Professor: Dr. Wilfredo Falcón Urquiaga

Professor Titular

Engenheiro em Telecomunicações e Eletrônica

Doutor em Ciências Técnicas

Email: falconcuba2007@gmail.com

Aula # 13 e 14

Introdução as Probabilidades e ao Cálculo

Combinatório

DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE

A palavra probabilidade deriva do latim “Probare”, que significa

testar, provar. Probabilidade as vesses é substituída por algumas palavras

como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo

do contexto.

É utilizada em circunstâncias onde não temos a certeza de que algo

irá ocorrer e são associadas chances a cada ocorrência possível.

O conceito de probabilidade está totalmente dentro da nossa vida

cotidiana. Quando pensamos ou falamos expressões do tipo: ''Será que

vai chover amanhã?", "É muito provável que o avião chegue

atrasado hoje", "Existe uma pequena chance deste time ganhar este

jogo!".

A teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável.

ALEATÓRIO

Quando repetido o

experimento inúmeras vezes

em condições semelhantes,

possuem resultados

imprevisíveis.

Exemplo: Si lançamos uma

moeda não podemos

predizer se o resultado vai

ser cara o coroa.

Pode-se predizer o resultado

antes de realizar o

experimento.

Exemplo: Si colocamos agua

ao fogo numa panela, á agua

vai ferver e com o tempo vai

evaporar.

UM EXPERIMENTO

DETERMINÍSTICO

CONCEITOS FUNDAMENTAIS NO CALCULO DE

PROBABILIDADES

Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados

possíveis de um experimento aleatório.

Exemplo1: Se o experimento é lançar uma moeda e

verificar a face voltada para cima, o espaço amostral é o

conjunto E = {cara, coroa}.

Exemplo 2: Se o experimento é lançar um dado de seis

faces e observar a face de cima, o espaço amostral é o

conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

CONCEITOS FUNDAMENTAIS NO CALCULO DE

PROBABILIDADES

Evento: É cada um dos possível resultados de um

experimento aleatório. Pode ser qualquer subconjunto de

um espaço amostral.

Exemplo: Se o experimento é lançar uma moeda um

evento pode ser cara e outro coroa. Se lançamos dois

moedas ao mesmo tempo um evento pode ser as dois

moedas iguais {cara, cara} ou {coroa, coroa}.

EXERCICIO: Uma bolsa tem bolas brancas e pretas.

Se extraem sucessivamente três bolas. Calcular:

a) Espaço Amostral

E = {(b,b,b); (b,b,p); (b,p,b); (p,b,b); (b,p,p); (p,b,p);

(p,p,b); (p,p,p)}

b) Evento A: extrair três bolas do mesmo cor.

A = {(b,b,b); (p,p,p)}

c) Evento B: extrair ao menos uma bola branca.

B = {(b,b,b); (b,b,p); (b,p,b); (p,b,b); (b,p,p); (p,b,p);

(p,p,b)}

d) Evento C: Extrair só uma bola preta.

C = {(b,b,p); (b,p,b); (n,p,b)}

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE Um evento que pode ocorrer de x formas de um total de n

Possíveis, tem uma probabilidade P(e) de ocorrência:

Exemplo 1: Calcule a probabilidade de obter na face de

acima no lançamento de um dado, o número 1. Temos uma

possibilidade de 6 possíveis, então:

Exemplo 2: Calcule a probabilidade de obter na face de

acima no lançamento de um dado, o número 3 ou 4. De 6

possíveis resultados, 2 podem ser nosso evento, então:

Numa bolsa você tem 4 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas e

10 bolas verdes. Qual é a probabilidade de extrair da bolsa

(sim olhar) uma bola vermelha?

Cor da Bolas Quantidade Probabilidade

Vermelha 4 4/20 = 0,2

Amarela 6 6/20 = 0,3

Verde 10 10/20 = 0,5

Total = 20

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

Se um evento não pode ocorrer sua probabilidade é 0, e

quando temos certeza absoluta da ocorrência de um evento

então a probabilidade é 1.

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE

A probabilidade de não ocorrência de um evento (P(-e)) é

igual à 1 menos a probabilidade de ocorrência do evento

(P(e)).

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE

P(-e) = 1 – P(e)

Analises Combinatório: Estuda as

diferentes formas de agrupar e ordenar os

elementos dum conjunto, sim considerar a

natureza dos elementos.

É o ramo das matemáticas que estuda os

grupos que podem-se formar com

elementos de conjuntos, considerando

quantidade de elementos do conjunto, ou a

ordem dos elementos, ou ambos valores á vez.

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE

Caso queira, por exemplo, saber quantos números de quatro

algarismos são formados com os algarismos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e

9, pode-se utilizar as propriedades da análise combinatória

para resolver o problema.

Também por meio da análise combinatória pode-se resolver o

seguinte problema. De quantos modos diferentes pode-se

vestir uma mulher que possui cinco vestidos, quatro calções,

três casacos e cinco pares de sapatos?

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE

O análise combinatória resume-se em cinco

procedimentos principais:

Princípio fundamental de contagem.

Permutação simples ou sim repetição. Fatorial.

Permutação com elementos repetidos.

Combinação sim repetição.

Combinação com repetição.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

A ordem dos objetos não

importa, ou seja, considera-se

uma mesma combinação abc

que cba. Por exemplo se você

faz uma salada de três frutas

não importa a ordem em que

você adiciona as frutas.

COMBINAÇÕES PERMUTAÇÕES

A ordem dos objetos sim

importa, por exemplo uma

chave para uma cerradura

com três dígitos 375. Se você

coloca a combinação 573 a

chave é diferente. A

Permutação é também uma

combinação de objetos.

Análise combinatória: Princípio fundamental da

contagem ou principio da multiplicação.

Quando um evento é composto por X etapas sucessivas e

independentes, de tal forma que as possibilidades da

primeira etapa são (m) e as possibilidades da segunda

etapa são (n), consideramos então que o número total de

possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto

(m*n).

Análise combinatória: Princípio fundamental da

contagem ou principio da multiplicação.

Exemplo 1: Uma pessoa tem 2 formas de ir de uma cidade A

até outra cidade B; e tem 3 formas de sair da cidade B e

chegar até a cidade C. De quantas formas poderá realizar a

viagem da cidade A até C passando por B?

Pode realizar a viagem de 6 formas diferentes

2*3 = 6

Análise combinatória: Princípio fundamental da

contagem ou principio da multiplicação.

Exemplo 2: De quantos modos diferentes se poderá vestir

uma mulher que possui cinco vestidos, quatro calções, três

casacos e cinco pares de sapatos?

Pode-se vestir de 300 formas diferentes.

5*4*3*5 = 300

FATORIAL

O fatorial de n (n!) pode-se definir como:

n! = n*(n - 1)*(n - 2)*(n - 3)*...*3x2x1

Considera-se que 0! tem valor 1.

Fatorial está relacionado com o cálculo de número de

formas em que um conjunto de coisas podem-se

organizar em ordem, sim repetição.

O número de formas em que n coisas podem-se

organizar em ordem calcula-se como o fatorial de n.

PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO.

Definimos permutações simples como sendo o número de maneiras de

arrumar (k) elementos selecionados de (n) elementos dum conjunto,

de forma que:

Os k elementos que formam um grupo são distintos (não se

repetem).

Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum

elemento ou na ordem de colocação.

A seguinte equação utiliza-se para calcular o número de permutações

simples:

Sim n = k então o número total de permutação

sim repetição é igual a n!

Fatorial está relacionado com o cálculo de número de

formas em que um conjunto de coisas podem-se

organizar em ordem, sim repetição.

O número de formas em que n coisas podem-se

organizar em ordem calcula-se como o fatorial de n.

PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO.

Exemplo 1: Eu tenho um conjunto de 3 letras (ABC). De

quantas formas pode organizar este conjunto, sim repetir

letras?

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA

3! = 3*2*1 = 6 formas

Exemplo 2: Eu tenho um conjunto de 7 letras

(ABCDEFG). De quantas formas pode organizar este

conjunto, sim repetir letras?

7! = 7*6*5*4*3*2 = 5040 Formas diferentes

PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO.

FATORIAL

Exemplo 1: Quantos números de 3 algarismos podem-se

formar com os dígitos do sistema decimal? O sistema decimal

tem 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Não permite-se

repetição de elementos, e dois números com iguais elementos

e diferentes ordem de colocação são diferentes.

Exemplo 2: Quantas bandeiras podem-se fazer, de três listas,

com 7 cores? Não posso repetir cores e dois bandeiras com

três cores iguais porem com ordem de colocação diferente,

são diferentes.

PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO.

Exemplo 3: Quantas palavras podem-se formar com as 5

letras da palavra ANGOL?. Não permite-se repetição de

elementos, e dois palavras com iguais elementos e diferentes

ordem de colocação são diferentes.

Quando utilizam-se todos os elementos do conjunto, então o

número de permutações coincide com n!.

PERMUTAÇÃO SIMPLES OU SIM REPETIÇÃO.

Definimos permutações com repetição como sendo o número de

maneiras de arrumar (k) elementos selecionados de (n) elementos

dum conjunto, de forma que:

Os k elementos que formam um grupo podem estar repetidos.

Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum

elemento ou na ordem de colocação.

A seguinte equação utiliza-se para calcular o número de permutações

com repetição:

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO.

Exemplo 1: Quantos números de 3 algarismos podem-se

formar com os dígitos do sistema decimal? Permite-se

repetição de elementos, e dois números com iguais elementos

e diferentes ordem de colocação são diferentes.

Como podem-se repetir dígitos no grupo de 3 algarismos

formados, temos mas grupos que quando procuramos as

permutações sim repetição.

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO.

Exemplo 2: Quantos números binários de 10 bits podem-se

formar com combinações de zeros (0) e uns (1)?. Exemplo:

0000111100; 1111111110; …. Pode ser também: Quantas

palavras de 10 letras podem-se formar com as letras A e B?

Permite-se repetição de elementos, e dois números com

iguais elementos e diferentes ordem de colocação são

diferentes.

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO.

Definimos por Combinação sim repetição o número de maneiras de

arrumar (k) elementos selecionados de (n) elementos dum conjunto,

de forma que:

Os k elementos que formam um grupo são distintos (não se

repetem).

Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum

elemento.

Dois grupos com os mesmos elementos e com ordem de

colocação diferentes, consideram-se UM MESMO GRUPO.

A seguinte equação utiliza-se para calcular o número de possibilidades

de arrumar k elementos de um total de n, sim considerar a ordem:

COMBINAÇÂO SIM REPETIÇÃO.

Exemplo 1: Quantas palavras de 3 letras podem-se formar

com as letras da palavra ANGOL. Não permite-se repetição

de elementos, e dois palavras com iguais elementos e

diferentes ordem de colocação são iguais.

E quantos palavras de 5 letras podem-se formar com as letras

da palavra ANGOL.

COMBINAÇÂO SIM REPETIÇÃO.

Exemplo 2: Quantos números de 3 algarismos podem-se

formar com os dígitos do sistema decimal?.

Não permite-se repetição de elementos, e dois números com

iguais elementos e diferentes ordem de colocação são iguais.

Exemplo: 734 não é diferente de 347.

COMBINAÇÂO SIM REPETIÇÃO.

Exemplo 3: Um aluno tem reprovadas 5 disciplinas (E, P, M,

BD, OP), e só pode fazer prova final de 3 delas. Quantas

combinações possíbeis de fazer as 3 provas têm o aluno?

Os k elementos que formam um grupo são distintos (não se

repetem). Não poso fazer prova de E, E, OP porque repetiria a

mesma prova dois vesses.

Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum

elemento.

Dois grupos com os mesmos elementos e com ordem de

colocação diferentes, consideram-se UM MESMO GRUPO.

E, BD, OP é o mesmo que BD, OP, E.

COMBINAÇÂO SIM REPETIÇÃO.

Definimos por Combinação com repetição o número de maneiras de

arrumar (k) elementos selecionados de (n) elementos dum conjunto,

de forma que:

Os k elementos que formam um grupo podem estar repetidos.

Dois grupos são diferentes, sim diferenciam-se em algum

elemento.

Dois grupos com os mesmos elementos e com ordem de

colocação diferentes, consideram-se UM MESMO GRUPO.

A seguinte equação utiliza-se para calcular o número de possibilidades

de arrumar k elementos de um total de n, sim considerar a ordem:

COMBINAÇÂO COM REPETIÇÃO.

Exemplo 1: Quantos números de 3 algarismos podem-se

formar com os dígitos 2, 5 e 7. Permite-se repetição de

elementos, e dois números com iguais elementos e diferentes

ordem de colocação são iguais.

257, 255, 277, 225, 227, 222, 557, 555, 775, 777

COMBINAÇÂO COM REPETIÇÃO.

Exemplo 2: Quantas palavras de 3 letras podem-se formar

com as letras da palavra ANGOL. Permite-se repetição de

elementos, e dois palavras com iguais elementos e diferentes

ordem de colocação são iguais.

E quantos palavras de 5 letras podem-se formar com as letras

da palavra ANGOL.

COMBINAÇÂO COM REPETIÇÃO.

BIBLIOGRAFÍA Cramer, H.; “MATHEMATICAL METHODS OF STATISTICS”, Vol. I e II, McGraw-

Hill,1946.

Murteira, B. et all;”INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA”, 2da Edição, McGraw-Hill,

2007.

https://falconugs.wordpress.com/ Blog. Wilfredo Falcón Urquiaga (pass:enginf).

Reis, E.; ESTATÍSTICA DESCRITIVA; Sílabo, 2000, 5ª ed..

Reis, Elizabeth, P. Melo, R. Andrade & T. Calapez, ESTATÍSTICA APLICADA (Vols. 1

e 2), 2003, 5ª edição, Ed. Sílabo.

Reis, E.; Melo, P.; Andrade, R.; Calapez, T, EXERCÍCIOS - ESTATÍSTICA

APLICADA (Vols. 1 e 2), 2003, Ed. Sílabo.

Feller, W.; “AN INTRODUTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS

APPLICATION”, Vol. I, J. Willey & Son.

Murteira, B.,; “DECISÃO ESTATÍSTICA PARA GESTORES”, Edição UAL.

Murteira, B.,;”PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA”, Vol. I e II, McGraw-Hill,1990.

Professor: Dr. Wilfredo Falcón Urquiaga

Professor Titular

Engenheiro em Telecomunicações e Eletrônica

Doutor em Ciências Técnicas

Email: falconcuba2007@gmail.com

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Combinatório

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