GABARITO

1Matemática C

Matemática C – Extensivo – V. 5

Exercícios

01) A

i10 + i–100 = i2,5 + 1

100i

= + = − + =( ) ( )( ).

ii i

2 52 50

52 50

11

1

=− +−( )

=− + =− + =11

111

1 1 050i

02) C

Então,z = (a + i)4 = a4 + 4a3i + 6a2i2 + 4ai3 + i4

z = a4 + 4a3i + 6a2(–1) + 4a(–i) + 1z = a4 + 4a3i – 6a2 – 4ai + 1z = a a a a i4 2 36 1 4 4− + + −� ������ ������ � ����� �����( )

Parte real Parte imaginária

Então, z é real se4a3 – 4a = 0 ⇔ a(4a2 – 4) = 0 ⇔ 4a(a2 – 1) = 0 ⇔ 4a = 0 ou a2 – 1 = 0 a = 0 ou a2 = 1 a = 0 ou a2 = ±1 S = {–1, 0, 1}

Logo, existem três números reais a tais que z = (a + i)4

é um número real.

03) D

a) Verdadeira. Basta lembrar a definição de conjugado de um número complexo.

b) Verdadeira. |1 + i| = 1 12 2+ = 2.c) Verdadeira. z2 – 2z + 2 = 0

z = 2 4 82

2 42

2 4 12

2 2

2

± −=± −

=± −

=±. i

z = 1 ± i z' = 1 + i e z" = 1 – i

d) Falsa. (1 + i)–1 = 11+ i

1

111

11 1 0

12

12 2

1+( )

−( )

−( )=

−+ +

=−= − ≠ −

iii

ii

i ii.

e) Verdadeira. (1 + i)2 = (1 + i) . (1 + i) = 1 + 2i + i2 = = 1 + 2i – 1 = 2i

04) E

11

4+−

ii

= 11

11

22

14 4

4+( )−( )

+( )+( )

= = =

ii

ii

ii.

05) D

i ii

246 121

34

+ = i ii

i i i

i

i i i2 123 1 120

2 17

2 123 2 60

2 17

123 2 60.

.

.. .+=( ) +( )

=−( ) + ( )

−

+

ii( )17

= − + −( )

−=− +−

= −1 1

11

11

60i i

i.

06) E

E = x–1 + x2 = (1 – i)–1 + (1 – i)2 = 1

11 2 2

−+ − +

ii i =

E = 11

11

1 2 1−

+( )+( )+ − + − =

iii

i. ( )

E = 11

21

12

12

22 2

+−− =

+− −

− =+−

ii

iii

ii

i( )

E = 1 42

1 32

12

32

+ −=+ −

= −i i i

i( )

07) x = 2 e y = 3

(3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i(3x + 5) + (4y + 6)i = 11+ 18i� ��� � ��� �� ��

3 5 11

4 6 18

x

y

+ =+ =

3x + 5 = 113x = 6x = 2

4y + 6 = 184y = 12y = 3

08) 58

(a + bi) . (a + bi) = –3 + 4ia b abi i2 2 2 3 4− + =− +� ���� ��� �� �

a b I

ab II

2 2 3

2 4

− =−=

( )

( )

Por (II), temos que a ≠ 0 e b ≠ 0.

Por (II) também b = 2a

(III).

Substituindo (III) em (I) temos:

a b aa

2 2 22

32

3− =− ⇒ − =− ⇒

GABARITO

2 Matemática C

a4 – 2 = –3a2 ⇒ a4 + 3a2 – 2 = 0 Resolvendo essa equação biquadrada, obtemos as

seguintes raízes:a' = –1, a" = 1, a'" = 2i e a"" = –2i.Mas, pelo enunciado, a ∈ R. Logo, a = ±1.Por (II) b = ±2. Assim, |a| = 1 e |b| = 2. Portanto,8|a| + 25|b| = 8 . 1 + 25 . 2 = 58

09) 19

Lembre-se de que se um número complexo é raiz de um polinômio, então seu conjugado também será. Pelo método soma e produto, temos que:S: (1 + 4i) + (1 – 4i) = –pS: (1 + 4i) . (1 – 4i) = q⇒ 2 = –p ⇒ p = –2⇒ 1 + 16 + 0i = q ⇒ q = 17Logo, q – p = 17 – (–2) = 19.

10) A

(1 + i)n = (1 – i)n ⇒ como i

i n

1 0

1 0

− ≠− ≠

( )

⇒+−

= ⇒+−

= ⇒

+ +− +

( )( )

( ).( )( ).( )

11

111

11 11 1

ii

ii

i ii i

n

n

n

= ⇒

n

1

⇒+ ++ −

= ⇒

=

1 21 0

122

1i ii i

in n

⇒ in = 1. Para que in seja igual a 1, n deve ser múltiplo de 4, ou seja, n = 4 k, com k ∈ z.

11) C

z1 = 4 – 3i, z2 = –2i e z3 = i

|z1| + z338 – z2 . z3

|4 – 3i| + i38 – (–(–2i)) . i = 4 32 2+ −( ) + i2 . 19 – 2i2 =

16 9+ + (–1)19 – 2(–1) =

25 + (–1) + 2 = 5 + 2 – 1 = 6

12) C

z = ii i i−+ −

12 3 7( )

= i

i i i−+ −

12 3 4 7

=

z = i

i i i

ii i

−

− + −=

−− + − −

1

2 1

12 13 4( ) . ( )

=

z = ii i

ii

i

i

−− + +

=−−= −

−−=−

12 1

11

11

11( ).

13) 12 –

i2

z = i

i

n3 4

1

+

− = i i

ii i

i

n n3 4 4

1 1. ( ) . ( )−=−−

=

( ) . ( ) ( ).

( )−−

=−−=−−( )

++( )=

=i i

iii

ii

ii

n1

1 1 111

− +=− − +

=−= −

( ) (( ) )i i i i i2

212

12

12 2

14) 1

7 24+ .i = ±

4 325− .i

∈C

Note que 7 + 24i pode ser escrito como:7 + 24i = 16 – 9 + 2 . 4 . 3 . i == 42 – 32 + 2 . 4 . 3 . i = (4 + 3i)2.

Assim, 7 24 4 3 4 32

+ = +( ) =± +. . ( )i i i .

Logo, 1

7 24+ .i =

14 3

14 3

4 34 3± +

=±+

++

=( ) ( )

.( )( )i i

ii

= ±−− −

4 316 9

i( )

= 4 3

25− .i

15) n = 2k – 1, k ∈ N

z = i .  11+−

ii

n

= 11

11

+( )−( )

+( )−( )

=

ii

ii

n

.

z = ii i i

ii

in n2 2

2 2

21

21 1

+ +−

= +

= i . in = in + 1

Logo, para que Z seja real, (n + 1) deve ser par, ou seja, n + 1 = 2k, k ∈ Z, de modo que n = 2k – 1, k ∈ N.

16) A

Nesta questão serão usadas as seguintes propriedades: (Z1, Z2, w ∈ ⊂)

• z z z z1 2 1 2± = ± .

• z z z z1 2 1 2. .= .

•zz

z

z1

2

1

2

= .

• w z w z z= ⇒ = =2 2 2.

• z z z z1 2 1 2+ ≤ + .• arg(A.B)=argA+argB.

• arg AB

= arg A – arg B.

I. Verdadeira. w = 2 5

1 3 2 3 2

2

2 2

iz z i

z iz z z

+ −

+ + + +. ⇔

w = 2 5

1 3 2 3 2

2

2 2

iz z i

z iz z z

+ −

+ + + +. ⇔

GABARITO

3Matemática C

w = 2 5

1 3 2 3 2

2

2 2

iz z i

z iz z z

+ −

+ + + + ⇔

wiz z i

z iz z z=

− + +

+ − + +

2 5

1 3 2 3 2

2

22

. ⇔

Lembre-se de que z z=

II. Se z ≠ 0 e w = 2 3 3

1 2iz i

i z+ ++( )

, então

w ≤ 2 3 2

5

z

z

+ .

II. Verdadeira. w = 2 3 31 2

iz ii z

+ ++( )

⇒

⇒ |w| = 2 3 31 2

iz ii z

+ ++( )

≤

≤ 2 3 3

1 2

iz i

i z

| |

.

+ ++

=

= 2 3 5

5

z

z

+

III. Verdadeira.

w = 1

4 3 4

2+( )

+i z

i ⇒ arg w = arg 1

4 3 4

2+( )

+

i z

i

w = arg ((1 + i)z2) – arg (4 3 + 4i)

w = arg (1 + i) + z2 – arg (4 3 + 3i)

w = π4

+ 2 arg z – π6

= 2 arg z + π

12

17) i

y = i + i2 + i3 + i4 + ... + 11001.

Note que a cada quatro termos a soma se anula:

y = i . i . i . i + ... = i + (–1) + (–i) + 1 + ...2 3 4

Logo, do 1º ao 4º termo a soma se anula, do 5º ao 8º, do 9º ao 12º, ..., do 997º ao 1000º também se anula.Assim, só resta o 1001º termo, com isso:y = i1001.y = i . i1000

y = i . i2 . 500

y = i . (i2)500

y = i . (–1)500

y = i . 1y = i

18) z = − ± − ±5 3324

5 2324

e z = i

(3z + 1)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2(Multiplicando o 1º termo por 4)(12z + 4)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2 . 4(Multiplicando o 2º termo por 3)(12z + 4)(12z + 3)(6z + 1)(12z + 1) = 8 . 3(Multiplicando o 3º termo por 2)(12z + 4)(12z + 3)(12z + 2)(12z + 1) = 24 . 2

Seja x = 12z + 1, então ficamos com:(x + 3)(x + 2)(x + 1)x = 48 (*)

Ideia: note que:6 . 4 = (5 + 1) (5 – 1) = 52 – 12

5 . 7 = (6 + 1) (6 – 1) = 62 – 12

Então, aplicando esse raciocínio para a nossa equação:

x x x x

x x x x

.( )

( )( )

+ = ++ + = + +

3 3

1 2 3 2

2

2

(*) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 48 (x2 + 3x + 1 – 1)(x2 + 3x + 1 + 1) = 48(x2 + 3x + 1)2 – 12 = 48

x2 + 3x + 1 = ± 49x2 + 3x + 1 = ±7

Temos duas equações:x2 + 3x + 1 = 7 e x2 + 3x + 1 = –7 (I) (II)

(I) Como x = 12z + 1, temos: x2 + 3x + 1 = 7 ⇒ (12z + 1)² + 3 . (12z + 1) + 1 = 7 ⇒⇒ 114z² + 24z + 1 + 36z + 3 + 1 − 7 = 0 ⇒⇒ 114z² + 60z − 2 = 0 ⇒

z=− ± − −60 60 4 144 2

2 144

2 . ( ) . ( )

. ( ) = − ±60 4752

288 =

= − ±60 12 33

288 ⇒

⇒ z=− ±5 33

24

(II): Como x = 12z + 1, temos:x2 + 3x + 1 = − 7 ⇒ (12z + 1)² + 3 . (12z + 1) + 1 = − 7 ⇒⇒ 144z² + 24z + 1 + 36z + 3 + 1 + 7 = 0 ⇒⇒ 144z² + 60z + 12 = 0 ⇒

z = − ± −60 60 4 144 12

2 144

2 . ( ) . ( )

. ( )= − ± −60 3312

288 =

= − ± −60 12 23

288 ⇒ z =

− ± −5 23 1

24

. ( ) = − ±5 23

24i

GABARITO

4 Matemática C

19) B

Note que:

zii

ii

ii

ii1

11

11

11

22

=−+=−+

−−=−=−

( )( )

.( )( )

E mais,

zi

i

ii

i ii

i ii

2

11

1

11

1

1 1 11

1 1 11

=− +

+

+ +−

=

−( ) +( )++( )

+( ) −( )+−( )

=

z i

ii

i ii

z i2 1

31

31

31

1

3

11

= +

−

=+

−=−+= =−.

Se continuarmos com z3, z4, z5, ..., zn de modo recursivo, obteremos z3 = –i, z4 = –i, z5 = –i, ... , zn = –i. Logo:z = –i. Portanto

z i+ = − + = + − =1 1 1 1 22 2( ) .

20) A

Note que: z(z + i)(z + 3i) = 2002 i (z2 + zi) (z + 3i) = 2002 i (z3 + 4iz2 – 3iz – 2002 i) = 0 (z + 14i) (z2 – 10iz – 143) = 0

(z + 14i) (z – 118 – 5i) (z + 118 – 5i) = 0

Logo, as raízes são: z' = –14i (a = 0)

z" = – 118 + 5i (a = – 118)

z'" = 118 + 5i (a = 118)

Como a é um real positivo, a única raiz que nos inte-

ressa é a = 118.

21) 55

01. Verdadeira. |z| = |–3 + 4i| = ( )− + =3 4 252 2 = 5.02. Verdadeira. Pois se a é real, a = a + 0 . i ∈ C.

04. Verdadeira. Pois z = (12a – 3) + i = (12 . 14

– 3) + i

= (3 – 3) + i = i. imaginário puro

08. Falsa. Pois (6 + 2) ∈ �.16. Verdadeira. Pois i10 = (i2)5 = (−1)5 = −1.32. Verdadeira. Basta lembrar da definição de unidade

imaginária.

22) E = {–2, 0, 2}

E = in + 1in

E = ( ) ( ) ( )ii

ii i

n

n

n

n

n

n

2 21 1 1 1+=

+=− +

Para n = 1 ⇒ E = ( )− += =

1 1 00

1

1i i

Para n = 2 ⇒ E = ( )− +=−=−

1 1 21

22

2i

Para n = 3 ⇒ E = ( )− +

=1 1

03

3i

Para n = 4 ⇒ E = ( )− += =

1 1 21

24

4iPara n = 5 ⇒ E = 0

Para n = 6 ⇒ E = ( )− +=−=−

1 1 21

26

6i          Logo, para n = 2k + 1, k ∈zTemos que E = 0Para n = 4k, k ∈zTemos que E = 2Para n = 4k + 2, k ∈zTemos que E = –2

Assim, os valores que E assume são 0, – 2, 2.

23) 4949

S = 1 + i + 2 + i2 + 3 + i3 + 4 + i4 + ....+ 99 + i99

Separemos em duas somas:S1 = 1 + 2 + 3 + ... + 99.S2 = i + i2 + i3 + ... + i99.

Logo, S = S1 + S2.

Para S1, lembre-se da fórmula (P.A.), Sn = ( )n n+12

.

Logo, S1 = S99 = 99 99 12

99 1002

99 502

+( )= =

. . = 4950.

Para S2, note que a cada quatro termos a soma se anula:S2 = i + i2 + i3 + i4 + ... + i97 + i98 + i99

S2 = i – 1 – i + 1 + ... + i + (–1) + (–i)

S2 = i i i i− − + + + + − + −1 1 1... ( ) ( )S2 = –1

Logo, S = S1 + S2 = 4950 + (–1) = 4949.

24) a) ρ = 2 θ = 135o

b) ρ = 22

θ = 45o

GABARITO

5Matemática C

a) z = – 2 + 2i

Módulo: |z| = ρ = ( ) ( )− + = + =2 2 2 2 42 2  = 2

Argumento: sen θ = bρ

= 22

cos θ = aρ

= – 22

No gráfico:

Im

R

θ = 135°

0 a

2'–

2

2

Logo, θ = arg (z) = 90° + 45° = 135°.

b) z = 12

+ i2

Módulo: |z| = ρ = 12

12

2 2 + =

= + = = =14

14

12

1

2

22

Argumento: sen θ = bρ

=

122

2

= 2

2 2 = 2

2

cos θ = aρ

=

122

2

= 22

No gráfico:

Im

R

θ = 45°

0

1

2

1

2

Logo, θ = arg (z) = 45°

25) 08

01. Falso. Tome z = 2 + i como contraexemplo (z . z = |z|2 = 5)02. Falso. Tome z = 2 + i como contraexemplo (z . z = 2 + i + 2 – i = 4, 0 ≠ 2 . 1)

04. Falso. |z| = 32 = 3, arg (z) = 90°.

Im

R

θ = 90°

0

3

08. Verdadeira. z6 = (2i)6 = 26 . i6 = 64 . (i2)3 z6 = 64 . (–1)3 = – 64

26) B

Como z = 1 + bi, temos que:w = z – z = 1 + bi – (1 – bi) = 2bi.

Como w = 2 cosπ π2 2+

isen , temos que |w| = 2, assim,

|w| = |2bi| = 2 ⇒ 2 |b| = 2 ⇒ |b| = 1 ⇒ b = ±1, porém,

como arg w = π2

, temos que b = 1.

(Se fosse b = –1, o argumento de w seria –32π

).

Portanto, b = 1.

27) 50

z = 10 cosπ π6 6+

isen

ρ = |z| = 10, então, como

bρ

= sen π6

⇒ b10

= 12

⇒ b = 5 e

aρ

= cos π6

⇒ a

10 = 3

2 ⇒ a = 5 3.

Assim, z = 5 3 + 5i, logo: a2 – b2 = 25 . 3 – 25 = 50.

28) 27°

Seja z = – 2 + 2i, então arg z = θ. Também, ρ = |z| = 2No gráfico:

Im

R

θ = 90° + 45° = 135°

0

2–

245°

2

Logo, θ5

= 135

5° = 27°

GABARITO

6 Matemática C

29) D

( )1 3+ −i = 1

11

1 1 2 13 2 2( ) ( )( )+=

− + +−i i i

( )1 3+ −i = 1

2 11

2 21

2 2

1

4 42 2i i i( )+=− +

=−( ) +

=+

( )1 3+ −i = 1

8

1

2 2

12

22

= =.

. = 24

.

30) θ = 72o e ρ = 10

z1 . z2 = 2,5(cos 283° + isen 283°) . 4(cos 149° + isen 149°)== 2,5 . 4 (cos (283° + 149°) + i sen (283° + 149°)= 10(cos 432° + i sen 432°) = = 10(cos (432° – 360°) + i sen (432° – 360°)) = = 10(cos 72° + i sen 72°).Logo, ρ = 10 e θ = 72o.

31) D

11

25−+

ii

= 11

11

1 2 11 1 0

25 2

2 2

−( )

+( )−( )

−( )

=

− −+ +

ii

ii

ii

. =−

25 252

2i =

11

25−+

ii

= (–i)25 = (–1)25 . i25 = –1 . i = –i

32) B

M = 11

4 2+−

+ii

n

= 11

11

22

4 2 4 2+( )−( )

+( )+( )

=

+ +ii

ii

in n

. = i4n + 2

M = i4n . i2 = (i4)n . (–1) = 1n . (–1) = –1

33) C

(1 + i)11 = (1 + i)(1 + i)10 = (1 + i) . ((1 + i)2)5 = (1 + i) . (2i)5 = (1 + i) . 32i = 32i – 32.Logo, b = 32.

34) E

Note que:z6 + z4 + z3 + z2 + 1 = 0 é o mesmo quez6 – z + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0, ou seja,

z(z5 – 1) + zz

5 11−−

= 0, então z z zz

5 1 1 11

−( ) −( )+( )−

= 0 e

z z zz

2 51 11

− +( ) −( )

− = 0. Assim,

z5 = 1, z ≠ 1 ⇒ z = cis 72, 144, 216, 288 ou

z2 – z + 1 = 0 ⇒ z = 1 3

2± −

= cis 60, 300.

Decartando as raízes com parte imaginária negativa, ficamos com cis 60, 72, 144, e seu produto é P = cis (60 + 72 + 144) = cis (276).

35) E

z – z + |z|2 = – 22 13

2 13

12

+( ) −−

+

i i

Observe que:

2 13

2 13

23

113

1−−

+= − − +i i i( ) ( ) e,

portanto, ( 2 + i) 2 13

2 13

−−

+

i =

= 23

12

31

23

113

1( ) ( ) ( ) ( )− − + + + + − =i i i i

=1 – i = 2 cos − + −

π π4 4

i sen

Logo, a equação dada é equivalente a:

z – z + |z|2 = – 24 4

12

cos − + −

π πi sen

Assim, sendo z = a + bi, com a e b reais, temos:

a2 + b2 + 2bi = –26 cos − + −

124

124

π πi sen ⇔

a2 + b2 + 2bi = 26 ⇔ b = 0 e a2 = 26 ⇔ a = ± 23 = ± 8 e b = 0 ⇔ z = –8 ou z = 8

Temos então que z – z = 0,

|z| = 8 e zz

+1 = 8

18

+ > 8.

36) B

cosπ π5 5

54

+

isen = 154 cos . .54

554

5π π+

i sen =

= cos ( )1045

1045

π π π π+

+ +

i sen I

= cos45

45

π π+

i sen . Mas note que,

π5

4

5

π

cos 45π

= – cos π5

e sen 45π

= sen π5

.

Então, (I) = – cos π5

+ i sen π5

= –a + bi

GABARITO

7Matemática C

37) D

Im

R

z3

z1

z2

w1

w2

b

h

w3

w1 = –iz1 = –i . 3 = –3iw2 = –iz2 = –i . 6 = –6iw3 = –ihz3 = –ih(8 + 3i)

ADW = 18 = b h h h. ( ( ))( ) .( )2

3 6 3 02

3 32

=− − − −

⇒ = 18

⇒ h = 4

38) B

(1 + i)15 = (1 + i) (1 + i)14 = (1 + i)((1 + i)2)7 = (1 + i) (12 – 12 + 2i)7 = (1 + i) (2i)7 = (1 + i) . 128i7 = (1 + i) . 128i3

(1 + i) (–i) . 128 = (1 – i) . 128

39) C

z10 = (cos 9° + i.sen 9°)10 = (cos 10 . 9° + i.sen 10 . 9°) =cos 90 90

0 1

°+ °=� ���� ���� � ���� ����i sen i

40) B

R

Im

–2 –1 1 2–1

–2

2

1

Se analisarmos o plano como sendo cartesiano, notaremos que o quarto deve estar nas coordenadas (z, –1), ou seja (no plano de Argand-Gauss), no ponto 2 – i.

41) E

f(i) = i3 + 2i2 – 3i + 2 =–i + 2(–1) – 3i + 2 = –4i

cujo módulo é 4 e o argumento é

θ = 270° =3

2

π

42) C

( ) ( )11

1 21

21

2 2−+( )=+ − −+( )

=−+( )=

ii

i ii

ii

−+( )

−( )

−( )=− −2

111

2 22

ii

ii

i. = –1 – i.

ρ = ( ) ( )− + − =1 1 22 2 e

θ π= + =π4

5

4

π

R

Im

Logo, z = 254

54

. cos .π π

+

i sen

43) B

R

Im

0

Perceba que μ = a + bi e I = a – bi

Assim, μ = I e I = µLogo, μ . I = μ . µ = |μ|2 = 12 = 1(Pelos dados |μ| = 1 e |I| = 1)

GABARITO

8 Matemática C

44) E

y = (1 + i)48 – (1 + i)49 = 1 1 12 24 2 24

+( )( ) − +( ) +( )( ) =i i iy = (2i)24 – (1 + i)(2i)24 = (2i)24[1 – (1 + i)]y = (2i)24 (–i) = 224 . i24 . (–i) =y = 224 . 1 . (–i) = –224 . i

45) E

E = x–1 + x2 = (1 – i)–1 + (1 – i)2

E = 11

11

111

12 2

−+ −( ) =

−( )+( )+( )+ −( )

ii

iii

i.

E = 1

1 1+− −

i( )

+ 1 – 1 – 2i = 12

+ i2

– 2i = 12

– 32

i

46) B

Como z1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i, temos que: w1 = iz1 = 2i, w2 = iz2 = 5i e w3 = 2iz3 = 12i – 4.

No gráfico:

–12

–4

5

2

A altura desse triângulo é 4 e a base é 5 – 2 = 3. Assim, a área é:

A = b h. .2

3 42

= = 6

Lembre-se de que a altura pode ser em relação a qual-quer um dos três lados.

47) – 3 – i

Pelo gráfico, |z| = 2 e θz = 30°.Então,z = 2(cos 30° + i sen 30°)

z = 2 32

12

+

i

z = 3 + i

Por outro lado, |w| = 4 e θw = 240°.Entãow = 4(cos 240° + i sen 240°)

w = 4 − + −

12

32

i

w = –2 – 2 3 i

Assim, o número t que acerta z em w é:tz = w ⇔ t ( 3 + i) = (–2 –2 3 i)

⇔ t = –2 . 1 3

32

1 3

3

3

3

+( )+( )=−

+( )+( )

−( )−( )

i

i

i

i

i

i. .

⇔ t = –2 . 3 2 33 1

2 3 22

+ +( )+( )

=−+( )i i

⇔ t = – 3 – i

48) A

Pelo gráfico, z1 = 2 3 + 2i e |Z2| = 2.

Como arg (z1) = arc tg ba

= arc tg 2

2 3

=

= arc tg 1

3

= arc tg 33

= 30°, temos que

arg (z2) = 120° (pois arg tg (z2) = 90° + arg (z1)).

Logo, para z2 temos:z2 = |z2| (cos 120° + i sen 120°)

z2 = 2 − +

12

32

i .

z2 = –1 + 3 i

Portanto, z1 . z2 = (2 3 + 2i) (–1 + 3 i) = –2 3 + (6 – 2i) – 2 3 = –4 3 + 4i

Assim, a + b = –4 3 + 4 = 4(1 – 3).

49) A

z = 12

 + 3

2i = |z| (cos θ + i sen θ)

Im

0

2

3

60°

1

2

1

|z| = 12

32

2 2 +

= 1 e θ = 60°

Assim, z = 1(cos 60° + i sen 60°) ez7 = 17 (cos 7 . 60° + i sen 7 . 60°) =

GABARITO

9Matemática C

θ = + +3

2

π π4

7

4

π

–3

Im

3

53) D

w z i

z w i

2 2 4 12

2 4

− = +

− = +

( )

( )

I

II

Se w = a + bi e z = c + di, temos:(I) w2 – z2 = (w + z) . (w – z) = = (a + bi + c + di) . (a + bi – (c + di)) = = (a + bi + c + di) . (a – c + (b – d)i) = = 4 + 12 i

(II) z – w = c – di – (a – bi) c – a + (b – d)i = 2 + 4i

Portanto ficamos com:( ) ( ( ) )

( )

a bi c di a c b d i i

c a b d i i

+ + + − + − = + ∗− + − = + ∗∗

4 12

2 4

De ** c a a c

b d

− = ⇒ − =−− =

2 2

4

Substituindo os termos (a – c) e (b – d) em * temos:(a + bi + c + di) . (a – c + (b – d)i) = = (w + z) (–2 + 4i) = 4 + 12iLogo,

(w + z) = 4 122 4

4 122 4

2 42 4

+− +

=+( )− +( )

− −( )

− −( )ii

ii

ii

.

(w + z) = − − − ++ + − +

=−8 16 24 48

4 8 8 1640 40

20i ii i

i = 2 – 2i

54) v – f – f – v – v – f – v

01. Verdadeiro. Pois a matriz identidade é quadrada em cada elemento diagonal principal é 1 e os demais são nulos.

02. Falso. Por 1º.03. Falso. Basta que todos os seus elementos sejam

iguais a zero.04. Verdadeiro. Por 3º.05. Verdadeiro. Seja: A = (aij) mxn então At = (aij) nxm e (At)t = (aij)mxn = A06. Falso. Por 5º.07. Verdadeiro. Pela definição transposta.

= 1(cos 60° + i sen 60°) = 12

 + i 3

2 = 1

2 + 

32

i

50) C

z = 1 + i 3, z . w = 1 e α ∈ [0, 2π], arg (zw) = α

Im

0

3

60°

1

1

arg z = 60°.

Como z w = 1 e |z| = 1,

temos que w = z , pois zz = |z|2 = 12 = 1. Assim, w = z.

Como arg w = 2π – arg w, temos que:α = arg (zw) = arg z + arg w

α = π3

+ (2π – arg w) = π3

+ 2π – arg z

α = π3

+ 2π – (2π – arg z) = π3

+ π3

= 23π

51) A

i101(1 – i)46 . (1 – i)–44 == i . i100(1 – i)46 – 44 == i . i100(1 – i)2 == i . (i²)50(1² +i² −2i) == i . (−1)50(–2i) = i . 1 . (–2i) = = –2(−1) = 2

52) B

z + 2z – 9 = 3iz + 2z = 9 + 3i

Se z = a + bi, temosa + bi + 2a – 2bi = 9 + 3i ⇔ 3a – bi = 9 + 3i

⇒=

− =

⇒==−

3 9

3

3

3

a

b

a

b

Logo, z = 3 – 3i

|z| = 9 9+ = 3 2e assim,

z = 3 2 cos74

74

π π+

i sen

GABARITO

10 Matemática C

55) 28

Sendo A = Bt então:

2 1 3

0 4

1x y

x z

+ − −+

=

x

0

12

4

1

6

−

Portanto,1º) 2x + 1 = x ⇒ x = –12º) –3y = 12 ⇒ y = –43º) x + z = 6 ⇒ x = 7

Portanto,x . y . z = (–1) . (–4) . 7 = 28.

56) 2 1

5 4

Sendo aij = 3i – j temos:1º a11 = 3 . 1 – 1 2º a12 = 3 . 1 – 2 a11 = 2 a12 = 1

3º a21 = 3 . 2 – 1 4º a22 = 3 . 2 – 2 a21 = 5 a22 = 4

Portanto, A = 2 1

5 4

.

57) A = 0

A = 2At, portantoa a

a a

a a

a a11 21

12 22

11 12

21 22

2 2

2 2

=

Mas dessa forma a única matriz que satisfaz a igualdade acima é A = 0.

58) C = 2 3 4

3 4 5

4 5 6

− −− −− −

C = (cij)3x3 em que cij = i j se i j

i j se i j

+ =− − ≠

C11 : i = j, portanto C11 = 1 + 1 = 2C12 : i ≠ j, portanto C12 = –1 – 2 = –3

C21 : i ≠ j, portanto C21 = –2 – 1 = –3

C22 : i = j, portanto C22 = 2 + 2 = 4

C13 : i ≠ j, portanto C13 = –1 – 3 = –4

C23 : i ≠ j, portanto C23 = –2 – 3 = –5

C31 : i ≠ j, portanto C31 = –3 – 1 = –4

C32 : i ≠ j, portanto C32 = –3 – 2 = –5

C33 : i = j, portanto C33 = 3 + 3 = 6

59) x = 3 e y = –3

Sendo A uma matriz identidade, então:2x – 5 = 1 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 ey + x = 0 ⇒ y = –3

60) B = 1 3 3

2 1 3

2 2 1

−− −

Sabendo que B é uma matriz 3 x 3 e bij =

− >=<

2

1

3

se i j

se i j

se i j

b11 : i = j então b12 : i < j então b11 = 1 b12 = 3

b13 : i < j então b21 : i > j então b13 = 3 b21 = –2

b22 : i = j então b23 : i < j então b22 = 1 b23 = 3

b31 : i > j então b32 : i > j então b31 = –2 b32 = –2

b33 : i = j então b33 = 1

61) x = ±7 e y = 3

Sendo A = B, então:• 4y=12 ⇒ y = 3

• x2 + 4 = 53 ⇒ x = 49 ⇒ x = ± 7

62) x = –1; y = 2 e z = 1

Sendo A = B, então:• 2x+3y=4

x = 4 32− y = 2 –

32y

• x+z=0

2 – 32y

+ z = 0 ⇒ z = –2 + 32y

• y–2z=0

y – 2 (–2 + 32y

) = 0 ⇒ y + 4 – 62y

= 0 ⇒ y = 2

GABARITO

11Matemática C

Substituindo:

• x=2–32y

= 2 – 32

. 2 = –1 e

• z=–2+32y

= 1

63) Mais telefonou: Bruna = 24 ligações Mais recebeu ligações: Adriana = 27 ligações

1) Adriana: as ligações feitas são representadas pela primeira linha e as recebidas pela primeira coluna:

• Ligaçõesfeitas(LA) LA = 0 + 13 + 10 = 23

• Ligaçõesrecebidas(RA) RA = 0 + 18 + 9 = 27

2) Bruna: as ligações feitas são representadas pela segunda linha e as recebidas pela segunda coluna:

• Ligaçõesfeitas(LB) LB = 18 + 0 + 6 = 24

• Ligaçõesrecebidas(RB) RB = 13 + 0 + 12 = 25

3) Carla: as ligações feitas são representadas pela terceira linha e as recebidas pela terceira coluna:

• Ligaçõesfeitas(LC) LC = 9 + 12 + 0 = 21

• Ligaçõesrecebidas(RC) RC = 10 + 6 + 0 = 16

64) M = 0 4

5 0

7 8

Pela definição da matriz M temos que:a11 = 2(1 – 1) = 0a21 = 2 . 2 + 1 = 5a31 = 2 . 3 + 1 = 7

Nesse caso a única matriz que satisfaz é: M =0 4

5 0

7 8

65) B

Da igualdade das matrizes temos que:• x+1=–1 ⇒ x = –2

66) D

Sendo A de ordem 2 e aij = i j para i j

j para i j

+ ≥<

,

,3 temos,

a11 então i ≥ j a12 então i < ja11 = 1 + 1 = 2 a12 = 3 . 2 = 6

a21 então i ≥ j a22 então i ≥ ja21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4

Portanto, A = 2 6

3 4

.

67) x = 3; y = 0; w = 9 e z = ±12

− −−− +

5 4 1 5

6 4 12

3 82

x

y

z w

= −

−−

19 1 5

6 4 12

144 3 1

Portanto temos que:• –5x–4=–19

–x = − +19 45

⇒ x = 3

• y–12=–12⇒ y = 0

• z2 = 144 ⇒ z = ± 144 = ± 12• –w+8=–1 ⇒ –w = –9 ⇒ w = 9

68) x = 3, y = 4 e z = 4

Sendo A uma matriz 2 x 3 e aij = i + j, portanto:• x=a21 = 2 + 1 = 3• y−1=a12 = 1 + 2, portanto y = 1 + 2 + 1 = 4• z=a22 = 2 + 2 = 4

69) C

Sendo A = B, temos• x2 + 1 = 10 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3• y–2=0 ⇒ y = 2

• logx81 = 4 ⇒ x = 3

• y2 = 4 ⇒ y = 4 ⇒ y = ±2Portanto x = 3 e y = 2.

70) a) Cláudio bebeu 15 chopes.b) 2 chopes

a) Para descobrir quem bebeu mais basta somar os valores das colunas nas duas matrizes.

Antônio: 4 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 = 14 Bernardo: 1 + 2 + 1 + 5 + 3 + 1 = 13 Cláudio: 4 + 0 + 5 + 3 + 0 + 3 = 15 Portanto, Cláudio bebeu mais.b) Para descobrir basta somar os valores de s13 e d13 e

substituir da soma de s31 e d31. D = (4 + 3) – (3 + 2) = 2

71) x = 1 e y = –1

Da igualdade das matrizes temos:• 2x – 1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1• yx = – 1 = y1 = –1 ⇒ y = –1

GABARITO

12 Matemática C

72) a) 2800b) 10580c) 7730

a) Corresponde ao número representado por a32 = 2800.b) Corresponde à soma da terceira coluna. S = 1800 + 1740 + 2700 + 2300 + 2040 = 10 580c) Corresponde à soma da primeira linha. S = 1950 + 2030 + 1800 + 1950 = 7730

73)B

De acordo com a descrição, temos que:

aij = 0

1

se i j

se i j

=≠

Portanto, a matriz que representa as distâncias é uma matriz com a diagonal principal igual a zero e as demais iguais a 1.

M = 0 1 1

1 0 1

1 1 0

74) x = 0, y = –3 e z = 2

Para A ser uma matriz diagonal todos os valores menos os da diagonal principal devem ser nulos.• y+3=0 ⇒ y = –3• x2 = 0 ⇒ x = 0

• 23 – 8 = 0 ⇒ z = 83 = 2

75) C

Seja B = cos

cos

π π

π π2

32

4 3

sen

tg

temos então: B = 0 1

112

−

.

Seja A = log log ,

log log

1 0 01

100 10

temos então: A =

0 2

2 1

−

.

Note que se multiplicarmos a matriz B por 2 temos:

2 . B = 2 . 0 1

112

−

=

2 0 2 1

2 1 212

. . ( )

. .

−

=

0 2

2 1

−

= A

Com isso podemos afirmar que A = 2B.