GABARITO

1Matemática D

Matemática D – Extensivo – V. 2

Exercícios

01) a) 403

b) 21

a) Pelo Teorema de Tales, temos:

83 5=

x → x = 403

b) Pelo Teorema de Tales, temos: 12

4 7=

x → x = 21

02) D

A partir do Teorema de Tales, temos:

4 1012x

= → 48 = 10x → x = 4,8

4 83 6

12,,=

y → 48y = 36 : 12 → y = 9

x + y = 4,8 + 9 = 13,8

03) E

A partir do Teorema de Tales:

x115

153

= ⇒ x65

= 5 ⇒ x = 6

55. ⇒ x = 6

04) a = 9 b = 15 c = 21

Pelo Teorema de Tales:

a b c+ +15

= a3

→ 4515

= a3

→ a = 9

4515

= b5

→ b = 15

4515

= c7

→ c = 21

05) C

Pelo Teorema de Tales:

x y+14

= x8

, como x + y = 42, temos 4214

= x8

→ x = 24

x y+14

= y6

→ y = 18

x – y → 24 – 18 = 6

06) A

Pelo Teorema de Tales:x x

20040250

=+

250x = 200x + 800050x = 8000x = 160

07) C

A partir do Teorema de Tales:480

30 60 90 120+ + + = x

30 →

480300

= x30

→ 480300

. 30 = x → x = 48

480300

= y60

→ 480300

. 60 = y → y = 96

480300

= z90

→ 480300

. 90 = z → z = 144

480300

= w

120 → 480

300 . 120 = w → w = 192

08) D

Altura

A

BC

Altura

09) D

Bissetriz

GABARITO

2 Matemática D

10) D

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° e que o suplemento de um ângulo α é 180 – α.

86°

43°

B

A

�

Temos que 180 – 86 = 94.Sendo  = x94 + 43 + x = 180x = 180 – 137x = 43

Como AB é bissetriz do ângulo  = x, temos:

94 + α + x2

= 180

94 + α + 432

= 180

α = 180 – 94 – 21,5α = 64,5

11) B

Note que AM é mediana do ΔABC, que é retângulo, e a medida da mediana de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.

A

B H

40°

M C

x 50°

Portanto: AM = BM = MC e então Δ ABM é isósceles e também

BAM = ABM = x.No Δ AHM temos 40 + 90 + AMH = 180AMH = 50.Assim, no Δ ABM, 50 + 2x = 1802x = 130x = 65

12) 02

Pelo Teorema de Tales, temos:4 5,x

= 6 2,y

e sabemos que x + y = 6, portanto y = 6 – x

4 5,x

= 6 2,y

4,5(6 – x) = 6,2x

45 610

6210

( )−=

x x

270 – 45x = 62x 270 = 107x

x = 270107

x = 2,...

270214

107

5602,(...)

Parte inteira é 2

13) D

40°

50°

A

C B

Temos A = 40°, B = 50° em um triângulo ABC. Portanto, C = 90°, pois A + B + C = 180°. Note que as alturas relativas aos vértices A e B são os catetos do triângulo ABC, portanto o ângulo formado entre eles é 90°.

14) 12

15) B

Temos Δ ABC retângulo em A e AM mediana. A medida da mediana de um triângulo retângulo relativa à hipote-nusa é igual à metade da hipotenusa. Assim, AM = MC. Então Δ ABC é retângulo e ABC = 60°.Logo, MAC = 30°.

A

BR

60°

CM

30°

30°

Como R é bissetriz do ângulo  = 90°, temos:BAR = RAM + 30°45° = RAM° + 30°

GABARITO

3Matemática D

16) D

A

B C

6

2

x

5D E

6 y

Usando a semelhança entre os triângulos ABC e ADE, temos:x

x+=

568

8x = 6x + 302x = 30x = 15

Aplicando o teorema da bissetriz no triângulo ABC, temos:86

20=

y8y = 120y = 15Logo, x + y = 30

17) D

A

BD C E

x y Z

812

Teorema da bissetriz interna:12 8x y=

12y = 8x

y = 812x

y = 23x

Teorema da bissetriz externa:12 8

x y z z+ +=

12z = 8z + 8y + 8z4z = 2x + 2yz = 2z+ 2y

z = 2x + 2 . 23x ⇒ z = 10

3x

BC

CE

x yz

xx

x

x

x=+=+

=

23

103

53

103

= 12

18) C

• AH sai do vértice e forma um ângulo de 90° ao lado oposto, logo AH é altura.

• AD divide o ângulo  ao meio, logo AD é bissetriz.•AM sai do vértice e intercepta o lado oposto em seu

ponto médio, logo AM é mediana.• m é uma reta que divide o lado ao meio e forma 90°

com o lado BC, portanto m é mediatriz.

19) 31

C

D

F

E

A

M

B

x 2x

01. Verdadeiro. E é o baricentro desse triângulo. Como a semireta AE passa pelo baricentro, então ela intercepta o lado BC em seu ponto médio.

02. Verdadeiro. Como CM parte de um vértice do tri-ângulo e divide o lado oposto ao meio, então CM é mediana.

04. Verdadeiro. É na intersecção de duas medianas, logo é o baricentro do triângulo.

08. Verdadeiro. A base do triângulo AEM é metade da base do triângulo ABC. Como E é baricentro, a al-tura do triângulo menor está para a do maior assim

como 1 está para 3. Logo, h = H3

.

A = b h.3

⇒ A =

B H2 32

.

A = B H..

216

↓ Área do triângulo ABC

GABARITO

4 Matemática D

16. Verdadeiro. Veja que os triângulos ABM e ACM têm as suas bases congruentes e também a mesma altura. Portanto suas áreas são iguais.

A

BM

C

h

20) B

A

30302/3

1/3

B C

15 15

Pitágoras:302 = 152 + h2

300 = 225 + h2

h2 = 675

h = 15 3

OA = 23

. 15 3 = 10 3

Como o triângulo ABC é equilátero, OA = OB = OC,

logo OB = 10 3.

21) a) 12

b) 7 c) 2

d) 32

B

C

M

1

A

2

2

a) sen α = cat ophipot

..

⇒ sen α = 12

b) Como sen α = 12

, então α = 30° e, consequentemen-

te, AM�C = 120°.

120°

xC

M

1

A

2

Lei dos cossenos: x2 = 12 + 22 – 2 . 1 . 2 . cos 120° x2 = 1 + 4 – 4 . (–cos 60°)

x2 = 5 – 4 . (–12

)

x2 = 5 + 2 x2 = 7

x = 7

c) A altura relativa ao lado AB deve sair do vértice C e

formar um ângulo de 90° com o lado AB ou seu prolongamento.

B

C

30°

H

h

A

sen 30° = h4

12

= h4

⇒ h = 2

d)

7

120°

C

M

1

A

2

AΔ = a b sen C. . �

2 ⇒ AΔ = 1 2 120

2. . sen °

AΔ = 2 60

2

. sen ° ⇒ AΔ = 3

2

GABARITO

5Matemática D

22) D

A B

P

M

r

a) Verdadeiro. Ao tomar um ponto P so-bre r, verifica-se que Δ ABP é isósceles

e, portanto, PA PB= .b) Verdadeiro. O ponto de encontro das

mediatrizes de um triângulo é o circun-centro.

c) Verdadeiro. A mediatriz é o conjunto de todos os pontos de um plano que equidistam de A e B respectivamente. Se um ponto não pertence à mediatriz de um segmento, esse ponto não equi-dista dos extremos do segmento.

d) Falso. As mediatrizes de um triângulo se encontram num mesmo ponto deno-minado circuncentro.

e) Verdadeiro. Existe uma única mediatriz em um dado segmento.

24) A

Q

P P5

y

A

B C

8

x + y = 16

Semelhança: 58 16=

y ⇒ 8y = 80 ⇒ y = 10

Como x + y = 16, então x = 6.

23) B

Desigualdade triangular:a b− < c < a + b

Essa é a condição para que três seg-mentos formem triângulo. Aplicando a desigualdade no triângulo (II), temos:|(x + 3) – (x + 8)| < x + 3 < (x + 3) + (x + 8)|5| < x + 3 < 2x + 115 < x + 3 < 2x + 112 < x < 2x + 8

Com x > 2, o menor inteiro que x pode assumir é x = 3.

25) 29

Semelhança:

E

x

BD

10

18

15

C

A B

x + 10

y + 18

1015

= x

x+10

1015

= 1818y+

10x + 100 = 15x 10y + 180 = 1705x = 100 10y = 90x = 20 y = 9

x + y = 29

26) A

Pela semelhança de triângulos temos:165 4=

l uraarg ⇒ largura = 644

= 12,8 m

GABARITO

6 Matemática D

27) A

24

x

12

y

26

29) B

poste

bastão

x

1 m

12 m 0,6 m

Pela semelhança de triângulos:2412

= yx

⇒ 2412

= 10x

⇒ 2 = 10x

⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5

262 = y2 + 242

676 = y2 + 576 y2 = 100y = 10

28) E

Por semelhança:

AFAB

FGBC

= ⇒ 36 6

2,=

BC ⇒ 3 BC = 13,2 ⇒ BC = 13 2

15,,

 = 4,4

ABBD

ACEC

= ⇒ 6 615 2,,=

AC ⇒ 1,5 AC = 13,2 ⇒ AC = 13 2

15,,

 = 8,8

AB + BC + AC = 6,6 + 4,4 + 8,8 = 19,8

30) A

Perímetro do primeiro triângulo: 7 + 9 + 14 = 30 dm.

Seja x o perímetro do triângulo procurado, então: 1421

30=

x ⇒ 14 x = 21 . 30 ⇒ x = 45 dm

Por semelhança de triângulos:x1

= 120 6,

⇒ x = 120 6,

= 20

GABARITO

7Matemática D

31) C

16 m 2 m

x

1,5 m

árvore

vassoura

Por semelhança de triângulos:x15

162,

= ⇒ 16 152

242

. ,= = 12 m

34) B

A

D

B

E

a

a/2

b

aC

Por semelhança de triângulos:a

a

b

a

/ 2= ⇒

a2

= b ⇒ a = 2b

32) C

Por semelhança de triângulos:

AC

CE

BC

CD= ⇒

42

= 5

CD ⇒ CD =

104

= 2,5 cm

AC

CE

AB

DE= ⇒

42

= AB3

⇒ AB = 122

= 6 cm

CD + AB = 2,5 + 6 = 8,5 cm

33) A

A

B C

15

10

x

20

15

Por semelhança de triângulos:x15

1520

= ⇒ x = 15 1520. = 11,25

36) D

Como podemos observar, o comprimento dos degraus é na verdade 5 termos consecutivos de uma PA, em que o 1º termo é a1 = 30, o 5º termo a5 = 60 e n = 5. Logo, a soma desses comprimentos é dada por:

S = ( ). ( ). .a a1 5 52

30 60 52

90 52

+=

+= = 225 cm

35) C

B

A C

6 cm

x 5 cmP

Por semelhança de triângulos:

AB

AP

AC

AB xx

= ⇒ =+6 56

⇒ x2 + 5x = 36

x2 + 5x – 36 = 0 x1 = –9 x2 = 4

O maior lado é AC = x + 5 = 4 + 5 = 9

GABARITO

8 Matemática D

37) C

C

DX

A

B

2

P

A'2

A'1

A1

R

A2

6 1

k

Como P = k + 2, concluímos que XD = 2.

Vamos pensar no triângulo retângulo AXR:

Como BC = 6 e XB = 2, temos que:

AR = BC – XB

AR = 6 – 2

AR = 4

AX AR XR2 2 2= +

AX2 = 42 + 32

AX2 = 25 ⇒ AX = 5

Vamos igualar as áreas de Tico e Teco.

Área hachurada: A1 + A2

6 . 2 + 3 . k = 3k + 12

Área branca: A A1 2’ ’+

6 . 1 + P . 3 = 3P + 6

Área hachurada = área branca: 3k + 12 = 3P + 6 3k + 6 = 3P k + 2 = P

38) 28

aa

B

c

CA

b

10 cm

H

14 cm

E

01. Falso. a + b + c = 54 cm a + 24 + c = 54 cm a + c = 30 cm

02. Falso. No triângulo BHC, o ângulo BH�C é obtuso, enquanto no triângulo BHA não há ângulos obtusos. Logo, eles não são semelhantes.

04. Verdadeiro. Como BH // EC, e seja BÊC = α, temos que BÊC = AB�H (colaterais). Também sabemos que BH é bissetriz do triângulo ABC, logo

AB�H = HB�C = α. Além disso, HB�C = EC�B = α (alternos internos). Portan-

to, concluímos que BÊC = EC�B = α. 08. Verdadeiro. Pelo teorema da bissetriz interna:

c a10 14= ⇒ 14c = 10a e

a + c = 30 ⇒ a = 30 – c 14c = 10(30 – c) 14c = 300 – 10c 24c = 300

c = 30024

= 12,5 cm

16. Verdadeiro. No item 04, mostramos que BÊC = EC�B, logo o triângulo

CBE é isósceles e BC = BE = a.

GABARITO

9Matemática D

39) E

H

H2

AB

H1

H3

C

No triângulo H1HB temos:2α + α + 90° = 180°3α = 90°α = 30°

40) D

h

A

1,2

C

B

1,8

1

1

60° 60°

60°

D E

1

1/2

Traçamos a altura do triângulo equilátero a partir do vértice C. Portanto, temos dois triângulos retângulos,

sendo B� comum aos dois. Logo, são triângulos semelhan-tes.

Seja h e h' as alturas dos triângulos maior e menor res-pectivamente. No triângulo equilátero temos:

sen 60° = h’1

⇒ 32

= h’1

⇒ h' = 32

Por semelhança:

ABCB

hh

h= ⇒ = ⇒

’ ,.3

18 32

3 32

= 1,8 h

h = 3 33 6

30 336

5 36,

= =

41) D

Um triângulo equilátero é também isósceles, pois um triângulo isósceles tem dois lados iguais, condição esta que é satisfeita no triângulo equilátero.

42) 116°

3x + 40° + 2x + 30° = 180°5x = 180° – 70°

x = 1105° = 22°

3x + 40° = y – 10°3 . 22° + 40° = y – 10°66° + 40° + 10° = yy = 116°

43) 17

Como em um paralelogramo as diagonais se dividem ao meio, temos:5x = 30 e 2y + 4 = 26x = 6 e 2y = 22 ⇒ y = 11x + y6 + 11 = 17

44) 6 cm

60° 60°

h

x x

A diferença da medida das bases é dada por x + x, ou seja:2x = 4 3x = 2 3

tg 60° = hx

⇒ 3 = h

2 3 ⇒ h = 2 . 3 = 6 cm

45) C

I. Falso. Podemos pensar em um losango. Ele tem dois ângulos agudos que são opostos. Logo, a soma desses ângulos não é 180°.

II. Verdadeiro. Os ângulos opostos de um paralelo-gramo são iguais, logo seus ângulos consecutivos são suplementares.

III. Verdadeiro. Por definição, o losango possui lados opostos paralelos e diagonais que se interceptam perpendicularmente no ponto médio uma da outra.

GABARITO

10 Matemática D

46) B

D

Q

B

C

P

A

2x

x

x

4x

h

A área do retângulo é dada por:4x . h = 28 ⇒ x . h = 7Temos que a altura do triângulo PQC é DC, ou seja, h.

Logo, sua área é B h x h. .2 2

72

= = = 3,5 cm2

47) A

M

D C

BA

6 6

8

Aplicando Pitágoras no triângulo ABC encontraremos AC = 10.

Temos que os triângulos ABC e AMD são semelhantes, logo:

BC

AM

AC

AD AM= ⇒ =

6 106

⇒10AM = 36 ⇒ AM = 3610

185

=

48) E

10a

b

a + b = 14a = 14 – b

a2 + b2 = 102

(14 – b)2 + b2 = 100196 – 28b + b2 + b2 = 1002b2 – 28b + 96 = 0b2 – 14b + 48 = 0b1 = 6 b2 = 8

a . b = 6 . 8 = 48

49) E

D

E

A F B

C

y

y

2x x

Seja AD = 2y e AB = 3x, então DE = y e FB = x. Sabemos que a área do retângulo ABCD é igual

à soma da área hachurada mais as áreas dos triângulos FCB e EDC.

AT = Ahachurada + AΔ FCB + AΔ EDC

2y . 3x = 7 + x y y x. .22

32

+

6xy = 7 + 2 32

xy xy+

6xy = 7 2 52

. + xy

12xy = 14 + 5xy7xy = 14xy = 2

Área do retângulo ⇒ 2y . 3x = 6xy = 6 . 2 = 12

50) As áreas são iguais.

D

A E

G C

B

FH

Se ligarmos os pontos G a E e H a F formaremos 4 quadrados iguais de mesma área, sendo cada um desses quadrados dividido em dois triângu-los de mesma área, um branco e um hachurado. Portanto, a superfície branca e a hachurada têm mesma área.

GABARITO

11Matemática D

51) D

10

200

10

200 1010

A área total do fosso é dada pela soma das áreas dos triân-gulos destacados em vermelho mais a soma das áreas dos quadrados em branco.

AT = 4 . (200 . 10) + 4 . (10 . 10)AT = 4 . 2000 + 4 . 100AT = 8000 + 400AT = 8400 m2

A quantidade de monstros é dada por: 8400 . 0,01 = 84. Temos 84 monstros, ou seja, 84 sacos para serem consu-

midos.

52) R$ 868,00

As medidas da planta da sala são 2 cm . 3,5 cm.

Portanto, a medida real é:

13 5

200,=

a ⇒ a = 700 cm = 7 m;

12

= 200b

⇒ b = 400 cm = 4m;

O rodapé é dado pelo perímetro da sala, ou seja: 2(7 + 4) = 2 . 11 = 22 m 22 m . 14 = R$ 308,00.

O carpete é dado pela área da sala, ou seja: 7 . 4 = 28 ⇒ 28 . 20 = R$ 560,00

Gasto total: 308 + 560 = R$ 868,00

53) A

A H

GB

C F

ED

a

a

a

a a

a a

a

a

a

x x

x x

x x

x x

Aplicando Pitágoras temos que:

a2 = x2 + x2 ⇒ a2 = 2x2 ⇒ x2 = a2

2 ⇒ x =

a

2 ⇒ x = a 2

2

A = ( ). ( ). ( ).B b h x a a x x a x+=

+ +=

+2

22

22

= x2 = ax = a 22

2

+ a . a 2

2

2

= 24

2a + a2 22

= a2

2 + a

2 22

= a a2 2 22+

A = a . (2x + a) = 2ax + a2 = 2 . a . a 22

+ a2 = a2 2 + a2

AA

=

a a

a a

2 2

2 2

222

+

+ =

12

54) C

Separando a figura em 16 triângulos retângulos congruentes, percebemos que as figuras 4, 6 e 7 possuem a mesma área.

Na figura 7 descobrimos que essa área é:

b h. .

22 22

42 8

2

2

= = =

� � �� .

GABARITO

12 Matemática D

55) D

x

2x – 4

Perímetro:2(2x – 4 + x) < 4002(3x – 4) < 4006x – 8 < 4006x < 408x < 68

56) D

8

6

62

Área do passeio é:b . h = 2 . 6 = 12 m2

57) C

Temos que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AEF.

ABAE

ACAF AE

AF

AF= ⇒ =

6 3 ⇒ 3AE = 6 ⇒ AE = 2

BCEF

ABAE EF

= ⇒ =9 6

2 ⇒ 6EF = 18 ⇒ EF = 3

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo AEF:AF2 = AE2 + EF2 – 2 . AE . EF . cos 120°

AF2 = 22 + 32 – 2 . 2 . 3 . (– 12

)

AF2 = 4 + 9 + 6

AF = 19 ≅ 4,35

Temos que FC = 2FA = 2 . 4,35 = 8,7Perímetro EBCF = EB + BC + CF + FE = = 4 + 9 + 8,7 + 3 = 24,7

58) A

Sejam d1 e d2 as diagonais desse losango.d1 + d2 = 6 ⇒ d1 = 6 – d2 A área é dada por:

d d d d d d dd1 2 2 2 2

22 2

2

226

26

2 23

. ( ).=

−=− +

=−+

Descobrimos que a área do losango é dada através de uma função de 2º grau, a qual representa uma parábola com cavidade voltada para baixo. Logo, a área máxima é dada pelo y do vértice.

Yv = −=−

−=−−

∆4

3

412

92

2

a( )

. = 4,5 m2

59) D

A

D

F

E

B

C

10 10

10

Logo, FB = 102

= 5

Como Δ EFC é equilátero, traçando a altura relativa ao vértice F, teremos o lado EC dividido ao meio.

60) E

D C

BA

M

N

20 m

15 m

Sabemos que a área do triângulo

DBC = b h. .2

20 152

= = 150 m2

Como DM = MN = NB e a altura dos triângulos ΔDMC, ΔMNC e ΔNCB é a mesma, então as áreas desses triângulos são iguais.

Área ΔCMN = 1503

= 50 m2

GABARITO

13Matemática D

61) 14

01. Falso. O quadrilátero ADBC não possui um par de lados paralelos.

02. Verdadeiro. Sendo o triângulo ADB isósceles e o

ângulo DB�A medindo 60°, então o triângulo é equi-látero.

04. Verdadeiro. Como o triângulo ABC é isósceles, então BÂC = 45°.

O ângulo CÂD = DÂC + BÂC = 60° + 45° = 105°.08. Verdadeiro. A área S do quadrilátero ADBC é igual

a soma das áreas dos triângulos ABD (equilátero) e ABC (retângulo isósceles), logo:

S = � � � � �2 2 2 2 234 2

3 24 4

+ =+

= ( 3 + 2).

16. Falso. No triângulo DBC, isósceles, por uma das propriedades dos triângulos, temos DC < 2l.

Dividindo os dois membros da desigualdade pela

medida AB, tem-se DC

AB < 2��

⇒ DC

AB < 2.

Então se x = DC

AB é falso, 2 < x < 3.

62) C

Y W

M O

XP

Z

N

U

V

Sabemos que YP e ZM são medianas do triângulo ZXY. Portanto, U é o ponto de encontro das medianas e, como o triângulo ZXY é isósceles (YX = XZ), podemos afir-mar que os triângulos ΔYUX, ΔXUZ e ΔYUZ possuem mesma área.

A área do triângulo YXZ = b h. .2

12 122

1442

= = = 72 m2.

Logo, a área do triângulo YUZ = 723

= 24 m2.

A área do triângulo YVZ é igual à do triângulo YUZ. Portanto, a área do quadrilátero ZUYV é a soma das

áreas de ΔYVZ e ΔYUZ, ou seja, 24 + 24 = 48 m2.