'oje a um ano e

meio. (onsiderando a ta-a de juros nominal de3H ao ano" capitaliados semestralmente" ovalor do se%undo pa%amento será:

D=E @G <.13"23D&E @G <.23"33D(E @G <.*3",3DME @G 2.*+3"33DAE @G 2.213"33

9! Petro4r's 0nvestemKse" mensalmente" durante

5 meses" @G 133"33 em um fundo deinvestimentos !ue rende 1H ao m#s. Iual é omontante imediatamente apLs o 4ltimodepLsito

Mado: 24(1,01) 1,27= .

D=E @G .55"33D&E @G .+22"33D(E @G .<33"33DME @G .<1,"33DAE @G .<,"33

! Petro4r's $ma %eladeira custa" ) vista" @G.333"33 e pode" também" ser pa%a em 5prestações mensais i%uais" vencendo a primeiraum m#s apLs a compra. 9e os juros são de 1H aom#s" !ual é o valor da prestação Mado:

-24(1,01) 0,79= .

D=E @G /*"**D&E @G /,"5D(E @G 13*"**DME @G 13<"52DAE @G 111"**

;! Petro4r's $m indivíduo aplica mensalmente a!uantia de @G 133"33 em uma aplicação !ueoferece uma ta-a nominal de juros compostos de1H ao ano" com capitaliação mensal. 9upondo!ue esse indivíduo não faça nen'uma retiradadessa aplicação e utiliando a apro-imação

72

(1,01) 2=

é correto concluir !ue" a partir dadata do primeiro depLsito" o n4mero mínimo deanos necessários para !ue o montante

acumulado nessa aplicação seja de pelo menos@G *3.333"33 será i%ual a:

D=E 13D&E 1

D(E 1,DME 3DAE ,

.! CEF $ma pessoa está saldando uma dívida compa%amentos mensais" i%uais e consecutivos de @G53"33 cada. Ala dei-ou de pa%ar nas datasdevidas as prestações dos meses de março" abrile maio" pa%andoKas com juros compostos de *Hao m#s" junto com a prestação do m#s de jun'o.9e não 'ouve multas pelo atraso dos

pa%amentos" o valor total pa%o em jun'o foi" emreais:

D=E3

3

(1,03) 1250

(1,03)

−×

D&E3

3

(1,03) 18.000

(1, 03)

−×

D(E 48.000 (1,03)×

DME 38.000 (1,03) 1 × −

DAE 48.000 (1,03) 1 × −

-! CEF $ma má!uina" cujo preço ) vista é de @G2.333"33 foi vendida a prao com uma entrada de@G ./33"33 e o restante financiado em 13parcelas mensais" i%uais e consecutivas" aprimeira delas vencendo trinta dias apLs a datada entrada. 9e" no financiamento" a ta-a de juroscompostos usada foi de *H ao m#s" o valor decada prestação" em reais" era:

D=E11

11

(1,03)153

(1,03) 1×

−

D&E10

10

(1,03) 11.700

(1,03)

−×

D(E10

10

(1,03)153 1

(1,03) 1

× +

−

DME10

10

(1,03)153

(1,03) 1

×

−

DAE 105.100 (1,03) 1 × −




OS: 0062/10/12-Gil

<! *N* Am uma loja" um certo computador está avenda por 13 parcelas mensais de @G *33"33" sementrada" podendo também ser pa%o em ,parcelas bimestrais de @G +1,"33" sem entrada.Iual a ta-a de juros cobrada pela loja

D=E *H ao m#sD&E 5H ao m#sD(E ,H ao m#sDME +H ao m#sDAE <H ao m#s

=! *ANRI1UL $ma loja financia umeletrodoméstico" no valor ) vista de @G .53"33"em cinco prestações mensais i%uais" devendo aprimeira delas ser pa%a na entrada" a uma ta-a

de ,H ao m#s. O valor de cada prestação nacompra desse produto será de:

D=E @G 552"33D&E @G 5/"<5D(E @G ,1<"*2DME @G ,*<"+3DAE @G ,+3"33

>! 1EFA2)R1 $m aparel'o de televisão está sendovendido a @G //3"33. 0ndi!ue o valor da

prestação" sabendo !ue a loja financia a compraem doe prestações mensais sem entrada" ) ta-acomposta de ,H ao m#s" e !ue o primeiropa%amento ocorre /3 dias apLs a compra.

D=E @G 2",3D&E @G 2+"+*D(E @G 111"+<DME @G 11/"3DAE @G 1*"1

;@! FT)CE $ma compra no valor de @G ,33"33 deveser pa%a com uma entrada ) vista de 3H e osaldo devedor restante em cinco prestaçõesmensais i%uais" a uma ta-a de ,H ao m#s"vencendo a primeira prestação em *3 dias.Ambutida nesta primeira prestação mensal"e-iste uma amortiação do saldo devedor"

O e#u#8iao a seGuir re"ere)se Hs uas ?uestesseGui#tes!= fim de e-pandir os seus ne%Lcios" certa pessoaconse%ue um financiamento de @G *33.333"33" nasse%uintes condições:

•

;a-a de juros de 2H ao ano com pa%amentossemestrais

•

=mortiações pelo 9istema de =mortiações(onstantes D9=(E" com pa pa%amentos semestrais

• Prao de amortiação de * anos.

;7! I11)1P O valor da !uinta prestação deverá ser:D=E @G ,5.333"33 D&E @G ,,.333"33D(E @G ,+.333"33 DME @G ,<.333"33DAE @G ,2.333"33

;9! I11)1P 8essas condições" é correto afirmar !ueos juros a serem pa%os no terceiro pa%amentoimportam em:D=E @G 15.333"33 D&E @G 1.333"33D(E @G 13.333"33 DME @G 2.333"33DAE @G +.333"33

;! TRE)1P $m imLvel é ad!uirido por uma pessoa!ue assume o compromisso de pa%ar toda adívida em ,3 prestações mensais" vencendo aprimeira um m#s apLs a data da a!uisição. 9abeK

se !ue foi utiliado o 9istema de =mortiações(onstantes D9=(E ) ta-a de juros de H ao m#s e!ue o valor da vi%ésima prestação é @G *.,+5"33.O respectivo valor da dívida na data da a!uisiçãodo imLvel era i%ual a:D=E @G 13.333"33D&E @G 11,.333"33D(E @G 11.333"33DME @G 113.333"33DAE @G 13.333"33

GABARITO

7 9 ; . - < = > 7@

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77 79 7 7; 7. 7- 7< 7= 7> 9@

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matematica financeira

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