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Sistemas de Controle 2Cap.9 – Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Escola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de Controle 2Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Cap.9 – Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

9.1 Introdução

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação em Cascata

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória

9.5 Compensação por Retroação

9.6 Realização Física da Compensação

Bibliografia principal:

Engenharia de Sistemas de Controle – Norman S. Nise

Aula anterior

9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

9.1 Introdução

Compensadores Mudança no local geométrico das raízes Adição de pólos e zeros no sistema Circuitos eletrônicos ativos e passivos de compensação

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Compensação Integral Ideal (PI)- Inserção de um pólo exatamente na origem- Inserção de um zero próximo do pólo na origem

Compensação por Atraso de Fase (passivo)- Inserção de um pólo próximo da origem- Inserção de um zero próximo deste pólo


Objetivo:

Projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação.

Técnicas:

Controlador proporcional e derivativo (PD) Compensação derivativa ideal (derivador puro) Um derivador puro é adicionado ao caminho à frente do sistema de controle com realimentação Acréscimo de um zero

Compensador de avanço de fase (passivo) Adiciona à função de transferência do caminho à frente um zero e um polo mais distante.


Compensação Derivativa Ideal (Controlador PD)

• Projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação.

• Acelera a resposta do sistema

Realizado através da soma de um derivador e de um ganho puro.• Adição de um único zero


Sistema sem compensaçãoAdição de um zero movimenta o ponto de operação

Zero em -2


Comparando 3 zeros em posições diferentes

Zero em -2 Zero em -3 Zero em -4

Em todos os sistemas compensados os pólos dominantes estão mais distantes ao longo da reta de amortecimento do que o sistema sem compensação


Comparando distâncias

Sistema sem compensação Zero em -2


Comparando 3 zeros em posições diferentes: Mesma ultrapassagem percentual


Todos os sistemas, compensados ou não, operam sobre a mesma reta de amortecimento. Portanto todos terão a mesma ultrapassagem percentual.


Tempo de assentamento menor nos 3 sistemas compensados


Todos os sistemas compensados operam em pólos com parte real mais negativa do que do sistema não compensado. Todos possuem tempo de assentamento menor (atingem o equilíbrio mais rápido)


Tempo de pico menor nos 3 sistemas compensados


Todos os sistemas compensados operam em pólos com parte imaginária mais negativa do que do sistema não compensado.


Tempo de pico menor nos 3 sistemas compensados


A medida que os zeros se distanciam dos pólos dominantes, o ponto de operação (pólosdominantes em malha fechada) se aproxima da origem.


Tempo de acomodamento reduziu mais de 2x em todos os sistemas compensados


Tempo de pico reduziu mais de 2x em todos os sistemas compensados


Compensação também reduziu o erro de regime permanente


Desvantagens do controlador PD

Requer um circuito ativo para realizar a derivação

A derivação é um processo ruidoso• O nível de ruído é baixo• Frequência do ruído é alta comparada com o sinal

• Pode gerar grandes sinais indesejados• Pode saturar amplificadores e outros componentes


Realização física de um compensador PD


Laboratório 1 do capítulo 9


Compensação de Avanço de Fase (passivo)

• Estrutura passiva que se aproxima do controlador PD• Como é passivo um único zero não pode ser gerado gera-se um polo e um zero

• Se o polo produzido estiver distante do eixo imaginário do que o zero produzido sua ação ainda é positiva.

• A contribuição angular do polo compensador é subtraída da contribuição angular do zero, portanto é preciso haver um saldo positivo.

Vantagens em relação ao controlador PD

• Fontes de alimentação adicionais não são requeridas• O ruído produzido é menor

Desvantagens em relação ao controlador PD

• O polo adicional não reduz o número de ramos do lugar geométrico das raízes que cruzam o eixo imaginário para o semiplano da direita, enquanto que o controlador PD tende a reduzir esses ramos.


Contribuição do polo e zero adicional

1) Para projetar esse controlador é preciso escolher a posição do polo desejado no plano s (em cima de uma determinada reta de amortecimento ou não).



1) Para projetar esse controlador é preciso escolher a posição do polo desejado no plano s (em cima de uma determinada reta de amortecimento ou não).

2) A soma dos ângulos a partir dos polos e zeros do sistema sem compensação até o ponto escolhido menos 180 graus fornece a contribuição angular do compensador

Exemplo:

Polos possuem ângulos negativosZeros possuem ângulos positivos

Contribuição angular do polo e zero adicionais:



𝜃𝑐 : Contribuição angular ângulo do feixe que parte do ponto de projeto e intercepta o eixo real nos valores do polo e do zero compensador.



Como a contribuição angular é sempre o ângulo desse feixe, se ele deslocar, a contribuição angular matematicamente continua sendo a mesma.

Portanto o número de soluções é infinita.

A diferença entre as soluções está:- na constante de erro estático- no ganho - na dificuldade de se justificar a aproximação de segunda ordem - na resposta transitória.


Projeto

- Escolher arbitrariamente o polo ou zero do compensador de avanço de fase- Somar ângulos de todos os polos e zeros em relação ao ponto escolhido.

- A diferença entre 180 graus e essa soma será a contribuição angular necessária para compensar o sistema.

- Encontrar o segundo ponto (polo ou zero) de acordo com o ponto arbitrariamente escolhido.

- Verificar cada projeto através de simulação

Exemplo:


Exemplo

É preciso simular para selecionar qual compensação é capaz de fornecer a resposta desejada.

Observar a posição do zero arbitrário para verificar possíveis cancelamentos de polos e se a aproximação se segunda ordem esta OK

Comparando sistemas:

Nenhum zero

Nenhum zero

Zero em -5

Zero em -2

Observar melhora no erro de regime permanente


Erro de regime permanente

0.38

0.145

0.173

0.312

Observar ganho necessário


Ganho

63.21

1423

698.1

345.6


Realização física de um compensador por avanço de fase

Função de transferência


Laboratório 2 do capítulo 9

9.4 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória

Combinação das técnicas anteriores para melhorar o erro de regime permanente e a resposta transitória de forma independente.

Método

1) Primeiro, melhorar a resposta transitória com as técnicas de- Controle PD- Compensação por avanço de fase

2) Depois, melhorar erro de regime permanente com as técnicas de:- Controle PI- Compensação por atraso de fase

Desvantagem

Pequena redução na velocidade da resposta quando o erro de regime permanente é melhorado


É possível seguir outra sequência de projeto, corrigindo primeiro o erro e depois a resposta transitória, as consequências podem ser:

- Correção da resposta transitória pode degradar a correção do erro.- Melhoria na resposta transitória resulta em melhoria adicional na correção do

erro provocando superdimensionamento do sistema de controle (projeto em excesso)

Normalmente não é um problema para o funcionamento Pode afetar o custo ou gerar outros problemas de projeto.


Projeto do Controlador PID




- Possui 2 zeros e um polo na origem- 1 zero e 1 polo na origem Podem ser projetados como controlador PI- Outro zero Pode ser projetado como controlador PD



8 Passos da Técnica de Projeto

1. Avalie o desempenho do sistema sem compensação para determinar quanta melhoria na resposta transitória é requerida.

2. Projete o controlador PD para atender às especificações de resposta transitória. O projeto inclui a posição do zero e o ganho de malha.

3. Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos. 4. Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos. 5. Projete o controlador PI para resultar no erro em regime permanente desejado6. Determine os ganhos K1, K2 e K3. 7. Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos. 8. Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos.


Exemplo


Passo 1 Avaliar o sistema sem compensação operando com 20% de ultrapassagem.

• %UP=20% 𝜁 = 0.456

• Polos dominantes em −5.415 ± 𝑗10.57com ganho de 121.5

• Terceiro polo em -8.169


Passo 1 Avaliar o sistema sem compensação operando com 20% de ultrapassagem.

Previsão de resultados

Curva simulada

Reduzir para zero

OK

Reduzir para 2/3 deste valor


Passo 2 Determinar a posição dos polos dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação


Reduzir para 2/3 deste valor

Parte imaginária do polo dominante:

Parte real do polo dominante:

Projeto do Controlador PIDPasso 2 Determinar a posição dos polos

dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação

Parte imaginária do polo dominante:

Parte real do polo dominante:

x j15,87

Projeto do Controlador PIDPasso 2 Determinar a posição dos polos

dominantes para o sistema compensado para reduzir Tp para 2/3 do tempo sem compensação.

Projetar o compensador calculando a posição do zero de compensação.

x j15,87

𝜃1𝜃2𝜃3𝜃4

𝜃3 − 𝜃1 − 𝜃2 − 𝜃4 = −198.37°

Contribuição requerida:198.37° − 180° = 18.37°

Projeto do Controlador PIDPasso 2 Projetar o compensador calculando a

posição do zero de compensação.x j15,87

Contribuição requerida:198.37° − 180° = 18.37°

𝜃𝑐 = 18.37°-8.13

Controlador PD:


Novo local das raízes com o controlador PD



OK

Reduzir para 2/3 deste valor: OK

Simulamos o sistema compensado com PD e observamos a redução do instante de pico e a melhoria no erro em regime permanente em relação ao sistema sem compensação.

Passos 3 e 4

Reduzir para zero (mas já reduziu bastante)


Passos 5 Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente para zero quando a entrada é um degrau.

Posicionar o zero próximo da origem:

- Esboçar o lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com PID- Procurar na reta de fator de amortecimento de 0.456 os polos dominantes e seu ganho associdado.


Passos 5 Projetar o controlador PI para reduzir o erro em regime permanente para zero quando a entrada é um degrau.

Polos: 7,516 ± 𝑗14.67Ganho: 4.6


OK

Reduzir para 2/3 deste valor: degradou um pouco

Reduziu para zero

Previsão de resultados, é

preciso simular a curva


Passos 6 Agora determinamos os ganhos K1, K2 e K3

Controlador PD

Controlador PI

Controlador PID


Passos 7 e 8 Simulando a curva e verificando resultados no tempo

• A compensação PD melhorou a resposta transitória, reduzindo o tempo necessário para alcançar o primeiro pico e também resultou em alguma melhoria no erro em regime permanente.

• O controlador PID completo melhorou ainda mais o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória projetada com o controlador PD.

• Controlador PID apresenta uma resposta mais lenta.

Caso isso seja indesejável, a velocidade do sistema deve ser aumentada projetando-se novamente o compensador derivativo ideal ou movendo-se o zero do controlador PI para mais longe da origem.



Realização física do compensador PID

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