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Triangulos Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Triangulos

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Agosto de 2018


Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 A classificacao de triangulos.

2 Algumas caracterısticas dos triangulos.

3 Os casos de congruencia de triangulos.


Classificacao segundo os lados

Classificacao

Um triangulo e

Equilatero, se tem tres lados congruentes.

Isosceles, se tem dois lados congruentes.

Escaleno, se nao tem lados congruentes.


Triangulo retangulo

Definicao

Um triangulo e dito retangulo se um de seus angulos e reto, ouseja, mede 90◦.

Em um triangulo retangulo,

O lado oposto ao angulo reto e chamado hipotenusa.

Os outros lados sao chamados catetos.


Congruencia de triangulos

Definicao

Dois triangulos sao congruentes se podemos estabelecer umacorrespondencia entre os angulos de modo que

Os lados correspondentes sejam congruentes; e

Os angulos correspondentes sejam congruentes.


Congruencia de triangulos

Uso da congruencia na pratica

A teoria sobre congruencia de triangulos nos permite desenhar umtriangulo a partir de medidas conhecidas.

Apesar de dois triangulos serem congruentes quando suas seismedidas sao iguais (lados e angulos), tres medidas ja bastam.As possibilidades sao

LLL (os tres lados sao conhecidos)LLA (dois lados e um angulo nao compreendido entreeles)LLA (dois lados e um angulo nao compreendido entre eles)LAL (dois lados e o angulo compreendido entre eles)LAA (dois angulos e um lado nao compreendido entre eles)ALA (dois angulos e o lado compreendido entre eles)AAA (os tres angulos saoconhecidos)AAA (os tres angulos sao conhecidos)

As combinacoes LLL, LAL, LAA e ALA servem

AAA e LLA nao servem para definir congruencia


Caso LLL

Caso LLL

Dois triangulos sao congruentes se possuemtres lados congruentes.

Desenhando ∆ABC a partir de AB, AC e BC

Desenhe o lado AB. (Fig. 1)

Com o compasso centrado em A, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado AC . (Fig. 1)

Com o compasso centrado em B, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado BC . (Fig. 1)

Descoberta a localizacao de C , trace oslados que faltam. (Fig. 2)


Caso LAL

Caso LAL

Dois triangulos sao congruentes se possuemdois lados congruentes, bem como o anguloentre eles.

Desenhando ∆ABC a partir de AB, BC e B


Com um transferidor, marque o angulo B

(ponto D) e trace a semirreta−→BD.(Fig.1)

Com o compasso centrado em B ou umaregua, marque o ponto C sobre a

semirreta−→BD. (Fig. 1)

Descoberta a localizacao de C , trace olado AC . (Fig. 2)


Caso ALA

Caso ALA

Dois triangulos sao congruentes se possuemdois angulos congruentes, bem como o ladoentre eles.

Desenhando ∆ABC a partir de AB, A e B


Com um transferidor, marque o angulo A

(ponto D) e trace a semirreta−→AD.(Fig.1)


(ponto E ) e trace a semirreta−→BE .(Fig.1)

O vertice C esta na intersecao dassemirretas. (Fig. 2)


Caso LAA

Caso LAA

Dois triangulos sao congruentes se possuemdois angulos congruentes, bem como um ladonao compreendido entre eles.

Desenhando ∆ABC a partir de AB, A e C

Sabemos que a soma dos angulos internosde um triangulo equivale a 180◦.

Logo, conhecendo A e C , encontramos Bcalculando B = 180◦ − A− C .

Assim, caımos no caso ALA, mencionadoanteriormente.


Medidas insuficientes: AAA

Caso AAA

E possıvel construir infinitos triangulos dadasas medidas dos tres angulos.

Os triangulos ABC e ADE nao saocongruentes, embora B ≡ D e C ≡ E .

Esse caso e equivalente a termos apenasdois angulos conhecidos, pois a medida doterceiro sempre pode ser descobertausando o fato de que a soma dos angulosinternos e 180◦.


Medidas insuficientes: LLA

Caso LLA

E possıvel construir dois triangulos dadas as medidas de dois ladose um angulo nao compreendido entre eles.

Os triangulos ABC e ABD naosao congruentes, embora

Ambos tenham em comumo angulo A e o lado AB.

O lado BC seja congruentecom BD.


Caso particular LLA

Caso LLA com angulo maior ou igual a 90◦

No caso LLA, se o angulo tiver medida maiorou igual a 90◦, o triangulo e unico.Nesse caso, os outros dois angulos sao agudos.

Desenhando ∆ABC a partir de AB, AC e B


Com o compasso centrado em A, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado AC . (Fig. 1)


(ponto D) e trace a semirreta−→BD.(Fig.1)

Descoberta a localizacao de C , trace olado AC . (Fig. 2)


Triangulo isosceles

Teorema

Um triangulo e isosceles se e somente se possui dois anguloscongruentes.

Se A ≡ B entao ∆ABC e isosceles.(∆ABC ≡ ∆BAC por ALA.)

Se ∆ABC e isosceles entao A ≡ B.(∆ABC ≡ ∆BAC por LAL.)

O lado compreendido entre os angulosiguais (AB) e chamado base.


Desigualdade triangular

Teorema

Em um triangulo, a medida de um lado e menor que a soma dasmedidas dos outros dois lados.

a < b + c b < a + c c < a + b


Bissetriz de um angulo

Definicao

Uma semirreta−→AD interna a um angulo BAC e chamada bissetriz

do angulo se BAD ≡ CADA bissetriz divide o angulo BAC em dois angulos congruentes.


Bissetriz de um triangulo

Definicao

Bissetriz (interna) de um triangulo e o segmento com extremidadesem um vertice e no lado oposto a este, que divide o angulo dessevertice em dois angulos congruentes.


Mediana de um triangulo

Definicao

Mediana de um triangulo e o segmento que liga um vertice aoponto medio do lado oposto.


Altura de um triangulo

Definicao

Altura de um triangulo e o segmento que liga um vertice a suaprojecao na reta que contem o lado oposto.


Perımetro de um triangulo

Definicao

O Perımetro de um triangulo e a soma dos comprimentos de seuslados.

Perımetro: p = a + b + c


Exercıcio 1

Problema

Na figura abaixo, o triangulo ABC e isosceles, com base BC .Determine x e y .

x = 85◦, y = 50◦


Exercıcio 2

Problema

Sabendo que o triangulo ABC e equilatero, determine x e y .

x = 4, y = 9


Exercıcio 3

Problema

Encontre os valores de x e y na figura abaixo (nao e precisoencontrar z e α).

x = 11, y = 15


Exercıcio 4

Problema

Um triangulo isosceles tem um lado com 10 cm e outro com 24cm. Nesse caso, o comprimento do terceiro lado e

A) x = 10 cm

B) x = 24 cm

C) x = 10 cm ou x = 24 cm

D) 10 cm ≤ x ≤ 24 cm


Exercıcio 5

Problema

Sabendo que r e paralela a s na figura abaixo, determine os valoresde α e β.

α = 40◦, β = 60◦


Exercıcio 6

Problema

As bissetrizes de dois angulos adjacentes a um lado de umtriangulo formam um angulo de 120◦. Sabendo que um desses doisangulos mede 70◦, determine a medida do outro.

50◦


Exercıcio 7

Problema

Usando esquadros, compasso e transferidor, desenhe triangulos apartir das informacoes fornecidas abaixo.

1 Lados que medem 3 cm e 6 cm e angulo compreendido entreeles de 60◦.

2 Lados que medem 4 cm, 5 cm e 7 cm.

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