GABARITO

1Matemática E

Matemática E – Extensivo – V. 7

Exercícios

01) B

P(x) = x³ + ax² − x + b é divisível por x − 1. Pelo teorema do resto, x = 1 é raiz de P(x).

P(1) = 1³ + a . 1² − 1 + b ⇒ a + b = 0

Da mesma maneira, P(x) é divisível por x − 2. Pelo teorema do resto, x = 2 é raiz de P(x).

P(2) = 2³ + a . 2² − 2 + b = 0 ⇒ P(2) = 8 + 4a − 2 + b = 0 ⇒ 4a + b = −6

Resolvendo o sistema: a = −2 e b = 2. Logo, a + b = − 2 + 2 = 0.

02) A

P(x) = x³ + mx² + nx − 2 x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

Logo: P(x) é divisível por x − 1, pelo teorema do

resto: P(1) = 1³ + m . 1² + n . 1 − 2 ⇒ 1+ m + n − 2 = 0 ⇒ m + n = 1

P(x) é divisível por x + 1, pelo teorema do resto:

P(−1) =(−1)³ + m . (−1)² + n . (−1) − 2 = 0 ⇒ −1+ m − n − 2 = 0 ⇒ m − n = 3

Resolvendo o sistema: m = 2 e n = −1.

03) Verdadeiro.

Basta fazer a divisão por Briot-Ruffini ou pelo método tradicional, verificando que os dois restos dão zero.

04) Verdadeiro.

Se fizer duas divisões sucessivas, obser-va-se que a primeira possui Q(x) = x² + 2x − 8 com resto zero. Se dividirmos Q(x) por (x − 1) teremos resto − 5. Logo, P(x) não é divisível por (x − 1)².

05) Q(x) = 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1

5 6 0 0 0 0 1 2 1

5 10 5 5 4 3 2

6 5 4 3 2 2

6 5 4 4 3 2

x x x x x x x x

x x x x x x x

− + + + + + − +

− + − + + + ++

− + + + +

− + −

− + + +

− +

1

4 5 0 0 0 1

4 8 4

3 4 0 0 1

3 6

5 4 3 2

5 4 3

4 3 2

4

x x x x x

x x x

x x x x

x x33 2

3 2

3 2

2

2

3

2 3 0 1

2 4 2

2 1

2 1

0

−

− + +

− + −

− +

− + −

x

x x x

x x x

x x

x x

�

06) F − F − V − V− V

(F) gr (Q) = gr(P) − gr(D) Como gr(D) = 5, logo gr(P) = gr(Q) + gr(D) ≥ 5, o que torna a

afirmativa falsa.(F) Pela questão 4, se P(x) divisível por (x − 1), não garante que é

divisível por (x − 1)².(V) P(x) é divisível por (x − 1) e por (x + 9).(V) Pela justificativa da primeira afirmativa.(V) Como P(x) é divisível por x − 3, logo x = 3 é raiz de P(x).

07) A

D(x) = x² − 6x + 5 ⇒ D(x) = (x − 1) . (x − 5)

Logo, P(x) é divisível por (x − 1) e por (x − 5).

P(x) = x4 + px2 + q, pelo teorema do resto: P(1) = 14 + p . 12 + q = 0 1 + p + q = 0 p + q = − 1

P(5) = 54 + p . 52 + q = 0 625 + 25p + q = 0 25p + q = − 625

Resolvendo o sistema, temos p = −26 e q = 25, logo p + q = −1.

GABARITO

2 Matemática E

08) 5

B(x) = x² − 3x + 2 B(x) = (x −2)(x −1)

Logo, A(x) é divisível por (x −2) e por (x −1).

A(x) = x³ + ax² + bx − 6, pelo teorema do resto: A(2) = 2³ + a . 2² + b . 2 − 6 = 0 8 + 4a + 2b − 6 = 0 4a + 2b = −2

A(1) = 1³ + a . 1² + b . 1 − 6 = 0 1 + a + b − 6 = 0 a + b = 5

Resolvendo o sistema, temos a = − 6 e b = 11. Logo, a + b = 5.

09) Zero

P(x) = x4 − 3x3 + mx2 + nx − 1

Pelo teorema do resto, temos:

Para (x − 2): P(2) = 24 − 3 . 23 + m . 22 + n . 2 − 1 = 0 16 − 24 + 4m + 2n − 1 = 0 4m + 2n = 9

Para (x + 1): P(−1) = (−1)4 − 3 . (−1)3 + m . (−1)2 + n . (−1) − 1 = 0 1 + 3 + m − n − 1 = 0 m − n = − 3

Resolvendo o sistema, m = 12

e n = 72.

Logo, − 7 . m + n = − 7 . 12

+ 72 = −

72 +

72 = 0.

10) a) a = 4 e b = − 5

Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por (x − 1) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini:

1 a

a

b

a+b

o

a+b

o

a+b

Q(x)

o

a+b

1

a+b+1

Logo, R(x) = a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = − 1.

1 a

a 2a+b

a+b

3a+2b

a+b

4a+3b

a+b

5a+4b

a+b

R(x) = 5a + 4b = 0 ⇒ 5a + 4b = 0 Do sistema, temos a = 4 e b = − 5.

b) Q(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1

4 5 0 0 0 1 2 1

4 8 4 4 3 2 1

3 4

5 4 3 2 2

5 4 3 3 2

4 3

x x x x x x x

x x x x x x

x x

− + + + + − +

− + − + + +

− ++ + +

− + −

− + +

− + −

− +

− +

0 0 1

3 6 3

2 3 0 1

2 4 2

2 1

2

2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x−−1

0�

11) E

P(x) = x5 − 2x4 + ax3 + bx2 − 2x + 1 D(x) = x² − 2x + 1 = (x −1) (x − 1)

Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por (x −1) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini:

1 1

1

–2

–1

a

a–1

b

a+b–1

Q(x)

–2

a+b–3

1

a+b–2

resto

Logo, a + b − 2 = 0 ⇒ a + b = 2.

1 1

1

–1

0

a–1

a–1

a+b–1 a+b–3

2a+b–2 3a+2b–5

resto

Logo, 3a + 2b − 5 = 0 ⇒ 3a + 2b = 5.

Resolvendo o sistema, temos a = 1 e b = 1. Logo, a + b = 1 + 1 = 2.

12) D

I) Falso. gr(P) = n e gr(Q) = n, logo gr(P + Q) = n.

II) Verdadeiro. Pelo teorema do resto: P(1) = m . 1³ + 1² −1 = m. Logo, o resto de P(x) por

(x − 1) é igual a m.

III) Verdadeiro. Se gr(P) = n e gr(Q) = 1, em que Q(x) = x − a, logo gr(P . Q) = n + 1.

GABARITO

3Matemática E

13) C

Seja D(x) = (x – 1)2 = (x – 1) . (x – 1) Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por

(x – 1) e seu quociente é divisível por (x – 1). Assim:

1 m

m

q

m+q

0

m+q

0

m+q

Q(x) R(x)

1

m+q+1

Logo, R(x) = m + q + 1 = 0 ⇒ m + q = – 1 (i). Segue,

1 m

m

m+q

2m+q

m+q

3m+2q

m+q

4m+3q

R(x)

Logo, R(x) = 4m + 3q = 0 (ii). De (i) e (ii) temos o seguinte sistema:

m q

m q

+ = −+ =

1

4 3 0

Resolvendo o sistema acima, obtemos: m = 3 e q = – 4. Daí, temos: P(x) = 3x4 – 4x3 + 1. Portanto, P(2) = 3 . 24 – 4 . 23 + 1 P(2) = 3 . 16 – 4 . 8 + 1 P(2) = 48 – 32 + 1 P(2) = 17.

14) B

Se P(x) = x4 e D(x) = x + 12

, podemos dividir P(x) por

D(x) pelo método de Briot-Ruffini.

–1

2 1

1

0

–1

2

0

1

4

0

–1

8

0

1

16

Logo, Q(x) = x³ − 12

x² + 14x −

18.

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de Q(x) por

x − 12

é:

Q12

=

12

3 − 1

2 .

12

2 +

14 .

12

−

18 = 0.

15) E

y

7

5

3

v

Observe que xV = 5 e xV = x x1 2

2+

, em que x1 e x2 são

raízes da função. Se x1 = 3, logo x2 = 7.

Logo, se P1(x) dividido por x − 2 possui resto 3 e P2(x) dividido por x − 2 tem resto 7, a divisão de

P1(x) . P2(x) por x − 2 possui resto 3 . 7 = 21.

16) a) r(x) = − x + 3

P(x) = (x − 2) (x − 1) . Q(x) + r(x) P(1) = 0 + r(1) r(1) = 2 P(2) = 0 + r(2) r(2) = 1

r(x) = ax + b a b

a b

+ =+ =

2

2 1 ⇒ a = − 1, b = 3

Logo, r(x) = −x + 3.

b) 52

P(x) = (x − 2) (x − 1) . Q(x) + r(x) Termo independente: P(0) = 8 P(0) = (0 − 2) (0 − 1) . Q(0) + (− 0 + 3) 8 = (− 2) (− 1) . Q(0) + (+ 3) 8 = 2 . Q(0) + 3 5 = 2 . Q(0)

Q(0) = 52

17) A

Do enunciado temos: P(x) = (x – 2) . q(x) + 26 (i) P(x) = (x2 + x – 1) . h(x) + (8x – 5) (ii) De (i), temos: x = 2 P(2) = (2 – 2) . q(2) + 26 P(2) = 0 . q(2) + 26 P(2) = 26 Para x = 2 em (ii), teremos: P(2) = (22 + 2 – 1) . h(2) + (8 . 2 – 5) P(2) = (4 + 1) . h(2) + (16 – 5) 26 = 5 . h(2) + 11 26 – 11 = 5 . h(2)

GABARITO

4 Matemática E

15 = 5 . h(2)

h(2) = 155

h(2) = 3 Temos ainda: Para x = 0 P(0) = (0 – 2) . q(0) + 26 P(0) = – 2 . q(0) + 26 P(0) = – 2 . 13 + 26 P(0) = – 26 + 26 P(0) = 0 Para x = 1 P(1) = (1 – 2) . q(1) + 26 P(1) = – 1 . q(1) + 26 P(1) = – 1 . 26 + 26 P(1) = – 26 + 26 P(1) = 0 Agora em (ii), temos: Para x = 0 P(0) = (02 + 0 – 1) . h(0) + (8 . 0 – 5) 0 = – 1 . h(0) + (–5) 5 = – h(0) h(0) = – 5 Note que, h(x) = ax2 + bx + c, pois P(x) é do quarto grau.

Sendo assim: h(0) = – 5 a . 02 + b . 0 + c = – 5 c = – 5 Para x = 1 P(1) = (12 + 1 – 1) . h(1) + (8 . 1 – 5) P(1) = 1 . h(1) + 3 0 = h(1) + 3 – 3 = h(1) – 3 = a12 + b . 1 + c (c = –5) – 3 = a + b – 5 – 3 + 5 = a + b a + b = 2 (iii) Mas, h(2) = 3 a22 + b . 2 + c = 3 (c = –5) 4a + 2b – 5 = 3 4a + 2b = 3 + 5 4a + 2b = 8 (÷2) 2a + b = 8 (iv) De (iii) e (iv), temos o seguinte sistema:

a b iii

a b iv

+ =+ =

2

2 4

( )

( )

Fazendo (iv) – (iii), obtemos: a = 2 Substituindo a = 2 em (iv), teremos: 2 2+ =b b = 0 Logo, h(x) = 2x2 + 0 . x – 5 h(x) = 2x2 – 5.

Portanto, h(3) = 2 . 32 – 5 h(3) = 2 . 9 – 5 h(3) = 18 – 5 h(3) = 13. Assim, h(2) + h(3) = 3 + 13 = 16.

18) D

x² − x + 2c = 0 4² − 4 + 2c = 0 16 − 4 + 2c = 0 12 + 2c = 0 2c = − 12 c = − 6

19)a) S = {3, 8, − 4}b) S = {1, 1, 1, 5, 5, − 10} ⇒ S = {1, 5, − 10}c) S = {1 + i, 1 − i}

x = −− ± − −( ) ( ) . .

.

2 2 4 1 2

2 1

2

= 2 4 8

2± −

x = 2 2

2± i

= x i

x i

’

’’

= += −

1

1

d) S = {0, 4, 1} x³ − 5x² + 4x = 0 ⇒ x (x² − 5x + 4) = 0 x (x − 4) (x − 1) = 0

e) S = {2, − 2, 3i, − 3i}

Usando a mudança de variável x² = y: x4 − x² − 12 = 0 ⇒ y² − y − 12 = 0

y = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )

.

1 1 4 1 12

2 1

2

= 1 49

2±

y = 1 7

2±

= y

y

’

’’

==−

4

3

x² = 4 ⇒ x = ± 2

x² = − 3 ⇒ x = ± 3i

f) S = {i, − i, 7} x³ − 7x² + x − 7 = 0 ⇒ x² . (x − 7) + x − 7 = 0 (x² + 1) (x − 7) = 0 x² + 1 = 0 ou x − 7 = 0 x² = − 1 x = 7 x = ± i

20) E

x4 − 3x2 − 4 = 0, pelo método da mudança de variável: y² − 3y − 4 = 0

y = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )

.

3 3 4 1 4

2 1

2

= 3 25

2±

y = 3 5

2±

= y

y

’

’’

==−

4

1

GABARITO

5Matemática E

Logo: x² = 4 ⇒ x = ± 2 x² = − 1 ⇒ x = ± i

Como S ⊂ R, logo S = {2, − 2}.

21) C

H1(t) = H2(t) 150t³ − 190t + 30 = 50t³ + 35t + 30 150t³ − 50t³ − 190t − 35t + 30 − 30 = 0 100t³ − 225t = 0 t (100t² − 225) = 0 t = 0 ou 100t² − 225 = 0 100t² = 225

t² = 225100

⇒ t = 1510

= 1,5 h

22) B

x = ( )6−x

x² = 6 − x x² + x − 6 = 0

x = − ± − −1 1 4 1 6

2 1

2 . . ( )

. = − ±1 25

2

x = − ±1 5

2 =

x

x

’

’’

=−=

3

2

Como x > 0, logo possuímos uma solução, S = {2}.

23) D

T(t) = 39°

39 = – t2

4 + 400

39 = – t2 1600

4+

39 . 4 = – t2 + 1600156 = – t2 + 1600t2 = 1600 – 156t2 = 1444t = 1444

t = 38 min.

24) A

V1(t) = V2(t)

250t3 – 100t + 3000 = 150t3 + 69t + 3000

250t3 – 100t = 150t3 + 69t250t3 – 100t – 150t3 – 69t = 0100t3 – 169t = 0t(100t2 – 169) = 0

Logo,t = 0 ou 100t2 – 169 = 0 100t2 = 169

t2 = 169100

t = 169100

t = 1310

= 1,3 h

25) 12

3 1

1 2

7 3

8

→→→→

multiplicidade

multiplicidade

multiplicidade

multipplicidade

grau

6

12

26) Falso.

x + x² = x³ x³ − x² −x = 0 x . (x² − x − 1) = 0 x = 0 ou

x² − x − 1 = 0 ⇒ x

x

=+

=−

1 52

1 52

Observe que 1 5

2−

< 0, logo a afirmação é falsa.

27) A

x3 + 5x2 + 4x = 0x(x2 + 5x + 4) = 0 x = 0 ou x2 + 5x + 4 = 0a = 1 Δ = 52 – 4 . 1 . 4b = 5 Δ = 25 – 16c = 4 Δ = 9

x = − ±⋅

5 92 1

x = − ±

==

− +=

−= −

=− −

=−

= −

5 32

5 32

22

1

5 32

82

4

x

x

'

''

Portanto, a solução é:S = {–4, –1, 0}.

GABARITO

6 Matemática E

28) D

(3x − 1) (3x² − 2x − 1) = 0

3x − 1 = 0 3x² − 2x − 1 = 0

3x = 1 x = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )

.

2 2 4 3 1

2 3

2

x = 13 x =

2 166±

x = 2 4

6

1

13

±=

=

=−

x

x

’

’’

Logo: 13

2 + −

13

2

+ 1² = 19 +

19 + 1 =

119

.

29) C

x +1 x +1

–2 –2

1 1

0 0

x x =

–1 –1

0

0

x –2

– 2

(x + 1) . x . (x − 2) + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = − 2 (x² + x) (x − 2) = −2 x³ − x² − 2x + 2 = 0 x² (x − 1) − 2 (x − 1) = 0 (x² − 2) (x − 1) = 0

x − 1 = 0 x² − 2 = 0 x = 1 x² = 2

x = ± 2

Logo, S = {1, 2, − 2}, possuindo duas raízes irracio-

nais, 2 e − 2.

30) a) d = 10

P(x) = x³ − 2x² − 5x + d Pelo teorema do resto, P(2) = 0. Logo: P(2) = 2³ − 2 . 2² − 5 . 2 + d = 0 8 − 8 − 10 + d = 0 d = 10

b) S = {0, 1 − 6, 1 + 6}

x³ −2x² − 5x + 10 = 10 x³ −2x² − 5x = 0 x (x² −2x − 5) = 0

Temos que x = 0 ou x² −2x − 5 = 0.

x² −2x − 5 = 0 ⇒ ′ = −

′′ = +

x

x

1 6

1 6

Logo, as raízes são S = {0, 1 − 6, 1 + 6}.

31) C

(x − 1) (x² + 1) + (x + 1) (x² − 1) = 0 x³ + x − x² − 1 + x³ − x + x² − 1 = 0 2x³ − 2 = 0 2x³ = 2 x³ = 1

x = 13

x = 1

Se x ∈ C, x = 1 + 0i. Logo, o conjugado de x é x = 1 − 0i = 1.

32) E

2x³ − x² − 2x + 1 = 0 x² (2x − 1) − 2x + 1 = 0 x² (2x − 1) − (2x − 1) = 0 (x² − 1) (2x − 1) = 0 x² − 1 = 0 ou 2x − 1 = 0 x² = 1 2x = 1

x = ± 1 x = 12

33) P(x) = 2x³ − 8x² + 2x + 12.

P(x) = ax³ + bx² + cx + d

Temos que: P(0) = a . 0³ + b . 0² + c . 0 + d = 12 Logo, d = 12 P(2) = a . 2³ + b . 2² + c . 2 + 12 = 0 8a + 4b + 2c

= − 12 P(3) = a . 3³ + b . 3² + c . 3 + 12 = 0 27a + 9b + 3c

= − 12 P(−1) = a . (−1)³ + b . (−1)² + c . (−1) + 12 = 0 − a +

b − c = − 12

Portanto, possuímos um sistema de 3 equações com três incógnitas. Podemos resolver de várias maneiras, uma delas pela regra de Cramer.

Temos, assim, a = 2, b = − 8 e c = 2. Logo, nosso polinômio será P(x) = 2x³ − 8x² + 2x + 12.

34) A

x–4 = 16

14x

= 16

x4 = 116

x = ±116

4

x = ±1

16

GABARITO

7Matemática E

x = ±12

Logo, x' = 12

ou x'' = – 12

.

Temos ainda:

x''' = 12

+ 0 . i e o conjudado x(iv) = x ''' = – 12

+ 0 . i.

35) C

Podemos resolver essa questão por eliminação.

Como 23 é raiz de multiplicidade 2 e 1

2 de multiplicidade

3, logo o polinômio possui 5 raízes. Temos assim um polinômio de grau 5. Com isso eliminamos as alterna-tivas a e b.

Observe que as raízes da alternativa d são: (3x − 2) (3x − 2) (3x − 2) (2x − 1) (2x − 1) = 0

3x − 2 = 0 ⇒ x = 23 de multiplicidade 3.

2x − 1 = 0 ⇒ x = 12

de multiplicidade 2.

Temos assim descartada a alternativa d.

Com o mesmo raciocínio, obtemos na letra e as raízes

2 de multiplicidade 3 e −

32 de multiplicidade 2.

Logo, resta-nos a alternativa c.

36) a) f(–1) = f(1) = f(3) = 0b) f(x) = (x – 3)(x – 1)(x + 1)c) (–1, 0), (1, 0) e (3, 0)

a) f(–1) = (–1)3 – 3 . (–1)2 – (–1) + 3 f(–1) = – 1 – 3 + 1 + 3 = 0 f(1) = 13 – 3 . 12 – 1 + 3 f(1) = 1 – 3 – 1 + 3 = 0 f(3) = 33 – 3 . 32 – 3 + 3 = 0 Logo, f(–1) = f(1) = f(3) = 0.

b) Forma fatorada. f(x) = (x + 1) . (x – 1) . (x – 3)

c) Coordenadas são: (–1, 0); (1, 0) e (3, 0)

37) B

x x− + − =1 2 2 2

Elevando ao quadrado ambos os lados, temos:

x − 1 + 2 2x− = 4

2 2x− = − x + 5

Elevando ao quadrado ambos os lados, temos: 2x − 2 = (− x + 5)² 2x − 2 = x² − 10x + 25 x² − 12x + 27 = 0 Em que temos: x' = 3 e x'' = 9.

Observe que x = 9 não é solução, pois:

9 1 2 9 2− + −. = 8 16+ = 8 4+ = 12 ≠ 2.

Já com x = 3 temos a solução. Logo, S = {3}.

38) S= {–3, 3, 4}

3 3

3 3

x x

x x

x x = –9x –4x –9x +9x +36 +x2 3

3 3

–x

–4

–3

Logo, P(x) = x³ − 4x² − 9x + 36.

Calculando as raízes: x³ − 4x² − 9x + 36 = 0 x² . (x − 4) − 9x + 36 = 0 x² . (x − 4) − 9 . (x − 4) = 0 (x² − 9) . (x − 4) = 0 x² − 9 = 0 ou x − 4 = 0 x² = 9 x = 4 x = ± 3

S = {−3, 3, 4}

39) a) S = {–3; –2; 1; 2; 3} x x x x x5 4 3 213 13 36 36− − + + −� ��� ��� � ������ ������ � ���� ���� = 0

x4 . (x − 1) − 13x² . (x − 1) + 36 . (x − 1) = 0 (x4 − 13x² + 36) . (x − 1) = 0

Temos que x4 − 13x² + 36 = 0. Resolvendo pelo método da mudança de variável, temos:

y2 − 13y + 36 = 0 ⇒ y

y

==

9

4

Logo, x = ± 3 e x = ± 2. Do outro passo, x − 1 = 0. Logo, x = 1. S = {–3; –2; 1; 2; 3}

b) S = {–1; 0; 1; –i; i} x5 −x = 0 x . (x4 − 1) = 0

Temos x = 0 ou x4 − 1 = 0. Pela mudança de variável: y² − 1 = 0 y = ± 1 x = ± 1 x = ± i

S = {–1; 0; 1; –i; i}

GABARITO

8 Matemática E

40) D

x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1

Temos como raiz de multiplicidade 2, x = − 1.

–1 1

1

1

4

3

2

6

3

1

4 1

1

0

0

Q(x) = x² + 2x + 1 com raízes de Q(x) x' = − 1 e x'' = − 1.

Logo, S = {− 1, − 1, − 1, − 1}.

41) S = {1, 2, 7}

1 1

1

–10

–9

23

14

–14

0

Q(x) = x² − 9x + 14 r(x) = 0

As raízes de Q(x) = x² − 9x + 14, por Bháskara, são x' = 7 e x'' = 2.

Assim, a solução para P(x) é S = {1, 2, 7}.

42) A

2 2

2

1

5

–7

3

–6

0

Logo, Q(x) = 2x2 + 5x + 3 = 0. As raízes de Q(x) = 2x2 + 5x + 3 são

x' = – −

32 e x'' = –1.

Portanto, a solução P(x) é dada por:

S = {– −

32, –1, 2}.

43) A

Rebaixando o P(x) duas vezes:

1 1

1

1

–5

–4

–3

3

–1

–4

5 –4

4

0

0

resto da divisão

resto da divisão

1º rebaixamento

2º rebaixamento

Logo, temos Q(x) = x² −3x − 4. Temos, assim, as raízes de Q(x) por Bháskara: x' = 4 e x'' = −1.

Portanto |4 − (−1)| = |5| = 5.

44) −1 e −2.

Rebaixando o P(x) duas vezes:

3 1

1

1

–3

0

3

–7

–7

2

15 18

–6

0

0

Dessa forma Q(x) = x² + 3x + 2. Temos assim que as raízes de Q(x) são, pela fórmula de Bháskara, x' = −2 e x'' = −1.

S = {−1, −2, 3, 3}

45) E

Como x = 2 é raiz da equação x³ − 4x² +mx − 4 = 0, então:

2³ − 4 . 2² + m . 2 − 4 = 0 8 − 16 + 2m − 4 = 0 − 12 + 2m = 0 2m = 12 m = 6

Logo, a equação é x³ − 4x² + 6x − 4 = 0. Rebaixando essa equação para grau 2, temos:

2 1

1

–4

–2

6

2

–4

0

Q(x) = x² − 2x + 2. As raízes de Q(x), pela fórmula de Bháskara, são x' = 1 + i e x'' = 1 − i, dois números complexos.

46) C

Rebaixando P(x) para grau 2.

2 1

1

1

–4

–2

0

3

–1

–1

4 –4

2

0

0

Logo, Q(x) = x² − 1. Temos que as raízes de Q(x) são x = 1 e x = −1. Com isso, as raízes de P(x) são {2, 2, −1, 1} e P(x) pode

ser escrito como: P(x) = (x − 2) (x − 2) (x − 1) (x + 1), sendo, portanto, divisível por (x − 2)².

47) C

Como x = 1 é raiz de x³ − 2x² + ax + 6 = 0, então: 1³ − 2 . 1² + a . 1 + 6 = 0 1 − 2 + a + 6 = 0 a + 5 = 0 a = − 5.

Nossa equação então é x³ − 2x² − 5x + 6 = 0. Rebai-xando essa equação para grau 2, temos:

GABARITO

9Matemática E

1 1

1

–2

–1

–5

–6

6

0

Logo, Q(x) = x² − x − 6. Temos que as raízes de Q(x), pela fórmula de Bhaskara, são x' = −2, x'' = 3.

48) D

Rebaixando a equação para grau 2, temos:

2 9

9

0

18

–31

5

–10

0

Temos Q(x) = 9x² + 18x + 5. As raízes de Q(x) são, pela fórmula

de Bháskara, x' = − 13 e x'' = −

53

.

Logo, as raízes da equação são S = − −

13

53

2, , , chamaremos p

= − 13 e q = −

53

.

p² + q² = 19 +

259

= 269

49) a) x³ − 5 . x² = 36 6³ − 5 . 6² = 36 216 − 180 = 36 36 = 36 ou 36 − 36 = 0

b) xi

’=− +12

232

e xi

"=− −12

232

Temos a equação x³ − 5x² − 36 = 0: rebaixando essa equação a grau 2:

6 1

1

–5

1

0

6

–36

0

Temos, assim, Q(x) = x² + x + 6, em que suas raízes, pela fór-

mula de Bháskara, são xi

’=− +12

232

e xi

"=− −12

232

.

50) a) 2 é raiz.b) S = {–1, 1, 2}

x x

0 0

2 2

1 1

x x = x + (2 –x) + 0 – 0 – 0 – 2x3 2

P(x) =

0 0

x

x

x2

1–

P(x) = x³ − 2x² − x + 2

a) P(2) = 2³ − 2 . 2² − 2 + 2 = 8 − 8 − 2 + 2 = 0 Logo, 2 é raiz de P(x).

b) Rebaixando P(x) ao grau 2:

2 1

1

–2

0

–1

–1

2

0

Q(x) = x² − 1. Logo, as raízes de Q(x) são x² = 1 ⇒ x' = 1 e x'' = − 1.

S = {–1, 1, 2}

51) C

Pois toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite ao menos uma raiz real.

52) V − F − F − F − V.

Teoria.

53) 12

Raízes: 3 1 1 1 9+i

9–i

3–2 7

3+2 7

8–3i 8–3i

8+3i 8+3i

Ou seja, são 12 raízes, logo o menor grau possível é 12.

54) C

Como 1 + i e 1 − 2i são raízes do polinômio, então 1 − i e 1 + 2i também são. Como o polinômio é de grau 8, temos assim 4 raízes reais e 4 complexas.

55) B

Como −1 e 2 são raízes de P(x), então: (−1)³ + a . (−1) + b = 0 ⇒ − 1 − a + b = 0 a − b = −1 2³ + a . 2 + b = 0 ⇒ 8 + 2a + b = 0 2a + b = −8

Do sistema, tiramos a = −3 e b = − 2. Temos assim P(x) = x³ + 0x² −3x − 2. Reduzindo P(x) a grau 1, tem-se:

–1 1

1

1

0

–12

1

–3

–2

0

–2

0

Temos Q(x) = x + 1. Logo, a raiz de Q(x) é −1. c = −1.

56) 06

01. Falso. P(1) = 2 . 14 – 5 . 13 + 5 . 12 – 5 . 1 – 3 P(1) = −6 ≠ 0

GABARITO

10 Matemática E

02. Verdadeiro. P(1) = 1³ + a . 1² + b . 1 + 3 = 0 1 + a + b + 3 = 0 a + b = −4 P(−1) = (−1)³ + a . (−1)² + b . (−1) + 3 = 0 −1 + a − b + 3 = 0 a − b = −2

Temos a = −3 e b = −1. Assim, x³ −3x² − x + 3 pode ser rebaixado a grau 1.

1 1

1

1

–3

–2–1

–3

–1

–3

0

3

0

Q(x) = x − 3. Logo, a raiz de Q(x) é 3. S = {1, −1, 3}04. Verdadeiro. Pois é uma equação de grau ímpar e

coeficientes reais.08. Falso. Pelo teorema do resto f(3) = 3³ + m . 3 − 5 = 0� 9 + 3m − 5 = 0 3m + 4 = 0

m = − 43

57) 03

x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (x − 1) (x − 1) (x + 2) (x − i) (x + i)

x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = x5 − 2x3 + 2x2 − 3x + 2

Logo, a = 0, b = −2, c = 2, d = −3, e = 2. Temos assim:01. Verdadeiro.02. Verdadeiro.04. Falso.08. Falso.16. Falso.

58) C

21 – 2x

21 – x

x

V = (21 − 2x) (21 − x) x = 810 V = (441 − 21x − 42x + 2x²) x = 810 441x − 63x² + 2x³ − 810 = 0

Temos assim 2x³ − 63x² + 441x − 810 = 0, com uma das raízes x = 3, segundo o enunciado. Rebaixando a equação:

3 2

2

–63

–57

441

270

–810

0

Logo, Q(x) = 2x² − 57x + 270, em que as raízes de Q(x), pela fórmula de Bháskara, são x' = 22,5 e x'' = 6. Como x' não é possível, logo x = 6, que está no intervalo (5, 7).

59) 13

01. Correta. Sabemos que o número complexo Z = 2 – i é raiz do polinômio

| Z | = 2 12 2+ −( ) = 4 1+ = 5.

02. Incorreta. Seja z = 2 + i. Sabemos que a = 2 e b = 1.

| z | = 2 12 2+ = 5

Segue que:

sen α = 1

5

cos α = 2

5 Note que α não é ângulo notável, então precisamos

encontrar a tangente.

tg α = sen ααcos

=

1525

= 12

Portanto, α = arctg 12

.

04. Incorreta. Caso contrário, contradiz o enunciado. (2 + i é raiz.)

08. Correta. Como o número complexo z = 2 + i é raiz, então seu

conjugado z = 2 – i é raiz. Daí,

P(x) = x3 + ax2 + bx + c P(2 + i) = (2 + i)3 + a(2 + i)2 + b(2 + i) + c = 0 Calculando separadamente (2 + i)3 e (2 + i)2, tere-

mos: (2 + i)3 = (4 + 4i + i2) . (2 + i) = (4 + 4i – 1) . (2 + i) = (3 + 4i) . (2 + i) = 6 + 3i + 8i – 4 = 2 + 11i (2 + i)2 = 4 + 4i + i2

= 4 + 4i – 1 = 3 + 11i Segue, P(2 + i) = 2 + 11i + a(3 + 4i) + b(2 + i) + c = 0 (i) De forma análoga, encontramos: P(2 – i) = 2 – 11i + a(2 – 4i) + b(2 – i) + c = 0 (ii) De (i) e (ii), obtemos o seguinte sistema:

2 11 3 4 2 0

2 11 3 4 2 0

+ + + + + + =− + − + − + =

i a i b i c i

i a i b i c ii

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

pois tem de ser visível

GABARITO

11Matemática E

Fazendo (i) + (ii), temos: 4 + 6a + 4b + 2c = 0 (÷ 2) 3a + 2b + c = – 2 (iii) Como x = 1 é raiz, então: P(1) = 13 + 12 . a + 1 . b + c = 0 = 1 + a + b + c = 0 ⇔ a + b + c = – 1 .(2) ⇒ 2a + 2b + 2c = – 2 (iv) De (iii) e (iv), temos o seguinte sistema:

3 2 2

2 2 2 2

a b c iii

a b c iv

+ + = −+ + = −

( )

( )

Fazendo (iii) – (iv), obtemos: a – c = 0 a = c16. Incorreta. Pois o polinômio possui grau, isto é, grau

ímpar com coeficientes reais, então possui pelo menos uma raiz real.

60) C

P(x) = x5 − ax3 + ax2 − 1 P(−i) = 0

(−i)5 − a . (−i) 3 + a . (−i) 2 − 1 = 0 −i − ai − a − 1 = 0 (− a − 1) + (− a − 1) . i = 0 ⇒ − a − 1 = 0 a = − 1

Logo: P(x) = x5 + x3 − x2 − 1 P(x) = x³ . (x² + 1) − (x² + 1) P(x) = (x³ − 1) (x² + 1) P(x) = (x − 1) (x² + x + 1) (x² + 1)

Para P(x) = 0 x − 1 = 0 ⇒ x = 1

x² + x + 1 = 0 ⇒ x' = − 12

+ 3

2i e x'' = − 1

2 −

32

i

x² + 1 = 0 ⇒ x' = i e x'' = − i

61) x = ( )7 37

3−

x

4 – x

8 – 2x

3

2

V = 432

−

x . (8 − 2x) . x

V = 432

−

x . (8x − 2x²)

V = 32x − 12x² − 8x² + 3x³ ⇒ V = 3x³ − 20x² + 32x

Vamos determinar o valor de x, além do valor 2, em que V = 8 dm³.

3x³ − 20x² + 32x = 8 ⇒ 3x³ − 20x² + 32x − 8 = 0, em que 2 é raiz da equação.

Rebaixando a equação para uma de 2o grau:

2 3

3

–20

–14

32

4

–8

0

Q(x) = 3x² − 14x + 4. As raízes de Q(x), pela fórmula de

Bháskara, são x' = ( )7 37

3−

e

x'' = 7 37

3+

. Observe que x'' ≅ 4,36, e

8 − 2x = − 0,36.

Logo, x = ( )7 37

3−

.

62) S = {1, 2, 3}

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 Divisores de − 6: p = ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 Divisores de 1: q = ± 1

Candidatos a raiz da equação: {1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6}.

Observamos que uma das raízes é x = 1. Rebaixando a equação:

1 1

1

–6

–5

11

6

–6

0

Q(x) = x² − 5x + 6. Temos como raízes de Q(x), x = 2 e x = 3.

S = {1, 2, 3}

63) S = 132

,

2x³ − 7x² + 8x − 3 = 0 Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3 Divisores de 2: q = ± 1, ± 2

Candidatos a raiz: 1 1 3 332

32

12

12

, , , , , , ,− − − −

Sabemos que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando:

1 2

2

–7

–5

8

3

–3

0

GABARITO

12 Matemática E

Q(x) = 2x² − 5x + 3. Logo, as raízes de Q(x) são x' = 1

e x'' = −

32.

S = 132

,

64) S = 13

1 3, , ,

3x³ − 13x² + 13x − 3 = 0 Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3 Divisores de 3: q = ± 1, ± 3

Possíveis raízes da equação: 1 1 3 313

13

, , , , ,− − −

Observamos que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando a equação:

1 3

3

–13

–10

13

3

–3

0

Q(x) = 3x² − 10x + 3, com raízes x' = 3 e x'' = 13.

S = 13

1 3, , ,

65) C

Note que o valor x = 1 é o zero da função. Por Briot-Ruffini, temos:

1 1

1

–3

–2

–6

–8

8

0

Logo, Q(x) = x2 – 2x – 8. Resolvendo a equação anterior, teremos:

x' = –2 ou x'' = 4.

Portanto, os valores de x estão no intervalo [– 5, π + 1].

66) Falso.

3x4 − 9x3 + 17x2 − 88x + 7 = 0

Observamos que uma raiz racional, da forma pq, será:

Divisores de 7: p = ± 1, ± 7 Divisores de 3: q = ± 1, ± 3

Possíveis raízes: 1 113

13

7 773

73

, , , , , , ,− − − −

Notamos que x = 12 não está na lista.

67) B

Sabemos que uma raiz é racional, isto é, é da forma pq

.

Divisores de 5: p = ± 1; ± 5. Divisores de 1: q = ± 1. Possíveis raízes: {1; –1; 5; –5}. Daí concluímos que x = 1 é raiz. Por Briot-Ruffini, temos:

1 1

1

–3

–2

+7

5

–5

0

Logo, Q(x) = x2 – 2x + 5. Resolvendo a equação anterior, teremos:

x' = 1 + 2i ou x'' = 1 – 2i Portanto, o módulo z1 = x' = 1 + 2i é:

|z1| = 1 22 2+

|z1| = 5

68) C

P(x) = x³ − 7x² + 14x − 6

Pelo método do "chute", x = 3 é raiz de P(x). Rebaixando a equação:

3 1

1

–7

–4

14

2

–6

0

Q(x) = x² − 4x + 2, com raízes x' = 2 + 3 e x'' = 2 − 3

Temos assim,

x' + x'' = 2 + 3 + 2 − 3 = 4.

69) Verdadeiro.

x x

1 1

1 1

1 1

x x = 0 x – 2 + x – x + 2x –x = 0⇒ 3 2

x x

1

–2

x

x³ + 2x² − x − 2 = 0 Divisores de − 2: p = ± 1, ± 2 Divisores de 1: q = ± 1

Possíveis raízes: {1, −1, 2, −2}

GABARITO

13Matemática E

Observe que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando:

1 1

1

2

3

–1

2

–2

0

Q(x) = x² + 3x + 2, em que suas raízes são x' = −2 e x'' = −1.

Logo, S = {–2, −1, 1} ⊂ [−2, 1].

70) C

Como x = n é raiz, temos:

5( n )3 – 3( n )2 – 60 n + 36 = 0

5n n – 3n – 60 n + 36 = 0

– 5 n (n – 12) – 3 (n – 12) = 0

(– 5 n – 3) (n – 12) = 0

Logo: – 5 n – 3 = 0 ou n – 12 = 0

5 n + 3 = 0 n = 12

n = – 35

n = (– 35

)2

n = 925

n = 0,36 (Não serve, pois n ∈N.)

71) A

Note que x = 1 é raiz, pois f(1) = 0. Pelo método Briot-Ruffini, temos:

1 8

8

–6

2

–3

–1

1

0

Logo, Q(x) = 8x2 + 2x – 1. Resolvendo a equação ante-rior, obtemos:

x' = – 12

ou x'' = 14

Assim, a progressão geométrica é:

PG {1, – 12

, 14, ...}

Daí, a razão é q = – 12

.

Como a soma dessa progressão é a raiz do polinômio g(x) = x + a, temos:

S∞ = aq1

1−

– a = 1

112

− −

– a = 1

112

+

– a = 132

– a = 23 .(–1)

a = – 23

Logo, g(x) = x – 23 .

A raiz do polinômio g(x) é x = 23 .

Finalmente, pelo teorema do resto, o resto da divisão dos polinômios f(x) por g(x) é dado por:

f23

823

623

323

13 2

=

−

−

+

f23

8827

649

2 1

= ⋅ − ⋅ − +

f23

6427

243

1

= − ⋅ −

f23

6427

83

1

= − −

f23

64 72 2727

=− −

f23

3527

=−

72) A

A(x) =

x x

1 1

1

–

1

1 1

x x

x x

1

–2

x

– – + + +

A(x) = x3 – 2 + x – x + 2x2 – x A(x) = x3 + 2x2 – x – 2 Note que x = 1 é raiz de A(x), pois A(1) = 0. Por Briot-Ruffini, temos:

1 1

1

2

3

–1

2

–2

0

GABARITO

14 Matemática E

Logo, Q(x) = x2 + 3x + 2. Resolvendo a equação anterior, temos:

x' = – 2 ou x'' = – 1. Portanto, as raízes são x = –2, x = –1 e x = 1. Daí, concluímos que A(x) possui raízes comuns com

B(x) = x2 – 1.

73) A

Note que x = –1 é raiz da função f(x), pois f(–1) = 0. Por Briot-Ruffini, temos:

–1 1

1

9

8

23

15

15

0

Logo, Q(x) = x2 + 8x + 15 Resolvendo a equação acima, temos: x' = – 5 ou x'' = – 3 Portanto, as raízes são a = – 1, b = – 3 e c = – 5. Segue,

2a + 2b + 2c = 2–1 + 2–3 + 2–5

= 12

12

123 5+ +

= 2 2 12

4 2

5

+ +

= 16 4 132+ +

= 2132

74) B

x4 + x3 − 4x2+ x + 1 = 0 Divisores de 1: p = ±1 Divisores de 1: q = ±1

Possíveis raízes: {1, −1}.

Observe que, segundo o enunciado, temos mais de uma raiz inteira. Como −1 não é raiz, logo x = 1 é de multiplicidade de 2. Reduzindo a equação:

1

1

1

1

1

1

2

3

–4 1

–2 0

1

1

–1

0

Temos assim Q(x) = x² + 3x + 1, em que suas raízes

são x' = − +3 5

2 e x'' =

− −3 52

.

Logo, − +3 5

2 +

2

3 5− +

= ( )

( )

− + +− +

3 5 4

2 3 5

2

= 9 3 5 5 4

2 3 5

− + +− +( )

= 18 6 5

2 3 5

−− +( )

= − −

−

6 3 5

2 3 5

( )

( )

= −62

= − 3.

75) B

Notamos que uma raiz racional é zero. Utilizamos o teorema das raízes racionais e o enunciado que indica

a outra raiz racional entre – 43 e – 1

2 , concluímos que a

outra raiz racional é 23 .

Do dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

0

–2

3

–2

3

3

3

3

2

2

0

m

m

m

–4

–4

0

0

m –4 = 0 m –6

Daí: 3x2 – 6 = 0 x2 = 2

x = ± 2

Portanto, a menor raiz irracional é – 2.