matematica financeira

Matemática FinanceiraCom Francisco Cavalcante e Afonso Tobias Módulo 1 - Conceitos Básicos

1.1 O Valor do Dinheiro no Tempo

A Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro no tempo. Mas o que é o "valor do dinheiro no tempo"? Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje "valem" mais que esses mesmos R$ 4.000,00 daqui a um ano, por exemplo. A princípio, isso nos parece muito simples, porém, poucas pessoas conseguem explicar porque isso ocorre. É aí que entram os juros. Os R$ 4.000,00, hoje, valem mais do que os R$ 4.000,00 daqui a um ano porque esse capital poderia ficar aplicado em um banco, por exemplo, e me render juros que seriam somados aos R$ 4.000,00, resultando numa quantia, obviamente, maior que esse capital. Por exemplo: suponha que um banco me pague R$ 400,00 de juros ao ano caso eu aplique esses R$ 4.000,00 hoje. Isso quer dizer que, daqui a um ano, quando esse capital for resgatado, o valor recebido será de R$ 4.400,00, e não somente os R$ 4.000,00 iniciais.

Isso mostra que receber os R$ 4.000,00 hoje seria equivalente a receber R$ 4.400,00 daqui a um ano, e não os mesmos R$ 4.000,00, já que esses, daqui a um ano, já terão perdido parte de seu valor. Os juros de R$ 400,00 referentes ao prazo de um ano funcionariam como uma recompensa por termos de esperar todo esse tempo para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje. É esse o valor do dinheiro no tempo. Os juros fazem com que uma determinada quantia, hoje, seja equivalente a outra no futuro. Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 4.000,00 hoje e R$ 4.400,00 daqui a um ano seriam equivalentes para juros de R$ 400,00. Um capital de R$ 4.000,00 só será equivalente a R$ 4.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser considerada igual a 0. A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que por sua vez está ligado à existência da taxa de juros.

1.2 – Principais Conceitos CAPITAL ou VALOR PRESENTE (VP)

Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma transação financeira, referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0). É, ainda, o valor a vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor "com desconto" dado como opção às compras a prazo. É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de investimento.

No EXCEL, é indicado pela sigla VP (Valor Presente).

Na HP 12C pela tecla PV (Present Value). JUROS (J)

Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros, ou por prazos concedidos. Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nas instituições financeiras. São considerados rendimento se você os recebe, e são considerados despesa se você os paga. TAXA DE JUROS (i)

Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem do capital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente). Veja:

Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicado durante um ano, a taxa de juros nada mais é do que:

Isso significa que esse banco está pagando uma taxa de juros de 10% ao ano.

Para tratar de taxa de juros, o EXCEL utiliza a terminologia “taxa”.

A HP 12C usa a tecla “i “ ( de “Interest” = juro).

PRAZO ou PERÍODOS (n)

As transações financeiras são feitas tendo-se como referência uma unidade de tempo (como um dia, um mês, um semestre e etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinado tempo.

O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada modalidade financeira. Pode ser unitário ou fracionário.

Por exemplo, uma aplicação em CDB de 33 dias. O prazo dessa aplicação é unitário se o banco utilizar uma taxa específica para 33 dias. Isso quer dizer que n=1 (1 período), pois 33 dias foi o período considerado para a taxa de juros como sendo uma unidade de tempo.

O banco pode, ainda, considerar para essa aplicação uma taxa que corresponda a um período de um ano, por exemplo.

Já nessa situação, o prazo da aplicação (n) será de 33/360, o que significa a proporção de tempo em relação a um ano, que foi considerado como unidade de tempo (tendo em vista que a taxa de juros é anual). Daí temos um período fracionário, pois n=33/360. Então, o prazo ou período considerado só pode ser definido se levarmos em consideração a taxa de juros, que pode ser definida para qualquer período.

R$ 400,00 = 0,1 ou 10%R$ 4.000,00

No caso de seqüência de capitais ou série de pagamentos, o “n” expressa o número de pagamentos ou recebimentos efetuados do começo ao fim da operação. Todos nós, obviamente, já nos deparamos com uma situação como, por exemplo, comprar um televisor em 5 prestações mensais. Essas 5 prestações representam o "n", ou seja, o número de pagamentos que serão efetuados durante toda a operação.

No EXCEL, o número de períodos é dado por “nper”

Na HP 12C é indicado pela tecla “n”.

MONTANTE ou VALOR FUTURO (VF)

Montante ou Valor Futuro (VF) é o valor obtido no final da transação, somando-se ao capital inicial os juros incorridos no período de aplicação.

No EXCEL é indicado como “VF”.

Na HP12C como “FV” (de “Future Value”).

1.3 – Fórmulas Básicas Serão dadas as três principais fórmulas: do Montante (M), dos Juros (J) e da Taxa de Juros (i). Com estas três fórmulas é possível resolver diversos problemas que pareciam complicados.

Montante

Juros

Taxa de Juros

Montante

Juros

Taxa de Juros

EXEMPLO:

Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12 % a.m. Acompanhe como é realizado o cálculo dos juros e do Montante ao final do primeiro mês.

Exemplo:

Suponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 25% a.a. Veja como é calculado, no Excel, o rendimento de juros e quanto seria resgatado em 1 ano.

A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 1.500,00 3 Taxa de Juros 25% 4 Juros R$ 375,00 J = C * i5 Valor Futuro (Montante) R$ 1.875,00 M = C + J

Agora vamos verificar como é realizado este cálculo na HP 12C.

Se você tem uma calculadora HP 12C, também pode utilizá-la para efetuar esse cálculo.

Valores de Tecla Saída

Entrada função1500 ENTER 1500 :: > Valor do Capital

25 % 375 :: > Usando a tecla indicada, a calculadora efetuará 25% dos + 1875 1.500 do Capital. Depois é só somar os dois valores para

encontrar o Montante

Exemplo:

Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a três meses terá que pagar uma dívida de R$ 3.123,00. Para honrar a sua dívida, alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que, no futuro, tenha o que precisa. A qual taxa de juros você precisaria aplicar esse capital? Nesse caso, você já tem os Valores Presente e Futuro, e precisa da taxa de juros que renderia os R$ 777,00 de juros para a formação do Montante de R$ 3.123,00 objetivado.

A B C1

Dados ValoresMemória de

Cálculo2 Valor Presente

(Capital) R$2.346,00 3 Valor Futuro R$3.123,00 4 Taxa de Juros 33,12% i = (M/C)-15 Juros R$777,00 J = C * i

Agora vamos ver como se faz este cálculo na HP 12C.

Na HP 12C você poderia fazer esse exercício usando a tecla de variação percentual.

Valores de Entrada Tecla função

Saída

2346 ENTER 2346 ::> Valor do Capital3123 % 33,12 ::> Depois é inserido o Valor Futuro,

acionada a função variação percentual e encontrada a taxa de juros.

1.4 - Diagrama de Fluxo de Caixa Mais um conceito fundamental da matemática financeira é o de fluxo de caixa. Ele é definido como o conjunto de entradas e saídas monetárias (pagamentos e recebimentos) referentes a uma transação financeira de uma empresa, projeto de investimento e etc.

Nesse contexto, o diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica desse indispensável instrumento de análise de rentabilidade, custos, viabilidade econômica e financeira de projetos de investimento. O diagrama torna mais fácil a visualização da movimentação monetária, facilitando o processo de análise.

O diagrama é universal e feito da seguinte forma:

Vale lembrar que:

As setas não são necessariamente proporcionais ao valor das entradas e saídas.

O fluxo de caixa é muito útil na análise de problemas com séries de capital.

Os intervalos de tempo entre os períodos são todos iguais.

Os valores serão colocados no início e final de cada período, dependendo da convenção

utilizada, mas nunca durante o período.

Exemplo:

Para exemplificar o conceito de fluxo de caixa, suponha a seguinte situação: Um investidor compra um título hoje por R$ 1.000,00. Esse título lhe dá o direito de receber, durante 5 anos, a quantia de 10 % a.a (ao ano) sobre o valor inicial pago (denominado valor nominal ou de face), mais o capital inicial de volta no final do quinto ano. O diagrama ficaria assim:

No EXCEL, observe a Memória de Cálculo do Valor Futuro.

A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 1,000,00 3 Taxa de Juros (ao período) 10% 4 Juros (ao período) R$ 100,00 J = C * i5 Valor Futuro (Montante) R$ 1.500,00 M = C + 5*J

Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma:

Valores de EntradaTecla

função Saída1000 ENTER 1000 ::> Insere capital

10 % 100 ::> Calcula juros sobre o capital5 X 500 ::> Multiplica juros por período + 1500 ::> Encontra o valor futuro

1.5 - Regimes de Capitalização

Capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial, resultando em um montante "capitalizado" (acrescido dos juros).

Quando um capital é aplicado à determinada taxa, o montante resultante dessa aplicação pode "crescer" de duas formas: pela capitalização simples ou pela capitalização composta.

Capitalização Simples

Em um regime de capitalização simples os juros são sempre iguais e incidem somente sobre o capital inicial durante todo o período. O montante, dessa forma, cresce de maneira linear. Nessa forma de capitalização, geralmente os juros são pagos no final da operação.

Exemplo:

Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., é fácil calcular o montante. Veja:

Você pode fazer o cálculo dos juros e montante usando o EXCEL. Verifique os passos abaixo:

A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 3 Taxa de Juros 17% 4 Juros (ao período) J = C * i5 Número de Períodos (n) 36 Valor Futuro (Montante) M = C + (J * n)

A C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 3 Taxa de Juros 17% 4 Juros (ao período) = B2 * B3 J = C * i5 Número de Períodos (n) 36 Valor Futuro (Montante) = B2 + (B4 * B5) M = C + (J * n)

Vejamos a planilha resolvida:

A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 3 Taxa de Juros 17% 4 Juros (ao período) R$ 340,00 J = C * i5 Número de Períodos (n) 36 Valor Futuro (Montante) R$ 3.020,00 M = C + (J * n)


Valores de Entrada Tecla função Saída2000 ENTER 1000 ::> Valor do capital

17 % 340 ::> Valor dos juros

3 X 1020::> Juros multiplicados pelo número de períodos

+ 3020 ::> Valor futuro

Capitalização Composta

Nesse regime de capitalização, o capital é remunerado a cada período, e os juros incidem sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até a referida data. Sendo assim, o montante, ao final da data 1(n = 1), por exemplo, é o capital inicial da data 2 (n = 2) e sobre ele incidirão juros novamente.

O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica, ou seja, crescimento exponencial. Exemplo:

Vejamos o mesmo caso do exemplo anterior, mas agora usando o regime de capitalização composta, à mesma taxa de 17%. Os cálculos no EXCEL seriam feitos da seguinte forma:

A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 3 Taxa de Juros ( i ) 17% 4 Juros 1 (J1) R$ 340,00 J1 = C x i5 Montante 1 (M1) R$ 2.340,00 M1 = C + J6 Juros 2 (J2) R$ 397,80 J2 = M1 x i7 Montante 2 (M2) R$ 2.737,80 M2 = M1+J28 Juros 3 (J3) R$ 465,43 J3 = M2 x i9 Montante 3 (M3) R$ 3.203,23 M3 = M2+J3

A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 3 Taxa de Juros ( i ) 17% 4 Juros 1 (J1) = B2 * B3 J1 = C x i5 Montante 1 (M1) = B2 + B4 M1 = C + J16 Juros 2 (J2) = B5 * B3 J2 = M1 x i7 Montante 2 (M2) = B5 + B6 M2 = M1+J28 Juros 3 (J3) = B7 * B3 J3 = M2 x i9 Montante 3 (M3) = B7+ B8 M3 = M2+J3

Representando essa aplicação no diagrama de fluxo de caixa, podemos ver mais facilmente.

.


Valores de Entrada

Tecla função Saída

2000 ENTER 2000 ::> Valor do capital17 % 340 ::> Valor dos juros + 2340 ::> Montante 1

17 % 397,8 ::> Juros 2 + 2737,8 ::> Montante 2

17 % 465,43 ::> Juros 3 + 3203,23 ::> Montante 3

Função VFPLANO

Existe, ainda, uma terceira forma de se resolver esse e outros problemas com capitalização composta. Trata-se da função VFPLANO oferecida pelo EXCEL, que ajuda a calcular o montante resultante de uma aplicação composta de taxas de juros sobre um determinado capital.

Para a função VFPLANO estar disponível no EXCEL, entre na Barra de Ferramentas, clique sobre o item Suplementos e habilite Ferramentas de Análise. Essas funções oferecidas pelo EXCEL geralmente estão agrupadas no Assistente de Função. Esse Assistente pode ser acionado pela Barra de Ferramentas, com um clique no ícone fx . Clicando aí, aparecerá uma caixa de diálogo do Assistente de Funções, onde deve ser selecionada a categoria "Financeira". Feito isso, escolhe-se a função "VFPLANO". Aparecerá outra caixa de diálogo, da função, onde deverão ser inseridas as referências das células indicadas, apenas clicando com o mouse e selecionando as células com os valores pedidos.

No espaço para o Capital: deve-se inserir a referência da célula que armazena o valor do capital da operação.

No espaço para o Plano: deve-se inserir o intervalo que contém os valores da taxa de juros a cada período. Nesse caso, serão inseridos os valores 17%, 17% e 17%, porque a taxa é igual para os três períodos.

A B1 Dados Valores2 Valor Presente (Capital) R$ 2.000,003 Taxa de Juros 1 17%4 Taxa de Juros 2 17% 5 Taxa de Juros 3 17% 6 Montante R$ 3.203,23

=VFPLANO(B2; B3:B5)

Módulo 2 - Juros Simples

2.1 Fórmulas: Montante, Juros e Taxas de Juros

Os juros simples têm seu fundamento no regime de capitalização simples, no qual o crescimento do capital se dá linearmente (por isso, o cálculo dos juros simples também é chamado de cálculo linear). Trata-se de juros simples toda transação em que os juros incidem sempre sobre o capital inicial e são, então, iguais em todos os períodos.

A fórmula dos juros simples é, intuitivamente:

Como já sabemos que:

M = C + J M = C + Cin Então:

Exemplo:

Veja como é fácil realizar operações de cálculos com juros simples. Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros simples, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano?

Para resolver, basta aplicar a fórmula apresentada acima. Veja:

Daí:

M= C + J M= 120.000 + 72.000 = 192.000

Ou então use a fórmula direta:

M = 120.000 (1+ 0,15 x 4) = 192,000

Ao invés de usar fórmulas e fazer os cálculos, você poderia efetuar todas as operações usando a planilha do Excel, o que facilita bastante os cálculos e permite que você insira problemas de juros simples no meio de tabelas demonstrativas, balanços e etc.

Além disso, o Excel calcula datas corridas, o que facilita bastante as operações envolvendo prazos não inteiros ou de difícil cálculo mental.

Veja:

A B C1


Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 120.000,00 3 Taxa de Juros 15% 4 Juros (trimestrais) R$ 18.000,00 J = C * i * n5 Períodos 4 n = 12/36 Valor Futuro

(Montante)R$

192.000,00 M = C*(1+ i * n)Repare que a fórmula inserida na célula do valor do montante nada mais é do que a cópia da fórmula apresentada anteriormente, na qual: B2 = capital B3 = taxa de juros B5 = n.º de períodosSe a sua fórmula estiver certa, apresentará o seguinte conteúdo editado =B2*(1+B3*B5)

Na HP 12C, o cálculo poderia ser executado da seguinte forma:

Valores de Entrada Tecla função Saída 120000 ENTER 120000 ::> Valor presente

15 % 18000 ::> Juros para 1 trimestre4 X 72000 ::> Juros para 4 trimestres (1 ano) + 192000 ::> Montante final (C + 4J)

Exemplo:

Uma outra aplicação muito útil sobre juros simples usando o Excel é o cálculo dos juros a pagar se um título é pago em atraso. Por exemplo, vamos imaginar que você tem dois boletos bancários vencidos e não pagos. O primeiro é para pagamento de um fornecedor seu, que venceu dia 7 de abril e cobra 3% a.m. em caso de atraso. O segundo é a fatura do cartão de crédito, que venceu dia 5 de abril, e cobra 10% a.m. por atraso no pagamento. Quais seriam os juros incorridos se você só pudesse pagá-los no dia 25 do mesmo mês? Os valores estão abaixo;

A B C D E F G1

Títulos Valor Vencimento PGTOTaxa de

Juros Juros Valor Pago2

Boleto R$ 2.650,00 07/Abr 25/Abr 3%

R$ 47,7

0 R$ 2.697,703

Fatura R$ 1.478,00 05/Abr 25/Abr 10%

R$ 98,5

3 R$ 1.576,53

É importante ressaltar que o cálculo efetuado foi feito em cima do total de dias corridos entre uma data e outra, para uma simplificação dos cálculos a serem executados. Em uma operação real, no mercado, teriam que ser descontados os sábados, domingos e feriados, deixando somente os dias úteis nos cálculos.

A calculadora HP12C também permite o cálculo de dias entre duas datas, função que pode ser usada para esse tipo de problema apresentado. Veja quais são os passos a seguir.

O cálculo dos juros incorridos é baseado no cálculo do período incorrido. Nesse caso, a taxa é mensal e o período é contado em dias. Para fazer esse cálculo, divide-se a taxa mensal por 30 e multiplica-se pelo total de dias da transação.

Veja que o EXCEL calcula o número de dias corridos simplesmente diminuindo-se uma célula da outra. A formula editada na célula é:=Valor*((Tx. Juros/30)*(pgto - venc.))

Se a sua fórmula estiver correta, a célula do seu resultado F3 deverá apresentar o seguinte conteúdo: =B3*((E3/30)*(D3-C3))

O montante final é nada mais que o valor inicial do título mais os juros pelo atraso no pagamento.

Calculando os juros de atraso no caso da fatura do cartão:

Valores Entrada

Tecla função

Saída

1478 ENTER 147810 % 147,8 ::> Juros por 1 mês de atraso30 (divisão) 4,92 ::> Juros por dia de atraso

(g) D.MY 4,92 ::> Transformando para o formato D.MY5,042002 ENTER 5,042002 ::> Data inicial (formato: D.MY)

25,042002 (g) DYS 20 ::> Cálculo do n.º de dias entre datas X Y R 20 ::> Elimina o n.º de dias na base 360 diasMultiplica 98,53 ::> Juros por 20 dias de atraso

+ 1576,53 ::> Total a ser pago no 25/04/2002

2.2 Taxas Equivalentes

Vimos no exemplo anterior que tivemos que transformar a taxa de juros ao mês para uma taxa de juros diária. Esse cálculo é muito usado em transações financeiras em geral e as taxas que procuramos são denominadas taxas equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante se aplicadas sobre um mesmo capital em um mesmo intervalo de tempo.

No caso dos juros simples, o cálculo é muito fácil e simplificado pelo caráter linear desse tipo de capitalização. Pode sempre ser feito por meio da proporcionalidade (usando regra de três simples, por exemplo).

Para efeito demonstrativo, vamos colocar a fórmula que pode ser usada para o cálculo dessas taxas.

Sabendo que ocorrem taxas equivalentes quando:

C . i1 . n1 = C . i2 . n2 i1 . n1 . = i2 . n2

Se, particularmente, n1 = 1, então:

i1 = i2 . n2 ou

Se quisermos calcular, por exemplo, a taxa anual em juros simples, equivalente à taxa mensal de 2,5 % a.m., teremos:

Note que esse é um dos poucos casos nos quais não existe a necessidade de se transformar as porcentagens em número decimal,uma vez que tratamos com porcentagens dos dois lados da equação.

i2 = i 1 n2

Daí tiramos que a taxa equivalente é de 30% ao ano. Veja que isso é exatamente o que fizemos no exemplo dado para transformar a taxa mensal de juros do cartão de crédito, de 10 % a.m., em uma taxa diária de juros de 0,33 % a.d. (10/30).

2.3 Juros Exatos e Juros Comerciais

O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia, como visto anteriormente. Porém, o cálculo das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos da operação. Essa conta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis de acordo com a operação.

Quando usamos como base o ano civil, com 365 dias (ou 366) e meses com números variáveis de dias, os juros calculados são os juros exatos.

Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros obtidos são os juros comerciais.

Exemplo:

Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa de 20% a.a. pelo prazo de 53 dias. Verifique os juros comerciais e os juros exatos dessa aplicação.

A B1 Dados Valores2

Valor presente (Capital)R$

5.000,003 Período 534 Taxa de juros 20%5 Taxa de juros exatos ao dia 0,05479%6 Taxa de juros comerciais ao

dia 0,05556%7 Juros exatos R$ 145,218 Juros comerciais R$ 147,22

A taxa de juros exatos por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual dada por 365.

A taxa de juros comerciais por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual por 360.

Para o cálculo de ambos os juros, simplesmente multiplique cada uma das taxas diárias equivalentes pelo período de aplicação.

A calculadora HP 12C também permite estes cálculos. Acompanhe.Valores de Entrada Tecla função Saída

FX Y CLX 0 ::> Limpa toda a memória financeira da

calculadoraf

9 0,000000000 ::> Estipula nove casas decimais

20 ENTER 20,000000000 ::> Taxa de juros

365 0,054794521 ::> Taxa de juros exatos/dia

100 0,000547945 5000 X 2,739726027 ::> Valor de juros

exatos/dia53 X 145,205479452 ::> Valor dos juros exatos no

período (53 dias)20 ENTER 20,000000000 360 0,055555556 ::> Taxa de juros

comerciais/dia100 0,000555556 5000 X 2,777777778 ::> Valor de juros

comerciais/dia53 X 147,222222222 ::> Valor dos juros comerciais no período

(53 dias)

As aplicações para cada um dos casos dependem dos parâmetros adotados no mercado para cada caso. Um exemplo típico de aplicações de curtíssimo prazo, onde as taxas equivalentes diárias precisam ser calculadas, são as operações com HOT MONEY (empréstimos de curtíssimo prazo das instituições financeiras para empresas).

Nesse tipo de operação, as taxas dadas são mensais, os juros são contabilizados no padrão comercial e o critério utilizado é o de juros simples. Normalmente os empréstimos são tomados por um dia e renovados a cada dia, se necessário.

Veja, simplificadamente, como funciona:

A B1 Dados Valores 2 Capital Emprestado R$ 25.000,00 3 Período (dias) 2 4 Tx. Juros 1º dia

(mês) 31 %::> Taxa disponível no mercado para empréstimos de Hot

Money - 1º dia5

Tx. Diária 1º dia 1,03 %::> Taxa equivalente diária da taxa mensal do Hot Money - 1º

dia6 Juros 1º dia R$ 258,33 7 Montante 1º dia R$ 25.258,33 8 Tx. Juros 2º dia

(mês) 33 %::> Taxa disponível no mercado para empréstimos de Hot

Money - 2º dia9

Tx. Diária 2º dia 1,10 %::> Taxa equivalente diária da taxa mensal do Hot Money - 2º

dia

10 Juros 2º dia R$ 277,84 ::> Note que os juros incidem sobre o montante resultante do 1º dia, quando da renovação do empréstimo por mais um dia (total = 2)

11Montante 2º dia R$ 25.536,18

Visualize as fórmulas.

A B1 Dados Valores2 Capital emprestado R$ 25.000,003 Período (dias) 24 Tx. juros 1º dia

(mês) 31 %5 Tx. diária 1º dia =B4/306 Juros 1º dia =B2*1*B57 Montante 1º dia R$ 25.258,338 Tx. juros 2º dia

(mês) 33 %9 Tx. diária 2º dia =B8/30

10 Juros 2º dia =B7*1*B911 Montante 2º dia R$ 25.536,18

A calculadora HP 12C também permite este cálculo. Para demonstrar observe o cálculo do montante acumulado (juros 1º e 2ª dia + capital).

Valores de Entrada

Tecla função

Saída

fX Y CLX 0,000000000 ::> Limpa toda a memória financeira

da calculadora31 ENTER 31,000000000 ::> Taxa de juros30 1,033333333 ::> Taxa de juros comerciais/dia

100 0,010333333 25000 X 258,33333333

3 ::> Valor de juros comerciais - 1º dia

25000 + 25.258,333333333

::> Valor do montante no 1º dia (juros + capital)

33 ENTER 33,000000000 30 1,100000000

100 0,011000000 ::> Valor de juros comerciais - 2º dia25.258 X 277,84166666

7 ::> Valor do montante no 2º dia (juros

+ capital) 25.000 ENTER 25.000,0000

00000 ::> Capital inicial

258 + 25.258,33333 ::> Valor do montante no 1º dia (juros

3333 + capital) 278 + 25.536,1750

00000 ::> Valor do montante acumulado

(juros 1º e 2º dia + capital)

2.4 Valor Atual e Valor Nominal

Na matemática financeira, denomina-se valor atual o valor presente de uma operação, um título, uma transação financeira, uma dívida, ou ainda o preço à vista de certo produto.

Na outra ponta de todos esses casos está o valor nominal, que geralmente é empregado para valores de títulos na data de seu vencimento, mas também pode ser estendido para todos esses outros casos citados. O valor nominal é o valor final da operação, que, se tirados os juros incorridos ou embutidos, torna-se igual ao valor presente.

Veja nesse exemplo.

Neste caso, temos:

V + V . i . n = N V = N 1 + i . n

Exemplo:

Suponhamos que você tenha que pagar R$ 4.000,00 a um fornecedor em 120 dias. Como você tem um pouco de dinheiro em caixa, que ficaria parado, você vai até o banco e procura saber com o gerente quanto precisaria aplicar hoje para ter os R$ 4.000,00 em 120 dias, já que o banco dispõe de uma aplicação que paga 10% a.m. de juros.

No EXCEL, a solução seria a seguinte:

A B1 Dados Valores 2

Valor nominal R$

4.000,00 3 Taxa de juros 10% 4 Período 4 ::> Taxa em meses, período em meses.5

Valor presenteR$

2.857,14::> Esse é o valor que tem que ser

aplicado

na data 0, para que no final dos 120 dias

se tenha os R$ 4.000,00

Na HP 12C a solução também é simples. Veja:

Valores Entrada Tecla função Saída4000 ENTER 4000 ::> Valor nominal0,1 ENTER 0,1 ::> Taxa de juros4 X 0,4 ::> Período1 + 1,4 (divide) 2857,14 ::> Valor presente

2.5 Método Hamburguês

Esse nome pode nos parecer estranho, a princípio. Entretanto, ele está diretamente ligado a nosso dia-a-dia. É o método utilizado na cobrança dos juros de cheques especiais. Tal cálculo, por muitas vezes, causa certa insegurança aos usuários desse tipo de cheque. Veremos, então, como ele procede.

Os juros são calculados sobre os saldos devedores. Supondo, por exemplo, que o Sr. Alberto apresente um saldo devedor de R$ 400,00 do dia 02/07/00 ao dia 10/07/00. Os juros são calculados sobre esse saldo devedor, levando-se em consideração o número de dias nos quais ele permaneceu nessa situação (no caso, 8 dias). Como estamos tratando de dias, a taxa de juros utilizada deve ser a taxa diária.

Então, se a taxa de juros mensal for de 12 % a.m., a taxa diária será de:

Essa taxa diária deve, então, incidir sobre o saldo devedor pelo número de dias que ele permaneceu nessa situação.

Teremos então:

O método em questão permite o cálculo dos juros incorridos em diferentes aplicações. Essas aplicações podem estar em períodos diversos, porém com a mesma taxa incidente. É um método simplificado que facilita a contabilização de aplicações de investidores que movimentam bastante seus investimentos.

A fórmula do cálculo dos juros vem da somatória de cada capital, multiplicado pelo período no qual os juros incidiram sobre ele, tudo multiplicado pela taxa comum.

Veja abaixo:

Como os capitais são todos empregados a juros simples, temos que;

i = 0,12 = 0,004 ou 0,4% 30

Juros = 400,00 X 0,004 X 8 = R$12,80

J = J1 + J2 + J3 +........+Jp

Ck . nk

J = i [C1n1 + C2n2 + C3n3 +.....+Cpnp]

A aplicação mais prática e clara para esse método é a possibilidade de cálculo dos juros sobre os saldos devedores de cheques especiais. Veja que, nesse caso, os juros incorrem sobre os saldos devedores na conta corrente, que podem variar muito durante o mês.

Assim, o saldo devedor é agora nosso capital e é sobre ele que irão incidir os juros em determinado período. Se somarmos cada saldo devedor multiplicado pelo período que o saldo permaneceu em conta e multiplicarmos tudo isso pela taxa mensal, saberemos de quanto foi a despesa com juros.

O período de permanência de cada saldo em conta pode ser obtido no Excel subtraindo-se uma data de início de um novo saldo (o próximo) menos a data de início do saldo do qual se deseja calcular o prazo de permanência

Exemplo:

Veja como no Excel tudo fica mais fácil:

A B C D1

Data Saldo C/CDias-

devedorn.º dias X saldo

dev2 01/Dez R$ 800,00 R$0,003 05/Dez (R$ 50,00) 9 (R$ 450,00)4

14/Dez(R$

250,00) 5 (R$ 1.250,00)5 19/Dez R$ 80,00 R$ 0,006

23/Dez(R$

120,00) 5 (R$ 600,00)7 28/Dez R$ 200,00 R$ 0,008 31/Dez R$ 160,00 R$ 0,009 Total (dias x saldo) (R$ 2.300,00)10 Taxa de juros (a.m.) 9,8% 11 Total de juros a pagar no

mês (R$ 225,40)Os valores em vermelho, entre parênteses, são valores negativos, por convenção

Essa é a soma de todos os produtos dos saldos devedores durante o mês vezes os seus dias de ocorrência (Cknk).A somatória é feita com uma simples função soma do Excel (apenas clique no botão com o símbolo de somatória na barra de ferramentas e depois selecione o intervalo que se deseja somar) ou inserindo uma fórmula de soma, manualmente.

Total de despesas com juros pelo uso de saldo devedor (cheque especial). Repare que a fórmula inserida é exatamente igual à demonstrada anteriormente. Para estar certa, a célula do aluno tem que conter = B10*D9

J = i .p

k = 1

Na HP 12C a solução também é simples. Veja

Valores de Entrada

Tecla função

Saída

FX Y

CLX 0,00::> Limpa toda a memória

financeira da calculadora

F2 0,00 ::> Estipula duas casas

decimais50 ENTER 50,00

9 X 450,00::> Cálculo do primeiro período

de saldo devedor250 ENTER 250,00

5 x 1.250,00

::> Cálculo do segundo período de saldo devedor

+ 1.700,00 ::> Acumulado de saldo devedores anteriores

120 ENTER 120,00

5 x 600,00::> Cálculo do terceiro período

de saldo devedor+ 2.300,00 ::> Acumulado de saldos

devedores

9.8 % 225,40::> Total de juros a pagar

no mês

2.6 Saldo Médio

Já que estamos vendo como calcular os juros do cheque especial cobrados pelos bancos, veremos agora mais um conceito amplamente utilizado por eles. O método do saldo médio é geralmente usado como um dos critérios para conceder renovação do cheque especial, novos empréstimos e vantagens preferenciais a clientes.

Além de outras utilidades nas quais o cálculo do saldo médio é necessário, saber como se faz o cálculo é interessante porque permite uma melhor administração de suas contas para conseguir, em seu banco, vantagens, empréstimos e a própria renovação do cheque especial.A fórmula do saldo médio é a seguinte:

SM = C 1 . n 1 + C 2 . n 2 + ...... + C p . n p n1 + n2 + ...... + np

Veja como a fórmula anterior pode ser aplicada no Excel.

Exemplo:

Tomemos como exemplo o caso anterior. Qual é o saldo médio de uma conta que apresenta tal movimentação?

A B C D1

Data Saldo C/CDias/

ocorrênciaSaldo x dias ocorrência

201/Dez

R$ 800,00 4 R$ 3200,00

305/Dez

(R$ 50,00) 9 (R$ 450,00)

414/Dez

(R$ 250,00) 5 (R$ 1250,00)

5 19/Dez R$ 80,00 4 R$ 320,00 6

23/Dez(R$

120,00) 5 (R$ 600,00)7

28/DezR$

200,00 3 R$ 600,00 8

31/DezR$

160,00 0 R$ 0,00 9 Total 30 R$ 1820,00

10 Saldo médio do mês R$ 60,67

Essa é a soma dos produtos dos saldos vezes seus dias de ocorrência corridos (C1n1 + C2n2 +...+Cpnp). A somatória é feita pela meio da função soma do Excel (apenas clique no botão com o símbolo de somatória na barra de ferramentas e depois selecione o intervalo que deseja somar) ou inserindo uma fórmula de soma, manualmente

.Se o seu cálculo estiver certo, a célula E9 tem que conter a seguinte fórmula "=SOMA(E2:E8)".

Esse é o saldo médio dessa conta nesse mês. Repare que a fórmula inserida na célula é apenas uma cópia da fórmula apresentada acima da tabela, adaptada para o Excel (com referências no lugar dos números).Se você inserir a fórmula certa, a célula D10 deve apresentar a seguinte fórmula = D9/C9

Soma dos dias de ocorrência de todos os saldos (n1 + n2 +...+ np)

Na HP 12C o cálculo pode ser feito da seguinte maneira:

Valores de Entrada

Tecla função Saída

fX Y CLX 0,00 ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora

f2 0,00 ::> Estipula duas casas decimais

800 ENTER 800,004 x 3.200,00 ::> Cálculo do primeiro período de saldo devedor50 CHS ENTER -50,009 x -450,00 ::> Cálculo do segundo período de saldo devedor

+ 2.750,00 ::> Acumulado de saldos devedores anteriores

250 CHS ENTER -250,005 x -1.250,00 ::> Cálculo do terceiro período de saldo

devedor+ 1.500,00 ::> Acumulado do valor de saldos

devedores80 ENTER 80,004 x 320,00 ::> Cálculo do quarto período de saldo


devedores120 CHS ENTER -120,00

5 x -600,00 ::> Cálculo do quinto período de saldo devedor

+ 1.220,00 ::> Acumulado do valor de saldos devedores

200 ENTER 200,003 x 600,00 ::> Cálculo do sexto período de saldo


devedores160 ENTER 160,00

0 x 0,00 ::> Cálculo do sétimo período de saldo devedor

+ 1.820,00 ::> Acumulado do valor de saldos devedores

30 60,67 ::> Saldo médio do mês

Módulo 3 - Desconto simples

3.1 Conceito

A didática do desconto pode ser facilmente entendida como sendo o inverso dos juros. Isso porque, se os juros incidem sobre o Valor Presente de um capital, o desconto incide sobre o Valor Nominal desse capital. Enquanto os juros somam ao Valor Presente um valor porcentual

(denominado taxa de juros) transformando-o em um Valor Nominal (futuro) no final da operação, o desconto faz o caminho inverso. Ele incide sobre o Valor Nominal, decrescendo deste um valor porcentual (denominado taxa de desconto), transformando-o em um Valor Presente na data da operação.

Na prática, o desconto pode ser usado para o cálculo do Valor "Descontado" (e daí o nome) de um título que precisa ser resgatado antes do vencimento. O desconto, nesse caso, seria simplesmente a diferença entre o Valor Nominal que seria resgatado no vencimento e o Valor Presente conseguido pelo título liquidado antecipadamente.

Se quisermos calcular o Valor de Venda de um título hoje (isto é, seu Valor Presente), devemos subtrair do Valor de resgate desse título (que é seu Valor Nominal) o valor referente ao desconto.

Existem duas metodologias para o cálculo dos descontos: o Desconto Racional Simples ou "Por Dentro" e o Desconto Comercial Simples ou "Por Fora".

3.2 Desconto racional ou por dentro

O desconto racional pode ser entendido como a diferença entre o Valor Nominal (N) de um título ou transação e o seu Valor Presente, atual ou inicial.

A taxa utilizada não é uma taxa de desconto e sim a própria taxa de juros. Esse tipo de desconto raramente tem sido utilizado pelo mercado brasileiro.

Entretanto, ele consiste numa importante fonte de comparação com o Desconto Comercial. Dito isso, temos o desconto racional como:

Logo, podemos calcular o desconto racional simplesmente subtraindo do Valor Nominal o Valor presente (que será calculado como já havíamos visto anteriormente). Nos exemplos seguintes você verá como fazer.

Um título, com Valor Nominal de R$ 7.000,00, foi descontado três meses antes do seu vencimento. Se a taxa de juros do mercado é de 7 % a.m., qual o valor do desconto e o valor recebido antecipadamente por tal título?

Veja que simplesmente aplicando as fórmulas é possível resolver esse exercício.

DescontoValor nominal

Valor descontado

Forma decimal para taxa de juros ( 7/100)

V = 1 + in

N .

No EXCEL, os cálculos podem ser feitos, simplificadamente, da seguinte forma:

A B C1


Cálculo2 Valor nominal R$ 7.000,00 3 Taxa de juros 7 % 4 Período

antecipado 3 5 Valor atual R$ 5.785,12 V = N / 1 + i*n6 Desconto R$ 1.214,88 DR = N - V

Verifique as fórmulas:

B5 =B2/(1+(B3*B4))

B6 =B2-B5

Repare que, no desconto racional, o desconto em si é calculado pela incidência da taxa sobre o Valor Atual ou Presente de um capital, até a data de antecipação do título ou transação, e o desconto é obtido pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual "ajustado" encontrado.

Para uma melhor visualização desse argumento lembre que a fórmula usada para o cálculo do Valor Atual veio de:

Na HP 12C, esse exercício pode ser resolvido da seguinte forma:

Entrada Tecla

função Saída7000 ENTER 70000,07 ENTER 0,07

3 (multiplica) 0,211 + 1,21 (divide) 5785,12

3.3 Desconto comercial ou por fora

Desconto Comercial ou por Fora é a modalidade de desconto freqüentemente usada no mercado. No Desconto Comercial há uma taxa antecipada, denominada taxa de desconto, que incide sobre o Valor Nominal de um título ou transação trazendo-o ao Valor Presente na data antecipada. Esse método difere-se do Desconto Racional pois, nesse último, utilizávamos a própria taxa de juros para calcular o Valor Presente.

Nesse caso, o Valor Presente é o "montante" procurado, pela incidência de uma taxa de desconto, por tantos períodos quanto forem especificados, sobre um Valor Base, nesse caso, o Valor Nominal. Trata-se, literalmente, da operação inversa à da capitalização do Capital Inicial. Essa é uma operação de descapitalização.

Veja, analogicamente, a fórmula do desconto comercial:

J = C . i . n Dc = N . d . n

Período de Antecipação ao Vencimento

Taxa de Desconto Comercial

Valor Nominal sobre o qual incide a taxa

niCJ .

n = número de períodos da transação

i = taxa de juros no período (constante)

Da fórmula anterior, tem-se que o Valor Atual Comercial é:

Para entendermos melhor o cálculo do Desconto Comercial, vamos fazer o mesmo exercício do exemplo anterior.

Dessa vez, porém, a taxa de desconto é que será igual a 7% a.m.

Substituindo nas fórmulas, temos que:

N = R$ 7.000,00 ::> DC = R$ 1.470,00 d = 7 % a.m. DC = 7000 * 0,07 * 3

n = 3 meses ::> VC = 7000 – 1470 VC = R$ 5.530,00

A diferença dos dois métodos é clara agora.

No primeiro exemplo, o que incidiu sobre o Valor Nominal foi a taxa de juros. Já no segundo caso, foi a taxa de desconto. Note que essas taxas incidem de maneiras diferentes.

Por isso que a taxa de juros e a taxa de desconto, apesar de iguais em valor no exemplo acima, não são equivalentes.

Verifique no EXCEL como isso fica ainda mais claro e fácil de resolver:

A B C1 Dados Valores Memória2 Valor nominal R$ 7.000,00 3 Taxa de desconto 7 % 4 Período

antecipado 3 5 Desconto

comercial R$ 1.470,00 DC = N * d * n6 Valor atual R$ 5.530,00 VC = N - DC

Visualize as fórmulas. B5 =B2*B3*B4

B6 =B2-B5

Repare que o Desconto Comercial é maior que o Desconto Racional.

Isso também acontece em virtude da diferença de base de incidência de cada uma das taxas.

CC DNV

Os cálculos de Descontos Comerciais também podem ser realizados na HP 12C. Veja como fazê-los:

Entrada Tecla

função Saída7000 ENTER 70000,07 (multiplica) 490

3 (multiplica) 14707000 (subtrai) -5530

CHS 5530

Neste exemplo testamos a equivalência das duas taxas utilizadas em cada um dos métodos.

Se, por exemplo, pegássemos o Valor Recebido pela antecipação do exercício anterior. Será que, se reinvestíssemos esse dinheiro a uma taxa de juros de 7 % a.m., conseguiríamos de novo os R$ 7.000,00 que iríamos receber?

Isso é muito fácil de verificar com a ajuda do EXCEL. Vamos verificar essa aplicação dos R$ 5.530,00 por três meses e ver o resultado.

A B C1


Cálculo2 Valor presente R$ 5.530,00 3 Taxa de juros 7 % 4 Período de

aplicação 3 5 Juros R$ 1.161,30 J = C * i * n6 Valor final R$ 6.691,30 M = C + J


B5 =B2*B3*B4 B6 =B2+B5

Veja que mesmo reaplicando a uma taxa de juros igual à de desconto, sob a qual o Valor Nominal foi descontado, não conseguimos reaver os R$ 7.000,00.Isso reitera ainda mais a posição da não - equivalência das taxas.

Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo.

Entrada Tecla função Saída5530 ENTER 5530,00

7 % 387,103 x 1161,30

+ 6691,30

E como faríamos se quiséssemos reaplicar o dinheiro recebido na antecipação e resgatar R$ 7.000,00 daqui a três meses? Esse procedimento, de achar taxas equivalentes, pode ser feito de 2 formas:

A primeira delas é pela aplicação das fórmulas de equivalência entre a taxa de juros e a taxa de desconto. Calculando manualmente, ou inserindo as fórmulas no EXCEL, você acha taxas equivalentes.

As fórmulas são as seguintes:

Desta forma, sabendo que foi usada uma taxa de desconto de 7 % para o desconto do título, e que o Valor recebido pela liquidação foi de R$ 5.530,00, podemos facilmente agora achar a taxa correspondente e verificar a eficácia do método.

Vamos utilizar a planilha do EXCEL para facilitar as contas.

A B C1


Cálculo2 Valor presente R$ 5.530,00 3 Taxa de desconto comercial 7,00 % 4 Taxa de juros

equivalentes 8,86 % i = d / 1-d*n5 Período de aplicação. 3 6 Juros R$ 1.470,00 J = C * i * n7 Valor final R$ 7.000,00 M = C + J

Visualize as fórmulas corretas.

B4 =B3/(1-B3*B5)

=B2*B4*B5

nd

di

1 ni

id

1e

B6

B7 =B2+B6

Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo.

Entrada Tecla função

Saída

0,07 ENTER 0,073 X 0,21

CHS -0,211 + 0,79

0,07 X Y 0,08863 X 0,27

5530 X 1470,005530 + 7000,00

A segunda forma, mais fácil e rápida, é utilizar a função Atingir Meta. Com essa função pode-se estimar o valor de uma variável fixando o valor de outra variável como objetivo. Nesse caso, você procura uma taxa de juros que retornaria os R$ 7.000,00 em três meses, aplicando o Capital que recebeu como pagamento pelo desconto do título.

Esse recurso, o Atingir Meta, é muito útil na resolução de problemas mais complexos de matemática financeira, e permite que você veja instantaneamente qual o impacto de uma mudança na célula variável, neste caso, a taxa de juros.

Isso pode ser muito útil na resolução de problemas de matemática financeira mais complexos.

Agora você verá como é fácil usá-lo.

Veja o exercício abaixo que utiliza a função Atingir Meta, como indicado na caixa abaixo da tabela.

Confira no EXCEL como foi realizado o cálculo com uma taxa de 8,86 % a.m. que você necessitaria para atingir o seu objetivo de R$ 7.000,00.

A B C1


Cálculo2 Valor presente 3 Taxa de juros 4 Período de aplicação 5 Juros J = C * i * n6 Valor final R$ 7.000,00 M = C + J

Exemplo resolvido:

A B C1


Cálculo2 Valor presente R$ 5.530,00 3 Taxa de juros 8,86 % 4 Período de aplicação 3 5 Juros R$ 1.470,00 J = C * i * n6 Valor final R$ 7.000,00 M = C + J

Valor Fixado como Meta a ser alcançada, já que já era sabido que você precisaria de uma taxa de juros que rendesse os juros necessários para atingir os R$ 7.000,00 desejados.

Valor estabelecido com parâmetro a variar, já que este era o valor procurado para que se pudesse atingir o valor de R$ 7.000,00 de Valor Final.

Desta forma, qualquer que fosse o método utilizado para o cálculo da taxa de juros simples da operação, sua visualização seria a seguinte:

As operações de desconto de um conjunto de títulos são idênticas às operações de desconto de um título só. No caso de um conjunto de duplicatas (chamado borderô) a serem descontadas, o seu valor líquido recebido pela antecipação do resgate é simplesmente a soma dos valores líquidos de todas as duplicatas que compõe o borderô.

Vejamos como é simples.

3.4 Operações com conjuntos de títulos

Suponhamos o seguinte borderô ilustrativo de uma empresa, a ser descontado nas datas indicadas. O seu valor líquido será:

Dica : Como estamos tratando de prazos em dias, a fórmula utilizada deve ser a diária!!!

A B C D E1 Dados Taxa2 Taxa desconto

mensal 8 %3 Taxa desconto

diária 0,27 %4

Duplicata VencimentoValor

nominalDescont

o Valor líquido5 X 30 R$ 15.000,00 R$ 1.200 R$ 13.800,006 Y 60 R$ 22.000,00 R$ 3.520 R$ 18.480,007 Z 90 R$ 35.000,00 R$ 8.400 R$ 26.600,008 Valor líquido

total R$ 58.880,00


D5 =C5*B3*B5 E5 =C5-D5 D6 =C6*B3*B6 E6 =C6-D6

D7 = C7*B3*B7 E7 =C7-D7

E8 =SOMA(E5:E7)

Não se esqueça que:

D = N * d * n

Na HP 12C o cálculo seria desta forma:

Entrada Tecla função Saídaf

X Y ::> Limpa toda a memória financeira da calculadoraf

CLX 0 ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora8 ENTER 8,00 ::> Input da taxa mensal de desconto de 8%

30 0,266667 ::> Transforma a taxa mensal em taxa diáriaSTO 0 (zero) 0,266667 ::> Armazena a taxa diária na memória 0 (zero)

15000 ENTER 15.000,00 ::> Inicia o cálculo do desconto de um dia da Duplicata "X"RCL 0 (zero) 0,266667 ::> Chama da memória 0 (zero) a taxa do desconto diária

% 40,00 ::> Calcula o valor do desconto de um dia da Duplicata "X"30 X 1.200,00 ::> Calcula o valor do desconto para 30 dias

- 13.800,00 ::> Calcula o valor líquido da Duplicata "X"22000 ENTER 22.000,00 ::> Inicia o cálculo do desconto de um dia da Duplicata "Y"

RCL 0 (zero) 0,266667 ::> Chama da memória 0 (zero) a taxa do desconto diária% 58,67 ::> Calcula o valor do desconto de um dia da Duplicata "Y"

60 x 3.520,00 ::> Calcula o valor do desconto para 60 dias- 18.480,00 ::> Calcula o valor líquido da Duplicata "Y"

35000 ENTER 35.000,00 ::> Inicia o cálculo do desconto de um dia da Duplicata "Z"RCL 0 (zero) 0,266667 ::> Chama da memória 0 (zero) a taxa do desconto diária

% 93,33 ::> Calcula o valor do desconto de um dia da Duplicata "Z"90 x 8.400,00 ::> Calcula o valor do desconto para 90 dias

- 26.600,00 ::> Calcula o valor líquido da Duplicata "Z"

18480 + 45.080,00 ::> Inicia o cálculo da soma do valor líquido total das duplicatas

13800 + 58.880,00 ::> Valor líquido total das duplicatas

3.5 Prazo médio de um conjunto de títulos

O prazo médio de um conjunto de títulos é útil por permitir que calculemos o Valor Líquido Total de um conjunto de duplicatas, por exemplo, sem ter que calcular os descontos de todos os títulos para depois somá-los. Com o prazo médio, pode-se descontar o Valor Nominal Total pelo prazo médio e se obter o Valor Líquido Total direto (com a mesma taxa, é claro).

O prazo médio é calculado levando-se em conta os pesos de cada título no conjunto, e por isso baseia-se no conceito de média ponderada. Veja na fórmula a seguir:

Nesse caso, efetuando o cálculo do prazo médio do exemplo anterior em uma tabela do EXCEL, teríamos o seguinte:

A B C D1 DADOS Taxas 2 Taxa de desconto mensal 8 % 3 Taxa de desconto diária 0,27 % 4 Duplicata Vencimento Valor nominal " N x n"5 X 30 R$ 15.000,00 R$ 450.000,006

Y 60 R$ 22.000,00R$

1.320.000,007

Z 90 R$ 35.000,00R$

3.150.000,008

Totais 180 R$ 72.000,00R$

4.920.000,009

10 Prazo médio (em dias) 68,3311 Desconto total (N * d

*nédio) R$ 13.120,00R$13.12

0,00

Verifique as fórmulas.

D6 =C6*B6 B9 =SOMA(B6:B8) D7 =C7*B7 C9 =SOMA(C6:B8)

D8 =C8*B8D11 =C9/B9

D9 =SOMA(D6:D8)D12 =C9*B3*B11

A resolução do cálculo do prazo médio também pode ser feita na calculadora HP12C, pela função de somatória e média ponderada que esse tipo de calculadora apresenta. Clique aqui para ver como proceder.

Entrada

Tecla função

Nova Entrada

Tecla Saída

( f ) ::>

Limpa qualquer informação armazenada na função.

30 ENTER 15000 + 1 ::>

Entra o prazo primeiro e depois o Valor Nominal.

60 ENTER 22000 + 2 ::>

Repete o procedimento com o segundo título.

90 ENTER 35000 + 3 ::>

Repete o procedimento com o terceiro título.

( g ) 68,33 ::>

Apertando a função, é calculada a média ponderada do conjunto de números com os quais você entrou na calculadora.

3.6 O efeito de taxas e impostos no desconto de título e operações financeiras

O último tópico desse módulo mostra como algumas taxas cobradas principalmente pelos bancos e alguns impostos afetam o Valor Atual, Presente ou "Descontado" de títulos e operações descontados (desconto comercial).

O banco que descontará o título, com 90 dias de antecedência, cobra taxa de 1,5% por despesas administrativas.

Efeito do IOF (0,0041% a.d.), que é cobrado por transações financeiras, sobre o valor do título.

Vejamos como fica essa operação:

A B C1 Dados Valores Memória2

Valor nominal R$

7.000,00 3 Taxa de

desconto 7 % 4 Período

antecipado 3 5 Desconto

comercialR$

1.470,00 DC = N * d * n6

Valor atualR$

5.530,00 VC = N - DC

Wx

Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja com fazê-lo:Entrada Tecla

funçãoSaída

fX Y ::> Limpa toda a memória financeira da

calculadoraf

CLX 0,00 ::> Limpa toda a memória da calculadora7000 ENTER 7.000,0

0::> Input do valor nominal

7 % 490,00 ::> Calcula o desconto mensal3 x 1.470,0

0::> Calcula o desconto trimestral

- 5.530,00

::> Calcula o Valor Líquido da operação

Até agora tudo fica como antes, porém, neste caso, as deduções são feitas decrescendo o Valor Líquido que seria recebido.

Vejamos:

A B1 Dados Alíquotas2 Taxa de

administração 1,5 %3 IOF 0,0041 %4 Dados Valores5 Valor nominal R$ 7.000,006 Desconto

comercial R$ 1.470,007 Taxa

administrativa R$ 105,008 IOF R$ 25,839 Desconto total R$ 1.600,83

10 Prazo p/ vencimento 90

11 Valor recebido R$ 5.399,17

Valor Nominal deduzido da taxa administrativa e imposto. A célula deve apresentar a fórmula:=B5-B9

O valor da Taxa administrativa é o Valor Nominal vezes a sua respectiva taxa.A célula deve apresentar a fórmula: =B5*B2

O Valor do IOF é igual ao valor do título vezes a alíquota do imposto vezes o prazo.A célula deve apresentar a fórmula: =B5*B3*B10

Na HP12C o cálculo seria desta forma. Verifique como faze-lo:

Entrada

Tecla função

Saída

fX Y ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora

fCLX 0,00 ::> Limpa toda a memória da calculadora

7000 ENTER 7.000,00 ::> Input do valor nominal1,5 % 105,00 ::> Calcula o valor da taxa administrativa

7000 ENTER 7.000,00 ::> Input do valor nominal0,0041 % 0,2870 ::> Calcula o valor do IOF diário

90 x 25,83 ::> Calcula o valor do IOF trimestral

1470 ENTER 1.470,00::> Input do valor do desconto comercial calculado

anteriormente105,00 + 1.575,00 ::> Soma ao desconto comercial o valor da despesa

administrativa25,83 + 1.600,83 ::> Soma ao item anterior o valor do IOF7000 - -

5.399,17::> Calcula o valor líquido da operação

CHS 5.399,17

::> Inverte o sinal

Agregando taxas de periodicidades diferentes

Imagine agora o seguinte problema:

Você sabe que um banco cobra uma taxa de desconto de 9% e taxa administrativa de 2%. Você quer saber os juros simples efetivos cobrados pelo banco em uma operação de resgate de título com dois meses de antecedência.

O problema aqui é somente definir a taxa de desconto que você inserirá na fórmula para a equivalência de taxas de modo que consiga a taxa de juros efetiva, já que existe, no final do desconto, a cobrança da taxa administrativa pelo banco. Como você não tem o valor nominal, a princípio, como agregar as duas taxas cobradas em uma só, para efeito de cálculo do desconto real (desconto comercial mais a taxa administrativa) que será abatido do Valor Nominal, qualquer que seja ele?

Para problemas de antecipações de um período unitário (por exemplo: um mês para taxa de desconto contabilizada mensalmente; um ano para taxas de desconto contabilizadas anualmente etc.) esse problema é invisível, porque a taxa de desconto só incide uma única vez sobre o Valor Nominal, bem como a taxa administrativa, que sempre é cobrada uma única vez, no final da transação.

Porém, como as antecipações unitárias não são maioria, quase sempre você tem que agregar a taxa de desconto, que incide "n" vezes sobre o Valor Nominal, e a taxa administrativa, que sempre

incide uma única vez. Por esse motivo elas não podem ser somadas, pois isso significaria incidir a taxa administrativa várias vezes, tantos períodos quanto a própria antecipação.

Para resolver esse problema, temos que fazer o seguinte:

Você sabe que um banco cobra uma taxa de desconto de 9% e taxa administrativa de 2%. Você quer saber os juros simples efetivos cobrados pelo banco em uma operação de resgate de título com dois meses de antecedência.

1º) Dividir a taxa administrativa pelo prazo de antecipação da operação.

2º) Daí então somar a taxa administrativa fracionada à taxa de desconto comercial.

3º) Usar a nova taxa de desconto real (que embute a taxa administrativa) para descontar o Valor Nominal pelo prazo estipulado.

Veja como ficaria, na prática (vamos demonstrar também como seria se você somente somasse as taxas - Valores 1). Compare as duas formas, o certo e o errado, para sentir a diferença dos dois métodos.

A B C1

DadosValores

1 Valores 22 TDC* 9,00 % 9,00 %3 Taxa administrativa 2,00 % 2,00 %4 Prazo de antecipação 2 25 TDC – REAL 11,00 % 10,00 %6 Taxa de Juros Efetiva 14,10 % 12,50 %

*TDC - Taxa de Desconto Comercial

Do jeito errado, a TDC - Real é simplesmente a soma das duas taxas cobradas pelo banco.=B2+B3

Veja que o Valor da Taxa de Juros engloba também a taxa administrativa, só que pelos dois períodos de desconto. É como se fosse cobrada a taxa administrativa por mês, o que não é verdade.=B5/(1-(B5*B4))

A diferença para o outro método é visivelmente considerável. Assim, pode-se calcular a taxa efetiva de juros englobando taxas de escalas e incidências diferenciadas. =C5/(1-(C5*C4))

Observe que pelo método certo a taxa administrativa é dividida pelo número de períodos da operação, para que possa ser englobada à taxa de desconto comercial e incidir mais de uma vez sobre o Valor Nominal, fracionadamente.=C2+(C3/C4)

Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Vejamos como fazê-lo:Entra

da Tecla

funçãoSaída

fX Y ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora

fCLX 0,00 ::> Limpa toda a memória da calculadora

0,09 ENTER 0,09 ::> Input da taxa de desconto comercial

0,02 + 0,11::> Soma-se a taxa administrativa para se apurar a Taxa de Desconto

Comercial Real2 x 0,22 ::> Multiplica-se pelo prazo de dois meses

CHS -0,2200 ::> Inverte-se o sinal1 + 0,78 ::> Transforma-se em número índice

0,11 X Y 0,1410 ::>Divide-se pela Taxa de Desconto Comercial Real para calcular a Taxa de Juros Efetiva

0,02 ENTER 0,02 ::> Input da taxa administrativa2,00 0,01 ::> Calcula-se a taxa administrativa equivalente ao mês0,09 + 0,10 ::> Somando-se a taxa de desconto comercial calcula-se a Taxa de

Desconto Comercial Real2 X 0,20 ::> Multiplica-se pelo prazo de dois meses

CHS -0,2000 ::> Inverte-se o sinal1 + 0,80 ::> Transforma-se em número índice

0,1 X Y 0,1250 ::> Divide-se pela Taxa de Desconto Comercial Real para calcular a Taxa de Juros Efetiva

Módulo 4 – Juros compostos

4.1 Conceito

Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, vista no primeiro módulo, no qual o crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, o cálculo dos juros compostos também é chamado de cálculo exponencial). Trata-se de juros compostos toda transação na qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial e os juros acumulados até a referida data são, então, diferentes em todos os períodos. Lembre-se do diagrama para o regime de juros compostos:

VP = Valor presente ou inicialVF = Valor futuro (Final)C = Capital inicialMn = Montante na data "n"

4.2 A fórmula do montante

Como já foi dito, os juros compostos incidem sobre o capital de maneira exponencial. Demonstrando, simplificadamente, o caminho para a fórmula do montante, esse fato fica evidente. Partindo do que já sabemos a respeito de capitalização composta, temos:

M1 = C + C * i ::> M1 = C(1 + i ) M2 = M1 + M1 * i M2 = M1 (1+ i ) M2 = C(1+i)2 M3 = M2 + M2 * i M3 = M2 (1 + i )M3 = C(1+ i )3

...e assim sucessivamente.

Essa fórmula, que só é válida para operações com taxas de juros constantes durante todo o período de aplicação e pagamento único, é a mais importante fórmula para a matemática financeira, já que é dela que se derivam as fórmulas de Valor Presente, Valor Futuro, Taxa de Juros e Prazo, que serão todas vistas adiante. A seguir, veremos, em um exemplo, como fazemos o cálculo do montante.

Por motivo de comparação, pegaremos o primeiro exemplo do módulo de juros simples. Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros compostos, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano?

Montante na data "n"

Fator de Acumulação de Capital

4

nn iCM 1 75,880.209nM

120.000,00

15%

No EXCEL, o cálculo, sem usar nenhum assistente de função, seria:

A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor presente

( C ) R$120.000,00 3 Taxa de juros

(a.t.) 15% 4 Período aplicado 4,00 1 ano = 4 trimestres5 Valor futuro (VF) R$209.880,75 M = C * (1 + i )^n

Veja a fórmula no Excel:B5 = B2 * ((1+B3)^B4)

As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C, fazem os cálculos de qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar de ainda não termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculo pode ser feito apenas inserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula.

Importante: é sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nas calculadoras financeiras, onde o VP e VF devem ser inseridos com sinais opostos, indicando as saídas e entradas de caixa. Lembre-se disso sempre!

Assim, o cálculo do valor futuro, ou montante, dessa operação é feito da seguinte forma:

Entrada Tecla função Saída120.000 CHS -120.000

-120.000 PV -120.000 ::> PV – do inglês "Present Value" ou Valor Presente (Capital Inicial)

15 I 154 N 4

FV209.880,7

5 ::> FV – do inglês "Future Value" ou Valor Futuro ( Montante Final)

4.3 Valor presente (capital)

A fórmula de valor presente é deduzida, como dito, da fórmula do montante. Facilmente, podemos ver que:

Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$ 15.000,00. Os juros (compostos) do empréstimo são de 12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pago hoje?

Capital ou Valor Presente

n

i n M

VP 1


Veja a

fórmula

B5=B2/(1+B3)^B4

Na HP 12C, o cálculo é feito assim:

Entrada Tecla função Saída 15000 FV 15.000,00 ::>FV - do inglês "Future Value" ou

Valor Futuro ( Montante Final)12 i 122 N 2

PV -11.957,91

::>

PV - do inglês "Present Value" ou Valor Presente (Capital Inicial)

4.4 Taxa de juros compostos (i)

A fórmula da taxa de juros de uma operação financeira também é deduzida da fórmula do montante. Isolando o "i" da fórmula inicial, temos o seguinte:

A B C1

Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Futuro (VF) 15.000,00 3 Taxa de Juros

(a.m.) 12% 4 Período Aplicado 2,00 60 dias = 2 meses 5 Valor Presente

(VP) 11.957,91 C = M / (1+ i )^n

Taxa de Juros Compostos 11

n

C

Mi

Qual a taxa de juros compostos que está embutida em um produto que tem preço à vista de R$ 1.500,00 e a prazo, para pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.900,00?


A B C 1


cálculo2

Valor Futuro (VF)R$1.900,0

0 3 Valor Presente

(VP)R$1.500,0

0 4 Período Aplicado 3,00 em meses 5

Taxa de Juros ( i ) 8,20%i =

((M/C)^(1/n))-1

Vejamos agora a fórmula

B5=((B2/B3)^(1/B4))-1


Entrada Tecla função Saída1.900 FV 1.900,001.500 CHS -1.500,00

PV -1.500,003 n 3 i 8,20

4.5 Prazo

A fórmula do prazo, também proveniente da fórmula do montante, nos permite calcular o prazo de aplicação entre dois valores para determinada taxa.

1500

31900

1

1

n

C

Mi %2,8i

Isolando-se o "n", teremos: o isolamento do "n", como é fator de radiciação, traz a necessidade de uso de logaritmo neperiano, porém, como os cálculos são feitos todos ou no EXCEL ou nas calculadoras financeiras, não nos traz problema algum. Você nem precisa se preocupar com a resolução de logaritmos, caso você não se lembre.

Veja o que você precisaria para duplicar um capital de R$ 3.500,00 à taxa de juros compostos de 12% a.m.


A B C1

Dados Valores Memória de Cálculo

2 Valor Futuro (VF) R$7.000,00 3 Valor Presente

(VP) R$3.500,00 4 Taxa de Juros ( i ) 12% 5

Prazo de Aplicação 6,12n = (ln(M) -ln(C)) / ln

(1+i ) 6 Prazo (dias) 183 i diário = i * 30

Você pode calcular o logaritmo neperiano simplesmente digitando as letras "ln".

Vamos ver como ficaram as fórmulas agora:

B5=(LN(B2)-LN(B3))/LN(1+B4)B6=B5*30

iLn

LnCLnMn

1

logaritmo neperiano do VF

logaritmo neperiano do VP

logaritmo neperiano da taxa de juros

12%

3.500,007.000,00

iLn

LnCLnMn

1

mesesn 12,6



Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

30 ENTER 30,00001/x 0,0333

STO 0 0,03330,12 ENTER 0,1200

1 + 1,1200RCL 0 0,0333

Yx 1,00381 - 0,0038

100 X 0,3785 ::> Cálculo da Taxa Equivalente diária de 12% a.m.

i 0,3785 ::> Taxa Equivalente diária em (i)7000 FV 7.000,00 ::> Valor Futuro (FV)3500 CHS PV -3.500,00 ::> Inverte o sinal e colocar em Valor Presente

(PV)n 184,00 ::> Prazo da aplicação em dias

Agora que você já está habituado às fórmulas, vamos ver um pequeno treinamento de como utilizar as funções financeiras do EXCEL.

4.6 Assistente de função do EXCEL

Como alternativa ao método de cálculo das variáveis descritas acima (VF, VP, i, n ), o EXCEL oferece essas fórmulas prontas para uso. Utilizando o Assistente de Função do EXCEL você consegue fazer todos os cálculos demonstrados com muito mais facilidade, sem precisar inserir as fórmulas em cada um dos casos.

O menu Assistente de Função pode ser ativado pela barra de ferramentas, clicando com o mouse no botão fx. Esse botão abrirá a caixa de diálogo "Colar Função", conforme a da figura abaixo, onde se deve escolher a categoria da função que será utilizada.

Nesse caso, escolheremos as funções na categoria financeira, que agregam todas as funções da matemática financeira. Se estivermos calculando o valor futuro, por exemplo, escolheremos VF no nome da função e clicamos em OK.

A próxima caixa de diálogo será onde você deverá inserir os dados das outras variáveis, clicando no espaço destinado ao número e no respectivo valor na própria planilha (repare que nesse caso você verá que nos espaços reservados para os valores constarão as referências correspondentes).

Você já deve ter notado que o EXCEL tem uma notação para as variáveis que foram dadas acima no módulo. São elas:

VP Valor Presente

VF Valor Futuro

Taxa Taxa de Juros

nper Número de Períodos

pgto entradas ou saídas de caixa durante o período total de transação

tipo 1= pgto no começo de cada período; 2 ou sem preenchimento =pgto no final do período

No caso dos cálculos dessas variáveis que iremos fazer agora, só usamos valores para três das quatro variáveis indicadas por setas vermelhas (a quarta variável é a calculada!)

Depois de fazer esses passos, clique no OK e o EXCEL calcula o valor pedido.Vamos ver agora como calcular novamente os exemplos anteriores, usando, desta vez, o Assistente de Função.

Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros compostos, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano?

No EXCEL, o cálculo, usando o assistente de função, seria:

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Valor Presente

( C ) R$120.000,00 inserir em VP3 Taxa de Juros (a.t.) 15% inserir em taxa4 Período Aplicado 4,00 inserir em nper5

Valor Futuro (VF)-

R$209.880,75 nome de função: VF

IMPORTANTE: para que o Excel execute os cálculos corretamente, o Valor Presente e Futuro devem sempre ter sinais opostos! (o que indica saídas e entradas de caixa).

No caso de usar o Assistente, não é necessário inserir nenhuma fórmula nas células. Porém, se colocar o cursor na célula de resultado da função verá uma fórmula editada. Essa é a fórmula do EXCEL, =VF(i ; n ; pgto ; PV), pela qual ele próprio calcula o valor da variável desejada. Se seguir o procedimento citado acima, aparecerá na sua célula de resultado do VF o seguinte: =VF(B3;B4;;B2)

Os valores absolutos de VF e VP têm sempre

sinais trocados!!!

Não se esqueça!!!

Na HP 12C, este cálculo pode ser resolvido da seguinte forma:


Saída

f 0,0000

X Y 0,0000f 0,0000

CLX 0,0000120000 PV 120.000,00 ::> Valor Presente (PV)

15 i 15 ::> Taxa de 15% a.t. (i)4 n 4 ::> Período de 4 trimestres

(n)FV -

209.880,75::> Calculo o Valor Futuro (FV)

Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$ 15.000,00. Os juros (compostos) do empréstimo são de 12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pago hoje.


A B C1 Dados Valores Lembrete2 Valor Futuro (VF) R$15.000,00 inserir em VF 3 Taxa de Juros

(a.t.) 12% inserir em taxa 4 Período Aplicado 2,00 inserir em nper 5 Valor Presente

(VP)-

R$11.957,91nome da função:

VP

VP: = VP(B3;B4;;B2)

Na HP 12C, este cálculo pode ser resolvido da seguinte forma:

Entrada Tecla função Saídaf 0,0000

X Y 0,0000f 0,0000

CLX 0,000015000 FV 15.000,00 ::> Valor Presente (PV)

12 i 12:::> Taxa de 12% a.m. (i)2 n 2 ::> Período de 2 meses (n)

PV -11.957,0

8

::> Calculo o Valor Futuro (FV)

Qual a taxa de juros compostos que está embutida em um produto que tem preço à vista de R$ 1.400,00 e a prazo, para pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.550,00?


A B C1 Dados Valores Lembrete2 Valor Futuro (VF) R$ 1.550,00 inserir em VF3 Valor Presente

(VP) -R$ 1.400,00 inserir em VP4 Período Aplicado 3,00 inserir em nper5

Taxa de Juros ( i ) 3,45 %Nome da função:

taxa

=TAXA(B4;;B3;B2)

Na HP 12C, este cálculo é feito da seguinte forma:


Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

1.550 FV 1.550,00 ::> Valor Futuro (FV)1.400 CHS PV -1.400,00 ::> Valor Presente (PV)

3 N 3 ::> Período de 3 meses (n)

i 3,45 ::> Calculo a taxa (i)

Veja agora quanto tempo você precisaria para duplicar um capital de R$ 4.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m.


A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Futuro (VF) R$ 8.000,00 insira em VF3 Valor Presente

(VP) -R$ 4.000,00 insira em VP4 Taxa de Juros ( i ) 10 % insira em taxa5 Prazo de

Aplicação 7,27 nome da função: Nper6 Prazo (dias) 218,18 i diário = i * 30

Vejamos agora a fórmula:

B5= NPER(B4;;B3;B2)B6=B5*30



Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

30 ENTER 30,00001/x 0,0333

STO 0 0,03330,10 ENTER 0,1000

1 + 1,1000RCL 0 0,0333

Yx 1,00321 - 0,0032

100 X 0,3182 ::> Cálculo da Taxa Equivalente diária de 10 % a.m.i 0,3182 ::> Taxa Equivalente diária em (i)

8.000 FV 8.000,00 ::> Valor Futuro (FV)4.000 CHS PV -4.000,00 ::> Inverte o sinal e coloca em Valor Presente (PV)

n 219,00 ::> Prazo da aplicação em dias

4.7 Taxas equivalentes

O conceito de taxas equivalentes a juros compostos é igual ao módulo de juros simples: duas taxas são consideradas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, por um período equivalente de tempo, para produzirem o mesmo montante.

Como os montantes são iguais, podemos simplesmente igualar as fórmulas de cálculo do montante. Visualmente, temos que:

Qual seria a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação que remunera o capital à taxa de 42 % a.a.?

Como na fórmula de cálculo do montante as taxas são aplicadas sobre um mesmo capital, podemos eliminar o capital (C) da fórmula.

Esta, portanto, é a fórmula de cálculo de taxas equivalentes.

No EXCEL, sem usar o Assistente de função, pode-se resolver o problema inserindo-se a fórmula dada:

A B C1

Dados Valore

sMemória de

Cálculo2 Taxa de juros ( ano

) 42,00 % 3

Prazo requerido 1Equivalente em 1

mês4 Prazo dado 12 1 ano 5

Taxa Eq. Mensal 2,97 % =(( 1+i )^( n1/n2 ))

-1

Veja como ficou a fórmula:

B5=((1+B2)^(B3/B4))-1

Como existem diversas maneiras diferentes de cálculo das taxas equivalentes, tanto no EXCEL, quanto na HP 12C, listamos algumas delas em um apêndice, chamado Taxas Equivalentes.



Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

1 ENTER 1,0000 ::> Prazo dado12 0,0833 ::> Prazo requerido

STO 0 0,0833 ::> Armazenado na memória zero1 ENTER 1,0000 ::> Para transformar em número índice

0,42 + 1,4200 ::> Adiciona-se a taxa do períodoRCL 0 YX 1,0297 ::> Tira a raiz 12

1 - 0,0297100 x 2,9653 ::> Finaliza o cálculo da Taxa Equivalente Mensal

0,42 As taxas têm que estar na mesma escala de tempo

12 (meses)

1 (mês)

11 21

21 nn

ii

4.8 Capitalização a juros compostos com taxa de juros variável

Até agora, vimos somente a aplicação da fórmula do Montante em casos em que a taxa de juros era constante no período todo da aplicação. Porém, pode acontecer de você vir a ter várias taxas diferentes em uma mesma aplicação financeira. Como, então, calcular o Montante e a taxa de juros resultante de todas as diferentes taxas que remuneraram o Capital?

Para esses casos, a fórmula do Montante, como a conhecemos, pode ser facilmente ajustada para agregar várias taxas. Veja:

A fórmula, então, pode ser representada da seguinte forma:

e, como sabemos, a taxa pode ser calculada por:

e ainda temos, se for o caso, a fórmula da taxa média (média geométrica) em dado período:

Você tem R$ 3.000,00 aplicados em um fundo de renda fixa. Nos últimos 4 meses as taxas de rendimento foram, respectivamente, de 7%, 6%, 6,8% e 7,1%.

Qual o seu Montante aplicado hoje, qual a taxa acumulada de juros nesse meses e qual a taxa média mensal? Veja como esse cálculo pode ser feito:

niiiiCM 1111 321

1C

Miacumulada 11111 321 nacumulada iiiii

111111

321 nniiiii

0,06 0,071

4321 1111 iiiiCM

3.000

0,07 0,068

99,3891M

Utilizando o EXCEL, os cálculos podem ser feitos assim:

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Capital ou VP R$3.000,00 3 Taxa do 1º mês 7,00% i14 Taxa do 2º mês 6,00% i25 Taxa do 3º mês 6,80% i36 Taxa do 4º mês 7,10% i47 Montante ( 4º

mês) R$3.891,99Mn = C*(1+ i1)*(1+

i2)*....*(1+ in)8

Taxa acumulada 29,73%iac =

(1+i1)*(1+i2)*(1+i3)*(1+i4) -19 Taxa Média 6,72% i med = ((iac+1)^(1/4)) -1

Para facilitar a inserção da fórmula de cálculo da taxa média, ao invés de digitarmos todo o produto de (1+ in), somamos "1" ao resultado da taxa acumulada para obter esse valor que já tinha sido digitado. Fazendo isso, economiza-se tempo e facilita-se a fórmula a ser inserida!

Veja como ficam as fórmulas:

B7

=B2*((1+B3)*(1+B4)*(1+B5)*(1+B6))

B8 =((1+B3)*(1+B4)*(1+B5)*(1+B6))-1

B9 =((B8+1)^(1/4))-1

111111 321 nac iiiii niiii 1111 321



Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

0,07 ENTER 0,07001 + 1,0700

0,06 ENTER 0,06001 + x 1,1342

0,068 ENTER 0,06801 + x 1,2113

0,071 ENTER 0,07101 + x 1,2973

STO 0 1,29733000 x 3.891,9899 ::> Calcula o Montante em quatro meses

RCL 0 1,29731 - 0,2973

100 x 29,7330 ::> Calcula a taxa quadrimestral1 ENTER 1,00004 0,2500

RCL 0 1,2973X Y YX 1,0672

1 - 0,0672100 x 6,7241 ::> Cálculo da Taxa Equivalente Média Mensal

O EXCEL oferece, como sabemos, um Assistente de funções que ajuda a resolver esses tipos de problemas, pois já tem a fórmula necessária inserida. Para casos de juros compostos com taxas de juros variáveis, existe a função VFPlano.

Veja como funciona: (no mesmo exemplo)

Clique no Botão do Assistente de Função (fx) na Barra de Ferramentas. Abrindo a Caixa de Diálogo Colar Função, escolha a categoria financeira e a função VFPlano. clique em OK!

Abrindo a segunda Caixa de Diálogo da função, clique nos respectivos valores na tabela de Capital e Plano (este é definido pelo intervalo de todas as taxas incorridas no período). Clique em OK!

Está pronto o cálculo!

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Capital ou VP R$3.000,00 Capital3 Taxa do 1º mês 7,00% 4 Taxa do 2º mês 6,00% Plano5 Taxa do 3º mês 6,80% 6 Taxa do 4º mês 7,10% 7

Montante ( 4º mês) 3.891,98Nome da função:

VFPLANO

Repare que: A fórmula inserida pelo EXCEL contém VFPLANO (Capital;Plano)

Conteúdo certo de B7:

=VFPLANO(B2;B3:B4)

Na HP 12C, o exemplo é resolvido da seguinte forma:

Entrada Tecla função Saída3.000 ENTER 3.000,00

6 % + 3.180,007 % + 3.402,6

6,8 % + 3.633,977,1 % + 3.891,98

4.9 Taxas acumuladas de empréstimos de curto prazo (Hot Money)

Como visto no módulo de Juros Simples, os empréstimos de Hot Money são realizados normalmente com operações ao dia, e renováveis por sucessivos dias. Sendo assim, pode-se calcular as taxas acumuladas para esse tipo de empréstimo no final de determinado período com a ajuda da fórmula das taxas acumuladas.

Porém, como as taxas das operações são obtidas por meio de juros simples, com base na taxa mensal, temos que adaptar a fórmula para abrigar tal característica. Teremos então:

Uma empresa tomou empréstimo de Hot Money de R$ 100.000,00 diário e renovou esse empréstimo por três vezes. As taxas praticadas, ou cobradas pelo banco, foram as seguintes:

1º dia 30%2º dia 33%3º dia 32%4º dia 29%

Nesse caso, veja qual a taxa acumulada incorrida pela empresa, qual a taxa acumulada de juros e qual o Montante pago.

A B C1 Dados Valores Lembrete2

CapitalR$100.000,0

0 3 Taxa do 1º mês 30,0% 4 Taxa do 2º mês 33,0% 5 Taxa do 3º mês 32,0% 6 Taxa do 4º mês 29,0% 7 Taxa diária 1º dia 1,00% 8 Taxa diária 2º dia 1,10% Plano9 Taxa diária 3º dia 1,07%

10 Taxa diária 4º dia 0,97% 11

Taxa Acumulada 4,20%iac = (1+i1)(1+i2)(1+i3)

(1+i4) -112

Taxa Média 1,03%i med = ((iac+1)^(1/4)) -

113 Montante R$104.197,79 VFPLANO(Capital; Plano)

Veja como ficaram as fórmulas: B11

=((1+B7)*(1+B8)*(1+B9)*(1+B10))-1

B12 =((B11+1)^(1/4))-1

B13 =VFPLANO(B2;B7:B10)

Taxas mensais disponíveis no mercado no dia da operação

No 1º diaNo 2º diaNo 3º diaNo n-ésimo dia

Na HP 12C, o exemplo é resolvido da seguinte forma:


Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

30 ENTER 30,000030 1,0000 ::> Calcula a Taxa Nominal do 1º mês

100 0,01001 + 1,0100

STO 1 1,010033 ENTER 33,000030 1,1000 ::> Calcula a Taxa Nominal do 2º mês

100 0,01101 + 1,0110


100 0,01071 + 1,0107


100 0,00971 + 1,0097

STO 4 1,0097RCL 1 x 1,0198RCL 2 x 1,0310RCL 3 x 1,0420 ::> Calcula a Taxa Acumulada

STO 5 1,04204 ENTER 4,0000

1/x 0,25001,0420 X Y Yx 1,0103

1 - 0,0103100 x 1,0339 ::> Calcula a Taxa Efetiva Média dos quatro meses

i 1,0339100000 CHS -100.000,0000

PV -100.000,00004 n 4,0000

FV 104.199,9999

::> Calcula o Montante em quatro meses

RCL 5 1,04201 - 0,0420

100 x 4,1978 ::> Calcula a Taxa Nominal do 1º mês

IMPORTANTE

Normalmente, os empréstimos de Hot Money são captados em operações de CDI e, portanto, suas taxas refletem a taxa do CDI mais uma outra taxa adicional, o chamado "spread" no mercado financeiro, que é de onde os bancos tiram sua remuneração nas transações.

Pode-se dizer, então, que a taxa hot é composta da seguinte forma:

4.10 Taxa over

A taxa over nada mais é do que a taxa ao mês por dia útil. Muito utilizada como expressão de taxa de juros no mercado financeiro, é convencionada para ser a taxa diária útil multiplicada por 30 (mesmo sabendo que um mês só pode ter 23 dias úteis).

Sua importância é derivada do fato de muitos índices de produtos do mercado financeiro usarem sua linguagem para expressar suas taxas de rentabilidade (ou custo, dependendo do caso). Um exemplo importante é o CDI (certificado de depósito interbancário) de curto-prazo, o CDI Over.

Essa taxa diária representa para aplicadores a maior taxa que um banco estará disposto a pagar por um empréstimo feito, ou seja, uma aplicação sua no banco, digamos um CDB. Isso porque por meio dessa taxa o banco pode captar dinheiro no mercado interbancário e ter o mesmo custo, com muito mais facilidade.

Porém, a maior utilidade para a taxa over é, sem dúvida, a capacidade de comparar investimento em aplicações com prazos e retornos diferentes, entre os bancos. O cálculo da taxa Over possibilita a comparação pois traz as aplicações em parâmetros iguais, isto é, taxa ao mês por dia útil.

A fórmula da Taxa Over é descrita abaixo:

Simplificadamente, temos os seguintes passos:

“spread” do banco

Taxa do CDI mensal

Taxa hot mensal

Sii CDIHOT

130

130

1

Para conversão em taxa mensal

n.º de dias úteis da aplicaçãon.º de dias corridos da aplicação

3011.

1360

)%(

udn

aiOverTaxa

Tx. Juros Anual da Aplicação (CDB)

1º- Transforma-se a taxa anual em taxa do período de dias corridos dados na aplicação.2º- Acha-se então a taxa por dia útil, partindo da taxa do período.3º- Multiplica por 30 para ter a taxa Over, ou seja, a taxa mensal por dia útil do período da aplicação.

Qual das aplicações é mais rentável: aplicar em CDB do banco A, que paga 150 % a.a por 30 dias corridos, correspondentes a 22 dias úteis, ou o CDB do banco B, que paga 160 % a.a, por 33 dias corridos, correspondentes a 23 dias úteis.Resolvendo, temos:

No EXCEL, temos:

A B C D1 Dados Valores A Valores B Lembrete2 Taxa Anual do

CDB 150,00 % 160,00 % 3 Dias corridos 30 33 4

Taxa do Período 7,93 % 9,15 %((1+Tx.

Anual)^(33/360))-15 Dias úteis no

período 22 23 6

Taxa por dia Útil 0,35 % 0,38 %((1+tx.per.)^(1/

d.úteis))-17 Taxa Over 10,43 % 11,45 % Tx. dia útil *30

Veja as fórmulas deste problema:

B4 =((1+B2)^(B3/360))-1 Nas demais fórmulas, só deve

mudar a referência da coluna para C ao invés de B

B6 =((1+B4)^(1/B5))-1

B7 =B6*30

Resposta:

Como visto, o investimento no Banco B é melhor negócio pois o retorno é maior na taxa Over. Pode-se já ver isso no maior retorno por dia útil, também.

Na HP 12C, o cálculo da taxa over dos Valores A dá-se da seguinte forma:

EntradaTecla

função Saída1,5 ENTER 1,50001 + 2,5000 ENTER 2,5000

30 ENTER 30,00360 ENTER 360,00022 x 7920,000 0,0038 Yx 1,00351 - 0,0035

30 x 0,1043

Outro modo de calcular o número de dias úteis

Um importante recurso do EXCEL que pode ser usado nesse caso, e em diversos outros, é o cálculo do número de dias úteis entre duas datas. Enquanto o cálculo de dias corridos pode ser feito apenas subtraindo as duas células de início e fim do período, o cálculo de dias úteis necessita da ajuda do Assistente de função.

A função que realiza essa conta chama-se DIATRABALHOTOTAL. Essa função é calculada da seguinte forma pelo EXCEL:

= DIATRABALHOTOTAL(data-inicial;data-final;feriados)-1

Note que: São levados em conta os números de feriados existentes entre as duas datas indicadas. Esses

feriados devem ser indicados por um intervalo na planilha da fonte de dados, onde constam seus respectivos dias, meses e ano.

Do resultado da função subtrai-se 1, pois a função faz a contagem dos dois números extremos do período.

Para efetuar o cálculo da função, clique no botão do Assistente de Função fx e selecione a categoria Data e Hora.

Selecione então a função DIATRABALHOTOTAL e clique em OK:

Insira as referências correspondentes clicando com o mouse na planilha de origem dos dados. No caso dos feriados, eles devem ser inseridos como intervalo, selecionando todas as células com as datas na planilha de origem dos dados. Clique em OK.

O número resultante deve então ter seu valor reduzido em uma unidade, para que ambos os extremos não sejam contabilizados no resultado final.

No exemplo a seguir você verá como é fácil. Pegaremos como referência o mês de maio, pois ele tem um feriado consagrado em nosso calendário, o Dia do Trabalho.

Calcule o número de dias corridos e dias úteis no mês de maio de 2000, e imagine que haverá um feriado regional no dia 20 de maio.

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Data Inicial 1-Mai 3 Data Final 31-Mai 4 Feriados 1-Mai 5 20-Mai 6

Dias Corridos 30,00apenas subtrai duas

datas7 Dias Úteis-Função 22,00 resultado da função8 Dias Úteis Total 21,00 Resultado da função -1

B8=DIATRABALHOTOTAL(B2;B3;B4:B5)

4.11 Taxa nominal e efetiva de juros

As taxas nominais são as taxas aparentes de juros em uma transação, e a taxa efetiva é a taxa que realmente onera o tomador e remunera o aplicador.

Existe diferença entre essas duas taxas sempre que houver na transação alguma condição de cobrança ou despesas que modificam a taxa que realmente incide na operação.

É o caso, por exemplo, das taxas de IOF e taxas de administração cobradas nas operações de desconto, como visto no módulo de desconto simples.

Lembre-se que, naqueles casos, as taxas cobradas reduziam o valor a ser resgatado, aumentando a taxa de desconto efetiva, enquanto a taxa de desconto nominal permanecia inalterada.

4.12 Taxa nominal e efetiva quando o período da taxa não coincide com o período da capitalização

Já vimos no primeiro módulo deste curso que "capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial, resultando em um montante "capitalizado".

Entretanto, o que ocorre quando possuímos, por exemplo, uma taxa de juros ao ano capitalizada semestralmente?

O primeiro passo é transformar essa taxa ao ano, em uma taxa semestral, pelo regime de juros simples. Esse valor encontrado representa a taxa efetiva da operação e a primeiro taxa, dada ao ano, representa a taxa nominal da operação. A taxa efetiva é a que realmente incide sobre o capital aplicado e não a taxa nominal.

O que acabamos de fazer foi calcular a taxa efetiva por proporção à taxa comum, prática muito comum no mercado.

Veja um exemplo disso: considere uma taxa de 24 % a.a., capitalizada mensalmente. A taxa de 24 % é considerada a taxa nominal. Para calcularmos a taxa efetiva (que deve ser mensal, uma vez que os juros serão capitalizados mensalmente) devemos efetuar os seguintes cálculos:

Como conseqüência do que foi apresentado acima, a taxa que realmente incide sobre o capital geralmente é maior do que a taxa nominal dada, porque a capitalização, à taxa proporcional, é exponencial.

Exemplo disso pode ser visto na caderneta de poupança. Embora seja dito que o rendimento anual é de, digamos, 19 % a.a, sabemos que com a capitalização mensal ela rende 20,74 % a.a. Neste caso a primeira taxa é a nominal e a segunda é a efetiva.

O cálculo dessa taxa efetiva pode ser feito achando-se a taxa proporcional à nominal no período de capitalização.

Os caminhos são os seguintes:

Taxa Efetiva para Taxa Nominal (com taxa nominal anual e capitalizações mensais)

1º)

2º)

Taxa mensal = 24 % = 2 % a.m. 12

Essa taxa efetiva será utilizada para os cálculos em regime de juros compostos!!!

Taxa Nominal para Taxa Efetiva

No EXCEL, os cálculos podem ser feitos assim:

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Taxa nominal anual 19 % DADA3 Taxa efetiva (período) 1,58 % Taxa Nominal anual/124

Taxa efetiva anual 20,75 %((Tx. Efetiva

Período)^12)-1

B3 =B2/12B4=((B3)^12)-1

EXCEL oferece, no Assistente de Função, duas funções já prontas para o cálculo das taxas nominais e efetivas. As sintaxes para essas duas funções estão a seguir:

Cálculo da Taxa efetiva: =EFETIVA(Nominal; período)Cálculo da Taxa nominal: =NOMINAL(Efetiva; período)

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Taxa nominal

anual 19 % DADA3

Período 12Períodos de

capitalização/ano4 Taxa efetiva anual 20,75 % Função: EFETIVA

Taxa efetiva: =EFETIVA(B2;B3)

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Taxa efetiva anual 20,75 % DADA3 Período 12 Períodos de capitalização/ano4 Taxa nominal anual 20,75 % Função: NOMINAL

Taxa nominal: =NOMINAL(B2;B3)

4.13 Valor atual e valor nominal

Os conceitos de valor atual ou presente e valor nominal, futuro ou final são os mesmos que os vistos em juros simples, só que o cálculo é diferenciado, pelo regime de capitalização composta. Nesse caso, o diagrama seria:

neste caso, temos:

O cálculo para esse tipo de problema pode ser encontrado de diversas maneiras. Nesse momento, no entanto, nos interessa saber somente alguns.

Vejamos um exemplo:

Um título tem valor nominal de R$ 3.000,00. Sabe-se que a taxa de juros ao mês é de 5%. Qual seria o valor atual se fosse liquidado dois meses antes do vencimento?

Pela fórmula

Pelo EXCEL (sem o Assistente de Função)

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Valor Futuro R$ 3.000,00 3 Taxa de Juros

(a.m.) 5,00 % 4 Período

Antecipado 25 Valor Presente R$ 2.721,09 N=V/((1+i)^n)

Veja como ficou a fórmula:

ou NiV n 1 ni

NV

1

2

0,05

R$ 3.000,00

ni

NV

109,721.2V

B5=B2/((1+B3)^B4)

Pelo EXCEL (Assistente de Função)

Como visto anteriormente (no item Assistente de Função) o cálculo poderia ser feito da seguinte forma:

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Valor Futuro R$ 3.000,00 Insira em VF3 Taxa de Juros

(Am) 5,00 % Insira em TAXA4 Período

Antecipado 2 Insira em NPER5 Valor Presente -R$ 2.721,09 Nome da função: VP

B5=VP(B3;B4;;B2)

Na HP 12C veja como seria o cálculo:

Entrada Tecla função Saída3000 FV 3000,00

5 i 5,00 2 n 2,00 PV -2721,09

4.14 Comparação entre juros simples e compostos

A maioria dos cálculos de juros no mercado hoje em dia é calculada segundo o regime de capitalização composta.

Porém, normalmente os juros de mora (aqueles que são pagos em caso de atraso no pagamento de alguma obrigação) são calculados por juros simples. Seria uma mera simplificação?

A resposta para tal pergunta é não. A principal causa dessa peculiaridade no cálculo é devida ao fato de que, em períodos de capitalização inferiores ao período da taxa dada, os juros obtidos pelo regime de juros simples excede os juros obtidos pelo regime de capitalização composta.

Veja o exemplo a seguir:

Repare que o EXCEL adota valores opostos para

VP e VF sempre.

Um título foi pago com 20 dias de atraso. Os juros de mora cobrados são de 10% a.m. Se você pudesse escolher segundo qual regime os juros seriam calculados, qual escolheria? (Suponha o valor nominal de R$ 1.000,00)

Dica: calcule os juros sob o regime de capitalização simples e composta. Em seguida, compare os resultados.

A B C1 Dados Valores Lembrete2 Valor do título 1.000,00 3 Juros de Mora (A.m.) 10 % 4 Juros Simples (a.) 0,333 % Taxa mensal / 305

Juros Compostos (a.) 0,318 %(1+Taxa

Mensal)^(1/30)-16 Período atrasado (dias) 207 Montante (J.S.) 1.066,67 M = C * ( 1 + i * n)8 Montante (J.C.) 1.065,60 M = C * (1+ i )n

Veja como ficaram as fórmulas:

B4 =B3/30

B5 =((1+B3)^(1/30))-1

B7 =(B2*B4*B6)+1000

B8 =B2*((1+B5)^B6)

Na HP 12C, esse cálculo se dá da seguinte forma:


Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

10 ENTER 10,000030 0,3333 ::> Juros Simples (a.d.)

100 0,0033STO 1 0,0033

10 ENTER 10,0000100 0,1000

1 + 1,100030 1/x 0,0333

Yx 1,00321 - 0,0032

STO 2 0,0032100 x 0,3182 ::> Juros Compostos

(a.d.)20 ENTER 20,0000

RCL 1 x 0,06671 + 1,0667

1000 x 1.066,6667 ::> Montante: Juros SimplesRCL 2 0,0032

1 + 1,003220 Yx 1,0656

1000 X 1.065,6022 ::> Montante: Juros Compostos

Módulo 5 - Desconto Composto

5.1 Conceito

O Desconto Composto pode ser entendido da mesma forma que o Desconto Simples. Entretanto, a taxa de desconto é composta, e o processo é o inverso da capitalização com taxa de juros compostos. Aqui também a taxa incide sobre o Valor Nominal, do qual é retirada a parcela correspondente à taxa de desconto, resultando no Valor Atual, Presente ou Capital, dependendo de cada caso.

Esse tipo de desconto também é muito utilizado no mercado, principalmente nas áreas comercial e de análise de investimentos, onde os fluxos são descontados e trazidos ao seu Valor Presente para ver quanto de caixa esse fluxo futuro "vale" hoje.

A visualização é a mesma de Descontos Compostos:

Analogamente ao Desconto Simples, existem o Desconto Racional (Por Dentro) e Comercial (Por Fora) Compostos.

5.2 Desconto Racional (Por Dentro) e Desconto Comercial (Por Fora)

A principal diferença entre os dois métodos de desconto acima citados está na metodologia de cálculo.No cálculo por dentro, adotado no desconto racional, não se trabalha com a taxa de desconto, e sim com a taxa de juros objetivada na operação do desconto. Desta maneira, o desconto pode ser calculado descontando-se o valor final pela taxa de juros, da maneira convencional. Veja fórmula abaixo:

Valor Nominal

Desconto Composto

Valor Descontado

ou ni

NV

1 NiV n 1 VNDR

Essa é a maneira mais convencional de desconto utilizada para análise de investimentos e fluxos de caixa futuros, pois se trata exatamente da fórmula do Valor Presente e Valor Futuro.

No cálculo por fora, utiliza-se a taxa de desconto para o cálculo do desconto comercial. Nessa metodologia a taxa de desconto incide sobre o valor final.

Veja a diferença na metodologia:

Em uma linguagem comercial, diríamos que o cálculo por fora é semelhante ao cálculo da margem bruta por meio da relação lucro bruto e preço de custo, enquanto que o cálculo por dentro é semelhante ao cálculo da margem bruta pela relação de lucro bruto e preço de venda.

Para exemplificar ainda melhor essa diferença, veja os exemplos a seguir.

Exemplo:

Um título tem Valor Nominal de R$ 5.000,00 e será resgatado com três meses de antecedência. Calcule o seu Valor Atual ou Presente, pelo método de Desconto Racional (i = 2,5 % a.m.) e pelo método do Desconto Comercial (d = 2,44 %). Verifique também a taxa de juros do processo do desconto comercial e comparando com a taxa do Desconto Racional (inclusive os resultados obtidos).

A B C1

DadosDesconto Racional Desconto Comercial

2 Valor Nominal R$ 5.000,00 R$ 5.000,00 3 Per. Antecipado 3 34 Tx. Juros (D.

Racional) 2,50 % 5 Tx. Desc. Comercial 2,44 %6 Valor Atual R$ 4.643,00 R$ 4.642,86 7 Tx. Juros no Período

Eq. 7,69 %8 Tx. Juros Eq.

Comercial 2,50 %

B6 =B2/(1+B4)^B3C6 =C2*(1-C5)^C3C7 =C2/C6-1C8 =(1+C7)^(1/C3)-1


A taxa de juros do período foi encontrada com a fórmula i = M/C -1. Outra maneira será dada logo a seguir.

nd

VN

1 ndNV 1 nC dNND 1ou


Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

5.000 CHS FV 5.000,00002,5 i 2,500003 n 3,0000

PV 4.642,9971 ::> Valor Atual pelo Desconto Racional

0,0244 CHS ENTER

-0,0244

1 + 0,97563 Yx 0,9286

5.000 x 4.642,8578 ::> Valor Atual pelo Desconto Comercial

5.000 X Y 1,07691 - 0,0769

STO 1 0,0769100 x 7,6923 ::> Taxa de Juros do Período Equivalente

RCL 1 0,07691 + 1,07693 1/x Yx 1,02501 - 0,0250

100 x 2,5010 ::> Taxa de Juros Equivalente Comercial

Repare que os dois métodos, cada um com a sua metodologia de cálculo, obtêm os mesmos resultados no Valor Presente. Isso pode ser evidenciado pela igualdade entre a taxa de juros usada no Desconto Racional e a taxa de juros equivalente encontrada no Desconto Comercial.

É importante notar que as taxas utilizadas são diferentes, e equivalentes. As duas metodologias dariam resultados diferentes se a mesma taxa fosse usada para ambas. Por isso convém saber bem qual a metodologia utilizada antes de fazer o cálculo.

5.3 Taxa de Desconto e Taxa de Juros - Equivalência

As taxas de Juros cobradas pelos bancos são calculadas com base em uma taxa de juros efetiva objetivada. Sabendo disso e como visto no exercício anterior, as taxas de desconto são equivalentes à determinada taxa de juros quando o "Valor Descontado" obtido com o desconto for reaplicado a uma taxa de juros que recupere o valor original ou Nominal da operação.

Desta forma, como incidem sobre bases diferentes, essas taxas nunca serão iguais (em termos absolutos). Isso é, você nunca irá reaver um Valor Nominal reaplicando o Valor Descontado a uma taxa de juros igual à taxa de desconto.

Assim:

As fórmulas para a conversão das taxas equivalentes podem ser vistas abaixo:

Exemplo:

Equivalência de Taxas de Desconto e Taxas de Juros Nominais e Efetivas

A B C D1

Dados Tx. Dada ResultadosTx.

Equivalente2

Taxa de Juros mensal 3,00 %Tx. Desconto Equivalente 2,91 %

3 Período unitário 4 Tx. Desconto mensal 2,5 % Tx. Juros Equivalente 2,56 %5 Período unitário 6

Tx. Juros (c/ n = 3) 4 %Tx. Desconto Eq. - 3 meses 11,10 %

7Período Antecipação 3

Tx. Desconto Equivalente 3,85 %

8 Tx. Juros Anual (n = 12) 19 % Tx. Efetiva de Juros 20,75%

9 Capitalizações 12 Tx. Efetiva mensal 1,58%10

Tx. Desconto Equivalente 17,18%

11

Tx. Desconto Eq. Mensal 1,56%

12Tx. Desconto mensal 20 %

Tx. Desconto Eq. Diária 0,74 %

13 Capitalizações da Taxa Tx. Juros Eq. Diária 0,75 %

14 Equivalente 30 Tx. Juros Equivalente 25,00 %15 Tx. Nominal por Mês 22,40 %

i = 3% a.m.

d = 2,5% a.m.

nid

1

11 1

1

1

n

d

diou

Nestes primeiros dois casos, o procedimento é simples. Como se trata de um cálculo de equivalência de taxas com períodos unitários, ignoram-se os expoentes de ambas as fórmulas e faz-se, então, a conversão:

=1-1/(1+B2) =(1/(1-B4)) -1

i = 4% por três meses

No terceiro caso, o período de antecipação no desconto do título é de três meses. Assim, temos duas taxas de desconto equivalentes. Pela ordem, a primeira é a taxa de desconto equivalente à aplicação de uma taxa de juros por três meses, iguais aos da antecipação.

Essa taxa de desconto é para o período completo. A segunda taxa é a equivalente mensal de desconto. Repare que a taxa mensal é nada mais do que a equivalente da taxa de desconto no período de 3 meses dentro do próprio mês.

Essa é provavelmente a forma nominal que a taxa será encontrada em um banco, por exemplo. As fórmulas para esse caso são, na ordem:

=1-1/(1+B6)^B7 =1-1/(1+B6)

i = 19% a.a., com capitalização mensal

No quarto caso, a taxa dada é uma taxa de juros nominal de um ano, que tem, porém, capitalizações mensais. Isso faz com que tenhamos, primeiramente, que calcular a taxa efetiva no ano para que então possamos saber qual o parâmetro para o cálculo da taxa de desconto equivalente.

Feito isso, achamos a taxa mensal efetiva de juros e a partir desta, calculamos a taxa de desconto anual equivalente. Com a taxa de desconto anual equivalente podemos, se necessário, calcular a taxa de desconto mensal equivalente cobrada. As fórmulas para esse caso são, na ordem:

=EFETIVA(B8;12) =(1+D8)^(1/B9)-1 =1-1/(1+D9)^B9 =1-(1-D10)^(1/B9)

d = 20% a.m. (a taxa de juros equivalente será reinvestida com capitalização diária).

No último caso, pede-se a taxa de juros mensal, com capitalização diária, que seria equivalente a uma taxa de desconto mensal dada. Neste caso, convém encontrar a taxa de desconto diária, para calcular a taxa de juros equivalente diária e compô-la para os 30 dias de capitalização.

Assim, acha-se a taxa efetiva mensal (c/ capitalização diária). Para achar a taxa de juros dita nominal, aquela que seria dada em um banco, por exemplo, é só compor a taxa de juros diária com base em capitalização simples, multiplicando por 30, no caso. As fórmulas para esse caso são, na ordem:

=1-(1-B12)^(1/B14) =1/(1-D12)-1

=((1+D13)^B14)-1 =D13*B14

Exemplo:

Compra a vista e Compra a prazo

Passando na rua, você vê uma faixa na frente de uma loja que diz:

Você então entra na loja querendo comprar um computador. O preço na etiqueta é de R$ 1.500,00. No momento, porém, você só tem R$ 1.300,00.

Conversando com o vendedor, você descobre que os juros cobrados no crediário são de 7,3% a.m. Aplicando os conceitos da Matemática Financeira, qual o desconto que você pode pedir ao vendedor para pagar a vista?

A B1 Dados Resolução2 Preço a Prazo R$ 1.500,003 Taxa de Juros

(a.m.) 7,3 %4 Período 25 Taxa de Desconto

EQ. 13,14 %6 Valor Descontado R$ 1.302,847 Desconto R$ 197,16

B5 =1-1/(1+B3)^B4B6 =B2*(1-B5)B7 =B2-B6

Como a loja coloca juros implícitos no prazo concedido para o cliente pagar (lembre-se, em todo adiamento de pagamentos, juros são cobrados sobre capital) esses juros podem ser retirados se o cliente pagar a vista. Por esse motivo, o desconto a ser pedido ao vendedor é de 13,14%, para que você consiga comprar o computador com R$ 1.302,84.


Saída

f 0,000X Y 0,000

f 0,000CLX 0,000

0,073 ENTER 0,07301 + 1,07302 Yx 1/x CHS -0,86861 + 0,1314

STO 1 0,1314100 x 13,1439 Taxa de Desconto Equivalente (2

meses)

RCL 1 0,13141 - 0,8686

1.500 x CHS 1.302,8422 Valor Líquido Descontado

1.500 - CHS 197,1578 Valor do Desconto

5.4 Taxa de Juros e Taxa de Desconto

Nesse tipo de problema, quando a opção a ser escolhida envolve séries de pagamentos em prazos concedidos, o cálculo da equivalência das taxas não poderá ser feito da maneira usual. Neste caso, como ainda não vimos séries uniformes, o cálculo deve ser feito para que tenhamos um parâmetro a julgar. Veja o exemplo da próxima tela.



Saída

f 0,0000X Y 0,0000

f 0,0000CLX 0,0000

0,045 ENTER 0,04501 + 1,04503 Yx 1/x CHS -0,87631 + 0,1237

100 x 12,3703 ::> Taxa de Desconto Equivalente (3 meses)

Exemplo:

Do ponto de vista do comprador, o que é mais vantajoso: um desconto de 12% ou um prazo de 30, 60 e 90 dias no pagamento de um produto, se os juros embutidos na operação do crédito ao cliente são de 4,5% a.m.?

À primeira vista parece mais um caso no qual se pode, facilmente, achar a taxa equivalente de desconto da taxa dada de juros, ou a taxa equivalente de juros da taxa dada de desconto e comparar.

A B1 Dados Resolução2 Taxa de Juros

(a.m.) 4,50 %3 Período 3,04 Tx. Desconto

Equiv. 12,37 %

Porém, como os prazos concedidos incluem os pagamentos parciais de 1/3 do valor total em 30, 60 e 90 dias, ao invés de um só pagamento em 90 dias, há uma diferença fundamental na incidência dos juros e no cálculo do desconto equivalente.

Para facilitar a visualização e os cálculos, vamos arbitrar um valor final ao produto (de preferência divisível por 3, para facilitar) e faremos então as contas. Veja:

A B1

DadosResoluçã

o2 Valor Arbitrado R$ 9,003 Tx. Juros mensais 4,5 %4 1º Pagamento R$ 3,005 Período Concedido 16 1º Pgto.

Descontado R$ 2,877 2º Pagamento R$ 3,008 Período Concedido 29 2º Pgto.

Descontado R$ 2,7510 3º Pagamento R$ 3,0011 Período Concedido 312 3º Pgto.

Descontado R$ 2,6313 Valor Presente

série R$ 8,2514 Tx. Desconto

Equiv. 8,37 %

VP = VF/ (1+ i )^n

VP = VF/ (1+ i )^n

VP = VF/ (1+ i )^n

SOMA = 1º, 2º e 3º pagamentos descontadosD = 1 - (VP/VF) =B4/(1+B3)^B5 =B7/(1+B3)^B8 =B10/(1+B3)^B11 =SOMA(B6;B9;B12)

=1-B13/B2

Descontando cada um dos desembolsos que serão feitos em 30, 60 e 90 dias, referentes a um terço do pagamento total, vemos que o valor presente total desses desembolsos resulta em um valor menor do que se fizéssemos a composição dos 4,5% pelos três meses.

Desta forma, o desconto equivalente também será menor, como demonstrado na tabela.

Desta forma, percebe-se que o desconto de 12 % é muito mais vantajoso para o comprador.

Na HP 12C, o cálculo é feito desta forma:


Saída

f 0,0X Y 0,0

f 0,0CLX 0,0

0,045 ENTER 0,04501 + 1,04501 Yx 1/x 0,95693 x 2,8708

STO 1 2,8708 ::> 1º Pagto. Descontado

0,045 ENTER 0,04501 + 1,04502 Yx 1/x 0,91573 x 2,7472


0,045 ENTER 0,04501 + 1,04503 Yx 1/x 0,87633 x 2,6289


RCL 1 2,8708RCL 2 + 5,6180 RLC 3 + 8,2469 ::> Valor Presente da Série

9,00 CHS -0,91631 + 0,0837

100 x 8,3677 ::> Taxa de Desconto Equivalente

1 - A que taxa mensal deverá a empresa ABC aplicar seu capital de $300.000,00 para que em

dois anos e quatro meses renda juros equivalentes a 98% do próprio capital? Sua Resposta:

D - 3,5%

Resultado: Certa

2 - Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de $100.000,00 à taxa de juros simples de 60% a.m.? Sua Resposta:

C - $120.000

Resultado: Certa

3 - Um capital de $1.000.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 40% a.m. Após um semestre, qual o valor do montante obtido? Sua Resposta:

D - $3.400.000

Resultado: Certa

4 - Antonio Henrique fez uma aplicação de $40.000,00 pelo prazo de seis meses, a juros simples de 2,5% ao mês. No final desse prazo, reaplicou o montante dessa primeira aplicação pelo prazo de quatro meses, a 3,2% ao mês, a juros simples também. Determinar a taxa mensal efetiva dessas duas aplicações, no prazo total de dez meses, considerando capitalização composta. Sua Resposta:

A - 2,6362%

Resultado: Certa

5 - Uma loja está cobrando $80.000,00 à vista por um determinado produto. Como alternativa, ela oferece um plano especial, que implica numa entrada de $15.000,00, complementada por um pagamento de $67.600,00 no mês seguinte. Qual a taxa de juros que a loja está cobrando? Sua Resposta:

D - 4,0%

Resultado: Certa

6 - Se emprestarmos $100.000,00 por um ano, a taxa de 10% ao ano além da correção monetária (taxa real, portanto) quanto deveremos receber, em moeda corrente, considerada uma inflação de 10% no ano? Sua Resposta:

C - $121.000,00

Resultado: Certa

7 - Cristina precisa ir ao banco para tomar emprestados $850,00. O pagamento deverá ser efetuado daqui a 60 dias e foi anunciada a cobrança de uma taxa de 6,5% a.m. Por quanto tempo (dias) o empréstimo deverá ficar retido no banco, de forma que o banco alavanque seu ganho para 8% a.m.?

Sua Resposta:

B - 15

Resultado: Certa

8 - A Limpa Bem Comercial Ltda. possui duas notas promissórias que vencem dentro de 60 e 120 dias, com valores de $22.000,00 e $37.000,00, respectivamente, e deseja liquidá-las antecipadamente. Calcule o valor a ser desembolsado para uma taxa de desconto racional de 2,8% ao mês. Considere o regime de capitalização composta. Sua Resposta:

E - $53.948,47

Resultado: Certa

9 - Uma nota promissória de $12.000,00 foi descontada num banco 42 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual a taxa efetiva de juros da operação no período, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória, pago no dia em que a empresa descontou? Sua Resposta:

D - 3,41%

Resultado: Certa

10 - Encontre o desconto por um título de valor nominal (valor de face) $1.000,00 que será descontado um mês antes de seu vencimento. A taxa de juros é de 8% a.m. Sua Resposta:

C - $74,07

Resultado: Certa

11 - Um cliente fez uma operação de desconto junto a um banco cujo valor de face foi de $220,00, valor líquido recebido $198,00, cuja operação tenha ocorrido 21 dias de antecedência do vencimento. Nestas condições, calcule a taxa mensal de desconto utilizada pelo banco. Sua Resposta:

A - 14,29%

Resultado: Certa

12 - Após economizar uma parcela substancial em seus salários, Marcos conseguiu economizar um principal igual a $48.600,00, que aplicou a 22% ao ano. Algum tempo depois, o gerente do banco propôs aumentar essa taxa para 25% ao ano. Determine o número de dias em que vigorou a primeira taxa, sabendo-se que o valor de resgate dessa aplicação no final de 48 meses foi de $94.284,00. Todos os cálculos devem ser feitos no regime de juros simples, com as taxas de juros sendo aplicadas sobre o principal no valor de $48.600,00 e considerando o ano comercial nos cálculos. Sua Resposta:

E - 720

Resultado: Certa

13 - Um banco cobra de seus clientes 28% ao ano no regime de juros simples para saldos negativos em conta especial. O banco sempre efetua seus cálculos com base no ano comercial. Quais os juros que o banco cobrará para uma conta que ficou 'estourada' em $4.200,00 por 16 dias? Sua Resposta:

A - $52,67

Resultado: Certa

14 - Cintia aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a. durante um ano; o restante foi dividido em duas parcelas iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda a 32% a.a. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cintia deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. Sua Resposta:

A - 30,0%

Resultado: Certa

15 - Uma pessoa quer adquirir um bem cujo valor à vista é de $300.000,00. Qual seria o valor das prestações caso houvesse a possibilidade de pagar em 4 prestações iguais, iniciando no próximo mês, considerando uma taxa de juros de 2% ao mês? Sua Resposta:

B - $78.787,13

Resultado: Certa

16 - O valor financiado na compra de uma mercadoria é de $4.500,00, sendo de R$1.780,00 o valor de cada uma das quatro prestações, vencendo a primeira 30 dias após a compra. Calcule a taxa de juros mensal paga pelo financiamento. Sua Resposta:

D - 21,26%

Resultado: Certa

17 - Um determinado cliente solicitou um empréstimo no valor de $12.000,00. O gerente afirmou que a taxa seria de 8% a.m. e o empréstimo deveria ser pago em 4 prestações mensais e iguais. Para calcular o valor das prestações, o gerente multiplicou 8% por 4 e encontrou 32%, que corresponderiam aos juros. Então, ao somar o valor do empréstimo com os juros encontrou $15.840,00 que dividido por 4 resultam num valor de $3.960,00 para cada prestação. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessa operação. Sua Resposta:

C - 12,11%

Resultado: Certa

18 - Encontre o valor recebido por um título de valor nominal (valor de face) $1.000,00 que será descontado em um Banco Comercial (desconto por fora) um mês antes de seu vencimento. A taxa de desconto é de 8% a.m. Sua Resposta:

A - $920,00

Resultado: Certa

19 - João pagou, mediante cartão de crédito, a quantia de $625,00, referente à compra de um aparelho de som, realizada há 52 dias. Sabendo-se que o custo de oportunidade dos recursos do cliente foi igual a 3,3% a.m., por quanto poderia ter saído o eletrodoméstico se comprado à vista? Sua Resposta:

B - $590,80

Resultado: Certa

20 - Um lojista está planejando uma promoção de vendas do tipo 'leve agora e pague somente daqui a 30 dias'. O preço publicado para a venda em 30 dias para um certo vestido é de $350,00. Sabendo-se que o lojista concede desconto de 20% sobre este preço de venda, qual será o valor do vestido caso o cliente desejar pagar à vista? Sua Resposta:

C - $280,00

Resultado: Certa

matematica financeira

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