Prof.ª Adriana Massucci

Dado um polinômio 𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 6𝑥3 + 9𝑥2 + 4𝑥 − 12 ,

sabe-se que:

2 é raiz.

Então: P 2 = 0 ou P x é divisível por x − 2;

1 é raiz

Então : P(−1) = 0 ou P(x) é divisível por x + 1.

Isto quer dizer que conhecemos duas raízes do

polinômio P(x). Então, por Briot-Ruffini, temos que:

Podemos encontrar as demais raízes resolvendo a

equação:𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0, onde: 𝑥1 = 2 𝑒 𝑥2 = 3.

Assim podemos escrever o polinômio P(x) na forma

fatorada. Logo:

𝑃 𝑥 = 1. x − 2 2. x − 3 . x + 1

As equações polinomiais podem ser obtidas a

partir dos polinômios fazendo P(x) = 0.

Sendo assim, a equação:

𝑥4– 6𝑥3 + 9𝑥2 + 4𝑥 − 12 = 0 𝑉 = −1, 2, 3 .

Repare que a raiz 2 é raiz duas vezes. Isto é o

mesmo que dizer que 2 é uma raiz dupla ou que

tem multiplicidade igual a 2. Isto nos permite dizer

que, ao dividirmos sucessivamente (Briot-Ruffini) o

polinômio por 𝑥 − 2, obteremos resto igual a zero

2 vezes.

“Dada uma equação algébrica de grau n, 𝑛 ≥ 1, pode-se provar que ela possui pelo menos uma raiz complexa.”

E tendo em vista o Teorema da decomposição, podemos dizer que uma equação de grau n tem n raízes. (Universo dos complexos – lembre-se 𝑅 ⊂ 𝐶).

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥1 . 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥𝑛

𝒅𝒆𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 1º 𝑔𝑟𝑎𝑢.

Onde: 𝑎𝑛 é o coeficiente dominante e 𝑥1, 𝑥2 … 𝑥𝑛 são as raízes de P(x).

𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 6𝑥3 + 9𝑥2 + 4𝑥 − 12

Ou ainda: 𝑥4 − 6𝑥3 + 9𝑥2 + 4𝑥 − 12 = 0

-1, 2 e 3 são raízes da equação 𝑃 𝑥 = 0;

-1, 2 e são raízes da função polinomial 𝑃 𝑥 ;

E pelo teorema de D’Alembert (um polinômio é divisível por 𝑥 − 𝑎 se P(𝑎) = 0. Ou seja, 𝑎 é raiz da função polinomial).

Dada a equação polinomial:

𝑥 − 1 . 𝑥3 − 4𝑥 + 𝒂 = (𝑥2 − 1) 2

a) Coloque-a na forma P(x)=0;

Solução:

Desenvolvemos os 2 membros:

𝑥4 − 4𝑥2 + 𝑎𝑥 − 𝑥3 + 4𝑥 − 𝑎 = (𝑥2−1). (𝑥2−1)

𝑥4 − 𝑥3 − 4𝑥2 + 4 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1

∴ 𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 4 + 𝑎 𝑥 + (𝑎 + 1)

𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑷 𝒙 = 𝟎, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥3 + 2𝑥2 − 4 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 + 1 = 0

b) Obtenha o valor de 𝒂 para que 2 seja uma das raízes

da equação.

Solução:

Se 2 é raiz, 𝑃(2) = 0, então:

𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 4 + 𝑎 𝑥 + (𝑎 + 1)

𝑃 2 = 23 + 2.22 − 4 + 𝑎 . 2 + (𝑎 + 1)

0 = 8 + 8 − 8 − 2𝑎 + 𝑎 + 1

0 = −𝑎 + 9

∴ 𝒂 = 𝟗

2) Resolva, em C, a equação 𝑥4 − 5𝑥2 − 10𝑥 − 6 = 0,

sabendo que duas raízes são – 1 e 3.

Observe que:

Se -1 é raiz da equação, P(-1)=0. Isto implica que:

P(x) é divisível por 𝑥 + 1;

Se 3 é raiz da equação, P(3)=0. Isto implica que:

P(x) é divisível por 𝑥 − 3;

Podemos recorrer ao algorítmo de Briot-Ruffini e

abaixarmos o grau da equação dada acima. Logo:

Repare que a equação 𝑥4 − 5𝑥2 − 10𝑥 − 6 agora

pode ser escrita:

𝑥4 − 5𝑥2 − 10𝑥 − 6 = 𝑥 + 1 . 𝑥 − 3 . (𝑥2 + 2𝑥 + 2)

-1 1 0 -5 - 10 -6

1 -1 -4 -6 0 3

1 2 2 0

𝑥2 + 2𝑥 + 2

Isto quer dizer que as duas raízes faltantes de P(x)

vêm de 𝑥2 + 2𝑥 + 2 . Ao resolver a equação

𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 0, temos:

∆= 4 − 8 ⇒ ∆= −4

𝑥 =−2 ± −4

2⇒

−2 ± 2𝑖

2⇒ 𝑥1 = −1 = 𝑖 𝑒 𝑥2

= −1 − 𝑖

Logo o conjunto verdade da equação 𝑥4 − 5𝑥2 −10𝑥 − 6 = 0 é:

3) Verificar se a equação polinomial 2𝑥3 − 5𝑥2 +𝑥 + 2 = 0 possui uma raiz igual a 2. Depois

obtenha as demais raízes e por fim coloque o

polinômio p(x)na forma fatorada.

1º) Se 2 for raiz, então P(2)=0:

𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 + 2

𝑃 2 = 2. 23 − 5. 22 + 2 + 2

𝑃 2 = 16 − 20 + 4

𝑃 2 = 0

∴ 2 é raiz da equação polinomial

2º) Para obter as demais raízes vamos baixar o

grau da equação dividindo-a por x – 2. E visto

que 2 é raiz, isto implica em resto igual a zero.

E para “encontrar” as 2 raízes que faltam, basta

resolver a equação 2𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0.

2 2 5 1 2

2 -1 -1 0

2𝑥2 − 𝑥 − 1

Sendo assim:

2𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0

∆= 1 + 8 ⇒ ∆= 9

𝑥 =1 ± 3

4⇒ 𝑥1 = 1 𝑒 𝑥2 = 1/2

Por fim, P(x) na forma fatorada é igual a :

𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝟐 . 𝑥 − 𝟏 . 𝑥 − 𝟏/𝟐

Fonte: Volume 6 da coleção Fundamentos da Matemática Elementar / Autor: Gelson Iezzi