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GABARITO
1Matemática D
Matemática D – Extensivo – V. 6
Exercícios
01) a) 4 3 cm
Por definição temos que a diagonal D vale:
D = a 3 ⇒ D = 4 3 cm.
b) 64 cm² A área da lateral é dada pela soma das áreas dos
quatro lados que a compõe: A = 4 . a² ⇒ A = 4 . (4 cm)² ⇒ A = 64 cm²c) 96 cm² O cubo tem seis lados, portanto: At = 6 . a² ⇒ At = 6 . (4 cm)² ⇒ At = 96 cm²
02) 1, 3, 5
Sendo as dimensões de um paralelepípedo a, b e c e tendo as dimensões b = a + 2 e c = a +4. Por definição tem-se:
D = a a a2 2 22 4+ + + +( ) ( )
35 = a a a a a2 2 24 4 8 16+ + + + + +
35 = 3a² + 12a +20 0 = 3a² +12a − 15 (÷3) 0 = a² + 4a − 5
Resolvendo a equação de 2o grau, temos que a' = 1 e a" = −5. Como dimensão não pode ser negativa, con-cluímos que a = 1. Logo, b = a + 1 ⇒ b = 3 e
c = a + 4 ⇒ c = 5.
03) 8 cm³
O volume de um cubo é dado por V = a³ e a diagonal
por D = a 3. Portanto:
D = a 3
2 3 = a 3 ⇒ a = 2
e V = a³ V = 2³ = 8
04) C
Basta calcular o volume inicial (Vi) e diminuir do volume evaporado (Ve):
Vi = 30 m . 20 m . 10 m Vi = 6000m³
Ve = 1800 m³
Vf = Vi − Ve
Vf = 6000 m³ − 1800 m³ Vf = 4200 m³
Desta forma: 30 . 20 .h = 4200 600h = 4200 h = 7 m
05) B
Sabendo que o volume de um cubo é dado por V = a³, temos que:
V3 = a
33753 = a
15 = a
Assim, a área lateral é: At = 4 . a² At = 4 . 225 At = 900 cm²
06) C
A área total do sólido obtido é dada pela soma dos quadrados de lado 1 que formam a figura. Portanto:
At = (8 + 5) . 6 . 1 At = 13 . 6 At = 78 cm²
07) B
I. Verdadeira. Diagonal da base: D = 1 Aresta: Pelo teorema de Pitágoras temos que
1² = a² + a². Assim 2a² = 1 ⇒ a = 1
2 =
22
Área da face: Af = a² = 2
2
2
=
24 =
12
Volume do cubo (V): V = a³ = 2
2
3
=
2 28
= 24
Soma dos valores (S): S = 1 + 2
2 +
12 +
24
S = 4 2 2 2 2
4+ + +
= 6 3 2
4+
≅ 2,56
II. Falsa. Do item I temos que a aresta e o volume do cubo são irracionais
GABARITO
2 Matemática D
III. Falsa. Produto dos quatros valores (P):
P = 2
2 . 1 .
24
. 12 =
216
= 18 ≅ 0,12
IV. Verdadeiro. Valores ordenados: 12
212
24
, , ,
Perceba que:
221
122
2
2412
22
= = =
08) C
Primeiramente calcula-se o volume líquido até a altura de 8 cm e subtrai do volume evaporado:
Vi = 60 . 40 . 8 = 19200 Vf = 19200 − 1200 = 18 000
Desta forma: 60 . 40 . hf = 18 000 2400hf = 18 000
hf = 18 0002400
= 7,5
Logo, a altura da caixa está entre 7,0 e 7,6.
09) E
Basta descobrir como o volume é alterado ao se mul-tiplicar suas dimensões por 2,5. Sendo as dimensões da pedra representadas por a, b, c, temos:
Volume inical da pedra: V0 = a . b . c Volume final da pedra: Vf = a . 2,5 . b . 2,5 . c . 2,5 Vf = a . b . c. (2,5)³ Vf = V0 . (2,5)³
Portanto, o preço da pedra será dado por: P = 200 . (2,5)³ = 200 . 15,625 = 3125
10) C
Precisamos calcular a soma dos volumes dos cubinhos imersos na água. Sabendo que 4 cm = 0,04 m, temos:
Vt = 200 . (0,04)³ = 0,0128 m³. Como 1 m³ = 1000 litros, conclui-se que Vt = 12, 8 litros.
11) B
Basta calcular h baseado no volume de água destinada ao combate de incêndios:
18 m³ = 3 m . 4 m . h 18 m³ = 12 m² . h
1812
3
2
mm
= h ⇒ 1,33 m ≅ h
Portanto, a altura deve ser de pelo menos 1,5 m.
12) D
Sendo a aresta do menor cubo igual a a, então: V = a³. Mas como o volume do cubo maior é Vm = 2V, temos
que:
Vm = 2 . a³ = a 23 .
13) C
Sabendo que as arestas representam uma progressão aritimética, então:
AB = a, AE = a + 4 e EH = a + 8
Desta forma, tirando-se os valores das faces em que o bloco foi apoiado, temos:
a . a . (a + 8) = a . (a + 4) . (a + 2) a² + 8a = a² + 6a + 8 2a = 8 a = 4
Portanto, as arestas do bloco medem AB = 4, AE − 4 = 4 e EH = 12 e o volume do bloco é dado por:
V = 4 cm . 4 cm . 12 cm = 192 cm³ = 1,92 . 104 m³
Como 1 m³ = 1000 litros, então V = 0,192 litros.
14) B
Basta calcular o volume da barra no formato de para-lelepípedo. Como seu valor é igual ao da barra cúbica, temos:
Ac = Ap = 18 . 3 . 4 = 216 Ac = a³ = 216 a = 2163
a = 6
15) 03
01. Verdadeiro. Sendo x = 8, as dimensões da caixa são (20 − 16), (30 − 16) e 8. Portanto, o volume é dado por V = 4 . 14 . 8 = 448 cm³.
02. Verdadeiro. Sendo x = 3, as dimensões da caixa são (20 − 6), (30 − 6) e 3. Portanto, a área da base é dada por Ab = 14 . 24 = 336 cm².
04. Falso. Sendo x = 1, as dimensões da caixa são (20 − 2), (30 − 2) e 1. Portanto, o volume é dado por:
V = 18 . 28 . 1 = 504 cm³.08. Falso. O volume da caixa considerando x é: V = (20 − 2x) . (30 − 2x) . x V = (600 − 40x − 60x + 4x²) . x V = 4x³ −100x² + 600x Constituindo uma função do terceiro grau.
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3Matemática D
16) B
Por definição, o produto das três dimensões indicadas resulta na medida do volume.
17) A
Como o copo está com 80% da sua capacidade, então restam 2 cm do copo sem água. Portanto, ao se inclinar o copo, a água irá percorrer os 2 cm restantes antes de derramar, formando assim um triângulo isósceles de lados iguais a 4 cm.
Como o ângulo da água em relação ao copo é o mesmo do copo em relação ao chão, então α = 45°.
18) D
Para que o custo do revestimento seja mínimo, a base do tanque deve ser quadrada, já que o custo para se revestir o fundo é menor. Portanto, sabendo que o volume é de 8 m³ e a altura é de 1 m, temos:
a . a . 1 = 8 m³ a² = 8
a = 2 2
O custo do revestimento será:
P = (2 2)² . 30 + 4 . (2 2 . 40)
P = 240 + 448 P = 688
19) B
Como o volume do bloco e do orifício são iguais, então o volume do orifício é dado por:
V = 802
3
= 512 10
2
3. = 256 . 10³
Portanto, 80 . L² = 256 . 10³
L² = 256 10
80
3.
L² = 3200
L = 3200
L = 2 2 56 2. .
L = 2³ . 5 . 2
L = 40 2
20) C
Sabendo o volume de água perdida é de 20 000 litros, então:
20 . 10 . h = 20 000 200h = 20 000 h = 100 litros
Como 1 000 L = 1 m³, então:
h = 100
1000
h = 1
10 h = 0,1 m³
21) B
Sendo o volume do prisma 1080 litros e sabendo que 1 m³ = 1000 litros, temos:
V = 10801000
= 1,08 m³
Portanto, V = 1,5 m . 0,8 m .h 1,08 m³ = 1,2 m² . h
10812
3
2
,,
mm
= h
90 cm = 0,9 m = h
22) C
Sendo o volume de água adicionada igual a 500 litros e sabendo que 1000 L = 1 m³, então:
V = 500
1000 = 0,5 m³
Como com 500 litros a altura da água sobe 10 cm e sendo a aresta da base a, então:
0,1 . a² = 0,5
a = 5 m.
Portanto, como a altura do depósito é 2 m, temos:
V = 2 . a . a = 2 . a² = 2 . ( 5)² = 2 . 5 = 10
23) 02
01. Falso. Suponha x = 1. Nesse caso a área da su-perfície é As = (22)² + 4 . (1 . 22) = 572 e o volume
V = 22² . 1 = 484. Agora suponha x = 6. Nesse caso a área da super-
fície é As = (12)² + 4 . (6 . 22) = 432 e o volume V = 12² + 6 = 864.
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4 Matemática D
02. Verdadeiro. O volume da figura é dado por: V = (24 − x) . (24 − x) . x V = (24 − x)² . x04. Falso. Para encontrar as raízes de 4 . (x − 8) . (x² + 16), temos que: x − 8 = 0 ⇒ x = 8, ou x² + 16 = 0, mas x² + 16 > 0, ∀x ∈ R. Já as raizes de (24 − 2x) . x² = 512 são:
x = 8, x' = 8 − 4 3 e x'' = 4 . (2 − 3).
08. Falso. Não, os perímetros se mantêm iguais.16. Falso. Não, pois uma das raízes da equação será 14, e se x = 14, então o lado da base da caixa seria zero, o que
é impossível.32. Falso. Sendo o volume dado por: V = (20 − x)² . x, então 484 = (20 − x)² . x
24) 57
01. Verdadeiro. Como o prisma é reto e tem base quadrada, as suas faces serão retangulares.02. Falso.
Pela figura é possível ver que partem 3 arestas de cada vértice e, portanto, 6 de dois vértices consecutivos.
04. Falso.
3P2
1
2
4
P1
Conforme está representado, o plano P1 contém os vértices 1, 2 e 3, mas não o 4; e o plano P2 contém os vértices 1, 2 e 4, mas não o 3.
08. Verdadeiro.
3b
a
1 2
1
b b
a a
2 26
4
1 1
5 7
3 3
4
5
16. Verdadeiro. Para que o volume seja primo, é necessário que o lado da base seja 1 e portanto a altura será ne-cessariamente igual a 2
32. Verdadeiro. São seis faces do prisma e como este tem 8 vértices, sobram quatro para formar pirâmides. Portanto, o total de pirâmides é dado por T = 4 . 6 = 24 pirâmides.
25) 96 m²
Pelo teorema de Pitágoras, temos que a aresta a da base vale:
a² + a² = (6 2)²
2a² = 36 . 2 a² = 36
a = 36 = 6
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5Matemática D
Como h corresponde a 23 da aresta:
h = 6 . 23
h = 123
h = 4
Novamente, pelo teorema de Pitágoras é possivel obter o apótema do prisma:
ap² = ab + h² ap² = 9 + 16
ap = 25 = 5
Portanto, a área do prisma é:
A = a² + 4 . 6 5
2.
A =36 +60 = 96
26) a) 43 cm³
b) 2 cm
a) Temos que na pirâmide formada por ABCD1, DD1 é a altura relativa à base ABC. Portanto, o volume corresponde a:
13 .
AB BC.2
. DD1 = 13 .
42 . 2 =
43
b) O plano definido por B, C e D1 passa por A1. Como a diagonal AB1 é perpendicular à A1B e ortogonal à BC, já que é perpendicular a B1C1, é paralelo a BC. Logo, a diagonal AB é perpendicular ao plano e a
distância é: AB2
= 2 2
2 = 2.
27) 9 cm³
O volume é dado por:
V = a3 2
12
V = ( ) .3 2 2
2
3
V = 9
28) D
E F
B C
A D
Os pontos B, C, E e F são os baricentros das faces laterais, então suas distâncias ao vértice da pirâmide
são sempre 23 de VH.
A e D são pontos médios das arestas da base as quais pertencem. Aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo AGD:
AD = 0 25 0 25, ,+ = 5 210
= 2
2
Sendo B o baricentro do triângulo equilátero VAD, então VB = 2BH. Assim:
BCAD
= VBVH
⇒ BC
22
= 23 ⇒ BC =
23
2
Portanto, a área vale:
A = 2
3
2
=
29
29) B
Primeiro calcula-se o raio da circunferência circunscrita: x² = R² + R² x² = 2R²
x2
2 = R²
x . 2
2 = R
Sabendo R, calcula-se a altura h da pirâmide: (2x)² = R² + h²
4x² − x2
2 = h²
42
22
xx
− = h
GABARITO
6 Matemática D
8
2
2 2x x− = h
x . 72 = h
Portanto, V = 13 . x² . x
72 =
x3 146
30) B
Cálculo do raio da circunferência circunscrita: R² + R² = a² 2R² = a²
R = a 2
2
Cálculo da altura da pirâmide:
h² + a 2
2
2
= a²
h = aa2
22
2−
h = a2
2
h = a 2
2
Como a apótema da pirâmide vale 32. a
, então:
Volume (V): V = a² . a 2
6 = a³ .
26
Área total (St): St = a² + 4 . aa
..3
4
St = a² +a² . 3
St = (1 + 3)a²
31) 07
Primeiramente encontra-se os valores de a = = a. Para isso precisa-se do valor da apótema da pirâmide (ap):
ap² = a² +h² ⇒ ap = a2
3 22
2 +( )
Portanto, a² = ap² + a2
2
⇒ a² = a2
4 + 3 2
2
( ) + a2
4 ⇒
⇒ a² = a2
2 + 18 ⇒ a² = 36 ⇒ a = 6.
01. Verdadeira.
aD
a
D² =a² + a² ⇒ D = 36 36+ ⇒ D = 72 ⇒ D = 6 2
02. Verdadeira.
a
ap
a
2
a² = ap² + a2
2
⇒ ap = 36 9− ⇒ ap = 27 ⇒
⇒ ap = 3 3
Portanto, a área lateral vale:
A = 4 . a ap.2
⇒ A = 4 .
6 3 32
.
⇒ A = 36 3 cm²
04. Verdadeira. V = A hb .
3 =
36 3 23.
= 36 2
08. Falsa. Sendo Ab = 36 e A = 36 3, então A > Ab.
32) D
Primeiro calcula-se o volume da pirâmide de gelo. Para isso é necessário obter a altura da pirâmide:
ap² = 10² − 8 2
2
2
⇒ ap² = 100 − 32 ⇒ ap = 2 17
(2 17)² = 8 2
2
2
+ h² ⇒ h² = 68 − 32 ⇒ h = 6
Portanto, V = 8 2 6
3
2
( ) . = 256 cm³.
Como o volume da água ao derreter é aproximadamente 9% menor, então: V = 256 . 0,91 ≅ 233 cm³.
33) B
Como o perímetro da base quadrada é 24 cm então a aresta da base vale:
= 244
= 6 cm.
GABARITO
7Matemática D
Do enunciado, temos que:
h� =
23 ⇒ h = 2
3� ⇒ h = 4
Portanto o volume da pirâmide é: V = 6 4
3
2 . = 48 cm³.
34) D
Volume do cubo: Vc = 12 ³= 1728
Como o volume da pirâmide é um nono do volume do cubo, temos que:
Vp = Vc
9 = 1728
9 = 192
Logo: Vp = a h h
h h2 2
3192
123
576144
4. .⇒ = ⇒ = ⇒ =
35) 06
Ao se realizar a secção descrita no exercício, chegamos a duas pirâmides semelhantes, portanto:
h2
144 =
464
2
64h² = 4² . 144 ⇒ 4h² = 144 ⇒ h² = 36 ⇒ h = 6
36) D
apH
Sabendo que a altura da pirâmide vale 137 m e seu apó-tema 179 m, então, o apótema da base (apb) é dado por:
179² = 137² + apb2
179² − 137² = apb2
179 1372 2− = apb
Portanto, o lado da base da pirâmide vale:
= 2 . apb = 2 179 1372 2−
Logo,
Ab = (2 179 1372 2− )2 ⇒ Ab = 4 . (179² − 137²) = 53 088 m²
37) A
a
h ap
a
V = 2 212
3 . = 8 2
12.
= 23
2
38) D
Primeiro encontra-se o apótema da pirâmide:
ap² = 1² + 1² ⇒ ap = 2
Portanto, a área lateral vale: A = 4 . 2 2
2
= 4 2.
39) 83
C
A
B
D
E
H
G
F
01. Verdadeira. Área da base:
Ab = (3 2)² = 9 . 2 =18 u²
02. Verdadeira. Primeiro encontra-se a apótema da pirâmide:
4
a p
3 2
2
GABARITO
8 Matemática D
ap² = 4² − 3 2
2
2
ap² = 16 − 184
ap² = 32 9
2−
ap = 232
Portanto, a altura da pirâmide vale: ap² = ab
2 + h²
232
2
=
3 22
2
+ h²
h² = 232
2
−
3 22
2
h² = 232
92
−
h² = 142
h² = 7
h = 7 u
04. Falsa. Área lateral da pirâmide:
A = 4 .
232
3 2
2
.
= 2 . 3 2 . 23
2 = 6 23 u²
08. Falsa. O volume da pirâmide vale:
Vp = ( ) .3 2 7
3
2
= 6 7 u³
16. Verdadeiro. Volume do paralelepípedo de mesma base e altura da pirâmide:
Vpa = (3 2)² . 7 = 18 7 u³
V
Vu
up
pa
= =6 7
18 7
13
3
3
32. Falsa. Altura da pirâmide: h = 7 u
Altura de cada uma das faces: ap = 232
u
64. Verdadeira. Sabendo que V = 8, A = 11 e F = 5, então:
V − A + F = 2 8 − 11 + 5 = 2
40) A
Como a superfície do telhado é igual a superfície lateral da pirâmide e sabendo que esta é formada por quatro triângulos de base 8 e altura x, temos, por Pitágoras:
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x = 25
x = 5
Portanto, A = 4 8 52
. ( . ) = 80 m².
Como são necessários um lote para cada m² e sendo 10 lotes desperdiçados, então serão necessário 90 lotes.
41) C
h
3
Conforme a figura, temos que o hexágono que forma a base pode ser dividido em seis triângulos equiláteros
de lado 3. Portanto, sendo h = 3 3
2:
Ab = 6 .
3 32
3
2
.
⇒ Ab = 6 . 9 3
4 ⇒ Ab =
27 32
Portanto,
V =
27 32
10
3
. ⇒ V =
270 36
⇒ V = 45 3.
42) C
Por definição, ap = a 3
2. Como do enunciado temos que
ap = 32
4, então:
a 3
2 = 3
24
⇒ a = 6 2
4 3 ⇒ a =
6 612
⇒ a = 6
2
Portanto, At = 6
2
2
. 3 =
6 34
= 3 3
2.
GABARITO
9Matemática D
43) A
Por definição a área total de um tetradro regular é dada
por At = a² . 3. Como pelo enunciado, At = 6 3, temos:
a² . 3 = 6 3 ⇒ a² = 6 ⇒ a = 6
Como h = a 6
3, então h =
6 63.
= 63 = 2.
44) C
x
120
h 2 h 1–
Do enunciado temos que A1 = 2A2. Portanto: V1 = 2A2 . h1 e V2 =A2 . 100.
Como V1 = V2, temos: 2A2 . h1 = A2 . 100 h1 = 50 m
Portanto, por Pitágoras:
x² = 120² + 50² ⇒ x = 16 900 ⇒ x = 130 m
45) 35 2
2
35
a p
35
2
Por Pitágoras:
ap = 35 3
2
Portanto, (ap)² = (ab)² + h²
35 32
2
=
352
2 + h²
h² = 35 32
2
−
352
2
h² = 35 3
4
2 . − 35
4
2
h² = 2 35
4
2. ⇒ h² =
352
2
⇒ h² = 35 2
2
46) 83
Seja o lado da base da pirâmide igual a , então a área
da base é dada por 3 3
2
2�
.
A área lateral da pirâmide é dada por:
62
. .ap � = 3 . ap . .
Do enunciado temos que:
3 . ap . = 2 . 3 3
2
2�
ap . = ² 3
ap = ��
2 3 ⇒ ap = 3
Por Pitágoras temos que:
(ap)² = � 3
2
2
+ 6²
( 3)² = � 3
2
2
+ 6²
94
2� = 36 ⇒ = 4
Portanto, o volume da pirâmide vale:
V = 3 4 3
263
2. .. ⇒ V = 48 3 ⇒ V ≅ 83 cm³
47) 15
D
A B
C
a
v
H
01. Verdadeiro. VH é a altura dos triângulos isósceles VAC e VBD, então H é o ponto médio das diagonais
GABARITO
10 Matemática D
BD e AC, logo H, projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre a base, é o centro dessa base.
02. Verdadeiro. V1 = bc3
e V2 =
11 11 113
, . , . ,b c
Portanto, 1,331bc3
= 1, 331V1.
Logo, o volume aumentou em 33,1%.04. Verdadeira. b + c = 8 ⇒ b = 8 − c. Portanto, Spiso = c(8 − c) = −c² + 8c.
E Spiso atinge valor máximo para c = −−
82
= 4 m.
Assim, c = b e o piso tem a forma de um quadrado.
08. Verdadeiro. V = 2 1
343
2 .= m³
16. Falso. O triângulo VHM é isósceles, logo nenhum ponto da barraca será projetado pelos raios solares num ponto do solo fora da região coberta.
48) B
De acordo com o enunciado, temos:
20 . 8 . 80100
. h = 256
128h = 256 h = 2
49) D
O peso total da peça será: P = 25 . 18 . 18 . 0,93 = 7533 g Sabendo que o peso a ser obtido é 6603 g, então o
peso dos 8 cubos vale: Pc = 7533 − 6603 = 903 g
Vtotal = 9300 93,
= 1000 cm³
Desta forma, cada cubo tem volume (V):
V = 10008
= 125 cm³
Portanto, a³ = 125 ⇒ a = 1253 ⇒ a = 5 cm.
50) A
Sabendo que o nível da água subiu 0,4 cm, então a massa do objeto imerso ao volume de um paralelepí-pedo de base retangular com lados 70 cm e 50 cm e altura 0,4 cm:
V = 70 cm . 50 cm . 0,4 cm = 1400 cm³
51) A
25 cm
5 cm
25 cm
16 cm
Serão necessários para fabricar a caixa: M = 2(25 . 5) + 2(16 . 25) +1(16 . 5) = 1210 cm²
52) E
Primeiro calcula-se o volume de água utilizado: V = 28 . 5 . 5 = 700 cm³
Como 1cm³ = 1 mL, temos que serão necessários 700 gramas de água para fabricar o microchip.
53) C
Do enunciado temos que a pirâmide retirada possui
base a2
2 e altura
a2
2. Portanto:
a³ − 13 .
a a2 2
2
.
. a2
2 =
1883
a³ − a3
48 =
1883
a³ = 64 a = 4
Dessa forma, a² + a = 16 + 4 = 20.
GABARITO
11Matemática D
54) 07
5
11
5
A2
A1
5 2
01. Verdadeiro. A área lateral (A) total é dada por:
A = 2 . 5 5
25
.+
+ 6 . 12 + 12 = 119 m²
02. Verdadeiro. A área revestida (Ar):
Ar = 2 . 5 5
25
.+
+ 12 . 1 + 5 . 2 . 12 = 131,85 m²
A área do azulejo (Az): Az = (0,2)² = 0,04 m²
Portanto, N = 131,85 ÷ 0,04 ≅ 330004. Verdadeiro. Primeiro calcula-se o volume da região
A1: V1 = 5 5
2.
. 12 = 150 m³
Como o aquário está com 192 m³ de água, temos que a região A2 está preenchida com 42 m³. Assim, o nível de água em seu ponto mais raso é:
n . 5 . 12 = 42 ⇒ n = 0,7 m = 70 cm08. Falso. Como 1 m³ correspondem a 1000 litros,
então o aquário continha 192 000 litros. Portanto, a quantidade de alimento é dada por:
30 . 192 00010 000
= 19,2 . 30 = 576
16. Falso. Volume da região A1: V1 = 5 5
2.
. 12 = 150 m³
Volume da região A2: V2 = 5 . 1 . 12 = 60 m³ Volume total: Vt = V1 + V2 = 150 + 60 = 210m³
Portanto, Vr = 210 000 − 192 000 = 18 000.
55) A
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
a² + a² = (6 2)²
2a² = 36 . 2 a² = 36
a = 36 = 6
Portanto, D² = 6² + (6 2)² ⇒ D = 6 3.
56) D
O volume de madeira (Vm) é dado pelo volume total (VT) menos o volume do cubo vazio (Vc):
Vm = Vt − Vc = 12³ − 8³ = 1216 cm³
57) 64 cm³
Pelo teorema de Pitágoras, sendo a diagonal D:
332
( ) = PE² + D²
33 = PE² + D² 33 − PE² = D², ou
D² = (4PE)² + (4PE)² D² = 32PE
Portanto, 32PE² = 33 −PE² ⇒ PE = 1. Logo: V = (4 cm)³ = 64 cm³
58) A
O volume total dos ingredientes é dado por: Vt = 5 . 40 . 60 + (60 . 40 .5) . 0,25 Vt = 12 000 + 3000 Vt = 15 000 cm³
Volume das barras hexagonais:
V = 6 . 22 3
2.
.
. 10
V = 103,8
Portanto, N = 15 000103 8,
≅ 144.
59) B
Primeiro encontra-se o valor da aresta da base hexa-gonal:
6 . a2 3
46
..
= 1728 3
36
4
2a = 1728
a = 8 3
Logo,
A = 6 (6 . 8 3) = 288 3
Ab = 6 8 3 3
4
2. .( )
= 288 3
GABARITO
12 Matemática D
60) D
O volume do prisma regular é dado por:
a2 3
46
..
. 2 = 3
3a² . 3 = 3
a = 1
3 =
33
Portanto, A = 6 . 2 . 3
3 = 4 3.
61) A
Volume da pirâmide: Vp = 3 6
3
2 . = 18 cm³
Portanto, o volume total é: Vt = 182 cm³ + 18 cm³ = 200 cm³
Dessa forma, a altura da água com a pirâmide vale: a² . h = 200 25 . h = 200 h = 8 cm.
Como a altura da pirâmide é 6 cm e a da coluna de água é 8 cm, então, ao se puxar a pirâmide 4 cm, ape-
nas 2 saem da água. Ou seja, 13 da pirâmide, que ao
sair da água faz com que 23 da pirâmide fique para fora
da água.
62) A
22
D=2 2
h
α
Pelo teorema de Pitágoras: D² = 2² + 2² D² = 4 + 4
D = 8 = 2 2
Novamente, pelo teorema de Pitágoras:
h² = 2² − ( 2)²
h² = 4 − 2
h = 2
Portanto, α = 45° e o ângulo AEC = 2 . α = 90°.
63) D
Prisma: Base:
L
Ab = 6 . AT, onde AT é a área do triângulo equilátero de lado L
AT = L2 3
4
Ab = 6 3
4
2. L
Vprisma = Ab . H, onde H = altura do prisma
Vprisma = 6 3
4
2. L . H
Pirâmide: Base:
3L 3L
3L
AT = ( ) .3 3
4
2L =
9 34
2L .
Vpirâmide = A hb .
3, onde h = altura da pirâmide.
Vpirâmide =
9 34
3
2Lh
..
= 9 3
12
2Lh
..
Do enunciado, temos: Vprisma = 2 . Vpirâmide
6 3
4
2. L . H = 2 .
9 312
2Lh
.. ⇔ H = h, ou seja, a altura
do prisma é igual a altura pirâmide.
64) C
Volume (V) do cubo de aresta a: V = a³
Volume da pirâmide (Vp): Vp = a a.
2 . a .
13 =
a3
6
Portanto, Vp = V6
.
GABARITO
13Matemática D
65) 625
6 cm³
A 5
D
5
2
B C
Tomando o lado ABCD da pirâmide como base, temos:
Ab = 25 − 2 . 552
12
. .
Ab = 25 − 252
Ab = 252
Portanto, Vp = 252
. 5 . 13 =
1256
.
Dessa forma, o volume do sólido é:
Vs = 125 − 125
6 =
6256
cm³
66) C
Pelo teorema de Pitágoras:
h² = 15² − 102
2
h² = 225 − 25
h = 200 = 10 2 μm
Como 1 μm = 10−6 m, temos que h = 10−5 2 m
67) B
V
D
F E
Como a altura do poliedro DEFV tem a mesma altura das pirâmides. Como a base DEF é metade da base
de uma das pirâmides, temos que:
Vp = V2
722
36= =
68) A = 20π m², At = 28π m², Vc = 20π m³
Área lateral: A = 2 . π . r . h A = 2 . π . 2 . 5 A = 20π
Área total: At = A + 2 . Ab
At = 20π + 2π . 2² At = 28π
Volume do cilindro: Vc = π . 2² . 5 Vc =20π
69) 60π m²
Sendo a secção meridiana um quadrado, então o cilin-dro é equilátero:
A = 40π 4π . r² = 40π
r² = 404
ππ
⇒ r² = 10
Portanto, a área total é: At = 6π . r² At = 6π . 10 At = 60π
70) D
h
B
A
45°
Primeiro calcula-se o volume inicial do cilindro: Vi = π . (3,6)² . 15 = 194,4π cm³
Valor da altura (h):
ABBC
= tg 45° ⇒ h
7 2, = 1 ⇒ h = 7,2
Como o copo está inclinado 45°, temos que o volume de água derramada é metade do volume do cilindro de
GABARITO
14 Matemática D
altura h:
Vd = π . .r h2
2 =
π . , . ,3 6 7 22
2
= 46,6π cm³
Portanto, tirando-se a razão entre volume derramado (Vd) e volume inicial (Vi) temos que:
V
Vd
i
= 46 6
194 4,,
ππ ≅ 0,24
71) B
I. Verdadeiro. Basta diminuir o volume da região do círculo maior do volume da região do menor:
VM = π . (1,4)² . 0,15 = 0,294π cm³ Vm = π . (0,9)² . 0,15 = 0,1215π cm³
Portanto, Vs = VM − Vm = 0,1725π cm³.II. Falso. Basta sutrair o volume das moedas: V1 = π . (1,4)² . 0,15 = 0,294π cm³ V0,5 = π . (1,1)² . 0,3 = 0,363π cm³
Portanto, V = V0,5 − V1 = 0,069π cm³. Logo, serão necessários 0,069π cm³ a mais de metal na moeda de 0,50, e não na de 1,00.
III. Verdadeiro. Área do círculo maior (AM): AM = (1,4)² . π = 1,96π cm²
Área do círculo menor (Am): Am = (0,9)² . π = 0,81π cm²
Área entre os círculos (As): As = AM − Am = 1,15π cm²
Portanto, As − Am = 1,15π − 0,81π = 0,34π cm².
72) B
Sendo o cilindro equilátero, então a secção meridiana é um quadrado de lado :
² = 81 ⇒ = 81 ⇒ = 9
Portanto, o raio da base do cilindro (r) vale: r = 92.
Dessa forma, A = 2 . π . r . 2 . r = 81π cm².
73) 05
O volume dos Pelamis é dado por:
VP = 3 52
2,
. π . 142 ≅ 435π m³
74) E
VI = 5² . π . 12 = 300π cm² VII = 4² . π . h = VI
Dessa forma:
5² . π . 12 = 4² . π . h 25 . π . 12 = 16 . π . h
30016
= h
754
= h
AtI = AI + 2AbI
AtI = 2 . π . 5 . 12 + 2 . 5² . π AtI = 170π cm²
AtII = AII + 2 . AbII
AtII = 2 . π . 4 . 754
+ 2 . 4² . π
AtII = 182π cm²
Portanto, A
AtII
tI
= 182170
ππ
= 9185
.
75) A
Tome o raio do copo r = 1. Então: Vc = π . r² . 12 Vc = π . 1² . 12 = 12π
Portanto, o volume o líquido na lata é: V = π . r² . 12. V = π . 2² . 12 = 48π
Dessa forma, o volume total da lata é: Vt = 60π π . 2² . x = 60π
x = 604
ππ
= 15
76) A
Nessas condições temos que:
2 . π . r2 = h ⇒ r2 = h
2
2
π e h2 = 2 . π . r
Portanto:
V = π . h
2
2
π . π . r = π .
h2
24π . 2 . π . r
V = 2
4
2h r. =
h r2
2.
GABARITO
15Matemática D
77) D
Tirando-se a região da tampa (Vt), é possível encontrar a área não ocupada pelo vidro do perfume (Vp):
Vp = π . r² . h = π . 3² . 10 = 90 . 3,14 = 282,6 cm³ Vt = π . r² . h = π . 1² . 3 = 3π ≅ 9,5 cm³ Vcaixa = 6² . 13 = 468 cm³
V = Vcaixa − Vp − Vt = 468 − 282,6 − 9,5 ≅ 176 cm³
78) C
Volume total do cilindro: Vc = π . r² . h Vc = π . 10² . 30 = 3000π cm³
Volume de água do cilindro: Va = π . r² . h
Va = π . 10² . 30π
= 3000 cm³
Volume do bracelete: como a densidade do ouro é de 19,2 g/cm³ e sua massa é 288 g, então:
Vb = 288 . 19,2 ≅ 5530 cm³
Falsa. 3000 + 5530 < 3000π. Falsa. Vb = π . 10² . h = 5530
h = 5530100π
= 55 30,
π = 17,61
Verdadeiro. Como 1 cm³ = 0,001 litro, então temos que V = 3000 . 0,001 = 3 litros.
79) E
Área lateral da região semicircular:
As = 22πr
. 1000
As = 2 6
2π .
. 1000 = 6000π m²
Área lateral da região retangular: Ar = 2 . (4 .1000) = 8000 m²
Área total a ser pintada: At = As + Ar = 6000 . 3,14 + 8000 = 26 840 m²
Portanto, o número de galões é G = 26 840
20 = 1342.
80) A
Para encontrar a área do rótulo, é necessário conhecer o raio do recipiente:
V = 192π π . r² . h = 192π π . r² . 12 = 192π
r² = 19212
ππ
r² = 16 r = 16
r = 4
Portanto, a área do rótulo vale: Ar = 2π . r . h Ar = 2π . 4 . 12 = 96π
81) D
Sendo V o volume do concreto, temos que: V = π . r1
2 . h − π . r22 . h
V = 3,1 . (1,2)² . 4 − 3,1 . 1² . 4 V = 17,856 − 12,4 ⇒ V = 5,456 m³
Logo, o preço a ser cobrado é de: P = 10 . 5,456 = 54,56.
82) D
Basta encontrar as relações entre área e volume de cada tanque:
Tanque 1: A1 = 2 . π . r .h = 2 . 3 . 2 . 6 = 72 m² V1 = π . r² . h = 3 . 2² . 6 = 72 m³
Tanque 2: A2 = 2 . π . r .h = 2 . 3 . 2 . 8 = 96 m² V2 = π . r² . h = 3 . 2² . 8 = 96 m³
Tanque 3: A3 = 2 . π . r .h = 2 . 3 . 3 . 8 = 144 m² V3 = π . r² . h = 3 . 3² . 8 = 216 m³
Relações:
R1 = AV
1
1
= 1 R2 = AV
2
2
= 1 R3 = A
V3
3
= 23
83) B
Do enunciado temos que: V = π . r² . h = 4 . π . r²
Portanto, h = 4 e A = (π . r² . h) . 43 = 2π . r .h.
Dessa forma, r = 64 =
32.
GABARITO
16 Matemática D
I. Falso. AΔ = 2
2. .r h
= 2
32
4
2
. . =
122
= 6
II. Verdadeira. (AC)² = h² + (2r)²
AC = 4 32 2+ = 25 = 5
Portanto, PΔ = 4 + 5 + 3 = 12
III. Falsa. cos α = h
AC =
45
e cos β = 2rAC
= 35
Portanto, 45
+ 35 =
85 ≅ 1,6
84) C
Volume do cilindro interno: V1 = π . r² . h1
Volume do cilindro externo: V2 = π . (R² − r²) . h2
V2 = π . (2r² − r²) . h1
3
V2 = π . r² . h1 . 13
Portanto, o volume do cilindro externo tem 13 da capa-
cidade do cilindro interno.
T = 30 + 30 . 13 = 40 min
85) B
Do enunciado temos: V1 + V2 + V3 = 52 500 cm³ π . R² . 25 + π . (2R)² . 25 + π . (4R)² . 25 = 52 500 525π .R² = 52 500 cm³
R² = 52 500525π
R = 10
π
Portanto, substituindo: V3 = π . R² . 25
V3 = π . 100
π . 25
V3 = 2 500 cm³
86) B
Volume do túnel: Vt = 100 . 2 . π = 200π m³ Volume dos latões: V = π . (0,5)² . 1 = 0,25π m³
Portanto, o número de latões é L = 2000 25
ππ, = 800.
87) E
Sendo 1 litro = 1000 cm³, temos que o volume do cilindro é:
Vc = π . r² . h 1000 = π . r² . 20 50 = π . r²
50π
= r
88) A
Volume do copo: Vc = π . r² . h Vc = π . 2² . 4 = 16π cm³
Como metade do volume do copo é 8π cm³, temos que: V20 = 20 . 8π = 160π.
Volume da leiteira: V = π . r² . h V = π . 4² . 20 = 320π
Dessa forma, para encher os vinte copos é necessário metade do volume da leiteira.
89) A
Volume total do botijão: Vt = π . r² .h Vt = π . 20² . 60 = 24 000π cm³
Como três refeições diárias para dez pessoas são o mesmo que duas refeições diárias para 15 pessoas, temos:
D = 24 0001000
ππ
= 24 dias
90) E
3
r = 4
V = π . 4² . 3 = 48π