matemÁtica ensino médio, 1º ano relações métricas num triângulo qualquer
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MATEMÁTICAEnsino Médio, 1º Ano
Relações métricas num triângulo qualquer
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando o triângulo retângulo abaixo, vamos destacar os seus elementos:
Com esses dados vamos considerar os triângulos:
que por possuírem dois ângulos congruentes são semelhantes:
BC a hipotenusa
AB c catetoAC b cateto
AH h altura
BH m =Projeção catetoc sobre a hipotenusa
HC n =Projeção catetob sobre a hipot.
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
I –Comparemos os triângulos
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
) aacbh
. .b c a h • O produto das medidas dos catetos é igual ao produto damedida da hipotenusa pela medida da altura relativa a mesma.
) abccm
2 .c a m • o quadrado de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela projeção do mesmo sobre ela.
) b cch m . .c h bm • o produto da medida de um cateto pela altura é igual
ao produto da medida do outro cateto pela projeção doprimeiro.
II- Comparemos o
) hanmh
2 .h m n
• O quadrado da altura é igual ao produtodas medidas dos lados das projeções.
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FIQUE LIGADO!!!
Poderíamos, de forma não matemática, fazer “cortes transversais”, nos triângulos para obter essas relações, ou seja:
I) 2 .c a m II) 2 .b a n
III)
n
2 .h m n IV). .b c a h
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V) VI)
VII) . .c h b m . .b h c n
2 2 2a b c
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APLICAÇÕES:
1) No triângulo retângulo ABC abaixo,
determine a , m , n e h.
Resolução:
I) Para calcular o valor da hipotenusa
a,vamos usar Pitágoras:
II) Conhecida a hipotenusa a, vamos
usar as dicas para achar m e n:
Como:
III) Por último, para achar a altura h,
Podemos recorrer a várias relações,
por exemplo:
2) ( FAFI – BH) Considere um triângulo ABC retângulo em A e, nele, tome
2 2 2a b c 2 2 26 8a 2 36 64a
2 100a 100a 10a
26 10.m 3610
m 3,6m
m n a 3,6 10n
6,4n
2 .h m n 2 3,6.6,4h 2 23,04h
23,04h 4,8h
AH
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como sendo a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. Se cm e cm, então o comprimento do segmento em cm, valerá quanto?
Resolução:
Logo:
cm
3) (UFPA) O perímetro do pentágono PENTA da figura abaixo valerá quanto?
Resolução:
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
144BH 65AC AB
2 2 2 2
2
.144 65 144 65 144
144 20376 0169144 20376 16900 144 194252 2
c a a a a a
a a
a anão serve
2 169.144 156c c
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 4 4 2
4 16 32 4 3
4 48 16 8
a b c a a
b a b b
c b c c
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4) (PUC – MG ) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são 1 cm e 2 cm. A medida da altura do triângulo relativa à hipotenusa, em cm, é igual a quanto?
Resolução:
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
cm.
Como pela relação trigonométrica IV, temos os catetos e a hipotenusa, pode- mos achar a altura por:
cm.
5) (CESGRANRIO – RJ) Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triângulo medirá quanto?
Resolução:
Como conhecemos a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, podemos recorrer as relações IV e I, ou seja:
2 2 22 1 5a a
2 5 2 5. . 2.1 5. .55 5
b c a h h h
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RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
Vamos analisar a seguinte situação:
Um navio, navegando em linha reta,
passa pelo ponto A, distante 6 milhas
de um farol C . No mesmo instante, o comandante, de outro navio se encontra num ponto B, distante 15 milhas do farol C, de tal modo que o ângulo de visão de um observador que se encontra no farol C e vê os dois navios é de 30º. Qual a distância entre os dois navios nesse instante?
Para facilitar nosso entendimento, va-
mos montar uma figura para expressar
o modelo matemático.
2
2
. 144 9. 16
15.9 15
h m n n n
c c
6
15
x
30
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Pelo desenho, é possível verificar que devemos determinar a medida de um lado de um triângulo que não é triângulo retângulo, quando são conhecidas as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar. Como o triângulo não é retângulo, não podemos aplicar as relações dadas anteriormente. Vamos, então conhecer outras relações aplicadas em triângulos acutângulos ou obtusângu-los, utilizando uma importante ferramen- ta que é a Lei dos senos e a Lei dos cossenos. LEI DOS SENOS
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:
Ex.: No triângulo da figura abaixo,
Calcule a medida b.
a
b c
a b csen sen sen
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Resolução:
Utilizando a Lei dos senos, temos:
LEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, o quadrado da medi-da de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, subtraído do dobro produto desses doislados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.
3045º
b 2
230º 45ºb
sen sen 1
2
b222
22b 2
2
22
b222 22
2
a
b c
2 2 2 2. . .cosa b c b c 2 2 2 2. . .cosb a c a c 2 2 2 2. . .cosc a b a b
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Estamos em condições, agora, de resolver a situação-problema colocada no início deste assunto.
Pela lei dos cossenos, temos:
Observação:
A lei dos senos ou dos cossenos pode ser usada para calcular as medidas dos lados ou dos ângulos de quaisquer triângulos independetemente dos dados fornecidos, porém, para efeito didático, podemos: Aplicar a lei dos senos se no
triângulo dado, tivermos mais ângulos conhecidos do que lados;
Aplicar a lei dos cossenos em caso contrário, ou seja, quando são conhecidos mais lados do que ângulos.
6 x
1530
2 2 2
32
6 15 2.6.15.cos30ºx
2 36 225 2x 3.90.2
2 261 90 3x 261 90 3x
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS
1) (FAFI – BH) Considerando a figura abaixo, o quadrado do comprimento do segmento valerá quanto?
Resolução:
No
Ainda no retângulo:
No , aplicando a lei dos cossenos, temos:
2) Num triângulo retângulo ABC temos
=3 m , e .
a) Se m , calcule
b) Se , oposto ao lado
Calcule
AB
:BCD 3 5 330º5 3 5 3x xtg x
BCD
2 2 2 2 25.3 10 35 259 3
y x y y
ABD
2 2 2
2
2
4 2.4. .cos 45º
100 2.4.10 3 216 .3 3 2
148 40 63
AB y y
AB
AB
AC 4BC m ˆBAC
3AB cos ;ˆABC 60º ,AC
.sen
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Resolução:
a) Aplicando a lei dos cossenos, temos:
b) Aplicando a lei dos senos, temos:
Como , nestas condições não existirá o triângulo.
3) (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:
2 2 2 2 .cos16 9 9 2.3.3.cos16 18 18.cos
2 1cos cos18 9
a b c bc aa
a
a a
360º 23 4 3 4
3 1 2 3. .42 3 3
sen sen sena
sena sena
1sena
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Os segmentos simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Pela Lei dos Senos, segue que:
4) (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
AB, BC, CA
AB 80 m.
160 3 m3
80 3 m3
16 3 m3
8 3 m3
3 m3
AB 80 80 3 80 32R 2R R m.sen60 33 3 3
2
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a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
Resolução:
a)
Visada Ângulos
6π
^BCD 3
π^
ABC
6π^
A CB
No triângulo ABC assinalado, temos:
2 2 2
2 2
2
2
15 x x 2 x x cos1201225 2x 2x2
225 3x
x 75
x 5 3m
b)
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No triângulo BDC, temos:
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
Através de conhecimentos de séries an-
teriores, vimos que a área de um triângu-
lo podia ser calculada por
Porém, existem situações em que não te-
mos informações sobre as medidas da ba-
se e da altura, como o exemplo abaixo:
Qual a área de um terreno triangular,
conforme figura abaixo, cujas dimensões
são de 5m e 8m e o ângulo entre eles
mede 30º?
Resolução:
Vejamos o modelo matemático desse
terreno:
2 2 2
2
y 15 10 2 15 10 cos60
y 225 100 150
y 175
y 5 7m
;..2
b baseb hSh altura
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Para resolver este problema, usaremos a
seguinte relação:
A área de qualquer triângulo é igual ao
semiproduto das medidas de dois lados
pelo seno do ângulo formado por eles.
Então, considerando o triângulo dado
temos:
REVISÃO GERAL
1) (Ufrn- 2012) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir.
5.85.8. 30º
2senS
4 1.2 220 10
2 2m
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Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo.
O valor encontrado pelo fiscal
a) estava entre 30° e 45°;
b) era menor que 30°;
c) foi exatamente 45°;
d) era maior que 45°.
Resolução:
Seja o ângulo que a rampa faz com o solo.
O ângulo é tal que
Desse modo, como a função tangente é crescente e segue que
2) (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de
α 12tg 0,50.24
α
3tg30 0,58 0,50,3
30 .α
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seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que , onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que
, a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de:
a) 10.
b) 50.
c) 100.
d) 250.
e) 600.
Resolução:
Considere a figura.
8 22 3 93,4 215 100
cos 0,934 α
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos triângulos retângulo e qualquer.
Sabendo que
e que
pela Lei dos Cossenos, vem:
Portanto, como temos que a velocidade média pedida é dada por
3) (Ufpr 2012) Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície?
ET 360km, ST 320km,
cos 0,934 8 22 3 93,4 215100,
2 2 2
2 2 2
2 2 2 5
2 8 2
2
ES ET ST 2 ET ST cos
ES 360 320 2 360 320 0,934
ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4
ES 232000 2 3 93,4
ES 232000 215100
ES 16900 ES 130km.
1313min h,60
130 600km h.1360
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a)
b) 1 cm
c)
d)
e)
Resolução:
1 cm2
3 cm2cm
2
2 cm
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Logo,
o 3 1 3sen30 AO 6cmAO 2 AO
6 3 x 8 x 1cm
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4) (Ufrn 2012) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de
a) 18 m.
b) 8 m.
c) 36 m.
d) 9 m.
Resolução:
Se é a distância procurada, então:
d 2 d 8 m.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Matemática:ciência e aplicações, 1: ensino médio/Gelson Iezzi...(et al).- 6.ed.-São
Paulo: Saraiva, 2010. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1:ensino médio/Jackson Ribeiro-
São Paulo:Scipione,2010. Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar: matemática:1/Joamir Roberto de Souza.-
2.ed.-São Paulo:FTD, 2013. História da matemática / Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza
F. Gomide – 2ª ed. -- São Paulo: Blücher, 1996. Matemática: conceito e aplicações/ Luiz Roberto Dante.-São Paulo:Ática,2010. Matemática fundamental: uma nova abordagem:ensino médio:volume único/
José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr.-São Paulo: FTD, 2002.