GABARITO

1Matemática D

Matemática D – Extensivo – V. 1

Exercícios

01) C

8x – 40 = 6x – 20 8x – 6x = –20 + 40 2x = 20 x = 10

8x – 40 = 8 . 10 – 40 = 80 – 40 = 40o

6x – 20 = 6 . 10 – 20 = 60 – 20 = 40o

02) 1h24

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

30°

12°

Ponteiro pequeno (horas) 30o – 1 hora = 60 minutos 12o – ?

3012

60=x

x = 24 min Portanto, 1h24min

03) 75°

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

α

2h30min

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

1h

β

Lembrando que cada hora é equivalente a 30o. α = 30o + 30o + 30o + 15o

α = 105o

β = 30o

Diferença α – β = 75o

04) A

Ponteiro pequeno no relógio: 30o → 60 min α → 15 min

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

α

30 6015α

= → 30α

= 4 → 4α = 30 → α = 7,5o

Observação: 1o → 60' 0,5o → x x = 30' = 30 minutos

Portanto, α = 7o30'.

05) 47°

(A + C) – (B + D) = = ( ’ " ’ ")22 32 15 75 01 52o o

i

+  –  ( ’ " ’ ")17 49 47 32 44 20o o

ii

+

i)

+22 32 1575 01 5297 33 67

o

o

o

’ "’ "’ "

Obs.: 60" → 1' 97o33'67" = 97o34'07"

ii)

+17 49 4732 44 2049 93 67

o

o

o

’ "’ "’ "

Obs.: 60" → 1' → 49o93'67" = 49o94'07" 60' → 1° → 49o94'07" = 50o34'07"

Portanto, i – ii:

−97 34 0750 34 0747 00 00

o

o

o

’ "’ "’ "

i – ii = 47o

GABARITO

2 Matemática D

06) D

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

α

Considerando o deslocamento do ponteiro a partir das 12h (pequeno):

Ponteiro menor Ponteiro maior

360 122x

hh

= 30 6032

o

y= min

min 12x = 360 . 2 60y = 32 . 30 x = 60o y = 16o

Portanto, entre 12 h e 2h32min o ponteiro desloca-se x + y = 60o + 16° = 76o. Sendo que o ponteiro maior desloca-se 360o em 1 hora, logo:

360o → 1h → 60 min 360o → 60 min z → 32 min

360 60

32z=

60z = 360 . 32 → z = 192o

Portanto, a diferença entre eles é o menor ângulo:

192o – 76o = 116o

07) B12

1

2

3

4

56

7

8

9

10

11

α

Ponteiro menor Ponteiro maior

360 121

o

xh

h= 30 60

50

o

x ’minmin

=

12x = 360 60x' = 30 . 50 x = 30o x' = 25o

Obs.: Cada hora = 30o

Logo, α = 30o + 30o + 30o + 25o = 115o

α = 115o

08) D

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

α

10h10

Ponteiro menor Ponteiro maior

30 6010

o

x ’= 360 60

10

o

x ’=

x = 5o x' = 60o

Portanto, α = 180o – Ponteiro menor – Ponteiro maior α = 180o – 5o – 60o

α = 115o

09) D

360 6015

o

x= min

min 30 60

15

o

y= min

min x = 90o y = 7,5o → y = 7o30'

Menor ângulo: 90o – 7o30' = 82o30'

10) D

360o = 2πrad

rad = 3602

3602 3 14π

=. ,

= 57,3o → 1 rad = 57,3o

11) a) 23πrad

360120

2o

o

radx

= π

3x = 2πrad

x = 23πrad

b) 54π rad

360225

2o

o

radx

= π

8x = 10πrad

x = 108

54

π πradrad=

GABARITO

3Matemática D

c) 45π rad

360144

2o

o

radx

= π

5x = 4πrad

x = 45π rad

d) 540°

360 23

o

xradrad

= ππ

2x = 360 . 3 x = 540o

e) 112,5°

360 258

o

xrad

rad= π

π

3602

85

o

x= .

x = 112,5o

12) B

No problema considerar x – 56o → x + 56o. Ângulo opostos pelo vértice são iguais, logo: 3x – 80 = x + 56 3x – x = 80 + 56 2x = 136 x = 68o

13) A

D AO

P

M

C B

N

θθ

β βα

α

AÔD = 180° = π PÔD + MÔN = AÔD 2θ + 2β + 2α = π 2(θ + β + α) = π θ + β + α = π

2rad

14) a) 54°36'31"

+32 53 3621 42 5553 95 91

o

o

o

’ "’ "’ "

60" = 1' → 53o96'31" 60" = 1o → 54o36'31"

b) 2°21'20"

16 29 207

o ’ "

Transformando tudo em segundos: 1o → 60' 16° → x x = 960' + 29' = 989'20

1' → 60" 989' → x x = 59340" + 20" x = 59360"

Portanto, 59360 ÷ 7 = 8480"

→ 846060

" 20" → 141'20"

→ 12060

’ 21'20" → 2o21'20"

c) 172°23'20"

Primeiro transformar tudo em segundos:

x = 124120" . 5 x = 620600"

x = 62058060

" 20"

x = 10343'20"

x = 1032060

’ 23'20"

x = 172o23'20"

d) 11°39'43"

−

24 31 2512 51 42

o

o

’ "’ " Obs.: 31' = 30' + 60"

25" + 60" = 85" ↓

−

24 30 8512 51 42

o

o

’ "’ " Obs.: 24o = 23o + 60'

30' + 60' = 90' ↓

−23 90 8512 51 4211 39 43

o

o

o

’ "’ "’ "

GABARITO

4 Matemática D

15) D

Falta indicar no problema o ângulo 135o40'.

1o) 2 . 23

(x + 18o)

2o) 23

(x + 18o)

3o) x + 18o

4o) x

Portanto,

43

(x + 18o) + 23

(x + 18o) + x + 18o + x = 135o40'

43x + 24o + 2

3x + 12o + 2x + 18o = 135o40'

43x + 2

3x + 2x = 135o40' – 24o – 12o – 18o

4 2 63

x x x+ + = 81o40'

12x = 3( 81 40

8123

o

oo

’

+

)

x = 24512

o ≈ 20,40o

x = 20o25'

16) D

r

s

x

4+ 18°

x – 36°

y

x – 36°

x – 36o = x4

+ 18o

4 1444

724

x x− = +

3x = 216 x = 72°

x4

+ 18 = 724

+ 18 = 36o

Portanto, y = 180o – 36o = 144o

y = 144o

17) C

45° = α

15°

15°135°

30°

30° 60°

120°

60° = β

3α + β = 3 . 45 + 60 = 195o

18) 85°

110°

50°

x

s

r

25°

60°

95°60°

70°

x = 180 – 95 x = 85o

19) 83

r

s

105°

75°

22°

83°

x = 83°

83°

t't

x = 83o

GABARITO

5Matemática D

20) D

3 π π2 3

−

= −

xx

32π – 3x = π − x

3

9 186

2 26

π π− = −x x

7π = 16x

x = 716

π

21) C

y = 180o – 90o

y = 90o

22) E

α = 40o e β = 65o

x + y = ? x = 180o – 75o = 105o

y = 180o – 40o = 140o

x + y = 105 + 140 = 245o

23) B

Onde r//u x + 20o = 120o

x = 100o

x = y = 100o

2x + 3y = ? 2 . 100 + 3 . 100 = 500

24) C

θ

120°

40°

120°

θ = 180o – 120o – 40o

θ = 20o

25) D

Bissetriz → 46o

Um dos ângulos = 32o

Outro ângulo = x

x + 16 = 46 x = 46 – 16 x = 30o → Só que este ângulo é a metade da bissetriz,

logo o 2o ângulo é 30 . 2 = 60o.

GABARITO

6 Matemática D

26) C

r//s x = 180o – 68o – 40o

x = 72o

27) C

5a + 3a – a + 3a – a = 180o

9a = 180

a = 1809

a = 20

Sendo AC = AB 5a + 180 – x + 180 – x = 150 5a – 2x = – 180 5 . 20 – 2x = –180 100 – 2x = –180 –2x = –180– 100

x = 2802

x = 140o

28) D

Complemento → 90o – x → 2 . (90o – x)

Suplemento → 180o – x → 1805

o x−

180o – 2x = 1805

o x−

180 . 5 – 10x = 180 – x 10x – x = 900 – 180 9x = 720

x = 7209

x = 80o

360o – x = 360o – 80o = 280o

29) B

r

s

t

A

B

C F I

E H

D G

AC está para BC assim como DF = DE + EF está para EF.

X está para 8 assim como 5 + x está para x – 10.

x(x – 10) = 8(5 + x) x2 – 10x = 40 + 8x x2 – 18x – 40 = 0 x' = 20 x" = –2 → não serve.

AC está BC assim como GI está para HI.

x y y8 10

208 10

= → =

y = 25

Logo, x + y = 20 + 25 = 45

Resposta: (B) entre 41 e 46

GABARITO

7Matemática D

30) A = 15° B = 165°

90180

−−AB

= 5

90 – A = 900 – 5B –A = 900 – 90 – 5B A = 5B – 810

Consecutivos 2A + 2B = 360o

2(A + B) = 360 A + B = 180 A = 180 – B

180 – B = 5B – 810 6B = 990

B = 165o

A = 180o – 165o

A = 15o

A = 15o e B = 165o

31) B

α = 85o

110°

α 45°

32) A

Observe AF e BF conforme a figura:

AE

B

C

F

D

Obs.: Para os triângulos CEF e DEF, temos:

m(CFD) = m(BCE) + m(CEF) + m(DEF) + m(AED) =

m(BCE) + m(CED) + CDE = 130o

Portanto,

AFB = 130o

180 1302− = 25°

33) D

30°

40°

α

60°

B

r

s

A

60°

10°

30°

10°

u'

t'

A = 10o + 60o = 70o

Se u' e t' que passam pelos pontos A e B são paralelas às retas r e s.

34) D

i = 72

e

180 2( )nn

− = 72

. 360n

180(n – 2) = 7 . 180 n = 7 + 2 n = 9

35) 27

n = 9

d = n n( )− 32

= 9 9 32

( )− = 27

d = 27

36) C

n n( )− 32

= 170

n2 – 3n = 340 n2 – 3n – 340 = 0

n = − ± −b b aca

2 42

n = 3 3 4 1 3402 1

2± − − −( ) . . ( ).

= 3 13692

± = + ±3 372

GABARITO

8 Matemática D

n' = 20 n" = 17

i = 180 20 220

( )− = 162o

37) E

n n( )− 32

= 2n

n2 – 3n = 4n n2 – 3n – 4n = 0 n2 – 7n = 0 n(n– 7) = 0 n’ = 0 n" = 7

38) D

y

α

y

z

x

xw

z + w = 190o

z wo

+190

+ 2x + 2y = 360o

190o + 2x + 2y = 360o

2x + 2y = 170o

x + y = 85o

α + x yo

+85

= 180o

α + 85o = 180o

α = 95o

39) C

18 0 (n – 2) = 216 0

n – 2 = 21618

= 12

n = 2 + 12 n = 14

D = n n( )− 32

= 14 14 32

( )− = 7 . 11 = 77 diagonais

• Diagonais que passam pelo centro: n2

142

7= =

• Diagonais que não passam pelo centro: 77 – 7 = 70

40) E

n n( )− 32

= n + 3

n2 – 3n = 2n + 6 n2 – 5n – 6 = 0 n' = 6 n" = 1

Portanto,

i = 180 6 26

( )−

i = 120o

41) Quadrado e dodecágono.

xy

= 13

180 2

180 235

( )

( )

xxyy

−

− =

y = 3x

( )xx− 2 . y

y( )− 2 = 3

5

( ).( )

xx

xx

−−

=2 3

3 235

3 63 2

2

2

x xx x

−−

= 35

3 2 63 2

35

x x xx x( )( )

− −−

=

5(x – 2) = (3x – 2) 5x – 10 = 3x – 2 5x – 3x = 10 – 2 2x = 8 x = 4

y = 3x = 3 . 4 = 12 y = 12

Logo, x: quadrado y: dodecágono

42) B

a + b + c + d = 360o

x2

+ 2x + 32x + x = 360o

x x x x+ + +4 3 22

= 360o

102x = 360o

5x = 360o

x = 72o

GABARITO

9Matemática D

Onde, d = x = 72o

e = 90o

d + e + f = 180o

72o + 90o + f = 180o

f = 180o – 162o

f = 18o

43) 135

A soma dos ângulos internos de um polígono é dado por (n – 2)180°. E caso este seja regular, a medida

de cada ângulo é dada por ( )nn

o− 2 180 . No polígo-

no regular, todos os ângulos internos são iguais. Logo,

( )nn

o− 2 180 = 160o

180n – 360 = 160n 180n – 160n = 360 20n = 360

n = 36020

n = 18 Diagonal do polígono

D = n n( )− 32

= 18 18 32

( )− = 9 . 15

D = 135

44) C

S F E R

G

P

H

D

Q

C

A B

T

X

1

1

1

1

1

1

1

1

X

T → 12 = x2 + x2

2x2 = 1

x = 12

. 22

= 22

ABCDEFG = 1 dm Área PQRS = ?

PI I I I

A BQ

1 dmx x

22

+ 1 + 22

= 2 22

+ 1 = 2 + 1

Área do quadrado = . e os lados são iguais

Área: ( 2 + 1)( 2 + 1) = 2 . 2 + 2 . 2 + 1

Área: 2 + 2 2 + 1 = 3 + 2 2 dm2

Resposta: A = 3 + 2 2 dm2

45) B

Si = 720o ⇒ (n – 2) . 180° = 720° ⇒ n = 6. r = 20 ⇒ a6 = a1 + (6 – 1) . 20° ⇒ a6 = a1 + 100°

S

a a n

S

nn

no

=+

=

( ) .1

2720

⇒ ( )a a o

1 1 1002

+ + . 6 = 720° ⇒ a1 = 70°

Maior ângulo externo do polígono:

46) C

A13 –x

2

X

X

X

X

X

X

X

X

11 –x

2

11

13

A → x2 = 112

2−

x + 132

2−

x

x2 = 121 224

2+ −x x + 169 264

2+ −x x

4x2 = 121 + x2 – 22x + 169 + x2 – 26x 4x2 – 2x2 – 48x – 290 = 0 2x2 + 48x – 290 = 0 (÷2) x2 + 24x – 145 = 0 x ’ = −29 x" = 5 x = 5

GABARITO

10 Matemática D

47) a) 8,55 m b) 48

sen 30° = 0 2,x'

sen 30° = 0 3,

"x

12

= 0 2,x'

12

0 3=

,"x

x' = 0,4 → CD x" = 0,6 → EF

Perímetro: AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + AH P = 0,4 + 1 + CD

T’ + 1 + EF

T" + 1 + 0,3 + 3,85

P = 7,55 + CD + EF P = 7,55 + 0,4 + 0,6 P = 8,55 m

48) a) Polígono regular com oito lados iguais, ângulos internos iguais e ângulos externos iguais.

b) 45°

Cálculo do ângulo central: 360n

, onde n = 8 → 3608

= 45o

c) 1080°

Si = (n – 2)180o

Si = (8 – 2)180o

Si = 1080o

49) D

108°

36°36°

18° 18°

Note que, unindo os vértices do polígono estre-lado, obtemos um pentágono cuja soma dos ângulos internos é Si = (5 – 2) . 180° = 540° e

cujo ângulo central é ac = 540

5

o

= 108°.

Os ângulos α, β, γ, δ e ε possuem todos a mesma medida, 36°, portanto α + β + γ + δ + ε = 180°.

50) A

n n

d d

= +=

3

3

d = n n( )− 32

3d = ( )( )n n+ + −3 3 32

3d = n n2 32−

3 32

n n( )− = n n2 32+

3n2 – 9n – n2 – 3n = 0 2n2 – 6n = 0 n2 – 3n = 0 n(n – 3) = 0 n' = 0 → Não serve n" = 3

n = n + 3 n = 3 + 3 = 6 Si = 180(n – 2) Si = 180 (6 – 2) Si = 180 . 4 Si = 720o

51) B

Do enunciado, temos:

A B

C

D

E

F

G

H

I

GABARITO

11Matemática D

Na figura, cada triângulo possui um ângulo assi-nalado no enunciado e dois ângulos externos do polígono ABCDEFGHI. Assim, a soma pedida é 9 . 180o – 2 . 360° = 900o.

52) 190

PG (360, 1080, 3240). Se n2 e n3 são os números de lados do segundo e terceiro polígonos respectivamente, obtém-se que:

d = n n( )− 32

= 20 20 32

( )− = 170

d = n n( )− 32

= 8 8 32

( )− = 20

Total = 170 + 20 = 190 diagonais.

53) 54°

Sint = 180o(n – 2), com n = número de lados 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 180 . 3 20x = 540 x = 27

O menor ângulo é 2 . 27 = 54o. O complemento é o valor que falta para 90o: 90o – 54o = 36o. O maior ângulo desses ângulos é 6 . x = 162o. O suplemento é quanto falta para 180o: 180 – 162 = 18o. Portanto, soma: 36 + 18 = 54o

54) C

Visando x graus no sentido anti-horário (esquerda), a cada 4 metros, forma-se um ângulo de x, que deve ser igual ao ângulo externo de um pentágono regular.

x

Portanto,

x = 3605

= 72o

Nos passos I e II são construídos dois lados do pen-

tágono. Portanto, é preciso executar o passo IV pelo menos 3 vezes, ou seja, y ≥ 3.

Temos, então, x . y ≥ 72 . 3 → xy ≥ 216.

55) A

A soma dos ângulos internos desse polígono convexo é:

A + B + C + D + E = 540o

2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 1080o

2E + B = 360o

2A + C = 360o

2A + B + C + 360 + 360 = 1080 2A + B + C = 1080 – 360 – 360 2A + B + C = 360o

56) 90°

θ = 30o + 60o = 90o

57) 30°

a = 100o

b = 110o

x = ? x + 80 + 70 = 180 x = 30o

58) B

40°

80°

60°60°

60°

60°40°

60°y

B

x

Q

y

C

A

P

R

40° + 2y = 180o

2y = 140 y = 70o

x + y + 40o = 180o

x + 70 + 40 = 180° x = 180 – 110 x = 70o

GABARITO

12 Matemática D

59) A

A

B C

40°

P

y

yx

z

62) C

Os triângulos MCA e MBD têm dois lados congruentes e o ângulo compreendido entre eles também é con-gruente. Logo,β = 84o.

63) B

Os triângulos VWS e URT são equiláteros e assim possuem ângulos internos de 60o.

S R

VU

w

T

60°

60°

60°

60°60°

60°

75°65°

H

G

α

S R

VU

w

T

60°

60°

60°

60°60°

60°

45°75°

80°

65°55°

H

G

α

S R

VU

w

T

60°

60°

60°

60°60°

60°

45°75°

80°

65°55°

80°

H

G

α

Em ABC, B = C = 70°, pois ABC é isósceles, logo

y + z = 70o.

Em PBC, x + y + z = 180o

x + 70 = 180 x = 110o

60) C

35°125°

55°40°

x

20°

x = 40o + 55o

x = 95o

61) B

20°

140°40°

20°

A

C

B

I. Falsa.II. Verdadeiro. Se apenas um ângulo for agudo, os

outros dois serão obtusos (maior que 90o), o que é absurdo, pois a soma dos ângulos internos seria maior do que 180o.

III. Falsa.

GABARITO

13Matemática D

Soma dos ângulos internos = 180o

60o + 80o + α = 180o

α = 180o– 60o – 80o

α = 180o– 140o

α = 40o

64) C

a = x b = 3 c = 4 a2 = b2 + c2

x2 = 32 + 42

x2 = 9 + 16 x2 = 25 x = 5

• No triângulo XPZ

�

�

�

x

z

P

θ = 2α (ângulo)

Assim: 4 180

2

θ αθ α+ ==

o

⇒

⇒ 4(2α) + α = 180o ⇒ 9α = 180° ⇒⇒ α = 20o

66) B

60°

A

B

FG

H

D

αα

α

C

E

67) 30°

180 = α + 30 + 180 – 60 – β 0 = α – β – 30 α – β = 30o

a = 4 b = 3 c = x a2 = b2 + c2

42 = 32 + x2

x2 = 16 – 9 x2 = 7 x = 7 ≅ 2,64

Como em qualquer triângulo um lado é sempre menor que a soma dos outros dois, temos:

1 < x < 7 ou 5 < x < 7

65) B

Observe a figura:

�

�

�

� 2�

�

O

x

y z

P

• YO é bissetriz de XYZ. Daí, XYO = ZYO = θ.

• XY XZ= . Assim, Δ XYZ é isósceles de base YZ, isto é, XZY = XYZ = 2θ.

• PO YO= . Assim, Δ YPO é isósceles de base PY, isto é, YPO = PYO = XYO = ZYO = θ.

• XP PZ= . Daí, Δ PXZ é isósceles de base XZ, isto é, PXZ = ZXP = α.

• No triângulo XYZ 2θ + 2θ + α = 180° ⇒ 4θ + α = 180°

GABARITO

14 Matemática D

68) A

O triângulo é acutângulo, ou seja, todos os ângulos são < 90o (possuem 3 ângulos agudos).

69) C

A C E

D

B

c

c 84° 48°

48°y

z

y

32°

x

C = 180o – z (1) C = 180o – y – 84o (2)

180o – z = 180o – y – 84o

–z = –y – 84o

z = y + 84o

BC = BD z + 2y = 180o

y + 84o + 2y = 180o

3y = 96 y = 32o

Portanto, x + 32o + 48o + 48o = 180o

x = 180o – 128o

x = 52o

70) A

3k + 4k + 6k = 195 13k = 195 k = 15

O maior lado mede 6k = 6 . 15 = 90 metros.

71) E

A D

B C

a a

a

a

b

DC < AB + BC

72) B

Errata: Para o problema 72 considere a figura:

a

b

70°

Do enunciado, temos: a – b = 70° Como em qualquer polígono a soma dos ângulos exter-

nos é 360°, temos: a + b + 70° = 360° ⇒ a + b = 290°

Logo a b

a b

o

o

+ =

− =

290

10 ⇒ 2a = 300° ⇒ a = 150° e b = 140°

Assim, sen a = sen 150° = sen 30° = 12

.

73) B

2 m 2 m

m/2

H

m

H2 + m2

2

= (2m)2

H2 = 4m2 – m2

4

H2 = 154

2m

H = m2

15

Área: b H mm

m. .

22

15

2 415

2

= =