lógica matemática-aula 01

LGICA MATEMTICA

INTRODUO MATEMTICA - MATC 220

LICENCIATURA EM MATEMTICA

12/02/2015

Prof Karine Pugas 1

SUMRIO

1. Alguns Fatos Histricos

2. Proposio e conectivos

3. Frmulas proposicionais e construo de

tabelas-verdade

4. Tautologia e contradio

5. Equivalncia Lgica

6. Mtodo dedutivo e Implicao Lgica.

7. Argumentos

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OBJETIVO

Dar uma introduo Lgica Matemtica

com o estudo das operaes lgicas,

apresentando as frmulas proposicionais e

a construo de tabelas - verdade.

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ALGUNS FATOS

HISTRICOS

Aristteles, filsofo grego (384 - 322 a.C.), foi o fundador

da cincia da lgica.

Sua obra rganon serviu de fundamentao para Lgica simblica.

O emprego da lgica de Aristteles levava a uma linha de

raciocnio lgico baseado em premissas e concluses.

Desde ento, a lgica Ocidental tem sido binria, isto ,

uma declarao falsa ou verdadeira, no podendo ser ao

mesmo tempo parcialmente verdadeira e parcialmente

falsa.

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ALGUNS FATOS HISTRICOS

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ocupa um lugar

especial na histria da lgica. Este filsofo procurou

aplicar lgica o modelo de clculo algbrico da sua

poca.

Prope o uso de smbolos para mecanizar o processo do

raciocnio dedutivo. E sugere que essa linguagem fosse

universal. Criando, assim o ambiente adequado para o

surgimento da Lgica Formal.

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ALGUNS FATOS HISTRICOS

George Boole (1815-1864) considerado

o criador da lgica matemtica.

Na sua obra "Mathematical Analysis

of Logic", publicada em 1847, a lgica foi

pela primeira vez tratada como um

clculo de signos algbricos.

Esta lgebra booleana ser

fundamental para o desenho dos circuitos

nos computadores eletrnicos modernos.

ainda a base da teoria dos conjuntos. 12/02/2015

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A LGICA NA

MATEMTICA

A Lgica tem por objeto o estudo das leis gerais do pensamento e as formas de

aplic-las corretamente na investigao da

verdade.

A Lgica Matemtica ocupa-se da anlise

e relaes entre certas sentenas quase

sempre de contedo matemtico, chamadas

proposies.

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PROPOSIES

Todo o conjunto de palavras ou smbolos que

exprimem um pensamento de sentido completo.

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Sete mais trs igual a dez. Declarao (afirmativa)

Alan professor de Matemtica. Declarao (afirmativa ou negativa)

Maria linda? Interrogativa

Abra a porta. Imperativa

Exemplos e Contra-Exemplos:

I) Princpio da No Contradio - Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

II) Princpio do Terceiro Excludo - Toda

proposio verdadeira ou falsa (isto ,

verifica-se sempre um desses casos e nunca

um terceiro).

Princpios da Lgica

LGICA BIVALENTE 12/02/2015

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VALORES LGICOS

DAS PROPOSIES

Definio

Valor lgico a verdade ou a falsidade de uma proposio.

Assim, o que os princpios da no contradio e o do terceiro excludo afirmam : que:

Toda a proposio tem um, e um s, dos valores V ou F.

Exemplos:

O nmero 17 mpar.

Fortaleza a capital do Maranho.

TIRADENTES morreu afogado.

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(V)

(F)

(F)

PROPOSIO SIMPLES (ATMICA)

Como o prprio nome diz, uma proposio nica, isolada.

Podemos consider-las como frases formadas por apenas uma orao que exprime apenas um fato.

Representaremos as proposies simples por letras latinas minsculas (p, q, r, s)

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EXEMPLOS DE PROP. SIMPLES

Tiradentes foi enforcado (p)

Mrio estudioso (q)

3 + 5 > 12 (r)

O nmero 49 um quadrado perfeito (s)

Jorge Amado no escreveu o livro Mar Morto (w)

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PROPOSIO COMPOSTA

OU MOLECULAR

Uma proposio dita composta quando for

formada por duas ou mais proposies ligadas

entre si por conectivos operacionais.

Podemos consider-las como um perodo

composto de vrias oraes.

Indicaremos as proposies compostas por

letras latinas maisculas. 12/02/2015


EXEMPLO

Q: Paulo estudioso e Maria arquiteta.

Q a composta das proposies simples:

p: Paulo estudioso

e

q: Maria arquiteta.

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Conectivos Smbolo Denominao

E conjuno

Ou disjuno

se...ento condicional

se e somente se bicondicional

no ~ negao

CONECTIVOS

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So palavras que se usam para formar novas

proposies a partir de outras.

OPERAES LGICAS

SOBRE PROPOSIES

No caso da Lgica no trabalhamos com nmeros, mas com

proposies. J vimos que a partir de proposies simples podemos

combin-las mediante o uso de conectivos para formar novas

proposies. O que queremos saber agora :

Conhecidos os valores lgicos das proposies simples, qual o

valor lgico da proposio resultante obtida com os conectivos?

Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposies

compostas, conhecidos os valores das proposies simples que as

compem usaremos tabelas-verdade.

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NEGAO: NO (~ OU )

Q = Joo professor

~Q = Joo no professor

Negao

Q ~Q

Verdadeiro Falso

Falso Verdadeiro

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A negao de uma proposio p escreve-se p e se l: no p ou falso que p , ou no verdade que p .

CONJUNO: E (^)

A proposio (p ^ q)

verdadeira se e somente

se ambas as proposies

p e q so verdadeiras.

Conjuno

p q p ^ q

Verdadeiro Verdadeiro V

Verdadeiro Falso F

Falso Verdadeiro F

Falso Falso F

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DISJUNO: OU (V)

A proposio (p v q)


se uma das proposies

(ou ambas) p ou q so

verdadeiras.

Disjuno

P Q P v Q

Verdadeiro Verdadeiro V

Verdadeiro Falso V

Falso Verdadeiro V

Falso Falso F

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DISJUNO EXCLUSIVA: OU, .... OU,... ( V)

A proposio (p v q)


se uma das proposies p

ou q so verdadeiras. No

quando ambas so

verdadeiras ou ambas

falsas.

Disjuno Exclusiva

P Q P v Q

Verdadeiro Verdadeiro F

Verdadeiro Falso V

Falso Verdadeiro V

Falso Falso F

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RESUMINDO: TABELAS VERDADES: , , ~

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p q p q p q ~p

V V

V F

F V

F F

?

?

? F

? V

A Condicional P Q

Dadas duas proposies p, q, definimos a condicional p q

como uma proposio cujo valor lgico s falso quando p

verdadeira e q falsa.

p q falsa apenas quando V(p)=V e V(q)=F

A primeira proposio (p) chamada de antecedente ou hiptese; a segunda (q), de consequente.

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TABELA VERDADE: SE... ENTO...

p q p q

V V

V F

F V

F F

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v

F

V

V

Notemos que, quando o valor lgico da proposio p falso, temos

que a condicional automaticamente verdadeira (no depende do

valor lgico de q ). Isto se justifica pelo fato de que se p falsa,

qualquer concluso pode se tirar da, verdadeira ou falsa.

Exemplo: Se voc o dono da Coca-Cola ento eu sou o rei da Inglaterra.

A condicional P Q

1) Adriana diz para sua prima: Se eu ganhar na loteria ento lhe darei 10.000 reais.

Qual a lgica dessa definio? Veja os exemplos abaixo:

Quando ela estar mentindo ?

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Veja os exemplos...

2) A me diz para a filha: Se voc tirar nota acima de 8,0 ento lhe darei uma viagem a Chapada Diamantina...

3) O poltico diz ao eleitor: Se eu for eleito ento lhe darei um carro

Quando eles estaro mentindo ?

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1) Adriana ganha na loteria e no d os 10.000 reais.

Estaro mentindo quando...

2) A filha tirou acima de 8,0 e a me no deu uma viagem a

Chapada Diamantina.

3) O poltico se elegeu e no deu um carro ao seu eleitor.

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R E S U M I N D O...

Isto nos diz que mentir aquele que promete e no

cumpre (o prometido)

Em todos os casos, o que se afirma que se acontecer p, ento q tambm deve acontecer. Em outras palavras, se p acontecer e q no acontecer, estaremos mentindo.

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PROPOSIES

CONDICIONAIS

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As proposies condicionais so importantes na

matemtica, e tem vrias maneiras diferentes de

enunci-las, por exemplo,

p q podemos entender como uma das seguintes formas:

p implica q .

p condio suficiente para q .

q condio necessria para p .

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

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A bicondicional se e somente se

p q verdadeira quando p , q tm os mesmos valores lgicos

REFERNCIAS

BIBLIOGRFICAS

ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciao Lgica

Matemtica. So Paulo: Editora Nobel.

MACHADO, Nilson Jos & CUNHA, Marisa Ortega.

Lgica e linguagem cotidiana. Coleo Tendncias em

Educao Matemtica. Belo Horizonte: Editora

Autntica.

IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de Matemtica

Elementar, vol 1. So Paulo: Editora Atual.

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