Matemática

Aula 12

Funções Contínuas. Exercícios.

Ano académico 2017

Bibliografia Básica

Autor Título Editorial Data

Stewart, James Cálculo, Volume 1

5ta. Edição,

Pioneira

Thompson

Learning

2006

Zuma Medeiros ,

Valéria

Pré-Cálculo

2ª edição revista actualizada

CENGAGE

Learning 2012

Demana,

Franklin... (et al.) Pré-Cálculo

Pearson

Education do

Brasil

2011

Larson, Ron Cálculo Aplicado

1 Edição,

Pioneira

Thomson

Learning

2011

Definição de função contínua

Definição: Uma função f é contínua no ponto a se:

Se uma o mais de uma dessas condicões não forem verificadas em a, a função f será descontínua no ponto a.

Tipos de descontinuidades

Se f é uma função descontínua em um ponto x=c do seu domínio, dizemos que: i) f tem descontinuidade de salto (1a. espécie) em x=c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos. ii) f tem descontinuidade infinita (2a. espécie) em x=c, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de c. iii) f tem descontinuidade evitável ou removível em x=c, se existe o limite da função no ponto x=c e a função não está definida no ponto, ou se o limite não coincide com o valor da função avaliada no ponto.

Uma função f é contínua em um intervalo aberto

se for contínua em todos os pontos desse intervalo.

f é contínua em um intervalo fechado se for

contínua no aberto, e além disso, e

Continuidade de uma função em um intervalo

Continuidade

ba,

ba,

Exercício 1: Verifique a continuidade das funções, no ponto a

a)

b)

Exercício 1: Verifique a continuidade das funções, no ponto a

b)

Exercício 1: Verifique a continuidade das funções, no ponto a

c) x = 0, x =-1, x = 1, x = 2, x = 4

1 3

1

2

3

4

2 -1 -2 x

y

4

Exercício 1: Verifique a continuidade das funções, nos pontos

c) x = 0, x =-1, x = 1, x = 2, x = 4

1 3

1

2

3

4

2 -1 -2 x

y

4

x = 1, porque não existe

)1(f

)(lim2

xfx

A função é contínua em x = 0

)(lim1

xfx

)(lim)4(4

xffx

A função é descontínua em:

x = -1, porque não existe

x = 2, porque não existe

x = 4, porque

Exercício 1: Verifique a continuidade das funções, nos pontos

Exercício 2

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 3

Verificar se a função é descontínua em x = 1

11

12)(

2

xsex

xsexxf

Exercício 4

Verificar se a função é descontínua em x = 1

11

12)(

2

xsex

xsexxf

1

2

1

1)2lim()(limxx

xxf

11

2)1lim()(limxx

xxf

Os limites laterais são diferentes então não existe o limite da função no ponto. A função é descontínua por salto em x=1

Exercício 4

11

12

12

)(

2

xse

xse

xsex

xf

Exercício 5

Verificar se a função é descontínua em x = 1

11

12

12

)(

2

xse

xse

xsex

xf

1

2

1

1)2lim()(limxx

xxf

11

1)1lim()(limxx

xf

e 2)1( f

O limite de f em x = 1 existe , mas )1()(lim1

fxfx

)1()(lim1

fxfx

Exercício 5

Verificar se a função é descontínua em x = 1

Quando uma função tem uma descontinuidade removível num ponto a, pode ser redefinida de modo que é contínua naquele ponto. Assim escrevemos f(a) como o valor do limite da função naquele ponto.

11

11

12

)(

2

xse

xse

xsex

xfou

11

12)(

2

xse

xsexxf

No exemplo anterior pode redefinir a função como:

Descontinuidade removível

Analisar a continuidade da função em x = -1

1)(

x

xxh

Exercício 6

Analisar a continuidade da função em x = -1 1

)(

x

xxh

A função é indefinida em x = -1 e, portanto, é descontínua em x = -1.

Note-se que:

1

lim1 x

x

x

Diz-se que a função apresenta uma descontinuidade infinita em x = -1.

1

lim1 x

x

xe

Exercício 6

65

1)(

2

xx

xxf

Determine os pontos de descontinuidade

Exercício 7

Como é uma função racional é contínua em todo seu domínio.

65

1)(

2

xx

xxf

Descontínua infinita em x = 6

)1)(6(

1

65

1)(

2

xx

x

xx

xxf é descontínua em x = 6 e x = -1

7

1

6

1lim

)1)(6(

1lim

65

1lim)(lim

11211

xxx

x

xx

xxf

xxxx

Descontínua removível em x = -1

6

1lim

)1)(6(

1lim

65

1lim)(lim

66266 xxx

x

xx

xxf

xxxx

Determine os pontos de descontinuidade

Exercício 7